--- title: "多維知識覆蓋論：從單一覆蓋率到內容—關係—條件—路徑—驗證—版本矩陣" title_en: "Multidimensional Epistemic Coverage Theory: From a Scalar Coverage Ratio to Content–Relation–Condition–Path–Verification–Version Matrices" series: "動態知識空間論（Dynamic Epistemic Space Theory, DEST）" series_id: "EML-DEST-2026-02" version: "v0.1" date: "2026-08-12" language: "zh-Hant" document_type: "系列第二篇／多維覆蓋理論／AI-readable coverage specification" status: "Canonical Draft" depends_on: - "EML-DEST-2026-00 動態知識空間總論 v0.1" - "EML-DEST-2026-01 多域知識判定論 v0.1" canonical_keywords: - "多維覆蓋" - "Coverage Vector" - "Coverage Tensor" - "開放分母" - "域轉換覆蓋" - "覆蓋債務" - "覆蓋形狀" - "Coverage Frontier Lag" - "Coverage Provenance" - "Representation-Conditioned Coverage" --- # 多維知識覆蓋論 ## 從單一覆蓋率到內容—關係—條件—路徑—驗證—版本矩陣 ## 摘要 本文是《動態知識空間論》（Dynamic Epistemic Space Theory, DEST）的第二篇子理論，專門重構「覆蓋」概念。 早期知識空間研究常以單一比例表示「已知多少」。這種做法在有限、固定、同質的集合問題中可以成立，但一旦進入 AI 原生研究、數學證明、跨版本知識庫、多智能體協作、異質資料、局部—全域黏合與持續檢索，單一覆蓋率會把多種本質不同的狀態壓成同一數值。 例如，一個研究系統可能同時具有： - 幾乎完整的論文節點； - 很低的跨論文關係覆蓋； - 很高的條件缺失； - 很低的替代證明路徑覆蓋； - 很低的可重播驗證覆蓋； - 很高的來源與版本完整度。 若只輸出： \[ \rho=0.82, \] 這個數值幾乎無法告訴 Agent 下一步應該搜尋、補橋、補條件、做證明、做版本遷移，還是執行全域黏合稽核。 本文因此定義六維知識覆蓋向量： \[ \boxed{ \boldsymbol{\rho}_t = \left( \rho_t^N, \rho_t^R, \rho_t^\Theta, \rho_t^P, \rho_t^V, \rho_t^T \right) } \] 分別代表： - \(N\)：節點／內容覆蓋； - \(R\)：關係／橋接覆蓋； - \(\Theta\)：條件／作用域覆蓋； - \(P\)：路徑／閉路／替代推導覆蓋； - \(V\)：驗證／證書覆蓋； - \(T\)：時間／版本／來源譜系覆蓋。 本文進一步引入： 1. **Coverage Reference Frame**：任何覆蓋率必須先指定目標集合、條件、表示、版本與測度； 2. **Open-Denominator Coverage**：分母可隨新問題、新文獻、新關係、新工具與新驗證義務而擴張； 3. **Coverage Interval**：當完整目標空間未知時，只輸出下界／上界，而不是偽造單點百分比； 4. **Domain-Conditioned Coverage**：覆蓋必須與 DEST-01 的七種資格域交叉； 5. **Coverage Tensor**：建立六種覆蓋維度 × 七種來源域 × 七種目標域的條件化張量； 6. **Coverage Debt Matrix**：顯示「已覆蓋但尚未提升到另一資格域」的質量； 7. **Coverage Shape**：兩個系統即使平均覆蓋率相同，其瓶頸幾何仍可完全不同； 8. **Coverage Dynamics**：區分 covered mass、target mass、verification throughput、invalidation 與 frontier expansion； 9. **Representation-Conditioned Coverage**：表示改寫可改變可見覆蓋，但必須攜帶 translation certificate； 10. **Coverage Certificate**：任何覆蓋聲明都必須保存分母、取樣、權重、來源、版本、未觀察區與重播規格。 本文核心命題為： \[ \boxed{ \text{「知道多少」不是一個純量，而是一個相對於目標域、資格域、表示、條件與時間的覆蓋形狀。} } \] 以及： \[ \boxed{ \Delta M_{\mathrm{covered}}>0 \not\Rightarrow \Delta\rho>0, } \] 因為當目標空間的擴張速度高於覆蓋速度時，知識的絕對量可以增加，而相對覆蓋率仍下降。 --- # 0. 研究定位與非主張聲明 本文承接： \[ \mathbb K_t = \left\langle \Omega_t, N_t, R_t, \Theta_t, \mathcal D_t, \boldsymbol{\rho}_t, \mathbf G_t, \mathbf B_t, \mathbf C_t, \mathcal V_t, \mathcal H_t, \mathsf{Cert}_t \right\rangle \] 中的： \[ \boxed{\boldsymbol{\rho}_t} \] 部分。 DEST-01 已把知識資格拆為： \[ \mathcal D_t(\theta) = \left\langle D^D,D^O,D^R,D^J,D^V,D^L,D^G \right\rangle_{t,\theta}. \] 本文不重新定義七域，而是回答： > 在每一個資格域內，到底覆蓋了什麼？覆蓋多少？缺的是內容、關係、條件、路徑、驗證還是版本？不同域之間的覆蓋轉換瓶頸在哪裡？ 本文不宣稱： 1. 六種覆蓋維度是唯一完備分類； 2. 所有覆蓋維度都有天然有限分母； 3. 所有維度都存在唯一自然測度； 4. 節點、關係、路徑與證書可以無損投射到同一比例尺度； 5. 平均覆蓋率可以替代最壞維度； 6. 覆蓋率高必然意味真值高； 7. 覆蓋率高必然意味推理能力高； 8. 路徑覆蓋高必然表示存在全域黏合； 9. 多表示聯集必然增加真實知識，而不是只增加重複表示； 10. 所有覆蓋函數都滿足單調性或次模性； 11. 取樣估計可以無條件代表未知全集； 12. 任何「100% coverage」在未固定 reference frame 前具有全域意義。 認識論標籤： - **[DEF]**：本文定義； - **[PROP]**：由定義或明示假設直接得到； - **[CONJ]**：待證／待實驗猜想； - **[PROG]**：AI／工程研究規格； - **[OPEN]**：未完成義務； - **[ALIGN]**：與外部成熟數學／計算理論的結構對照。 --- # 1. 為什麼單一覆蓋率不足？ ## 1.1 第一種錯誤：只數內容 設目標知識集合為： \[ U=\{x_1,\ldots,x_n\}. \] 最直觀覆蓋率： \[ \rho_{\mathrm{naive}} = \frac{|K\cap U|}{|U|}. \] 這只能回答： > 有多少目標項目出現在目前系統中？ 它不能回答： - 項目之間是否有正確關係； - 是否知道每個命題成立的條件； - 是否保存證明與反例； - 是否有替代推導路徑； - 是否知道哪一版本仍有效； - 是否能從局部結果黏合成全域結果。 因此： \[ \boxed{ \rho^N=1 \not\Rightarrow \rho^R=\rho^\Theta=\rho^P=\rho^V=\rho^T=1. } \] ## 1.2 第二種錯誤：把「存在」當「可用」 一篇論文在資料庫中： \[ x\in N_t \] 不表示： \[ x\in D^{\mathrm{reach}}, \] 也不表示： \[ x\in D^{\mathrm{judge}}, \] 更不表示： \[ x\in D^{\mathrm{verify}}. \] 因此內容覆蓋與資格域覆蓋必須正交表示。 ## 1.3 第三種錯誤：固定分母幻覺 若今天已知目標項目 100 個，覆蓋 80 個： \[ \rho_t=\frac{80}{100}=0.8. \] 明天 AI 搜索發現 100 個新的有效目標，並額外覆蓋 20 個： \[ \rho_{t+1} = \frac{100}{200} = 0.5. \] 此時： \[ M_{\mathrm{covered}}: 80\to100 \] 確實增加，但： \[ \rho: 0.8\to0.5 \] 下降。 所以： \[ \boxed{ \text{Absolute Coverage Gain} \neq \text{Relative Coverage Gain}. } \] --- # 2. Coverage Reference Frame：覆蓋率必須先有參考框架 ## 2.1 定義 [DEF] 任何覆蓋聲明都必須綁定： \[ \boxed{ \mathfrak F_t = \left\langle U_t, \mathcal T_t, \theta_t, \pi_t, \mu_t, \mathcal V_t, \mathcal H_t \right\rangle } \] 其中： - \(U_t\)：目標對象宇宙； - \(\mathcal T_t\)：目標型別集合； - \(\theta_t\)：條件纖維； - \(\pi_t\)：表示後端； - \(\mu_t\)：測度／權重； - \(\mathcal V_t\)：版本規則； - \(\mathcal H_t\)：來源與歷史界定。 