title: "局部概率與全域概率：尺度提升的合法性與判定域提升演算" english_title: "Local and Global Probability: Legality of Scale Lifting and a Judgment-Domain Lifting Calculus" series: "判定域概率論與超概率研究" series_id: "JDPSP" paper_id: "JDPSP-03" author: "Neo.K" organization: "EveMissLab" version: "0.1.0" status: "研究初稿 / formal framework proposal" date: "2026-08-13" language: "zh-TW"

局部概率與全域概率：尺度提升的合法性與判定域提升演算

Local and Global Probability: Legality of Scale Lifting and a Judgment-Domain Lifting Calculus

作者： Neo.K
機構： EveMissLab
系列： 判定域概率論與超概率研究，Paper 03
版本： v0.1.0
日期： 2026-08-13

摘要

本文延續判定域概率論，研究一個比「局部概率不能偷渡成全域概率」更精確的問題：在什麼條件下，局部概率可以合法地被 restriction、conditioning、pushforward、marginalization、kernel transport、extension、gluing 或 aggregation 到另一個判定域？

本文首先區分四種經常被混為一談的狀態：

\text{incompatible}, \qquad \text{obstructed}, \qquad \text{extendable but nonunique}, \qquad \text{uniquely or rule-selected extendable}.

局部資料無法推出唯一全域概率，並不等於全域概率不存在；相容的局部邊際可能存在許多 joint extensions。反之，marginal problem 與 sheaf-theoretic contextuality 顯示，某些局部資料甚至不存在任何相容全域 joint model。另一方面，Kolmogorov extension / projective-limit 類結果又證明，在一致性與適當空間條件成立時，一族有限維局部分布確實可以構造全域概率測度。因此，local-to-global 不是單向 no-go，而是一個具有 existence、uniqueness、compatibility 與 selection 四種不同問題的提升理論。

本文提出「判定域提升見證」：

\mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q),

其中 $\tau$ 是判定索引轉換， $T$ 是概率運算或 stochastic transport， $\Gamma$ 是使轉換合法的假設與一致性條件，而 $Q$ 是目標域概率。合法跨域推論記為：

(\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W} (\mathfrak E,Q).

本文把跨域運算分為降階運算、橫向運輸與升階運算，並提出 No-Unwitnessed-Lift Principle：任何從較窄判定域到較廣判定域的概率主張，都不能僅由省略 domain qualifier 得到，而必須提供 extension、joint construction、kernel、gluing、aggregation model 或其他可審計的 lifting witness。

本文同時證明三個基本結果。第一，非單射 coarse-graining 的 pushforward 一般不可逆；第二，即使兩個 Bernoulli 邊際完全已知，其 joint coupling 仍可在 Fréchet 區間內變化，故邊際通常不唯一決定 joint；第三，任何真正存在的全域 joint distribution 必然使所有重疊局部邊際在交集上相容，因此 overlap consistency 是 gluing 的必要條件。

最後，本文指出多尺度概率提升比一般 measure extension 更複雜：micro event 與 macro event 往往不是同一事件在不同集合上的 restriction，而是經由 aggregation map、classifier、statistic 或 learned kernel 生成的不同事件本體。因此真正的尺度提升應寫為：

P_{\mathrm{micro}} \rightarrow Q_{\mathrm{joint}} \rightarrow g_{\#}Q_{\mathrm{joint}} = P_{\mathrm{macro}},

而不是把單一微觀概率值直接重新命名為宏觀概率。

關鍵詞： 局部概率、全域概率、判定域、尺度提升、marginal problem、Kolmogorov extension、projective limit、Markov kernel、gluing、contextuality、coupling、aggregation、lifting calculus

1. 從禁則走向提升演算

Paper 02 提出：

P_{\mathfrak D_L}(A)=p \not\Rightarrow P_{\mathfrak D_G}(\widetilde A)=p

若沒有合法 transport / extension witness。

這條 No-Smuggling Principle 是必要的，但仍然太粗。

因為：

\not\Rightarrow

至少可能代表三種完全不同的情況。

第一種：

\boxed{ \text{全域模型存在，而且唯一，但我們尚未提供證明。} }

第二種：

\boxed{ \text{全域模型存在，但有很多個。} }

第三種：

\boxed{ \text{根本不存在與局部資料相容的全域模型。} }

這三種狀態在數學上不能混為一談。

因此本文的第一個目標，是把「不能直接從 local 寫成 global」提升為：

\boxed{ \text{existence} + \text{uniqueness} + \text{compatibility} + \text{selection}. }

