ESC-EXP-03：最小充分外延簽章與 Domain-Conditioned $Q_1$

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-03
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-02
狀態： Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

本輪不再追問「F、C、I 是否全域相同」，而改成兩個可直接失敗的問題：

I 路徑目前最少要保存哪些外延資訊，才能維持 full-I 的辨識能力？
某個共同 invariant 究竟只在哪些 domain 上能被 F、C、I 三路各自合法恢復？

結果支持一個更保守、也更有數學內容的結論：

\boxed{ \text{ESC compatibility is domain-conditioned, not automatically global.} }

同時，本輪得到一個可以直接證明的 finite compatibility criterion：

若 F 只在已形成 relation 的 endpoint 上記錄「兩端是否屬於同一 distinction block」，那麼要對任意 partition 完整恢復全域 distinction，relation support 必須且只需覆蓋所有 unordered pair。

1. Runtime

Regression tests：

15 passed

新增測試包含：

minimal I signature search；
exact equivalence preservation；
trivial-domain rejection；
domain category separation；
缺一 pair 時的 partition recovery 反例；
pairwise-complete support 下的 partition separation。

2. I 路徑最小充分外延簽章

完整 I representation 保存：

\text{probe mode}, \quad \text{probe family}, \quad \text{membership},

\text{pairwise incidence}, \quad \text{containment}, \quad \text{maximal higher-order simplices}.

本輪枚舉所有非空欄位子集，要求子簽章與 full-I 產生完全相同的 equivalence partition。

bounded $n=3$

單欄位已足夠，候選包括：

\{\text{probes}\}, \quad \{\text{membership}\}, \quad \{\text{pairwise}\}, \quad \{\text{maximal}\}.

這只表示它們在該有限域剛好具有相同 class-separating power。

bounded $n=4$

最小欄位數升為：

2.

可行最小簽章：

(\text{probe mode},\text{probes}),

(\text{probe mode},\text{membership}),

(\text{probe mode},\text{pairwise}),

(\text{probe mode},\text{maximal}).

而：

(\text{probe mode},\text{containment})

不足。

合併 bounded $n=3,4$

最小欄位數仍為：

2.

因此目前最自然的 canonical 候選為：

\boxed{ \operatorname{Ext}_{I,\mathrm{finite}}^{\min} = (\text{probe mode},\text{probe family}). }

理由是 membership、pairwise、containment、maximal simplices 都可由 probe family 衍生，而 probe family 更接近生成來源。

此結論只限目前 finite domains，不宣稱一般最小性。

3. Domain-Conditioned $Q_1$ ：bounded $n=3$

bounded $n=3$ 有：

264

個 canonical substrate classes。

搜尋最多兩個預先定義條件後，共找到：

22

組非平凡 conditional $Q_1$ candidates。

最簡單且支援最大的 structural-only domain：

\boxed{ \text{coarse distinction} }

也就是：

\#\text{partition blocks}<3.

域大小：

184,

支援率：

\frac{184}{264}\approx0.69697.

其中：

\boxed{ \text{partition block count} }

與：

\boxed{ \text{partition block sizes} }

都有兩個非平凡取值，而且 F、C、I 三路都能各自恢復。

4. bounded $n=3$ 的邊界反例

離開 coarse-distinction 域後，F 出現最小反例。

兩個 partition：

\pi_1=(0,0,1)

與：

\pi_2=(0,1,2)

可落入同一 F-visible formation class，卻具有：

\#\pi_1=2, \qquad \#\pi_2=3.

因此：

\boxed{ Q_1(\text{partition}) }

在 bounded $n=3$ 不是 global property。

5. bounded $n=4$ ：重要負結果

bounded $n=4$ 有：

224

個 canonical substrate classes。

最多兩個 domain conditions：

\boxed{ 0 }

個非平凡 conditional $Q_1$ candidate。

將搜尋放寬到最多三個條件：

\boxed{ 0 }

仍然沒有候選。

所以至少在目前 bounded $n=4$ family、目前 invariant catalog 與簡單 domain predicates 中，不能靠「切個簡單子域」把三路共同 invariant 救回來。

這是對過度統一解讀的直接限制。

6. full-static $n=3$

full-static $n=3$ 有：

8610

個 canonical substrate classes。

以下 invariant 在整個 domain 都由 F、C、I 各自恢復：

\boxed{ \text{undirected edge count} }

\boxed{ \text{undirected degree multiset} }

\boxed{ \text{cycle existence}. }

因此 selected finite domain 中的：

\boxed{ Q_1@E_2 }

再次得到支持。

7. partition invariant 的 full-static $n=3$ 合法域

partition block count / sizes 在：

\boxed{ \text{cyclic} }

域內三路共同可恢復。

該域包含：

6960

個 classes，

支援率：

\approx0.80836.

