LRC–COL-05：基底大小—組合深度—表達能力交換律

The Tradeoff Law of Basis Size, Composition Depth, and Expressive Capacity

系列：LRC–COL — Language–Reality Coupling & Composite Operator Language
中文：語言—現實耦合與複合算子語言系列
版本：v0.1
日期：2026-08-21 作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

LRC–COL-03 與 LRC–COL-04 分別建立了複合符號算子語言的有效下界與有效上界：operator 太少，目標域覆蓋不足、組合深度過高；operator 太多，則出現 selection entropy、semantic collision、context cost、version burden 與 active-set overload。兩篇合起來得到一個靜態有效區間：

N_{\min}^{effective} \le N \le N_{\max}^{effective}.

但這仍沒有回答真正的語言設計核心：

在這個區間內，多增加一個 operator，到底可以換回多少 composition depth、多少語義保真、多少學習成本、多少執行效率與多少 action yield？

本文提出 Basis–Depth–Expressivity Tradeoff（基底—深度—表達能力交換律），把 operator 數量 $N$ 、組合深度 $d$ 、operator 粒度 $g$ 、有效表達容量 $C_{eff}$ 、語義保真 $F_{sem}$ 、學習成本 $C_{learn}$ 、選擇成本 $C_{sel}$ 與 Language Action Yield $Y_L$ 放入同一聯合模型。

本文首先指出：在最粗略的無型別近似中，若一個語言有 $N$ 個 operator、最大組合深度 $d$ ，可生成的 syntactic structures 數量通常會隨 $N$ 與 $d$ 超線性甚至指數級成長；因此較大的 $N$ 可以用較淺的 $d$ 達到相似表達覆蓋。但 syntactic capacity 不等於 effective semantic capacity。大量 expression 可能非法、同義、不可學、不可穩定執行，故真正有效容量必須乘上 validity、semantic distinctness、learnability 與 fidelity 修正。

本文提出一個粗略但有用的容量關係：

\boxed{ C_{eff}(N,d,g) = C_{syn}(N,d,g) \cdot p_{valid} \cdot p_{distinct} \cdot p_{learn} \cdot p_{faithful}. }

並進一步提出一個候選交換約束：若目標域中至少有 $M_{eff}$ 個必須可區分的有效行為，而每個 operator 在平均深度上提供約 $\log N$ 的選擇資訊，則在簡化條件下可能存在：

\boxed{ d\log N \gtrsim \log M_{eff}, }

或：

\boxed{ N \gtrsim M_{eff}^{1/d}. }

這不是普遍定理，而是第一版「基底變大可以換深度下降」的資訊容量近似。

本文另外建立 Depth Fidelity Law：若每一層 composition 的平均條件保真率為 $q<1$ ，最簡獨立近似下：

F_{comp}(d) \approx q^d.

因此，對目標保真門檻 $\tau_F$ ，存在：

\boxed{ d_{\max}^{F} = \frac{\ln\tau_F}{\ln q}. }

這使 macro operator、crystallized operator 與 higher-granularity operator 的價值可以第一次用「省下幾層 composition 所換回的 fidelity」來衡量，而不只看 token 壓縮。

本文最終將最佳語言設計寫成：

\boxed{ (N^*,d^*,g^*) = \arg\max J(N,d,g) }

subject to coverage、fidelity、learning、selection、risk 與 active-set constraints。本文主張未來 AI-native composite language 的真正設計對象不是「最小字典」或「最多 operator」，而是一個 Basis–Depth–Granularity Pareto Surface。

關鍵詞

operator basis；composition depth；expressivity；granularity；semantic fidelity；compositional generalization；macro operator；RISC/CISC；Pareto frontier；AI-native language

1. 上下界之間真正缺的東西

前兩篇已經得到：

N_{\min}^{effective}

與：

N_{\max}^{effective}.

但假設：

N_{\min}=20, \qquad N_{\max}=200.

