# LRC–COL-05：基底大小—組合深度—表達能力交換律 ## The Tradeoff Law of Basis Size, Composition Depth, and Expressive Capacity **系列：LRC–COL — Language–Reality Coupling & Composite Operator Language** **中文：語言—現實耦合與複合算子語言系列** **版本：v0.1** **日期：2026-08-21** **作者：** Neo.K **機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司 --- ## 摘要 LRC–COL-03 與 LRC–COL-04 分別建立了複合符號算子語言的有效下界與有效上界：operator 太少，目標域覆蓋不足、組合深度過高；operator 太多，則出現 selection entropy、semantic collision、context cost、version burden 與 active-set overload。兩篇合起來得到一個靜態有效區間： $$ N_{\min}^{effective} \le N \le N_{\max}^{effective}. $$ 但這仍沒有回答真正的語言設計核心： > **在這個區間內，多增加一個 operator，到底可以換回多少 composition depth、多少語義保真、多少學習成本、多少執行效率與多少 action yield？** 本文提出 **Basis–Depth–Expressivity Tradeoff（基底—深度—表達能力交換律）**，把 operator 數量 $N$ 、組合深度 $d$ 、operator 粒度 $g$ 、有效表達容量 $C_{eff}$ 、語義保真 $F_{sem}$ 、學習成本 $C_{learn}$ 、選擇成本 $C_{sel}$ 與 Language Action Yield $Y_L$ 放入同一聯合模型。 本文首先指出：在最粗略的無型別近似中，若一個語言有 $N$ 個 operator、最大組合深度 $d$，可生成的 syntactic structures 數量通常會隨 $N$ 與 $d$ 超線性甚至指數級成長；因此較大的 $N$ 可以用較淺的 $d$ 達到相似表達覆蓋。但 syntactic capacity 不等於 effective semantic capacity。大量 expression 可能非法、同義、不可學、不可穩定執行，故真正有效容量必須乘上 validity、semantic distinctness、learnability 與 fidelity 修正。 本文提出一個粗略但有用的容量關係： $$ \boxed{ C_{eff}(N,d,g) = C_{syn}(N,d,g) \cdot p_{valid} \cdot p_{distinct} \cdot p_{learn} \cdot p_{faithful}. } $$ 並進一步提出一個候選交換約束：若目標域中至少有 $M_{eff}$ 個必須可區分的有效行為，而每個 operator 在平均深度上提供約 $\log N$ 的選擇資訊，則在簡化條件下可能存在： $$ \boxed{ d\log N \gtrsim \log M_{eff}, } $$ 或： $$ \boxed{ N \gtrsim M_{eff}^{1/d}. } $$ 這不是普遍定理，而是第一版「基底變大可以換深度下降」的資訊容量近似。 本文另外建立 **Depth Fidelity Law**：若每一層 composition 的平均條件保真率為 $q<1$，最簡獨立近似下： $$ F_{comp}(d) \approx q^d. $$ 因此，對目標保真門檻 $\tau_F$，存在： $$ \boxed{ d_{\max}^{F} = \frac{\ln\tau_F}{\ln q}. } $$ 這使 macro operator、crystallized operator 與 higher-granularity operator 的價值可以第一次用「省下幾層 composition 所換回的 fidelity」來衡量，而不只看 token 壓縮。 本文最終將最佳語言設計寫成： $$ \boxed{ (N^*,d^*,g^*) = \arg\max J(N,d,g) } $$ subject to coverage、fidelity、learning、selection、risk 與 active-set constraints。本文主張未來 AI-native composite language 的真正設計對象不是「最小字典」或「最多 operator」，而是一個 **Basis–Depth–Granularity Pareto Surface**。 --- ## 關鍵詞 operator basis；composition depth；expressivity；granularity；semantic fidelity；compositional generalization；macro operator；RISC/CISC；Pareto frontier；AI-native language --- # 1. 上下界之間真正缺的東西 前兩篇已經得到： $$ N_{\min}^{effective} $$ 與： $$ N_{\max}^{effective}. $$ 但假設： $$ N_{\min}=20, \qquad N_{\max}=200. $$ 那麼到底： - 30 好？ - 60 好？ - 100 好？ - 150 好？ 仍然不知道。 因為： $$ \boxed{ N } $$ 本身不是效用。 真正要看： $$ \boxed{ N \rightarrow d \rightarrow F_{sem} \rightarrow C_{learn} \rightarrow C_{exec} \rightarrow Y_L. } $$ --- # 2. 