# ESC-EXP-03：最小充分外延簽章與 Domain-Conditioned $Q_1$

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-03  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-02  
**狀態：** Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

本輪不再追問「F、C、I 是否全域相同」，而改成兩個可直接失敗的問題：

1. I 路徑目前最少要保存哪些外延資訊，才能維持 full-I 的辨識能力？
2. 某個共同 invariant 究竟只在哪些 domain 上能被 F、C、I 三路各自合法恢復？

結果支持一個更保守、也更有數學內容的結論：

$$
\boxed{
\text{ESC compatibility is domain-conditioned, not automatically global.}
}
$$

同時，本輪得到一個可以直接證明的 finite compatibility criterion：

> 若 F 只在已形成 relation 的 endpoint 上記錄「兩端是否屬於同一 distinction block」，那麼要對任意 partition 完整恢復全域 distinction，relation support 必須且只需覆蓋所有 unordered pair。

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# 1. Runtime

Regression tests：

```text
15 passed
```

新增測試包含：

- minimal I signature search；
- exact equivalence preservation；
- trivial-domain rejection；
- domain category separation；
- 缺一 pair 時的 partition recovery 反例；
- pairwise-complete support 下的 partition separation。

---

# 2. I 路徑最小充分外延簽章

完整 I representation 保存：

$$
\text{probe mode},
\quad
\text{probe family},
\quad
\text{membership},
$$

$$
\text{pairwise incidence},
\quad
\text{containment},
\quad
\text{maximal higher-order simplices}.
$$

本輪枚舉所有非空欄位子集，要求子簽章與 full-I 產生完全相同的 equivalence partition。

## bounded $n=3$

單欄位已足夠，候選包括：

$$
\{\text{probes}\},
\quad
\{\text{membership}\},
\quad
\{\text{pairwise}\},
\quad
\{\text{maximal}\}.
$$

這只表示它們在該有限域剛好具有相同 class-separating power。

## bounded $n=4$

最小欄位數升為：

$$
2.
$$

可行最小簽章：

$$
(\text{probe mode},\text{probes}),
$$

$$
(\text{probe mode},\text{membership}),
$$

$$
(\text{probe mode},\text{pairwise}),
$$

$$
(\text{probe mode},\text{maximal}).
$$

而：

$$
(\text{probe mode},\text{containment})
$$

不足。

## 合併 bounded $n=3,4$

最小欄位數仍為：

$$
2.
$$

因此目前最自然的 canonical 候選為：

$$
\boxed{
\operatorname{Ext}_{I,\mathrm{finite}}^{\min}
=
(\text{probe mode},\text{probe family}).
}
$$

理由是 membership、pairwise、containment、maximal simplices 都可由 probe family 衍生，而 probe family 更接近生成來源。

此結論只限目前 finite domains，不宣稱一般最小性。

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# 3. Domain-Conditioned $Q_1$：bounded $n=3$

bounded $n=3$ 有：

$$
264
$$

個 canonical substrate classes。

搜尋最多兩個預先定義條件後，共找到：

$$
22
$$

組非平凡 conditional $Q_1$ candidates。

最簡單且支援最大的 structural-only domain：

$$
\boxed{
\text{coarse distinction}
}
$$

也就是：

$$
\#\text{partition blocks}<3.
$$

域大小：

$$
184,
$$

支援率：

$$
\frac{184}{264}\approx0.69697.
$$

其中：

$$
\boxed{
\text{partition block count}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{partition block sizes}
}
$$

都有兩個非平凡取值，而且 F、C、I 三路都能各自恢復。

---

# 4. bounded $n=3$ 的邊界反例

離開 coarse-distinction 域後，F 出現最小反例。

兩個 partition：

$$
\pi_1=(0,0,1)
$$

與：

$$
\pi_2=(0,1,2)
$$

可落入同一 F-visible formation class，卻具有：

$$
\#\pi_1=2,
\qquad
\#\pi_2=3.
$$

因此：

$$
\boxed{
Q_1(\text{partition})
}
$$

在 bounded $n=3$ 不是 global property。

---

# 5. bounded $n=4$：重要負結果

bounded $n=4$ 有：

$$
224
$$

個 canonical substrate classes。

最多兩個 domain conditions：

$$
\boxed{
0
}
$$

個非平凡 conditional $Q_1$ candidate。

將搜尋放寬到最多三個條件：

$$
\boxed{
0
}
$$

仍然沒有候選。

所以至少在目前 bounded $n=4$ family、目前 invariant catalog 與簡單 domain predicates 中，不能靠「切個簡單子域」把三路共同 invariant 救回來。