那麼到底：

30 好？
60 好？
100 好？
150 好？

仍然不知道。

因為：

\boxed{ N }

本身不是效用。

真正要看：

\boxed{ N \rightarrow d \rightarrow F_{sem} \rightarrow C_{learn} \rightarrow C_{exec} \rightarrow Y_L. }

2. 第一條基本交換律

直覺上：

N\downarrow \Rightarrow d\uparrow.

因為 primitive 少，高階能力需要更多層 composition。

反之：

N\uparrow \Rightarrow d\downarrow.

因為更多中階／高階 operator 可以直接承載常見子程序。

因此：

\boxed{ N \leftrightarrow d. }

但這不是嚴格線性，真正關係更像：

\boxed{ d = f( N, G, g, \Omega, A ). }

3. Workload Distribution

令 $\Omega$ 是目標域，實際 workload 由：

\mu(\omega)

決定。

因此最重要的不是單一 worst-case expression depth，而可能是：

\boxed{ \bar d_{\mathcal O} = \mathbb E_{\omega\sim\mu} [ D_{\mathcal O}(\omega) ]. }

其中 $D_{\mathcal O}(\omega)$ 是使用 basis $\mathcal O$ 表達任務 $\omega$ 所需的最小有效深度。

高風險系統仍需另外追蹤：

\boxed{ d_{worst} = \sup_{\omega\in\Omega_{critical}} D_{\mathcal O}(\omega). }

4. Expression Length 與 Depth 不同

兩個 expression 可能一個長但平衡、另一個短但串行。

所以：

\boxed{ L_e \neq d_e. }

對 AI 而言，composition depth 會影響：

intermediate state；
dependency chain；
error propagation；
context maintenance；
tool sequencing；
branch recovery。

因此：

\boxed{ \text{same expression length} \neq \text{same cognitive difficulty}. }

5. Syntactic Capacity

最粗略地，若有 $N$ 個一元 operators、深度最多 $d$ ，sequence 數量約：

\sum_{k=1}^{d}N^k.

若 $N>1$ ：

\boxed{ C_{syn} \sim O(N^d). }

若 operators 有多種 arity，expression tree 數量還會再乘上 tree-structure 的組合，因此 syntactic capacity 可能增長得更快。

6. Syntax Capacity 極度高估真正能力

很多 combination：

type-invalid；
semantic-equivalent；
Agent 學不會；
execution 不穩定。

所以通常：

\boxed{ C_{syn} \gg C_{eff}. }

本文提出：

\boxed{ C_{eff} = C_{syn} \cdot p_{valid} \cdot p_{distinct} \cdot p_{learn} \cdot p_{faithful}. }

因此：

\boxed{ Expressivity = f( N,d,g,G,T,A ). }

只說「這套語言有 100 個 operator」幾乎沒有足夠資訊。

7. 第一版容量下界近似

假設目標域中至少有 $M_{eff}$ 個必須可區分的 target behaviors。

若每層大約提供 $\log N$ 的 operator identity information，簡化地：

\boxed{ d\log N \gtrsim \log M_{eff}. }

因此：

\boxed{ N \gtrsim M_{eff}^{1/d}. }

這不是普遍定理，因為 type system、arity、parameters、recursion 與 memory 都可以改變容量。本文只把它稱為：

\boxed{ \text{Basis–Depth Capacity Heuristic}. }

它真正告訴我們的是：

越要求少步完成，越需要更多語義被預先結晶進 operator。

8. Operator Granularity

引入第三個核心量：

\boxed{ g(O). }

表示 operator 承載的語義／行動粒度。

最簡化可以：

\boxed{ g(O) = L_0( Expand(O) ), }

即該 operator 展開成最低階 primitives 後，大約相當於多少 primitive operations。

整套 basis 的 usage-weighted 平均 granularity：

\boxed{ \bar g = \mathbb E_{O\sim usage} [ g(O) ]. }

通常 $\bar g\uparrow$ 會讓 $d\downarrow$ ，但 operator 越粗也會增加 semantic contract、internal branch、parameter schema 與 applicability cost。

