離散精確模型：估值座標、指數格與有限域精確還原
——從質因數指數到離散乘法加法化的無損模型
English Title: Discrete Exact Models: Valuation Coordinates, Exponent Lattices, and Exact Recovery on Finite Decision Domains
作者： Neo.K機構： EveMissLab / 一言諾科技有限公司系列： Operation Translation Series A — Paper 04版本： v0.1日期： 2026-08-10
摘要
Series A Paper 02 以自然對數建立正實數乘法的連續標準模型：
( R > 0 , × ) ≅ ( R , + ) , (\mathbb R_{>0},\times)
\cong
(\mathbb R,+), ( R > 0 , × ) ≅ ( R , + ) , 而 Paper 03 進一步處理無法完全吸收進 additive core 的 correction。本文則採取另一條完全不同的路徑：不使用連續對數作為主要座標，而以質因數估值形成離散、有限支撐、可精確還原的乘法座標。
對每個質數 p p p v p ( q ) v_p(q) v p ( q ) q q q p p p
q = a b > 0 q=\frac{a}{b}>0 q = b a > 0 且 a , b a,b a , b
v p ( q ) = v p ( a ) − v p ( b ) ∈ Z . v_p(q)=v_p(a)-v_p(b)\in\mathbb Z. v p ( q ) = v p ( a ) − v p ( b ) ∈ Z . 由算術基本定理，每個正有理數都唯一表示為：
q = ∏ p ∈ P p v p ( q ) , q
=
\prod_{p\in\mathbb P}
p^{v_p(q)}, q = p ∈ P ∏ p v p ( q ) , 且只有有限多個 v p ( q ) v_p(q) v p ( q )
Φ ( q ) = ( v p ( q ) ) p ∈ P ∈ ⨁ p ∈ P Z . \Phi(q)
=
\bigl(v_p(q)\bigr)_{p\in\mathbb P}
\in
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z. Φ ( q ) = ( v p ( q ) ) p ∈ P ∈ p ∈ P ⨁ Z . 本文證明：
Φ : ( Q > 0 × , × ) ⟶ ≅ ( ⨁ p ∈ P Z , + ) \boxed{
\Phi:
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\overset{\cong}{\longrightarrow}
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right)
} Φ : ( Q > 0 × , × ) ⟶ ≅ p ∈ P ⨁ Z , + 為群同構。也就是說，在這個離散模型中：
乘法 ⟶ 整數向量加法 , \boxed{
\text{乘法}
\longrightarrow
\text{整數向量加法},
} 乘法 ⟶ 整數向量加法 , 除法 ⟶ 整數向量減法 , \boxed{
\text{除法}
\longrightarrow
\text{整數向量減法},
} 除法 ⟶ 整數向量減法 , 且不存在 logarithmic approximation、浮點誤差或 inverse exponential approximation。逆映射只是有限乘積：
Φ − 1 ( ( a p ) p ) = ∏ p p a p . \Phi^{-1}((a_p)_p)
=
\prod_p p^{a_p}. Φ − 1 (( a p ) p ) = p ∏ p a p . 因此這是 Series A 第一個真正的完全離散 exact additivization model 。
本文特別澄清：上述目標空間不是通常意義上的實向量空間，而是無限秩 free Z \mathbb Z Z
P = { p 1 , … , p m } P=\{p_1,\dots,p_m\} P = { p 1 , … , p m } 時，才形成有限秩 exponent lattice：
Λ P = Z m . \Lambda_P
=
\mathbb Z^m. Λ P = Z m . 若進一步把指數係數擴張至 Q \mathbb Q Q Q \mathbb Q Q
本文接著建立連續對數與離散估值座標之間的交換關係。定義權重泛函：
ℓ ( ( a p ) p ) = ∑ p a p ln p . \ell((a_p)_p)
=
\sum_p a_p\ln p. ℓ (( a p ) p ) = p ∑ a p ln p . 則：
ln q = ℓ ( Φ ( q ) ) . \boxed{
\ln q
=
\ell(\Phi(q)).
} ln q = ℓ ( Φ ( q )) . 所以 Paper 02 的 logarithmic coordinate 可以被理解為：把完整的 prime-exponent coordinate 經由權重 ln p \ln p ln p
最後，本文提出兩個 exact recovery 定理。第一，對有限 prime universe 中的估值向量，只要每個近似指數誤差嚴格小於 1 / 2 1/2 1/2
D N = { 1 , … , N } , D_N=\{1,\dots,N\}, D N = { 1 , … , N } , 若某正整數 m ≤ N m\leq N m ≤ N
L ^ = ln m + ε , \widehat L=\ln m+\varepsilon, L = ln m + ε , 且：
∣ ε ∣ < ln ( 1 + 1 2 N ) , |\varepsilon|
<
\ln\left(1+\frac1{2N}\right), ∣ ε ∣ < ln ( 1 + 2 N 1 ) , 則：
round ( e L ^ ) = m . \operatorname{round}(e^{\widehat L})=m. round ( e L ) = m . 因此，即使中間座標使用連續近似，只要近似結果沒有跨越有限判定域的 decision boundary，最後仍可得到 exact discrete recovery。
本文由此建立 Series A 的第二個 canonical model：
continuous exact representation \boxed{
\text{continuous exact representation}
} continuous exact representation 與：
discrete exact representation \boxed{
\text{discrete exact representation}
} discrete exact representation 並存。前者由 logarithm 提供，後者由 valuation / exponent lattice 提供。兩者共同說明：「乘法轉加法」不是單一函數技巧，而可以來自完全不同的結構座標。
關鍵詞： valuation、估值座標、質因數指數、Exponent Lattice、Free Abelian Group、 Z \mathbb Z Z
1. 問題的轉向：如果不要 logarithm 呢？
Paper 02 的 canonical model 是：
T ( x ) = ln x , T(x)=\ln x, T ( x ) = ln x , 並得到：
T ( x y ) = T ( x ) + T ( y ) . T(xy)=T(x)+T(y). T ( x y ) = T ( x ) + T ( y ) . 這個模型在正實數上是全域、連續、精確且可逆的。
但它仍然使用一個連續座標：
L ∈ R . L\in\mathbb R. L ∈ R . 這自然引出另一個問題：
是否存在一種完全離散的表示，使乘法與除法直接變成整數加減，而且原值可以完全精確恢復？
對：
Q > 0 , \mathbb Q_{>0}, Q > 0 , 答案是肯定的。
而且此模型不是近似對數。
它來自算術基本定理本身。
2. 質因數估值
對質數：
p ∈ P p\in\mathbb P p ∈ P 以及正整數：
n ∈ N > 0 , n\in\mathbb N_{>0}, n ∈ N > 0 , 定義：
v p ( n ) v_p(n) v p ( n ) 為 p p p n n n
例如：
360 = 2 3 3 2 5 , 360
=
2^3 3^2 5, 360 = 2 3 3 2 5 , 因此：
v 2 ( 360 ) = 3 , v_2(360)=3, v 2 ( 360 ) = 3 , v 3 ( 360 ) = 2 , v_3(360)=2, v 3 ( 360 ) = 2 , v 5 ( 360 ) = 1 , v_5(360)=1, v 5 ( 360 ) = 1 , 其餘質數 p p p
v p ( 360 ) = 0. v_p(360)=0. v p ( 360 ) = 0. 3. 從整數擴張到有理數
對：
q = a b > 0 q=\frac ab>0 q = b a > 0 其中：
gcd ( a , b ) = 1 , \gcd(a,b)=1, g cd( a , b ) = 1 , 定義：
v p ( q ) = v p ( a ) − v p ( b ) . \boxed{
v_p(q)
=
v_p(a)-v_p(b).
