# CODT-02
# 認知算子代數與相對原子性
## Cognitive Operator Algebra and Relative Atomicity

**系列：** Cognitive Operator-Domain Theory, CODT / 認知算子-域理論  
**系列篇次：** 02 / 10  
**版本：** v1.0  
**日期：** 2026-08-20  
**作者：** Neo.K  
**機構脈絡：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**文件性質：** 理論論文 / 算子形式化篇  
**前篇：** CODT-01〈從認知方法到認知算子：認知解構學的域化轉向〉

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## 摘要

CODT-01 已提出「Operator Before Domain」：認知域不得由歷史方法名稱直接指定，而應先從可重用認知作用、合法組合、運行歷史與失效邊界中後生。本文進一步回答：若認知方法要被拆成算子，這些算子究竟構成什麼樣的形式結構？

本文提出 **型別化、語境化、部分定義的認知算子代數候選**（typed contextual partial cognitive operator algebra candidate）。其核心不是宣稱 cognition 已經是一個標準代數結構，而是明確區分：算子語法、型別相容性、語境合法性、實際執行、認識資格與歷史證書。對 cognitive operator $\Omega$，本文沿用並收斂既有 operator object：

$$
\Omega
=
(
K,
X,
Y,
U,
\mathcal A,
\Sigma,
B^-,
B^+,
\Lambda,
\Gamma,
E,
F,
\mathscr H,
V
).
$$

本文主張：composition 預設為 partial；operator words 在 syntax level 可用 ordered words 表示，但 semantic execution 不等同於任意 concatenation；一般情況下 composition 非交換，且只有在中間型別、語境、history side effects、resource 與 epistemic license 都相容時，才可取得局部 associativity certificate。合法 composition 也不等於 truth、progress、utility 或 certification。

本文同時正式化 **相對原子性**。一個 operator 在時間 $t$ 被視為 primitive，只表示在當前表示語言、觀察解析度、證據、型別系統與計算預算下，尚未存在更好的合法分解：

$$
Atomic_t(\Omega)
\not\Rightarrow
Atomic_{t+1}(\Omega).
$$

有效分解不只要求把一個名稱切成多個名稱，而必須同時通過型別保存、作用保存、邊界保存、trace 可重放、失效解釋與非平凡性檢查。本文以 `Retain`、`Measure`、`Attend`、`AlignRepresentation`、`Hypothesize`、`RankHypothesis`、`SeekDisconfirmingCase` 等既有重分類案例說明：CODT 的 primitive status 是可被新 shared-bottom structure 反證的版本化研究狀態，而非不可撤銷的本體宣告。

本文最後提出 Operator Reclassification Contract，使舊 operator ID、舊 history 與新 decomposition 可以同時保留。這為下一篇「認知域的生成」提供必要基礎：只有當 operator identity、composition 與 atomicity 不再依附於預設 domain，domain emergence 才可能真正具有內容。

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## 關鍵詞

認知算子；CODT；partial algebra；typed composition；operator word；relative atomicity；non-commutativity；cognitive runtime；operator decomposition；epistemic license；history preservation

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# 1. 從「有算子」到「算子如何存在」

CODT-01 已完成第一個轉向：

$$
\boxed{
\text{Method}
\rightarrow
\text{Operator Program}
}
$$

但如果只停在這裡，理論仍可能退化成另一種名詞表。

例如，我們可以把「觀察」拆成 `Access`、`Attend`、`Discriminate`、`RegisterEvidence`、`Measure`，但僅僅列出五個名稱，並不能回答：

- `Access` 的輸入與輸出是什麼？
- `Measure` 能否直接接在任意 observation 後？
- `Attend` 是否只能屬於 Observation？
- `Measure` 若後來被拆解，舊 trace 怎麼處理？
- `Hypothesize` 與 `RankHypothesis` 的 output 是否具有相同 epistemic license？
- syntax 上接得起來，是否代表 runtime 上可以合法執行？
- composition 合法是否等於結論正確？