因此：

\boxed{ g\uparrow \not\Rightarrow Y_L\uparrow. }

9. 太細 vs 太粗

Too Fine

$N$ 小；
$d$ 大；
repeated composition；
error accumulation。

Too Coarse

macro 數量增長；
overlap；
poor reuse；
God Operator risk。

因此存在：

\boxed{ g^*. }

真正要找的是：

\boxed{ (N^*,d^*,g^*). }

10. Depth Fidelity Law

假設每一層 composition $C_i$ 在上游正確的條件下，平均保持語義正確的機率為 $q_i$ 。

若簡化為：

q_i=q,

且近似獨立，則：

\boxed{ F_{comp}(d) \approx q^d. }

例如：

0.99^{10}\approx0.904,

而：

0.98^{20}\approx0.668.

所以「每一步只錯一點」在深鏈上仍可能累積成顯著風險。

11. Fidelity-Constrained Depth Ceiling

若最低要求：

F_{comp}\ge\tau_F,

則：

q^d\ge\tau_F.

因此：

\boxed{ d \le d_{\max}^{F} = \frac{\ln\tau_F}{\ln q}. }

這代表：

再小的 formal basis，也不能假設可以任意深地展開。

如果 per-step fidelity 有限，composition depth 就存在實際 reliability ceiling。

12. Heterogeneous Fidelity 與 Correlated Error

若不同 operator fidelity 不同：

\boxed{ F_{comp} \approx \prod_{i=1}^{d}q_i. }

低 fidelity operator 會形成 chain bottleneck。

但實際 error 不一定獨立；早期 interpretation error 可能改變後續所有 branch，因此 $q^d$ 只是一階 baseline。

可定義：

\boxed{ A_d = \frac{ ObservedFailure(d) }{ 1-q^d }. }

如果 $A_d>1$ ，代表存在 nonlinear amplification。

13. Macro 可以換回 Fidelity

假設 macro $O_M$ 把原本 $k$ 層 composition 壓成 1 層。

若 macro fidelity：

q_M

高於：

q^k,

則：

\boxed{ \Delta F_M = q_M-q^k >0. }

所以 macro 的收益至少包含：

\boxed{ \Delta Token + \Delta Depth + \Delta Fidelity + \Delta Latency. }

不是只有文字縮短。

如果 $q_M<q^k$ ，則 macro 雖然更短，卻變成語義黑箱：

\boxed{ \text{Depth Compression} \neq \text{Reliability Gain}. }

14. Macro Admission Gate

對 recurring motif $m$ ，由 $k_m$ 個 low-level operations 組成。

第一版 macro gain：

\boxed{ Gain_m = f_m [ \alpha(k_m-1) + \beta\Delta F_m + \gamma\Delta Y_m + \eta\Delta L_m ]. }

其中：

$f_m$ ：workload frequency；
$(k_m-1)$ ：省下的 depth；
$\Delta F_m$ ：fidelity gain；
$\Delta Y_m$ ：action-yield gain；
$\Delta L_m$ ：語言／token 壓縮。

成本：

\boxed{ Cost_m = C_{define} + C_{learn} + C_{select} + C_{version} + C_{collision}. }

只有：

\boxed{ Gain_m>Cost_m }

才適合進 stable macro layer。

15. Frequency–Depth Exchange

這讓前篇的「高頻結晶、低頻組合」得到更清楚的形式。

若 $f_m$ 高，depth saving 被反覆享受：

Gain\propto f_m.

相反，一個只用一次的 macro 還要被定義、命名、學習與治理，通常不值得永久加入 global language。

因此可分：

Stable Operator

長期高頻，進 global language。

Local Macro

domain / project 內使用。

Ephemeral Macro

session 生成，用完可消失。

16. Basis Size 也會增加 Selection Cost

LRC–COL-04 已定義 selection entropy：

H_{sel}.

粗略可寫：

\boxed{ C_{sel} \propto H_{sel}. }

若候選近似均勻：

p_i=\frac1{N_A},

則：

H_{sel}=\log N_A.

