# TADC-02：動態認知域——領域作為局部座標圖 **英文題名：** Dynamic Cognitive Domains: Domains as Induced Local Charts of Cognitive Space **系列：** Topological Attention and Dynamic Cognitive Domains — Conjecture Series（TADC） **中文系列名：** 拓樸注意力與動態認知域命題系列 **編號：** TADC-02 **版本：** v0.1 **日期：** 2026-08-17 **作者：** Neo.K（許筌崴） **協作：** GPT-5.6 Sol **文件性質：** 理論命題／形式化研究綱領／可證偽模型 **文獻檢索截點：** 2026-08-17 --- ## 摘要 TADC-01 提出了可變認知空間猜想（VCSC）與注意—空間轉換猜想（ASTC）：高階認知可能不只是於既有候選集合中移動注意，而會改變未來哪些認知對象、關係與路徑成為有效可達。 本文進一步處理一個更基礎的問題： > **如果認知空間可以動態改變，那「領域」究竟是什麼？** 傳統描述經常預先給定領域，例如 mathematics、psychology、AI、biology，然後把跨領域思考表示為： $$ D_i\rightarrow D_j. $$ 本文提出另一種可能：外部學科分類未必等於主體實際使用的認知邊界。對認知系統而言，一個有效 domain 可能由當前目標、關係結構、可達性門檻與觀察解析度共同誘導，而非作為固定 partition 先驗存在。 本文提出三個核心猜想： 1. **Domain Induction Conjecture（DIC）**：有效認知域由 goal-conditioned relational accessibility 動態誘導； 2. **Overlapping Domain Conjecture（ODC）**：有效認知域一般不必形成互斥 partition，而更可能形成可重疊 cover； 3. **Boundary Relativity Conjecture（BRC）**：所謂 domain boundary 依賴目標、時間與解析尺度，因此 macro / micro 與 intra-domain / cross-domain 具有觀察者與解析度相對性。 為描述局部認知域，本文引入「局部座標圖」語言。對有效認知域 \(U_\alpha\)，以： $$ (U_\alpha,\phi_\alpha) $$ 表示其局部 chart，其中 \(\phi_\alpha\) 將高維、異質的關係結構映射到當前任務可操作的有限座標。本文明確聲明：在尚未證明 \(X\) 為拓樸流形、\(\phi_\alpha\) 為 homeomorphism 或 transition maps 滿足相應條件之前，「chart」是具有形式約束的建模裝置，而非宣稱認知空間已構成 smooth manifold。 現有研究已顯示人類能建立 abstract cognitive maps、task-relevant spaces、nested hierarchical maps，以及依 task structure 調整 neural representational geometry。這些結果支持「認知結構具有目標依賴、階層與局部幾何」的鄰接命題，但尚未證明本文的 DIC / ODC / BRC。 本文最後建立固定領域 partition、單一 latent semantic space、task-set mixture 等競爭模型，並提出 goal-remapping、cross-disciplinary distance、overlap transition、boundary perturbation 與 hierarchical re-indexing 五類實驗，使「動態認知域」可以被實證否定。 **關鍵詞：** cognitive domain；cognitive map；task space；local chart；relational cognition；hierarchical representation；context dependence；cognitive boundary；dynamic domain；TADC --- # 0. 邊界聲明 本文不是神經疾病模型、人格分類、臨床工具或個人認知評估。 本文也不主張： $$ \boxed{ \text{academic disciplines are unreal}. } $$ 學科分類具有制度、歷史、教育、方法論與知識管理功能。 本文處理的是另一個問題： $$ \boxed{ \text{external disciplinary partition} \stackrel{?}{=} \text{internal cognitive partition}. } $$ 本文的答案是一個待驗證猜想： $$ \boxed{ \text{not necessarily}. } $$ 同時，本文不宣稱： $$ \boxed{ \text{cognitive domains form a differentiable manifold}. } $$ 「chart」「atlas」「overlap」等語言目前作為形式化研究工具使用；後續若不能建立可測 neighborhood、transition structure 與 invariants，必須降級或改名。 --- # 1. 從 TADC-01 出發 TADC-01 定義時間 \(t\) 的最小認知結構： $$ \mathcal C_t = ( X_t, \mathcal R_t, \kappa_t, \mathcal N_t, A_t, G_t ). $$ 其中： - \(X_t\)：有效 cognitive objects； - \(\mathcal R_t\)：typed relations； - \(\kappa_t(x,y\mid G_t)\)：goal-conditioned accessibility； - \(\mathcal N_t\)：neighborhood system； - \(A_t\)：active set； - \(G_t\)：goal / high-level context。 TADC-01 主要問： $$ \mathcal C_t \rightarrow \mathcal C_{t+1} $$ 是否可能受 attention configuration 因果影響。 但這裡仍留下： > 在 \(\mathcal C_t\) 中，一個「領域」應該如何定義？ 如果我們一開始就把： $$ X_t = D_1\sqcup D_2\sqcup\cdots\sqcup D_n $$ 固定分割， 就等於在理論尚未開始前，先假定 domain boundary 已經存在。 本文拒絕直接做這個假定。 --- # 2. 