CODT-02

認知算子代數與相對原子性

Cognitive Operator Algebra and Relative Atomicity

系列： Cognitive Operator-Domain Theory, CODT / 認知算子-域理論
系列篇次： 02 / 10
版本： v1.0
日期： 2026-08-20
作者： Neo.K
機構脈絡： EveMissLab / 一言諾科技有限公司
文件性質： 理論論文 / 算子形式化篇
前篇： CODT-01〈從認知方法到認知算子：認知解構學的域化轉向〉

摘要

CODT-01 已提出「Operator Before Domain」：認知域不得由歷史方法名稱直接指定，而應先從可重用認知作用、合法組合、運行歷史與失效邊界中後生。本文進一步回答：若認知方法要被拆成算子，這些算子究竟構成什麼樣的形式結構？

本文提出 型別化、語境化、部分定義的認知算子代數候選（typed contextual partial cognitive operator algebra candidate）。其核心不是宣稱 cognition 已經是一個標準代數結構，而是明確區分：算子語法、型別相容性、語境合法性、實際執行、認識資格與歷史證書。對 cognitive operator $\Omega$ ，本文沿用並收斂既有 operator object：

\Omega = ( K, X, Y, U, \mathcal A, \Sigma, B^-, B^+, \Lambda, \Gamma, E, F, \mathscr H, V ).

本文主張：composition 預設為 partial；operator words 在 syntax level 可用 ordered words 表示，但 semantic execution 不等同於任意 concatenation；一般情況下 composition 非交換，且只有在中間型別、語境、history side effects、resource 與 epistemic license 都相容時，才可取得局部 associativity certificate。合法 composition 也不等於 truth、progress、utility 或 certification。

本文同時正式化 相對原子性。一個 operator 在時間 $t$ 被視為 primitive，只表示在當前表示語言、觀察解析度、證據、型別系統與計算預算下，尚未存在更好的合法分解：

Atomic_t(\Omega) \not\Rightarrow Atomic_{t+1}(\Omega).

有效分解不只要求把一個名稱切成多個名稱，而必須同時通過型別保存、作用保存、邊界保存、trace 可重放、失效解釋與非平凡性檢查。本文以 Retain、Measure、Attend、AlignRepresentation、Hypothesize、RankHypothesis、SeekDisconfirmingCase 等既有重分類案例說明：CODT 的 primitive status 是可被新 shared-bottom structure 反證的版本化研究狀態，而非不可撤銷的本體宣告。

本文最後提出 Operator Reclassification Contract，使舊 operator ID、舊 history 與新 decomposition 可以同時保留。這為下一篇「認知域的生成」提供必要基礎：只有當 operator identity、composition 與 atomicity 不再依附於預設 domain，domain emergence 才可能真正具有內容。

關鍵詞

認知算子；CODT；partial algebra；typed composition；operator word；relative atomicity；non-commutativity；cognitive runtime；operator decomposition；epistemic license；history preservation

1. 從「有算子」到「算子如何存在」

CODT-01 已完成第一個轉向：

\boxed{ \text{Method} \rightarrow \text{Operator Program} }

但如果只停在這裡，理論仍可能退化成另一種名詞表。

例如，我們可以把「觀察」拆成 Access、Attend、Discriminate、RegisterEvidence、Measure，但僅僅列出五個名稱，並不能回答：

Access 的輸入與輸出是什麼？
Measure 能否直接接在任意 observation 後？
Attend 是否只能屬於 Observation？
Measure 若後來被拆解，舊 trace 怎麼處理？
Hypothesize 與 RankHypothesis 的 output 是否具有相同 epistemic license？
syntax 上接得起來，是否代表 runtime 上可以合法執行？
composition 合法是否等於結論正確？

因此 CODT-02 的問題不是「cognition 是否像數學一樣有一套漂亮代數」，而是：

如果 operator 要被 AI、Agent、runtime、驗證器與研究者共同使用，最低需要哪些形式結構，才能避免「能寫在一起」被偷換成「能執行」「能相信」或「是真的」？

本文將這個最低結構稱為：

\boxed{ \mathfrak A_{\mathrm{Cog}} }

即 cognitive operator algebra candidate。

「algebra」在這裡首先是工程與形式化名稱，不代表本文已證明 $\mathfrak A_{\mathrm{Cog}}$ 屬於某個既有 universal-algebra variety。

2. 為什麼不是普通 monoid

標準 total binary operation 可以寫成：

\star:A\times A\rightarrow A.

