title: "多維知識覆蓋論：從單一覆蓋率到內容—關係—條件—路徑—驗證—版本矩陣" title_en: "Multidimensional Epistemic Coverage Theory: From a Scalar Coverage Ratio to Content–Relation–Condition–Path–Verification–Version Matrices" series: "動態知識空間論（Dynamic Epistemic Space Theory, DEST）" series_id: "EML-DEST-2026-02" version: "v0.1" date: "2026-08-12" language: "zh-Hant" document_type: "系列第二篇／多維覆蓋理論／AI-readable coverage specification" status: "Canonical Draft" depends_on: - "EML-DEST-2026-00 動態知識空間總論 v0.1" - "EML-DEST-2026-01 多域知識判定論 v0.1" canonical_keywords: - "多維覆蓋" - "Coverage Vector" - "Coverage Tensor" - "開放分母" - "域轉換覆蓋" - "覆蓋債務" - "覆蓋形狀" - "Coverage Frontier Lag" - "Coverage Provenance" - "Representation-Conditioned Coverage"

多維知識覆蓋論

從單一覆蓋率到內容—關係—條件—路徑—驗證—版本矩陣

摘要

本文是《動態知識空間論》（Dynamic Epistemic Space Theory, DEST）的第二篇子理論，專門重構「覆蓋」概念。

早期知識空間研究常以單一比例表示「已知多少」。這種做法在有限、固定、同質的集合問題中可以成立，但一旦進入 AI 原生研究、數學證明、跨版本知識庫、多智能體協作、異質資料、局部—全域黏合與持續檢索，單一覆蓋率會把多種本質不同的狀態壓成同一數值。

例如，一個研究系統可能同時具有：

幾乎完整的論文節點；
很低的跨論文關係覆蓋；
很高的條件缺失；
很低的替代證明路徑覆蓋；
很低的可重播驗證覆蓋；
很高的來源與版本完整度。

若只輸出：

\rho=0.82,

這個數值幾乎無法告訴 Agent 下一步應該搜尋、補橋、補條件、做證明、做版本遷移，還是執行全域黏合稽核。

本文因此定義六維知識覆蓋向量：

\boxed{ \boldsymbol{\rho}_t = \left( \rho_t^N, \rho_t^R, \rho_t^\Theta, \rho_t^P, \rho_t^V, \rho_t^T \right) }

分別代表：

(N)：節點／內容覆蓋；
(R)：關係／橋接覆蓋；
$\Theta$ ：條件／作用域覆蓋；
(P)：路徑／閉路／替代推導覆蓋；
(V)：驗證／證書覆蓋；
(T)：時間／版本／來源譜系覆蓋。

本文進一步引入：

Coverage Reference Frame：任何覆蓋率必須先指定目標集合、條件、表示、版本與測度；
Open-Denominator Coverage：分母可隨新問題、新文獻、新關係、新工具與新驗證義務而擴張；
Coverage Interval：當完整目標空間未知時，只輸出下界／上界，而不是偽造單點百分比；
Domain-Conditioned Coverage：覆蓋必須與 DEST-01 的七種資格域交叉；
Coverage Tensor：建立六種覆蓋維度 × 七種來源域 × 七種目標域的條件化張量；
Coverage Debt Matrix：顯示「已覆蓋但尚未提升到另一資格域」的質量；
Coverage Shape：兩個系統即使平均覆蓋率相同，其瓶頸幾何仍可完全不同；
Coverage Dynamics：區分 covered mass、target mass、verification throughput、invalidation 與 frontier expansion；
Representation-Conditioned Coverage：表示改寫可改變可見覆蓋，但必須攜帶 translation certificate；
Coverage Certificate：任何覆蓋聲明都必須保存分母、取樣、權重、來源、版本、未觀察區與重播規格。

本文核心命題為：

\boxed{ \text{「知道多少」不是一個純量，而是一個相對於目標域、資格域、表示、條件與時間的覆蓋形狀。} }

以及：

\boxed{ \Delta M_{\mathrm{covered}}>0 \not\Rightarrow \Delta\rho>0, }

因為當目標空間的擴張速度高於覆蓋速度時，知識的絕對量可以增加，而相對覆蓋率仍下降。

0. 研究定位與非主張聲明

本文承接：

\mathbb K_t = \left\langle \Omega_t, N_t, R_t, \Theta_t, \mathcal D_t, \boldsymbol{\rho}_t, \mathbf G_t, \mathbf B_t, \mathbf C_t, \mathcal V_t, \mathcal H_t, \mathsf{Cert}_t \right\rangle

中的：

\boxed{\boldsymbol{\rho}_t}

部分。

DEST-01 已把知識資格拆為：

\mathcal D_t(\theta) = \left\langle D^D,D^O,D^R,D^J,D^V,D^L,D^G \right\rangle_{t,\theta}.

本文不重新定義七域，而是回答：

在每一個資格域內，到底覆蓋了什麼？覆蓋多少？缺的是內容、關係、條件、路徑、驗證還是版本？不同域之間的覆蓋轉換瓶頸在哪裡？

本文不宣稱：

六種覆蓋維度是唯一完備分類；
所有覆蓋維度都有天然有限分母；
所有維度都存在唯一自然測度；
節點、關係、路徑與證書可以無損投射到同一比例尺度；
平均覆蓋率可以替代最壞維度；
覆蓋率高必然意味真值高；
覆蓋率高必然意味推理能力高；
路徑覆蓋高必然表示存在全域黏合；
多表示聯集必然增加真實知識，而不是只增加重複表示；
所有覆蓋函數都滿足單調性或次模性；
取樣估計可以無條件代表未知全集；
任何「100% coverage」在未固定 reference frame 前具有全域意義。

認識論標籤：

[DEF]：本文定義；
[PROP]：由定義或明示假設直接得到；
[CONJ]：待證／待實驗猜想；
[PROG]：AI／工程研究規格；
[OPEN]：未完成義務；
[ALIGN]：與外部成熟數學／計算理論的結構對照。

1. 為什麼單一覆蓋率不足？

1.1 第一種錯誤：只數內容

設目標知識集合為：

U=\{x_1,\ldots,x_n\}.

最直觀覆蓋率：

\rho_{\mathrm{naive}} = \frac{|K\cap U|}{|U|}.

這只能回答：

有多少目標項目出現在目前系統中？

它不能回答：

項目之間是否有正確關係；
是否知道每個命題成立的條件；
是否保存證明與反例；
是否有替代推導路徑；
是否知道哪一版本仍有效；
是否能從局部結果黏合成全域結果。

因此：

\boxed{ \rho^N=1 \not\Rightarrow \rho^R=\rho^\Theta=\rho^P=\rho^V=\rho^T=1. }

1.2 第二種錯誤：把「存在」當「可用」

一篇論文在資料庫中：

x\in N_t

不表示：

x\in D^{\mathrm{reach}},

也不表示：

x\in D^{\mathrm{judge}},

更不表示：

x\in D^{\mathrm{verify}}.

因此內容覆蓋與資格域覆蓋必須正交表示。

1.3 第三種錯誤：固定分母幻覺

若今天已知目標項目 100 個，覆蓋 80 個：

\rho_t=\frac{80}{100}=0.8.

明天 AI 搜索發現 100 個新的有效目標，並額外覆蓋 20 個：

\rho_{t+1} = \frac{100}{200} = 0.5.