外部領域與有效認知域 定義外部分類： $$ \Pi^{\mathrm{ext}} = \{ D_1^{\mathrm{ext}}, D_2^{\mathrm{ext}}, \ldots, D_m^{\mathrm{ext}} \}. $$ 例如： $$ D_1^{\mathrm{ext}} = \text{mathematics}, $$ $$ D_2^{\mathrm{ext}} = \text{cognitive science}, $$ $$ D_3^{\mathrm{ext}} = \text{AI}. $$ 這是一個由社會、學術制度或資料分類系統提供的 partition / taxonomy。 但是主體在處理某一問題時真正使用的有效關係可能是： $$ x_{\mathrm{math}} \mathrel{R^{\mathrm{struct}}} y_{\mathrm{AI}} \mathrel{R^{\mathrm{control}}} z_{\mathrm{cognition}}. $$ 若： $$ \kappa_t ( x_{\mathrm{math}}, y_{\mathrm{AI}} \mid G_t ) \gg0, $$ 則外部分類距離大： $$ d_{\mathrm{ext}} ( x_{\mathrm{math}}, y_{\mathrm{AI}} ) \gg0 $$ 不必意味： $$ d_{\mathrm{cog}} ( x_{\mathrm{math}}, y_{\mathrm{AI}} \mid G_t ) \gg0. $$ 因此： $$ \boxed{ d_{\mathrm{ext}} \neq d_{\mathrm{cog}} } $$ 是本文第一個基本區分。 --- # 3. Domain Induction Conjecture（DIC） 本文不把 domain 定義為固定 label，而先從可達性出發。 令 seed： $$ S_t\subseteq X_t. $$ 給定： - goal \(G_t\)； - accessibility threshold \(\theta\)； - 最大關係深度 \(k\)； - resolution parameter \(\lambda\)。 定義： $$ D_t ( S_t; G_t,\theta,k,\lambda ) = \operatorname{Closure}_{\lambda} \left[ \operatorname{Reach}_t^{(k)} ( S_t\mid G_t,\theta ) \right]. $$ 其中 \(\operatorname{Closure}_{\lambda}\) 暫表示在解析尺度 \(\lambda\) 下，將彼此高度可達並具有共同任務角色的 cognitive objects 收納成有效區域。 因此 domain 不再是： $$ D_i=\text{fixed set}. $$ 而是： $$ \boxed{ D_t = D ( X_t, \mathcal R_t, \kappa_t, G_t, \theta, \lambda ). } $$ --- ## DIC **Domain Induction Conjecture：** > 對部分高階認知活動而言，有效認知域不是預先固定的分類單元，而是由目前目標、關係結構、可達性與解析尺度共同誘導。 形式上： $$ \boxed{ \frac{\partial D_t} {\partial G_t} \neq0, \qquad \frac{\partial D_t} {\partial \kappa_t} \neq0, \qquad \frac{\partial D_t} {\partial \lambda} \neq0 } $$ 在至少部分任務條件成立。 --- # 4. 為什麼固定 partition 可能不夠？ 固定 partition 要求： $$ D_i\cap D_j = \varnothing, \qquad i\neq j. $$ 而且： $$ \bigcup_iD_i=X. $$ 但高階知識中大量概念天然同時參與多種功能。 例如： $$ x = \text{graph}. $$ 它可能同時位於： - mathematics； - computer science； - network science； - neuroscience； - social science。 對外部知識分類而言，可以給它多標籤。 但對 cognition 而言，更重要的不是： $$ \operatorname{Label}(x), $$ 而是： $$ \operatorname{Role}(x\mid G_t). $$ 同一物件在不同 goal 下可能扮演完全不同的局部結構角色。 因此： $$ \boxed{ \text{multi-label taxonomy} \neq \text{dynamic cognitive organization}. } $$ --- # 5. Overlapping Domain Conjecture（ODC） 本文提出： $$ \mathcal U_t = \{ U_{\alpha,t} \}_{\alpha\in I_t} $$ 作為有效認知域集合。 不同域允許： $$ U_{\alpha,t} \cap U_{\beta,t} \neq \varnothing. $$ 因此： $$ \mathcal U_t $$ 較接近 cover，而不是 partition。 若： $$ \bigcup_{\alpha\in I_t} U_{\alpha,t} \supseteq A_t, $$ 則當前 active cognitive region 被一組局部 domain covers 所覆蓋。 ODC 宣稱： $$ \boxed{ \text{effective cognitive domains are generally allowed to overlap}. } $$ 這個重疊不是分類失敗，而可能是跨域轉移成立的必要橋樑。 --- # 6. Bridge Objects 若： $$ b \in U_\alpha \cap U_\beta, $$ 則稱： $$ b $$ 為候選 bridge object。 它可以是： - 一個共同數學結構； - 一個共享因果模式； - 一個共同控制問題； - 一個 analogical relation； - 一個共同資料表示； - 一個相同 optimization principle。 定義 bridge strength： $$ B_t(b;\alpha,\beta) = \kappa_t ( U_\alpha, b \mid G_t ) \, \kappa_t ( b, U_\beta \mid G_t ). $$ 若： $$ B_t \gg0, $$ 則即使外部 label 顯示： $$ D_\alpha^{\mathrm{ext}} \neq D_\beta^{\mathrm{ext}}, $$ 有效 cognitive transition 仍可能非常低成本。 --- # 7. 