這表示 operation 對整個輸入 domain 都有定義。

但 cognition 顯然不是這樣。

EmitActionRequest 不能在沒有 ActionSpec 的情況下合法執行；TransformRepresentation 不能在 target representation space、bridge basis 或 transform rule 未指定時自由運作；ApplyBeliefUpdate 不能在沒有 belief state、evidence support 與 update rule 時被當成總函數。

因此 CODT 更接近 partial operation：

\star: D_\star \rightarrow \mathcal O,

其中：

D_\star \subsetneq \mathcal O\times\mathcal O.

標準 partial algebra 研究「operation 只在部分輸入 tuple 上有定義」的結構。CODT 借用這一點作數學參照，但加入更多條件：

typed input/output；
context-dependent admissibility；
epistemic license；
boundary constraints；
history dependence；
side effects；
representation bridge；
resource budget；
certificate；
failure semantics。

另一方面，ordered operator words 可在 syntax layer 借用 free monoid 的語言。若：

\mathcal O = \{\Omega_1,\Omega_2,\ldots\},

所有有限形式字串可寫成：

\mathcal O^*.

但 CODT 不主張：

\boxed{ \mathfrak A_{\mathrm{Cog}} = \mathcal O^* }.

因為 free monoid 允許任意 letters concatenation，而 cognition 不允許任意 operator concatenation。

因此：

\boxed{ \text{SyntacticWord} \neq \text{ExecutableOperatorWord} }.

3. Cognitive Operator Object

本文採用：

\boxed{ \Omega = ( K,X,Y,U,\mathcal A,\Sigma,B^-,B^+,\Lambda,\Gamma,E,F,\mathscr H,V ) }.

其中：

$K$ ：kernel transformation；
$X$ ：input types；
$Y$ ：output types；
$U$ ：use types；
$\mathcal A$ ：admissibility scope；
$\Sigma$ ：spectrum / measurable profile；
$B^-$ ：lower boundary；
$B^+$ ：upper / exclusion boundary；
$\Lambda$ ：epistemic license；
$\Gamma$ ：context requirements；
$E$ ：evidence references；
$F$ ：failure modes；
$\mathscr H$ ：history / provenance；
$V$ ：version。

Kernel 不是完整 operator。一個 transformation 在形式上能寫出來，不代表它在目前 context 中被允許執行。

Input / output types 決定 operator 是否能合法接線；use type 區分 discovery、audit、control、translation、simulation、certification 與 action preparation；admissibility scope 回答 operator 在什麼條件下可用，而不是它「屬於哪一個 domain」。

因此仍保留：

\boxed{ \mathcal A \neq \mathfrak D }.

Operator identity 也不等於我們當前對 operator 的完整理論：

\boxed{ OperatorIdentity \neq CurrentOperatorTheory }.

ID 可以保留，而 primitive status、型別、邊界與 decomposition 可以版本化修正。

4. 三種不同的「可接」

自然語言中的「A 可以接 B」至少混合三種關係。

4.1 Syntactic concatenability

只要兩個 symbols 都存在，我們總可以寫：

\Omega_i\Omega_j.

這只表示字串成立。

4.2 Type composability

若：

Y_i \cong X_j,

或存在顯式 bridge：

B_{ij}:Y_i\rightarrow X_j,

則 $\Omega_j\circ\Omega_i$ 取得 type-level composability。

4.3 Runtime admissibility

即使 type 相容，仍可能因 authority、scope、epistemic license、resource、history、world legality、active goal 或 invariants 而不能執行。

因此最重要的分離是：

\boxed{ \text{can be written} \not\Rightarrow \text{can be executed} }.

5. Legal Composition

對 operators $\Omega_i,\Omega_j$ 與 context $\Gamma$ ，定義：

\mathcal L_\Gamma( \Omega_j\circ\Omega_i ) \in \{ \mathsf{Legal}, \mathsf{Illegal}, \mathsf{Undetermined}, \mathsf{Conflicted} \}.