因此完整覆蓋聲明不是： ```text coverage = 82% ``` 而至少是： ```yaml coverage_claim: dimension: verification numerator_scope: "BSD theorem-applicable curve claims" denominator_scope: "all claims in benchmark v3" condition: "E/Q, conductor < 500000" representation: "typed theorem graph" measure: "uniform_per_claim" version: "2026-08-12" coverage: 0.82 ``` ## 2.2 Reference-frame relativity [PROP] 同一系統 \(K\) 對兩個參考框架： \[ \mathfrak F_1\neq\mathfrak F_2 \] 可以有： \[ \rho(K\mid\mathfrak F_1) \neq \rho(K\mid\mathfrak F_2). \] 因此沒有未指定 reference frame 的全域「知識百分比」。 --- # 3. 六維覆蓋向量 定義覆蓋型別集合： \[ \mathcal C = \{N,R,\Theta,P,V,T\}. \] 對每一： \[ \alpha\in\mathcal C, \] 定義： \[ \rho^\alpha_t = \operatorname{Coverage}_\alpha (\mathbb K_t\mid\mathfrak F_t). \] 得到： \[ \boxed{ \boldsymbol{\rho}_t = ( \rho^N, \rho^R, \rho^\Theta, \rho^P, \rho^V, \rho^T )_t. } \] --- # 4. 節點／內容覆蓋 \(\rho^N\) ## 4.1 定義 [DEF] 設目標節點集合： \[ U_N^\star \] 與已合法表示節點： \[ K_N. \] 則： \[ \boxed{ \rho^N = \frac{ \mu_N(K_N\cap U_N^\star) }{ \mu_N(U_N^\star) } } \] 在分母有限且可知時成立。 節點可以是： - 定義； - 命題； - theorem； - 反例； - 資料； - 論文； - 程式； - 工具； - 模型； - 版本； - proof obligation。 ## 4.2 Presence 不等於 semantic identity 同一概念可能出現多個別名： \[ x_1,x_2,x_3. \] 若沒有 entity resolution，不得把它們當三份獨立 coverage。 反之，相同文字： \[ \operatorname{Label}(x)=\operatorname{Label}(y) \] 也不保證： \[ x=y. \] 因此節點覆蓋需要： \[ \operatorname{IdentityCert}. \] --- # 5. 關係／橋接覆蓋 \(\rho^R\) ## 5.1 關係宇宙 [DEF] 定義型別化關係： \[ R^\star \subseteq N^\star \times \mathcal L_R \times N^\star, \] 其中 \(\mathcal L_R\) 可包含： - depends_on； - implies； - contradicts； - cites； - generalizes； - specializes； - equivalent_under； - valid_if； - invalidated_by； - verified_by； - version_of； - bridge_to。 已覆蓋關係： \[ R_t\subseteq R^\star. \] 則： \[ \boxed{ \rho^R = \frac{\mu_R(R_t)}{\mu_R(R^\star)} } \] 在 target relation universe 已固定時成立。 ## 5.2 高節點、低關係狀態 可以存在： \[ \rho^N\approx1, \qquad \rho^R\ll1. \] 這對應： > 論文都下載了，但不知道彼此怎麼接。 也對應： > theorem 都知道，但不知道哪個 theorem 正好填哪個 proof obligation。 ## 5.3 Relation closure 不應自動補邊 若已知： \[ A\to B, \qquad B\to C, \] 不能無條件把： \[ A\to C \] 寫入關係庫。 必須區分： ```text explicit relation derived relation hypothesized relation candidate bridge ``` 否則 relation coverage 會因自動推論膨脹而失真。 --- # 6. 條件／作用域覆蓋 \(\rho^\Theta\) ## 6.1 條件不是 metadata 附件 對命題 \(p\)，完整資格至少需要： \[ \Theta(p) = \langle \operatorname{Dom}, \operatorname{Assumptions}, \operatorname{Scale}, \operatorname{Boundary}, \operatorname{Version}, \operatorname{Failure}, \operatorname{Quantifier} \rangle. \] 因此條件覆蓋回答： > 我們是否不只知道命題，而知道它究竟在哪裡成立、在哪裡失效？ ## 6.2 條件原子覆蓋 [DEF] 令命題 \(p\) 所需條件原子集： \[ A_\Theta(p) = \{a_1,\ldots,a_k\}. \] 已確認條件： \[ \widehat A_\Theta(p). \] 則： \[ c^\Theta(p) = \frac{ \mu_\Theta( \widehat A_\Theta(p)\cap A_\Theta(p) ) }{ \mu_\Theta(A_\Theta(p)) }. \] 全局： \[ \rho^\Theta = \operatorname{Agg}_{p\in U} c^\Theta(p). \] ## 6.3 Quantifier coverage 條件覆蓋特別需要量詞標籤： ```text finite range almost all positive density density one infinitely many for every object in family uniform in parameter global universal ``` 因為： \[ \text{density one} \neq \forall. \] 所以量詞自身是 coverage 內容。 --- # 7. 路徑／閉路覆蓋 \(\rho^P\) ## 7.1 為什麼路徑也是知識？ 同一結論可能有： - 唯一一條脆弱推導； - 多條獨立證明； - 一條數值路徑與一條形式路徑； - 多個 representation escape； - 多個工具後端。 這些狀態的韌性完全不同。 ## 7.2 路徑集合 [DEF] 對目標對象 \(x\)，定義合法路徑族： \[ \Pi^\star(x). \] 已發現／已驗證路徑： \[ \widehat\Pi_t(x). \] 最直接： \[ c^P(x) = \frac{ \mu_P(\widehat\Pi_t(x)) }{ \mu_P(\Pi^\star(x)) }. \] 但 \(\Pi^\star(x)\) 常為巨大或無限集合，因此 production 系統通常改用： - basis paths； - shortest-path classes； - proof families； - cycle basis； - tool-route classes； - homotopy / equivalence classes； - bounded-cost path classes。 ## 7.3 基本閉路覆蓋 [DEF] 給圖／複形的閉路生成集： \[ \Gamma_{\mathrm{basis}} = \{\gamma_1,\ldots,\gamma_m\}. \] 已完成 loop audit： \[ \widehat\Gamma_t. \] 定義： \[ \boxed{ \rho^{P,\mathrm{loop}} = \frac{ \mu_\Gamma(\widehat\Gamma_t) }{ \mu_\Gamma(\Gamma_{\mathrm{basis}}) }. } \] 這不表示所有可能閉路都已枚舉，而表示對指定生成閉路基底的 audit coverage。 ## 7.4 路徑數量不等於路徑獨立性 十條路徑若共享同一核心 lemma： \[ L^\star \] 並不等於十份獨立證據。 因此可另定義 path diversity： \[ D_P = \operatorname{Diversity} (\widehat\Pi_t). \] Production 系統應保存： - shared lemmas； - shared data； - shared tools； - shared assumptions； - shared provenance。 --- # 8. 驗證／證書覆蓋 \(\rho^V\) ## 8.1 驗證不是 confidence 對 claim \(p\)，定義需要的證書型別： \[ \mathcal C^\star_V(p). \] 已具備： \[ \widehat{\mathcal C}_V(p). \] 則： \[ c^V(p) = \frac{ \mu_V( \widehat{\mathcal C}_V(p) \cap \mathcal C^\star_V(p) ) }{ \mu_V(\mathcal C^\star_V(p)) }. \] 證書型別可包括： - formal proof； - exact arithmetic； - interval certificate； - reproducible experiment； - independent replication； - theorem applicability； - source integrity； - adversarial counterexample audit； - global gluing certificate。 ## 8.2 Certification strength 是偏序，不必是一條線 不能預設： ```text numerical < experimental < formal ``` 適用於所有領域。 例如實驗科學不會因為形式推導存在，就自動替代實驗證據。 因此證書類型形成： \[ (\mathcal C_V,\preceq_{\mathrm{task}}) \] 的任務相對偏序，而不是固定單軸排名。 ## 8.3 Verified coverage 與 claim coverage 分離 可能： \[ \rho^N=0.95 \] 但： \[ \rho^V=0.18. \] 這表示： > 系統很會生成／收集 claim，但驗證能力遠遠跟不上。 這是 AI 研究系統中非常重要的狀態。 --- # 9. 時間／版本／來源覆蓋 \(\rho^T\) ## 9.1 三件事不再混寫 本文將第六維 \(T\) 實際拆成： \[ T=(T_{\mathrm{time}},T_{\mathrm{version}},T_{\mathrm{prov}}). \] 因此： \[ \rho^T = \mathbf w_T\cdot ( \rho^{\mathrm{time}}, \rho^{\mathrm{version}}, \rho^{\mathrm{prov}} ). \] 只有在任務明確指定權重時才投影為一個值。 ## 9.2 版本覆蓋 若 claim 有版本族： \[ v_1\to v_2\to\cdots\to v_n, \] 需要知道： - 哪個版本仍 active； - 哪個證書屬於哪版； - 哪次遷移破壞了證書； - 哪些關係被 supersede； - 哪些結果只在舊資料成立。 ## 9.3 Provenance coverage 對一項結果 \(x\)，來源集合： \[ \operatorname{Prov}(x) \] 可能包含： - 原始資料； - 原始 paper； - 派生計算； - Agent 轉換； - 人工修改； - 模型版本； - tool output； - hash / timestamp。 來源覆蓋不是「有一個 citation 就算完成」。 需要保存 lineage 的必要節點與轉換。 --- # 10. 覆蓋的三層狀態：Eligibility、Evidence、Aggregation ## 10.1 第一層：Eligibility Mask [DEF] 對 dimension \(\alpha\)，定義： \[ E^\alpha(x\mid\mathfrak F) \in \{0,1,?\}. \] 它回答： > 這個對象是否應被算進這個覆蓋分母？ ## 10.2 第二層：Atomic Coverage [DEF] \[ c^\alpha(x) \in[0,1] \] 表示在該維度上的局部覆蓋程度。 ## 10.3 第三層：Aggregation [DEF] \[ \rho^\alpha = \frac{ \int E^\alpha(x)c^\alpha(x) \,d\mu_\alpha(x) }{ \int E^\alpha(x) \,d\mu_\alpha(x) }. \] 這使： - eligibility； - coverage； - weighting； 三件事不再混在同一個分數中。 --- # 11. 分母未知：Open-Denominator Coverage ## 11.1 Closed denominator 如果： \[ U^\star \] 有限且完整已知，正常使用： \[ \rho = \frac{\mu(K\cap U^\star)}{\mu(U^\star)}. \] ## 11.2 Open denominator [DEF] 若完整目標宇宙未知，定義： \[ U_t^{\mathrm{known}} \subseteq U^\star \subseteq U_t^{\mathrm{possible}}. \] 則覆蓋只應報： \[ \boxed{ \underline\rho_t \le \rho_t \le \overline\rho_t } \] 其中實際上下界必須由指定 measure、已知目標與可證可能目標共同構造，而不能只拿觀察樣本直接當全集。 Production 建議格式： ```yaml denominator_state: open-bounded covered_mass: ... known_target_mass: ... possible_target_bound: ... coverage_lower_bound: ... coverage_upper_bound: ... ``` ## 11.3 未知 unknown-unknown 不應偽裝成零 若無法界定： \[ U_t^{\mathrm{possible}}, \] 則上界可能根本無法估計。 正確狀態是： ```text coverage = lower-bounded denominator = open-unbounded ``` 而不是： ```text coverage = 63% ``` --- # 12. 絕對覆蓋量與相對覆蓋率 ## 12.1 Covered mass [DEF] \[ M_t^\alpha = \mu_\alpha(K_t^\alpha). \] ## 12.2 Target mass [DEF] \[ U_t^\alpha = \mu_\alpha(\Omega_t^\alpha). \] ## 12.3 Relative coverage \[ \rho_t^\alpha = \frac{M_t^\alpha}{U_t^\alpha}. \] 離散時間： \[ \Delta\rho_t^\alpha = \frac{M_{t+1}^\alpha}{U_{t+1}^\alpha} - \frac{M_t^\alpha}{U_t^\alpha}. \] 因此可以： \[ \Delta M_t^\alpha>0 \] 同時： \[ \Delta\rho_t^\alpha<0. \] ## 12.4 連續近似 若可微： \[ \dot\rho^\alpha = \frac{ \dot M^\alpha U^\alpha - M^\alpha\dot U^\alpha }{ (U^\alpha)^2 }. \] 因此： \[ \dot\rho^\alpha<0 \] 當： \[ \frac{\dot M^\alpha}{M^\alpha} < \frac{\dot U^\alpha}{U^\alpha}. \] 也就是： \[ \boxed{ \text{覆蓋成長率} < \text{目標空間成長率}. } \] 這是「知道更多，卻相對知道更少」的最小數學表示。 --- # 13. 六維覆蓋不是一個總序，而是偏序 ## 13.1 Coverage profile [DEF] \[ \mathbf r_A = (r_A^N,r_A^R,r_A^\Theta,r_A^P,r_A^V,r_A^T). \] 對另一系統 \(B\)： \[ \mathbf r_B. \] ## 13.2 Pareto dominance [DEF] 若： \[ r_A^\alpha \ge r_B^\alpha \quad \forall\alpha \] 且至少一維嚴格大於，則： \[ A\succ_{\mathrm{cov}}B. \] 若有些維度 A 高、有些 B 高，則不可直接說「A 覆蓋比 B 高」。 ## 13.3 Coverage shape 例如： \[ A=(0.95,0.35,0.20,0.10,0.15,0.95) \] 與： \[ B=(0.65,0.65,0.65,0.65,0.65,0.65). \] 兩者平均可能接近，但形狀完全不同。 A 是： > 高收集、低結構、低驗證。 B 是： > 均衡但不完全。 因此： \[ \boxed{ \text{Coverage Mean} \neq \text{Coverage Shape}. } \] --- # 14. 必須投影成單一值時怎麼辦？ ## 14.1 任務加權投影 [DEF] \[ \rho^{(\mathbf w)} = \sum_{\alpha} w_\alpha\rho^\alpha, \qquad \sum_\alpha w_\alpha=1. \] 權重必須由任務指定。 ## 14.2 Critical-min projection 高風險任務可使用： \[ \rho_{\min} = \min_{\alpha\in\mathcal C_{\mathrm{critical}}} \rho^\alpha. \] 避免其他高分把關鍵低覆蓋維度平均掉。 ## 14.3 Harmonic projection 若希望低值受到更大懲罰： \[ \rho_H = \frac{ |\mathcal C| }{ \sum_\alpha 1/(\rho^\alpha+\epsilon) }. \] ## 14.4 禁止的操作 不得在沒有任務說明時宣稱： \[ \rho_{\mathrm{mean}} \] 是「真正的整體知識覆蓋」。 所有 scalar projection 都只是： \[ \boxed{ \text{task-relative summary}. } \] --- # 15. 與七資格域交叉：Domain-Conditioned Coverage DEST-01 的七域： \[ \mathcal A = \{D,O,R,J,V,L,G\}. \] 現在對每一 coverage dimension \(\alpha\)，定義： \[ \rho^\alpha_a = \operatorname{Coverage}_\alpha (D^a). \] 所以一個完整 coverage block 可以是： \[ R_t \in [0,1]^{6\times7}. \] 行代表： \[ N,R,\Theta,P,V,T \] 列代表： \[ D,O,R,J,V,L,G. \] --- # 16. 