此時：

M_{\mathrm{covered}}: 80\to100

確實增加，但：

\rho: 0.8\to0.5

下降。

所以：

\boxed{ \text{Absolute Coverage Gain} \neq \text{Relative Coverage Gain}. }

2. Coverage Reference Frame：覆蓋率必須先有參考框架

2.1 定義 [DEF]

任何覆蓋聲明都必須綁定：

\boxed{ \mathfrak F_t = \left\langle U_t, \mathcal T_t, \theta_t, \pi_t, \mu_t, \mathcal V_t, \mathcal H_t \right\rangle }

其中：

$U_t$ ：目標對象宇宙；
$\mathcal T_t$ ：目標型別集合；
$\theta_t$ ：條件纖維；
$\pi_t$ ：表示後端；
$\mu_t$ ：測度／權重；
$\mathcal V_t$ ：版本規則；
$\mathcal H_t$ ：來源與歷史界定。

因此完整覆蓋聲明不是：

coverage = 82%

而至少是：

coverage_claim:
  dimension: verification
  numerator_scope: "BSD theorem-applicable curve claims"
  denominator_scope: "all claims in benchmark v3"
  condition: "E/Q, conductor < 500000"
  representation: "typed theorem graph"
  measure: "uniform_per_claim"
  version: "2026-08-12"
  coverage: 0.82

2.2 Reference-frame relativity [PROP]

同一系統 (K) 對兩個參考框架：

\mathfrak F_1\neq\mathfrak F_2

可以有：

\rho(K\mid\mathfrak F_1) \neq \rho(K\mid\mathfrak F_2).

因此沒有未指定 reference frame 的全域「知識百分比」。

3. 六維覆蓋向量

定義覆蓋型別集合：

\mathcal C = \{N,R,\Theta,P,V,T\}.

對每一：

\alpha\in\mathcal C,

定義：

\rho^\alpha_t = \operatorname{Coverage}_\alpha (\mathbb K_t\mid\mathfrak F_t).

得到：

\boxed{ \boldsymbol{\rho}_t = ( \rho^N, \rho^R, \rho^\Theta, \rho^P, \rho^V, \rho^T )_t. }

4. 節點／內容覆蓋 $\rho^N$

4.1 定義 [DEF]

設目標節點集合：

U_N^\star

與已合法表示節點：

K_N.

則：

\boxed{ \rho^N = \frac{ \mu_N(K_N\cap U_N^\star) }{ \mu_N(U_N^\star) } }

在分母有限且可知時成立。

節點可以是：

定義；
命題；
theorem；
反例；
資料；
論文；
程式；
工具；
模型；
版本；
proof obligation。

4.2 Presence 不等於 semantic identity

同一概念可能出現多個別名：

x_1,x_2,x_3.

若沒有 entity resolution，不得把它們當三份獨立 coverage。

反之，相同文字：

\operatorname{Label}(x)=\operatorname{Label}(y)

也不保證：

x=y.

因此節點覆蓋需要：

\operatorname{IdentityCert}.

5. 關係／橋接覆蓋 $\rho^R$

5.1 關係宇宙 [DEF]

定義型別化關係：

R^\star \subseteq N^\star \times \mathcal L_R \times N^\star,

其中 $\mathcal L_R$ 可包含：

depends_on；
implies；
contradicts；
cites；
generalizes；
specializes；
equivalent_under；
valid_if；
invalidated_by；
verified_by；
version_of；
bridge_to。

已覆蓋關係：

R_t\subseteq R^\star.

則：

\boxed{ \rho^R = \frac{\mu_R(R_t)}{\mu_R(R^\star)} }

在 target relation universe 已固定時成立。

5.2 高節點、低關係狀態

可以存在：

\rho^N\approx1, \qquad \rho^R\ll1.

這對應：

論文都下載了，但不知道彼此怎麼接。

也對應：

theorem 都知道，但不知道哪個 theorem 正好填哪個 proof obligation。

5.3 Relation closure 不應自動補邊

若已知：

A\to B, \qquad B\to C,

不能無條件把：

A\to C

寫入關係庫。

必須區分：

explicit relation
derived relation
hypothesized relation
candidate bridge

否則 relation coverage 會因自動推論膨脹而失真。

6. 條件／作用域覆蓋 $\rho^\Theta$

6.1 條件不是 metadata 附件

對命題 (p)，完整資格至少需要：

\Theta(p) = \langle \operatorname{Dom}, \operatorname{Assumptions}, \operatorname{Scale}, \operatorname{Boundary}, \operatorname{Version}, \operatorname{Failure}, \operatorname{Quantifier} \rangle.

因此條件覆蓋回答：

我們是否不只知道命題，而知道它究竟在哪裡成立、在哪裡失效？

6.2 條件原子覆蓋 [DEF]

令命題 (p) 所需條件原子集：

A_\Theta(p) = \{a_1,\ldots,a_k\}.

已確認條件：

\widehat A_\Theta(p).

則：

c^\Theta(p) = \frac{ \mu_\Theta( \widehat A_\Theta(p)\cap A_\Theta(p) ) }{ \mu_\Theta(A_\Theta(p)) }.

全局：

\rho^\Theta = \operatorname{Agg}_{p\in U} c^\Theta(p).

6.3 Quantifier coverage

條件覆蓋特別需要量詞標籤：

finite range
almost all
positive density
density one
infinitely many
for every object in family
uniform in parameter
global universal

因為：

\text{density one} \neq \forall.

所以量詞自身是 coverage 內容。

7. 路徑／閉路覆蓋 $\rho^P$

7.1 為什麼路徑也是知識？

同一結論可能有：

唯一一條脆弱推導；
多條獨立證明；
一條數值路徑與一條形式路徑；
多個 representation escape；
多個工具後端。

這些狀態的韌性完全不同。

7.2 路徑集合 [DEF]

對目標對象 (x)，定義合法路徑族：

\Pi^\star(x).

已發現／已驗證路徑：

\widehat\Pi_t(x).

最直接：

c^P(x) = \frac{ \mu_P(\widehat\Pi_t(x)) }{ \mu_P(\Pi^\star(x)) }.

但 $\Pi^\star(x)$ 常為巨大或無限集合，因此 production 系統通常改用：

basis paths；
shortest-path classes；
proof families；
cycle basis；
tool-route classes；
homotopy / equivalence classes；
bounded-cost path classes。

7.3 基本閉路覆蓋 [DEF]

給圖／複形的閉路生成集：

\Gamma_{\mathrm{basis}} = \{\gamma_1,\ldots,\gamma_m\}.

已完成 loop audit：

\widehat\Gamma_t.

定義：

\boxed{ \rho^{P,\mathrm{loop}} = \frac{ \mu_\Gamma(\widehat\Gamma_t) }{ \mu_\Gamma(\Gamma_{\mathrm{basis}}) }. }

這不表示所有可能閉路都已枚舉，而表示對指定生成閉路基底的 audit coverage。

7.4 路徑數量不等於路徑獨立性

十條路徑若共享同一核心 lemma：

L^\star

並不等於十份獨立證據。

因此可另定義 path diversity：

D_P = \operatorname{Diversity} (\widehat\Pi_t).

Production 系統應保存：

shared lemmas；
shared data；
shared tools；
shared assumptions；
shared provenance。

8. 驗證／證書覆蓋 $\rho^V$

8.1 驗證不是 confidence

對 claim (p)，定義需要的證書型別：

\mathcal C^\star_V(p).

已具備：

\widehat{\mathcal C}_V(p).