真實情況中還要加入 semantic collision：

C_{sel} = f( N_A, H_{sel}, \rho_{col} ).

因此新增 macro 是在用：

\boxed{ \Delta C_{sel} \leftrightarrow -\Delta d }

交換 selection complexity 與 composition depth。

17. RISC / CISC 類比

CPU instruction-set 設計長期存在類似取捨：

少而簡單的 instructions；
多而複雜的 instructions；
code density；
decode complexity；
execution efficiency。

現代 CPU 甚至會把複雜 instruction 內部分解成較簡單 micro-ops。

這不是證明 COL 一定等同 CPU ISA，但提供重要工程類比：

\boxed{ \text{rich surface instruction} \rightarrow \text{simpler internal primitives}. }

18. COL 可能是雙層 ISA

未來可以：

\boxed{ \text{Surface Operators} \rightarrow \text{Canonical Micro-Operators}. }

表面層：

對人／AI 易用；
粒度較高。

kernel 層：

basis 小；
semantics 穩定；
runtime 可驗證。

因此：

\boxed{ \mathcal O_{surface} \xrightarrow{Compile} \mathcal O_{kernel}^{*}. }

而：

N_S>N_K

完全合理。

19. Compiler Fidelity

雙層設計把新風險移到：

\boxed{ F_{compile}. }

總 fidelity：

\boxed{ F_{total} = F_{parse} F_{compile} F_{execute}. }

因此 surface vocabulary 雖然好用，仍必須能穩定編譯回 kernel semantics。

20. Surface Depth 與 Kernel Depth

表面：

d_S

可能很小。

kernel 展開：

d_K

可能很大。

因此：

\boxed{ d_S \neq d_K. }

兩者都重要。

$d_S$ 影響 planning、readability、composition burden； $d_K$ 影響 runtime、latency、verification 與 low-level error。

可以先用：

\boxed{ d_{eff} = \alpha d_S + \beta d_K + \gamma d_{tool}. }

作為候選有效深度。

21. Expression Depth 不等於 Transformer Depth

本文的 $d$ 是 operator expression 的組合深度，不是 Transformer layer depth。

但外部研究提供一個有用提醒：NAACL 2024 在控制總參數量後發現 deeper transformers 的 compositional generalization 通常較好，但額外 depth 的收益快速遞減。

這不能推出 operator expression 越深越好；它反而提醒：

\boxed{ \text{depth capacity and depth burden must be distinguished}. }

22. Compositional Complexity 的實證邊界

NAACL 2025 的 morphology compositionality 研究顯示，LLM 在 novel roots 與更高 morphological complexity 下表現明顯下降。

ACL Findings 2024 的 grounded compositionality 工作則發現，模型對 unseen sequence lengths 與 novel combinations of seen base components 仍有困難。

因此：

\boxed{ \text{known primitives} + \text{known semantics} \not\Rightarrow \text{arbitrary depth generalization}. }

23. Training Envelope 與 Depth Extrapolation

令：

d_{train}

是 training / exposure 中常見最大深度。

測試：

d_{test}>d_{train}

就是：

\boxed{ \text{depth extrapolation}. }

可定義：

\boxed{ G_d = Performance(d). }

並找：

\boxed{ d_{crit} = \min \{ d: Performance(d)<\tau_P \}. }

這就是某 Agent 在某 basis 下的實際 depth ceiling。

24. Depth Rescue

如果新增 macro 後，某 task：

D_{\mathcal O}(\omega)>d_{crit}

變成：

D_{\mathcal O'}(\omega)\le d_{crit},

則新增 operator 把原本超過 Agent compositional horizon 的任務壓回可用區。

本文稱：

\boxed{ \text{Depth Rescue}. }

這種情況可能造成 basis utility 的離散跳升。

25. Utility 可能出現 Phase Transition

macro 跨過 $d_{crit}$ 時：

J(N)

可能突然上升。

反過來，新增相似 operators 使 $\rho_{col}$ 跨過 selection threshold，也可能突然下降。

因此：

\boxed{ J(N) }

可能：

非平滑；
有多個局部 optimum；
出現 phase-transition-like behavior。

26. Pareto Surface

因此最合理結果不是：

最佳 N = 57。

而是：

\boxed{ \mathcal P = Pareto( N, d, g, F_{sem}, C_{learn}, C_{sel}, Y_L ). }

27. Workload-Specific Optimum

對 workload $\mu_1$ ：

(N_1^*,d_1^*,g_1^*).