最低 legal guard：

\boxed{ G_\Gamma = TypeCheck \land ScopeCheck \land LicenseCheck \land InterfaceCheck \land UseTypeCheck \land InvariantCheck }.

若涉及外部世界操作，還需要 AuthorityCheck、CapabilityCheck 與 WorldLegalityCheck。

四態必須保留：Undetermined 不得偷轉成 Legal 或 Illegal；Conflicted 則表示不同有效 constraints / certificates 對 legality 給出不相容結果。

6. Operator Application 是 Partial Function

對 cognitive state $s_t$ 、context $\Gamma_t$ 、history $H_t$ ，operator application 寫成：

\boxed{ Eval( \Omega, s_t, \Gamma_t, H_t ) \rightharpoonup ( s_{t+1}, a_t, c_t, H_{t+1} ) }.

其中：

$s_{t+1}$ ：更新後 cognitive/runtime state；
$a_t$ ：產生的 artifact；
$c_t$ ：certificate / legality / failure record；
$H_{t+1}$ ：追加後 history。

$\rightharpoonup$ 表示 partiality。

如果 type、scope、license、resource 或 legality 不成立，application 可以不定義。

而：

UndefinedApplication

與：

DefinedFailureOutput

必須分開。前者表示不應執行，後者表示合法執行但得到 failure / negative evidence。

7. Operator Word

設 operator alphabet $\mathcal O$ ，syntax-level word：

w = \Omega_{i_1} \Omega_{i_2} \cdots \Omega_{i_n}.

定義：

|w|=n.

但 CODT 真正關心 admissible word。

若每一個 prefix：

w_k = \Omega_{i_1} \cdots \Omega_{i_k}

都在對應 runtime state 與 context 下有 defined evaluation，則：

\boxed{ w \in \mathcal W_{\Gamma,H}^{adm} }.

因此：

\mathcal W_{\Gamma,H}^{adm} \subseteq \mathcal O^*.

而這個 admissible subset 會隨 $\Gamma,H$ 改變。

8. Non-Commutativity

CODT 一般假設：

\boxed{ \Omega_i\circ\Omega_j \neq \Omega_j\circ\Omega_i }.

這不是修辭，而是 dependency。

例如：

SelectBridgeBasis \rightarrow TransformRepresentation

通常有定義；反方向可能缺 transform contract。

又例如：

CheckAuthority \rightarrow EmitActionRequest

與：

EmitActionRequest \rightarrow CheckAuthority

具有不同安全語義。

再例如：

Calibrate \rightarrow SampleSignal

與：

SampleSignal \rightarrow Calibrate

產生不同 measurement license。

因此 non-commutativity 本質上是：

\boxed{ \text{history-sensitive legality} }.

9. Syntax Associativity 與 Semantic Associativity

字串 concatenation 本身滿足：

(w_1w_2)w_3 = w_1(w_2w_3).

但 semantic execution 不一定繼承。

若中間步驟會改變 memory、belief、resource budget、active representation、authority、observer state、world presentation 或 certificate，則：

(\Omega_3\circ\Omega_2)\circ\Omega_1

與：

\Omega_3\circ(\Omega_2\circ\Omega_1)

可能具有不同 intermediate state contract。

因此定義 Associativity Certificate：

AssocCert_\Gamma( \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3 ).

只有當 intermediate types、side effects、history guards、resource accounting、epistemic license 與 representation bridge semantics 都保持等價時，才允許：

\boxed{ (\Omega_3\circ\Omega_2)\circ\Omega_1 \equiv_\Gamma \Omega_3\circ(\Omega_2\circ\Omega_1) }.

所以：

\boxed{ \text{Syntax Associativity} \not\Rightarrow \text{Semantic Associativity} }.

10. Identity Operator 只能是型別局部的

對 type $X$ 可以定義：

Id_X:X\rightarrow X.