第一條基本交換律 直覺上： $$ N\downarrow \Rightarrow d\uparrow. $$ 因為 primitive 少，高階能力需要更多層 composition。 反之： $$ N\uparrow \Rightarrow d\downarrow. $$ 因為更多中階／高階 operator 可以直接承載常見子程序。 因此： $$ \boxed{ N \leftrightarrow d. } $$ 但這不是嚴格線性，真正關係更像： $$ \boxed{ d = f( N, G, g, \Omega, A ). } $$ --- # 3. Workload Distribution 令 $\Omega$ 是目標域，實際 workload 由： $$ \mu(\omega) $$ 決定。 因此最重要的不是單一 worst-case expression depth，而可能是： $$ \boxed{ \bar d_{\mathcal O} = \mathbb E_{\omega\sim\mu} [ D_{\mathcal O}(\omega) ]. } $$ 其中 $D_{\mathcal O}(\omega)$ 是使用 basis $\mathcal O$ 表達任務 $\omega$ 所需的最小有效深度。 高風險系統仍需另外追蹤： $$ \boxed{ d_{worst} = \sup_{\omega\in\Omega_{critical}} D_{\mathcal O}(\omega). } $$ --- # 4. Expression Length 與 Depth 不同 兩個 expression 可能一個長但平衡、另一個短但串行。 所以： $$ \boxed{ L_e \neq d_e. } $$ 對 AI 而言，composition depth 會影響： - intermediate state； - dependency chain； - error propagation； - context maintenance； - tool sequencing； - branch recovery。 因此： $$ \boxed{ \text{same expression length} \neq \text{same cognitive difficulty}. } $$ --- # 5. Syntactic Capacity 最粗略地，若有 $N$ 個一元 operators、深度最多 $d$，sequence 數量約： $$ \sum_{k=1}^{d}N^k. $$ 若 $N>1$： $$ \boxed{ C_{syn} \sim O(N^d). } $$ 若 operators 有多種 arity，expression tree 數量還會再乘上 tree-structure 的組合，因此 syntactic capacity 可能增長得更快。 --- # 6. Syntax Capacity 極度高估真正能力 很多 combination： - type-invalid； - semantic-equivalent； - Agent 學不會； - execution 不穩定。 所以通常： $$ \boxed{ C_{syn} \gg C_{eff}. } $$ 本文提出： $$ \boxed{ C_{eff} = C_{syn} \cdot p_{valid} \cdot p_{distinct} \cdot p_{learn} \cdot p_{faithful}. } $$ 因此： $$ \boxed{ Expressivity = f( N,d,g,G,T,A ). } $$ 只說「這套語言有 100 個 operator」幾乎沒有足夠資訊。 --- # 7. 第一版容量下界近似 假設目標域中至少有 $M_{eff}$ 個必須可區分的 target behaviors。 若每層大約提供 $\log N$ 的 operator identity information，簡化地： $$ \boxed{ d\log N \gtrsim \log M_{eff}. } $$ 因此： $$ \boxed{ N \gtrsim M_{eff}^{1/d}. } $$ 這不是普遍定理，因為 type system、arity、parameters、recursion 與 memory 都可以改變容量。本文只把它稱為： $$ \boxed{ \text{Basis–Depth Capacity Heuristic}. } $$ 它真正告訴我們的是： > **越要求少步完成，越需要更多語義被預先結晶進 operator。** --- # 8. Operator Granularity 引入第三個核心量： $$ \boxed{ g(O). } $$ 表示 operator 承載的語義／行動粒度。 最簡化可以： $$ \boxed{ g(O) = L_0( Expand(O) ), } $$ 即該 operator 展開成最低階 primitives 後，大約相當於多少 primitive operations。 整套 basis 的 usage-weighted 平均 granularity： $$ \boxed{ \bar g = \mathbb E_{O\sim usage} [ g(O) ]. } $$ 通常 $\bar g\uparrow$ 會讓 $d\downarrow$，但 operator 越粗也會增加 semantic contract、internal branch、parameter schema 與 applicability cost。 因此： $$ \boxed{ g\uparrow \not\Rightarrow Y_L\uparrow. } $$ --- # 9. 太細 vs 太粗 ## Too Fine - $N$ 小； - $d$ 大； - repeated composition； - error accumulation。 ## Too Coarse - macro 數量增長； - overlap； - poor reuse； - God Operator risk。 