# 離散精確模型：估值座標、指數格與有限域精確還原
## ——從質因數指數到離散乘法加法化的無損模型

**English Title:** *Discrete Exact Models: Valuation Coordinates, Exponent Lattices, and Exact Recovery on Finite Decision Domains*

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**系列：** Operation Translation Series A — Paper 04  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-08-10

---

## 摘要

Series A Paper 02 以自然對數建立正實數乘法的連續標準模型：

$$
(\mathbb R_{>0},\times)
\cong
(\mathbb R,+),
$$

而 Paper 03 進一步處理無法完全吸收進 additive core 的 correction。本文則採取另一條完全不同的路徑：**不使用連續對數作為主要座標，而以質因數估值形成離散、有限支撐、可精確還原的乘法座標。**

對每個質數 $p$，令 $v_p(q)$ 表示非零有理數 $q$ 中 $p$ 的指數；對

$$
q=\frac{a}{b}>0
$$

且 $a,b$ 互質，有：

$$
v_p(q)=v_p(a)-v_p(b)\in\mathbb Z.
$$

由算術基本定理，每個正有理數都唯一表示為：

$$
q
=
\prod_{p\in\mathbb P}
p^{v_p(q)},
$$

且只有有限多個 $v_p(q)$ 非零。因此可定義估值座標：

$$
\Phi(q)
=
\bigl(v_p(q)\bigr)_{p\in\mathbb P}
\in
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z.
$$

本文證明：

$$
\boxed{
\Phi:
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\overset{\cong}{\longrightarrow}
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right)
}
$$

為群同構。也就是說，在這個離散模型中：

$$
\boxed{
\text{乘法}
\longrightarrow
\text{整數向量加法},
}
$$

$$
\boxed{
\text{除法}
\longrightarrow
\text{整數向量減法},
}
$$

且不存在 logarithmic approximation、浮點誤差或 inverse exponential approximation。逆映射只是有限乘積：

$$
\Phi^{-1}((a_p)_p)
=
\prod_p p^{a_p}.
$$

因此這是 Series A 第一個真正的**完全離散 exact additivization model**。

本文特別澄清：上述目標空間不是通常意義上的實向量空間，而是無限秩 free $\mathbb Z$ -module / free Abelian group；只有限制到有限質數集合

$$
P=\{p_1,\dots,p_m\}
$$

時，才形成有限秩 exponent lattice：

$$
\Lambda_P
=
\mathbb Z^m.
$$

若進一步把指數係數擴張至 $\mathbb Q$，則可以得到 $\mathbb Q$ -vector-space 型的 divisible hull，但其逆像一般已超出有理數，進入有限個質數之有理次方所生成的正代數數／實數子群。因此本文保留「Exponent Lattice」與「Valuation Coordinate Space」作為主名稱，而不把原模型誤稱為實向量空間。

本文接著建立連續對數與離散估值座標之間的交換關係。定義權重泛函：

$$
\ell((a_p)_p)
=
\sum_p a_p\ln p.
$$

則：

$$
\boxed{
\ln q
=
\ell(\Phi(q)).
}
$$

所以 Paper 02 的 logarithmic coordinate 可以被理解為：把完整的 prime-exponent coordinate 經由權重 $\ln p$ 壓入一個一維連續座標。這不是資訊丟失的數學映射——在無限精度實數上它仍為單射——但在有限精度數值表示中，完整離散結構與單一實數尺度的可恢復性具有不同工程特性。

最後，本文提出兩個 exact recovery 定理。第一，對有限 prime universe 中的估值向量，只要每個近似指數誤差嚴格小於 $1/2$，逐座標 nearest-integer rounding 即可精確恢復原 exponent vector。第二，對有限整數判定域

$$
D_N=\{1,\dots,N\},
$$

若某正整數 $m\leq N$ 的近似 logarithmic coordinate 為

$$
\widehat L=\ln m+\varepsilon,
$$

且：

$$
|\varepsilon|
<
\ln\left(1+\frac1{2N}\right),
$$

則：

$$
\operatorname{round}(e^{\widehat L})=m.
$$

因此，即使中間座標使用連續近似，只要近似結果沒有跨越有限判定域的 decision boundary，最後仍可得到 exact discrete recovery。

本文由此建立 Series A 的第二個 canonical model：

$$
\boxed{
\text{continuous exact representation}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{discrete exact representation}
}
$$

並存。前者由 logarithm 提供，後者由 valuation / exponent lattice 提供。兩者共同說明：「乘法轉加法」不是單一函數技巧，而可以來自完全不同的結構座標。

**關鍵詞：** valuation、估值座標、質因數指數、Exponent Lattice、Free Abelian Group、 $\mathbb Z$ -module、精確還原、有限判定域、nearest-state recovery、離散加法化