則：

c^V(p) = \frac{ \mu_V( \widehat{\mathcal C}_V(p) \cap \mathcal C^\star_V(p) ) }{ \mu_V(\mathcal C^\star_V(p)) }.

證書型別可包括：

formal proof；
exact arithmetic；
interval certificate；
reproducible experiment；
independent replication；
theorem applicability；
source integrity；
adversarial counterexample audit；
global gluing certificate。

8.2 Certification strength 是偏序，不必是一條線

不能預設：

numerical < experimental < formal

適用於所有領域。

例如實驗科學不會因為形式推導存在，就自動替代實驗證據。

因此證書類型形成：

(\mathcal C_V,\preceq_{\mathrm{task}})

的任務相對偏序，而不是固定單軸排名。

8.3 Verified coverage 與 claim coverage 分離

可能：

\rho^N=0.95

但：

\rho^V=0.18.

這表示：

系統很會生成／收集 claim，但驗證能力遠遠跟不上。

這是 AI 研究系統中非常重要的狀態。

9. 時間／版本／來源覆蓋 $\rho^T$

9.1 三件事不再混寫

本文將第六維 (T) 實際拆成：

T=(T_{\mathrm{time}},T_{\mathrm{version}},T_{\mathrm{prov}}).

因此：

\rho^T = \mathbf w_T\cdot ( \rho^{\mathrm{time}}, \rho^{\mathrm{version}}, \rho^{\mathrm{prov}} ).

只有在任務明確指定權重時才投影為一個值。

9.2 版本覆蓋

若 claim 有版本族：

v_1\to v_2\to\cdots\to v_n,

需要知道：

哪個版本仍 active；
哪個證書屬於哪版；
哪次遷移破壞了證書；
哪些關係被 supersede；
哪些結果只在舊資料成立。

9.3 Provenance coverage

對一項結果 (x)，來源集合：

\operatorname{Prov}(x)

可能包含：

原始資料；
原始 paper；
派生計算；
Agent 轉換；
人工修改；
模型版本；
tool output；
hash / timestamp。

來源覆蓋不是「有一個 citation 就算完成」。

需要保存 lineage 的必要節點與轉換。

10. 覆蓋的三層狀態：Eligibility、Evidence、Aggregation

10.1 第一層：Eligibility Mask [DEF]

對 dimension $\alpha$ ，定義：

E^\alpha(x\mid\mathfrak F) \in \{0,1,?\}.

它回答：

這個對象是否應被算進這個覆蓋分母？

10.2 第二層：Atomic Coverage [DEF]

c^\alpha(x) \in[0,1]

表示在該維度上的局部覆蓋程度。

10.3 第三層：Aggregation [DEF]

\rho^\alpha = \frac{ \int E^\alpha(x)c^\alpha(x) \,d\mu_\alpha(x) }{ \int E^\alpha(x) \,d\mu_\alpha(x) }.

這使：

eligibility；
coverage；
weighting；

三件事不再混在同一個分數中。

11. 分母未知：Open-Denominator Coverage

11.1 Closed denominator

如果：

U^\star

有限且完整已知，正常使用：

\rho = \frac{\mu(K\cap U^\star)}{\mu(U^\star)}.

11.2 Open denominator [DEF]

若完整目標宇宙未知，定義：

U_t^{\mathrm{known}} \subseteq U^\star \subseteq U_t^{\mathrm{possible}}.

則覆蓋只應報：

\boxed{ \underline\rho_t \le \rho_t \le \overline\rho_t }

其中實際上下界必須由指定 measure、已知目標與可證可能目標共同構造，而不能只拿觀察樣本直接當全集。

Production 建議格式：

denominator_state: open-bounded
covered_mass: ...
known_target_mass: ...
possible_target_bound: ...
coverage_lower_bound: ...
coverage_upper_bound: ...

11.3 未知 unknown-unknown 不應偽裝成零

若無法界定：

U_t^{\mathrm{possible}},

則上界可能根本無法估計。

正確狀態是：

coverage = lower-bounded
denominator = open-unbounded

而不是：

coverage = 63%

12. 絕對覆蓋量與相對覆蓋率

12.1 Covered mass [DEF]

M_t^\alpha = \mu_\alpha(K_t^\alpha).

12.2 Target mass [DEF]

U_t^\alpha = \mu_\alpha(\Omega_t^\alpha).

12.3 Relative coverage

\rho_t^\alpha = \frac{M_t^\alpha}{U_t^\alpha}.

離散時間：

\Delta\rho_t^\alpha = \frac{M_{t+1}^\alpha}{U_{t+1}^\alpha} - \frac{M_t^\alpha}{U_t^\alpha}.

因此可以：

\Delta M_t^\alpha>0

同時：

\Delta\rho_t^\alpha<0.

12.4 連續近似

若可微：

\dot\rho^\alpha = \frac{ \dot M^\alpha U^\alpha - M^\alpha\dot U^\alpha }{ (U^\alpha)^2 }.

因此：

\dot\rho^\alpha<0

當：

\frac{\dot M^\alpha}{M^\alpha} < \frac{\dot U^\alpha}{U^\alpha}.

也就是：

\boxed{ \text{覆蓋成長率} < \text{目標空間成長率}. }

這是「知道更多，卻相對知道更少」的最小數學表示。

13. 六維覆蓋不是一個總序，而是偏序

13.1 Coverage profile [DEF]

\mathbf r_A = (r_A^N,r_A^R,r_A^\Theta,r_A^P,r_A^V,r_A^T).

對另一系統 (B)：

\mathbf r_B.

13.2 Pareto dominance [DEF]

若：

r_A^\alpha \ge r_B^\alpha \quad \forall\alpha

且至少一維嚴格大於，則：

A\succ_{\mathrm{cov}}B.

若有些維度 A 高、有些 B 高，則不可直接說「A 覆蓋比 B 高」。

13.3 Coverage shape

例如：

A=(0.95,0.35,0.20,0.10,0.15,0.95)

與：

B=(0.65,0.65,0.65,0.65,0.65,0.65).

兩者平均可能接近，但形狀完全不同。

A 是：

高收集、低結構、低驗證。

B 是：

均衡但不完全。

因此：

\boxed{ \text{Coverage Mean} \neq \text{Coverage Shape}. }

14. 必須投影成單一值時怎麼辦？

14.1 任務加權投影 [DEF]

\rho^{(\mathbf w)} = \sum_{\alpha} w_\alpha\rho^\alpha, \qquad \sum_\alpha w_\alpha=1.

權重必須由任務指定。

14.2 Critical-min projection

高風險任務可使用：

\rho_{\min} = \min_{\alpha\in\mathcal C_{\mathrm{critical}}} \rho^\alpha.

避免其他高分把關鍵低覆蓋維度平均掉。

14.3 Harmonic projection

若希望低值受到更大懲罰：

\rho_H = \frac{ |\mathcal C| }{ \sum_\alpha 1/(\rho^\alpha+\epsilon) }.

14.4 禁止的操作

不得在沒有任務說明時宣稱：

\rho_{\mathrm{mean}}

是「真正的整體知識覆蓋」。

所有 scalar projection 都只是：

\boxed{ \text{task-relative summary}. }

15. 與七資格域交叉：Domain-Conditioned Coverage

DEST-01 的七域：

\mathcal A = \{D,O,R,J,V,L,G\}.

現在對每一 coverage dimension $\alpha$ ，定義：

\rho^\alpha_a = \operatorname{Coverage}_\alpha (D^a).