因此存在： $$ \boxed{ g^*. } $$ 真正要找的是： $$ \boxed{ (N^*,d^*,g^*). } $$ --- # 10. Depth Fidelity Law 假設每一層 composition $C_i$ 在上游正確的條件下，平均保持語義正確的機率為 $q_i$。 若簡化為： $$ q_i=q, $$ 且近似獨立，則： $$ \boxed{ F_{comp}(d) \approx q^d. } $$ 例如： $$ 0.99^{10}\approx0.904, $$ 而： $$ 0.98^{20}\approx0.668. $$ 所以「每一步只錯一點」在深鏈上仍可能累積成顯著風險。 --- # 11. Fidelity-Constrained Depth Ceiling 若最低要求： $$ F_{comp}\ge\tau_F, $$ 則： $$ q^d\ge\tau_F. $$ 因此： $$ \boxed{ d \le d_{\max}^{F} = \frac{\ln\tau_F}{\ln q}. } $$ 這代表： > **再小的 formal basis，也不能假設可以任意深地展開。** 如果 per-step fidelity 有限，composition depth 就存在實際 reliability ceiling。 --- # 12. Heterogeneous Fidelity 與 Correlated Error 若不同 operator fidelity 不同： $$ \boxed{ F_{comp} \approx \prod_{i=1}^{d}q_i. } $$ 低 fidelity operator 會形成 chain bottleneck。 但實際 error 不一定獨立；早期 interpretation error 可能改變後續所有 branch，因此 $q^d$ 只是一階 baseline。 可定義： $$ \boxed{ A_d = \frac{ ObservedFailure(d) }{ 1-q^d }. } $$ 如果 $A_d>1$，代表存在 nonlinear amplification。 --- # 13. Macro 可以換回 Fidelity 假設 macro $O_M$ 把原本 $k$ 層 composition 壓成 1 層。 若 macro fidelity： $$ q_M $$ 高於： $$ q^k, $$ 則： $$ \boxed{ \Delta F_M = q_M-q^k >0. } $$ 所以 macro 的收益至少包含： $$ \boxed{ \Delta Token + \Delta Depth + \Delta Fidelity + \Delta Latency. } $$ 不是只有文字縮短。 如果 $q_MCost_m } $$ 才適合進 stable macro layer。 --- # 15. Frequency–Depth Exchange 這讓前篇的「高頻結晶、低頻組合」得到更清楚的形式。 若 $f_m$ 高，depth saving 被反覆享受： $$ Gain\propto f_m. $$ 相反，一個只用一次的 macro 還要被定義、命名、學習與治理，通常不值得永久加入 global language。 因此可分： ### Stable Operator 長期高頻，進 global language。 ### Local Macro domain / project 內使用。 ### Ephemeral Macro session 生成，用完可消失。 --- # 16. Basis Size 也會增加 Selection Cost LRC–COL-04 已定義 selection entropy： $$ H_{sel}. $$ 粗略可寫： $$ \boxed{ C_{sel} \propto H_{sel}. } $$ 若候選近似均勻： $$ p_i=\frac1{N_A}, $$ 則： $$ H_{sel}=\log N_A. $$ 真實情況中還要加入 semantic collision： $$ C_{sel} = f( N_A, H_{sel}, \rho_{col} ). $$ 因此新增 macro 是在用： $$ \boxed{ \Delta C_{sel} \leftrightarrow -\Delta d } $$ 交換 selection complexity 與 composition depth。 --- # 17. RISC / CISC 類比 CPU instruction-set 設計長期存在類似取捨： - 少而簡單的 instructions； - 多而複雜的 instructions； - code density； - decode complexity； - execution efficiency。 現代 CPU 甚至會把複雜 instruction 內部分解成較簡單 micro-ops。 這不是證明 COL 一定等同 CPU ISA，但提供重要工程類比： $$ \boxed{ \text{rich surface instruction} \rightarrow \text{simpler internal primitives}. } $$ --- # 18. COL 可能是雙層 ISA 未來可以： $$ \boxed{ \text{Surface Operators} \rightarrow \text{Canonical Micro-Operators}. } $$ 表面層： - 對人／AI 易用； - 粒度較高。 kernel 層： - basis 小； - semantics 穩定； - runtime 可驗證。 因此： $$ \boxed{ \mathcal O_{surface} \xrightarrow{Compile} \mathcal O_{kernel}^{*}. } $$ 而： $$ N_S>N_K $$ 完全合理。 --- # 19. Compiler Fidelity 雙層設計把新風險移到： $$ \boxed{ F_{compile}. } $$ 總 fidelity： $$ \boxed{ F_{total} = F_{parse} F_{compile} F_{execute}. } $$ 因此 surface vocabulary 雖然好用，仍必須能穩定編譯回 kernel semantics。 --- # 20. Surface Depth 與 Kernel Depth 表面： $$ d_S $$ 可能很小。 kernel 展開： $$ d_K $$ 可能很大。 因此： $$ \boxed{ d_S \neq d_K. } $$ 兩者都重要。 $d_S$ 影響 planning、readability、composition burden； $d_K$ 影響 runtime、latency、verification 與 low-level error。 可以先用： $$ \boxed{ d_{eff} = \alpha d_S + \beta d_K + \gamma d_{tool}. } $$ 作為候選有效深度。 --- # 21. Expression Depth 不等於 Transformer Depth 本文的 $d$ 是 operator expression 的組合深度，不是 Transformer layer depth。 但外部研究提供一個有用提醒：NAACL 2024 在控制總參數量後發現 deeper transformers 的 compositional generalization 通常較好，但額外 depth 的收益快速遞減。 這不能推出 operator expression 越深越好；它反而提醒： $$ \boxed{ \text{depth capacity and depth burden must be distinguished}. } $$ --- # 22. Compositional Complexity 的實證邊界 NAACL 2025 的 morphology compositionality 研究顯示，LLM 在 novel roots 與更高 morphological complexity 下表現明顯下降。 ACL Findings 2024 的 grounded compositionality 工作則發現，模型對 unseen sequence lengths 與 novel combinations of seen base components 仍有困難。 因此： $$ \boxed{ \text{known primitives} + \text{known semantics} \not\Rightarrow \text{arbitrary depth generalization}. } $$ --- # 23. Training Envelope 與 Depth Extrapolation 令： $$ d_{train} $$ 是 training / exposure 中常見最大深度。 測試： $$ d_{test}>d_{train} $$ 就是： $$ \boxed{ \text{depth extrapolation}. } $$ 可定義： $$ \boxed{ G_d = Performance(d). } $$ 並找： $$ \boxed{ d_{crit} = \min \{ d: Performance(d)<\tau_P \}. } $$ 這就是某 Agent 在某 basis 下的實際 depth ceiling。 --- # 24. Depth Rescue 如果新增 macro 後，某 task： $$ D_{\mathcal O}(\omega)>d_{crit} $$ 變成： $$ D_{\mathcal O'}(\omega)\le d_{crit}, $$ 則新增 operator 把原本超過 Agent compositional horizon 的任務壓回可用區。 本文稱： $$ \boxed{ \text{Depth Rescue}. } $$ 這種情況可能造成 basis utility 的離散跳升。 --- # 25. Utility 可能出現 Phase Transition macro 跨過 $d_{crit}$ 時： $$ J(N) $$ 可能突然上升。 反過來，新增相似 operators 使 $\rho_{col}$ 跨過 selection threshold，也可能突然下降。 因此： $$ \boxed{ J(N) } $$ 可能： - 非平滑； - 有多個局部 optimum； - 出現 phase-transition-like behavior。 --- # 26. Pareto Surface 因此最合理結果不是： > 最佳 N = 57。 而是： $$ \boxed{ \mathcal P = Pareto( N, d, g, F_{sem}, C_{learn}, C_{sel}, Y_L ). } $$ --- # 27. Workload-Specific Optimum 對 workload $\mu_1$： $$ (N_1^*,d_1^*,g_1^*). $$ 對 $\mu_2$： $$ (N_2^*,d_2^*,g_2^*). $$ 可能完全不同。 因此： $$ \boxed{ \text{No workload-free optimum}. } $$ --- # 28. Motif Distribution 比 Task Identity 更重要 令 $m$ 是 recurrent compositional motif，分布： $$ p(m). $$ macro crystallization 應主要依 recurring motif，而不是 task 名稱。 可建立： $$ \boxed{ \min \mathbb E_{\omega} [ Depth(\omega\mid\mathcal M) ] + \lambda|\mathcal M| + \mu C_{sel}(\mathcal M). } $$ 這已經接近一個真正可實作的 macro-selection objective。 --- # 29. Dictionary Learning 類比 這和： - dictionary learning； - byte-pair merge； - macro compression； 有結構相似處。 都是在找： > 哪些 recurring units 值得升格成可重用單位？ 但 COL 還多： - semantics； - action； - type； - risk。 所以不能只按 frequency merge。 --- # 30. Operator Granularity 需要 Domain / Risk Conditioning 例如： ### File System `move_file` 可能是合適粒度。 ### Deployment `release_production` 可能太粗，因為包含： - tests； - approvals； - rollback； - migration。 所以： $$ \boxed{ g^* = g^*(Domain,Risk). } $$ 高風險 domain 可能傾向更細粒度，以提高 verification 與 rollback；高頻低風險 domain 則可能適合較粗 macro。 --- # 31. Semantic Depth vs Action Depth 如果 expression 最後只生成文字，depth error 主要是 semantic。 如果每層都直接 action： $$ O_1\rightarrow W_1\rightarrow O_2\rightarrow W_2, $$ 錯誤會立刻進世界。 因此區分： $$ d_s $$ 語義 composition depth， 與： $$ d_a $$ 外部 action chain depth。 可以： $$ \boxed{ d_{risk} = \alpha d_s+\beta d_a, \qquad \beta>\alpha } $$ 用於高實體風險 domain。 --- # 32. Verification 可以換更深的 d 如果每隔 $k$ 層插入： $$ Verify, $$ 可以阻止 error 長鏈無限制累積。 所以： $$ \boxed{ \text{verification can buy compositional depth}. } $$ 這意味著真正交換關係已經擴展成： $$ \boxed{ N \leftrightarrow d \leftrightarrow g \leftrightarrow v } $$ 其中 $v$ 是 verification density。 --- # 33. 深本身不是絕對壞 真正高風險的是： - 無檢查深鏈； - high-coupling 深鏈； - low-fidelity 深鏈。 因此： $$ \boxed{ \text{Depth Cost} = f( Fidelity, Verification, Reversibility, Coupling ). } $$ sandbox / simulation / rollback 都會改變可接受的 depth。 --- # 34. 總成本模型 對 workload $\mu$： $$ \boxed{ C_{total} = C_{basis} + C_{learn} + C_{select} + C_{compose} + C_{verify} + C_{execute} + C_{risk}. } $$ 通常： $$ N\uparrow \Rightarrow C_{basis}\uparrow, $$ $$ N\uparrow \Rightarrow C_{select}\uparrow, $$ 但： $$ N\uparrow \Rightarrow C_{compose}\downarrow. $$ 自然會出現中間 optimum。 --- # 35. 聯合最佳化 因此真正最佳設計： $$ \boxed{ (N^*,d^*,g^*,v^*) = \arg\min C_{total} } $$ subject to： $$ Coverage\ge\tau_C, $$ $$ Fidelity\ge\tau_F, $$ $$ Y_L\ge\tau_Y, $$ $$ Risk\le R_{max}. $$ --- # 36. Basis 必須和 Runtime 一起設計 形式最小只問 $N$。 工程語言需要： $$ \boxed{ N+d+g+v+runtime. } $$ 完整系統： $$ \boxed{ Operator Library \rightarrow Retriever \rightarrow Composer \rightarrow Compiler \rightarrow Verifier \rightarrow Executor. } $$ basis optimum 取決於整條鏈。 --- # 37. 本篇十二個正式命題 ## BD-P1 — Basis–Depth Tradeoff 在固定 coverage 與 granularity family 下， $N\downarrow\Rightarrow d\uparrow$ 通常成立。 ## BD-P2 — Effective Capacity Correction syntactic capacity 必須經 validity、distinctness、learnability、fidelity 修正。 ## BD-P3 — Fidelity-Constrained Depth 若 per-step fidelity $q<1$，存在有限 $d_{\max}^{F}$。 ## BD-P4 — Macro Depth Rescue 適當 macro 可以把原本超過 Agent depth horizon 的 task 壓回可用區。 ## BD-P5 — Macro Selection Cost macro 增加會降低 depth，但提高 selection complexity。 ## BD-P6 — Optimal Granularity 存在 domain-conditioned $g^*$。 ## BD-P7 — Dual-Level Basis surface operator basis 與 kernel micro-operator basis 可以不同。 ## BD-P8 — Frequency-Weighted Crystallization 高頻 recurrent motifs 更值得永久 macro 化。 ## BD-P9 — Long-Tail Composition 低頻 long-tail 更適合由 shared basis 動態組合或 ephemeral macro 處理。 ## BD-P10 — Verification Buys Depth verification density 上升可以提高可安全支持的有效 composition depth。 ## BD-P11 — Workload-Conditioned Optimum 不存在脫離 workload distribution 的 universal $(N^*,d^*,g^*)$。 ## BD-P12 — Phase-Transition Utility basis expansion、collision 與 depth rescue 可能讓效用曲線出現非平滑 phase transition。 --- # 38. 第一版實驗設計 固定 target workload： $$ \Omega_0. $$ 建立數個 basis： $$ N= 8,16,32,64,128. $$ 對每個 basis： 1. 自動找最短 composition； 2. 測平均 depth； 3. 測 max depth； 4. 測 novel composition； 5. 測 fidelity； 6. 測 selection； 7. 測 latency； 8. 測 action yield。 --- # 39. Macro Sweep 固定 primitive kernel。 逐步加入 top-frequency motifs： $$ M=0,5,10,20,40. $$ 測： $$ \bar d(M), $$ $$ F_{sem}(M), $$ $$ C_{sel}(M), $$ $$ Y_L(M). $$ 找： $$ M^*. $$ --- # 40. Depth Extrapolation Test training： $$ d\le d_{train}. $$ testing： $$ d=d_{train}+1,\ldots,d_{train}+k. $$ 找： $$ d_{crit}. $$ 這會直接告訴我們： > 什麼時候需要 macro rescue。 --- # 41. Granularity Sweep 同一功能設三種版本： ### Fine 小 operators。 ### Medium 中粒度。 ### Coarse macro-heavy。 比較： - learning； - selection； - execution； - transfer； - fidelity。 --- # 42. Verification Sweep 同一 composition depth $d$，設 verification 每： $$ 1,2,4,8,\infty $$ 層一次。 測： - fidelity； - latency； - total yield。 找： $$ v^*. $$ --- # 43. 期望得到的不是單一最佳點 不同 risk / workload 下： $$ (N^*,d^*,g^*,v^*) $$ 不同。 真正產物應是一張 Policy Map，例如： ```text Low-risk repetitive → coarser macros High-risk irreversible → finer operators + dense verification High-entropy long-tail → small core + dynamic composition High-frequency stable → crystallize recurring motifs ``` --- # 44. 靜態交換律的最後形式 本篇把靜態語言設計壓成： $$ \boxed{ \mathcal T_S: (N,d,g,v) \mapsto ( Coverage, Fidelity, Learning, Selection, Yield, Risk ). } $$ 這就是： $$ \boxed{ \text{Static Basis–Depth Tradeoff Surface}. } $$ --- # 45. 與下一篇的接口 目前假設： - workload 固定； - Agent 固定； - basis 固定； - macro frequency 固定。 實際系統中： - AI 會學； - workload 會變； - macros 會結晶； - operators 會 retire； - Agent capacity 會升級。 因此： $$ (N^*,d^*,g^*) $$ 會隨時間變。 下一篇就正式把： $$ \boxed{ \mathcal T_S } $$ 變成： $$ \boxed{ \mathcal T_D(t). } $$ --- # 46. 本篇核心公式組 有效容量： $$ \boxed{ C_{eff} = C_{syn} p_{valid} p_{distinct} p_{learn} p_{faithful}. } $$ 容量近似： $$ \boxed{ d\log N \gtrsim \log M_{eff}. } $$ 深度 fidelity： $$ \boxed{ F_{comp}(d)\approx q^d. } $$ fidelity depth ceiling： $$ \boxed{ d_{\max}^{F} = \frac{\ln\tau_F}{\ln q}. } $$ macro gain： $$ \boxed{ Gain_m = f_m[ \alpha\Delta d +\beta\Delta F +\gamma\Delta Y +\eta\Delta L ]. } $$ 聯合 optimum： $$ \boxed{ (N^*,d^*,g^*,v^*) = \arg\min C_{total}. } $$ --- # 47. 