---

# 1. 問題的轉向：如果不要 logarithm 呢？

Paper 02 的 canonical model 是：

$$
T(x)=\ln x,
$$

並得到：

$$
T(xy)=T(x)+T(y).
$$

這個模型在正實數上是全域、連續、精確且可逆的。

但它仍然使用一個連續座標：

$$
L\in\mathbb R.
$$

這自然引出另一個問題：

> 是否存在一種完全離散的表示，使乘法與除法直接變成整數加減，而且原值可以完全精確恢復？

對：

$$
\mathbb Q_{>0},
$$

答案是肯定的。

而且此模型不是近似對數。

它來自算術基本定理本身。

---

# 2. 質因數估值

對質數：

$$
p\in\mathbb P
$$

以及正整數：

$$
n\in\mathbb N_{>0},
$$

定義：

$$
v_p(n)
$$

為 $p$ 在 $n$ 的質因數分解中出現的指數。

例如：

$$
360
=
2^3 3^2 5,
$$

因此：

$$
v_2(360)=3,
$$

$$
v_3(360)=2,
$$

$$
v_5(360)=1,
$$

其餘質數 $p$：

$$
v_p(360)=0.
$$

---

# 3. 從整數擴張到有理數

對：

$$
q=\frac ab>0
$$

其中：

$$
\gcd(a,b)=1,
$$

定義：

$$
\boxed{
v_p(q)
=
v_p(a)-v_p(b).
}
$$

因此：

$$
v_p(q)\in\mathbb Z.
$$

例如：

$$
q=\frac{45}{28}
=
\frac{3^2 5}{2^2 7},
$$

則：

$$
v_2(q)=-2,
$$

$$
v_3(q)=2,
$$

$$
v_5(q)=1,
$$

$$
v_7(q)=-1.
$$

其餘為零。

---

# 4. 有限支撐

任何固定有理數：

$$
q\neq0
$$

的分子與分母都只有有限多個質因數。

所以：

$$
\boxed{
v_p(q)\neq0
}
$$

只對有限多個：

$$
p
$$

成立。

因此：

$$
(v_p(q))_{p\in\mathbb P}
$$

不是任意無限整數序列，

而是有限支撐序列。

---

# 5. 直接和

定義：

$$
\boxed{
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z
=
\left\{
(a_p)_{p\in\mathbb P}:
a_p\in\mathbb Z,\;
a_p=0
\text{ except finitely many }p
\right\}.
}
$$

其加法為 componentwise addition：

$$
(a_p)_p+(b_p)_p
=
(a_p+b_p)_p.
$$

這是一個 infinite-rank free Abelian group，

同時也是 free $\mathbb Z$ -module。

---

# 6. Valuation Coordinate Map

定義：

$$
\boxed{
\Phi:
\mathbb Q_{>0}^{\times}
\to
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z
}
$$

為：

$$
\boxed{
\Phi(q)
=
(v_p(q))_{p\in\mathbb P}.
}
$$

這就是本文的 prime-valuation coordinate。

---

# 7. 乘法直接變成向量加法

對：

$$
q_1,q_2\in\mathbb Q_{>0},
$$

有標準估值性質：

$$
v_p(q_1q_2)
=
v_p(q_1)+v_p(q_2).
$$

因此：

$$
\Phi(q_1q_2)
=
\left(
v_p(q_1q_2)
\right)_p
$$

$$
=
\left(
v_p(q_1)+v_p(q_2)
\right)_p
$$

$$
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2).
$$

所以：

$$
\boxed{
\Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2).
}
$$

這是 exact additivization。

---

# 8. 除法變成向量減法

同理：

$$
v_p\left(
\frac{q_1}{q_2}
\right)
=
v_p(q_1)-v_p(q_2).
$$

因此：

$$
\boxed{
\Phi(q_1/q_2)
=
\Phi(q_1)-\Phi(q_2).
}
$$

沒有 correction。

沒有近似。

---

# 9. 整數冪變成 scalar multiplication

對：

$$
n\in\mathbb Z,
$$

有：

$$
v_p(q^n)
=
n\,v_p(q).
$$

所以：

$$
\boxed{
\Phi(q^n)
=
n\Phi(q).
}
$$

因此 valuation coordinate 支援：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\times &\to +,\\
\div &\to -,\\
\text{integer power} &\to \text{integer scaling}.
\end{aligned}
}
$$

和 logarithmic coordinate 具有高度平行的運算結構。

---

# 10. 逆映射

對任意有限支撐：

$$
a=(a_p)_p
\in
\bigoplus_p\mathbb Z,
$$

定義：

$$
\boxed{
\Psi(a)
=
\prod_{p\in\mathbb P}p^{a_p}.
}
$$

因為：

$$
a_p=0
$$

除有限多項之外均成立，

所以此乘積實際上是有限乘積。

若：

$$
a_p<0,
$$

則對應：

$$
p^{a_p}
=
\frac1{p^{-a_p}}.
$$

因此：

$$
\Psi(a)\in\mathbb Q_{>0}.
$$

---

# 11. 精確同構定理

## 定理 11.1

映射：

$$
\Phi:
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\to
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right)
$$

