TADC-02：動態認知域——領域作為局部座標圖

英文題名： Dynamic Cognitive Domains: Domains as Induced Local Charts of Cognitive Space
系列： Topological Attention and Dynamic Cognitive Domains — Conjecture Series（TADC）
中文系列名： 拓樸注意力與動態認知域命題系列
編號： TADC-02
版本： v0.1
日期： 2026-08-17
作者： Neo.K（許筌崴）
協作： GPT-5.6 Sol
文件性質： 理論命題／形式化研究綱領／可證偽模型
文獻檢索截點： 2026-08-17

摘要

TADC-01 提出了可變認知空間猜想（VCSC）與注意—空間轉換猜想（ASTC）：高階認知可能不只是於既有候選集合中移動注意，而會改變未來哪些認知對象、關係與路徑成為有效可達。

本文進一步處理一個更基礎的問題：

如果認知空間可以動態改變，那「領域」究竟是什麼？

傳統描述經常預先給定領域，例如 mathematics、psychology、AI、biology，然後把跨領域思考表示為：

D_i\rightarrow D_j.

本文提出另一種可能：外部學科分類未必等於主體實際使用的認知邊界。對認知系統而言，一個有效 domain 可能由當前目標、關係結構、可達性門檻與觀察解析度共同誘導，而非作為固定 partition 先驗存在。

本文提出三個核心猜想：

Domain Induction Conjecture（DIC）：有效認知域由 goal-conditioned relational accessibility 動態誘導；
Overlapping Domain Conjecture（ODC）：有效認知域一般不必形成互斥 partition，而更可能形成可重疊 cover；
Boundary Relativity Conjecture（BRC）：所謂 domain boundary 依賴目標、時間與解析尺度，因此 macro / micro 與 intra-domain / cross-domain 具有觀察者與解析度相對性。

為描述局部認知域，本文引入「局部座標圖」語言。對有效認知域 $U_\alpha$ ，以：

(U_\alpha,\phi_\alpha)

表示其局部 chart，其中 $\phi_\alpha$ 將高維、異質的關係結構映射到當前任務可操作的有限座標。本文明確聲明：在尚未證明 (X) 為拓樸流形、 $\phi_\alpha$ 為 homeomorphism 或 transition maps 滿足相應條件之前，「chart」是具有形式約束的建模裝置，而非宣稱認知空間已構成 smooth manifold。

現有研究已顯示人類能建立 abstract cognitive maps、task-relevant spaces、nested hierarchical maps，以及依 task structure 調整 neural representational geometry。這些結果支持「認知結構具有目標依賴、階層與局部幾何」的鄰接命題，但尚未證明本文的 DIC / ODC / BRC。

本文最後建立固定領域 partition、單一 latent semantic space、task-set mixture 等競爭模型，並提出 goal-remapping、cross-disciplinary distance、overlap transition、boundary perturbation 與 hierarchical re-indexing 五類實驗，使「動態認知域」可以被實證否定。

關鍵詞： cognitive domain；cognitive map；task space；local chart；relational cognition；hierarchical representation；context dependence；cognitive boundary；dynamic domain；TADC

0. 邊界聲明

本文不是神經疾病模型、人格分類、臨床工具或個人認知評估。

本文也不主張：

\boxed{ \text{academic disciplines are unreal}. }

學科分類具有制度、歷史、教育、方法論與知識管理功能。

本文處理的是另一個問題：

\boxed{ \text{external disciplinary partition} \stackrel{?}{=} \text{internal cognitive partition}. }

本文的答案是一個待驗證猜想：

\boxed{ \text{not necessarily}. }

同時，本文不宣稱：

\boxed{ \text{cognitive domains form a differentiable manifold}. }

「chart」「atlas」「overlap」等語言目前作為形式化研究工具使用；後續若不能建立可測 neighborhood、transition structure 與 invariants，必須降級或改名。

1. 從 TADC-01 出發

TADC-01 定義時間 (t) 的最小認知結構：

\mathcal C_t = ( X_t, \mathcal R_t, \kappa_t, \mathcal N_t, A_t, G_t ).