} v p ( q ) = v p ( a ) − v p ( b ) . 因此：
v p ( q ) ∈ Z . v_p(q)\in\mathbb Z. v p ( q ) ∈ Z . 例如：
q = 45 28 = 3 2 5 2 2 7 , q=\frac{45}{28}
=
\frac{3^2 5}{2^2 7}, q = 28 45 = 2 2 7 3 2 5 , 則：
v 2 ( q ) = − 2 , v_2(q)=-2, v 2 ( q ) = − 2 , v 3 ( q ) = 2 , v_3(q)=2, v 3 ( q ) = 2 , v 5 ( q ) = 1 , v_5(q)=1, v 5 ( q ) = 1 , v 7 ( q ) = − 1. v_7(q)=-1. v 7 ( q ) = − 1. 其餘為零。
4. 有限支撐
任何固定有理數：
q ≠ 0 q\neq0 q = 0 的分子與分母都只有有限多個質因數。
所以：
v p ( q ) ≠ 0 \boxed{
v_p(q)\neq0
} v p ( q ) = 0 只對有限多個：
p p p 成立。
因此：
( v p ( q ) ) p ∈ P (v_p(q))_{p\in\mathbb P} ( v p ( q ) ) p ∈ P 不是任意無限整數序列，
而是有限支撐序列。
5. 直接和
定義：
⨁ p ∈ P Z = { ( a p ) p ∈ P : a p ∈ Z , a p = 0 except finitely many p } . \boxed{
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z
=
\left\{
(a_p)_{p\in\mathbb P}:
a_p\in\mathbb Z,\;
a_p=0
\text{ except finitely many }p
\right\}.
} p ∈ P ⨁ Z = { ( a p ) p ∈ P : a p ∈ Z , a p = 0 except finitely many p } . 其加法為 componentwise addition：
( a p ) p + ( b p ) p = ( a p + b p ) p . (a_p)_p+(b_p)_p
=
(a_p+b_p)_p. ( a p ) p + ( b p ) p = ( a p + b p ) p . 這是一個 infinite-rank free Abelian group，
同時也是 free Z \mathbb Z Z
6. Valuation Coordinate Map
定義：
Φ : Q > 0 × → ⨁ p ∈ P Z \boxed{
\Phi:
\mathbb Q_{>0}^{\times}
\to
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z
} Φ : Q > 0 × → p ∈ P ⨁ Z 為：
Φ ( q ) = ( v p ( q ) ) p ∈ P . \boxed{
\Phi(q)
=
(v_p(q))_{p\in\mathbb P}.
} Φ ( q ) = ( v p ( q ) ) p ∈ P . 這就是本文的 prime-valuation coordinate。
7. 乘法直接變成向量加法
對：
q 1 , q 2 ∈ Q > 0 , q_1,q_2\in\mathbb Q_{>0}, q 1 , q 2 ∈ Q > 0 , 有標準估值性質：
v p ( q 1 q 2 ) = v p ( q 1 ) + v p ( q 2 ) . v_p(q_1q_2)
=
v_p(q_1)+v_p(q_2). v p ( q 1 q 2 ) = v p ( q 1 ) + v p ( q 2 ) . 因此：
Φ ( q 1 q 2 ) = ( v p ( q 1 q 2 ) ) p \Phi(q_1q_2)
=
\left(
v_p(q_1q_2)
\right)_p Φ ( q 1 q 2 ) = ( v p ( q 1 q 2 ) ) p = ( v p ( q 1 ) + v p ( q 2 ) ) p =
\left(
v_p(q_1)+v_p(q_2)
\right)_p = ( v p ( q 1 ) + v p ( q 2 ) ) p = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . =
\Phi(q_1)+\Phi(q_2). = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . 所以：
Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . \boxed{
\Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2).
} Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . 這是 exact additivization。
8. 除法變成向量減法
同理：
v p ( q 1 q 2 ) = v p ( q 1 ) − v p ( q 2 ) . v_p\left(
\frac{q_1}{q_2}
\right)
=
v_p(q_1)-v_p(q_2). v p ( q 2 q 1 ) = v p ( q 1 ) − v p ( q 2 ) . 因此：
Φ ( q 1 / q 2 ) = Φ ( q 1 ) − Φ ( q 2 ) . \boxed{
\Phi(q_1/q_2)
=
\Phi(q_1)-\Phi(q_2).
} Φ ( q 1 / q 2 ) = Φ ( q 1 ) − Φ ( q 2 ) . 沒有 correction。
沒有近似。
9. 整數冪變成 scalar multiplication
對：
n ∈ Z , n\in\mathbb Z, n ∈ Z , 有：
v p ( q n ) = n v p ( q ) . v_p(q^n)
=
n\,v_p(q). v p ( q n ) = n v p ( q ) . 所以：
Φ ( q n ) = n Φ ( q ) . \boxed{
\Phi(q^n)
=
n\Phi(q).
} Φ ( q n ) = n Φ ( q ) . 因此 valuation coordinate 支援：
× → + , ÷ → − , integer power → integer scaling . \boxed{
\begin{aligned}
\times &\to +,\\
\div &\to -,\\
\text{integer power} &\to \text{integer scaling}.
\end{aligned}
} × ÷ integer power → + , → − , → integer scaling . 和 logarithmic coordinate 具有高度平行的運算結構。
10. 逆映射
對任意有限支撐：
a = ( a p ) p ∈ ⨁ p Z , a=(a_p)_p
\in
\bigoplus_p\mathbb Z, a = ( a p ) p ∈ p ⨁ Z , 定義：
Ψ ( a ) = ∏ p ∈ P p a p . \boxed{
\Psi(a)
=
\prod_{p\in\mathbb P}p^{a_p}.