為群同構。

### 證明

前文已證：

$$
\Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2).
$$

所以 $\Phi$ 為 homomorphism。

由算術基本定理，

若：

$$
\Phi(q_1)=\Phi(q_2),
$$

則對每個 prime：

$$
v_p(q_1)=v_p(q_2).
$$

因此：

$$
q_1=q_2.
$$

故 $\Phi$ 單射。

另一方面，

給定任意有限支撐：

$$
(a_p)_p,
$$

取：

$$
q=\prod_pp^{a_p}.
$$

則：

$$
v_p(q)=a_p.
$$

因此：

$$
\Phi(q)=(a_p)_p.
$$

故 $\Phi$ 滿射。

因此 $\Phi$ 為群同構。

證畢。

---

# 12. 第一個完全離散 canonical model

因此：

$$
\boxed{
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\cong
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right).
}
$$

這和 Paper 02：

$$
(\mathbb R_{>0}^{\times},\times)
\cong
(\mathbb R,+)
$$

形成兩種 canonical models。

Paper 02：

$$
\boxed{
\text{continuous multiplicative coordinate}
}
$$

Paper 04：

$$
\boxed{
\text{discrete exponent coordinate}.
}
$$

---

# 13. 這不是普通實向量空間

右側：

$$
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z
$$

可以做：

$$
a+b
$$

以及：

$$
na,
\qquad n\in\mathbb Z.
$$

但不能對任意：

$$
\lambda\in\mathbb R
$$

要求：

$$
\lambda a
$$

仍屬於此空間。

因此它不是：

$$
\mathbb R\text{-vector space}.
$$

最精確的稱呼是：

$$
\boxed{
\text{free }\mathbb Z\text{-module}
}
$$

或：

$$
\boxed{
\text{free Abelian group}.
}
$$

本文工程／幾何語言使用：

$$
\boxed{
\text{Exponent Lattice}.
}
$$

---

# 14. 有限質數集合下的真正有限秩格

若限制：

$$
P_m
=
\{p_1,\dots,p_m\},
$$

定義：

$$
\Lambda_{P_m}
=
\bigoplus_{p\in P_m}\mathbb Z.
$$

則：

$$
\boxed{
\Lambda_{P_m}
\cong
\mathbb Z^m.
}
$$

此時才得到通常容易視覺化的有限秩 exponent lattice。

例如：

$$
P_3=\{2,3,5\}.
$$

則：

$$
360
\leftrightarrow
(3,2,1).
$$

---

# 15. 乘法作為 lattice translation

例如：

$$
360
=
2^3 3^2 5,
$$

以及：

$$
75
=
3\cdot5^2.
$$

有：

$$
\Phi(360)
=
(3,2,1),
$$

$$
\Phi(75)
=
(0,1,2).
$$

所以：

$$
\Phi(360\cdot75)
=
(3,3,3).
$$

逆轉：

$$
2^33^35^3
=
27000.
$$

整個中間運算只做：

$$
(3,2,1)+(0,1,2).
$$

---

# 16. 除法作為 lattice translation

例如：

$$
\frac{360}{75}
=
\frac{24}{5}.
$$

座標：

$$
(3,2,1)-(0,1,2)
=
(3,1,-1).
$$

逆轉：

$$
2^33^15^{-1}
=
\frac{24}{5}.
$$

負 exponent 自然表示 denominator。

---

# 17. 正整數是非負正交錐

對：

$$
n\in\mathbb N_{>0},
$$

所有：

$$
v_p(n)\geq0.
$$

所以正整數對應：

$$
\boxed{
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb N_0.
}
$$

這是一個 commutative monoid，

而不是 group。

有理數則允許負 exponent，

因而完成 group completion：

$$
\boxed{
\mathbb N_{>0}^{\times}
\leadsto
\mathbb Q_{>0}^{\times}.
}
$$

在 exponent coordinate 中，

就是：

$$
\mathbb N_0^{(\mathbb P)}
\leadsto
\mathbb Z^{(\mathbb P)}.
$$

---

# 18. 非零有理數的符號擴張

對：

$$
\mathbb Q^\times
=
\mathbb Q\setminus\{0\},
$$

加入 sign：

$$
s(q)\in\{\pm1\}.
$$

定義：

$$
\Phi^\times(q)
=
\left(
s(q),(v_p(|q|))_p
\right).
$$

則：

$$
\boxed{
\mathbb Q^\times
\cong
\{\pm1\}
\times