局部–全域問題真正需要的是 lifting calculus，而不是單一 no-go slogan。

2. 既有數學已經告訴我們什麼？

2.1 Kolmogorov extension：局部一致時，全域可以存在

經典 Kolmogorov extension theorem 的核心精神是：

若一族有限維 probability distributions：

\{\mu_J\}_{J\in\mathcal F(I)}

對所有有限 index sets $J$ 都已定義，而且在自然投影下滿足 projective consistency，則在適當空間條件下可以存在一個全域 probability measure，其有限維 marginals 正是這些 $\mu_J$ 。

用投影：

\pi_{J,K}:X^J\rightarrow X^K, \qquad K\subseteq J,

一致性寫為：

(\pi_{J,K})_{\#}\mu_J = \mu_K.

因此：

\boxed{ \text{local} \not\Rightarrow \text{global} }

不能被誤讀為：

\boxed{ \text{local can never generate global}. }

正確說法是：

local-to-global lifting 需要一致性與適用的 extension theorem。

2.2 Projective limit：尺度族可以形成全域極限

更一般地，若存在 projective system：

\{ (X_i,\Sigma_i,\mu_i), \pi_{ji} \},

且：

(\pi_{ji})_{\#}\mu_j = \mu_i

對 $i\preceq j$ 成立，則 projective-limit probability 的存在性成為局部–全域建構問題。

近年的 projective-limit probability 研究仍持續處理這些極限測度及其 $L^p$ 結構。

這表示判定域尺度鏈：

\mathfrak D_1 \preceq \mathfrak D_2 \preceq \cdots

若未來能形成真正的 projective system，就可能直接與成熟 measure theory 對接。

2.3 Marginal problem：局部資料可能根本沒有共同 joint

給定一族局部 marginals，最基本的問題之一是：

\boxed{ \text{是否存在 joint distribution 使這些局部分布皆為其 marginals？} }

這就是 marginal problem 的核心。

因此局部概率的障礙並不只在「不知道怎麼提升」。

有時候：

\operatorname{Lift}(\{P_i\}) = \varnothing.

2.4 Sheaf contextuality：global section obstruction

Sheaf-theoretic contextuality 將 compatible local empirical models 與 global section 的存在直接連結。

因此：

\text{local compatible data} \stackrel{?}{\longrightarrow} \text{global section}

本身已有成熟數學。

本文不能宣稱發明 local-to-global obstruction。

本文要增加的是：

\boxed{ \text{判定域型別} + \text{提升方向} + \text{提升見證} + \text{提升狀態分類}. }

2.5 Markov categories 與 partial probability structures

Markov categories 已能用 categorical language 描述 stochastic maps、conditioning、disintegration 與 conditional independence。

2025 年後的 partial Markov categories、partializations 與 conditional-probability algebra 又進一步處理 partial observations、normalisation、Bayesian updates、partial kernels 與 probability monads。

因此判定域提升演算應與這些成熟工具對接，而不是重新發明概率 transport。

3. 判定域覆蓋關係

Paper 02 定義：

\mathfrak D = (X,\Sigma;\kappa),

其中：

\kappa=(r,s,c).

本文加入一個局部–全域覆蓋關係。

定義 3.1：判定域覆蓋 preorder

若 $\mathfrak D$ 所代表的 reference / scale / context 範圍不超過 $\mathfrak E$ ，且存在至少一個被聲明的 down-map：

\rho_{\mathfrak E\rightarrow\mathfrak D},

則記：

\mathfrak D \preceq \mathfrak E.

直觀上：

\mathfrak D = \text{較局部或較窄域},

\mathfrak E = \text{較廣或較全域}.

但：

\preceq

不是單純集合包含。

它可能同時涉及：

reference coverage；
scale coverage；
temporal coverage；
model context；
information refinement。

所以實際應用中：

\mathfrak D\preceq\mathfrak E

必須有明示的語義。

4. 三類概率 transport

跨域運算首先依方向分成三類。

4.1 降階 transport

由較廣域：

\mathfrak E

走向較窄域：

\mathfrak D.