但 identity 至少不得隱性改變 epistemic license、provenance、world state、representation semantics 或被宣告為零成本的 resource ledger。

真實 runtime 中，即使 no-op 也可能消耗 time、token、energy 或寫入 history。

因此：

\boxed{ SemanticIdentity \neq ZeroCostExecution }.

11. Legal 不等於 True

若：

\mathcal L_\Gamma(w)=\mathsf{Legal},

只表示這條 operator word 可以依目前 contract 執行。

它不推出：

Truth(Output(w)).

合法 abduction 可以產生錯誤 hypothesis；合法 analogy 可以產生後續被否證的 candidate；合法 measurement 可以因 noise 產生 inaccurate estimate。

所以：

\boxed{Legal\neq True},

\boxed{Legal\neq Progress},

\boxed{Legal\neq Useful},

\boxed{Legal\neq Certified}.

CODT 至少需要正交區分：

\boxed{ Legality, Validity, Utility, Certification }.

12. Epistemic License Propagation

不同 operators 不只是輸出不同資料，也輸出不同「可以被相信到什麼程度」的 license。

定義：

\Lambda(\Omega,a,\Gamma)

為 operator 對 artifact $a$ 產生的 epistemic license。

例如：

GenerateCandidate \rightarrow \Lambda_{candidate},

Analogy \rightarrow \Lambda_{transfer-candidate},

Deduce \rightarrow \Lambda_{derivation}.

但 license propagation 不能預設為單調升級。

若：

a \xrightarrow{\Omega_1} b \xrightarrow{\Omega_2} c,

不能預設：

\Lambda(c) = \max( \Lambda(a), \Lambda(b) ).

CODT 因此禁止：

\boxed{ \text{License Laundering} }.

低資格 evidence 不能因經過很多形式加工，就自動變成高資格 knowledge claim。

13. Representation Bridge 必須顯式存在

若 $Y_i$ 與 $X_j$ 不在同一 representation space，不能因「語義大概接得起來」就直接 composition。

必須插入：

B_{ij}:Y_i\rightarrow X_j.

bridge 至少需要：source representation declaration、target representation declaration、bridge basis、transform rule、preservation target 與 loss record。

因此：

\boxed{ SemanticSimilarity \not\Rightarrow TypeIdentity }.

14. Relative Atomicity

令：

\mathcal L_t

表示時間 $t$ 的 operator language / representation system； $\mathcal E_t$ 表示目前 evidence； $R_t$ 表示 resolution； $B_t$ 表示 decomposition budget。

則 atomicity 應寫成：

\boxed{ Atomic( \Omega \mid \mathcal L_t, \mathcal E_t, R_t, B_t, \Gamma ) }.

而不是永恆的：

Atomic(\Omega).

所以：

\boxed{ Atomic_t(\Omega) \not\Rightarrow Atomic_{t+1}(\Omega) }.

這就是 CODT 的 relative atomicity。

15. 什麼才算有效 decomposition

把一個 operator 名稱拆成五個新名詞，不叫 decomposition success。

對：

D(\Omega) = ( \omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n ), \quad n>1,

至少需要通過六個條件。

15.1 Type Preservation

新 word 的總 input/output contract 應與原 operator interface 相容：

X_\Omega\cong X_D,

Y_\Omega\cong Y_D.

若有 representation conversion，必須明示 bridge。

15.2 Behavioral Preservation

在宣告 scope $Q$ 內：

\boxed{ Eval(\Omega,x) \approx_Q Eval(D(\Omega),x) }.

這不是要求 implementation detail 完全相同，而是要求指定 invariants 被保留。

15.3 Boundary Preservation

原本 $B^-_\Omega,B^+_\Omega$ 的必要條件與排除條件不能因拆解而消失。

15.4 Failure Explanatory Gain

好的 decomposition 應能把原本模糊的：

Fail(\Omega)

局部化成：

Fail(\omega_k)

或 operator-interface failure。

15.5 Trace Replayability

舊 trace $H^{old}$ 必須能透過 versioned mapping 解讀：

\Omega^{old} \mapsto D_t(\Omega).