\bigoplus_p\mathbb Z.
}
$$

乘法對應：

$$
(s,a)\star(t,b)
=
(st,a+b).
$$

這和 Paper 02 的：

$$
\mathbb R^\times
\cong
\{\pm1\}\times\mathbb R
$$

完全平行。

---

# 19. $0$ 仍然是特殊態

普通 prime-exponent vector 無法表示：

$$
0.
$$

在標準 valuation theory 中可以把：

$$
v_p(0)
$$

擴張為：

$$
+\infty,
$$

但這不是：

$$
\mathbb Z.
$$

而且若對所有 prime 都使用：

$$
+\infty,
$$

也不再屬於有限支撐 direct sum。

所以若目標是 Runtime representation，

仍然可使用：

$$
\boxed{
\mathbf0_{\mathrm{val}}
}
$$

作為 distinguished absorbing state。

---

# 20. GCD 與 LCM 在估值座標中

對：

$$
m,n\in\mathbb N_{>0},
$$

有：

$$
v_p(\gcd(m,n))
=
\min(v_p(m),v_p(n)),
$$

以及：

$$
v_p(\operatorname{lcm}(m,n))
=
\max(v_p(m),v_p(n)).
$$

因此：

$$
\boxed{
\Phi(\gcd(m,n))
=
\min(\Phi(m),\Phi(n))
}
$$

逐 component 取 minimum，

而：

$$
\boxed{
\Phi(\operatorname{lcm}(m,n))
=
\max(\Phi(m),\Phi(n)).
}
$$

所以 exponent coordinate 不只簡化乘除。

它也把 gcd / lcm 轉為 lattice order operation。

---

# 21. Radical 運算

對正整數：

$$
n=\prod_pp^{a_p},
$$

有：

$$
\operatorname{rad}(n)
=
\prod_{a_p>0}p.
$$

因此：

$$
v_p(\operatorname{rad}(n))
=
\begin{cases}
1,&a_p>0,\\
0,&a_p=0.
\end{cases}
$$

所以 radical 在 exponent coordinate 中就是：

$$
\boxed{
a_p
\mapsto
\mathbf1_{a_p>0}.
}
$$

這是一個 componentwise support projection。

---

# 22. Support 本身也是結構

定義：

$$
\operatorname{supp}\Phi(q)
=
\{p:v_p(q)\neq0\}.
$$

這個集合直接記錄：

$$
q
$$

涉及哪些 prime。

因此 exponent coordinate 同時保存：

- factor identity；
- multiplicity；
- numerator / denominator direction。

這些資訊在單一 floating magnitude 中不會以顯式 component 形式存在。

---

# 23. Logarithm 是 valuation coordinate 的權重泛函

現在把 Paper 02 與 Paper 04 連起來。

對：

$$
q
=
\prod_pp^{v_p(q)},
$$

取 logarithm：

$$
\ln q
=
\ln
\left(
\prod_pp^{v_p(q)}
\right).
$$

因 finite support：

$$
\ln q
=
\sum_pv_p(q)\ln p.
$$

定義：

$$
\boxed{
\ell:
\bigoplus_p\mathbb Z
\to
\mathbb R
}
$$

為：

$$
\boxed{
\ell((a_p)_p)
=
\sum_pa_p\ln p.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\ln
=
\ell\circ\Phi.
}
$$

---

# 24. 交換圖

因此存在：

$$
\mathbb Q_{>0}^{\times}
\xrightarrow{\Phi}
\bigoplus_p\mathbb Z
$$

以及：

$$
\mathbb Q_{>0}^{\times}
\xrightarrow{\ln}
\mathbb R.
$$

兩者滿足：

$$
\boxed{
\ln q
=
\ell(\Phi(q)).
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\begin{array}{ccc}
\mathbb Q_{>0}^{\times}
&\xrightarrow{\Phi}&
\bigoplus_p\mathbb Z\\
&\searrow_{\ln}&
\downarrow{\ell}\\
&&\mathbb R
\end{array}
}
$$

交換。

---

# 25. 這個結果的意義

Paper 02 的 logarithmic coordinate：

$$
L=\ln q
$$

可以被視為對 valuation coordinate：

$$
(v_p(q))_p
$$

施加 prime-dependent weights：

$$
\ln p
$$

後的加總。

因此兩套 representation 不是彼此無關。

而是：

$$
\boxed{
\text{valuation vector}
\longrightarrow
\text{weighted scalar log coordinate}.
}
$$