其中：

$X_t$ ：有效 cognitive objects；
$\mathcal R_t$ ：typed relations；
$\kappa_t(x,y\mid G_t)$ ：goal-conditioned accessibility；
$\mathcal N_t$ ：neighborhood system；
$A_t$ ：active set；
$G_t$ ：goal / high-level context。

TADC-01 主要問：

\mathcal C_t \rightarrow \mathcal C_{t+1}

是否可能受 attention configuration 因果影響。

但這裡仍留下：

在 $\mathcal C_t$ 中，一個「領域」應該如何定義？

如果我們一開始就把：

X_t = D_1\sqcup D_2\sqcup\cdots\sqcup D_n

固定分割，

就等於在理論尚未開始前，先假定 domain boundary 已經存在。

本文拒絕直接做這個假定。

2. 外部領域與有效認知域

定義外部分類：

\Pi^{\mathrm{ext}} = \{ D_1^{\mathrm{ext}}, D_2^{\mathrm{ext}}, \ldots, D_m^{\mathrm{ext}} \}.

例如：

D_1^{\mathrm{ext}} = \text{mathematics},

D_2^{\mathrm{ext}} = \text{cognitive science},

D_3^{\mathrm{ext}} = \text{AI}.

這是一個由社會、學術制度或資料分類系統提供的 partition / taxonomy。

但是主體在處理某一問題時真正使用的有效關係可能是：

x_{\mathrm{math}} \mathrel{R^{\mathrm{struct}}} y_{\mathrm{AI}} \mathrel{R^{\mathrm{control}}} z_{\mathrm{cognition}}.

若：

\kappa_t ( x_{\mathrm{math}}, y_{\mathrm{AI}} \mid G_t ) \gg0,

則外部分類距離大：

d_{\mathrm{ext}} ( x_{\mathrm{math}}, y_{\mathrm{AI}} ) \gg0

不必意味：

d_{\mathrm{cog}} ( x_{\mathrm{math}}, y_{\mathrm{AI}} \mid G_t ) \gg0.

因此：

\boxed{ d_{\mathrm{ext}} \neq d_{\mathrm{cog}} }

是本文第一個基本區分。

3. Domain Induction Conjecture（DIC）

本文不把 domain 定義為固定 label，而先從可達性出發。

令 seed：

S_t\subseteq X_t.

給定：

goal $G_t$ ；
accessibility threshold $\theta$ ；
最大關係深度 (k)；
resolution parameter $\lambda$ 。

定義：

D_t ( S_t; G_t,\theta,k,\lambda ) = \operatorname{Closure}_{\lambda} \left[ \operatorname{Reach}_t^{(k)} ( S_t\mid G_t,\theta ) \right].

其中 $\operatorname{Closure}_{\lambda}$ 暫表示在解析尺度 $\lambda$ 下，將彼此高度可達並具有共同任務角色的 cognitive objects 收納成有效區域。

因此 domain 不再是：

D_i=\text{fixed set}.

而是：

\boxed{ D_t = D ( X_t, \mathcal R_t, \kappa_t, G_t, \theta, \lambda ). }

DIC

Domain Induction Conjecture：

對部分高階認知活動而言，有效認知域不是預先固定的分類單元，而是由目前目標、關係結構、可達性與解析尺度共同誘導。

形式上：

\boxed{ \frac{\partial D_t} {\partial G_t} \neq0, \qquad \frac{\partial D_t} {\partial \kappa_t} \neq0, \qquad \frac{\partial D_t} {\partial \lambda} \neq0 }

在至少部分任務條件成立。

4. 為什麼固定 partition 可能不夠？

固定 partition 要求：

D_i\cap D_j = \varnothing, \qquad i\neq j.

而且：

\bigcup_iD_i=X.

但高階知識中大量概念天然同時參與多種功能。

例如：

x = \text{graph}.

它可能同時位於：

mathematics；
computer science；
network science；
neuroscience；
social science。

對外部知識分類而言，可以給它多標籤。

但對 cognition 而言，更重要的不是：

\operatorname{Label}(x),

而是：

\operatorname{Role}(x\mid G_t).

同一物件在不同 goal 下可能扮演完全不同的局部結構角色。

因此：

\boxed{ \text{multi-label taxonomy} \neq \text{dynamic cognitive organization}. }

5. Overlapping Domain Conjecture（ODC）

本文提出：

\mathcal U_t = \{ U_{\alpha,t} \}_{\alpha\in I_t}

作為有效認知域集合。

不同域允許：

U_{\alpha,t} \cap U_{\beta,t} \neq \varnothing.