所謂「跨領域」可能有兩種完全不同情形 ## 7.1 真正的 cognitive boundary crossing 若： $$ d_{\mathrm{cog}} ( x,y \mid G ) \gg0, $$ 則： $$ x\rightarrow y $$ 需要大幅 context reconstruction。 這可稱： $$ \boxed{ \text{cognitive domain switch}. } $$ --- ## 7.2 External-domain crossing without cognitive discontinuity 若： $$ d_{\mathrm{ext}}(x,y)\gg0 $$ 但： $$ d_{\mathrm{cog}}(x,y\mid G)\approx0, $$ 則外部看似跨領域， 內部可能只是： $$ \boxed{ \text{local relational traversal}. } $$ 這就是： $$ \boxed{ \text{disciplinary switching} \neq \text{cognitive switching}. } $$ --- # 8. 局部座標圖：為什麼使用 chart 語言？ 一個認知域： $$ U_\alpha $$ 可能包含大量異質關係。 但在某個 task / goal 下，主體通常不需要同時保留所有自由度。 因此定義： $$ \phi_{\alpha,t}: U_{\alpha,t} \rightarrow Z_{\alpha,t}, $$ 其中： $$ Z_{\alpha,t} \subseteq \mathbb R^{d_\alpha} $$ 或更一般的有限 task-coordinate representation。 例如某個 domain 在當前任務下只需要： $$ \phi_\alpha(x) = ( \text{causal role}, \text{cost}, \text{uncertainty}, \text{dependency} ). $$ 另一個 goal 下： $$ \phi'_\alpha(x) = ( \text{semantic similarity}, \text{historical relation} ). $$ 所以： $$ \boxed{ \phi_{\alpha,t} \neq \phi_{\alpha,t'} } $$ 完全可能。 --- # 9. Chart 不是流形宣告 數學上，manifold chart 通常要求： $$ \phi_\alpha: U_\alpha \rightarrow V_\alpha\subseteq\mathbb R^n $$ 具備特定 homeomorphic structure。 本文目前**不具備**這個證明。 因此本文中的 chart 僅滿足較弱要求： 1. \(U_\alpha\) 是一個可操作認知區域； 2. \(\phi_\alpha\) 提供局部 task-relevant coordinates； 3. 相同局部結構可在不同 chart 下重新表徵； 4. overlap 上可以定義可檢驗的 translation / correspondence。 所以目前更精確叫： $$ \boxed{ \text{cognitive local coordinate chart}. } $$ 而不是： $$ \boxed{ \text{manifold chart}. } $$ 如果後續不能建立更嚴格條件，就保持這個弱版本。 --- # 10. Dynamic Cognitive Atlas 若： $$ \mathfrak A_t = \{ (U_{\alpha,t},\phi_{\alpha,t}) \}_{\alpha\in I_t}, $$ 則稱： $$ \mathfrak A_t $$ 為時間 \(t\) 的候選 cognitive atlas。 關鍵是： $$ \boxed{ \mathfrak A_t \neq \mathfrak A_{t+1} } $$ 可以成立。 變化形式包括： - 新 chart 出現； - 舊 chart 消失； - chart domain 擴張； - chart domain 收縮； - overlap 增加； - overlap 消失； - coordinate map 改變； - 多個 charts 被 coarse-grain 成一個高階 chart。 因此認知 atlas 本身可以是動態的。 --- # 11. Chart Transition 若： $$ U_\alpha\cap U_\beta \neq \varnothing, $$ 且兩個 coordinate maps 在 overlap 上具可逆結構，則形式上可以寫： $$ T_{\alpha\beta} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1}. $$ 但在人類 cognition 中： $$ \phi_\alpha^{-1} $$ 不一定存在。 因此更弱地定義： $$ T_{\alpha\beta}: Z_{\alpha|\alpha\beta} \rightsquigarrow Z_{\beta|\alpha\beta}, $$ 其中： $$ \rightsquigarrow $$ 表示可能是： - stochastic mapping； - partial mapping； - lossy translation； - many-to-one correspondence。 這一點很重要。 真正跨 domain 的認知成本，可能部分來自： $$ \boxed{ \text{chart translation loss}. } $$ --- # 12. Translation Cost 定義 chart translation cost： $$ K_{\alpha\beta} = K_{\mathrm{retrieval}} + K_{\mathrm{recode}} + K_{\mathrm{context}} + K_{\mathrm{loss}}. $$ 如果： $$ U_\alpha\cap U_\beta $$ 很大， 而 transition mapping 穩定： $$ K_{\alpha\beta}\downarrow. $$ 如果兩個 chart 幾乎沒有共享結構： $$ K_{\alpha\beta}\uparrow. $$ 所以實際 cognitive switching cost 可能更接近： $$ \boxed{ K_{\mathrm{switch}} = f( \text{overlap}, \text{translation}, \text{goal continuity} ) } $$ 而不只是： $$ \boxed{ f( \text{discipline labels} ). } $$ --- # 13. 現有研究提供什麼鄰接證據？ 2024 年 Qiu 等人使用 multidimensional abstract navigation task，觀察到 hippocampus、entorhinal cortex、OFC 等區域參與 abstract cognitive-map formation 與使用，並呈現 exploration / exploitation 階段差異。 這支持： $$ \boxed{ \text{abstract task-relevant spaces can be learned and navigated}. } $$ 2025 年 Tan 等人進一步顯示，mOFC 與 lOFC 對 task-space cognitive map 有互補角色：mOFC 表徵 hidden task-state components，而 lOFC / dlPFC 編碼跨 task states 的抽象規則。 這支持： $$ \boxed{ \text{task structure can define a cognitively represented state space}. } $$ 但它們仍未證明： $$ \boxed{ \text{domain boundaries are dynamically induced}. } $$ --- # 14. Task Structure Tailors Representation Bhandari 等人的研究比較 flat task 與 hierarchical context-dependent task。 同樣是 task representation 問題，lPFC 並未使用完全相同的幾何，而是形成 task-tailored representational geometries： - flat task 強化特定 global category axis； - hierarchy task 抽象表示 higher-level context； - context-specific local geometry 壓縮 irrelevant information； - relevant information 被選擇性保留與抽象。 這是一個非常重要的鄰接結果： $$ \boxed{ \text{representation geometry} \text{ can depend on task structure}. } $$ 但該工作目前為 preprint，因此本文只將其視為支持性鄰接證據，不作為 DIC 已成立的定論。 --- # 15. Hierarchical Spaces Peer 與 Epstein（2025）顯示人類在 nested spatial environment 中會表徵： $$ \text{subspace} \subset \text{larger space}. $$ 跨 subspace 關係處理具有額外成本。 這告訴我們： $$ \boxed{ \text{one cognitive map need not be flat}. } $$ 但 TADC-02 的命題更強： > 不只環境本身可以 hierarchical；「什麼算一個 domain」可能也隨 goal / resolution 改變。 所以： $$ \text{hierarchical map} $$ 是鄰接模型， 不是完整的 dynamic-domain theory。 --- # 16. Boundary Relativity Conjecture（BRC） 令 domain boundary： $$ \partial D_t = \partial D( G_t,\theta,\lambda ). $$ 若： $$ G_t \rightarrow G_{t+1}, $$ 或： $$ \lambda_t \rightarrow \lambda_{t+1}, $$ 則： $$ \boxed{ \partial D_t \neq \partial D_{t+1} } $$ 可能發生。 因此： ## BRC > 有效認知域的邊界並非必然固定，而可能相對於目標、解析尺度與目前可達結構。 這意味著： $$ \boxed{ \text{domain membership} } $$ 可以是 context-sensitive relation， 而不是永久布林值。 --- # 17. Soft Membership 因此可定義： $$ \mu_{D_t}(x) \in [0,1]. $$ 其中： $$ \mu_{D_t}(x) $$ 表示： $$ x $$ 在目前 goal / resolution 下屬於某認知域的有效程度。 同一 object： $$ x $$ 可以： $$ \mu_{D_1}(x)=0.9, $$ $$ \mu_{D_2}(x)=0.8. $$ 這自然允許 overlap。 也比： $$ x\in D_1 \quad\text{or}\quad x\in D_2 $$ 更符合多功能認知結構。 --- # 18. Resolution Parameter 引入： $$ \lambda $$ 表示觀察／表示解析尺度。 當： $$ \lambda\downarrow $$ 時， 可以看見更多局部區分： $$ D \rightarrow \{ D_1,D_2,\ldots,D_n \}. $$ 當： $$ \lambda\uparrow $$ 時， 多個局部單位被 coarse-grain： $$ \{ D_1,D_2,\ldots,D_n \} \rightarrow D^*. $$ 因此： $$ \boxed{ \text{macro} \quad\text{and}\quad \text{micro} } $$ 不一定是固定本體層級。 它們可能只是： $$ \boxed{ \lambda\text{-relative descriptions}. } $$ 這一點將在 TADC-04 正式展開。 --- # 19. Re-indexing 若一個低階 domain： $$ D_i $$ 在較粗解析度中被視為單一 node： $$ v_i, $$ 則： $$ D_i \mapsto v_i. $$ 反過來，若提高解析度： $$ v_i \mapsto D_i = \{ x_1,\ldots,x_m \}. $$ 本文稱這種操作： $$ \boxed{ \text{Re-indexing}. } $$ 它不是普通 task switching。 它是： $$ \boxed{ \text{changing what counts as an object}. } $$ --- # 20. Domain Expansion 若新 relation 被加入： $$ (x,y)\in\mathcal R_{t+1} $$ 並使： $$ y $$ 進入： $$ \operatorname{Reach}^{(k)}(D_t), $$ 則： $$ D_t \subset D_{t+1}. $$ 稱： $$ \boxed{ \text{Domain Expansion}. } $$ --- # 21. Domain Contraction 若： $$ \kappa_t(x,y\mid G) $$ 低於 threshold， 或 goal 改變使某區域不再 relevant， 則： $$ D_{t+1} \subset D_t. $$ 稱： $$ \boxed{ \text{Domain Contraction}. } $$ --- # 22. Domain Gluing 若兩個原本低 overlap 的 domains： $$ U_\alpha, U_\beta $$ 透過 bridge structure： $$ B $$ 建立高可達性， 則： $$ G: (U_\alpha,U_\beta) \mapsto U_{\alpha\beta}. $$ 其中： $$ U_{\alpha\beta} = U_\alpha \cup_B U_\beta. $$ 這裡的： $$ \cup_B $$ 暫時只是 relational gluing notation， 不是已證明的 topological pushout。 嚴格 categorical / topological status 留待後文。 --- # 23. Domain Splitting 反過來： 若： $$ \kappa_t $$ 在某個 bridge region 大幅下降， 一個原本有效連通 domain： $$ D $$ 可能分裂： $$ D \rightarrow D_1\cup D_2. $$ 若： $$ \operatorname{Conn}(D)=1 $$ 變成： $$ \operatorname{Conn}(D_1,D_2)=0, $$ 則稱： $$ \boxed{ \text{Domain Splitting}. } $$ 這是未來真正需要 connectivity measure 的地方。 --- # 24. Dynamic Domain State 因此一個 domain 不應只記： $$ D_t. $$ 可以記： $$ \mathbf d_t = ( |D_t|, \partial D_t, \Omega_t, K_t, H_t, \lambda_t ). $$ 其中： - \(|D_t|\)：有效規模； - \(\partial D_t\)：boundary； - \(\Omega_t\)：與其他 domains 的 overlap profile； - \(K_t\)：internal accessibility / connectivity； - \(H_t\)：local relational heterogeneity； - \(\lambda_t\)：resolution。 因此 domain 變化可以直接轉成時間序列： $$ \mathbf d_t \rightarrow \mathbf d_{t+1}. $$ --- # 25. Null Model 1：Fixed Domain Partition 最簡競爭模型： $$ \Pi = \{ D_1,\ldots,D_n \} $$ 固定。 goal 只改變： $$ P(D_i\mid G_t). $$ 也就是主體只是在固定 domains 中切換權重。 如果這個模型就能完整預測： - behavior； - reaction time； - generalization； - neural geometry； - switch cost； 則 DIC 沒有必要。 --- # 26. Null Model 2：Single Latent Semantic Space 另一個競爭模型： 所有 concepts 都存在固定 latent space： $$ Z. $$ 不同 task 只改變： $$ W_t $$ 或 readout function： $$ f_t:Z\rightarrow Y_t. $$ 此時： $$ Z $$ 不變， 只是： $$ f_t $$ 改變。 如果所有「動態 domain」現象都能由： $$ \boxed{ \text{fixed latent geometry + dynamic readout} } $$ 解釋， 則 Dynamic Cognitive Atlas 太複雜。 --- # 27. Null Model 3：Task-Set Mixture 還可以假設大腦已預先學到： $$ M_1,M_2,\ldots,M_q. $$ 當 context 改變時： $$ P(M_i\mid G) $$ 改變。 看起來像 domain 被重新生成， 但其實只是： $$ \boxed{ \text{mixture reweighting}. } $$ 因此要支持 DIC 的強版本， 必須找出： $$ \text{pre-existing mixture} $$ 無法解釋的： - novel overlap； - novel bridge； - new effective partition； - new generalization structure。 --- # 28. 實驗一：Goal Remapping 使用同一 object set： $$ X $$ 與相同 exposure。 只改變目標： $$ G_1, G_2, G_3. $$ 例如同一組物件要求： - 找 causal organization； - 找 semantic organization； - 找 action organization。 測： $$ D^{(1)}, D^{(2)},D^{(3)} $$ 的： - behavioral transition graph； - similarity matrix； - generalization； - memory clustering； - neural RSA。 若： $$ \partial D^{(1)} \neq \partial D^{(2)} $$ 且不能由 readout-only model 解釋， 支持 BRC / DIC。 --- # 29. 實驗二：Disciplinary Distance vs Cognitive Distance 建立跨學科概念對： $$ (x_i,y_i). $$ 每一對都有： $$ d_{\mathrm{ext}} $$ 與： $$ d_{\mathrm{rel}} $$ 兩種距離。 測： - transition time； - inference accuracy； - spontaneous association； - return probability； - working-memory interference。 比較： $$ M_{\mathrm{discipline}} $$ 與： $$ M_{\mathrm{relational}}. $$ 若： $$ \operatorname{PredictiveAccuracy} ( M_{\mathrm{relational}} ) > \operatorname{PredictiveAccuracy} ( M_{\mathrm{discipline}} ), $$ 則： $$ \boxed{ \text{disciplinary boundary} } $$ 不是最好的 cognitive boundary predictor。 --- # 30. 實驗三：Overlap Manipulation 先建立兩個 domains： $$ U_A, U_B. $$ Group 1 學習共同 bridge： $$ B. $$ Group 2 只接受相同 exposure， 但不被要求處理 bridge relation。 若 Group 1 後續： $$ K_{AB}\downarrow, $$ $$ P(A\rightarrow B)\uparrow, $$ $$ \text{cross-domain inference}\uparrow, $$ 則支持 overlap / gluing mechanism。 --- # 31. 實驗四：Boundary Perturbation 建立一個有 community structure 的 artificial concept graph。 逐步提高 bridge weights： $$ w_B: 0 \rightarrow1. $$ 測認知 boundary 是否在某區間發生： $$ \text{merge}. $$ 若 behavioral / neural clustering 呈現： $$ D_1,D_2 \rightarrow D_{12}, $$ 則可直接操作化： $$ \boxed{ \text{domain gluing}. } $$ 如果結果只是 association strength 線性增加， 沒有任何 clustering / generalization structure change， 則 gluing language 不必要。 --- # 32. 實驗五：Hierarchical Re-indexing 建立： $$ x_{ijk} $$ 低階 objects。 第一階段： $$ x_{ijk} $$ 各自作為 items。 第二階段： 將： $$ \{x_{i1},x_{i2},\ldots\} $$ 視為高階 unit： $$ U_i. $$ 第三階段： 又要求展開： $$ U_i \rightarrow \{x_{i1},x_{i2},\ldots\}. $$ 測： - switching； - interference； - chunk recall； - neural abstraction； - transition kernel。 如果： $$ U_i $$ 能在不同 resolution 下真正呈現 node / subspace 雙重角色， 支持 re-indexing。 --- # 33. 五個核心預測 ## DIC-H1 — Goal-Dependent Domain Induction 在 stimulus exposure 相同下： $$ G_1\neq G_2 $$ 應產生不同有效： $$ D_t. $$ --- ## DIC-H2 — Overlap Predicts Low-Cost Transition $$ |U_\alpha\cap U_\beta|\uparrow $$ 應預測： $$ K_{\alpha\beta}\downarrow. $$ --- ## DIC-H3 — Relational Distance Beats Disciplinary Distance 對實際 transition： $$ d_{\mathrm{cog}} $$ 應比： $$ d_{\mathrm{ext}} $$ 具有更高預測力。 --- ## DIC-H4 — Resolution Changes Boundary 改變： $$ \lambda $$ 應系統性改變： $$ \partial D. $$ --- ## DIC-H5 — Novel Domain Structure 在部分 learning / reasoning episode 後， 最好的 domain model 應包含： $$ D_{\mathrm{new}} $$ 而不是只調整舊 domains 的 mixture weights。 若永遠不需要新 domain， DIC 強版失敗。 --- # 34. Boundary Relativity 不等於任意主義 如果 domain boundary 會變， 不代表： > 任何東西都可以和任何東西是一個領域。 必須受到： $$ \mathcal R_t $$ 與： $$ \kappa_t $$ 限制。 因此： $$ \boxed{ \text{dynamic} \neq \text{arbitrary}. } $$ 若兩個 cognitive regions： $$ U_A,U_B $$ 缺少： - semantic relation； - causal relation； - analogical structure； - procedural dependency； - goal relevance； 則： $$ \kappa(U_A,U_B)\approx0. $$ 這時硬把它們稱作同一 domain 沒有預測價值。 --- # 35. Domain Coherence 定義 domain coherence： $$ Q(D) = \frac{ \sum_{x,y\in D} \kappa(x,y\mid G) }{ |D|(|D|-1) }. $$ 若： $$ Q(D)\gg0, $$ 則 domain 內部高度可達。 若： $$ Q(D)\approx0, $$ 那可能只是任意集合。 可以進一步考慮： $$ Q_{\mathrm{in}} - Q_{\mathrm{out}}. $$ 只有當： $$ Q_{\mathrm{in}} > Q_{\mathrm{out}} $$ 才有理由說某個局部區域形成有效 domain。 --- # 36. Domain 不一定要求高內聚 但也要防止另一個極端。 有些 domain 是 chain-like： $$ x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow\cdots $$ 而非 clique-like。 所以： $$ Q(D) $$ 不能是唯一指標。 還需： - connectivity； - path length； - betweenness； - bridge robustness； - reachability； - task predictive value。 因此： $$ \boxed{ \text{domain} \neq \text{community detection result alone}. } $$ --- # 37. 局部域與世界模型 若認知系統具有很大的世界模型： $$ W_t, $$ 它不需要在每次思考時完整展開。 而可以只激活： $$ U_t\subset W_t. $$ 但 TADC 的命題不只是： $$ U_t $$ 被選中。 更可能： $$ U_t $$ 在 reasoning 中： $$ U_t \rightarrow U_{t+1} $$ 並改變其與其他局部 chart 的 overlap。 因此： $$ \boxed{ \text{local domain activation} \neq \text{local domain transformation}. } $$ 這延續 TADC-01 的根區分。 --- # 38. 人工智能與外部認知支架暫不在本文處理 AI、knowledge graph、external memory、agent system 都可能： $$ K_{\alpha\beta}\downarrow $$ 並保存： $$ \mathfrak A_t. $$ 但本文先刻意不依賴外部工具。 TADC-07 將另外問： $$ \boxed{ \text{external systems can alter effective cognitive topology?} } $$ 如果 TADC-02 在無外部 AI 條件下都不能成立， 則 TADC-07 只能作為工具效應理論， 不能回頭證明一般 cognitive-domain theory。 --- # 39. 與 TADC-01 的統一形式 TADC-01： $$ \mathcal C_t = ( X_t, \mathcal R_t, \kappa_t, \mathcal N_t, A_t, G_t ). $$ TADC-02： $$ \mathfrak A_t = \{ (U_{\alpha,t},\phi_{\alpha,t}) \}. $$ 其中： $$ U_{\alpha,t} = D( S_\alpha, G_t, \theta, k, \lambda ). $$ 所以： $$ \boxed{ \mathcal C_t \Rightarrow \mathfrak A_t } $$ 表示： > 一個大的認知關係空間，在特定 goal / resolution 下誘導出一組局部可操作 domains。 而： $$ \mathfrak A_t \rightarrow \mathfrak A_{t+1} $$ 就是 dynamic-domain evolution。 --- # 40. 最小動力學 可以寫： $$ \mathfrak A_{t+1} = \Psi ( \mathfrak A_t, \mathcal C_t, G_t, a_t, m_t, e_t, \lambda_t ). $$ 其中： $$ \Psi $$ 可能包含： $$ \{ E,C,T,G,S,R \}, $$ 分別代表： - Expansion； - Contraction； - Traversal； - Gluing； - Splitting / Detachment； - Re-indexing。 這就是 TADC-03 要正式處理的六算子入口。 --- # 41. 反證條件 本文必須接受以下失敗條件。 ## F1 — Fixed Partition Wins 如果固定 domain labels 對： - switch cost； - generalization； - neural patterns； - inference； 的 out-of-sample prediction 不弱於 dynamic-domain model， 則 DIC 不值得保留。 --- ## F2 — Fixed Latent Space Wins 如果： $$ \text{fixed }Z + \text{dynamic readout} $$ 足以解釋所有 goal-dependent differences， 則： $$ \mathfrak A_t $$ 只是多餘重述。 --- ## F3 — No Stable Overlap Effect 若： $$ |U_\alpha\cap U_\beta| $$ 與： $$ K_{\alpha\beta} $$ 沒有穩定關係， 則 ODC 的功能意義受損。 --- ## F4 — Resolution Is Only Analyst Choice 如果： $$ \lambda $$ 只能由研究者事後任意選擇， 而 participant behavior / neural data 沒有任何可辨認的 resolution transition， 則 BRC 只是分析方法，不是 cognition mechanism。 --- ## F5 — Chart Language Adds No Prediction 如果： $$ (U_\alpha,\phi_\alpha) $$ 無法提供超越普通： - task set； - semantic cluster； - category； - latent factor； 的額外預測， 則「chart」應刪除。 --- # 42. 本文的強弱版本 ## Weak DIC 不同 goals 會誘導不同有效 grouping / geometry。 這與現有 task-structure literature 最接近。 --- ## Medium DIC 這些 grouping 形成可重疊、可轉換、具有不同 translation costs 的局部 domains。 --- ## Strong DIC 認知活動可以生成新的 domain organization： $$ \mathfrak A_t \rightarrow \mathfrak A_{t+1} $$ 且不能由固定 latent space + dynamic readout / mixture model 完整解釋。 只有 Strong DIC 真正構成 TADC 的高風險部分。 --- # 43. 本文最小貢獻 本文真正提出的不是： > 所有知識都是相通的。 那是一個過度寬泛且不可證偽的說法。 本文提出的是： $$ \boxed{ \text{the cognitively effective boundary between domains may be induced rather than fixed}. } $$ 因此，「跨領域」至少應拆成： $$ \boxed{ \text{external category crossing} } $$ 與： $$ \boxed{ \text{internal cognitive-boundary crossing}. } $$ 這兩個不必相等。 --- # 44. 結論 本文從 TADC-01 的可變認知空間出發，提出： $$ \boxed{ \textbf{DIC — Domain Induction Conjecture} } $$ 有效認知域由： $$ ( \mathcal R_t, \kappa_t, G_t, \theta, \lambda ) $$ 共同誘導，而非必然先驗固定。 接著提出： $$ \boxed{ \textbf{ODC — Overlapping Domain Conjecture} } $$ 有效 domains 一般允許： $$ U_\alpha\cap U_\beta\neq\varnothing, $$ 並且 overlap 可能降低 chart translation cost。 最後提出： $$ \boxed{ \textbf{BRC — Boundary Relativity Conjecture} } $$ domain boundary 可能相對於： $$ G_t, \lambda_t, t $$ 而變化。 因此： $$ \boxed{ \text{disciplinary boundary} \neq \text{cognitive boundary}. } $$ 在最強版本中，認知系統並不是在一組永久固定的領域之間跳躍，而可能不斷產生： $$ \mathfrak A_t = \{ (U_{\alpha,t},\phi_{\alpha,t}) \}, $$ 一套依任務與尺度更新的 dynamic cognitive atlas。 這也意味著： $$ \boxed{ \text{「跨域」有時可能不是跳離一個空間， 而是在同一個更高階關係空間內換用局部座標圖。} } $$ 但這句只有在 chart-overlap、translation cost、goal-dependent boundary 與 dynamic-atlas model 都取得實證增量後，才有資格從比喻升級成理論。 因此 TADC-02 的最終風險條件仍然是： $$ \boxed{ \text{If fixed domains predict cognition just as well, dynamic domains should be abandoned.} } $$ --- # 參考文獻 1. Qiu Y, Li H, Liao J, et al. **Forming cognitive maps for abstract spaces: the roles of the human hippocampus and orbitofrontal cortex.** *Communications Biology*. 2024;7:517. doi:10.1038/s42003-024-06214-5. PMID: 38693344. 2. Tan L, Qiu Y, Qiu L, et al. **The medial and lateral orbitofrontal cortex jointly represent the cognitive map of task space.** *Communications Biology*. 2025;8:163. doi:10.1038/s42003-025-07588-w. PMID: 39900714. 3. Peer M, Epstein RA. **Cognitive maps for hierarchical spaces in the human brain.** *Cerebral Cortex*. 2025;35(9):bhaf261. doi:10.1093/cercor/bhaf261. PMID: 40982478. 4. Leach SC, Chen X, Hwang K. **Hierarchical Reconfiguration of Neurocognitive Task Set Representations Mediates Cognitive Flexibility.** *Journal of Neuroscience*. 2026. doi:10.1523/JNEUROSCI.0113-26.2026. PMID: 42276789. 5. Bhandari A, Keglovits H, Buyukyazgan D, Badre D. **Task structure tailors the geometry of neural representations in human lateral prefrontal cortex.** bioRxiv preprint. Updated 2025. doi:10.1101/2024.03.06.583429. PMID: 38496680. **Preprint; not peer reviewed at the cited version.** 6. Beck DW, Heaton CN, Davila LD, et al. **A decision-space model explains context-specific decision-making.** *Nature Communications*. 2025;16:7437. doi:10.1038/s41467-025-61466-x. 7. Qiu Y, et al. **Dynamic changes in orbitofrontal-hippocampal connectivity linked to cognitive map formation in humans.** *NeuroImage*. 2025;121415. doi:10.1016/j.neuroimage.2025.121415. PMID: 40780573. 8. Garvert MM, Dolan RJ, Behrens TEJ. **A map of abstract relational knowledge in the human hippocampal-entorhinal cortex.** *eLife*. 2017;6:e17086. doi:10.7554/eLife.17086. 9. Park SA, Miller DS, Nili H, Ranganath C, Boorman ED. **Map Making: Constructing, Combining, and Inferring on Abstract Cognitive Maps.** *Neuron*. 2020;107(6):1226–1238.e8. doi:10.1016/j.neuron.2020.06.030. 10. Behrens TEJ, Muller TH, Whittington JCR, et al. **What Is a Cognitive Map? Organizing Knowledge for Flexible Behavior.** *Neuron*. 2018;100(2):490–509. doi:10.1016/j.neuron.2018.10.002. --- ## 與系列的關係 **已完成：** - TADC-01：《注意力不是單點選擇——可變認知空間與注意—空間轉換猜想》 - TADC-02：《動態認知域——領域作為局部座標圖》 **下一篇：** - TADC-03：《拓樸注意力六算子——展開、收斂、遍歷、黏合、切離與重索引》 後續： - TADC-04：《嵌套注意域與觀察尺度》 - TADC-05：《從單點超專注到拓樸超專注》 - TADC-06：《關係優先認知與跨域連續性》 - TADC-07：《外部認知支架與人—AI 認知拓樸》 - TADC-08：《拓樸注意力的測量、反證與工程化》 --- **狀態：** TADC-02 v0.1 **原始人體／臨床數據：** 無 **理論狀態：** 猜想／研究綱領；未經實驗驗證 **拓樸狀態：** 尚未證明為嚴格拓樸空間或流形；chart / atlas 為受約束的候選形式語言