} Ψ ( a ) = p ∈ P ∏ p a p . 因為：
a p = 0 a_p=0 a p = 0 除有限多項之外均成立，
所以此乘積實際上是有限乘積。
若：
a p < 0 , a_p<0, a p < 0 , 則對應：
p a p = 1 p − a p . p^{a_p}
=
\frac1{p^{-a_p}}. p a p = p − a p 1 . 因此：
Ψ ( a ) ∈ Q > 0 . \Psi(a)\in\mathbb Q_{>0}. Ψ ( a ) ∈ Q > 0 . 11. 精確同構定理
定理 11.1
映射：
Φ : ( Q > 0 × , × ) → ( ⨁ p ∈ P Z , + ) \Phi:
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\to
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right) Φ : ( Q > 0 × , × ) → p ∈ P ⨁ Z , + 為群同構。
證明
前文已證：
Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . \Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2). Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . 所以 Φ \Phi Φ
由算術基本定理，
若：
Φ ( q 1 ) = Φ ( q 2 ) , \Phi(q_1)=\Phi(q_2), Φ ( q 1 ) = Φ ( q 2 ) , 則對每個 prime：
v p ( q 1 ) = v p ( q 2 ) . v_p(q_1)=v_p(q_2). v p ( q 1 ) = v p ( q 2 ) . 因此：
q 1 = q 2 . q_1=q_2. q 1 = q 2 . 故 Φ \Phi Φ
另一方面，
給定任意有限支撐：
( a p ) p , (a_p)_p, ( a p ) p , 取：
q = ∏ p p a p . q=\prod_pp^{a_p}. q = p ∏ p a p . 則：
v p ( q ) = a p . v_p(q)=a_p. v p ( q ) = a p . 因此：
Φ ( q ) = ( a p ) p . \Phi(q)=(a_p)_p. Φ ( q ) = ( a p ) p . 故 Φ \Phi Φ
因此 Φ \Phi Φ
證畢。
12. 第一個完全離散 canonical model
因此：
( Q > 0 × , × ) ≅ ( ⨁ p ∈ P Z , + ) . \boxed{
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\cong
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right).
} ( Q > 0 × , × ) ≅ p ∈ P ⨁ Z , + . 這和 Paper 02：
( R > 0 × , × ) ≅ ( R , + ) (\mathbb R_{>0}^{\times},\times)
\cong
(\mathbb R,+) ( R > 0 × , × ) ≅ ( R , + ) 形成兩種 canonical models。
Paper 02：
continuous multiplicative coordinate \boxed{
\text{continuous multiplicative coordinate}
} continuous multiplicative coordinate Paper 04：
discrete exponent coordinate . \boxed{
\text{discrete exponent coordinate}.
} discrete exponent coordinate . 13. 這不是普通實向量空間
右側：
⨁ p ∈ P Z \bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z p ∈ P ⨁ Z 可以做：
a + b a+b a + b 以及：
n a , n ∈ Z . na,
\qquad n\in\mathbb Z. na , n ∈ Z . 但不能對任意：
λ ∈ R \lambda\in\mathbb R λ ∈ R 要求：
λ a \lambda a λa 仍屬於此空間。
因此它不是：
R -vector space . \mathbb R\text{-vector space}. R -vector space . 最精確的稱呼是：
free Z -module \boxed{
\text{free }\mathbb Z\text{-module}
} free Z -module 或：
free Abelian group . \boxed{
\text{free Abelian group}.
} free Abelian group . 本文工程／幾何語言使用：
Exponent Lattice . \boxed{
\text{Exponent Lattice}.
} Exponent Lattice . 14. 有限質數集合下的真正有限秩格
若限制：
P m = { p 1 , … , p m } , P_m
=
\{p_1,\dots,p_m\}, P m = { p 1 , … , p m } , 定義：
Λ P m = ⨁ p ∈ P m Z . \Lambda_{P_m}
=
\bigoplus_{p\in P_m}\mathbb Z. Λ P m = p ∈ P m ⨁ Z . 則：
Λ P m ≅ Z m . \boxed{
\Lambda_{P_m}
\cong
\mathbb Z^m.
} Λ P m ≅ Z m . 此時才得到通常容易視覺化的有限秩 exponent lattice。
例如：
P 3 = { 2 , 3 , 5 } . P_3=\{2,3,5\}. P 3 = { 2 , 3 , 5 } . 則：
360 ↔ ( 3 , 2 , 1 ) . 360
\leftrightarrow
(3,2,1). 360 ↔ ( 3 , 2 , 1 ) . 15. 乘法作為 lattice translation
例如：
360 = 2 3 3 2 5 , 360
=
2^3 3^2 5, 360 = 2 3 3 2 5 , 以及：
75 = 3 ⋅ 5 2 . 75
=
3\cdot5^2. 75 = 3 ⋅ 5 2 . 有：
Φ ( 360 ) = ( 3 , 2 , 1 ) , \Phi(360)
=
(3,2,1), Φ ( 360 ) = ( 3 , 2 , 1 ) , Φ ( 75 ) = ( 0 , 1 , 2 ) . \Phi(75)
=
(0,1,2). Φ ( 75 ) = ( 0 , 1 , 2 ) . 所以：
Φ ( 360 ⋅ 75 ) = ( 3 , 3 , 3 ) . \Phi(360\cdot75)
=
(3,3,3). Φ ( 360 ⋅ 75 ) = ( 3 , 3 , 3 ) . 逆轉：
2 3 3 3 5 3 = 27000. 2^33^35^3
=
27000. 2 3 3 3 5 3 = 27000. 整個中間運算只做：
( 3 , 2 , 1 ) + ( 0 , 1 , 2 ) . (3,2,1)+(0,1,2). ( 3 , 2 , 1 ) + ( 0 , 1 , 2 ) . 16. 除法作為 lattice translation
例如：
360 75 = 24 5 . \frac{360}{75}
=
\frac{24}{5}. 75 360 = 5 24 . 座標：
( 3 , 2 , 1 ) − ( 0 , 1 , 2 ) = ( 3 , 1 , − 1 ) . (3,2,1)-(0,1,2)
=
(3,1,-1). ( 3 , 2 , 1 ) − ( 0 , 1 , 2 ) = ( 3 , 1 , − 1 ) . 逆轉：
2 3 3 1 5 − 1 = 24 5 . 2^33^15^{-1}
=
\frac{24}{5}. 2 3 3 1 5 − 1 = 5 24 . 負 exponent 自然表示 denominator。
17. 正整數是非負正交錐
對：
n ∈ N > 0 , n\in\mathbb N_{>0}, n ∈ N > 0 , 所有：
v p ( n ) ≥ 0. v_p(n)\geq0. v p ( n ) ≥ 0. 所以正整數對應：
⨁ p ∈ P N 0 . \boxed{
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb N_0.
} p ∈ P ⨁ N 0 . 這是一個 commutative monoid，
而不是 group。
有理數則允許負 exponent，
因而完成 group completion：
N > 0 × ⇝ Q > 0 × . \boxed{
\mathbb N_{>0}^{\times}
\leadsto
\mathbb Q_{>0}^{\times}.