不能因為新 decomposition 出現，就宣稱舊 operator 從未存在。

15.6 Non-Triviality

不能只寫：

\Omega=Id\circ\Omega

或兩個 rename functions。

分解至少應增加 reuse、type clarity、boundary clarity、failure localization、predictive value、runtime control 或 independent testability 中的一項實質結構價值。

16. Effective Atomicity Criterion

在條件：

C_t = ( \mathcal L_t, \mathcal E_t, R_t, B_t, \Gamma )

下，若不存在 decomposition $D$ 同時滿足：

legal；
non-trivial；
interface-preserving；
boundary-preserving；
replayable；
帶來足夠 decomposition gain；

則：

\boxed{ Atomic_t^{eff}(\Omega\mid C_t) }.

CODT 研究的是有效停止點，而不是假定宇宙存在永恆 cognitive periodic table。

17. Reclassification 不是刪除

Relative atomicity 最重要的工程後果是：primitive 被拆掉後，舊資料不能被重寫。

一個 operator record 可以經歷：

atomic\_candidate \rightarrow cluster\_candidate \rightarrow macro\_candidate.

但 OperatorID 可以保留。

例如 COG-OBS-002 Attend 在舊版本可以是 atomic candidate，新版可以成為 macro candidate，並附 decomposition：

Attend_0 = SustainFocus \circ GateInput \circ OrientFocus \circ SetAlertState.

因此：

\boxed{ Reclassification \neq HistoryRewrite }.

新版理論可以改寫「我們現在怎麼理解舊 operator」，不能改寫「舊 runtime 當時記錄了什麼」。

18. 已發生的 Relative Atomicity 案例

CDD Experimental Foundations 已經出現多個實際案例。

18.1 Retain

\boxed{ Retain_0 = StoreMemory \circ IndexMemory \circ Encode }.

Retain 因此降為 macro candidate。

18.2 Measure

\boxed{ Measure_0 = EstimateUncertainty \circ AttachUnit \circ MapValue \circ SampleSignal \circ Calibrate \circ SelectScale \circ SpecifyQuantity }.

這使「measurement」不再等同於「assign a number」。

18.3 Attend

\boxed{ Attend_0 = SustainFocus \circ GateInput \circ OrientFocus \circ SetAlertState }.

更重要的是 attention 後來被發現同時服務 observation、search、memory、planning、proof 與 generation，因此原本的 Observation 位置被 shared-bottom structure 改寫。

18.4 AlignRepresentation

後續被拆入 representation-space declaration、bridge-basis selection、transform 與 preservation audit，因此不再適合作為 primitive。

18.5 Hypothesize

後續 decomposition pressure 指向 generic generation、search、memory retrieval、analogy、counterfactual mutation 與 decision/ranking，因此更像 domain-constrained program。

18.6 RankHypothesis

被重新定位到 Decision / Evaluation shared-bottom。

18.7 SeekDisconfirmingCase

被重新理解為：

\boxed{ \text{goal-conditioned search specialization} }.

Refutation 提供 target polarity，Search 提供 traversal machinery。

19. Atomicity Review Protocol

所有 primitive candidate 都應接受週期性 review。

Step 1：Freeze Current Record

固定 operator version、types、boundaries、license、failure modes 與 evidence。

Step 2：Collect Decomposition Pressure

來源可包括：新 shared-bottom family、重複 implementation、failure localization、cross-domain reuse、type ambiguity、representation mismatch、external evidence 與 runtime trace structure。

Step 3：Generate Candidate Decompositions

D_1,D_2,\ldots,D_m.

Step 4：Run Preservation Tests

檢查 Type、Behavior、Boundary、License、History。

Step 5：Run Gain Tests

檢查 reuse、auditability、compression、prediction、control 與 failure diagnosis 是否增加。

Step 6：Reclassify

輸出可以是：keep atomic candidate、cluster candidate、macro candidate、deprecated compatibility 或 unresolved。

Step 7：Preserve Historical Mapping

新理論不能刪除舊 trace。

20. 五種不同的「等價」

CODT 至少區分：

syntactic equivalence；
type equivalence；
behavioral equivalence；
epistemic equivalence；
runtime equivalence。

因此：

\boxed{ SyntaxEq \not\Rightarrow BehaviorEq \not\Rightarrow EpistemicEq }.