所以一個完整 coverage block 可以是：

R_t \in [0,1]^{6\times7}.

行代表：

N,R,\Theta,P,V,T

列代表：

[ D,O,R,J,V,L,G. ]

16. 六維 × 七域 × 七域：Coverage Transition Tensor

16.1 定義 [DEF]

將 DEST-01 的：

Q_{ab} = \frac{\mu(D^a\cap D^b)}{\mu(D^a)}

提升為：

\boxed{ Q^{\alpha}_{ab} (t,\theta,\pi) = \frac{ \mu_\alpha ( K^\alpha_t \cap D^a_{t,\theta,\pi} \cap D^b_{t,\theta,\pi} ) }{ \mu_\alpha ( K^\alpha_t \cap D^a_{t,\theta,\pi} ) } }

其中：

\alpha\in\{N,R,\Theta,P,V,T\}.

因此：

\boxed{ \mathcal Q_t \in [0,1]^{6\times7\times7} }

在固定 $(t,\theta,\pi)$ 下成立。

16.2 語義

例如：

Q^N_{RJ}\ll1

表示：

可達的內容節點很多，但真正可判定的很少。

Q^\Theta_{JV}\ll1

表示：

已能判定的 claim 中，條件證書仍不完整。

Q^P_{LG}\ll1

表示：

局部 proof paths 很多，但真正通過 global gluing 的路徑族很少。

Q^T_{VG}\ll1

表示：

局部驗證結果很多，但跨版本／時間遷移後仍保持全域有效的比例很低。

17. Coverage Debt Tensor

17.1 質量式債務 [DEF]

對域轉換：

a\to b

以及覆蓋維度 $\alpha$ ，定義：

\boxed{ \Delta^{\alpha}_{a\to b} = \mu_\alpha \left( K^\alpha\cap D^a \setminus D^b \right). }

17.2 標準化債務

\delta^{\alpha}_{a\to b} = 1-Q^\alpha_{ab}.

17.3 高價值例子

內容可達 → 可判債務

\Delta^N_{R\to J}.

條件判定 → 驗證債務

\Delta^\Theta_{J\to V}.

路徑局部 → 全域債務

\Delta^P_{L\to G}.

版本驗證 → 全域債務

\Delta^T_{V\to G}.

這比一句：

「還有很多 Gap」

更適合 Agent 派工。

18. Gate DAG 上的瓶頸覆蓋

七域不是固定線性序，因此只對 task-specific Gate DAG 的合法邊計算瓶頸。

令：

\mathcal G_{\mathrm{qual}} = (V_G,E_G).

對：

(a,b)\in E_G

定義：

B^\alpha_{a\to b} = 1-Q^\alpha_{ab}.

任務瓶頸：

\boxed{ B^\star = \arg\max_{(\alpha,a,b)} w_{\alpha ab} B^\alpha_{a\to b}. }

下一操作不再問：

哪個總分最低？

而問：

哪個合法域轉換上的高價值覆蓋債務最大？

19. Coverage Throughput 與 Backlog Dynamics

19.1 轉換吞吐量

延續 DEST-01：

\nu_{a\to b}^{\alpha}(t) = \frac{ \Delta M_{a\to b}^{\alpha} }{ \Delta t }.

19.2 候選生成速度

\nu_{\mathrm{gen}}^\alpha.

19.3 驗證速度

\nu_{\mathrm{ver}}^\alpha.

19.4 Backlog

B_t^\alpha = M_{\mathrm{candidate}}^\alpha - M_{\mathrm{verified}}^\alpha.

簡化動力：

B_{t+1}^\alpha = B_t^\alpha + G_t^\alpha - V_t^\alpha - I_t^\alpha

其中：

$G_t^\alpha$ ：新生成候選；
$V_t^\alpha$ ：完成驗證；
$I_t^\alpha$ ：因重複、失效、淘汰或合併而移除。

若：

\mathbb E[G_t^\alpha] > \mathbb E[V_t^\alpha+I_t^\alpha],

則 backlog 的期望值上升。

20. Coverage Frontier Lag

20.1 前沿速度 [DEF]

對維度 $\alpha$ ，定義：

v_{\mathrm{reach}}^\alpha, \quad v_{\mathrm{judge}}^\alpha, \quad v_{\mathrm{verify}}^\alpha, \quad v_{\mathrm{global}}^\alpha.

20.2 Lag

\boxed{ L_{R\to V}^\alpha = v_{\mathrm{reach}}^\alpha - v_{\mathrm{verify}}^\alpha. }

若：

L_{R\to V}^\alpha>0

長期成立，則可達知識增長速度超過驗證速度。

20.3 AI 時代的典型狀態 [CONJ]

可能出現：

v_{\mathrm{generate}} > v_{\mathrm{reach}} > v_{\mathrm{judge}} > v_{\mathrm{verify}} > v_{\mathrm{global}}.

這不是定律，而是一個可實證檢查的候選形態。

若成立，最稀缺資源將從「生成知識」逐步轉向：

條件化；
驗證；
黏合；
版本治理；
來源保存。

21. Dynamic Coverage Update

21.1 一般離散更新 [DEF]

\boldsymbol{\rho}_{t+1} = \mathcal U_\rho \left( \boldsymbol{\rho}_t, \Delta N_t, \Delta R_t, \Delta\Theta_t, \Delta P_t, \Delta V_t, \Delta T_t, \Delta U_t, \mathcal H_t \right).

其中：

\Delta U_t

代表目標空間本身的變化。

21.2 四種基本事件

A. Coverage gain

已知目標不變、已覆蓋量增加。

B. Denominator expansion

發現新候選／新問題，使分母增加。

C. Invalidation

新反例／版本變化使有效覆蓋量下降。

D. Reclassification

對象未增減，但從：

candidate

移到：

verified

或：

local

移到：

global

所以覆蓋動力不等於節點增量。

22. Coverage Invalidation 與歷史帳本

若某證書失效：

c_t^V(x)=1

可以變成：

c_{t+1}^V(x)=0.

但歷史不刪：

\mathcal H_t \subseteq \mathcal H_{t+1}.

保存：

coverage_event:
  object: x
  dimension: verification
  old: pass
  new: fail
  cause: counterexample
  old_certificate: cert-v2
  invalidating_evidence: ref-17

因此：

\boxed{ \text{active coverage 非單調；coverage history 可 append-only}. }

23. Representation-Conditioned Coverage

23.1 表示纖維 [DEF]

\rho^\alpha_{t,\theta,\pi}.

不同表示：

\pi_1,\pi_2

可以有：

\rho^\alpha(\pi_1) \neq \rho^\alpha(\pi_2).

23.2 Representation lift

若：

\rho^J(\pi_2) > \rho^J(\pi_1),

不能立刻說知識增加。

需要區分：

真 coverage gain

新表示暴露了原本不可判的結構，且 TranslationCert 通過。

apparent gain

新表示只把原有資訊重複編碼。

lossy gain

新表示提升可判定性，但犧牲關鍵條件或來源。

因此記：

\Delta\rho^\alpha_{\pi_1\to\pi_2}

必須同時保存：

\operatorname{TranslationCert} (\pi_1,\pi_2).

24. Multi-Representation Union

令：

\Pi=\{\pi_1,\ldots,\pi_k\}.

定義聯合覆蓋：

K^\alpha_\Pi = \bigcup_i K^\alpha_{\pi_i}.