對 $\mu_2$ ：

(N_2^*,d_2^*,g_2^*).

可能完全不同。

因此：

\boxed{ \text{No workload-free optimum}. }

28. Motif Distribution 比 Task Identity 更重要

令 $m$ 是 recurrent compositional motif，分布：

p(m).

macro crystallization 應主要依 recurring motif，而不是 task 名稱。

可建立：

\boxed{ \min \mathbb E_{\omega} [ Depth(\omega\mid\mathcal M) ] + \lambda|\mathcal M| + \mu C_{sel}(\mathcal M). }

這已經接近一個真正可實作的 macro-selection objective。

29. Dictionary Learning 類比

這和：

dictionary learning；
byte-pair merge；
macro compression；

有結構相似處。

都是在找：

哪些 recurring units 值得升格成可重用單位？

但 COL 還多：

semantics；
action；
type；
risk。

所以不能只按 frequency merge。

30. Operator Granularity 需要 Domain / Risk Conditioning

例如：

File System

move_file

可能是合適粒度。

Deployment

release_production

可能太粗，因為包含：

tests；
approvals；
rollback；
migration。

所以：

\boxed{ g^* = g^*(Domain,Risk). }

高風險 domain 可能傾向更細粒度，以提高 verification 與 rollback；高頻低風險 domain 則可能適合較粗 macro。

31. Semantic Depth vs Action Depth

如果 expression 最後只生成文字，depth error 主要是 semantic。

如果每層都直接 action：

O_1\rightarrow W_1\rightarrow O_2\rightarrow W_2,

錯誤會立刻進世界。

因此區分：

d_s

語義 composition depth，

與：

d_a

外部 action chain depth。

可以：

\boxed{ d_{risk} = \alpha d_s+\beta d_a, \qquad \beta>\alpha }

用於高實體風險 domain。

32. Verification 可以換更深的 d

如果每隔 $k$ 層插入：

Verify,

可以阻止 error 長鏈無限制累積。

所以：

\boxed{ \text{verification can buy compositional depth}. }

這意味著真正交換關係已經擴展成：

\boxed{ N \leftrightarrow d \leftrightarrow g \leftrightarrow v }

其中 $v$ 是 verification density。

33. 深本身不是絕對壞

真正高風險的是：

無檢查深鏈；
high-coupling 深鏈；
low-fidelity 深鏈。

因此：

\boxed{ \text{Depth Cost} = f( Fidelity, Verification, Reversibility, Coupling ). }

sandbox / simulation / rollback 都會改變可接受的 depth。

34. 總成本模型

對 workload $\mu$ ：

\boxed{ C_{total} = C_{basis} + C_{learn} + C_{select} + C_{compose} + C_{verify} + C_{execute} + C_{risk}. }

通常：

N\uparrow \Rightarrow C_{basis}\uparrow,

N\uparrow \Rightarrow C_{select}\uparrow,

但：

N\uparrow \Rightarrow C_{compose}\downarrow.

自然會出現中間 optimum。

35. 聯合最佳化

因此真正最佳設計：

\boxed{ (N^*,d^*,g^*,v^*) = \arg\min C_{total} }

subject to：

Coverage\ge\tau_C,

Fidelity\ge\tau_F,

Y_L\ge\tau_Y,

Risk\le R_{max}.

36. Basis 必須和 Runtime 一起設計

形式最小只問 $N$ 。

工程語言需要：

\boxed{ N+d+g+v+runtime. }

完整系統：

\boxed{ Operator Library \rightarrow Retriever \rightarrow Composer \rightarrow Compiler \rightarrow Verifier \rightarrow Executor. }

basis optimum 取決於整條鏈。

37. 本篇十二個正式命題

BD-P1 — Basis–Depth Tradeoff

在固定 coverage 與 granularity family 下， $N\downarrow\Rightarrow d\uparrow$ 通常成立。

BD-P2 — Effective Capacity Correction

syntactic capacity 必須經 validity、distinctness、learnability、fidelity 修正。

BD-P3 — Fidelity-Constrained Depth

若 per-step fidelity $q<1$ ，存在有限 $d_{\max}^{F}$ 。

BD-P4 — Macro Depth Rescue

適當 macro 可以把原本超過 Agent depth horizon 的 task 壓回可用區。

BD-P5 — Macro Selection Cost

macro 增加會降低 depth，但提高 selection complexity。

BD-P6 — Optimal Granularity

存在 domain-conditioned $g^*$ 。

BD-P7 — Dual-Level Basis

surface operator basis 與 kernel micro-operator basis 可以不同。

BD-P8 — Frequency-Weighted Crystallization

高頻 recurrent motifs 更值得永久 macro 化。

BD-P9 — Long-Tail Composition

低頻 long-tail 更適合由 shared basis 動態組合或 ephemeral macro 處理。

BD-P10 — Verification Buys Depth

verification density 上升可以提高可安全支持的有效 composition depth。

BD-P11 — Workload-Conditioned Optimum

不存在脫離 workload distribution 的 universal $(N^*,d^*,g^*)$ 。

BD-P12 — Phase-Transition Utility

basis expansion、collision 與 depth rescue 可能讓效用曲線出現非平滑 phase transition。

38. 第一版實驗設計

固定 target workload：

\Omega_0.

建立數個 basis：

N= 8,16,32,64,128.

對每個 basis：

自動找最短 composition；
測平均 depth；
測 max depth；
測 novel composition；
測 fidelity；
測 selection；
測 latency；
測 action yield。

39. Macro Sweep

固定 primitive kernel。

逐步加入 top-frequency motifs：

M=0,5,10,20,40.

測：

\bar d(M),

F_{sem}(M),

C_{sel}(M),

Y_L(M).

找：

M^*.

40. Depth Extrapolation Test

training：

d\le d_{train}.

testing：

d=d_{train}+1,\ldots,d_{train}+k.

找：

d_{crit}.

這會直接告訴我們：

什麼時候需要 macro rescue。

41. Granularity Sweep

同一功能設三種版本：

Fine

小 operators。

Medium

中粒度。

Coarse

macro-heavy。

比較：

learning；
selection；
execution；
transfer；
fidelity。

42. Verification Sweep

同一 composition depth $d$ ，設 verification 每：

1,2,4,8,\infty

層一次。

測：

fidelity；
latency；
total yield。

找：

v^*.

43. 期望得到的不是單一最佳點

不同 risk / workload 下：

(N^*,d^*,g^*,v^*)

不同。

真正產物應是一張 Policy Map，例如：

Low-risk repetitive
→ coarser macros

High-risk irreversible
→ finer operators + dense verification

High-entropy long-tail
→ small core + dynamic composition

High-frequency stable
→ crystallize recurring motifs

44. 靜態交換律的最後形式

本篇把靜態語言設計壓成：

\boxed{ \mathcal T_S: (N,d,g,v) \mapsto ( Coverage, Fidelity, Learning, Selection, Yield, Risk ). }

這就是：

\boxed{ \text{Static Basis–Depth Tradeoff Surface}. }

45. 與下一篇的接口

目前假設：

workload 固定；
Agent 固定；
basis 固定；
macro frequency 固定。

實際系統中：

AI 會學；
workload 會變；
macros 會結晶；
operators 會 retire；
Agent capacity 會升級。

因此：

(N^*,d^*,g^*)

會隨時間變。

下一篇就正式把：

\boxed{ \mathcal T_S }

變成：

\boxed{ \mathcal T_D(t). }

46. 本篇核心公式組

有效容量：

\boxed{ C_{eff} = C_{syn} p_{valid} p_{distinct} p_{learn} p_{faithful}. }

容量近似：

\boxed{ d\log N \gtrsim \log M_{eff}. }

深度 fidelity：

\boxed{ F_{comp}(d)\approx q^d. }

fidelity depth ceiling：

\boxed{ d_{\max}^{F} = \frac{\ln\tau_F}{\ln q}. }

macro gain：

\boxed{ Gain_m = f_m[ \alpha\Delta d +\beta\Delta F +\gamma\Delta Y +\eta\Delta L ]. }

聯合 optimum：

\boxed{ (N^*,d^*,g^*,v^*) = \arg\min C_{total}. }

47. 非主張

本文不主張：

$d\log N\gtrsim\log M$ 是普遍定理；
composition error 真正獨立；
$F=q^d$ 足以描述真實 Agent；
RISC/CISC 與 AI operator language 完全等價；
macro 越多越好；
high-frequency motif 一定要 macro 化；
coarse operators 一定適合低風險工作；
universal $(N^*,d^*,g^*)$ 存在；
Transformer network depth 等於 operator composition depth；
static optimum 會在未來維持不變。

本文只提出：

\boxed{ \text{Basis size, composition depth, operator granularity, and verification density form a coupled design space whose optimum must be evaluated through effective expressivity, fidelity, learning, selection, action yield, and risk.} }

48. 文獻錨點

Combinatory Logic / Small Complete Bases
經典 combinatory logic 顯示小型 combinatory basis 可以具有極高生成能力；derived combinators 則說明形式上不必要的高階 unit 可以顯著縮短 expression。這提供「basis size vs expression complexity」的形式錨點。
RISC/CISC Instruction-Set Tradeoff
電腦架構長期存在「較少簡單 instructions vs 較多複雜 instructions」的 code density、decode complexity、execution cost 交換；現代 ISA 亦常將複雜 instructions 內部分解為 micro-operations。本文僅把它作為工程類比，不視為 COL 的直接證明。
The Impact of Depth on Compositional Generalization in Transformer Language Models（NAACL 2024）
在控制總參數量後，較深 Transformer 通常有較好的 compositional generalization，但額外 depth 的收益快速遞減。本文的 expression depth 與 network depth 不同，但此結果提醒「depth capacity」與「depth cost」都需要實證處理。
Evaluating Morphological Compositional Generalization in Large Language Models（NAACL 2025）
顯示 LLM 在 novel roots 與更高 morphological complexity 下 compositional generalization 明顯下降，支持「增加組合複雜度可能降低 effective fidelity」。
Compositional Generalization with Grounded Language Models（ACL Findings 2024）
顯示 grounded language models 對 unseen sequence lengths 與 seen primitives 的 novel combinations 仍有困難，支持對 depth extrapolation 單獨建模。
Exploring Compositional Generalization of Large Language Models（NAACL SRW 2024）
研究 compositional instructions，報告由高階 compositional instructions 向低階的泛化與反向泛化並不對稱，說明 curriculum 與 composition order 對 effective language learning 有實際影響。

49. 下一篇

LRC–COL-06：靜態完備區間與動態完備區間

Static and Dynamic Completeness Intervals of Composite Operator Languages

下一篇將把目前：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{S} = [ N_{\min}^{effective}, N_{\max}^{effective} ] }

從固定切片擴張成：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t) = [ N_{\min}(t), N_{\max}(t) ]. }

正式研究：

Agent 學習為何可能讓 $N_{\min}$ 收縮；
新 domain 為何又讓 $N_{\min}$ 擴張；
retriever / context 升級如何推高 $N_{\max}$ ；
operator crystallization / retirement 如何改變區間；
是否存在 interval hysteresis；
語言是否會出現 expansion → saturation → compression → re-expansion 的週期；
$(N^*,d^*,g^*)$ 如何成為時間函數。

END — LRC–COL-05 v0.1