因此 CODT-02 的問題不是「cognition 是否像數學一樣有一套漂亮代數」，而是：

> 如果 operator 要被 AI、Agent、runtime、驗證器與研究者共同使用，最低需要哪些形式結構，才能避免「能寫在一起」被偷換成「能執行」「能相信」或「是真的」？

本文將這個最低結構稱為：

$$
\boxed{
\mathfrak A_{\mathrm{Cog}}
}
$$

即 cognitive operator algebra candidate。

「algebra」在這裡首先是工程與形式化名稱，不代表本文已證明 $\mathfrak A_{\mathrm{Cog}}$ 屬於某個既有 universal-algebra variety。

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# 2. 為什麼不是普通 monoid

標準 total binary operation 可以寫成：

$$
\star:A\times A\rightarrow A.
$$

這表示 operation 對整個輸入 domain 都有定義。

但 cognition 顯然不是這樣。

`EmitActionRequest` 不能在沒有 ActionSpec 的情況下合法執行；`TransformRepresentation` 不能在 target representation space、bridge basis 或 transform rule 未指定時自由運作；`ApplyBeliefUpdate` 不能在沒有 belief state、evidence support 與 update rule 時被當成總函數。

因此 CODT 更接近 partial operation：

$$
\star:
D_\star
\rightarrow
\mathcal O,
$$

其中：

$$
D_\star
\subsetneq
\mathcal O\times\mathcal O.
$$

標準 partial algebra 研究「operation 只在部分輸入 tuple 上有定義」的結構。CODT 借用這一點作數學參照，但加入更多條件：

- typed input/output；
- context-dependent admissibility；
- epistemic license；
- boundary constraints；
- history dependence；
- side effects；
- representation bridge；
- resource budget；
- certificate；
- failure semantics。

另一方面，ordered operator words 可在 syntax layer 借用 free monoid 的語言。若：

$$
\mathcal O
=
\{\Omega_1,\Omega_2,\ldots\},
$$

所有有限形式字串可寫成：

$$
\mathcal O^*.
$$

但 CODT 不主張：

$$
\boxed{
\mathfrak A_{\mathrm{Cog}}
=
\mathcal O^*
}.
$$

因為 free monoid 允許任意 letters concatenation，而 cognition 不允許任意 operator concatenation。

因此：

$$
\boxed{
\text{SyntacticWord}
\neq
\text{ExecutableOperatorWord}
}.
$$

---

# 3. Cognitive Operator Object

本文採用：

$$
\boxed{
\Omega
=
(
K,X,Y,U,\mathcal A,\Sigma,B^-,B^+,\Lambda,\Gamma,E,F,\mathscr H,V
)
}.
$$

其中：

- $K$：kernel transformation；
- $X$：input types；
- $Y$：output types；
- $U$：use types；
- $\mathcal A$：admissibility scope；
- $\Sigma$：spectrum / measurable profile；
- $B^-$：lower boundary；
- $B^+$：upper / exclusion boundary；
- $\Lambda$：epistemic license；
- $\Gamma$：context requirements；
- $E$：evidence references；
- $F$：failure modes；
- $\mathscr H$：history / provenance；
- $V$：version。

Kernel 不是完整 operator。一個 transformation 在形式上能寫出來，不代表它在目前 context 中被允許執行。

Input / output types 決定 operator 是否能合法接線；use type 區分 discovery、audit、control、translation、simulation、certification 與 action preparation；admissibility scope 回答 operator 在什麼條件下可用，而不是它「屬於哪一個 domain」。

因此仍保留：

$$
\boxed{
\mathcal A
\neq
\mathfrak D
}.
$$

Operator identity 也不等於我們當前對 operator 的完整理論：

$$
\boxed{
OperatorIdentity
\neq
CurrentOperatorTheory
}.
$$

ID 可以保留，而 primitive status、型別、邊界與 decomposition 可以版本化修正。

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# 4. 三種不同的「可接」

自然語言中的「A 可以接 B」至少混合三種關係。

## 4.1 Syntactic concatenability

只要兩個 symbols 都存在，我們總可以寫：

$$
\Omega_i\Omega_j.
$$

這只表示字串成立。

## 4.2 Type composability

若：

$$
Y_i
\cong
X_j,
$$

或存在顯式 bridge：

$$
B_{ij}:Y_i\rightarrow X_j,
$$

則 $\Omega_j\circ\Omega_i$ 取得 type-level composability。

## 4.3 Runtime admissibility

即使 type 相容，仍可能因 authority、scope、epistemic license、resource、history、world legality、active goal 或 invariants 而不能執行。