而在 $n=3$ ：

\text{cyclic} \iff K_3 \iff \text{pairwise relation coverage complete}.

所以真正的結構條件不是「cycle 很神奇」，而是：

\boxed{ \text{所有 unordered pair 都有 formation support}. }

8. Partition Recovery Coverage Lemma

設有限集合：

X

與任意 partition：

\pi.

F 只在 support graph：

G=(X,E)

的 edge 上觀察：

\chi_\pi(u,v) = \mathbf 1(u\sim_\pi v).

則 F 能對所有 partition唯一恢復 $\pi$ 若且唯若：

\boxed{ E=\binom X2. }

充分性

若所有 unordered pair 都被觀察，則 pairwise equivalence relation 被完整給定，partition 亦唯一決定。

必要性

若缺少：

\{u,v\}\notin E,

取：

\pi_1 = \{\{u\},\{v\},\text{其餘 singleton}\},

以及：

\pi_2 = \{\{u,v\},\text{其餘 singleton}\}.

兩者在所有已觀察 edge 上的 same/different 值完全相同，唯一不同的 pair 正是未觀察的 $\{u,v\}$ 。

因此：

\Pi_F(\pi_1)=\Pi_F(\pi_2),

但：

\pi_1\neq\pi_2.

故 complete pairwise support 為必要條件。

\Box

9. $n=4$ relation-coverage ladder

本輪固定：

$n=4$ ；
單一 relation type；
每個 support edge 僅一個 directed formation；
保留所有 partition、formation context、probe mode；

並測：

|E|=2,3,4,5,6.

$\lvert E\rvert$	coverage	F recover partition	C	I	shared
2	$2/6$	No	Yes	Yes	No
3	$3/6$	No	Yes	Yes	No
4	$4/6$	No	Yes	Yes	No
5	$5/6$	No	Yes	Yes	No
6	$1$	Yes	Yes	Yes	Yes

所以目前模型中，門檻不是「關係很多就差不多」，而是：

\boxed{ |E|=\binom42=6. }

10. $n=4$ pairwise-complete domain

在：

E=K_4

子域中共有：

60

個 canonical classes。

partition block count 有：

4

個非平凡取值；

partition block sizes 有：

5

個非平凡取值。

而兩者皆滿足：

\boxed{ F=C=I=\text{recoverable}. }

因此 bounded $n=4$ 的負結果不能解讀成「規模一大三路共同性就壞掉」。

更精確地說：

\boxed{ \text{shared partition recoverability depends on relational coverage}. }

11. Compatibility Region

對 invariant：

\text{Inv}

定義：

\boxed{ \mathcal D_{Inv} = \left\{ B\in\mathfrak B: \text{Inv} \text{ 可由 }F,C,I\text{ 各自恢復} \right\}. }

從現在開始， $Q_1$ 不必先要求：

\mathcal D_{Inv}=\mathfrak B.

更合理的研究目標是：

\boxed{ \text{求 }\mathcal D_{Inv}\text{ 的形狀、邊界與生成條件。} }

這就是 domain-conditioned $Q_1$ 。

12. 對「三套理論能不能合法放一起」的目前回答

目前證據不支持：

F=C=I.