但 naive union 會受 duplicate aliases 污染，因此先做：

\operatorname{Canonicalize}

與：

\operatorname{NonCollapseAudit}.

最後才計算：

\rho^\alpha(\Pi).

25. Coverage Gain 與次模性：只作可選後端 [ALIGN]

在標準 maximum coverage / submodular optimization 中，許多集合覆蓋目標具有 diminishing returns：

f(A\cup\{x\})-f(A) \ge f(B\cup\{x\})-f(B), \qquad A\subseteq B.

這給出「越到後面，新增同類節點的邊際覆蓋可能越小」的成熟數學原型。

DEST 可在滿足次模條件的特定覆蓋函數中採用這個後端。

但 DEST 不宣稱：

\text{所有 epistemic coverage}

都是 submodular。

例如新增一個 bridge 可能突然讓大量局部節點進入全域黏合域，產生超加性跳躍。

因此：

\boxed{ \text{submodularity 是可驗證的局部假設，不是 DEST 公理。} }

26. 邊際覆蓋效益

26.1 定義 [DEF]

對操作 (a)：

\Delta\boldsymbol\rho(a) = \boldsymbol\rho_{t+1}(a) - \boldsymbol\rho_t.

26.2 成本感知效益

U(a) = \frac{ \mathbf w\cdot \mathbb E[ \Delta\boldsymbol\rho(a) ] }{ C(a)+R(a) }.

26.3 Bottleneck-aware utility

若關鍵瓶頸為：

(\alpha^\star,a^\star,b^\star),

可以改用：

U_{\mathrm{bottleneck}}(a) = \frac{ \mathbb E[ \Delta Q^{\alpha^\star}_{a^\star b^\star} ] }{ C(a)+R(a) }.

這比最大化總平均 coverage 更不容易「在已經高覆蓋的地方繼續刷分」。

27. 關係覆蓋的中心偏見

如果搜尋／引用演算法偏好高中心節點，容易形成：

\rho^N_{\mathrm{center}}\uparrow

但：

\rho^N_{\mathrm{periphery}}

長期低。

因此 coverage 必須允許分層：

\rho^\alpha = ( \rho^\alpha_{\mathrm{core}}, \rho^\alpha_{\mathrm{mid}}, \rho^\alpha_{\mathrm{frontier}}, \rho^\alpha_{\mathrm{periphery}} ).

高平均值可能掩蓋：

長尾、跨域邊緣與低引用節點幾乎未被覆蓋。

28. Coverage Diversity

28.1 來源多樣性

若 100 個 claim 全來自同一 source family，其 source count 高但 diversity 低。

定義：

D_{\mathrm{source}} = \operatorname{Diversity} (\operatorname{Prov}(K)).

可使用：

source entropy；
independent lineage count；
institution diversity；
method diversity；
model diversity。

28.2 方法多樣性

對同一 claim，形式證明、數值檢查、實驗、不同 theorem route 的一致，和 10 次同一模型重跑不是同一種 coverage。

因此：

\rho^V

與：

D_V

應分開保存。

29. Local Coverage 與 Global Coverage

29.1 局部 coverage [DEF]

對遮蔽：

X=\bigcup_iU_i,

每個局部：

\boldsymbol\rho(U_i).

29.2 全域 coverage 不等於局部平均

不能寫：

\rho^{\mathrm{global}} = \frac1n\sum_i\rho(U_i).

還必須加：

overlap consistency；
restriction compatibility；
loop audit；
branch preservation；
global certificate。

29.3 Sheaf-style backend [ALIGN]

在適合的資料融合／局部截面問題中，可以採用 sheaf：

stalk/local section；
restriction map；
assignment；
consistency radius；
global section。

此時 local coverage 高但 consistency radius 大，仍然不能宣稱 global coverage 高。

DEST 只使用這個作 formal backend 候選，不宣稱所有知識系統天然為 sheaf。

30. Coverage Holonomy

對閉路：

\gamma,

有：

H_\gamma.

若：

H_\gamma\neq\operatorname{id},

即使：

\rho^N=\rho^R=1

也可能：

\rho^{P,\mathrm{global}}<1.

因此路徑 coverage 必須能記錄：

\delta_\gamma = d( H_\gamma(s), s ).

若只檢查「邊都有沒有」，會漏掉 closed-loop defect。

31. Provenance Coverage 與 Semiring 對照 [ALIGN]

資料庫 provenance semiring 提供一個重要成熟原型：

查詢結果不只保存值，也保存它如何由輸入來源組合產生。

DEST 的來源 coverage 可借用：

source annotations；
algebraic combination；
lineage propagation；

但不要求所有數學證明、理論演化與多 Agent 研究都直接等同 relational provenance semiring。

其主要啟發是：

\boxed{ \text{結果覆蓋與來源覆蓋必須分開。} }

32. Coverage Error Taxonomy

至少區分：

Code	名稱	意義
COV-N0	Node-only illusion	只統計內容
COV-R1	Relation blindness	關係覆蓋缺失
COV-TH2	Condition blindness	作用域／條件未覆蓋
COV-P3	Path blindness	未測替代路徑／閉路
COV-V4	Verification inflation	候選被算成已驗證
COV-T5	Version blindness	忽略時間／版本
COV-D6	Denominator freeze	把移動分母當固定
COV-A7	Alias inflation	重複別名造成虛假增長
COV-S8	Scalar collapse	多維覆蓋被硬壓單值
COV-G9	Local-global confusion	局部平均冒充全域
COV-R10	Representation inflation	換表示後重複計數
COV-P11	Provenance loss	有結果無來源
COV-B12	Bottleneck masking	高平均掩蓋關鍵低維
COV-U13	Unknown-denominator overclaim	未知全集卻報精確百分比

33. Coverage Certificate

33.1 最小證書 [DEF]

coverage_certificate:
  coverage_id: "cov-..."
  time: "..."
  dimension: "node|relation|condition|path|verification|temporal"
  source_domain: "defined|observed|reachable|judgeable|verifiable|local|global"
  target_domain: "..."
  reference_frame:
    target_universe_id: "..."
    denominator_state: "closed|open-bounded|open-unbounded"
    condition_id: "..."
    representation_id: "..."
    version_id: "..."
    measure_id: "..."
  numerator:
    covered_mass: null
    object_count: null
  denominator:
    known_target_mass: null
    possible_target_bound: null
  result:
    point_estimate: null
    lower_bound: null
    upper_bound: null
  quality:
    identity_resolution: "pass|fail|unknown"
    duplicate_audit: "pass|fail|unknown"
    provenance_coverage: null
    sample_bias_audit: "pass|fail|unknown"
    global_gluing_required: false
  replay:
    query: "..."
    code_ref: "..."
    data_hashes: []
  debts: []

34. Coverage Cube / Tensor 的 AI 儲存格式

對固定 context：

coverage_tensor:
  dimensions:
    - node
    - relation
    - condition
    - path
    - verification
    - temporal

  domains:
    - defined
    - observed
    - reachable
    - judgeable
    - verifiable
    - local
    - global

  values:
    node:
      reachable_to_judgeable: 0.81
      judgeable_to_verifiable: 0.44
      local_to_global: 0.22

    relation:
      reachable_to_judgeable: 0.52
      judgeable_to_verifiable: 0.31
      local_to_global: 0.11

  denominator_state: open-bounded
  context_id: ctx-001
  representation_id: graph-v3
  version_id: corpus-2026-08-12