這是對過度統一解讀的直接限制。

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# 6. full-static $n=3$

full-static $n=3$ 有：

$$
8610
$$

個 canonical substrate classes。

以下 invariant 在整個 domain 都由 F、C、I 各自恢復：

$$
\boxed{
\text{undirected edge count}
}
$$

$$
\boxed{
\text{undirected degree multiset}
}
$$

$$
\boxed{
\text{cycle existence}.
}
$$

因此 selected finite domain 中的：

$$
\boxed{
Q_1@E_2
}
$$

再次得到支持。

---

# 7. partition invariant 的 full-static $n=3$ 合法域

partition block count / sizes 在：

$$
\boxed{
\text{cyclic}
}
$$

域內三路共同可恢復。

該域包含：

$$
6960
$$

個 classes，

支援率：

$$
\approx0.80836.
$$

而在 $n=3$：

$$
\text{cyclic}
\iff
K_3
\iff
\text{pairwise relation coverage complete}.
$$

所以真正的結構條件不是「cycle 很神奇」，而是：

$$
\boxed{
\text{所有 unordered pair 都有 formation support}.
}
$$

---

# 8. Partition Recovery Coverage Lemma

設有限集合：

$$
X
$$

與任意 partition：

$$
\pi.
$$

F 只在 support graph：

$$
G=(X,E)
$$

的 edge 上觀察：

$$
\chi_\pi(u,v)
=
\mathbf 1(u\sim_\pi v).
$$

則 F 能對**所有 partition**唯一恢復 $\pi$ 若且唯若：

$$
\boxed{
E=\binom X2.
}
$$

## 充分性

若所有 unordered pair 都被觀察，則 pairwise equivalence relation 被完整給定，partition 亦唯一決定。

## 必要性

若缺少：

$$
\{u,v\}\notin E,
$$

取：

$$
\pi_1
=
\{\{u\},\{v\},\text{其餘 singleton}\},
$$

以及：

$$
\pi_2
=
\{\{u,v\},\text{其餘 singleton}\}.
$$

兩者在所有已觀察 edge 上的 same/different 值完全相同，唯一不同的 pair 正是未觀察的 $\{u,v\}$。

因此：

$$
\Pi_F(\pi_1)=\Pi_F(\pi_2),
$$

但：

$$
\pi_1\neq\pi_2.
$$

故 complete pairwise support 為必要條件。

$$
\Box
$$

---

# 9. $n=4$ relation-coverage ladder

本輪固定：

- $n=4$ ；
- 單一 relation type；
- 每個 support edge 僅一個 directed formation；
- 保留所有 partition、formation context、probe mode；

並測：

$$
|E|=2,3,4,5,6.
$$

| $\lvert E\rvert$ | coverage | F recover partition | C | I | shared |
|---:|---:|---|---|---|---|
| 2 | $2/6$ | No | Yes | Yes | No |
| 3 | $3/6$ | No | Yes | Yes | No |
| 4 | $4/6$ | No | Yes | Yes | No |
| 5 | $5/6$ | No | Yes | Yes | No |
| 6 | $1$ | Yes | Yes | Yes | Yes |

所以目前模型中，門檻不是「關係很多就差不多」，而是：

$$
\boxed{
|E|=\binom42=6.
}
$$

---

# 10. $n=4$ pairwise-complete domain

在：

$$
E=K_4
$$

子域中共有：

$$
60
$$

個 canonical classes。

partition block count 有：

$$
4
$$

個非平凡取值；

partition block sizes 有：

$$
5
$$

個非平凡取值。

而兩者皆滿足：

$$
\boxed{
F=C=I=\text{recoverable}.
}
$$

因此 bounded $n=4$ 的負結果不能解讀成「規模一大三路共同性就壞掉」。

更精確地說：

$$
\boxed{
\text{shared partition recoverability depends on relational coverage}.
}
$$