---

# 26. 這個映射在純數學上仍然單射

假設：

$$
\ell(a)=\ell(b).
$$

則：

$$
\sum_p(a_p-b_p)\ln p=0.
$$

所以：

$$
\ln
\left(
\prod_pp^{a_p-b_p}
\right)
=
0.
$$

因此：

$$
\prod_pp^{a_p-b_p}=1.
$$

由質因數分解唯一性：

$$
a_p-b_p=0
$$

對所有 $p$。

故：

$$
a=b.
$$

所以 $\ell$ 在：

$$
\bigoplus_p\mathbb Z
$$

上是單射。

這表示：

> 一個無限精度實數 logarithm 理論上仍可編碼完整正有理數。

但這不等於有限 bit implementation 顯式保存了 factor structure。

---

# 27. Discrete Exactness 與 Continuous Exactness

因此 Series A 現在至少有兩種 exactness。

## Continuous Exactness

$$
q
\leftrightarrow
\ln q.
$$

在實數數學中 exact。

## Discrete Structural Exactness

$$
q
\leftrightarrow
(v_p(q))_p.
$$

每個 coordinate 為整數，

且 factor structure 顯式保存。

兩者都是 exact，

但 representation geometry 不同。

---

# 28. 有理指數擴張

若允許：

$$
a_p\in\mathbb Q,
$$

則得到：

$$
\bigoplus_p\mathbb Q.
$$

這已是：

$$
\mathbb Q\text{-vector space}.
$$

逆映射形式為：

$$
(a_p)_p
\mapsto
\prod_pp^{a_p}.
$$

但此結果一般不再屬於：

$$
\mathbb Q.
$$

例如：

$$
2^{1/2}=\sqrt2.
$$

因此：

$$
\bigoplus_p\mathbb Q
$$

對應的是正有理數乘法群的 divisible hull / rational-prime-power extension，

而不是原本：

$$
\mathbb Q_{>0}^{\times}.
$$

本文因此不把它混入核心定理。

---

# 29. Exact Encoding 不等於 Cheap Encoding

valuation coordinate 有一個明顯工程成本：

要從一般大整數：

$$
n
$$

得到：

$$
(v_p(n))_p
$$

通常需要知道其質因數分解。

因此：

$$
\boxed{
\text{exact translation exists}
}
$$

不代表：

$$
\boxed{
\text{translation cost is low}.
}
$$

這正符合 Paper 01 的 distinction：

$$
\text{representation existence}
\neq
\text{operation simplification benefit}.
$$

如果輸入原本已因式分解、由 multiplicative construction 生成、或長期維持 exponent state，

那麼此 representation 可能非常自然。

若每次都從任意巨大整數重新 factor，

轉譯成本可能主導整體計算。

---

# 30. 因此需要 domain-aware transform selection

Runtime 不應預設：

$$
\Phi
$$

永遠優於：

$$
\ln.
$$

應根據：

- input representation；
- prime support；
- expected operation profile；
- 是否需要 exact factor structure；
- factorization cost；

選擇：

$$
\boxed{
\text{Valuation Coordinate}
}
$$

或：

$$
\boxed{
\text{Continuous Log Coordinate}.
}
$$

這是 Transform Selector 的直接理論依據。

---

# 31. 有限判定域上的一般 exact recovery

現在進入本文第二個核心主題。

設：

$$
D=\{x_1,\dots,x_N\}
$$

是有限集合，

且：

$$
T:D\to(Y,d)
$$

為 injective embedding。

定義最小分離距離：

$$
\boxed{
\Delta_D
=
\min_{i\neq j}
d(Tx_i,Tx_j).
}
$$

因 $D$ 有限且 $T$ 單射：

$$
\Delta_D>0.
$$

---

# 32. Nearest-State Exact Recovery Theorem

## 定理 32.1

假設真實狀態為：

$$
x\in D
$$

而數值計算得到：

$$
\widehat y\in Y
$$

滿足：

$$
d(\widehat y,T(x))
<
\frac{\Delta_D}{2}.
$$

則 $T(x)$ 是 $T(D)$ 中距離 $\widehat y$ 唯一最近的點。

因此 nearest-state decoder：

$$
\operatorname{Dec}_D(\widehat y)
=
\arg\min_{z\in D}
d(\widehat y,Tz)
$$

精確恢復：

$$
\boxed{
\operatorname{Dec}_D(\widehat y)=x.
}
$$

### 證明

對任何：

$$
z\neq x,
$$

由三角不等式：

$$
d(\widehat y,Tz)
\geq
d(Tx,Tz)-d(\widehat y,Tx).
$$

因：

$$
d(Tx,Tz)\geq\Delta_D,
$$

且：

$$
d(\widehat y,Tx)<\frac{\Delta_D}{2},
$$

所以：

$$
d(\widehat y,Tz)
>
\frac{\Delta_D}{2}.
$$

另一方面：

$$
d(\widehat y,Tx)
<
\frac{\Delta_D}{2}.
$$

故 $Tx$ 唯一最近。

證畢。

---

# 33. Approximate Coordinate → Exact State

上述定理顯示：

$$
\boxed{
\text{approximate coordinate}
\not\Rightarrow
\text{approximate final state}.
}
$$