} N > 0 × ⇝ Q > 0 × . 在 exponent coordinate 中，
就是：
N 0 ( P ) ⇝ Z ( P ) . \mathbb N_0^{(\mathbb P)}
\leadsto
\mathbb Z^{(\mathbb P)}. N 0 ( P ) ⇝ Z ( P ) . 18. 非零有理數的符號擴張
對：
Q × = Q ∖ { 0 } , \mathbb Q^\times
=
\mathbb Q\setminus\{0\}, Q × = Q ∖ { 0 } , 加入 sign：
s ( q ) ∈ { ± 1 } . s(q)\in\{\pm1\}. s ( q ) ∈ { ± 1 } . 定義：
Φ × ( q ) = ( s ( q ) , ( v p ( ∣ q ∣ ) ) p ) . \Phi^\times(q)
=
\left(
s(q),(v_p(|q|))_p
\right). Φ × ( q ) = ( s ( q ) , ( v p ( ∣ q ∣ ) ) p ) . 則：
Q × ≅ { ± 1 } × ⨁ p Z . \boxed{
\mathbb Q^\times
\cong
\{\pm1\}
\times
\bigoplus_p\mathbb Z.
} Q × ≅ { ± 1 } × p ⨁ Z . 乘法對應：
( s , a ) ⋆ ( t , b ) = ( s t , a + b ) . (s,a)\star(t,b)
=
(st,a+b). ( s , a ) ⋆ ( t , b ) = ( s t , a + b ) . 這和 Paper 02 的：
R × ≅ { ± 1 } × R \mathbb R^\times
\cong
\{\pm1\}\times\mathbb R R × ≅ { ± 1 } × R 完全平行。
19. 0 0 0
普通 prime-exponent vector 無法表示：
0. 0. 0. 在標準 valuation theory 中可以把：
v p ( 0 ) v_p(0) v p ( 0 ) 擴張為：
+ ∞ , +\infty, + ∞ , 但這不是：
Z . \mathbb Z. Z . 而且若對所有 prime 都使用：
+ ∞ , +\infty, + ∞ , 也不再屬於有限支撐 direct sum。
所以若目標是 Runtime representation，
仍然可使用：
0 v a l \boxed{
\mathbf0_{\mathrm{val}}
} 0 val 作為 distinguished absorbing state。
20. GCD 與 LCM 在估值座標中
對：
m , n ∈ N > 0 , m,n\in\mathbb N_{>0}, m , n ∈ N > 0 , 有：
v p ( gcd ( m , n ) ) = min ( v p ( m ) , v p ( n ) ) , v_p(\gcd(m,n))
=
\min(v_p(m),v_p(n)), v p ( g cd( m , n )) = min ( v p ( m ) , v p ( n )) , 以及：
v p ( lcm ( m , n ) ) = max ( v p ( m ) , v p ( n ) ) . v_p(\operatorname{lcm}(m,n))
=
\max(v_p(m),v_p(n)). v p ( lcm ( m , n )) = max ( v p ( m ) , v p ( n )) . 因此：
Φ ( gcd ( m , n ) ) = min ( Φ ( m ) , Φ ( n ) ) \boxed{
\Phi(\gcd(m,n))
=
\min(\Phi(m),\Phi(n))
} Φ ( g cd( m , n )) = min ( Φ ( m ) , Φ ( n )) 逐 component 取 minimum，
而：
Φ ( lcm ( m , n ) ) = max ( Φ ( m ) , Φ ( n ) ) . \boxed{
\Phi(\operatorname{lcm}(m,n))
=
\max(\Phi(m),\Phi(n)).
} Φ ( lcm ( m , n )) = max ( Φ ( m ) , Φ ( n )) . 所以 exponent coordinate 不只簡化乘除。
它也把 gcd / lcm 轉為 lattice order operation。
21. Radical 運算
對正整數：
n = ∏ p p a p , n=\prod_pp^{a_p}, n = p ∏ p a p , 有：
rad ( n ) = ∏ a p > 0 p . \operatorname{rad}(n)
=
\prod_{a_p>0}p. rad ( n ) = a p > 0 ∏ p . 因此：
v p ( rad ( n ) ) = { 1 , a p > 0 , 0 , a p = 0. v_p(\operatorname{rad}(n))
=
\begin{cases}
1,&a_p>0,\\
0,&a_p=0.
\end{cases} v p ( rad ( n )) = { 1 , 0 , a p > 0 , a p = 0. 所以 radical 在 exponent coordinate 中就是：
a p ↦ 1 a p > 0 . \boxed{
a_p
\mapsto
\mathbf1_{a_p>0}.
} a p ↦ 1 a p > 0 . 這是一個 componentwise support projection。
22. Support 本身也是結構
定義：
supp Φ ( q ) = { p : v p ( q ) ≠ 0 } . \operatorname{supp}\Phi(q)
=
\{p:v_p(q)\neq0\}. supp Φ ( q ) = { p : v p ( q ) = 0 } . 這個集合直接記錄：
q q q 涉及哪些 prime。
因此 exponent coordinate 同時保存：
factor identity；
multiplicity；
numerator / denominator direction。
這些資訊在單一 floating magnitude 中不會以顯式 component 形式存在。
23. Logarithm 是 valuation coordinate 的權重泛函
現在把 Paper 02 與 Paper 04 連起來。
對：
q = ∏ p p v p ( q ) , q
=
\prod_pp^{v_p(q)}, q = p ∏ p v p ( q ) , 取 logarithm：
ln q = ln ( ∏ p p v p ( q ) ) . \ln q
=
\ln
\left(
\prod_pp^{v_p(q)}
\right). ln q = ln ( p ∏ p v p ( q ) ) . 因 finite support：
ln q = ∑ p v p ( q ) ln p . \ln q
=
\sum_pv_p(q)\ln p. ln q = p ∑ v p ( q ) ln p . 定義：
ℓ : ⨁ p Z → R \boxed{
\ell:
\bigoplus_p\mathbb Z
\to
\mathbb R
} ℓ : p ⨁ Z → R 為：
ℓ ( ( a p ) p ) = ∑ p a p ln p . \boxed{
\ell((a_p)_p)
=
\sum_pa_p\ln p.
} ℓ (( a p ) p ) = p ∑ a p ln p . 則：
ln = ℓ ∘ Φ . \boxed{
\ln
=
\ell\circ\Phi.
} ln = ℓ ∘ Φ. 24. 交換圖
因此存在：
Q > 0 × → Φ ⨁ p Z \mathbb Q_{>0}^{\times}
\xrightarrow{\Phi}
\bigoplus_p\mathbb Z Q > 0 × Φ p ⨁ Z 以及：
Q > 0 × → ln R . \mathbb Q_{>0}^{\times}
\xrightarrow{\ln}
\mathbb R. Q > 0 × l n R . 兩者滿足：
ln q = ℓ ( Φ ( q ) ) . \boxed{
\ln q
=
\ell(\Phi(q)).