這是之後 domain quotient 必須非常小心的原因。

21. Side Effects 是 cognition 的一級物件

實際 cognition 充滿 state effects：memory write、belief update、focus shift、resource consumption、plan-state modification、certificate generation、failure trace 與 world-facing request。

因此 operator 最好不要只寫：

\Omega:X\rightarrow Y.

而寫：

\boxed{ \Omega: (X,S,H,\Gamma) \rightharpoonup (Y,S',H',C) }.

這使「同樣 input/output type」不再足以判定 operators 可交換或可重排。

22. Resource-Bounded Composition

合法性必須再和 executable-now 分開。

若：

Cost(w)>B_t,

則即使：

Legal_t(w)=True,

當前 runtime 仍可能無法完成。

因此：

\boxed{ Executable_t(w) = Legal_t(w) \land Cost(w)\leq B_t }.

所以：

\boxed{ Legal \neq ExecutableNow }.

23. Operator Program

Operator program $\mathcal P$ 不只是單一 word，它可以包含：serial composition、parallel branches、conditional routing、loops、recursion、fallback、certification branch、rollback 與 stop condition。

因此第一篇的 Method-as-Program 可以改寫成：

\boxed{ Method = Program( \mathcal O, Topology, Policy, Context, Budget ) }.

一個 method 的 identity 可以來自穩定 program topology，而不需要任何一個 operator 成為其不可拆的「本質」。

24. Operator Algebra 不是 Domain Algebra

本文定義的是：

\mathfrak A_{\mathrm{Cog}},

不是：

\mathfrak D.

operator algebra 回答：有哪些 operators、如何 type、如何 composition、何時 undefined、何時 legal、如何保留 history、primitive 如何被拆解。

domain theory 才回答：哪些 operators / programs 在 runtime 中形成穩定作用區、如何重疊、如何形成 boundary，以及是否具有 predictive / compressive / operational value。

所以：

\boxed{ \text{Operator Algebra} \neq \text{Domain Ontology} }.

25. CODT-02 的形式化憲法增補

在 CODT-01 的 C0-C8 基礎上，本文增加：

CODT-C9：Partiality by Default

\boxed{ \text{Operator application is partial unless totality is certified.} }

CODT-C10：Syntax-Execution Separation

\boxed{ SyntacticWord \neq ExecutableWord }.

CODT-C11：Local Associativity Only

\boxed{ \text{Syntactic associativity} \not\Rightarrow \text{semantic associativity} }.

CODT-C12：Legal-Truth Separation

\boxed{ Legal \neq True \neq Certified }.

CODT-C13：Explicit Bridge

representation mismatch 必須顯式插入 bridge。

CODT-C14：Relative Atomicity

\boxed{ Atomic_t(\Omega) \not\Rightarrow Atomic_{t+1}(\Omega) }.

CODT-C15：Non-Destructive Reclassification

\boxed{ Reclassification \neq HistoryRewrite }.

CODT-C16：Resource-Aware Executability

\boxed{ Legal \neq ExecutableNow }.

26. 外部數學邊界

本文使用 partial algebra、free monoid、typed composition 等外部數學語言作形式化參照。

標準 partial algebra 提供：

\text{operation may be undefined on part of its input domain}.

free monoid 提供：

\text{finite ordered words under concatenation}.

typed lambda calculus / category-theoretic semantics 則提供 type-respecting composition 的一般背景。

但 CODT 額外加入：

\boxed{ Context, License, Boundary, History, Resource, Failure, Certificate, Observer, WorldInterface }.

因此本文較精確的描述是：

\boxed{ \text{typed contextual partial operational algebra candidate} }.

這是一個對 CODT 設計的描述，不是宣稱已有同名標準數學類別。

27. 相對原子性作為理論自我防錯機制

如果一個理論一開始就宣布「這些東西就是人類心智真正原子」，任何新 evidence 都只能被強迫塞進既有 ontology。

CODT 選擇相反方向。

primitive 是：

\boxed{ \text{current best stopping point} }

而不是：

\boxed{ \text{eternal cognitive atom} }.