記為：

\mathfrak E \Downarrow \mathfrak D.

典型操作包括：

marginalization；
restriction；
conditioning；
projection；
coarse observation；
forgetting variables。

4.2 橫向 transport

兩個判定域未必有 local/global 包含關係：

\mathfrak D \leftrightarrow \mathfrak E.

典型操作：

measurable pushforward；
change of variables；
Markov kernel；
stochastic channel；
representation translation。

4.3 升階 transport

由局部域：

\mathfrak D

走向較廣域：

\mathfrak E.

記為：

\mathfrak D \Uparrow \mathfrak E.

典型操作：

measure extension；
coupling；
joint construction；
gluing；
projective limit；
hierarchical aggregation；
stochastic completion。

升階是本文真正最關心的方向，因為：

\boxed{ \text{downward maps often forget information, while upward lifts must restore or add structure}. }

5. 八種基本操作

5.1 Restriction

若：

X_L\subseteq X_G,

可將全域 measure restriction 到某個 measurable subspace。

記：

R_{G\rightarrow L}.

5.2 Conditioning

若：

P_G(B)>0,

則：

C_B(P_G)(A) = P_G(A\mid B).

conditioning 不是 restriction 的同義詞，因為它包含 renormalisation。

5.3 Marginalization

若：

\pi: X\times Y \rightarrow X,

則：

P_X = \pi_{\#}P_{XY}.

它是一種特別重要的 forgetting map。

5.4 Pushforward

對 measurable map：

f:X\rightarrow Y,

有：

f_{\#}P(B) = P(f^{-1}(B)).

它可以是降尺度，也可以只是重新表示。

5.5 Kernel transport

若：

K:X\rightsquigarrow Y

是 Markov kernel，則：

(K_{\star}P)(B) = \int_X K(x,B)\,P(dx).

5.6 Extension

給定某個局部 measure：

P_L,

尋找：

P_G

使：

R_{G\rightarrow L}(P_G) = P_L

或：

C(P_G)=P_L.

5.7 Gluing / coupling

給定多個局部 marginals：

P_1,\ldots,P_n,

尋找 joint：

Q

使：

(\pi_i)_{\#}Q = P_i.

5.8 Aggregation

若宏觀狀態不是原微觀狀態的子事件，而由：

g:X_{\mu}^{n}\rightarrow X_M

生成，則宏觀概率必須先有微觀 joint：

Q_{\mu}^{(n)},

再取：

P_M = g_{\#}Q_{\mu}^{(n)}.

這是尺度概率中最容易被忽略的一步。

6. 判定域提升見證

定義 6.1：Lifting Witness

判定域概率：

(\mathfrak D,P)

到：

(\mathfrak E,Q)

的一個提升見證定義為：

\boxed{ \mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q) }

其中：

$\tau$ ：判定索引轉換；
$T$ ：使用的 measurable map、kernel、extension、gluing 或 aggregation operator；
$\Gamma$ ：合法性假設、一致性條件、正則性條件或模型約束；
$Q$ ：目標域中的概率對象。

若驗證：

Q = T_{\Gamma}(P)

或 $Q$ 滿足 $T$ 所要求的 compatibility equations，則記：

(\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W} (\mathfrak E,Q).

6.2 多源 lifting witness

若有多個 local domains：

\{ (\mathfrak D_i,P_i) \}_{i\in I},

則：

\mathcal W = (\{\tau_i\},T,\Gamma,Q)

並要求：

\mathcal R_i(Q) = P_i

對所有 $i$ 成立。

其中：

\mathcal R_i

可能是 marginalization、restriction 或其他 declared down-map。

7. Lifting set 與四種狀態

給定局部 family：

\mathcal L = \{ (\mathfrak D_i,P_i) \}_{i\in I},

以及目標域 $\mathfrak G$ ，定義：

\operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) = \{ Q: Q\text{ satisfies all declared local constraints} \}.

然後可區分。

7.1 Obstructed

\operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) = \varnothing.

沒有任何全域概率模型符合局部要求。

7.2 Extendable but nonunique

1 < \left| \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \right|.

存在全域模型，但不唯一。

7.3 Unique

\left| \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \right| = 1.