} ln q = ℓ ( Φ ( q )) . 也就是：
Q > 0 × → Φ ⨁ p Z ↘ ln ↓ ℓ R \boxed{
\begin{array}{ccc}
\mathbb Q_{>0}^{\times}
&\xrightarrow{\Phi}&
\bigoplus_p\mathbb Z\\
&\searrow_{\ln}&
\downarrow{\ell}\\
&&\mathbb R
\end{array}
} Q > 0 × Φ ↘ l n ⨁ p Z ↓ ℓ R 交換。
25. 這個結果的意義
Paper 02 的 logarithmic coordinate：
L = ln q L=\ln q L = ln q 可以被視為對 valuation coordinate：
( v p ( q ) ) p (v_p(q))_p ( v p ( q ) ) p 施加 prime-dependent weights：
ln p \ln p ln p 後的加總。
因此兩套 representation 不是彼此無關。
而是：
valuation vector ⟶ weighted scalar log coordinate . \boxed{
\text{valuation vector}
\longrightarrow
\text{weighted scalar log coordinate}.
} valuation vector ⟶ weighted scalar log coordinate . 26. 這個映射在純數學上仍然單射
假設：
ℓ ( a ) = ℓ ( b ) . \ell(a)=\ell(b). ℓ ( a ) = ℓ ( b ) . 則：
∑ p ( a p − b p ) ln p = 0. \sum_p(a_p-b_p)\ln p=0. p ∑ ( a p − b p ) ln p = 0. 所以：
ln ( ∏ p p a p − b p ) = 0. \ln
\left(
\prod_pp^{a_p-b_p}
\right)
=
0. ln ( p ∏ p a p − b p ) = 0. 因此：
∏ p p a p − b p = 1. \prod_pp^{a_p-b_p}=1. p ∏ p a p − b p = 1. 由質因數分解唯一性：
a p − b p = 0 a_p-b_p=0 a p − b p = 0 對所有 p p p
故：
a = b . a=b. a = b . 所以 ℓ \ell ℓ
⨁ p Z \bigoplus_p\mathbb Z p ⨁ Z 上是單射。
這表示：
一個無限精度實數 logarithm 理論上仍可編碼完整正有理數。
但這不等於有限 bit implementation 顯式保存了 factor structure。
27. Discrete Exactness 與 Continuous Exactness
因此 Series A 現在至少有兩種 exactness。
Continuous Exactness
q ↔ ln q . q
\leftrightarrow
\ln q. q ↔ ln q . 在實數數學中 exact。
Discrete Structural Exactness
q ↔ ( v p ( q ) ) p . q
\leftrightarrow
(v_p(q))_p. q ↔ ( v p ( q ) ) p . 每個 coordinate 為整數，
且 factor structure 顯式保存。
兩者都是 exact，
但 representation geometry 不同。
28. 有理指數擴張
若允許：
a p ∈ Q , a_p\in\mathbb Q, a p ∈ Q , 則得到：
⨁ p Q . \bigoplus_p\mathbb Q. p ⨁ Q . 這已是：
Q -vector space . \mathbb Q\text{-vector space}. Q -vector space . 逆映射形式為：
( a p ) p ↦ ∏ p p a p . (a_p)_p
\mapsto
\prod_pp^{a_p}. ( a p ) p ↦ p ∏ p a p . 但此結果一般不再屬於：
Q . \mathbb Q. Q . 例如：
2 1 / 2 = 2 . 2^{1/2}=\sqrt2. 2 1/2 = 2 . 因此：
⨁ p Q \bigoplus_p\mathbb Q p ⨁ Q 對應的是正有理數乘法群的 divisible hull / rational-prime-power extension，
而不是原本：
Q > 0 × . \mathbb Q_{>0}^{\times}. Q > 0 × . 本文因此不把它混入核心定理。
29. Exact Encoding 不等於 Cheap Encoding
valuation coordinate 有一個明顯工程成本：
要從一般大整數：
n n n 得到：
( v p ( n ) ) p (v_p(n))_p ( v p ( n ) ) p 通常需要知道其質因數分解。
因此：
exact translation exists \boxed{
\text{exact translation exists}
} exact translation exists 不代表：
translation cost is low . \boxed{
\text{translation cost is low}.
} translation cost is low . 這正符合 Paper 01 的 distinction：
representation existence ≠ operation simplification benefit . \text{representation existence}
\neq
\text{operation simplification benefit}. representation existence = operation simplification benefit . 如果輸入原本已因式分解、由 multiplicative construction 生成、或長期維持 exponent state，
那麼此 representation 可能非常自然。
若每次都從任意巨大整數重新 factor，
轉譯成本可能主導整體計算。
30. 因此需要 domain-aware transform selection
Runtime 不應預設：
Φ \Phi Φ 永遠優於：
ln . \ln. ln . 應根據：
input representation；
prime support；
expected operation profile；
是否需要 exact factor structure；
factorization cost；
選擇：
Valuation Coordinate \boxed{
\text{Valuation Coordinate}
} Valuation Coordinate 或：
Continuous Log Coordinate . \boxed{
\text{Continuous Log Coordinate}.
} Continuous Log Coordinate . 這是 Transform Selector 的直接理論依據。
31. 有限判定域上的一般 exact recovery
現在進入本文第二個核心主題。
設：
D = { x 1 , … , x N } D=\{x_1,\dots,x_N\} D = { x 1 , … , x N } 是有限集合，
且：
T : D → ( Y , d ) T:D\to(Y,d) T : D → ( Y , d ) 為 injective embedding。
定義最小分離距離：
Δ D = min i ≠ j d ( T x i , T x j ) . \boxed{
\Delta_D
=
\min_{i\neq j}
d(Tx_i,Tx_j).
} Δ D = i = j min d ( T x i , T x j ) . 因 D D D T T T
Δ D > 0. \Delta_D>0. Δ D > 0. 32. Nearest-State Exact Recovery Theorem
定理 32.1
假設真實狀態為：
x ∈ D x\in D x ∈ D 而數值計算得到：
y ^ ∈ Y \widehat y\in Y y ∈ Y 滿足：
d ( y ^ , T ( x ) ) < Δ D 2 . d(\widehat y,T(x))
<
\frac{\Delta_D}{2}. d ( y , T ( x )) < 2 Δ D . 則 T ( x ) T(x) T ( x ) T ( D ) T(D) T ( D ) y ^ \widehat y y
因此 nearest-state decoder：
Dec D ( y ^ ) = arg min z ∈ D d ( y ^ , T z ) \operatorname{Dec}_D(\widehat y)
=
\arg\min_{z\in D}
d(\widehat y,Tz) Dec D ( y ) = arg z ∈ D min d ( y , T z ) 精確恢復：
Dec D ( y ^ ) = x . \boxed{
\operatorname{Dec}_D(\widehat y)=x.