因此最重要的分離是：

$$
\boxed{
\text{can be written}
\not\Rightarrow
\text{can be executed}
}.
$$

---

# 5. Legal Composition

對 operators $\Omega_i,\Omega_j$ 與 context $\Gamma$，定義：

$$
\mathcal L_\Gamma(
\Omega_j\circ\Omega_i
)
\in
\{
\mathsf{Legal},
\mathsf{Illegal},
\mathsf{Undetermined},
\mathsf{Conflicted}
\}.
$$

最低 legal guard：

$$
\boxed{
G_\Gamma
=
TypeCheck
\land
ScopeCheck
\land
LicenseCheck
\land
InterfaceCheck
\land
UseTypeCheck
\land
InvariantCheck
}.
$$

若涉及外部世界操作，還需要 AuthorityCheck、CapabilityCheck 與 WorldLegalityCheck。

四態必須保留：`Undetermined` 不得偷轉成 `Legal` 或 `Illegal`；`Conflicted` 則表示不同有效 constraints / certificates 對 legality 給出不相容結果。

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# 6. Operator Application 是 Partial Function

對 cognitive state $s_t$ 、context $\Gamma_t$ 、history $H_t$，operator application 寫成：

$$
\boxed{
Eval(
\Omega,
s_t,
\Gamma_t,
H_t
)
\rightharpoonup
(
s_{t+1},
a_t,
c_t,
H_{t+1}
)
}.
$$

其中：

- $s_{t+1}$：更新後 cognitive/runtime state；
- $a_t$：產生的 artifact；
- $c_t$：certificate / legality / failure record；
- $H_{t+1}$：追加後 history。

 $\rightharpoonup$ 表示 partiality。

如果 type、scope、license、resource 或 legality 不成立，application 可以不定義。

而：

$$
UndefinedApplication
$$

與：

$$
DefinedFailureOutput
$$

必須分開。前者表示不應執行，後者表示合法執行但得到 failure / negative evidence。

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# 7. Operator Word

設 operator alphabet $\mathcal O$，syntax-level word：

$$
w
=
\Omega_{i_1}
\Omega_{i_2}
\cdots
\Omega_{i_n}.
$$

定義：

$$
|w|=n.
$$

但 CODT 真正關心 admissible word。

若每一個 prefix：

$$
w_k
=
\Omega_{i_1}
\cdots
\Omega_{i_k}
$$

都在對應 runtime state 與 context 下有 defined evaluation，則：

$$
\boxed{
w
\in
\mathcal W_{\Gamma,H}^{adm}
}.
$$

因此：

$$
\mathcal W_{\Gamma,H}^{adm}
\subseteq
\mathcal O^*.
$$

而這個 admissible subset 會隨 $\Gamma,H$ 改變。

---

# 8. Non-Commutativity

CODT 一般假設：

$$
\boxed{
\Omega_i\circ\Omega_j
\neq
\Omega_j\circ\Omega_i
}.
$$

這不是修辭，而是 dependency。

例如：

$$
SelectBridgeBasis
\rightarrow
TransformRepresentation
$$

通常有定義；反方向可能缺 transform contract。

又例如：

$$
CheckAuthority
\rightarrow
EmitActionRequest
$$

與：

$$
EmitActionRequest
\rightarrow
CheckAuthority
$$

具有不同安全語義。

再例如：

$$
Calibrate
\rightarrow
SampleSignal
$$

與：

$$
SampleSignal
\rightarrow
Calibrate
$$

產生不同 measurement license。

因此 non-commutativity 本質上是：

$$
\boxed{
\text{history-sensitive legality}
}.
$$

---

# 9. Syntax Associativity 與 Semantic Associativity

字串 concatenation 本身滿足：

$$
(w_1w_2)w_3
=
w_1(w_2w_3).
$$

但 semantic execution 不一定繼承。

若中間步驟會改變 memory、belief、resource budget、active representation、authority、observer state、world presentation 或 certificate，則：