局部資料與條件唯一決定全域概率。

7.4 Rule-selected

即使：

\left| \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \right| >1,

仍可以額外指定選擇規則：

S: \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \rightarrow Q^{\ast}.

例如：

independence assumption；
maximum entropy；
minimum transport cost；
causal model；
Bayesian prior；
symmetry；
learned model。

此時：

Q^{\ast}

不是「由 local probabilities 唯一推出」，而是：

\boxed{ \text{local constraints} + \text{selection rule} \Rightarrow Q^{\ast}. }

這個差異必須公開。

8. 定理一：非單射 pushforward 一般不可逆

命題 8.1：Coarse-Graining Non-Injectivity

令：

f:X\rightarrow Y

為 measurable map。

若存在：

x_1\neq x_2

使：

f(x_1)=f(x_2)=y,

則：

f_{\#}

在 probability measures 上一般不是單射。

證明

取：

P_1=\delta_{x_1},

P_2=\delta_{x_2}.

顯然：

P_1\neq P_2.

然而：

f_{\#}P_1 = \delta_y = f_{\#}P_2.

故：

f_{\#}P_1 = f_{\#}P_2

並不推出：

P_1=P_2.

因此：

\boxed{ f_{\#} \text{ generally loses information whenever }f\text{ is non-injective}. }

\boxed{\square}

推論

若：

P_M = g_{\#}P_{\mu}

是 coarse-grained macro probability，則 $P_M$ 一般不足以唯一恢復 micro probability。

所以：

\boxed{ \text{macro} \rightarrow \text{micro} }

通常需要額外 inverse model，而不是單純反轉 pushforward。

9. 定理二：邊際不唯一決定 joint

考慮：

X,Y\in\{0,1\}.

已知：

P(X=1)=p,

P(Y=1)=q.

令：

r = P(X=1,Y=1).

則 joint table 必須為：

P(1,1)=r,

P(1,0)=p-r,

P(0,1)=q-r,

P(0,0)=1-p-q+r.

所有概率非負要求：

r\le p,

r\le q,

r\ge p+q-1,

r\ge0.

因此：

\boxed{ \max(0,p+q-1) \le r \le \min(p,q). }

只要此區間不是單點，就存在多個不同 joint distributions 具有完全相同 marginals。

命題 9.1

若：

\max(0,p+q-1) < \min(p,q),

則兩個 Bernoulli marginals：

P_X, \qquad P_Y

不唯一決定：

P_{XY}.

\boxed{\square}

9.2 特例

若：

p=q=\frac12,

則：

0\le r\le\frac12.

$r=1/4$ 對應 independent coupling。

$r=1/2$ 對應：

X=Y

幾乎處處。

$r=0$ 對應：

X=1-Y

幾乎處處。

三者的 marginals 完全一樣：

P(X=1) = P(Y=1) = \frac12.

但 joint structure 完全不同。

因此：

\boxed{ \text{知道所有單點 marginal probabilities} \not\Rightarrow \text{知道跨變量關係}. }

10. 定理三：Overlap Consistency 是 gluing 的必要條件

設局部 variable sets：

S_i

與局部分布：

P_i

定義在：

X^{S_i}.

假設存在 global joint：

Q

定義在：

X^{\cup_i S_i}

且：

(\pi_i)_{\#}Q = P_i.

對任意：

S_i\cap S_j\neq\varnothing,

令：

\pi_{i,ij}: X^{S_i} \rightarrow X^{S_i\cap S_j}

與：

\pi_{j,ij}: X^{S_j} \rightarrow X^{S_i\cap S_j}.

則必有：

(\pi_{i,ij})_{\#}P_i = (\pi_{j,ij})_{\#}P_j.

證明

因：

P_i=(\pi_i)_{\#}Q,

故：

(\pi_{i,ij})_{\#}P_i = (\pi_{i,ij}\circ\pi_i)_{\#}Q.

同理：

(\pi_{j,ij})_{\#}P_j = (\pi_{j,ij}\circ\pi_j)_{\#}Q.

而兩個 composite 都是從全域變量投影到同一 overlap：

S_i\cap S_j.