也不支持：

任意 domain 上都能找到共同非平凡 invariant。

相反地，我們已經看到：

projection-specific blind spots；
$n=4$ bounded zero-candidate domain；
growth instability；
domain boundary counterexamples。

但也已經看到：

\boxed{ \text{在明確 compatibility domains 上，三條路可以共享非平凡 invariant。} }

所以目前更合理的是：

\boxed{ F \sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D} C \sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D} I. }

其中：

\mathcal D

必須明確指定。

13. 對舊理論的「合法化」真正變成什麼？

不是把三套理論硬證成一套。

而是：

\boxed{ \text{限定適用域} + \text{構造映射} + \text{證明不變量保存} + \text{保留失敗邊界}. }

因此：

分數本體論不必看見全部 global distinction；
差合化不必保存所有 formation context；
incidence 不必保存 relation type；
共同性只在 recoverability 被證明的 domain 上成立。

這反而使三者更容易在數學上合法共存。

14. I minimal signature 的目前結論

在 bounded $n=3,4$ 中，full I representation 有明顯冗餘。

目前 canonical 候選：

\boxed{ \operatorname{Ext}_{I,\mathrm{finite}}^{\min} = (\text{probe mode},\text{probe family}). }

其餘：

\text{membership}, \quad \text{pairwise incidence}, \quad \text{containment}, \quad \text{maximal simplex}

優先視為 derivable artifacts，直到更大 domain 提供反例。

15. 證據層級

本輪可以保守記錄：

\boxed{ \operatorname{Ext}_{I}^{\min}@E_3 }

只限 bounded $n=3,4$ finite families 的候選。

partition invariant 則可記：

\boxed{ Q_1(\mathcal D_{\mathrm{pairwise\ complete}})@E_2 }

在 $n=4$ 的 finite domain 中成立。

而 Partition Recovery Coverage Lemma 對目前簡化 F observation model 已有一般有限證明。

16. 系列錨點

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-03.A} \quad \text{ESC compatibility 應被視為 domain-conditioned，而非全域同一性。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-03.B} \quad \text{bounded }n=4\text{ 在最多三個簡單條件下沒有非平凡 }Q_1(\mathcal C)\text{ candidate。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-03.C} \quad \text{partition recovery 在目前 F semantics 下要求 pairwise-complete formation support。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-03.D} \quad \text{relation coverage，而非 node count 本身，是目前 partition shared-recoverability 的關鍵變量。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-03.E} \quad \operatorname{Ext}_{I,\mathrm{finite}}^{\min} \text{ 在 bounded }n=3,4\text{ 中可壓縮到 probe frame + probe structure。} }

17. 下一輪：ESC-EXP-04

下一輪最自然的研究對象不是再加一篇抽象統合理論，而是：

\boxed{ \text{Compatibility Region Geometry}. }

先定義 relation coverage：

\kappa_R = \frac{|E|}{\binom n2}.

再逐步加入：

relation-type coverage；
directed coverage；
observation-block coverage；
history coverage；
higher-order probe coverage。

目標是找出：

\boxed{ \text{shared recoverability phase boundary}. }

也就是從「哪裡可以合法放一起」進一步研究：

合法共用域的相變邊界長什麼樣？

ESC-EXP-03：最小充分外延簽章與 Domain-Conditioned $Q_1$

ESC-EXP-03：最小充分外延簽章與 Domain-Conditioned Q1Q_1Q1​

摘要

1. Runtime

2. I 路徑最小充分外延簽章

bounded n=3n=3n=3

bounded n=4n=4n=4

合併 bounded n=3,4n=3,4n=3,4

3. Domain-Conditioned Q1Q_1Q1​：bounded n=3n=3n=3

4. bounded n=3n=3n=3 的邊界反例

5. bounded n=4n=4n=4：重要負結果

6. full-static n=3n=3n=3

7. partition invariant 的 full-static n=3n=3n=3 合法域

8. Partition Recovery Coverage Lemma

充分性

必要性

9. n=4n=4n=4 relation-coverage ladder

10. n=4n=4n=4 pairwise-complete domain

11. Compatibility Region

12. 對「三套理論能不能合法放一起」的目前回答

13. 對舊理論的「合法化」真正變成什麼？

14. I minimal signature 的目前結論

15. 證據層級

16. 系列錨點

17. 下一輪：ESC-EXP-04

ESC-EXP-03：最小充分外延簽章與 Domain-Conditioned $Q_1$

bounded $n=3$

bounded $n=4$

合併 bounded $n=3,4$

3. Domain-Conditioned $Q_1$ ：bounded $n=3$

4. bounded $n=3$ 的邊界反例

5. bounded $n=4$ ：重要負結果

6. full-static $n=3$

7. partition invariant 的 full-static $n=3$ 合法域

9. $n=4$ relation-coverage ladder

10. $n=4$ pairwise-complete domain