因此：

\mathcal U_t

較接近 cover，而不是 partition。

若：

\bigcup_{\alpha\in I_t} U_{\alpha,t} \supseteq A_t,

則當前 active cognitive region 被一組局部 domain covers 所覆蓋。

ODC 宣稱：

\boxed{ \text{effective cognitive domains are generally allowed to overlap}. }

這個重疊不是分類失敗，而可能是跨域轉移成立的必要橋樑。

6. Bridge Objects

若：

b \in U_\alpha \cap U_\beta,

則稱：

b

為候選 bridge object。

它可以是：

一個共同數學結構；
一個共享因果模式；
一個共同控制問題；
一個 analogical relation；
一個共同資料表示；
一個相同 optimization principle。

定義 bridge strength：

B_t(b;\alpha,\beta) = \kappa_t ( U_\alpha, b \mid G_t ) \, \kappa_t ( b, U_\beta \mid G_t ).

若：

B_t \gg0,

則即使外部 label 顯示：

D_\alpha^{\mathrm{ext}} \neq D_\beta^{\mathrm{ext}},

有效 cognitive transition 仍可能非常低成本。

7. 所謂「跨領域」可能有兩種完全不同情形

7.1 真正的 cognitive boundary crossing

若：

d_{\mathrm{cog}} ( x,y \mid G ) \gg0,

則：

x\rightarrow y

需要大幅 context reconstruction。

這可稱：

\boxed{ \text{cognitive domain switch}. }

7.2 External-domain crossing without cognitive discontinuity

若：

d_{\mathrm{ext}}(x,y)\gg0

但：

d_{\mathrm{cog}}(x,y\mid G)\approx0,

則外部看似跨領域，

內部可能只是：

\boxed{ \text{local relational traversal}. }

這就是：

\boxed{ \text{disciplinary switching} \neq \text{cognitive switching}. }

8. 局部座標圖：為什麼使用 chart 語言？

一個認知域：

U_\alpha

可能包含大量異質關係。

但在某個 task / goal 下，主體通常不需要同時保留所有自由度。

因此定義：

\phi_{\alpha,t}: U_{\alpha,t} \rightarrow Z_{\alpha,t},

其中：

Z_{\alpha,t} \subseteq \mathbb R^{d_\alpha}

或更一般的有限 task-coordinate representation。

例如某個 domain 在當前任務下只需要：

\phi_\alpha(x) = ( \text{causal role}, \text{cost}, \text{uncertainty}, \text{dependency} ).

另一個 goal 下：

\phi'_\alpha(x) = ( \text{semantic similarity}, \text{historical relation} ).

所以：

\boxed{ \phi_{\alpha,t} \neq \phi_{\alpha,t'} }

完全可能。

9. Chart 不是流形宣告

數學上，manifold chart 通常要求：

\phi_\alpha: U_\alpha \rightarrow V_\alpha\subseteq\mathbb R^n

具備特定 homeomorphic structure。

本文目前不具備這個證明。

因此本文中的 chart 僅滿足較弱要求：

$U_\alpha$ 是一個可操作認知區域；
$\phi_\alpha$ 提供局部 task-relevant coordinates；
相同局部結構可在不同 chart 下重新表徵；
overlap 上可以定義可檢驗的 translation / correspondence。

所以目前更精確叫：

\boxed{ \text{cognitive local coordinate chart}. }

而不是：

\boxed{ \text{manifold chart}. }

如果後續不能建立更嚴格條件，就保持這個弱版本。

10. Dynamic Cognitive Atlas

若：

\mathfrak A_t = \{ (U_{\alpha,t},\phi_{\alpha,t}) \}_{\alpha\in I_t},

則稱：

\mathfrak A_t

為時間 (t) 的候選 cognitive atlas。

關鍵是：

\boxed{ \mathfrak A_t \neq \mathfrak A_{t+1} }

可以成立。

變化形式包括：

新 chart 出現；
舊 chart 消失；
chart domain 擴張；
chart domain 收縮；
overlap 增加；
overlap 消失；
coordinate map 改變；
多個 charts 被 coarse-grain 成一個高階 chart。

因此認知 atlas 本身可以是動態的。

11. Chart Transition

若：

U_\alpha\cap U_\beta \neq \varnothing,

且兩個 coordinate maps 在 overlap 上具可逆結構，則形式上可以寫：

T_{\alpha\beta} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1}.

但在人類 cognition 中：

\phi_\alpha^{-1}

不一定存在。

因此更弱地定義：

T_{\alpha\beta}: Z_{\alpha|\alpha\beta} \rightsquigarrow Z_{\beta|\alpha\beta},

其中：

\rightsquigarrow

表示可能是：

stochastic mapping；
partial mapping；
lossy translation；
many-to-one correspondence。

這一點很重要。

真正跨 domain 的認知成本，可能部分來自：

\boxed{ \text{chart translation loss}. }

12. Translation Cost

定義 chart translation cost：

K_{\alpha\beta} = K_{\mathrm{retrieval}} + K_{\mathrm{recode}} + K_{\mathrm{context}} + K_{\mathrm{loss}}.