} Dec D ( y ) = x . 證明
對任何：
z ≠ x , z\neq x, z = x , 由三角不等式：
d ( y ^ , T z ) ≥ d ( T x , T z ) − d ( y ^ , T x ) . d(\widehat y,Tz)
\geq
d(Tx,Tz)-d(\widehat y,Tx). d ( y , T z ) ≥ d ( T x , T z ) − d ( y , T x ) . 因：
d ( T x , T z ) ≥ Δ D , d(Tx,Tz)\geq\Delta_D, d ( T x , T z ) ≥ Δ D , 且：
d ( y ^ , T x ) < Δ D 2 , d(\widehat y,Tx)<\frac{\Delta_D}{2}, d ( y , T x ) < 2 Δ D , 所以：
d ( y ^ , T z ) > Δ D 2 . d(\widehat y,Tz)
>
\frac{\Delta_D}{2}. d ( y , T z ) > 2 Δ D . 另一方面：
d ( y ^ , T x ) < Δ D 2 . d(\widehat y,Tx)
<
\frac{\Delta_D}{2}. d ( y , T x ) < 2 Δ D . 故 T x Tx T x
證畢。
33. Approximate Coordinate → Exact State
上述定理顯示：
approximate coordinate ⇏ approximate final state . \boxed{
\text{approximate coordinate}
\not\Rightarrow
\text{approximate final state}.
} approximate coordinate ⇒ approximate final state . 只要 approximation 沒跨出正確 decision cell，
最終離散狀態仍可以 exact。
這是 Series A 中非常重要的一種 exactness：
decision exactness . \boxed{
\text{decision exactness}.
} decision exactness . 34. 指數格的 componentwise exact recovery
限制到有限 prime set：
P m = { p 1 , … , p m } . P_m=\{p_1,\dots,p_m\}. P m = { p 1 , … , p m } . 真實 valuation vector：
a = ( a 1 , … , a m ) ∈ Z m . a=(a_1,\dots,a_m)\in\mathbb Z^m. a = ( a 1 , … , a m ) ∈ Z m . 假設近似計算：
a ^ i = a i + ε i . \widehat a_i
=
a_i+\varepsilon_i. a i = a i + ε i . 若對所有：
i i i 都有：
∣ ε i ∣ < 1 2 , |\varepsilon_i|<\frac12, ∣ ε i ∣ < 2 1 , 則：
round ( a ^ i ) = a i . \operatorname{round}(\widehat a_i)=a_i. round ( a i ) = a i . 因此：
round ( a ^ ) = a . \boxed{
\operatorname{round}(\widehat a)
=
a.
} round ( a ) = a . 逐 coordinate exact recovery。
35. 為什麼 1 / 2 1/2 1/2
整數格：
Z m \mathbb Z^m Z m 在：
ℓ ∞ \ell_\infty ℓ ∞ metric 下最小非零距離為：
1. 1. 1. 所以 nearest-state theorem 給：
Δ 2 = 1 2 . \frac{\Delta}{2}
=
\frac12. 2 Δ = 2 1 . 因此：
∥ a ^ − a ∥ ∞ < 1 2 \boxed{
\|\widehat a-a\|_\infty<\frac12
} ∥ a − a ∥ ∞ < 2 1 是自然的 componentwise exact recovery condition。
36. 有限正整數域的 logarithmic nearest recovery
現在回到 Paper 02 coordinate。
令：
D N = { 1 , 2 , … , N } . D_N
=
\{1,2,\dots,N\}. D N = { 1 , 2 , … , N } . 使用：
T ( n ) = ln n . T(n)=\ln n. T ( n ) = ln n . 相鄰 log coordinate 距離：
ln ( n + 1 ) − ln n = ln ( 1 + 1 n ) . \ln(n+1)-\ln n
=
\ln\left(1+\frac1n\right). ln ( n + 1 ) − ln n = ln ( 1 + n 1 ) . 此距離隨：
n n n 增加而下降。
所以：
Δ N = ln ( N N − 1 ) \boxed{
\Delta_N
=
\ln\left(
\frac{N}{N-1}
\right)
} Δ N = ln ( N − 1 N ) 對：
N ≥ 2. N\geq2. N ≥ 2. 37. Log-Space Nearest-State Criterion
由一般定理，
若：
∣ L ^ − ln m ∣ < 1 2 ln ( N N − 1 ) , |\widehat L-\ln m|
<
\frac12
\ln\left(
\frac{N}{N-1}
\right), ∣ L − ln m ∣ < 2 1 ln ( N − 1 N ) , 則在：
{ ln 1 , … , ln N } \{\ln1,\dots,\ln N\} { ln 1 , … , ln N } 上做 nearest-neighbor decoding，
一定精確恢復：
m . m. m . 這是一個直接的 log-coordinate decision radius。
38. Exp + Round 的更實用充分條件
實際 runtime 可能不會在 log table 中 nearest-neighbor。
而會：
m ^ = e L ^ \widehat m
=
e^{\widehat L} m = e L 後直接：
round ( m ^ ) . \operatorname{round}(\widehat m). round ( m ) . 設：
L ^ = ln m + ε . \widehat L
=
\ln m+\varepsilon. L = ln m + ε . 則：
m ^ = m e ε . \widehat m
=
me^\varepsilon. m = m e ε . 若：
∣ m ^ − m ∣ < 1 2 , |\widehat m-m|<\frac12, ∣ m − m ∣ < 2 1 , 則 nearest integer recovery 正確。
39. Uniform Finite-Domain Recovery Theorem
定理 39.1
對所有：
m ∈ { 1 , … , N } , m\in\{1,\dots,N\}, m ∈ { 1 , … , N } , 若：
∣ ε ∣ < ln ( 1 + 1 2 N ) , \boxed{
|\varepsilon|
<
\ln\left(
1+\frac1{2N}
\right),
} ∣ ε ∣ < ln ( 1 + 2 N 1 ) , 則：
round ( e ln m + ε ) = m . \boxed{
\operatorname{round}
\left(
e^{\ln m+\varepsilon}
\right)
=
m.