$$
(\Omega_3\circ\Omega_2)\circ\Omega_1
$$

與：

$$
\Omega_3\circ(\Omega_2\circ\Omega_1)
$$

可能具有不同 intermediate state contract。

因此定義 **Associativity Certificate**：

$$
AssocCert_\Gamma(
\Omega_1,
\Omega_2,
\Omega_3
).
$$

只有當 intermediate types、side effects、history guards、resource accounting、epistemic license 與 representation bridge semantics 都保持等價時，才允許：

$$
\boxed{
(\Omega_3\circ\Omega_2)\circ\Omega_1
\equiv_\Gamma
\Omega_3\circ(\Omega_2\circ\Omega_1)
}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Syntax Associativity}
\not\Rightarrow
\text{Semantic Associativity}
}.
$$

---

# 10. Identity Operator 只能是型別局部的

對 type $X$ 可以定義：

$$
Id_X:X\rightarrow X.
$$

但 identity 至少不得隱性改變 epistemic license、provenance、world state、representation semantics 或被宣告為零成本的 resource ledger。

真實 runtime 中，即使 no-op 也可能消耗 time、token、energy 或寫入 history。

因此：

$$
\boxed{
SemanticIdentity
\neq
ZeroCostExecution
}.
$$

---

# 11. Legal 不等於 True

若：

$$
\mathcal L_\Gamma(w)=\mathsf{Legal},
$$

只表示這條 operator word 可以依目前 contract 執行。

它不推出：

$$
Truth(Output(w)).
$$

合法 abduction 可以產生錯誤 hypothesis；合法 analogy 可以產生後續被否證的 candidate；合法 measurement 可以因 noise 產生 inaccurate estimate。

所以：

$$
\boxed{Legal\neq True},
$$

$$
\boxed{Legal\neq Progress},
$$

$$
\boxed{Legal\neq Useful},
$$

$$
\boxed{Legal\neq Certified}.
$$

CODT 至少需要正交區分：

$$
\boxed{
Legality,
Validity,
Utility,
Certification
}.
$$

---

# 12. Epistemic License Propagation

不同 operators 不只是輸出不同資料，也輸出不同「可以被相信到什麼程度」的 license。

定義：

$$
\Lambda(\Omega,a,\Gamma)
$$

為 operator 對 artifact $a$ 產生的 epistemic license。

例如：

$$
GenerateCandidate
\rightarrow
\Lambda_{candidate},
$$

$$
Analogy
\rightarrow
\Lambda_{transfer-candidate},
$$

$$
Deduce
\rightarrow
\Lambda_{derivation}.
$$

但 license propagation 不能預設為單調升級。

若：

$$
a
\xrightarrow{\Omega_1}
b
\xrightarrow{\Omega_2}
c,
$$

不能預設：

$$
\Lambda(c)
=
\max(
\Lambda(a),
\Lambda(b)
).
$$

CODT 因此禁止：

$$
\boxed{
\text{License Laundering}
}.
$$

低資格 evidence 不能因經過很多形式加工，就自動變成高資格 knowledge claim。

---

# 13. Representation Bridge 必須顯式存在

若 $Y_i$ 與 $X_j$ 不在同一 representation space，不能因「語義大概接得起來」就直接 composition。

必須插入：

$$
B_{ij}:Y_i\rightarrow X_j.
$$

bridge 至少需要：source representation declaration、target representation declaration、bridge basis、transform rule、preservation target 與 loss record。