如果：

U_\alpha\cap U_\beta

很大，

而 transition mapping 穩定：

K_{\alpha\beta}\downarrow.

如果兩個 chart 幾乎沒有共享結構：

K_{\alpha\beta}\uparrow.

所以實際 cognitive switching cost 可能更接近：

\boxed{ K_{\mathrm{switch}} = f( \text{overlap}, \text{translation}, \text{goal continuity} ) }

而不只是：

\boxed{ f( \text{discipline labels} ). }

13. 現有研究提供什麼鄰接證據？

2024 年 Qiu 等人使用 multidimensional abstract navigation task，觀察到 hippocampus、entorhinal cortex、OFC 等區域參與 abstract cognitive-map formation 與使用，並呈現 exploration / exploitation 階段差異。

這支持：

\boxed{ \text{abstract task-relevant spaces can be learned and navigated}. }

2025 年 Tan 等人進一步顯示，mOFC 與 lOFC 對 task-space cognitive map 有互補角色：mOFC 表徵 hidden task-state components，而 lOFC / dlPFC 編碼跨 task states 的抽象規則。

這支持：

\boxed{ \text{task structure can define a cognitively represented state space}. }

但它們仍未證明：

\boxed{ \text{domain boundaries are dynamically induced}. }

14. Task Structure Tailors Representation

Bhandari 等人的研究比較 flat task 與 hierarchical context-dependent task。

同樣是 task representation 問題，lPFC 並未使用完全相同的幾何，而是形成 task-tailored representational geometries：

flat task 強化特定 global category axis；
hierarchy task 抽象表示 higher-level context；
context-specific local geometry 壓縮 irrelevant information；
relevant information 被選擇性保留與抽象。

這是一個非常重要的鄰接結果：

\boxed{ \text{representation geometry} \text{ can depend on task structure}. }

但該工作目前為 preprint，因此本文只將其視為支持性鄰接證據，不作為 DIC 已成立的定論。

15. Hierarchical Spaces

Peer 與 Epstein（2025）顯示人類在 nested spatial environment 中會表徵：

\text{subspace} \subset \text{larger space}.

跨 subspace 關係處理具有額外成本。

這告訴我們：

\boxed{ \text{one cognitive map need not be flat}. }

但 TADC-02 的命題更強：

不只環境本身可以 hierarchical；「什麼算一個 domain」可能也隨 goal / resolution 改變。

所以：

\text{hierarchical map}

是鄰接模型，

不是完整的 dynamic-domain theory。

16. Boundary Relativity Conjecture（BRC）

令 domain boundary：

\partial D_t = \partial D( G_t,\theta,\lambda ).

若：

G_t \rightarrow G_{t+1},

或：

\lambda_t \rightarrow \lambda_{t+1},

則：

\boxed{ \partial D_t \neq \partial D_{t+1} }

可能發生。

因此：

BRC

有效認知域的邊界並非必然固定，而可能相對於目標、解析尺度與目前可達結構。

這意味著：

\boxed{ \text{domain membership} }

可以是 context-sensitive relation，

而不是永久布林值。

17. Soft Membership

因此可定義：

\mu_{D_t}(x) \in [0,1].

其中：

\mu_{D_t}(x)

表示：

x

在目前 goal / resolution 下屬於某認知域的有效程度。

同一 object：

x

可以：

\mu_{D_1}(x)=0.9,

\mu_{D_2}(x)=0.8.

這自然允許 overlap。

也比：

x\in D_1 \quad\text{or}\quad x\in D_2

更符合多功能認知結構。

18. Resolution Parameter

引入：

\lambda

表示觀察／表示解析尺度。

當：

\lambda\downarrow

時，

可以看見更多局部區分：

D \rightarrow \{ D_1,D_2,\ldots,D_n \}.

當：

\lambda\uparrow

時，

多個局部單位被 coarse-grain：

\{ D_1,D_2,\ldots,D_n \} \rightarrow D^*.

因此：

\boxed{ \text{macro} \quad\text{and}\quad \text{micro} }

不一定是固定本體層級。

它們可能只是：

\boxed{ \lambda\text{-relative descriptions}. }

這一點將在 TADC-04 正式展開。

19. Re-indexing

若一個低階 domain：

D_i

在較粗解析度中被視為單一 node：

v_i,

則：

D_i \mapsto v_i.