只要 approximation 沒跨出正確 decision cell，

最終離散狀態仍可以 exact。

這是 Series A 中非常重要的一種 exactness：

$$
\boxed{
\text{decision exactness}.
}
$$

---

# 34. 指數格的 componentwise exact recovery

限制到有限 prime set：

$$
P_m=\{p_1,\dots,p_m\}.
$$

真實 valuation vector：

$$
a=(a_1,\dots,a_m)\in\mathbb Z^m.
$$

假設近似計算：

$$
\widehat a_i
=
a_i+\varepsilon_i.
$$

若對所有：

$$
i
$$

都有：

$$
|\varepsilon_i|<\frac12,
$$

則：

$$
\operatorname{round}(\widehat a_i)=a_i.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{round}(\widehat a)
=
a.
}
$$

逐 coordinate exact recovery。

---

# 35. 為什麼 $1/2$ 是自然門檻

整數格：

$$
\mathbb Z^m
$$

在：

$$
\ell_\infty
$$

metric 下最小非零距離為：

$$
1.
$$

所以 nearest-state theorem 給：

$$
\frac{\Delta}{2}
=
\frac12.
$$

因此：

$$
\boxed{
\|\widehat a-a\|_\infty<\frac12
}
$$

是自然的 componentwise exact recovery condition。

---

# 36. 有限正整數域的 logarithmic nearest recovery

現在回到 Paper 02 coordinate。

令：

$$
D_N
=
\{1,2,\dots,N\}.
$$

使用：

$$
T(n)=\ln n.
$$

相鄰 log coordinate 距離：

$$
\ln(n+1)-\ln n
=
\ln\left(1+\frac1n\right).
$$

此距離隨：

$$
n
$$

增加而下降。

所以：

$$
\boxed{
\Delta_N
=
\ln\left(
\frac{N}{N-1}
\right)
}
$$

對：

$$
N\geq2.
$$

---

# 37. Log-Space Nearest-State Criterion

由一般定理，

若：

$$
|\widehat L-\ln m|
<
\frac12
\ln\left(
\frac{N}{N-1}
\right),
$$

則在：

$$
\{\ln1,\dots,\ln N\}
$$

上做 nearest-neighbor decoding，

一定精確恢復：

$$
m.
$$

這是一個直接的 log-coordinate decision radius。

---

# 38. Exp + Round 的更實用充分條件

實際 runtime 可能不會在 log table 中 nearest-neighbor。

而會：

$$
\widehat m
=
e^{\widehat L}
$$

後直接：

$$
\operatorname{round}(\widehat m).
$$

設：

$$
\widehat L
=
\ln m+\varepsilon.
$$

則：

$$
\widehat m
=
me^\varepsilon.
$$

若：

$$
|\widehat m-m|<\frac12,
$$

則 nearest integer recovery 正確。

---

# 39. Uniform Finite-Domain Recovery Theorem

## 定理 39.1

對所有：

$$
m\in\{1,\dots,N\},
$$

若：

$$
\boxed{
|\varepsilon|
<
\ln\left(
1+\frac1{2N}
\right),
}
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{round}
\left(
e^{\ln m+\varepsilon}
\right)
=
m.
}
$$

### 證明

有：

$$
e^{|\varepsilon|}
<
1+\frac1{2N}.
$$

因此：

$$
m(e^{|\varepsilon|}-1)
<
\frac{m}{2N}
\leq
\frac12.
$$

而：

$$
|me^\varepsilon-m|
\leq
m(e^{|\varepsilon|}-1).
$$

所以：

$$
|me^\varepsilon-m|<\frac12.
$$

故 nearest-integer rounding 精確恢復 $m$。

證畢。

---

# 40. 這就是前面有限 Collatz-like 實驗的理論骨架

在先前有限範圍測試中，

我們令：

$$
N=100000.
$$

則 sufficient margin：

$$
\ln\left(
1+\frac1{200000}
\right)
$$

約為：

$$
5\times10^{-6}.
$$

只要 log-coordinate error 小於此門檻，

所有：

$$
1\leq m\leq100000
$$

都可透過：

$$
\exp+\operatorname{round}
$$

精確恢復。

因此高精度計算中：

$$
10^{-80}
$$

等級的 log error 遠低於實際需要的 decision margin。

這說明：

> 對有限離散域，為了 exact state recovery，不必要求中間連續 representation 本身「無限精確」。

---

# 41. Decision Cell

對整數：

$$
m
$$

定義原始值域中的 nearest-integer cell：

$$
B_m
=
\left[
m-\frac12,
m+\frac12
\right).
$$

經 logarithm 映射後：

$$
\widetilde B_m
=
\left[
\ln\left(m-\frac12\right),
\ln\left(m+\frac12\right)
\right)
$$