故兩者相等。

\boxed{\square}

因此：

\boxed{ \text{global joint existence} \Rightarrow \text{overlap consistency}. }

但反方向在一般情況下需要額外條件，不能在本文中無條件宣稱。

11. Consistency 不等於 uniqueness

這是本文最重要的觀念之一。

如果所有 local marginals 已經 overlap-consistent：

P_i|_{S_i\cap S_j} = P_j|_{S_i\cap S_j},

我們仍然必須分開兩個問題：

\text{Does a global lift exist?}

以及：

\text{If it exists, is it unique?}

Kolmogorov/projective consistency 在適當架構中提供非常強的 existence route。

Marginal problems 與 contextuality 則展示 obstruction route。

Coupling theory 又大量展示：

\boxed{ \text{existence without uniqueness}. }

因此提升演算不能只輸出：

\mathrm{YES} / \mathrm{NO}.

至少應輸出：

\boxed{ \mathrm{status} \in \{ \mathrm{obstructed}, \mathrm{nonunique}, \mathrm{unique}, \mathrm{rule\text{-}selected} \}. }

12. No-Unwitnessed-Lift Principle

Paper 02 的 No-Smuggling Principle 在本文提升為：

原則 12.1：No-Unwitnessed-Lift

若：

\mathfrak D \preceq \mathfrak E

而研究者宣稱：

P_{\mathfrak E}

是由：

P_{\mathfrak D}

或一族 local probabilities 所得到，則必須至少指出：

\boxed{ \mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q). }

不得只由語言操作：

\text{在局部域中} \rightarrow \text{通常} \rightarrow \text{整體上} \rightarrow \text{全域概率}

完成提升。

這條原則不限制研究者使用 heuristic model。

它只要求：

\boxed{ \text{heuristic lifting must be labeled as heuristic lifting}. }

13. Exact、Approximate 與 Empirical Lifting

實際研究不可能永遠有 exact equality。

因此需要三種 lifting mode。

13.1 Exact lift

\mathcal R_i(Q) = P_i

對所有 local constraints 精確成立。

13.2 Approximate lift

給定 divergence / metric：

d,

若：

d( \mathcal R_i(Q), P_i ) \le \varepsilon_i,

則稱 $Q$ 是：

\boldsymbol{\varepsilon}\text{-lift}.

13.3 Empirical lift

若 $P_i$ 本身只是 empirical estimator：

\widehat P_i,

則目標不應寫成：

\mathcal R_i(Q) = \widehat P_i

具有本體上的絕對真值。

更合理的是：

d( \mathcal R_i(Q), \widehat P_i ) \le \varepsilon_i

並同步保留 sampling uncertainty。

因此：

\boxed{ \text{probability lifting} \neq \text{pretending estimated probabilities are exact measures}. }

14. Scale Lifting 比 Measure Extension 更複雜

14.1 同事件 extension

最簡單的 extension 問題是：

A_L \mapsto \widetilde A_G

仍然代表「同一事件內容」在更大 domain 中的 extension。

這接近標準 measure extension。

14.2 Derived-event lifting

多尺度研究中，更常見的是：

A_{\mu}

與：

A_M

根本不是同一事件。

例如：

A_{\mu} = \text{一個個體是否成功},

而：

A_M = \text{整個制度是否有效}.

兩者之間需要：

g: X_{\mu}^n \rightarrow X_M.

所以宏觀概率不是：

P_M(A_M) = P_{\mu}(A_{\mu}).

而是：

P_M = g_{\#}Q_{\mu}^{(n)},

其中：

Q_{\mu}^{(n)}

是多個 micro states 的 joint distribution。

因此尺度提升真正需要：

\boxed{ \text{micro marginals} + \text{dependence structure} + \text{aggregation map} }

才能得到：

\boxed{ \text{macro probability}. }

15. 一個尺度反例：相同微觀 marginals，不同宏觀結果

令：

X_1,X_2\in\{0,1\}

且：

P(X_1=1) = P(X_2=1) = \frac12.

定義宏觀事件：

A_M = \{X_1=X_2\}.

模型 A：完全同向

P(0,0)=\frac12,

P(1,1)=\frac12.

因此：

P_M(A_M)=1.

模型 B：完全反向

P(0,1)=\frac12,

P(1,0)=\frac12.

因此：

P_M(A_M)=0.

兩個模型的所有單變量微觀 marginals 完全相同。

但宏觀事件概率從：

0

到：

1.