非主張 本文不主張： 1. $d\log N\gtrsim\log M$ 是普遍定理； 2. composition error 真正獨立； 3. $F=q^d$ 足以描述真實 Agent； 4. RISC/CISC 與 AI operator language 完全等價； 5. macro 越多越好； 6. high-frequency motif 一定要 macro 化； 7. coarse operators 一定適合低風險工作； 8. universal $(N^*,d^*,g^*)$ 存在； 9. Transformer network depth 等於 operator composition depth； 10. static optimum 會在未來維持不變。 本文只提出： $$ \boxed{ \text{Basis size, composition depth, operator granularity, and verification density form a coupled design space whose optimum must be evaluated through effective expressivity, fidelity, learning, selection, action yield, and risk.} } $$ --- # 48. 文獻錨點 1. **Combinatory Logic / Small Complete Bases** 經典 combinatory logic 顯示小型 combinatory basis 可以具有極高生成能力；derived combinators 則說明形式上不必要的高階 unit 可以顯著縮短 expression。這提供「basis size vs expression complexity」的形式錨點。 2. **RISC/CISC Instruction-Set Tradeoff** 電腦架構長期存在「較少簡單 instructions vs 較多複雜 instructions」的 code density、decode complexity、execution cost 交換；現代 ISA 亦常將複雜 instructions 內部分解為 micro-operations。本文僅把它作為工程類比，不視為 COL 的直接證明。 3. **The Impact of Depth on Compositional Generalization in Transformer Language Models（NAACL 2024）** 在控制總參數量後，較深 Transformer 通常有較好的 compositional generalization，但額外 depth 的收益快速遞減。本文的 expression depth 與 network depth 不同，但此結果提醒「depth capacity」與「depth cost」都需要實證處理。 4. **Evaluating Morphological Compositional Generalization in Large Language Models（NAACL 2025）** 顯示 LLM 在 novel roots 與更高 morphological complexity 下 compositional generalization 明顯下降，支持「增加組合複雜度可能降低 effective fidelity」。 5. **Compositional Generalization with Grounded Language Models（ACL Findings 2024）** 顯示 grounded language models 對 unseen sequence lengths 與 seen primitives 的 novel combinations 仍有困難，支持對 depth extrapolation 單獨建模。 6. **Exploring Compositional Generalization of Large Language Models（NAACL SRW 2024）** 研究 compositional instructions，報告由高階 compositional instructions 向低階的泛化與反向泛化並不對稱，說明 curriculum 與 composition order 對 effective language learning 有實際影響。 --- # 49. 下一篇 ## LRC–COL-06：靜態完備區間與動態完備區間 ### Static and Dynamic Completeness Intervals of Composite Operator Languages 下一篇將把目前： $$ \boxed{ I_{\mathcal O}^{S} = [ N_{\min}^{effective}, N_{\max}^{effective} ] } $$ 從固定切片擴張成： $$ \boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t) = [ N_{\min}(t), N_{\max}(t) ]. } $$ 正式研究： - Agent 學習為何可能讓 $N_{\min}$ 收縮； - 新 domain 為何又讓 $N_{\min}$ 擴張； - retriever / context 升級如何推高 $N_{\max}$ ； - operator crystallization / retirement 如何改變區間； - 是否存在 interval hysteresis； - 語言是否會出現 expansion → saturation → compression → re-expansion 的週期； - $(N^*,d^*,g^*)$ 如何成為時間函數。 **END — LRC–COL-05 v0.1**