對：

$$
m>1.
$$

只要：

$$
\widehat L\in\widetilde B_m,
$$

就有：

$$
\operatorname{round}(e^{\widehat L})=m.
$$

因此 exact recovery 可以被理解成：

$$
\boxed{
\widehat L
\text{ 仍落在正確 decision cell}.
}
$$

---

# 42. Exactness 的三種層次

至此可以正式區分：

## Type I：Algebraic Exactness

例如 valuation coordinate：

$$
\Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2).
$$

全部使用整數。

## Type II：Analytic Exactness

例如理想實數：

$$
\ln(xy)
=
\ln x+\ln y.
$$

## Type III：Decision Exactness

中間只有近似：

$$
\widehat T(x),
$$

但最終：

$$
\operatorname{Dec}(\widehat T(x))
=
x
$$

精確。

三者不應混同。

---

# 43. Valuation Coordinate 的另一個優勢：可檢查性

若結果宣稱：

$$
q=\prod_pp^{a_p},
$$

則可以直接檢查：

$$
\Phi(q)
=
(a_p)_p.
$$

所以 representation 帶有 componentwise certificate。

例如 multiplication：

$$
a+b=c
$$

的驗證只需逐 component：

$$
a_p+b_p=c_p.
$$

這種結構對形式化驗證很自然。

---

# 44. 但 Addition 重新變難

對：

$$
q_1+q_2,
$$

一般沒有：

$$
\Phi(q_1+q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2).
$$

甚至即使：

$$
\Phi(q_1),\Phi(q_2)
$$

已知，

要取得：

$$
\Phi(q_1+q_2)
$$

仍需處理原始加法結果的 factor structure。

因此和 logarithmic coordinate 一樣：

$$
\boxed{
\text{簡化某一族運算}
\neq
\text{簡化所有運算}.
}
$$

---

# 45. Operation Profile

valuation representation 的 profile 可初步寫：

$$
\boxed{
\Pi_{\mathrm{val}}
=
\{
\times\mapsto+,
\div\mapsto-,
\text{integer power}\mapsto\text{scale},
\gcd\mapsto\min,
\operatorname{lcm}\mapsto\max,
\operatorname{rad}\mapsto\text{support projection}
\}.
}
$$

而：

$$
+
$$

不屬於簡單 componentwise operation。

---

# 46. Continuous Log Profile 與 Valuation Profile 的比較

Log coordinate：

$$
\Pi_{\log}
$$

適合：

- 任意正實數；
- continuous scale；
- high dynamic range；
- 不要求 factor structure。

Valuation coordinate：

$$
\Pi_{\mathrm{val}}
$$

適合：

- 有理數／整數；
- exact factor structure；
- exact multiplicative updates；
- gcd / lcm / radical 類 primewise operation。

因此兩者應是：

$$
\boxed{
\text{complementary transforms},
}
$$

而非互相取代。

---

# 47. Hybrid Coordinate

對某些系統，

甚至可以同時保存：

$$
\Phi(q)
$$

與：

$$
L=\ell(\Phi(q)).
$$

也就是：

$$
\boxed{
q
\longleftrightarrow
(\Phi(q),L).
}
$$

其中：

$$
L
$$

可快速做 magnitude comparison，

而：

$$
\Phi(q)
$$

保存 exact factor structure。

但這是 redundancy tradeoff，

是否值得由 Runtime cost model 決定。

---

# 48. Exponent Lattice 的幾何

對有限 prime set：

$$
P_m,
$$

可以在：

$$
\mathbb Z^m
$$

上定義不同 metric。

例如：

$$
\|a-b\|_1
=
\sum_i|a_i-b_i|,
$$

或：

$$
\|a-b\|_\infty
=
\max_i|a_i-b_i|.
$$

也可定義 log-weighted norm：

$$
\boxed{
\|a\|_{\log,1}
=
\sum_i|a_i|\ln p_i.
}
$$

這把不同 prime 的 multiplicative scale 納入幾何。

---

# 49. Signed Log Functional

對：

$$
a\in\mathbb Z^m,
$$

有：

$$
\ell(a)
=
\sum_ia_i\ln p_i.
$$

注意：

$$
|\ell(a)|
$$

與：

$$
\|a\|_{\log,1}
$$

不同。

因為正負 exponent 可以互相抵消。

所以 exponent lattice 保存的幾何比單一 log magnitude 更豐富。

---

# 50. 離散模型與 Paper 05 的接口

當 prime universe 隨 domain 改變時：

$$
P_\alpha
$$

可以形成不同局部 coordinate systems：

$$
\Lambda_{P_\alpha}.
$$

不同支撐之間有自然 inclusion / projection。

這已經提供一個從離散 exact coordinate 進入：

- chart；
- atlas；
- bundle；
- representation；

的自然接口。

Paper 05 將不只研究 smooth manifold，

也會保留這種局部 coordinate family 的一般觀點。

---

# 51. 本篇核心定理總結

### Theorem A：Valuation Isomorphism

$$
\boxed{
\mathbb Q_{>0}^{\times}
\cong
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z.
}
$$