所以：

\boxed{ \text{micro marginal equality} \not\Rightarrow \text{macro event probability equality}. }

這是一個極簡但非常重要的尺度提升反例。

16. Aggregation Witness

對尺度提升：

\mathfrak D_{\mu} \Uparrow \mathfrak D_M,

本文建議至少提供：

\mathcal W_{\mathrm{agg}} = ( \tau, Q_{\mu}^{(n)}, g, \Gamma, P_M ).

其中：

$\tau$ ：micro-to-macro judgment translation；
$Q_{\mu}^{(n)}$ ：micro joint model；
$g$ ：aggregation / statistic / classifier；
$\Gamma$ ：依賴假設、抽樣條件、時間窗等；
$P_M=g_{\#}Q_{\mu}^{(n)}$ 。

因此：

\boxed{ \text{macro probability} }

不再是 micro probability 的放大版，而是：

\boxed{ \text{joint micro structure passed through a macro-forming operator}. }

17. AI 概率場中的 lifting

AI 是本框架最直接的實驗場之一。

假設已有：

P_{\mathrm{token}},

P_{\mathrm{semantic}},

P_{\mathrm{strategy}},

P_{\mathrm{task}}.

不能假設：

P_{\mathrm{strategy}}

只是：

P_{\mathrm{token}}

的簡單總和。

更合理的是：

Q_{\mathrm{token\ sequence}}

先描述完整序列或生成 trajectory。

再由：

g_{\mathrm{sem}} : X_{\mathrm{token}}^{\ast} \rightarrow X_{\mathrm{semantic}}

得到：

P_{\mathrm{semantic}} = (g_{\mathrm{sem}})_{\#} Q_{\mathrm{token\ sequence}}.

如果 semantic classifier 本身具有不確定性，則改用 kernel：

K_{\mathrm{sem}} : X_{\mathrm{token}}^{\ast} \rightsquigarrow X_{\mathrm{semantic}}.

則：

P_{\mathrm{semantic}} = (K_{\mathrm{sem}})_{\star} Q_{\mathrm{token\ sequence}}.

strategy 層同理。

因此 AI 多尺度概率場可寫成：

Q_0 \xrightarrow{T_{01}} P_1 \xrightarrow{T_{12}} P_2 \xrightarrow{T_{23}} P_3 \cdots

每一個箭頭都應保留 lifting witness。

這直接避免把：

\text{token stochasticity}

偷渡成：

\text{strategy stochasticity}

或：

\text{model-level global stochasticity}.

18. Local–Global Lifting Ledger

為了讓理論真正可工程化，本文提出一個最小 lifting ledger。

每次跨域概率推論至少記錄：

source_domain
target_domain
direction
source_probability_object
target_probability_object
transport_type
transport_map_or_kernel
compatibility_conditions
regularity_conditions
selection_rule
uniqueness_status
approximation_tolerance
evidence_or_proof

數學上可表示：

\mathcal L = ( \mathfrak D, \mathfrak E, T, \Gamma, S, U, \varepsilon ).

其中：

U \in \{ \mathrm{obstructed}, \mathrm{nonunique}, \mathrm{unique}, \mathrm{rule\text{-}selected} \}.

這讓：

\boxed{ \text{概率推論本身具有 provenance}. }

19. Lifting 的五級合法性狀態

本文建議暫時使用以下狀態，而不是使用單一 yes/no。

L0：Untyped

來源與目標判定域未聲明。

L1：Typed but Unchecked

域已聲明，但尚未驗證 compatibility。

L2：Compatible

局部 constraints 通過已聲明的一致性條件。

L3：Extendable

已證明：

\operatorname{Lift}\neq\varnothing.