六維 × 七域 × 七域：Coverage Transition Tensor ## 16.1 定義 [DEF] 將 DEST-01 的： \[ Q_{ab} = \frac{\mu(D^a\cap D^b)}{\mu(D^a)} \] 提升為： \[ \boxed{ Q^{\alpha}_{ab} (t,\theta,\pi) = \frac{ \mu_\alpha ( K^\alpha_t \cap D^a_{t,\theta,\pi} \cap D^b_{t,\theta,\pi} ) }{ \mu_\alpha ( K^\alpha_t \cap D^a_{t,\theta,\pi} ) } } \] 其中： \[ \alpha\in\{N,R,\Theta,P,V,T\}. \] 因此： \[ \boxed{ \mathcal Q_t \in [0,1]^{6\times7\times7} } \] 在固定 \((t,\theta,\pi)\) 下成立。 ## 16.2 語義 例如： \[ Q^N_{RJ}\ll1 \] 表示： > 可達的內容節點很多，但真正可判定的很少。 \[ Q^\Theta_{JV}\ll1 \] 表示： > 已能判定的 claim 中，條件證書仍不完整。 \[ Q^P_{LG}\ll1 \] 表示： > 局部 proof paths 很多，但真正通過 global gluing 的路徑族很少。 \[ Q^T_{VG}\ll1 \] 表示： > 局部驗證結果很多，但跨版本／時間遷移後仍保持全域有效的比例很低。 --- # 17. Coverage Debt Tensor ## 17.1 質量式債務 [DEF] 對域轉換： \[ a\to b \] 以及覆蓋維度 \(\alpha\)，定義： \[ \boxed{ \Delta^{\alpha}_{a\to b} = \mu_\alpha \left( K^\alpha\cap D^a \setminus D^b \right). } \] ## 17.2 標準化債務 \[ \delta^{\alpha}_{a\to b} = 1-Q^\alpha_{ab}. \] ## 17.3 高價值例子 ### 內容可達 → 可判債務 \[ \Delta^N_{R\to J}. \] ### 條件判定 → 驗證債務 \[ \Delta^\Theta_{J\to V}. \] ### 路徑局部 → 全域債務 \[ \Delta^P_{L\to G}. \] ### 版本驗證 → 全域債務 \[ \Delta^T_{V\to G}. \] 這比一句： > 「還有很多 Gap」 更適合 Agent 派工。 --- # 18. Gate DAG 上的瓶頸覆蓋 七域不是固定線性序，因此只對 task-specific Gate DAG 的合法邊計算瓶頸。 令： \[ \mathcal G_{\mathrm{qual}} = (V_G,E_G). \] 對： \[ (a,b)\in E_G \] 定義： \[ B^\alpha_{a\to b} = 1-Q^\alpha_{ab}. \] 任務瓶頸： \[ \boxed{ B^\star = \arg\max_{(\alpha,a,b)} w_{\alpha ab} B^\alpha_{a\to b}. } \] 下一操作不再問： > 哪個總分最低？ 而問： > 哪個合法域轉換上的高價值覆蓋債務最大？ --- # 19. Coverage Throughput 與 Backlog Dynamics ## 19.1 轉換吞吐量 延續 DEST-01： \[ \nu_{a\to b}^{\alpha}(t) = \frac{ \Delta M_{a\to b}^{\alpha} }{ \Delta t }. \] ## 19.2 候選生成速度 \[ \nu_{\mathrm{gen}}^\alpha. \] ## 19.3 驗證速度 \[ \nu_{\mathrm{ver}}^\alpha. \] ## 19.4 Backlog \[ B_t^\alpha = M_{\mathrm{candidate}}^\alpha - M_{\mathrm{verified}}^\alpha. \] 簡化動力： \[ B_{t+1}^\alpha = B_t^\alpha + G_t^\alpha - V_t^\alpha - I_t^\alpha \] 其中： - \(G_t^\alpha\)：新生成候選； - \(V_t^\alpha\)：完成驗證； - \(I_t^\alpha\)：因重複、失效、淘汰或合併而移除。 若： \[ \mathbb E[G_t^\alpha] > \mathbb E[V_t^\alpha+I_t^\alpha], \] 則 backlog 的期望值上升。 --- # 20. Coverage Frontier Lag ## 20.1 前沿速度 [DEF] 對維度 \(\alpha\)，定義： \[ v_{\mathrm{reach}}^\alpha, \quad v_{\mathrm{judge}}^\alpha, \quad v_{\mathrm{verify}}^\alpha, \quad v_{\mathrm{global}}^\alpha. \] ## 20.2 Lag \[ \boxed{ L_{R\to V}^\alpha = v_{\mathrm{reach}}^\alpha - v_{\mathrm{verify}}^\alpha. } \] 若： \[ L_{R\to V}^\alpha>0 \] 長期成立，則可達知識增長速度超過驗證速度。 ## 20.3 AI 時代的典型狀態 [CONJ] 可能出現： \[ v_{\mathrm{generate}} > v_{\mathrm{reach}} > v_{\mathrm{judge}} > v_{\mathrm{verify}} > v_{\mathrm{global}}. \] 這不是定律，而是一個可實證檢查的候選形態。 若成立，最稀缺資源將從「生成知識」逐步轉向： - 條件化； - 驗證； - 黏合； - 版本治理； - 來源保存。 --- # 21. Dynamic Coverage Update ## 21.1 一般離散更新 [DEF] \[ \boldsymbol{\rho}_{t+1} = \mathcal U_\rho \left( \boldsymbol{\rho}_t, \Delta N_t, \Delta R_t, \Delta\Theta_t, \Delta P_t, \Delta V_t, \Delta T_t, \Delta U_t, \mathcal H_t \right). \] 其中： \[ \Delta U_t \] 代表目標空間本身的變化。 ## 21.2 四種基本事件 ### A. Coverage gain 已知目標不變、已覆蓋量增加。 ### B. Denominator expansion 發現新候選／新問題，使分母增加。 ### C. Invalidation 新反例／版本變化使有效覆蓋量下降。 ### D. Reclassification 對象未增減，但從： ```text candidate ``` 移到： ```text verified ``` 或： ```text local ``` 移到： ```text global ``` 所以覆蓋動力不等於節點增量。 --- # 22. Coverage Invalidation 與歷史帳本 若某證書失效： \[ c_t^V(x)=1 \] 可以變成： \[ c_{t+1}^V(x)=0. \] 但歷史不刪： \[ \mathcal H_t \subseteq \mathcal H_{t+1}. \] 保存： ```yaml coverage_event: object: x dimension: verification old: pass new: fail cause: counterexample old_certificate: cert-v2 invalidating_evidence: ref-17 ``` 因此： \[ \boxed{ \text{active coverage 非單調；coverage history 可 append-only}. } \] --- # 23. Representation-Conditioned Coverage ## 23.1 表示纖維 [DEF] \[ \rho^\alpha_{t,\theta,\pi}. \] 不同表示： \[ \pi_1,\pi_2 \] 可以有： \[ \rho^\alpha(\pi_1) \neq \rho^\alpha(\pi_2). \] ## 23.2 Representation lift 若： \[ \rho^J(\pi_2) > \rho^J(\pi_1), \] 不能立刻說知識增加。 需要區分： ### 真 coverage gain 新表示暴露了原本不可判的結構，且 TranslationCert 通過。 ### apparent gain 新表示只把原有資訊重複編碼。 ### lossy gain 新表示提升可判定性，但犧牲關鍵條件或來源。 因此記： \[ \Delta\rho^\alpha_{\pi_1\to\pi_2} \] 必須同時保存： \[ \operatorname{TranslationCert} (\pi_1,\pi_2). \] --- # 24. Multi-Representation Union 令： \[ \Pi=\{\pi_1,\ldots,\pi_k\}. \] 定義聯合覆蓋： \[ K^\alpha_\Pi = \bigcup_i K^\alpha_{\pi_i}. \] 但 naive union 會受 duplicate aliases 污染，因此先做： \[ \operatorname{Canonicalize} \] 與： \[ \operatorname{NonCollapseAudit}. \] 最後才計算： \[ \rho^\alpha(\Pi). \] --- # 25. Coverage Gain 與次模性：只作可選後端 [ALIGN] 在標準 maximum coverage / submodular optimization 中，許多集合覆蓋目標具有 diminishing returns： \[ f(A\cup\{x\})-f(A) \ge f(B\cup\{x\})-f(B), \qquad A\subseteq B. \] 這給出「越到後面，新增同類節點的邊際覆蓋可能越小」的成熟數學原型。 