---

# 11. Compatibility Region

對 invariant：

$$
\text{Inv}
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal D_{Inv}
=
\left\{
B\in\mathfrak B:
\text{Inv}
\text{ 可由 }F,C,I\text{ 各自恢復}
\right\}.
}
$$

從現在開始， $Q_1$ 不必先要求：

$$
\mathcal D_{Inv}=\mathfrak B.
$$

更合理的研究目標是：

$$
\boxed{
\text{求 }\mathcal D_{Inv}\text{ 的形狀、邊界與生成條件。}
}
$$

這就是 domain-conditioned $Q_1$。

---

# 12. 對「三套理論能不能合法放一起」的目前回答

目前證據不支持：

$$
F=C=I.
$$

也不支持：

> 任意 domain 上都能找到共同非平凡 invariant。

相反地，我們已經看到：

- projection-specific blind spots；
- $n=4$ bounded zero-candidate domain；
- growth instability；
- domain boundary counterexamples。

但也已經看到：

$$
\boxed{
\text{在明確 compatibility domains 上，三條路可以共享非平凡 invariant。}
}
$$

所以目前更合理的是：

$$
\boxed{
F
\sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D}
C
\sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D}
I.
}
$$

其中：

$$
\mathcal D
$$

必須明確指定。

---

# 13. 對舊理論的「合法化」真正變成什麼？

不是把三套理論硬證成一套。

而是：

$$
\boxed{
\text{限定適用域}
+
\text{構造映射}
+
\text{證明不變量保存}
+
\text{保留失敗邊界}.
}
$$

因此：

- 分數本體論不必看見全部 global distinction；
- 差合化不必保存所有 formation context；
- incidence 不必保存 relation type；
- 共同性只在 recoverability 被證明的 domain 上成立。

這反而使三者更容易在數學上合法共存。

---

# 14. I minimal signature 的目前結論

在 bounded $n=3,4$ 中，full I representation 有明顯冗餘。

目前 canonical 候選：

$$
\boxed{
\operatorname{Ext}_{I,\mathrm{finite}}^{\min}
=
(\text{probe mode},\text{probe family}).
}
$$

其餘：

$$
\text{membership},
\quad
\text{pairwise incidence},
\quad
\text{containment},
\quad
\text{maximal simplex}
$$

優先視為 derivable artifacts，直到更大 domain 提供反例。

---

# 15. 證據層級

本輪可以保守記錄：

$$
\boxed{
\operatorname{Ext}_{I}^{\min}@E_3
}
$$

只限 bounded $n=3,4$ finite families 的候選。

partition invariant 則可記：

$$
\boxed{
Q_1(\mathcal D_{\mathrm{pairwise\ complete}})@E_2
}
$$

在 $n=4$ 的 finite domain 中成立。

而 Partition Recovery Coverage Lemma 對目前簡化 F observation model 已有一般有限證明。

---

# 16. 系列錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-03.A}
\quad
\text{ESC compatibility 應被視為 domain-conditioned，而非全域同一性。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-03.B}
\quad
\text{bounded }n=4\text{ 在最多三個簡單條件下沒有非平凡 }Q_1(\mathcal C)\text{ candidate。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-03.C}
\quad
\text{partition recovery 在目前 F semantics 下要求 pairwise-complete formation support。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-03.D}
\quad
\text{relation coverage，而非 node count 本身，是目前 partition shared-recoverability 的關鍵變量。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-03.E}
\quad
\operatorname{Ext}_{I,\mathrm{finite}}^{\min}
\text{ 在 bounded }n=3,4\text{ 中可壓縮到 probe frame + probe structure。}
}
$$

---

# 17. 下一輪：ESC-EXP-04

下一輪最自然的研究對象不是再加一篇抽象統合理論，而是：

$$
\boxed{
\text{Compatibility Region Geometry}.
}
$$

先定義 relation coverage：

$$
\kappa_R
=
\frac{|E|}{\binom n2}.
$$

再逐步加入：

- relation-type coverage；
- directed coverage；
- observation-block coverage；
- history coverage；
- higher-order probe coverage。

目標是找出：

$$
\boxed{
\text{shared recoverability phase boundary}.
}
$$

也就是從「哪裡可以合法放一起」進一步研究：

> **合法共用域的相變邊界長什麼樣？**