因此：

$$
\boxed{
SemanticSimilarity
\not\Rightarrow
TypeIdentity
}.
$$

---

# 14. Relative Atomicity

令：

$$
\mathcal L_t
$$

表示時間 $t$ 的 operator language / representation system； $\mathcal E_t$ 表示目前 evidence； $R_t$ 表示 resolution； $B_t$ 表示 decomposition budget。

則 atomicity 應寫成：

$$
\boxed{
Atomic(
\Omega
\mid
\mathcal L_t,
\mathcal E_t,
R_t,
B_t,
\Gamma
)
}.
$$

而不是永恆的：

$$
Atomic(\Omega).
$$

所以：

$$
\boxed{
Atomic_t(\Omega)
\not\Rightarrow
Atomic_{t+1}(\Omega)
}.
$$

這就是 CODT 的 **relative atomicity**。

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# 15. 什麼才算有效 decomposition

把一個 operator 名稱拆成五個新名詞，不叫 decomposition success。

對：

$$
D(\Omega)
=
(
\omega_1,
\omega_2,
\ldots,
\omega_n
),
\quad n>1,
$$

至少需要通過六個條件。

## 15.1 Type Preservation

新 word 的總 input/output contract 應與原 operator interface 相容：

$$
X_\Omega\cong X_D,
$$

$$
Y_\Omega\cong Y_D.
$$

若有 representation conversion，必須明示 bridge。

## 15.2 Behavioral Preservation

在宣告 scope $Q$ 內：

$$
\boxed{
Eval(\Omega,x)
\approx_Q
Eval(D(\Omega),x)
}.
$$

這不是要求 implementation detail 完全相同，而是要求指定 invariants 被保留。

## 15.3 Boundary Preservation

原本 $B^-_\Omega,B^+_\Omega$ 的必要條件與排除條件不能因拆解而消失。

## 15.4 Failure Explanatory Gain

好的 decomposition 應能把原本模糊的：

$$
Fail(\Omega)
$$

局部化成：

$$
Fail(\omega_k)
$$

或 operator-interface failure。

## 15.5 Trace Replayability

舊 trace $H^{old}$ 必須能透過 versioned mapping 解讀：

$$
\Omega^{old}
\mapsto
D_t(\Omega).
$$

不能因為新 decomposition 出現，就宣稱舊 operator 從未存在。

## 15.6 Non-Triviality

不能只寫：

$$
\Omega=Id\circ\Omega
$$

或兩個 rename functions。

分解至少應增加 reuse、type clarity、boundary clarity、failure localization、predictive value、runtime control 或 independent testability 中的一項實質結構價值。

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# 16. Effective Atomicity Criterion

在條件：

$$
C_t
=
(
\mathcal L_t,
\mathcal E_t,
R_t,
B_t,
\Gamma
)
$$

下，若不存在 decomposition $D$ 同時滿足：

1. legal；
2. non-trivial；
3. interface-preserving；
4. boundary-preserving；
5. replayable；
6. 帶來足夠 decomposition gain；

則：

$$
\boxed{
Atomic_t^{eff}(\Omega\mid C_t)
}.
$$

CODT 研究的是有效停止點，而不是假定宇宙存在永恆 cognitive periodic table。

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# 17. Reclassification 不是刪除

Relative atomicity 最重要的工程後果是：primitive 被拆掉後，舊資料不能被重寫。

一個 operator record 可以經歷：

$$
atomic\_candidate
\rightarrow
cluster\_candidate
\rightarrow
macro\_candidate.
$$

但 OperatorID 可以保留。

例如 `COG-OBS-002 Attend` 在舊版本可以是 atomic candidate，新版可以成為 macro candidate，並附 decomposition：

$$
Attend_0
=
SustainFocus
\circ
GateInput
\circ
OrientFocus
\circ
SetAlertState.
$$

因此：

$$
\boxed{
Reclassification
\neq
HistoryRewrite
}.
$$

新版理論可以改寫「我們現在怎麼理解舊 operator」，不能改寫「舊 runtime 當時記錄了什麼」。

---

# 18. 已發生的 Relative Atomicity 案例

CDD Experimental Foundations 已經出現多個實際案例。

## 18.1 Retain

$$
\boxed{
Retain_0
=
StoreMemory
\circ
IndexMemory
\circ
Encode
}.
$$

Retain 因此降為 macro candidate。

## 18.2 Measure

$$
\boxed{
Measure_0
=
EstimateUncertainty
\circ
AttachUnit
\circ
MapValue
\circ
SampleSignal
\circ
Calibrate
\circ
SelectScale
\circ
SpecifyQuantity
}.
$$

這使「measurement」不再等同於「assign a number」。

## 18.3 Attend

$$
\boxed{
Attend_0
=
SustainFocus
\circ
GateInput
\circ
OrientFocus
\circ
SetAlertState
}.
$$

更重要的是 attention 後來被發現同時服務 observation、search、memory、planning、proof 與 generation，因此原本的 Observation 位置被 shared-bottom structure 改寫。

## 18.4 AlignRepresentation

後續被拆入 representation-space declaration、bridge-basis selection、transform 與 preservation audit，因此不再適合作為 primitive。

## 18.5 Hypothesize

後續 decomposition pressure 指向 generic generation、search、memory retrieval、analogy、counterfactual mutation 與 decision/ranking，因此更像 domain-constrained program。

## 18.6 RankHypothesis

被重新定位到 Decision / Evaluation shared-bottom。

## 18.7 SeekDisconfirmingCase

被重新理解為：

$$
\boxed{
\text{goal-conditioned search specialization}
}.
$$

Refutation 提供 target polarity，Search 提供 traversal machinery。

---

# 19. Atomicity Review Protocol

所有 primitive candidate 都應接受週期性 review。

## Step 1：Freeze Current Record

固定 operator version、types、boundaries、license、failure modes 與 evidence。

## Step 2：Collect Decomposition Pressure

來源可包括：新 shared-bottom family、重複 implementation、failure localization、cross-domain reuse、type ambiguity、representation mismatch、external evidence 與 runtime trace structure。

## Step 3：Generate Candidate Decompositions

$$
D_1,D_2,\ldots,D_m.
$$

## Step 4：Run Preservation Tests

檢查 Type、Behavior、Boundary、License、History。

## Step 5：Run Gain Tests

檢查 reuse、auditability、compression、prediction、control 與 failure diagnosis 是否增加。

## Step 6：Reclassify

輸出可以是：keep atomic candidate、cluster candidate、macro candidate、deprecated compatibility 或 unresolved。

## Step 7：Preserve Historical Mapping

新理論不能刪除舊 trace。

---

# 20. 五種不同的「等價」

CODT 至少區分：

1. syntactic equivalence；
2. type equivalence；
3. behavioral equivalence；
4. epistemic equivalence；
5. runtime equivalence。

因此：

$$
\boxed{
SyntaxEq
\not\Rightarrow
BehaviorEq
\not\Rightarrow
EpistemicEq
}.
$$

這是之後 domain quotient 必須非常小心的原因。

---

# 21. Side Effects 是 cognition 的一級物件

實際 cognition 充滿 state effects：memory write、belief update、focus shift、resource consumption、plan-state modification、certificate generation、failure trace 與 world-facing request。

因此 operator 最好不要只寫：

$$
\Omega:X\rightarrow Y.
$$

而寫：

$$
\boxed{
\Omega:
(X,S,H,\Gamma)
\rightharpoonup
(Y,S',H',C)
}.
$$

這使「同樣 input/output type」不再足以判定 operators 可交換或可重排。

---

# 22. Resource-Bounded Composition

合法性必須再和 executable-now 分開。

若：

$$
Cost(w)>B_t,
$$

則即使：

$$
Legal_t(w)=True,
$$

當前 runtime 仍可能無法完成。

因此：

$$
\boxed{
Executable_t(w)
=
Legal_t(w)
\land
Cost(w)\leq B_t
}.
$$

所以：

$$
\boxed{
Legal
\neq
ExecutableNow
}.
$$

---

# 23. Operator Program

Operator program $\mathcal P$ 不只是單一 word，它可以包含：serial composition、parallel branches、conditional routing、loops、recursion、fallback、certification branch、rollback 與 stop condition。