這使 CODT 可以在不摧毀 history 的情況下持續：

\text{recover} \rightarrow \text{decompose} \rightarrow \text{reclassify} \rightarrow \text{reuse}.

因此 relative atomicity 不只是 operator engineering，也是 CODT 的 epistemic humility mechanism。

28. 與下一篇的接口

有了本文，下一篇才真正可以問：

哪些 operators 應該被視為同一個 domain 的穩定構件？

答案不能再是「因為它們名字都叫歸納」。

下一篇會要求 domain candidate 從 legal operator reuse、type compatibility、shared license、recurrent composition、invariant profile、failure boundary、flow、history、compression 與 predictive value 中產生。

因此：

\boxed{ \text{Operator Algebra} \rightarrow \text{Operator Ecology} \rightarrow \text{Domain Emergence} }.

CODT-02 的責任就是把第一個箭頭固定。

結論

CODT 將 cognition 拆成 operators，不代表 cognition 被簡化成一串任意可拼接的積木。

真正的認知算子系統必須同時面對：

\text{type}, \text{partiality}, \text{legality}, \text{non-commutativity}, \text{history}, \text{side effects}, \text{license}, \text{resource}, \text{failure}, \text{certificate}.

因此 cognitive operator word 只有在 syntax 上像 word；在 runtime 上，它更像一條條件化、部分定義、帶狀態與證書的合法 execution path。

而 primitive 也不再是不可挑戰的 ontology。

CODT 的 relative atomicity 只宣告：

\boxed{ \text{在目前能看見、能表示、能測試與能計算的條件下，暫時沒有更好的合法分解。} }

一旦新的 shared-bottom structure、failure evidence、representation 或 runtime trace 出現，primitive 可以被拆解、降級與重新使用。

本文最重要的結論因此是：

\boxed{ \text{Operator identity can persist while operator theory changes.} }

只有做到這一步，CODT 才能在後續真正研究 domain emergence，而不是把一套預先決定的 cognitive atoms 換個名字重新分類。

參考文獻與形式化參照

A. 外部形式化參照

Grätzer, G. (1979). Universal Algebra, 2nd ed. Springer-Verlag.
Burmeister, P. A Model Theoretic Oriented Approach to Partial Algebras. partial operations / partial-algebra structure 的經典參照。
Sakarovitch, J. (2009). Elements of Automata Theory. Cambridge University Press. free monoid / words / concatenation 作 syntax-level 參照。
Pierce, B. C. (2002). Types and Programming Languages. MIT Press. typed terms、typing discipline 與 operational semantics 的一般參照。
Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician, 2nd ed. Springer. composition / identity / categorical structure 作背景參照。

邊界聲明： CODT 不宣稱 cognitive operator algebra 等同於上述任一標準數學結構。partial algebra、free monoid、type-respecting composition 只提供形式化比較語言；CODT 額外加入語境合法性、認識資格、邊界、history、resource、failure、certificate、observer 與 World interface。

B. 內部理論來源

CODT-01〈從認知方法到認知算子：認知解構學的域化轉向〉。
Neo.K, 《認知解構學正式定義方法論 2.0》。
GCORF / General Cognitive Operator Reverse Engineering Framework。
CDD Phase 0 v0.1-v0.3 operator recovery / shared-bottom SourcePacks。
HSO v0.8 / Ecological Geometry Atlas。
MWT v0.1 / Mathematical World Theory SourcePack。
CDD Phase 0 v0.4-v0.11 Experimental Foundations，作後續 domain / atlas / world-coupling falsification context。

版本記錄

v1.0

正式建立 CODT cognitive operator algebra candidate。
定義 operator object、partial application、legal composition 與 admissible operator word。
區分 syntax concatenation、type composability 與 runtime legality。
固定 non-commutativity 與 local associativity certificate。
區分 Legal、True、Useful、Certified 與 ExecutableNow。
正式定義 relative atomicity 與 effective decomposition criteria。
建立 non-destructive operator reclassification contract。
納入 Retain、Measure、Attend、AlignRepresentation、Hypothesize、RankHypothesis、SeekDisconfirmingCase 等既有重分類案例。
為 CODT-03 的 domain emergence 提供 operator-level 基礎。