### Theorem B：Multiplication / Division Translation

$$
\Phi(q_1q_2)
=
\Phi(q_1)+\Phi(q_2),
$$

$$
\Phi(q_1/q_2)
=
\Phi(q_1)-\Phi(q_2).
$$

### Theorem C：Log–Valuation Factorization

$$
\boxed{
\ln
=
\ell\circ\Phi.
}
$$

### Theorem D：Finite Metric Exact Recovery

若：

$$
d(\widehat y,T(x))
<
\frac{\Delta_D}{2},
$$

則 nearest-state decoding exact。

### Theorem E：Finite Integer Log Recovery

若：

$$
|\varepsilon|
<
\ln\left(
1+\frac1{2N}
\right),
$$

則對所有：

$$
m\leq N,
$$

有：

$$
\operatorname{round}
(e^{\ln m+\varepsilon})
=
m.
$$

---

# 52. 限制

第一，valuation coordinate 需要 factor structure；從 arbitrary large integer 取得 factorization 的成本可能非常高，因此本文只證明數學 exactness，不宣稱 universal computational speedup。

第二，無限 prime direct sum 是 algebraic infinite-rank lattice，而不是有限維 Euclidean lattice。

第三，addition 在 valuation coordinate 中沒有一般的 componentwise 簡化。

第四，有理 exponent 擴張會離開 $\mathbb Q_{>0}$，因此不能不加區分地稱原空間為 $\mathbb Q$ -vector space。

第五，本文的 finite-domain exact recovery 是 decision-theoretic exactness，不表示中間浮點座標本身成為 exact real number。

---

# 53. 結論

本文建立 Series A 第一個完全離散 exact model。

對正有理數：

$$
q
=
\prod_pp^{v_p(q)},
$$

定義：

$$
\Phi(q)
=
(v_p(q))_p.
$$

由算術基本定理：

$$
\boxed{
(\mathbb Q_{>0}^{\times},\times)
\cong
\left(
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z,+
\right).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{乘法}
\to
\text{整數向量加法}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{除法}
\to
\text{整數向量減法}
}
$$

可以完全精確成立。

這不是 logarithm approximation。

它是 prime multiplicity 本身形成的 exact coordinate。

更重要的是：

$$
\ln q
=
\sum_pv_p(q)\ln p
$$

把 Paper 02 與 Paper 04 聯結起來：

$$
\boxed{
\text{valuation coordinate}
\xrightarrow{\text{prime-log weighting}}
\text{continuous logarithmic coordinate}.
}
$$

因此 Series A 現在已有兩種不同但相容的 canonical structures：

$$
\boxed{
\text{Continuous Log Model}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Discrete Valuation Model}.
}
$$

本文最後證明，有限判定域使：

$$
\boxed{
\text{approximate internal coordinate}
\to
\text{exact final discrete state}
}
$$

成為可嚴格保證的機制。

所以「精確還原」不必只有一種意義。

它至少包含：

- algebraic exactness；
- analytic exactness；
- decision exactness。

這將成為後續局部 chart、表示論與 Runtime Decision Validator 的重要基礎。

---

# 參考文獻

1. The Stacks Project, *Commutative Algebra*, sections on factorization, valuation rings, and discrete valuation rings.
2. Mathlib4 Documentation, `Mathlib.NumberTheory.Padics.PadicNorm` — $p$ -adic valuation on $\mathbb Q$ as the difference of multiplicities in numerator and denominator.
3. Mathlib4 Documentation, `Mathlib.NumberTheory.Padics.PadicNumbers` — additive $p$ -adic valuations and $p$ -adic completions.
4. Mathlib4 Documentation, `Mathlib.Data.Nat.Factorization` — formalized natural-number factorization structures.
5. Standard Fundamental Theorem of Arithmetic / unique prime factorization of positive integers.

---

## Series A 銜接

**下一篇：Paper 05**

**《局部／流形／表示論擴張——從單一運算座標到 Chart、Atlas、Tangent Linearization 與 Representation》**

Paper 05 將把目前的全域模型：

$$
T:X\to Y
$$

放寬為局部族：

$$
T_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha,
$$

並研究：

- local linearization；
- transition map；
- atlas compatibility；
- tangent-space approximation；
- Lie group / Lie algebra logarithmic 接口；
- representation 將抽象 operation 映入矩陣／算子空間；
- local exactness 如何提升或無法提升成 global exactness。