這比一個：

coverage = 72%

提供更多可路由資訊。

35. Coverage Dashboard

人類視圖可以簡化：

Content      █████████░ 91%
Relations    ██████░░░░ 63%
Conditions   █████░░░░░ 52%
Paths        ████░░░░░░ 41%
Verification ███░░░░░░░ 33%
Version/Prov ████████░░ 84%

再顯示：

Largest transition debts
J → V / Path        0.71
L → G / Relation    0.66
R → J / Condition   0.48
V → G / Temporal    0.43

真正的 AI backend 則保存完整 tensor。

36. Coverage Benchmark I：文獻研究

對某研究題：

Node coverage

是否找到主要 paper / theorem / datasets？

Relation coverage

是否知道誰 extends / contradicts / depends on 誰？

Condition coverage

是否提取 theorem hypotheses、範圍、例外？

Path coverage

是否找到替代 proof routes、negative routes、representation escapes？

Verification coverage

是否能確認 theorem applicability、重播計算或形式證書？

Temporal coverage

是否知道版本、勘誤、最新結果與來源譜系？

這比「找了多少篇 paper」更接近實際研究品質。

37. Coverage Benchmark II：數學猜想

對 conjecture (C)：

\boldsymbol\rho(C) = ( \rho^N,\rho^R,\rho^\Theta,\rho^P,\rho^V,\rho^T ).

例如：

(N)：已知 lemmas／results；
(R)：dependency graph；
$\Theta$ ：quantifier / parameter regimes；
(P)：proof routes / obstruction loops；
(V)：verified lemmas / formalization；
(T)：historical/current theorem state。

這可以直接發現：

不是 theorem 太少，而是局部—全域 transition coverage 太低。

38. Coverage Benchmark III：AI 訓練資料

一個可驗證知識單元不只要求：

question + answer

而要求：

concept identity；
prerequisites；
relations；
conditions；
counterexamples；
boundary cases；
certificate；
provenance；
version；
representation alternatives。

因此 AI 資料集 coverage 也應按六維報告。

39. Coverage Benchmark IV：多 Agent 系統

對多 Agent research runtime：

Agent A 可能高 (N,R)；
Agent B 高 (V)；
Agent C 高 (T)；
Global auditor 高 (P,G)。

群體 coverage：

K_{\mathrm{team}} = \operatorname{Glue} (K_1,\ldots,K_m)

不等於：

\bigcup_iK_i

的簡單聯集。

因為仍要檢查：

duplicate identity；
contradictory conditions；
incompatible versions；
broken provenance；
unglued branches。

40. Coverage Allocation Policy

40.1 不是永遠追最低維度

如果低 coverage 維度與當前任務無關，未必值得補。

所以定義任務價值：

W_q^\alpha.

40.2 操作選擇 [PROG]

a^\star = \arg\max_a \frac{ \sum_\alpha W_q^\alpha \mathbb E[\Delta\rho^\alpha\mid a] + \sum_{\alpha,a,b} W_{q,\alpha ab} \mathbb E[\Delta Q^\alpha_{ab}\mid a] }{ C(a)+R(a) }.

這是 coverage-aware research routing。

41. Coverage Saturation

41.1 局部飽和 [DEF]

若：

\Delta\rho^\alpha \to0

且持續增加同類操作只有極低邊際收益，稱：

\operatorname{Sat}^\alpha.

41.2 飽和不等於完成

可能：

\operatorname{Sat}^N

但：

\rho^V\ll1.

表示：

繼續找 paper 幾乎沒價值，應轉去驗證。

41.3 Freeze rule [PROG]

若連續 (k) 輪：

node coverage 幾乎不變；
relation/condition/verification debt 不下降；
沒有新 representation；
沒有新 certificate；

則停止同類 retrieval route。

這可防止 Agent 在已飽和維度無限消耗 token。

42. Coverage Anisotropy

42.1 定義 [DEF]

如果六維 coverage 差異很大，稱系統具有 coverage anisotropy。

簡單指標：

A_\rho = \operatorname{Var} ( \rho^N,\rho^R,\rho^\Theta,\rho^P,\rho^V,\rho^T ).

高：

A_\rho

表示覆蓋高度不均。

42.2 研究意義

高 anisotropy 常意味：

收集遠快於理解；
理解遠快於驗證；
局部遠快於全域；
新版本遠快於證書遷移。

43. Coverage Fragility

43.1 定義 [DEF]

移除 source / lemma / tool (z) 後：

\Delta_z\rho^\alpha = \rho^\alpha - \rho^\alpha_{-z}.

若：

\Delta_z\rho^\alpha

很大，表示 coverage 對 (z) 高度脆弱。

43.2 Single-source illusion

如果大量 claim 的證書都依賴同一 paper：

z^\star,

表面：

\rho^V

很高，但 fragility 也高。

因此成熟報告應同時輸出：

(\rho^V,F^V).

44. Coverage Redundancy

冗餘不一定浪費。

對高風險驗證，獨立冗餘可增加 robustness。

但同來源的重複：

\text{copy} \neq \text{independent confirmation}.

因此定義：

R_{\mathrm{ind}}

與：

R_{\mathrm{dup}}.

系統應優先增加 independent redundancy，而不是 duplicate mass。

45. Coverage 與 Gap 的對偶，但不是簡單 $1-\rho$

DEST-00 早期直覺可寫：

G\approx1-\rho.

新版只在非常簡單的 closed denominator 單維情況保留此式。

一般情況：

\mathbf G \neq \mathbf 1-\boldsymbol\rho

因為 Gap 還包括：

未建模 unknown unknown；
relation topology defect；
incompatible branches；
missing primitive；
open denominator；
path holonomy defect。

所以：

\boxed{ \text{Coverage 缺失是 Gap 的一部分；Gap 不等於 Coverage complement 的全部。} }

DEST-03 將專門處理這個差異。

46. Coverage 與中心／周邊

高中心性：

C(x)\gg0

不意味：

c^V(x)=1.

反而核心開放問題常可能：

C(x)\gg0, \qquad c^V(x)\approx0.

所以：

\boxed{ \text{centrality} \perp \text{coverage status} }

至少在一般 DEST 中不預設單調關係。

47. Coverage 與視域

當前 Agent 只載入：

\mathcal V_t \subset \mathbb K_t.

因此需分：

\rho_{\mathrm{available}}

與：

\rho_{\mathrm{loaded}}.

也就是：

知識庫有，不代表目前 context 裡有。

這接到：

retrieval；
memory gating；
context loading；
attention allocation。

48. Coverage 與 Retrieval-first AI

對 retrieval-first AI，真正核心不再只是參數知識量，而是：

能否估計當前 coverage profile；
能否知道 denominator 是 closed 還是 open；
能否把 query 指向最低高價值維度；
能否把 retrieved 提升到 judgeable；
能否把 judgeable 提升到 verifiable；
能否避免重複來源造成 alias inflation；
能否執行 local-to-global audit；
能否保存 provenance 與版本。

因此：

\boxed{ \text{Search skill} \neq \text{Coverage competence}. }

搜尋只是 coverage transition 的一個算子。

49. 外部數學／計算理論對照 [ALIGN]

49.1 Abstract Interpretation

Cousot & Cousot 的 abstract interpretation 將 concrete semantics 與不同 abstract domains、approximation、fixpoint construction 分開。

對 DEST 的啟發：

\boxed{ \text{不同分析域需要不同 soundness interface。} }

但本文不宣稱六維 epistemic coverage 都是 abstract interpretation lattice。

49.2 Maximum Coverage / Submodular Optimization

Maximum coverage 與 monotone submodular maximization 提供：

coverage objective；
marginal gain；
greedy approximation；
diminishing returns；

的成熟形式背景。

DEST 僅在已驗證 coverage function 滿足相應條件時使用。

49.3 Provenance Semirings

Green、Karvounarakis、Tannen 的 provenance semirings 說明關係資料查詢結果可以攜帶其來源組合歷史。

DEST 借用：

\text{value} + \text{lineage}

必須共同保存的結構思想。

49.4 Sheaf-Theoretic Consistency

Michael Robinson 的 sheaf-based data integration 工作展示局部資料、restriction、consistency 與 global inference 的成熟形式。

DEST 可將 consistency radius / global section 類型工具作為：

\rho^P,\rho^G

的特定後端。

50. 第一組命題

Proposition A：Node completeness is insufficient [PROP]

存在知識系統使：

\rho^N=1

但：

\rho^R<1.