} round ( e l n m + ε ) = m . 證明
有：
e ∣ ε ∣ < 1 + 1 2 N . e^{|\varepsilon|}
<
1+\frac1{2N}. e ∣ ε ∣ < 1 + 2 N 1 . 因此：
m ( e ∣ ε ∣ − 1 ) < m 2 N ≤ 1 2 . m(e^{|\varepsilon|}-1)
<
\frac{m}{2N}
\leq
\frac12. m ( e ∣ ε ∣ − 1 ) < 2 N m ≤ 2 1 . 而：
∣ m e ε − m ∣ ≤ m ( e ∣ ε ∣ − 1 ) . |me^\varepsilon-m|
\leq
m(e^{|\varepsilon|}-1). ∣ m e ε − m ∣ ≤ m ( e ∣ ε ∣ − 1 ) . 所以：
∣ m e ε − m ∣ < 1 2 . |me^\varepsilon-m|<\frac12. ∣ m e ε − m ∣ < 2 1 . 故 nearest-integer rounding 精確恢復 m m m
證畢。
40. 這就是前面有限 Collatz-like 實驗的理論骨架
在先前有限範圍測試中，
我們令：
N = 100000. N=100000. N = 100000. 則 sufficient margin：
ln ( 1 + 1 200000 ) \ln\left(
1+\frac1{200000}
\right) ln ( 1 + 200000 1 ) 約為：
5 × 10 − 6 . 5\times10^{-6}. 5 × 1 0 − 6 . 只要 log-coordinate error 小於此門檻，
所有：
1 ≤ m ≤ 100000 1\leq m\leq100000 1 ≤ m ≤ 100000 都可透過：
exp + round \exp+\operatorname{round} exp + round 精確恢復。
因此高精度計算中：
10 − 80 10^{-80} 1 0 − 80 等級的 log error 遠低於實際需要的 decision margin。
這說明：
對有限離散域，為了 exact state recovery，不必要求中間連續 representation 本身「無限精確」。
41. Decision Cell
對整數：
m m m 定義原始值域中的 nearest-integer cell：
B m = [ m − 1 2 , m + 1 2 ) . B_m
=
\left[
m-\frac12,
m+\frac12
\right). B m = [ m − 2 1 , m + 2 1 ) . 經 logarithm 映射後：
B ~ m = [ ln ( m − 1 2 ) , ln ( m + 1 2 ) ) \widetilde B_m
=
\left[
\ln\left(m-\frac12\right),
\ln\left(m+\frac12\right)
\right) B m = [ ln ( m − 2 1 ) , ln ( m + 2 1 ) ) 對：
m > 1. m>1. m > 1. 只要：
L ^ ∈ B ~ m , \widehat L\in\widetilde B_m, L ∈ B m , 就有：
round ( e L ^ ) = m . \operatorname{round}(e^{\widehat L})=m. round ( e L ) = m . 因此 exact recovery 可以被理解成：
L ^ 仍落在正確 decision cell . \boxed{
\widehat L
\text{ 仍落在正確 decision cell}.
} L 仍落在正確 decision cell . 42. Exactness 的三種層次
至此可以正式區分：
Type I：Algebraic Exactness
例如 valuation coordinate：
Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . \Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2). Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . 全部使用整數。
Type II：Analytic Exactness
例如理想實數：
ln ( x y ) = ln x + ln y . \ln(xy)
=
\ln x+\ln y. ln ( x y ) = ln x + ln y . Type III：Decision Exactness
中間只有近似：
T ^ ( x ) , \widehat T(x), T ( x ) , 但最終：
Dec ( T ^ ( x ) ) = x \operatorname{Dec}(\widehat T(x))
=
x Dec ( T ( x )) = x 精確。
三者不應混同。
43. Valuation Coordinate 的另一個優勢：可檢查性
若結果宣稱：
q = ∏ p p a p , q=\prod_pp^{a_p}, q = p ∏ p a p , 則可以直接檢查：
Φ ( q ) = ( a p ) p . \Phi(q)
=
(a_p)_p. Φ ( q ) = ( a p ) p . 所以 representation 帶有 componentwise certificate。
例如 multiplication：
a + b = c a+b=c a + b = c 的驗證只需逐 component：
a p + b p = c p . a_p+b_p=c_p. a p + b p = c p . 這種結構對形式化驗證很自然。
44. 但 Addition 重新變難
對：
q 1 + q 2 , q_1+q_2, q 1 + q 2 , 一般沒有：
Φ ( q 1 + q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . \Phi(q_1+q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2). Φ ( q 1 + q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) . 甚至即使：
Φ ( q 1 ) , Φ ( q 2 ) \Phi(q_1),\Phi(q_2) Φ ( q 1 ) , Φ ( q 2 ) 已知，
要取得：
Φ ( q 1 + q 2 ) \Phi(q_1+q_2) Φ ( q 1 + q 2 ) 仍需處理原始加法結果的 factor structure。
因此和 logarithmic coordinate 一樣：
簡化某一族運算 ≠ 簡化所有運算 . \boxed{
\text{簡化某一族運算}
\neq
\text{簡化所有運算}.
} 簡化某一族運算 = 簡化所有運算 . 45. Operation Profile
valuation representation 的 profile 可初步寫：
Π v a l = { × ↦ + , ÷ ↦ − , integer power ↦ scale , gcd ↦ min , lcm ↦ max , rad ↦ support projection } . \boxed{
\Pi_{\mathrm{val}}
=
\{
\times\mapsto+,
\div\mapsto-,
\text{integer power}\mapsto\text{scale},
\gcd\mapsto\min,
\operatorname{lcm}\mapsto\max,
\operatorname{rad}\mapsto\text{support projection}
\}.
} Π val = { × ↦ + , ÷ ↦ − , integer power ↦ scale , g cd↦ min , lcm ↦ max , rad ↦ support projection } . 而：
+ + + 不屬於簡單 componentwise operation。
46. Continuous Log Profile 與 Valuation Profile 的比較
Log coordinate：
Π log \Pi_{\log} Π l o g 適合：
任意正實數；
continuous scale；
high dynamic range；
不要求 factor structure。
Valuation coordinate：
Π v a l \Pi_{\mathrm{val}} Π val 適合：
有理數／整數；
exact factor structure；
exact multiplicative updates；
gcd / lcm / radical 類 primewise operation。
因此兩者應是：
complementary transforms , \boxed{
\text{complementary transforms},
} complementary transforms , 而非互相取代。
47. Hybrid Coordinate
對某些系統，
甚至可以同時保存：
Φ ( q ) \Phi(q) Φ ( q ) 與：
L = ℓ ( Φ ( q ) ) . L=\ell(\Phi(q)). L = ℓ ( Φ ( q )) . 也就是：
q ⟷ ( Φ ( q ) , L ) . \boxed{
q
\longleftrightarrow
(\Phi(q),L).
} q ⟷ ( Φ ( q ) , L ) . 其中：
L L L 可快速做 magnitude comparison，
而：
Φ ( q ) \Phi(q) Φ ( q ) 保存 exact factor structure。
但這是 redundancy tradeoff，
是否值得由 Runtime cost model 決定。
48. Exponent Lattice 的幾何
對有限 prime set：
P m , P_m, P m , 可以在：
Z m \mathbb Z^m Z m 上定義不同 metric。
例如：
∥ a − b ∥ 1 = ∑ i ∣ a i − b i ∣ , \|a-b\|_1
=
\sum_i|a_i-b_i|, ∥ a − b ∥ 1 = i ∑ ∣ a i − b i ∣ , 或：
∥ a − b ∥ ∞ = max i ∣ a i − b i ∣ . \|a-b\|_\infty
=
\max_i|a_i-b_i|. ∥ a − b ∥ ∞ = i max ∣ a i − b i ∣. 也可定義 log-weighted norm：
∥ a ∥ log , 1 = ∑ i ∣ a i ∣ ln p i . \boxed{
\|a\|_{\log,1}
=
\sum_i|a_i|\ln p_i.
} ∥ a ∥ l o g , 1 = i ∑ ∣ a i ∣ ln p i . 這把不同 prime 的 multiplicative scale 納入幾何。
49. Signed Log Functional
對：
a ∈ Z m , a\in\mathbb Z^m, a ∈ Z m , 有：
ℓ ( a ) = ∑ i a i ln p i . \ell(a)
=
\sum_ia_i\ln p_i. ℓ ( a ) = i ∑ a i ln p i . 注意：
∣ ℓ ( a ) ∣ |\ell(a)| ∣ ℓ ( a ) ∣ 與：
∥ a ∥ log , 1 \|a\|_{\log,1} ∥ a ∥ l o g , 1 不同。
因為正負 exponent 可以互相抵消。
所以 exponent lattice 保存的幾何比單一 log magnitude 更豐富。
50. 離散模型與 Paper 05 的接口
當 prime universe 隨 domain 改變時：
P α P_\alpha P α 可以形成不同局部 coordinate systems：
Λ P α . \Lambda_{P_\alpha}. Λ P α . 不同支撐之間有自然 inclusion / projection。
這已經提供一個從離散 exact coordinate 進入：
chart；
atlas；
bundle；
representation；
的自然接口。
Paper 05 將不只研究 smooth manifold，
也會保留這種局部 coordinate family 的一般觀點。
51. 本篇核心定理總結
Theorem A：Valuation Isomorphism
Q > 0 × ≅ ⨁ p ∈ P Z . \boxed{
\mathbb Q_{>0}^{\times}
\cong
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z.
} Q > 0 × ≅ p ∈ P ⨁ Z . Theorem B：Multiplication / Division Translation
Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) , \Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2), Φ ( q 1 q 2 ) = Φ ( q 1 ) + Φ ( q 2 ) , Φ ( q 1 / q 2 ) = Φ ( q 1 ) − Φ ( q 2 ) . \Phi(q_1/q_2)
=
\Phi(q_1)-\Phi(q_2). Φ ( q 1 / q 2 ) = Φ ( q 1 ) − Φ ( q 2 ) . Theorem C：Log–Valuation Factorization
ln = ℓ ∘ Φ . \boxed{
\ln
=
\ell\circ\Phi.
} ln = ℓ ∘ Φ. Theorem D：Finite Metric Exact Recovery
若：
d ( y ^ , T ( x ) ) < Δ D 2 , d(\widehat y,T(x))
<
\frac{\Delta_D}{2}, d ( y , T ( x )) < 2 Δ D , 則 nearest-state decoding exact。
Theorem E：Finite Integer Log Recovery
若：
∣ ε ∣ < ln ( 1 + 1 2 N ) , |\varepsilon|
<
\ln\left(
1+\frac1{2N}
\right), ∣ ε ∣ < ln ( 1 + 2 N 1 ) , 則對所有：
m ≤ N , m\leq N, m ≤ N , 有：
round ( e ln m + ε ) = m . \operatorname{round}
(e^{\ln m+\varepsilon})
=
m. round ( e l n m + ε ) = m . 52. 限制
第一，valuation coordinate 需要 factor structure；從 arbitrary large integer 取得 factorization 的成本可能非常高，因此本文只證明數學 exactness，不宣稱 universal computational speedup。
第二，無限 prime direct sum 是 algebraic infinite-rank lattice，而不是有限維 Euclidean lattice。
第三，addition 在 valuation coordinate 中沒有一般的 componentwise 簡化。
第四，有理 exponent 擴張會離開 Q > 0 \mathbb Q_{>0} Q > 0 Q \mathbb Q Q
第五，本文的 finite-domain exact recovery 是 decision-theoretic exactness，不表示中間浮點座標本身成為 exact real number。
53. 結論
本文建立 Series A 第一個完全離散 exact model。
對正有理數：
q = ∏ p p v p ( q ) , q
=
\prod_pp^{v_p(q)}, q = p ∏ p v p ( q ) , 定義：
Φ ( q ) = ( v p ( q ) ) p . \Phi(q)
=
(v_p(q))_p. Φ ( q ) = ( v p ( q ) ) p . 由算術基本定理：
( Q > 0 × , × ) ≅ ( ⨁ p ∈ P Z , + ) . \boxed{
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\cong
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right).
} ( Q > 0 × , × ) ≅ p ∈ P ⨁ Z , + . 所以：
乘法 → 整數向量加法 \boxed{
\text{乘法}
\to
\text{整數向量加法}
} 乘法 → 整數向量加法 與：
除法 → 整數向量減法 \boxed{
\text{除法}
\to
\text{整數向量減法}
} 除法 → 整數向量減法 可以完全精確成立。
這不是 logarithm approximation。
它是 prime multiplicity 本身形成的 exact coordinate。
更重要的是：
ln q = ∑ p v p ( q ) ln p \ln q
=
\sum_pv_p(q)\ln p ln q = p ∑ v p ( q ) ln p 把 Paper 02 與 Paper 04 聯結起來：
valuation coordinate → prime-log weighting continuous logarithmic coordinate . \boxed{
\text{valuation coordinate}
\xrightarrow{\text{prime-log weighting}}
\text{continuous logarithmic coordinate}.
} valuation coordinate prime-log weighting continuous logarithmic coordinate . 因此 Series A 現在已有兩種不同但相容的 canonical structures：
Continuous Log Model \boxed{
\text{Continuous Log Model}
} Continuous Log Model 以及：
Discrete Valuation Model . \boxed{
\text{Discrete Valuation Model}.
} Discrete Valuation Model . 本文最後證明，有限判定域使：
approximate internal coordinate → exact final discrete state \boxed{
\text{approximate internal coordinate}
\to
\text{exact final discrete state}
} approximate internal coordinate → exact final discrete state 成為可嚴格保證的機制。
所以「精確還原」不必只有一種意義。
它至少包含：
algebraic exactness；
analytic exactness；
decision exactness。
這將成為後續局部 chart、表示論與 Runtime Decision Validator 的重要基礎。
參考文獻
The Stacks Project, Commutative Algebra , sections on factorization, valuation rings, and discrete valuation rings.
Mathlib4 Documentation, Mathlib.NumberTheory.Padics.PadicNorm — p p p Q \mathbb Q Q
Mathlib4 Documentation, Mathlib.NumberTheory.Padics.PadicNumbers — additive p p p p p p
Mathlib4 Documentation, Mathlib.Data.Nat.Factorization — formalized natural-number factorization structures.
Standard Fundamental Theorem of Arithmetic / unique prime factorization of positive integers.
Series A 銜接
下一篇：Paper 05
《局部／流形／表示論擴張——從單一運算座標到 Chart、Atlas、Tangent Linearization 與 Representation》
Paper 05 將把目前的全域模型：
T : X → Y T:X\to Y T : X → Y 放寬為局部族：
T α : U α → V α , T_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha, T α : U α → V α , 並研究：
local linearization；
transition map；
atlas compatibility；
tangent-space approximation；
Lie group / Lie algebra logarithmic 接口；
representation 將抽象 operation 映入矩陣／算子空間；
local exactness 如何提升或無法提升成 global exactness。