DEST 可在**滿足次模條件的特定覆蓋函數**中採用這個後端。 但 DEST 不宣稱： \[ \text{所有 epistemic coverage} \] 都是 submodular。 例如新增一個 bridge 可能突然讓大量局部節點進入全域黏合域，產生超加性跳躍。 因此： \[ \boxed{ \text{submodularity 是可驗證的局部假設，不是 DEST 公理。} } \] --- # 26. 邊際覆蓋效益 ## 26.1 定義 [DEF] 對操作 \(a\)： \[ \Delta\boldsymbol\rho(a) = \boldsymbol\rho_{t+1}(a) - \boldsymbol\rho_t. \] ## 26.2 成本感知效益 \[ U(a) = \frac{ \mathbf w\cdot \mathbb E[ \Delta\boldsymbol\rho(a) ] }{ C(a)+R(a) }. \] ## 26.3 Bottleneck-aware utility 若關鍵瓶頸為： \[ (\alpha^\star,a^\star,b^\star), \] 可以改用： \[ U_{\mathrm{bottleneck}}(a) = \frac{ \mathbb E[ \Delta Q^{\alpha^\star}_{a^\star b^\star} ] }{ C(a)+R(a) }. \] 這比最大化總平均 coverage 更不容易「在已經高覆蓋的地方繼續刷分」。 --- # 27. 關係覆蓋的中心偏見 如果搜尋／引用演算法偏好高中心節點，容易形成： \[ \rho^N_{\mathrm{center}}\uparrow \] 但： \[ \rho^N_{\mathrm{periphery}} \] 長期低。 因此 coverage 必須允許分層： \[ \rho^\alpha = ( \rho^\alpha_{\mathrm{core}}, \rho^\alpha_{\mathrm{mid}}, \rho^\alpha_{\mathrm{frontier}}, \rho^\alpha_{\mathrm{periphery}} ). \] 高平均值可能掩蓋： > 長尾、跨域邊緣與低引用節點幾乎未被覆蓋。 --- # 28. Coverage Diversity ## 28.1 來源多樣性 若 100 個 claim 全來自同一 source family，其 source count 高但 diversity 低。 定義： \[ D_{\mathrm{source}} = \operatorname{Diversity} (\operatorname{Prov}(K)). \] 可使用： - source entropy； - independent lineage count； - institution diversity； - method diversity； - model diversity。 ## 28.2 方法多樣性 對同一 claim，形式證明、數值檢查、實驗、不同 theorem route 的一致，和 10 次同一模型重跑不是同一種 coverage。 因此： \[ \rho^V \] 與： \[ D_V \] 應分開保存。 --- # 29. Local Coverage 與 Global Coverage ## 29.1 局部 coverage [DEF] 對遮蔽： \[ X=\bigcup_iU_i, \] 每個局部： \[ \boldsymbol\rho(U_i). \] ## 29.2 全域 coverage 不等於局部平均 不能寫： \[ \rho^{\mathrm{global}} = \frac1n\sum_i\rho(U_i). \] 還必須加： - overlap consistency； - restriction compatibility； - loop audit； - branch preservation； - global certificate。 ## 29.3 Sheaf-style backend [ALIGN] 在適合的資料融合／局部截面問題中，可以採用 sheaf： - stalk/local section； - restriction map； - assignment； - consistency radius； - global section。 此時 local coverage 高但 consistency radius 大，仍然不能宣稱 global coverage 高。 DEST 只使用這個作 formal backend 候選，不宣稱所有知識系統天然為 sheaf。 --- # 30. Coverage Holonomy 對閉路： \[ \gamma, \] 有： \[ H_\gamma. \] 若： \[ H_\gamma\neq\operatorname{id}, \] 即使： \[ \rho^N=\rho^R=1 \] 也可能： \[ \rho^{P,\mathrm{global}}<1. \] 因此路徑 coverage 必須能記錄： \[ \delta_\gamma = d( H_\gamma(s), s ). \] 若只檢查「邊都有沒有」，會漏掉 closed-loop defect。 --- # 31. Provenance Coverage 與 Semiring 對照 [ALIGN] 資料庫 provenance semiring 提供一個重要成熟原型： > 查詢結果不只保存值，也保存它如何由輸入來源組合產生。 DEST 的來源 coverage 可借用： - source annotations； - algebraic combination； - lineage propagation； 但不要求所有數學證明、理論演化與多 Agent 研究都直接等同 relational provenance semiring。 其主要啟發是： \[ \boxed{ \text{結果覆蓋與來源覆蓋必須分開。} } \] --- # 32. Coverage Error Taxonomy 至少區分： | Code | 名稱 | 意義 | |---|---|---| | COV-N0 | Node-only illusion | 只統計內容 | | COV-R1 | Relation blindness | 關係覆蓋缺失 | | COV-TH2 | Condition blindness | 作用域／條件未覆蓋 | | COV-P3 | Path blindness | 未測替代路徑／閉路 | | COV-V4 | Verification inflation | 候選被算成已驗證 | | COV-T5 | Version blindness | 忽略時間／版本 | | COV-D6 | Denominator freeze | 把移動分母當固定 | | COV-A7 | Alias inflation | 重複別名造成虛假增長 | | COV-S8 | Scalar collapse | 多維覆蓋被硬壓單值 | | COV-G9 | Local-global confusion | 局部平均冒充全域 | | COV-R10 | Representation inflation | 換表示後重複計數 | | COV-P11 | Provenance loss | 有結果無來源 | | COV-B12 | Bottleneck masking | 高平均掩蓋關鍵低維 | | COV-U13 | Unknown-denominator overclaim | 未知全集卻報精確百分比 | --- # 33. Coverage Certificate ## 33.1 最小證書 [DEF] ```yaml coverage_certificate: coverage_id: "cov-..." time: "..." dimension: "node|relation|condition|path|verification|temporal" source_domain: "defined|observed|reachable|judgeable|verifiable|local|global" target_domain: "..." reference_frame: target_universe_id: "..." denominator_state: "closed|open-bounded|open-unbounded" condition_id: "..." representation_id: "..." version_id: "..." measure_id: "..." numerator: covered_mass: null object_count: null denominator: known_target_mass: null possible_target_bound: null result: point_estimate: null lower_bound: null upper_bound: null quality: identity_resolution: "pass|fail|unknown" duplicate_audit: "pass|fail|unknown" provenance_coverage: null sample_bias_audit: "pass|fail|unknown" global_gluing_required: false replay: query: "..." code_ref: "..." data_hashes: [] debts: [] ``` --- # 34. Coverage Cube / Tensor 的 AI 儲存格式 對固定 context： ```yaml coverage_tensor: dimensions: - node - relation - condition - path - verification - temporal domains: - defined - observed - reachable - judgeable - verifiable - local - global values: node: reachable_to_judgeable: 0.81 judgeable_to_verifiable: 0.44 local_to_global: 0.22 relation: reachable_to_judgeable: 0.52 judgeable_to_verifiable: 0.31 local_to_global: 0.11 denominator_state: open-bounded context_id: ctx-001 representation_id: graph-v3 version_id: corpus-2026-08-12 ``` 這比一個： ```text coverage = 72% ``` 提供更多可路由資訊。 --- # 35. Coverage Dashboard 人類視圖可以簡化： ```text Content █████████░ 91% Relations ██████░░░░ 63% Conditions █████░░░░░ 52% Paths ████░░░░░░ 41% Verification ███░░░░░░░ 33% Version/Prov ████████░░ 84% ``` 再顯示： ```text Largest transition debts J → V / Path 0.71 L → G / Relation 0.66 R → J / Condition 0.48 V → G / Temporal 0.43 ``` 真正的 AI backend 則保存完整 tensor。 --- # 36. Coverage Benchmark I：文獻研究 對某研究題： ## Node coverage 是否找到主要 paper / theorem / datasets？ ## Relation coverage 是否知道誰 extends / contradicts / depends on 誰？ ## Condition coverage 是否提取 theorem hypotheses、範圍、例外？ ## Path coverage 是否找到替代 proof routes、negative routes、representation escapes？ ## Verification coverage 是否能確認 theorem applicability、重播計算或形式證書？ ## Temporal coverage 是否知道版本、勘誤、最新結果與來源譜系？ 這比「找了多少篇 paper」更接近實際研究品質。 --- # 37. Coverage Benchmark II：數學猜想 對 conjecture \(C\)： \[ \boldsymbol\rho(C) = ( \rho^N,\rho^R,\rho^\Theta,\rho^P,\rho^V,\rho^T ). \] 例如： - \(N\)：已知 lemmas／results； - \(R\)：dependency graph； - \(\Theta\)：quantifier / parameter regimes； - \(P\)：proof routes / obstruction loops； - \(V\)：verified lemmas / formalization； - \(T\)：historical/current theorem state。 這可以直接發現： > 不是 theorem 太少，而是局部—全域 transition coverage 太低。 --- # 38. Coverage Benchmark III：AI 訓練資料 一個可驗證知識單元不只要求： ```text question + answer ``` 而要求： - concept identity； - prerequisites； - relations； - conditions； - counterexamples； - boundary cases； - certificate； - provenance； - version； - representation alternatives。 因此 AI 資料集 coverage 也應按六維報告。 --- # 39. Coverage Benchmark IV：多 Agent 系統 對多 Agent research runtime： - Agent A 可能高 \(N,R\)； - Agent B 高 \(V\)； - Agent C 高 \(T\)； - Global auditor 高 \(P,G\)。 群體 coverage： \[ K_{\mathrm{team}} = \operatorname{Glue} (K_1,\ldots,K_m) \] 不等於： \[ \bigcup_iK_i \] 的簡單聯集。 因為仍要檢查： - duplicate identity； - contradictory conditions； - incompatible versions； - broken provenance； - unglued branches。 --- # 40. Coverage Allocation Policy ## 40.1 不是永遠追最低維度 如果低 coverage 維度與當前任務無關，未必值得補。 所以定義任務價值： \[ W_q^\alpha. \] ## 40.2 操作選擇 [PROG] \[ a^\star = \arg\max_a \frac{ \sum_\alpha W_q^\alpha \mathbb E[\Delta\rho^\alpha\mid a] + \sum_{\alpha,a,b} W_{q,\alpha ab} \mathbb E[\Delta Q^\alpha_{ab}\mid a] }{ C(a)+R(a) }. \] 這是 coverage-aware research routing。 --- # 41. Coverage Saturation ## 41.1 局部飽和 [DEF] 若： \[ \Delta\rho^\alpha \to0 \] 且持續增加同類操作只有極低邊際收益，稱： \[ \operatorname{Sat}^\alpha. \] ## 41.2 飽和不等於完成 可能： \[ \operatorname{Sat}^N \] 但： \[ \rho^V\ll1. \] 表示： > 繼續找 paper 幾乎沒價值，應轉去驗證。 ## 41.3 Freeze rule [PROG] 若連續 \(k\) 輪： - node coverage 幾乎不變； - relation/condition/verification debt 不下降； - 沒有新 representation； - 沒有新 certificate； 則停止同類 retrieval route。 這可防止 Agent 在已飽和維度無限消耗 token。 --- # 42. Coverage Anisotropy ## 42.1 定義 [DEF] 如果六維 coverage 差異很大，稱系統具有 coverage anisotropy。 簡單指標： \[ A_\rho = \operatorname{Var} ( \rho^N,\rho^R,\rho^\Theta,\rho^P,\rho^V,\rho^T ). \] 高： \[ A_\rho \] 表示覆蓋高度不均。 ## 42.2 研究意義 高 anisotropy 常意味： - 收集遠快於理解； - 理解遠快於驗證； - 局部遠快於全域； - 新版本遠快於證書遷移。 --- # 43. Coverage Fragility ## 43.1 定義 [DEF] 移除 source / lemma / tool \(z\) 後： \[ \Delta_z\rho^\alpha = \rho^\alpha - \rho^\alpha_{-z}. \] 若： \[ \Delta_z\rho^\alpha \] 很大，表示 coverage 對 \(z\) 高度脆弱。 ## 43.2 Single-source illusion 如果大量 claim 的證書都依賴同一 paper： \[ z^\star, \] 表面： \[ \rho^V \] 很高，但 fragility 也高。 因此成熟報告應同時輸出： \[ (\rho^V,F^V). \] --- # 44. Coverage Redundancy 冗餘不一定浪費。 對高風險驗證，獨立冗餘可增加 robustness。 但同來源的重複： \[ \text{copy} \neq \text{independent confirmation}. \] 因此定義： \[ R_{\mathrm{ind}} \] 與： \[ R_{\mathrm{dup}}. \] 系統應優先增加 independent redundancy，而不是 duplicate mass。 --- # 45. Coverage 與 Gap 的對偶，但不是簡單 \(1-\rho\) DEST-00 早期直覺可寫： \[ G\approx1-\rho. \] 新版只在非常簡單的 closed denominator 單維情況保留此式。 一般情況： \[ \mathbf G \neq \mathbf 1-\boldsymbol\rho \] 因為 Gap 還包括： - 未建模 unknown unknown； - relation topology defect； - incompatible branches； - missing primitive； - open denominator； - path holonomy defect。 所以： \[ \boxed{ \text{Coverage 缺失是 Gap 的一部分；Gap 不等於 Coverage complement 的全部。} } \] DEST-03 將專門處理這個差異。 --- # 46. Coverage 與中心／周邊 高中心性： \[ C(x)\gg0 \] 不意味： \[ c^V(x)=1. \] 反而核心開放問題常可能： \[ C(x)\gg0, \qquad c^V(x)\approx0. \] 所以： \[ \boxed{ \text{centrality} \perp \text{coverage status} } \] 至少在一般 DEST 中不預設單調關係。 --- # 47. Coverage 與視域 當前 Agent 只載入： \[ \mathcal V_t \subset \mathbb K_t. \] 因此需分： \[ \rho_{\mathrm{available}} \] 與： \[ \rho_{\mathrm{loaded}}. \] 也就是： > 知識庫有，不代表目前 context 裡有。 這接到： - retrieval； - memory gating； - context loading； - attention allocation。 --- # 48. Coverage 與 Retrieval-first AI 對 retrieval-first AI，真正核心不再只是參數知識量，而是： 1. 能否估計當前 coverage profile； 2. 能否知道 denominator 是 closed 還是 open； 3. 能否把 query 指向最低高價值維度； 4. 能否把 retrieved 提升到 judgeable； 5. 能否把 judgeable 提升到 verifiable； 6. 能否避免重複來源造成 alias inflation； 7. 能否執行 local-to-global audit； 8. 能否保存 provenance 與版本。 因此： \[ \boxed{ \text{Search skill} \neq \text{Coverage competence}. } \] 搜尋只是 coverage transition 的一個算子。 --- # 49. 外部數學／計算理論對照 [ALIGN] ## 49.1 Abstract Interpretation Cousot & Cousot 的 abstract interpretation 將 concrete semantics 與不同 abstract domains、approximation、fixpoint construction 分開。 對 DEST 的啟發： \[ \boxed{ \text{不同分析域需要不同 soundness interface。} } \] 但本文不宣稱六維 epistemic coverage 都是 abstract interpretation lattice。 ## 49.2 Maximum Coverage / Submodular Optimization Maximum coverage 與 monotone submodular maximization 提供： - coverage objective； - marginal gain； - greedy approximation； - diminishing returns； 的成熟形式背景。 DEST 僅在已驗證 coverage function 滿足相應條件時使用。 ## 49.3 Provenance Semirings Green、Karvounarakis、Tannen 的 provenance semirings 說明關係資料查詢結果可以攜帶其來源組合歷史。 DEST 借用： \[ \text{value} + \text{lineage} \] 必須共同保存的結構思想。 ## 49.4 Sheaf-Theoretic Consistency Michael Robinson 的 sheaf-based data integration 工作展示局部資料、restriction、consistency 與 global inference 的成熟形式。 DEST 可將 consistency radius / global section 類型工具作為： \[ \rho^P,\rho^G \] 的特定後端。 --- # 50. 第一組命題 ## Proposition A：Node completeness is insufficient [PROP] 存在知識系統使： \[ \rho^N=1 \] 但： \[ \rho^R<1. \] 只需完整收錄節點而省略至少一條必要關係即可。 ## Proposition B：Verification lag can coexist with knowledge growth [PROP] 若： \[ \dot M^V>0 \] 但： \[ \frac{\dot U^V}{U^V} > \frac{\dot M^V}{M^V}, \] 則： \[ \dot\rho^V<0. \] 所以驗證知識的絕對量增加，不推出相對驗證 coverage 增加。 ## Proposition C：Scalar mean masks critical bottlenecks [PROP] 對： \[ \boldsymbol\rho = (1,1,1,1,0,1), \] 算術平均： \[ \bar\rho=\frac56. \] 但若 verification 是必要 Gate，整體任務仍不能合法通過。 所以高平均 coverage 不推出 task completion。 ## Proposition D：Local coverage does not imply global coverage [PROP] 存在所有局部 \(U_i\) coverage 完整，但 restriction / loop consistency 失敗的系統。 因此： \[ \forall i, \quad \rho(U_i)=1 \] 不推出： \[ \rho^{\mathrm{global}}=1. \] --- # 51. 研究猜想 ## Conjecture 1：Coverage Shape Predicts Bottleneck Better Than Scalar Coverage 在長時程 AI research benchmark 中，多維： \[ \boldsymbol\rho \] 與 transition tensor： \[ \mathcal Q \] 對後續失敗類型的預測力，將高於單一 coverage score。 ## Conjecture 2：Verification Frontier Lag 高生成 AI 系統中，若無專門 verification scaling： \[ v_{\mathrm{reach}} - v_{\mathrm{verify}} \] 將隨模型能力增加而擴大。 ## Conjecture 3：Relation Coverage Is a Hidden Multiplier 對跨領域研究任務，提升： \[ \rho^R \] 可能在某些區間對 judgeable/global coverage 產生超線性影響，因為一個 bridge 可以同時解鎖多個既有節點。 這表示 relation coverage 未必次模。 ## Conjecture 4：Balanced Coverage Dominates Collection-Heavy Coverage 在需要證明／驗證／全域黏合的任務中，均衡 coverage profile 可能比高 node、低 relation/verification 的 profile 有更低 lifecycle research cost。 ## Conjecture 5：Open-Denominator Awareness Reduces Overclaim 強制 Agent 明示： ```text denominator_state ``` 將顯著降低： - finite → global； - sampled → universal； - retrieved → complete； - database-complete → mathematical-complete； 等過度外推。 --- # 52. 可實驗研究設計 建立問題集： 1. 有固定 closed denominator； 2. denominator 隨檢索擴張； 3. 高 node / 低 relation； 4. 高 relation / 低 verification； 5. local complete / global inconsistent； 6. representation-dependent； 7. version drift； 8. provenance corruption。 比較： ### Baseline A 單一 coverage score。 ### Baseline B 六維 coverage vector。 ### Baseline C 六維 × 七域 matrix。 ### DEST-02 完整： \[ \boldsymbol\rho + \mathcal Q + \Delta + \text{denominator state} + \text{coverage certificate}. \] 評估： - routing accuracy； - overclaim rate； - verification yield； - global-gluing success； - wasted retrieval； - debt reduction； - calibration； - replayability。 --- # 53. Runtime 最小演算法 ```text INPUT: K_t task q reference frame F domain graph G_qual representation pi condition theta 1. Resolve target universe U 2. Mark denominator: closed open-bounded open-unbounded 3. Build coverage dimensions: N, R, Theta, P, V, T 4. For each dimension: build eligibility mask calculate atomic coverage aggregate with declared measure 5. Cross with domain states: D,O,R,J,V,L,G 6. Build: coverage vector rho domain-conditioned matrix transition tensor Q debt tensor Delta 7. Run: duplicate audit provenance audit version audit loop/global audit representation audit 8. Find highest-value bottleneck 9. Route: retrieve define condition bridge verify reframe migrate glue branch freeze 10. Save Coverage Certificate ``` --- # 54. 與 DEST-03 的接口 本文輸出： \[ \boxed{ \boldsymbol\rho_t, \quad \mathcal Q_t, \quad \Delta_t, \quad \mathfrak F_t. } \] DEST-03 將處理： \[ \boxed{ \mathbf G_t. } \] 特別回答： > coverage 缺少的部分，何時只是「未覆蓋」；何時是 relation hole、topological defect、missing condition、verification debt、version rupture、accessibility gap 或 primitive gap？ 因此 DEST-02 到 DEST-03 的接口不是： \[ G=1-\rho \] 而是： \[ \boxed{ \mathbf G_t = \operatorname{GapClassify} ( \mathfrak F_t, \boldsymbol\rho_t, \mathcal Q_t, \Delta_t, \mathbb K_t ). } \] --- # 55. 最小核心公式 ## 55.1 多維覆蓋 \[ \boxed{ \boldsymbol\rho_t = ( \rho^N, \rho^R, \rho^\Theta, \rho^P, \rho^V, \rho^T )_t. } \] ## 55.2 Reference frame \[ \boxed{ \mathfrak F_t = \langle U_t,\mathcal T_t,\theta_t,\pi_t,\mu_t,\mathcal V_t,\mathcal H_t \rangle. } \] ## 55.3 Coverage transition tensor \[ \boxed{ \mathcal Q_t = \left[ Q^\alpha_{ab} \right] \in [0,1]^{6\times7\times7}. } \] ## 55.4 Coverage debt \[ \boxed{ \Delta^\alpha_{a\to b} = \mu_\alpha ( K^\alpha\cap D^a\setminus D^b ). } \] ## 55.5 Open-denominator dynamics \[ \boxed{ \dot\rho^\alpha = \frac{ \dot M^\alpha U^\alpha - M^\alpha\dot U^\alpha }{ (U^\alpha)^2 }. } \] ## 55.6 Bottleneck routing \[ \boxed{ a^\star = \arg\max_a \frac{ \mathbb E[\Delta \mathrm{CoverageValue}\mid a] }{ C(a)+R(a) }. } \] --- # 56. 結論 單一： \[ \rho=80\% \] 在動態知識系統裡通常不是答案，而只是另一個需要追問的問題： > 80% 的什麼？ DEST-02 的回答是： 至少要問： 1. 內容覆蓋多少？ 2. 關係覆蓋多少？ 3. 條件與量詞覆蓋多少？ 4. 替代推導、閉路與路徑覆蓋多少？ 5. 驗證與證書覆蓋多少？ 6. 版本、時間與來源覆蓋多少？ 7. 這些覆蓋位於哪一個資格域？ 8. 分母是 closed 還是仍在增長？ 9. 哪個域轉換債務最大？ 10. 哪個低 coverage 維度對當前任務真正關鍵？ 因此： \[ \boxed{ \text{Knowledge Coverage} = \text{a dynamic, typed, conditional, provenance-aware coverage shape}. } \] 而不是： \[ \boxed{ \text{一個百分比}. } \] 更進一步： \[ \boxed{ \text{真正成熟的 AI，不只知道自己「知道多少」，} } \] 還要知道： \[ \boxed{ \text{自己究竟少了哪一種覆蓋，以及下一單位成本應補在哪裡。} } \] 這使 coverage 從描述統計變成： \[ \boxed{ \text{research control surface}. } \] --- # 附錄 A：Coverage Dimension Dictionary ```yaml CoverageDimension: N: name: node_content asks: "必要內容是否存在並完成 identity resolution?" R: name: relation_bridge asks: "必要關係、依賴與橋接是否存在?" THETA: name: condition_scope asks: "成立條件、量詞、尺度、版本與失效域是否完整?" P: name: path_loop asks: "推導路徑、替代路徑、閉路與 global transport 是否已稽核?" V: name: verification_certificate asks: "claim 是否有任務適配、可重播的證書?" T: name: temporal_version_provenance asks: "來源、版本、時間有效性與 lineage 是否完整?" ``` --- # 附錄 B：Denominator State ```yaml DenominatorState: CLOSED: meaning: "目標全集在指定 frame 中完整已知" OPEN_BOUNDED: meaning: "全集未知，但存在可用上下界" OPEN_UNBOUNDED: meaning: "完整分母尚無可靠上界" VERSION_BOUND: meaning: "分母只對指定 corpus/version 有意義" SAMPLED: meaning: "coverage 是 sampling estimate，不是全集比例" ``` --- # 附錄 C：Coverage Shape Example ```yaml coverage_profile: node: 0.94 relation: 0.61 condition: 0.48 path: 0.37 verification: 0.29 temporal: 0.88 denominator_state: node: closed relation: open_bounded condition: open_bounded path: open_unbounded verification: version_bound temporal: closed bottlenecks: - dimension: path transition: local_to_global debt: high - dimension: verification transition: judgeable_to_verifiable debt: high ``` --- # 附錄 D：與 DEST-01 的最小接口 ```yaml dest01_domain_profile: defined: pass observed: pass reachable: pass judgeable: pass verifiable: unknown local: pass global_gluing: fail dest02_coverage: node: 0.94 relation: 0.61 condition: 0.48 path: 0.37 verification: 0.29 temporal: 0.88 transition_debt: judgeable_to_verifiable: verification: high local_to_global: relation: high path: very_high ``` --- # 附錄 E：外部形式對照與參考脈絡 ## 內部正典依賴 - 《動態知識空間總論：覆蓋、間隙、邊界、關聯與條件依賴演化的統一框架》v0.1。 - 《多域知識判定論：定義域、觀察域、可達域、判定域、驗證域、局部域與全域黏合域》v0.1。 - 《概念積分：知識宇宙的生成擴張代數》及其自審附錄。 - 《條件依賴補丁演化論》v1.0。 - 《語義拓撲與全域缺陷》v0.1。 - 《移動中的可知邊界》v0.1。 - 《X 積分統一綱領》v0.2。 ## 外部形式對照 - Patrick Cousot & Radhia Cousot (1977), *Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints*. - G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey & M. L. Fisher (1978), *An Analysis of Approximations for Maximizing Submodular Set Functions—I*. - Todd J. Green, Grigoris Karvounarakis & Val Tannen (2007), *Provenance Semirings*. - Michael Robinson (2016/2017), *Sheaves are the Canonical Datastructure for Sensor Integration*. - Michael Robinson (2018), *Assignments to Sheaves of Pseudometric Spaces*. --- **EML-DEST-2026-02 · v0.1 · 2026-08-12**