只需完整收錄節點而省略至少一條必要關係即可。

Proposition B：Verification lag can coexist with knowledge growth [PROP]

若：

\dot M^V>0

但：

\frac{\dot U^V}{U^V} > \frac{\dot M^V}{M^V},

則：

\dot\rho^V<0.

所以驗證知識的絕對量增加，不推出相對驗證 coverage 增加。

Proposition C：Scalar mean masks critical bottlenecks [PROP]

對：

\boldsymbol\rho = (1,1,1,1,0,1),

算術平均：

\bar\rho=\frac56.

但若 verification 是必要 Gate，整體任務仍不能合法通過。

所以高平均 coverage 不推出 task completion。

Proposition D：Local coverage does not imply global coverage [PROP]

存在所有局部 $U_i$ coverage 完整，但 restriction / loop consistency 失敗的系統。

因此：

\forall i, \quad \rho(U_i)=1

不推出：

\rho^{\mathrm{global}}=1.

51. 研究猜想

Conjecture 1：Coverage Shape Predicts Bottleneck Better Than Scalar Coverage

在長時程 AI research benchmark 中，多維：

\boldsymbol\rho

與 transition tensor：

\mathcal Q

對後續失敗類型的預測力，將高於單一 coverage score。

Conjecture 2：Verification Frontier Lag

高生成 AI 系統中，若無專門 verification scaling：

v_{\mathrm{reach}} - v_{\mathrm{verify}}

將隨模型能力增加而擴大。

Conjecture 3：Relation Coverage Is a Hidden Multiplier

對跨領域研究任務，提升：

\rho^R

可能在某些區間對 judgeable/global coverage 產生超線性影響，因為一個 bridge 可以同時解鎖多個既有節點。

這表示 relation coverage 未必次模。

Conjecture 4：Balanced Coverage Dominates Collection-Heavy Coverage

在需要證明／驗證／全域黏合的任務中，均衡 coverage profile 可能比高 node、低 relation/verification 的 profile 有更低 lifecycle research cost。

Conjecture 5：Open-Denominator Awareness Reduces Overclaim

強制 Agent 明示：

denominator_state

將顯著降低：

finite → global；
sampled → universal；
retrieved → complete；
database-complete → mathematical-complete；

等過度外推。

52. 可實驗研究設計

建立問題集：

有固定 closed denominator；
denominator 隨檢索擴張；
高 node / 低 relation；
高 relation / 低 verification；
local complete / global inconsistent；
representation-dependent；
version drift；
provenance corruption。

比較：

Baseline A

單一 coverage score。

Baseline B

六維 coverage vector。

Baseline C

六維 × 七域 matrix。

DEST-02

完整：

\boldsymbol\rho + \mathcal Q + \Delta + \text{denominator state} + \text{coverage certificate}.

評估：

routing accuracy；
overclaim rate；
verification yield；
global-gluing success；
wasted retrieval；
debt reduction；
calibration；
replayability。

53. Runtime 最小演算法

INPUT:
  K_t
  task q
  reference frame F
  domain graph G_qual
  representation pi
  condition theta

1. Resolve target universe U
2. Mark denominator:
      closed
      open-bounded
      open-unbounded

3. Build coverage dimensions:
      N, R, Theta, P, V, T

4. For each dimension:
      build eligibility mask
      calculate atomic coverage
      aggregate with declared measure

5. Cross with domain states:
      D,O,R,J,V,L,G

6. Build:
      coverage vector rho
      domain-conditioned matrix
      transition tensor Q
      debt tensor Delta

7. Run:
      duplicate audit
      provenance audit
      version audit
      loop/global audit
      representation audit

8. Find highest-value bottleneck

9. Route:
      retrieve
      define
      condition
      bridge
      verify
      reframe
      migrate
      glue
      branch
      freeze

10. Save Coverage Certificate

54. 與 DEST-03 的接口

本文輸出：

\boxed{ \boldsymbol\rho_t, \quad \mathcal Q_t, \quad \Delta_t, \quad \mathfrak F_t. }

DEST-03 將處理：

\boxed{ \mathbf G_t. }

特別回答：

coverage 缺少的部分，何時只是「未覆蓋」；何時是 relation hole、topological defect、missing condition、verification debt、version rupture、accessibility gap 或 primitive gap？

因此 DEST-02 到 DEST-03 的接口不是：

G=1-\rho

而是：

\boxed{ \mathbf G_t = \operatorname{GapClassify} ( \mathfrak F_t, \boldsymbol\rho_t, \mathcal Q_t, \Delta_t, \mathbb K_t ). }

55. 最小核心公式

55.1 多維覆蓋

\boxed{ \boldsymbol\rho_t = ( \rho^N, \rho^R, \rho^\Theta, \rho^P, \rho^V, \rho^T )_t. }

55.2 Reference frame

\boxed{ \mathfrak F_t = \langle U_t,\mathcal T_t,\theta_t,\pi_t,\mu_t,\mathcal V_t,\mathcal H_t \rangle. }

55.3 Coverage transition tensor

\boxed{ \mathcal Q_t = \left[ Q^\alpha_{ab} \right] \in [0,1]^{6\times7\times7}. }

55.4 Coverage debt

\boxed{ \Delta^\alpha_{a\to b} = \mu_\alpha ( K^\alpha\cap D^a\setminus D^b ). }

55.5 Open-denominator dynamics

\boxed{ \dot\rho^\alpha = \frac{ \dot M^\alpha U^\alpha - M^\alpha\dot U^\alpha }{ (U^\alpha)^2 }. }

55.6 Bottleneck routing

\boxed{ a^\star = \arg\max_a \frac{ \mathbb E[\Delta \mathrm{CoverageValue}\mid a] }{ C(a)+R(a) }. }

56. 結論

單一：

\rho=80\%

在動態知識系統裡通常不是答案，而只是另一個需要追問的問題：

80% 的什麼？

DEST-02 的回答是：

至少要問：

內容覆蓋多少？
關係覆蓋多少？
條件與量詞覆蓋多少？
替代推導、閉路與路徑覆蓋多少？
驗證與證書覆蓋多少？
版本、時間與來源覆蓋多少？
這些覆蓋位於哪一個資格域？
分母是 closed 還是仍在增長？
哪個域轉換債務最大？
哪個低 coverage 維度對當前任務真正關鍵？

因此：

\boxed{ \text{Knowledge Coverage} = \text{a dynamic, typed, conditional, provenance-aware coverage shape}. }

而不是：

\boxed{ \text{一個百分比}. }

更進一步：

\boxed{ \text{真正成熟的 AI，不只知道自己「知道多少」，} }

還要知道：

\boxed{ \text{自己究竟少了哪一種覆蓋，以及下一單位成本應補在哪裡。} }

這使 coverage 從描述統計變成：

\boxed{ \text{research control surface}. }

附錄 A：Coverage Dimension Dictionary

CoverageDimension:
  N:
    name: node_content
    asks: "必要內容是否存在並完成 identity resolution?"