反過來，若提高解析度：

v_i \mapsto D_i = \{ x_1,\ldots,x_m \}.

本文稱這種操作：

\boxed{ \text{Re-indexing}. }

它不是普通 task switching。

它是：

\boxed{ \text{changing what counts as an object}. }

20. Domain Expansion

若新 relation 被加入：

(x,y)\in\mathcal R_{t+1}

並使：

y

進入：

\operatorname{Reach}^{(k)}(D_t),

則：

D_t \subset D_{t+1}.

稱：

\boxed{ \text{Domain Expansion}. }

21. Domain Contraction

若：

\kappa_t(x,y\mid G)

低於 threshold，

或 goal 改變使某區域不再 relevant，

則：

D_{t+1} \subset D_t.

稱：

\boxed{ \text{Domain Contraction}. }

22. Domain Gluing

若兩個原本低 overlap 的 domains：

U_\alpha, U_\beta

透過 bridge structure：

B

建立高可達性，

則：

G: (U_\alpha,U_\beta) \mapsto U_{\alpha\beta}.

其中：

U_{\alpha\beta} = U_\alpha \cup_B U_\beta.

這裡的：

\cup_B

暫時只是 relational gluing notation，

不是已證明的 topological pushout。

嚴格 categorical / topological status 留待後文。

23. Domain Splitting

反過來：

若：

\kappa_t

在某個 bridge region 大幅下降，

一個原本有效連通 domain：

D

可能分裂：

D \rightarrow D_1\cup D_2.

若：

\operatorname{Conn}(D)=1

變成：

\operatorname{Conn}(D_1,D_2)=0,

則稱：

\boxed{ \text{Domain Splitting}. }

這是未來真正需要 connectivity measure 的地方。

24. Dynamic Domain State

因此一個 domain 不應只記：

D_t.

可以記：

\mathbf d_t = ( |D_t|, \partial D_t, \Omega_t, K_t, H_t, \lambda_t ).

其中：

$|D_t|$ ：有效規模；
$\partial D_t$ ：boundary；
$\Omega_t$ ：與其他 domains 的 overlap profile；
$K_t$ ：internal accessibility / connectivity；
$H_t$ ：local relational heterogeneity；
$\lambda_t$ ：resolution。

因此 domain 變化可以直接轉成時間序列：

\mathbf d_t \rightarrow \mathbf d_{t+1}.

25. Null Model 1：Fixed Domain Partition

最簡競爭模型：

\Pi = \{ D_1,\ldots,D_n \}

固定。

goal 只改變：

P(D_i\mid G_t).

也就是主體只是在固定 domains 中切換權重。

如果這個模型就能完整預測：

behavior；
reaction time；
generalization；
neural geometry；
switch cost；

則 DIC 沒有必要。

26. Null Model 2：Single Latent Semantic Space

另一個競爭模型：

所有 concepts 都存在固定 latent space：

Z.

不同 task 只改變：

W_t

或 readout function：

f_t:Z\rightarrow Y_t.

此時：

Z

不變，

只是：

f_t

改變。

如果所有「動態 domain」現象都能由：

\boxed{ \text{fixed latent geometry + dynamic readout} }

解釋，

則 Dynamic Cognitive Atlas 太複雜。

27. Null Model 3：Task-Set Mixture

還可以假設大腦已預先學到：

M_1,M_2,\ldots,M_q.

當 context 改變時：

P(M_i\mid G)

改變。

看起來像 domain 被重新生成，

但其實只是：

\boxed{ \text{mixture reweighting}. }

因此要支持 DIC 的強版本，

必須找出：

\text{pre-existing mixture}

無法解釋的：

novel overlap；
novel bridge；
new effective partition；
new generalization structure。

28. 實驗一：Goal Remapping

使用同一 object set：

X

與相同 exposure。

只改變目標：

G_1, G_2, G_3.

例如同一組物件要求：

找 causal organization；
找 semantic organization；
找 action organization。

測：

D^{(1)}, D^{(2)},D^{(3)}

的：

behavioral transition graph；
similarity matrix；
generalization；
memory clustering；
neural RSA。

若：

\partial D^{(1)} \neq \partial D^{(2)}

且不能由 readout-only model 解釋，

支持 BRC / DIC。

29. 實驗二：Disciplinary Distance vs Cognitive Distance

建立跨學科概念對：

(x_i,y_i).

每一對都有：

d_{\mathrm{ext}}

與：

d_{\mathrm{rel}}

兩種距離。

測：

transition time；
inference accuracy；
spontaneous association；
return probability；
working-memory interference。

比較：

M_{\mathrm{discipline}}

與：

M_{\mathrm{relational}}.

若：

\operatorname{PredictiveAccuracy} ( M_{\mathrm{relational}} ) > \operatorname{PredictiveAccuracy} ( M_{\mathrm{discipline}} ),

則：

\boxed{ \text{disciplinary boundary} }

不是最好的 cognitive boundary predictor。

30. 實驗三：Overlap Manipulation

先建立兩個 domains：

U_A, U_B.

Group 1 學習共同 bridge：

B.

Group 2 只接受相同 exposure，

但不被要求處理 bridge relation。

若 Group 1 後續：

K_{AB}\downarrow,

P(A\rightarrow B)\uparrow,

\text{cross-domain inference}\uparrow,

則支持 overlap / gluing mechanism。

31. 實驗四：Boundary Perturbation

建立一個有 community structure 的 artificial concept graph。

逐步提高 bridge weights：

w_B: 0 \rightarrow1.

測認知 boundary 是否在某區間發生：

\text{merge}.

若 behavioral / neural clustering 呈現：

D_1,D_2 \rightarrow D_{12},

則可直接操作化：

\boxed{ \text{domain gluing}. }

如果結果只是 association strength 線性增加，

沒有任何 clustering / generalization structure change，

則 gluing language 不必要。

32. 實驗五：Hierarchical Re-indexing

建立：

x_{ijk}

低階 objects。

第一階段：

x_{ijk}

各自作為 items。

第二階段：

將：

\{x_{i1},x_{i2},\ldots\}

視為高階 unit：

U_i.

第三階段：

又要求展開：

U_i \rightarrow \{x_{i1},x_{i2},\ldots\}.

測：

switching；
interference；
chunk recall；
neural abstraction；
transition kernel。

如果：

U_i

能在不同 resolution 下真正呈現 node / subspace 雙重角色，

支持 re-indexing。

33. 五個核心預測

DIC-H1 — Goal-Dependent Domain Induction

在 stimulus exposure 相同下：

G_1\neq G_2

應產生不同有效：

D_t.

DIC-H2 — Overlap Predicts Low-Cost Transition

|U_\alpha\cap U_\beta|\uparrow

應預測：

K_{\alpha\beta}\downarrow.

DIC-H3 — Relational Distance Beats Disciplinary Distance

對實際 transition：

d_{\mathrm{cog}}

應比：

d_{\mathrm{ext}}

具有更高預測力。

DIC-H4 — Resolution Changes Boundary

改變：

\lambda

應系統性改變：

\partial D.

DIC-H5 — Novel Domain Structure

在部分 learning / reasoning episode 後，

最好的 domain model 應包含：

D_{\mathrm{new}}

而不是只調整舊 domains 的 mixture weights。

若永遠不需要新 domain，

DIC 強版失敗。

34. Boundary Relativity 不等於任意主義

如果 domain boundary 會變，

不代表：

任何東西都可以和任何東西是一個領域。

必須受到：

\mathcal R_t

與：

\kappa_t

限制。

因此：

\boxed{ \text{dynamic} \neq \text{arbitrary}. }

若兩個 cognitive regions：

U_A,U_B

缺少：

semantic relation；
causal relation；
analogical structure；
procedural dependency；
goal relevance；

則：

\kappa(U_A,U_B)\approx0.

這時硬把它們稱作同一 domain 沒有預測價值。

35. Domain Coherence

定義 domain coherence：

Q(D) = \frac{ \sum_{x,y\in D} \kappa(x,y\mid G) }{ |D|(|D|-1) }.

若：

Q(D)\gg0,

則 domain 內部高度可達。

若：

Q(D)\approx0,

那可能只是任意集合。

可以進一步考慮：

Q_{\mathrm{in}} - Q_{\mathrm{out}}.

只有當：

Q_{\mathrm{in}} > Q_{\mathrm{out}}

才有理由說某個局部區域形成有效 domain。

36. Domain 不一定要求高內聚

但也要防止另一個極端。

有些 domain 是 chain-like：

x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow\cdots

而非 clique-like。

所以：

Q(D)

不能是唯一指標。

還需：

connectivity；
path length；
betweenness；
bridge robustness；
reachability；
task predictive value。

因此：

\boxed{ \text{domain} \neq \text{community detection result alone}. }

37. 局部域與世界模型

若認知系統具有很大的世界模型：

W_t,

它不需要在每次思考時完整展開。

而可以只激活：

U_t\subset W_t.

但 TADC 的命題不只是：

U_t

被選中。

更可能：

U_t

在 reasoning 中：

U_t \rightarrow U_{t+1}

並改變其與其他局部 chart 的 overlap。

因此：

\boxed{ \text{local domain activation} \neq \text{local domain transformation}. }

這延續 TADC-01 的根區分。

38. 人工智能與外部認知支架暫不在本文處理

AI、knowledge graph、external memory、agent system 都可能：

K_{\alpha\beta}\downarrow

並保存：

\mathfrak A_t.

但本文先刻意不依賴外部工具。

TADC-07 將另外問：

\boxed{ \text{external systems can alter effective cognitive topology?} }

如果 TADC-02 在無外部 AI 條件下都不能成立，

則 TADC-07 只能作為工具效應理論，

不能回頭證明一般 cognitive-domain theory。

39. 與 TADC-01 的統一形式

TADC-01：

\mathcal C_t = ( X_t, \mathcal R_t, \kappa_t, \mathcal N_t, A_t, G_t ).

TADC-02：

\mathfrak A_t = \{ (U_{\alpha,t},\phi_{\alpha,t}) \}.

其中：

U_{\alpha,t} = D( S_\alpha, G_t, \theta, k, \lambda ).

所以：

\boxed{ \mathcal C_t \Rightarrow \mathfrak A_t }

表示：

一個大的認知關係空間，在特定 goal / resolution 下誘導出一組局部可操作 domains。

而：

\mathfrak A_t \rightarrow \mathfrak A_{t+1}

就是 dynamic-domain evolution。

40. 最小動力學

可以寫：

\mathfrak A_{t+1} = \Psi ( \mathfrak A_t, \mathcal C_t, G_t, a_t, m_t, e_t, \lambda_t ).

其中：

\Psi

可能包含：

\{ E,C,T,G,S,R \},

分別代表：

Expansion；
Contraction；
Traversal；
Gluing；
Splitting / Detachment；
Re-indexing。

這就是 TADC-03 要正式處理的六算子入口。

41. 反證條件

本文必須接受以下失敗條件。

F1 — Fixed Partition Wins

如果固定 domain labels 對：

switch cost；
generalization；
neural patterns；
inference；

的 out-of-sample prediction 不弱於 dynamic-domain model，

則 DIC 不值得保留。

F2 — Fixed Latent Space Wins

如果：

\text{fixed }Z + \text{dynamic readout}

足以解釋所有 goal-dependent differences，

則：

\mathfrak A_t

只是多餘重述。

F3 — No Stable Overlap Effect

若：

|U_\alpha\cap U_\beta|

與：

K_{\alpha\beta}

沒有穩定關係，

則 ODC 的功能意義受損。

F4 — Resolution Is Only Analyst Choice

如果：

\lambda

只能由研究者事後任意選擇，

而 participant behavior / neural data 沒有任何可辨認的 resolution transition，

則 BRC 只是分析方法，不是 cognition mechanism。

F5 — Chart Language Adds No Prediction

如果：

(U_\alpha,\phi_\alpha)

無法提供超越普通：

task set；
semantic cluster；
category；
latent factor；

的額外預測，

則「chart」應刪除。

42. 本文的強弱版本

Weak DIC

不同 goals 會誘導不同有效 grouping / geometry。

這與現有 task-structure literature 最接近。

Medium DIC

這些 grouping 形成可重疊、可轉換、具有不同 translation costs 的局部 domains。

Strong DIC

認知活動可以生成新的 domain organization：

\mathfrak A_t \rightarrow \mathfrak A_{t+1}

且不能由固定 latent space + dynamic readout / mixture model 完整解釋。

只有 Strong DIC 真正構成 TADC 的高風險部分。

43. 本文最小貢獻

本文真正提出的不是：

所有知識都是相通的。

那是一個過度寬泛且不可證偽的說法。

本文提出的是：

\boxed{ \text{the cognitively effective boundary between domains may be induced rather than fixed}. }

因此，「跨領域」至少應拆成：

\boxed{ \text{external category crossing} }

與：

\boxed{ \text{internal cognitive-boundary crossing}. }

這兩個不必相等。

44. 結論

本文從 TADC-01 的可變認知空間出發，提出：

\boxed{ \textbf{DIC — Domain Induction Conjecture} }

有效認知域由：

( \mathcal R_t, \kappa_t, G_t, \theta, \lambda )