因此第一篇的 Method-as-Program 可以改寫成：

$$
\boxed{
Method
=
Program(
\mathcal O,
Topology,
Policy,
Context,
Budget
)
}.
$$

一個 method 的 identity 可以來自穩定 program topology，而不需要任何一個 operator 成為其不可拆的「本質」。

---

# 24. Operator Algebra 不是 Domain Algebra

本文定義的是：

$$
\mathfrak A_{\mathrm{Cog}},
$$

不是：

$$
\mathfrak D.
$$

operator algebra 回答：有哪些 operators、如何 type、如何 composition、何時 undefined、何時 legal、如何保留 history、primitive 如何被拆解。

domain theory 才回答：哪些 operators / programs 在 runtime 中形成穩定作用區、如何重疊、如何形成 boundary，以及是否具有 predictive / compressive / operational value。

所以：

$$
\boxed{
\text{Operator Algebra}
\neq
\text{Domain Ontology}
}.
$$

---

# 25. CODT-02 的形式化憲法增補

在 CODT-01 的 C0-C8 基礎上，本文增加：

## CODT-C9：Partiality by Default

$$
\boxed{
\text{Operator application is partial unless totality is certified.}
}
$$

## CODT-C10：Syntax-Execution Separation

$$
\boxed{
SyntacticWord
\neq
ExecutableWord
}.
$$

## CODT-C11：Local Associativity Only

$$
\boxed{
\text{Syntactic associativity}
\not\Rightarrow
\text{semantic associativity}
}.
$$

## CODT-C12：Legal-Truth Separation

$$
\boxed{
Legal
\neq
True
\neq
Certified
}.
$$

## CODT-C13：Explicit Bridge

representation mismatch 必須顯式插入 bridge。

## CODT-C14：Relative Atomicity

$$
\boxed{
Atomic_t(\Omega)
\not\Rightarrow
Atomic_{t+1}(\Omega)
}.
$$

## CODT-C15：Non-Destructive Reclassification

$$
\boxed{
Reclassification
\neq
HistoryRewrite
}.
$$

## CODT-C16：Resource-Aware Executability

$$
\boxed{
Legal
\neq
ExecutableNow
}.
$$

---

# 26. 外部數學邊界

本文使用 partial algebra、free monoid、typed composition 等外部數學語言作形式化參照。

標準 partial algebra 提供：

$$
\text{operation may be undefined on part of its input domain}.
$$

free monoid 提供：

$$
\text{finite ordered words under concatenation}.
$$

typed lambda calculus / category-theoretic semantics 則提供 type-respecting composition 的一般背景。

但 CODT 額外加入：

$$
\boxed{
Context,
License,
Boundary,
History,
Resource,
Failure,
Certificate,
Observer,
WorldInterface
}.
$$

因此本文較精確的描述是：

$$
\boxed{
\text{typed contextual partial operational algebra candidate}
}.
$$

這是一個對 CODT 設計的描述，不是宣稱已有同名標準數學類別。

---

# 27. 相對原子性作為理論自我防錯機制

如果一個理論一開始就宣布「這些東西就是人類心智真正原子」，任何新 evidence 都只能被強迫塞進既有 ontology。

CODT 選擇相反方向。

primitive 是：

$$
\boxed{
\text{current best stopping point}
}
$$

而不是：

$$
\boxed{
\text{eternal cognitive atom}
}.
$$

這使 CODT 可以在不摧毀 history 的情況下持續：

$$
\text{recover}
\rightarrow
\text{decompose}
\rightarrow
\text{reclassify}
\rightarrow
\text{reuse}.
$$

因此 relative atomicity 不只是 operator engineering，也是 CODT 的 epistemic humility mechanism。

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# 28. 與下一篇的接口

有了本文，下一篇才真正可以問：

> 哪些 operators 應該被視為同一個 domain 的穩定構件？

答案不能再是「因為它們名字都叫歸納」。

下一篇會要求 domain candidate 從 legal operator reuse、type compatibility、shared license、recurrent composition、invariant profile、failure boundary、flow、history、compression 與 predictive value 中產生。

因此：

$$
\boxed{
\text{Operator Algebra}
\rightarrow
\text{Operator Ecology}
\rightarrow
\text{Domain Emergence}
}.
$$

CODT-02 的責任就是把第一個箭頭固定。

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# 結論

CODT 將 cognition 拆成 operators，不代表 cognition 被簡化成一串任意可拼接的積木。

真正的認知算子系統必須同時面對：

$$
\text{type},
\text{partiality},
\text{legality},
\text{non-commutativity},
\text{history},
\text{side effects},
\text{license},
\text{resource},
\text{failure},
\text{certificate}.
$$

因此 cognitive operator word 只有在 syntax 上像 word；在 runtime 上，它更像一條條件化、部分定義、帶狀態與證書的合法 execution path。

而 primitive 也不再是不可挑戰的 ontology。

CODT 的 relative atomicity 只宣告：

$$
\boxed{
\text{在目前能看見、能表示、能測試與能計算的條件下，暫時沒有更好的合法分解。}
}
$$

一旦新的 shared-bottom structure、failure evidence、representation 或 runtime trace 出現，primitive 可以被拆解、降級與重新使用。

本文最重要的結論因此是：

$$
\boxed{
\text{Operator identity can persist while operator theory changes.}
}
$$

只有做到這一步，CODT 才能在後續真正研究 domain emergence，而不是把一套預先決定的 cognitive atoms 換個名字重新分類。

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# 參考文獻與形式化參照

## A. 外部形式化參照

1. Grätzer, G. (1979). *Universal Algebra*, 2nd ed. Springer-Verlag.
2. Burmeister, P. *A Model Theoretic Oriented Approach to Partial Algebras*. partial operations / partial-algebra structure 的經典參照。
3. Sakarovitch, J. (2009). *Elements of Automata Theory*. Cambridge University Press. free monoid / words / concatenation 作 syntax-level 參照。
4. Pierce, B. C. (2002). *Types and Programming Languages*. MIT Press. typed terms、typing discipline 與 operational semantics 的一般參照。
5. Mac Lane, S. (1998). *Categories for the Working Mathematician*, 2nd ed. Springer. composition / identity / categorical structure 作背景參照。

**邊界聲明：** CODT 不宣稱 cognitive operator algebra 等同於上述任一標準數學結構。partial algebra、free monoid、type-respecting composition 只提供形式化比較語言；CODT 額外加入語境合法性、認識資格、邊界、history、resource、failure、certificate、observer 與 World interface。

## B. 內部理論來源

1. CODT-01〈從認知方法到認知算子：認知解構學的域化轉向〉。
2. Neo.K, 《認知解構學正式定義方法論 2.0》。
3. GCORF / General Cognitive Operator Reverse Engineering Framework。
4. CDD Phase 0 v0.1-v0.3 operator recovery / shared-bottom SourcePacks。
5. HSO v0.8 / Ecological Geometry Atlas。
6. MWT v0.1 / Mathematical World Theory SourcePack。
7. CDD Phase 0 v0.4-v0.11 Experimental Foundations，作後續 domain / atlas / world-coupling falsification context。

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# 版本記錄

## v1.0

- 正式建立 CODT cognitive operator algebra candidate。
- 定義 operator object、partial application、legal composition 與 admissible operator word。
- 區分 syntax concatenation、type composability 與 runtime legality。
- 固定 non-commutativity 與 local associativity certificate。
- 區分 Legal、True、Useful、Certified 與 ExecutableNow。
- 正式定義 relative atomicity 與 effective decomposition criteria。
- 建立 non-destructive operator reclassification contract。
- 納入 Retain、Measure、Attend、AlignRepresentation、Hypothesize、RankHypothesis、SeekDisconfirmingCase 等既有重分類案例。
- 為 CODT-03 的 domain emergence 提供 operator-level 基礎。