L4：Resolved

已進一步取得：

unique lift；或
明示 selection rule 後的 selected lift。

因此：

\boxed{ L0 \rightarrow L1 \rightarrow L2 \rightarrow L3 \rightarrow L4 }

不是概率值的可信度百分比，而是「提升證書完成程度」。

這一點必須與 Bayesian confidence 或 statistical significance 分開。

20. Obstruction 也需要分類

若：

\operatorname{Lift}=\varnothing,

仍然需要知道為什麼。

至少可以區分：

20.1 Type obstruction

判定域本身不可比較。

20.2 Overlap inconsistency

局部模型在共同 overlap 上已經矛盾。

20.3 Marginal obstruction

局部 marginals 無共同 joint distribution。

20.4 Contextuality obstruction

局部 contexts 無 global section / noncontextual realization。

20.5 Regularity obstruction

形式上希望的 extension 需要的 topology / measurability / regularity 條件不成立。

20.6 Model obstruction

全域 lift 只有在某個被拒絕的 independence、causal 或 aggregation assumption 下才能成立。

因此：

\boxed{ \text{No global lift} }

本身也不是單一原因。

21. 與 Kolmogorov Extension 的正確關係

本文的 No-Unwitnessed-Lift Principle 與 Kolmogorov extension theorem 並不衝突。

相反地，Kolmogorov extension theorem 可以被視為一種非常強的：

\boxed{ \text{lifting witness schema}. }

其輸入是：

\text{consistent finite-dimensional distributions},

加上適當空間條件。

其輸出是：

\text{global probability measure}.

所以在判定域語言中，可以寫成：

\{ P_J \}_{J\in\mathcal F(I)} \xRightarrow{ \mathcal W_{\mathrm{Kol}} } P_I.

其中：

\mathcal W_{\mathrm{Kol}}

封裝 projective consistency 與 theorem hypotheses。

因此判定域理論不是要阻止 local-to-global。

而是要求：

\boxed{ \text{如果可以 local-to-global，就說清楚為什麼可以。} }

22. 與 Marginal Problem 的正確關係

給定：

P_{S_1}, \ldots, P_{S_n},

marginal problem 問：

\exists Q \quad \text{s.t.} \quad (\pi_i)_{\#}Q=P_{S_i} ?

在本文語言中就是：

\operatorname{Lift}_{\mathfrak G} ( \{ P_{S_i} \} ) \stackrel{?}{\neq} \varnothing.

所以 marginal-problem solver 可以直接成為：

\boxed{ \text{lifting admissibility checker}. }

這表示 JDPSP 後續如果做工程工具，沒有必要重造 marginal solver，而可以直接掛接既有 polyhedral、optimization、SAT、LP 或 symbolic tools。

23. 與 Categorical Probability 的正確關係

Markov categories 將 stochastic maps 視為 morphisms，這與本文的：

\text{probability transport}

高度相容。

但 JDPSP 多加一層：

\tau: \kappa \rightarrow \lambda.

所以未來可能形成：

\boxed{ \text{Judgment-indexed Markov structure} }

或某種 fibration / indexed category：

\mathbf{Prob} \rightarrow \mathbf K.

其中每個 judgment context：

\kappa

上都有一個 probability fiber。

跨 context morphism：

\tau

再誘導 stochastic transport。

本文目前只把它列為研究方向，不宣稱已完成 categorical construction。

24. 新穎性邊界

本文不宣稱首次發現：

marginals 不唯一決定 joint；
local distributions 可能無 global joint；
consistent finite-dimensional distributions 可以延伸；
kernels 可以 transport probabilities；
conditioning 不是可逆操作；
sheaf contextuality 存在 global obstruction；
projective limits 可以建構全域 measures。

這些均屬既有概率、測度、coupling、stochastic-process 或 categorical probability 理論。

本文的新提案位於：

\boxed{ \text{把所有跨域概率推論統一成 judgment-domain lifting statements} }

並要求：

\boxed{ \text{direction} + \text{domain typing} + \text{transport witness} + \text{existence status} + \text{uniqueness status}. }

這個統一規範才是本文的主要研究貢獻候選。

25. 後續可證明的定理群

本文 v0.1.0 已完成三個基本命題，但更強版本仍待建立。

25.1 Lifting Composition Theorem

若：

(\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W_1} (\mathfrak E,Q)

與：

(\mathfrak E,Q) \xRightarrow{\mathcal W_2} (\mathfrak F,R),

何時：

\mathcal W_2\circ\mathcal W_1

仍是合法 lifting witness？

25.2 Scale Path Independence

若存在：

\mathfrak D_{\mu} \rightarrow \mathfrak D_m \rightarrow \mathfrak D_M

與直接：

\mathfrak D_{\mu} \rightarrow \mathfrak D_M,

何時兩條路得到相同：

P_M?

即：

T_{\mu M} \stackrel{?}{=} T_{mM}\circ T_{\mu m}.