共同誘導，而非必然先驗固定。

接著提出：

\boxed{ \textbf{ODC — Overlapping Domain Conjecture} }

有效 domains 一般允許：

U_\alpha\cap U_\beta\neq\varnothing,

並且 overlap 可能降低 chart translation cost。

最後提出：

\boxed{ \textbf{BRC — Boundary Relativity Conjecture} }

domain boundary 可能相對於：

G_t, \lambda_t, t

而變化。

因此：

\boxed{ \text{disciplinary boundary} \neq \text{cognitive boundary}. }

在最強版本中，認知系統並不是在一組永久固定的領域之間跳躍，而可能不斷產生：

\mathfrak A_t = \{ (U_{\alpha,t},\phi_{\alpha,t}) \},

一套依任務與尺度更新的 dynamic cognitive atlas。

這也意味著：

\boxed{ \text{「跨域」有時可能不是跳離一個空間， 而是在同一個更高階關係空間內換用局部座標圖。} }

但這句只有在 chart-overlap、translation cost、goal-dependent boundary 與 dynamic-atlas model 都取得實證增量後，才有資格從比喻升級成理論。

因此 TADC-02 的最終風險條件仍然是：

\boxed{ \text{If fixed domains predict cognition just as well, dynamic domains should be abandoned.} }

參考文獻

Qiu Y, Li H, Liao J, et al. Forming cognitive maps for abstract spaces: the roles of the human hippocampus and orbitofrontal cortex. Communications Biology. 2024;7:517. doi:10.1038/s42003-024-06214-5. PMID: 38693344.
Tan L, Qiu Y, Qiu L, et al. The medial and lateral orbitofrontal cortex jointly represent the cognitive map of task space. Communications Biology. 2025;8:163. doi:10.1038/s42003-025-07588-w. PMID: 39900714.
Peer M, Epstein RA. Cognitive maps for hierarchical spaces in the human brain. Cerebral Cortex. 2025;35(9):bhaf261. doi:10.1093/cercor/bhaf261. PMID: 40982478.
Leach SC, Chen X, Hwang K. Hierarchical Reconfiguration of Neurocognitive Task Set Representations Mediates Cognitive Flexibility. Journal of Neuroscience. 2026. doi:10.1523/JNEUROSCI.0113-26.2026. PMID: 42276789.
Bhandari A, Keglovits H, Buyukyazgan D, Badre D. Task structure tailors the geometry of neural representations in human lateral prefrontal cortex. bioRxiv preprint. Updated 2025. doi:10.1101/2024.03.06.583429. PMID: 38496680. Preprint; not peer reviewed at the cited version.
Beck DW, Heaton CN, Davila LD, et al. A decision-space model explains context-specific decision-making. Nature Communications. 2025;16:7437. doi:10.1038/s41467-025-61466-x.
Qiu Y, et al. Dynamic changes in orbitofrontal-hippocampal connectivity linked to cognitive map formation in humans. NeuroImage. 2025;121415. doi:10.1016/j.neuroimage.2025.121415. PMID: 40780573.
Garvert MM, Dolan RJ, Behrens TEJ. A map of abstract relational knowledge in the human hippocampal-entorhinal cortex. eLife. 2017;6:e17086. doi:10.7554/eLife.17086.
Park SA, Miller DS, Nili H, Ranganath C, Boorman ED. Map Making: Constructing, Combining, and Inferring on Abstract Cognitive Maps. Neuron. 2020;107(6):1226–1238.e8. doi:10.1016/j.neuron.2020.06.030.
Behrens TEJ, Muller TH, Whittington JCR, et al. What Is a Cognitive Map? Organizing Knowledge for Flexible Behavior. Neuron. 2018;100(2):490–509. doi:10.1016/j.neuron.2018.10.002.

與系列的關係

已完成：

TADC-01：《注意力不是單點選擇——可變認知空間與注意—空間轉換猜想》
TADC-02：《動態認知域——領域作為局部座標圖》

下一篇：

TADC-03：《拓樸注意力六算子——展開、收斂、遍歷、黏合、切離與重索引》

後續：

TADC-04：《嵌套注意域與觀察尺度》
TADC-05：《從單點超專注到拓樸超專注》
TADC-06：《關係優先認知與跨域連續性》
TADC-07：《外部認知支架與人—AI 認知拓樸》
TADC-08：《拓樸注意力的測量、反證與工程化》

狀態： TADC-02 v0.1
原始人體／臨床數據： 無
理論狀態： 猜想／研究綱領；未經實驗驗證
拓樸狀態： 尚未證明為嚴格拓樸空間或流形；chart / atlas 為受約束的候選形式語言