  R:
    name: relation_bridge
    asks: "必要關係、依賴與橋接是否存在?"

  THETA:
    name: condition_scope
    asks: "成立條件、量詞、尺度、版本與失效域是否完整?"

  P:
    name: path_loop
    asks: "推導路徑、替代路徑、閉路與 global transport 是否已稽核?"

  V:
    name: verification_certificate
    asks: "claim 是否有任務適配、可重播的證書?"

  T:
    name: temporal_version_provenance
    asks: "來源、版本、時間有效性與 lineage 是否完整?"

附錄 B：Denominator State

DenominatorState:
  CLOSED:
    meaning: "目標全集在指定 frame 中完整已知"

  OPEN_BOUNDED:
    meaning: "全集未知，但存在可用上下界"

  OPEN_UNBOUNDED:
    meaning: "完整分母尚無可靠上界"

  VERSION_BOUND:
    meaning: "分母只對指定 corpus/version 有意義"

  SAMPLED:
    meaning: "coverage 是 sampling estimate，不是全集比例"

附錄 C：Coverage Shape Example

coverage_profile:
  node: 0.94
  relation: 0.61
  condition: 0.48
  path: 0.37
  verification: 0.29
  temporal: 0.88

  denominator_state:
    node: closed
    relation: open_bounded
    condition: open_bounded
    path: open_unbounded
    verification: version_bound
    temporal: closed

  bottlenecks:
    - dimension: path
      transition: local_to_global
      debt: high

    - dimension: verification
      transition: judgeable_to_verifiable
      debt: high

附錄 D：與 DEST-01 的最小接口

dest01_domain_profile:
  defined: pass
  observed: pass
  reachable: pass
  judgeable: pass
  verifiable: unknown
  local: pass
  global_gluing: fail

dest02_coverage:
  node: 0.94
  relation: 0.61
  condition: 0.48
  path: 0.37
  verification: 0.29
  temporal: 0.88

transition_debt:
  judgeable_to_verifiable:
    verification: high

  local_to_global:
    relation: high
    path: very_high

附錄 E：外部形式對照與參考脈絡

內部正典依賴

《動態知識空間總論：覆蓋、間隙、邊界、關聯與條件依賴演化的統一框架》v0.1。
《多域知識判定論：定義域、觀察域、可達域、判定域、驗證域、局部域與全域黏合域》v0.1。
《概念積分：知識宇宙的生成擴張代數》及其自審附錄。
《條件依賴補丁演化論》v1.0。
《語義拓撲與全域缺陷》v0.1。
《移動中的可知邊界》v0.1。
《X 積分統一綱領》v0.2。

外部形式對照

Patrick Cousot & Radhia Cousot (1977), Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints.
G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey & M. L. Fisher (1978), An Analysis of Approximations for Maximizing Submodular Set Functions—I.
Todd J. Green, Grigoris Karvounarakis & Val Tannen (2007), Provenance Semirings.
Michael Robinson (2016/2017), Sheaves are the Canonical Datastructure for Sensor Integration.
Michael Robinson (2018), Assignments to Sheaves of Pseudometric Spaces.

EML-DEST-2026-02 · v0.1 · 2026-08-12

多維知識覆蓋論

多維知識覆蓋論

從單一覆蓋率到內容—關係—條件—路徑—驗證—版本矩陣

摘要

0. 研究定位與非主張聲明

1. 為什麼單一覆蓋率不足？

1.1 第一種錯誤：只數內容

1.2 第二種錯誤：把「存在」當「可用」

1.3 第三種錯誤：固定分母幻覺

2. Coverage Reference Frame：覆蓋率必須先有參考框架

2.1 定義 [DEF]

2.2 Reference-frame relativity [PROP]

3. 六維覆蓋向量

4. 節點／內容覆蓋 ρN\rho^NρN

4.1 定義 [DEF]

4.2 Presence 不等於 semantic identity

5. 關係／橋接覆蓋 ρR\rho^RρR

5.1 關係宇宙 [DEF]

5.2 高節點、低關係狀態

5.3 Relation closure 不應自動補邊

6. 條件／作用域覆蓋 ρΘ\rho^\ThetaρΘ

6.1 條件不是 metadata 附件

6.2 條件原子覆蓋 [DEF]

6.3 Quantifier coverage

7. 路徑／閉路覆蓋 ρP\rho^PρP

7.1 為什麼路徑也是知識？

7.2 路徑集合 [DEF]

7.3 基本閉路覆蓋 [DEF]

7.4 路徑數量不等於路徑獨立性

8. 驗證／證書覆蓋 ρV\rho^VρV

8.1 驗證不是 confidence

8.2 Certification strength 是偏序，不必是一條線

8.3 Verified coverage 與 claim coverage 分離

9. 時間／版本／來源覆蓋 ρT\rho^TρT

9.1 三件事不再混寫

9.2 版本覆蓋

9.3 Provenance coverage

10. 覆蓋的三層狀態：Eligibility、Evidence、Aggregation

10.1 第一層：Eligibility Mask [DEF]

10.2 第二層：Atomic Coverage [DEF]

10.3 第三層：Aggregation [DEF]

11. 分母未知：Open-Denominator Coverage

11.1 Closed denominator

11.2 Open denominator [DEF]

11.3 未知 unknown-unknown 不應偽裝成零

12. 絕對覆蓋量與相對覆蓋率

12.1 Covered mass [DEF]

12.2 Target mass [DEF]

12.3 Relative coverage

12.4 連續近似

13. 六維覆蓋不是一個總序，而是偏序

13.1 Coverage profile [DEF]

13.2 Pareto dominance [DEF]

13.3 Coverage shape

14. 必須投影成單一值時怎麼辦？

14.1 任務加權投影 [DEF]

14.2 Critical-min projection

14.3 Harmonic projection

14.4 禁止的操作

15. 與七資格域交叉：Domain-Conditioned Coverage

16. 六維 × 七域 × 七域：Coverage Transition Tensor

16.1 定義 [DEF]

16.2 語義

17. Coverage Debt Tensor

17.1 質量式債務 [DEF]

17.2 標準化債務

17.3 高價值例子

內容可達 → 可判債務

條件判定 → 驗證債務

路徑局部 → 全域債務

版本驗證 → 全域債務

18. Gate DAG 上的瓶頸覆蓋

19. Coverage Throughput 與 Backlog Dynamics

19.1 轉換吞吐量

19.2 候選生成速度

19.3 驗證速度

19.4 Backlog

20. Coverage Frontier Lag

20.1 前沿速度 [DEF]

20.2 Lag

4. 節點／內容覆蓋 $\rho^N$

5. 關係／橋接覆蓋 $\rho^R$

6. 條件／作用域覆蓋 $\rho^\Theta$

7. 路徑／閉路覆蓋 $\rho^P$

8. 驗證／證書覆蓋 $\rho^V$

9. 時間／版本／來源覆蓋 $\rho^T$

45. Coverage 與 Gap 的對偶，但不是簡單 $1-\rho$