25.3 Lifting Distortion Bound

若每個 approximate lift 有誤差：

\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,

跨尺度 composition 的總 distortion 如何累積？

25.4 Minimal Witness Problem

對一個 global claim，最小需要多少資訊才能形成可驗證 lifting certificate？

這些問題將與下一篇多尺度概率幾何直接連接。

26. 通往 Paper 04：概率尺度空間

Paper 02 建立：

\mathfrak D = (X,\Sigma;r,s,c).

Paper 03 建立：

(\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W} (\mathfrak E,Q).

下一篇將不再只看單一箭頭，而研究整個 domain network：

\mathfrak D_{\mu,i} \rightarrow \mathfrak D_{m,j} \rightarrow \mathfrak D_{M,k} \rightarrow \mathfrak D_G.

此時真正需要的是：

\boxed{ \text{geometry of judgment domains}. }

包括：

refinement distance；
aggregation distance；
information loss；
lifting distortion；
path dependence；
fibers；
scale topology；
local charts；
global atlas；
recursive probability order。

這將是多尺度概率幾何的正式入口。

27. 結論

局部概率與全域概率之間的關係不能被壓縮成：

\text{可以} / \text{不可以}.

真正的 local-to-global 問題至少包含：

\boxed{ \text{typing} + \text{compatibility} + \text{existence} + \text{uniqueness} + \text{selection}. }

經典 extension theorem 顯示，在適當 consistency 與 regularity 條件下，local family 可以合法生成 global probability。

Marginal problem 與 contextuality 則顯示，某些 local family 根本沒有 global realization。

Coupling 與本文 Bernoulli 例子又顯示：

\boxed{ \text{global existence} \not\Rightarrow \text{global uniqueness}. }

因此本文將跨域概率推論寫為：

\boxed{ (\mathfrak D,P) \xRightarrow{ \mathcal W } (\mathfrak E,Q), }

其中：

\mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q).

這個 lifting witness 的目的，是讓每個「從局部到全域」「從微觀到宏觀」「從 token 到策略」「從子群體到母體」的概率提升都留下明確數學來源。

本文最核心的禁則因此不再是：

\text{local cannot become global}.

而是：

\boxed{ \text{No Unwitnessed Lift}. }

如果能提升，就提供 witness。

如果有多個 lift，就標記 nonunique。

如果需要 selection rule，就公開 selection rule。

如果根本無法提升，就辨識 obstruction。

由此，概率的局部–全域問題從一個語義警告轉化為一個可以逐步形式化、驗證與工程化的提升演算。

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Appendix A. Operator Table

類型	操作	方向	一般是否丟資訊	逆向是否自動存在
Restriction	$R$	global $\to$ local	是	否
Conditioning	$C$	global $\to$ local	是	否
Marginalization	$\pi_{\#}$	joint $\to$ marginal	是	否
Pushforward	$f_{\#}$	domain $\to$ domain	若 $f$ 非單射則通常是	否
Kernel	$K_{\star}$	stochastic transport	通常是	否
Extension	$E$	local $\to$ global	增加／補結構	不一定存在或唯一
Gluing	$G$	locals $\to$ joint	增加關聯結構	不一定存在或唯一
Aggregation	$g_{\#}Q$	micro joint $\to$ macro	通常大量丟資訊	否

Appendix B. Lifting Status Schema

\mathrm{LiftStatus} = \{ L0,L1,L2,L3,L4 \}

其中：

$L0$ ：Untyped；
$L1$ ：Typed but Unchecked；
$L2$ ：Compatible；
$L3$ ：Extendable；
$L4$ ：Resolved by uniqueness or explicit selection rule。

此層級不是 probability confidence，也不是 theorem truth percentage。

Appendix C. Canonical Lifting Record

source_domain:
target_domain:

source_reference_scope:
target_reference_scope:

source_scale:
target_scale:

source_context:
target_context:

direction:
  down | horizontal | up

transport:
  restriction
  conditioning
  marginalization
  pushforward
  kernel
  extension
  gluing
  aggregation
  other

formal_map:
kernel:
aggregation_map:

compatibility_conditions:
regularity_conditions:
selection_rule:

lift_status:
uniqueness_status:
approximation_tolerance:

proof_or_external_theorem:
empirical_evidence:
notes: