--- title: "局部概率與全域概率：尺度提升的合法性與判定域提升演算" english_title: "Local and Global Probability: Legality of Scale Lifting and a Judgment-Domain Lifting Calculus" series: "判定域概率論與超概率研究" series_id: "JDPSP" paper_id: "JDPSP-03" author: "Neo.K" organization: "EveMissLab" version: "0.1.0" status: "研究初稿 / formal framework proposal" date: "2026-08-13" language: "zh-TW" --- # 局部概率與全域概率：尺度提升的合法性與判定域提升演算 ## Local and Global Probability: Legality of Scale Lifting and a Judgment-Domain Lifting Calculus **作者：** Neo.K **機構：** EveMissLab **系列：** 判定域概率論與超概率研究，Paper 03 **版本：** v0.1.0 **日期：** 2026-08-13 ## 摘要 本文延續判定域概率論，研究一個比「局部概率不能偷渡成全域概率」更精確的問題：在什麼條件下，局部概率可以合法地被 restriction、conditioning、pushforward、marginalization、kernel transport、extension、gluing 或 aggregation 到另一個判定域？ 本文首先區分四種經常被混為一談的狀態： $$ \text{incompatible}, \qquad \text{obstructed}, \qquad \text{extendable but nonunique}, \qquad \text{uniquely or rule-selected extendable}. $$ 局部資料無法推出唯一全域概率，並不等於全域概率不存在；相容的局部邊際可能存在許多 joint extensions。反之，marginal problem 與 sheaf-theoretic contextuality 顯示，某些局部資料甚至不存在任何相容全域 joint model。另一方面，Kolmogorov extension / projective-limit 類結果又證明，在一致性與適當空間條件成立時，一族有限維局部分布確實可以構造全域概率測度。因此，local-to-global 不是單向 no-go，而是一個具有 existence、uniqueness、compatibility 與 selection 四種不同問題的提升理論。 本文提出「判定域提升見證」： $$ \mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q), $$ 其中 $\tau$ 是判定索引轉換， $T$ 是概率運算或 stochastic transport， $\Gamma$ 是使轉換合法的假設與一致性條件，而 $Q$ 是目標域概率。合法跨域推論記為： $$ (\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W} (\mathfrak E,Q). $$ 本文把跨域運算分為降階運算、橫向運輸與升階運算，並提出 No-Unwitnessed-Lift Principle：任何從較窄判定域到較廣判定域的概率主張，都不能僅由省略 domain qualifier 得到，而必須提供 extension、joint construction、kernel、gluing、aggregation model 或其他可審計的 lifting witness。 本文同時證明三個基本結果。第一，非單射 coarse-graining 的 pushforward 一般不可逆；第二，即使兩個 Bernoulli 邊際完全已知，其 joint coupling 仍可在 Fréchet 區間內變化，故邊際通常不唯一決定 joint；第三，任何真正存在的全域 joint distribution 必然使所有重疊局部邊際在交集上相容，因此 overlap consistency 是 gluing 的必要條件。 最後，本文指出多尺度概率提升比一般 measure extension 更複雜：micro event 與 macro event 往往不是同一事件在不同集合上的 restriction，而是經由 aggregation map、classifier、statistic 或 learned kernel 生成的不同事件本體。因此真正的尺度提升應寫為： $$ P_{\mathrm{micro}} \rightarrow Q_{\mathrm{joint}} \rightarrow g_{\#}Q_{\mathrm{joint}} = P_{\mathrm{macro}}, $$ 而不是把單一微觀概率值直接重新命名為宏觀概率。 **關鍵詞：** 局部概率、全域概率、判定域、尺度提升、marginal problem、Kolmogorov extension、projective limit、Markov kernel、gluing、contextuality、coupling、aggregation、lifting calculus --- # 1. 從禁則走向提升演算 Paper 02 提出： $$ P_{\mathfrak D_L}(A)=p \not\Rightarrow P_{\mathfrak D_G}(\widetilde A)=p $$ 若沒有合法 transport / extension witness。 這條 No-Smuggling Principle 是必要的，但仍然太粗。 因為： $$ \not\Rightarrow $$ 至少可能代表三種完全不同的情況。 第一種： $$ \boxed{ \text{全域模型存在，而且唯一，但我們尚未提供證明。} } $$ 第二種： $$ \boxed{ \text{全域模型存在，但有很多個。} } $$ 第三種： $$ \boxed{ \text{根本不存在與局部資料相容的全域模型。} } $$ 這三種狀態在數學上不能混為一談。 因此本文的第一個目標，是把「不能直接從 local 寫成 global」提升為： $$ \boxed{ \text{existence} + \text{uniqueness} + \text{compatibility} + \text{selection}. } $$ 局部–全域問題真正需要的是 lifting calculus，而不是單一 no-go slogan。 --- # 2. 既有數學已經告訴我們什麼？ ## 2.1 Kolmogorov extension：局部一致時，全域可以存在 經典 Kolmogorov extension theorem 的核心精神是： 若一族有限維 probability distributions： $$ \{\mu_J\}_{J\in\mathcal F(I)} $$ 對所有有限 index sets $J$ 都已定義，而且在自然投影下滿足 projective consistency，則在適當空間條件下可以存在一個全域 probability measure，其有限維 marginals 正是這些 $\mu_J$。 用投影： $$ \pi_{J,K}:X^J\rightarrow X^K, \qquad K\subseteq J, $$ 一致性寫為： $$ (\pi_{J,K})_{\#}\mu_J = \mu_K. $$ 因此： $$ \boxed{ \text{local} \not\Rightarrow \text{global} } $$ 不能被誤讀為： $$ \boxed{ \text{local can never generate global}. } $$ 正確說法是： > local-to-global lifting 需要一致性與適用的 extension theorem。 ## 2.2 Projective limit：尺度族可以形成全域極限 更一般地，若存在 projective system： $$ \{ (X_i,\Sigma_i,\mu_i), \pi_{ji} \}, $$ 且： $$ (\pi_{ji})_{\#}\mu_j = \mu_i $$ 對 $i\preceq j$ 成立，則 projective-limit probability 的存在性成為局部–全域建構問題。 近年的 projective-limit probability 研究仍持續處理這些極限測度及其 $L^p$ 結構。 這表示判定域尺度鏈： $$ \mathfrak D_1 \preceq \mathfrak D_2 \preceq \cdots $$ 若未來能形成真正的 projective system，就可能直接與成熟 measure theory 對接。 ## 2.3 Marginal problem：局部資料可能根本沒有共同 joint 給定一族局部 marginals，最基本的問題之一是： $$ \boxed{ \text{是否存在 joint distribution 使這些局部分布皆為其 marginals？} } $$ 這就是 marginal problem 的核心。 因此局部概率的障礙並不只在「不知道怎麼提升」。 有時候： $$ \operatorname{Lift}(\{P_i\}) = \varnothing. $$ ## 2.4 Sheaf contextuality：global section obstruction Sheaf-theoretic contextuality 將 compatible local empirical models 與 global section 的存在直接連結。 因此： $$ \text{local compatible data} \stackrel{?}{\longrightarrow} \text{global section} $$ 本身已有成熟數學。 本文不能宣稱發明 local-to-global obstruction。 本文要增加的是： $$ \boxed{ \text{判定域型別} + \text{提升方向} + \text{提升見證} + \text{提升狀態分類}. } $$ ## 2.5 Markov categories 與 partial probability structures Markov categories 已能用 categorical language 描述 stochastic maps、conditioning、disintegration 與 conditional independence。 2025 年後的 partial Markov categories、partializations 與 conditional-probability algebra 又進一步處理 partial observations、normalisation、Bayesian updates、partial kernels 與 probability monads。 因此判定域提升演算應與這些成熟工具對接，而不是重新發明概率 transport。 --- # 3. 判定域覆蓋關係 Paper 02 定義： $$ \mathfrak D = (X,\Sigma;\kappa), $$ 其中： $$ \kappa=(r,s,c). $$ 本文加入一個局部–全域覆蓋關係。 ### 定義 3.1：判定域覆蓋 preorder 若 $\mathfrak D$ 所代表的 reference / scale / context 範圍不超過 $\mathfrak E$，且存在至少一個被聲明的 down-map： $$ \rho_{\mathfrak E\rightarrow\mathfrak D}, $$ 則記： $$ \mathfrak D \preceq \mathfrak E. $$ 直觀上： $$ \mathfrak D = \text{較局部或較窄域}, $$ $$ \mathfrak E = \text{較廣或較全域}. $$ 但： $$ \preceq $$ 不是單純集合包含。 它可能同時涉及： - reference coverage； - scale coverage； - temporal coverage； - model context； - information refinement。 所以實際應用中： $$ \mathfrak D\preceq\mathfrak E $$ 必須有明示的語義。 --- # 4. 三類概率 transport 跨域運算首先依方向分成三類。 ## 4.1 降階 transport 由較廣域： $$ \mathfrak E $$ 走向較窄域： $$ \mathfrak D. $$ 記為： $$ \mathfrak E \Downarrow \mathfrak D. $$ 典型操作包括： - marginalization； - restriction； - conditioning； - projection； - coarse observation； - forgetting variables。 ## 4.2 橫向 transport 兩個判定域未必有 local/global 包含關係： $$ \mathfrak D \leftrightarrow \mathfrak E. $$ 典型操作： - measurable pushforward； - change of variables； - Markov kernel； - stochastic channel； - representation translation。 ## 4.3 升階 transport 由局部域： $$ \mathfrak D $$ 走向較廣域： $$ \mathfrak E. $$ 記為： $$ \mathfrak D \Uparrow \mathfrak E. $$ 典型操作： - measure extension； - coupling； - joint construction； - gluing； - projective limit； - hierarchical aggregation； - stochastic completion。 升階是本文真正最關心的方向，因為： $$ \boxed{ \text{downward maps often forget information, while upward lifts must restore or add structure}. } $$ --- # 5. 八種基本操作 ## 5.1 Restriction 若： $$ X_L\subseteq X_G, $$ 可將全域 measure restriction 到某個 measurable subspace。 記： $$ R_{G\rightarrow L}. $$ ## 5.2 Conditioning 若： $$ P_G(B)>0, $$ 則： $$ C_B(P_G)(A) = P_G(A\mid B). $$ conditioning 不是 restriction 的同義詞，因為它包含 renormalisation。 ## 5.3 Marginalization 若： $$ \pi: X\times Y \rightarrow X, $$ 則： $$ P_X = \pi_{\#}P_{XY}. $$ 它是一種特別重要的 forgetting map。 ## 5.4 Pushforward 對 measurable map： $$ f:X\rightarrow Y, $$ 有： $$ f_{\#}P(B) = P(f^{-1}(B)). $$ 它可以是降尺度，也可以只是重新表示。 ## 5.5 Kernel transport 若： $$ K:X\rightsquigarrow Y $$ 是 Markov kernel，則： $$ (K_{\star}P)(B) = \int_X K(x,B)\,P(dx). $$ ## 5.6 Extension 給定某個局部 measure： $$ P_L, $$ 尋找： $$ P_G $$ 使： $$ R_{G\rightarrow L}(P_G) = P_L $$ 或： $$ C(P_G)=P_L. $$ ## 5.7 Gluing / coupling 給定多個局部 marginals： $$ P_1,\ldots,P_n, $$ 尋找 joint： $$ Q $$ 使： $$ (\pi_i)_{\#}Q = P_i. $$ ## 5.8 Aggregation 若宏觀狀態不是原微觀狀態的子事件，而由： $$ g:X_{\mu}^{n}\rightarrow X_M $$ 生成，則宏觀概率必須先有微觀 joint： $$ Q_{\mu}^{(n)}, $$ 再取： $$ P_M = g_{\#}Q_{\mu}^{(n)}. $$ 這是尺度概率中最容易被忽略的一步。 --- # 6. 判定域提升見證 ### 定義 6.1：Lifting Witness 判定域概率： $$ (\mathfrak D,P) $$ 到： $$ (\mathfrak E,Q) $$ 的一個提升見證定義為： $$ \boxed{ \mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q) } $$ 其中： - $\tau$：判定索引轉換； - $T$：使用的 measurable map、kernel、extension、gluing 或 aggregation operator； - $\Gamma$：合法性假設、一致性條件、正則性條件或模型約束； - $Q$：目標域中的概率對象。 若驗證： $$ Q = T_{\Gamma}(P) $$ 或 $Q$ 滿足 $T$ 所要求的 compatibility equations，則記： $$ (\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W} (\mathfrak E,Q). $$ ## 6.2 多源 lifting witness 若有多個 local domains： $$ \{ (\mathfrak D_i,P_i) \}_{i\in I}, $$ 則： $$ \mathcal W = (\{\tau_i\},T,\Gamma,Q) $$ 並要求： $$ \mathcal R_i(Q) = P_i $$ 對所有 $i$ 成立。 其中： $$ \mathcal R_i $$ 可能是 marginalization、restriction 或其他 declared down-map。 --- # 7. Lifting set 與四種狀態 給定局部 family： $$ \mathcal L = \{ (\mathfrak D_i,P_i) \}_{i\in I}, $$ 以及目標域 $\mathfrak G$，定義： $$ \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) = \{ Q: Q\text{ satisfies all declared local constraints} \}. $$ 然後可區分。 ## 7.1 Obstructed $$ \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) = \varnothing. $$ 沒有任何全域概率模型符合局部要求。 ## 7.2 Extendable but nonunique $$ 1 < \left| \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \right|. $$ 存在全域模型，但不唯一。 ## 7.3 Unique $$ \left| \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \right| = 1. $$ 局部資料與條件唯一決定全域概率。 ## 7.4 Rule-selected 即使： $$ \left| \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \right| >1, $$ 仍可以額外指定選擇規則： $$ S: \operatorname{Lift}_{\mathfrak G}(\mathcal L) \rightarrow Q^{\ast}. $$ 例如： - independence assumption； - maximum entropy； - minimum transport cost； - causal model； - Bayesian prior； - symmetry； - learned model。 此時： $$ Q^{\ast} $$ 不是「由 local probabilities 唯一推出」，而是： $$ \boxed{ \text{local constraints} + \text{selection rule} \Rightarrow Q^{\ast}. } $$ 這個差異必須公開。 --- # 8. 定理一：非單射 pushforward 一般不可逆 ### 命題 8.1：Coarse-Graining Non-Injectivity 令： $$ f:X\rightarrow Y $$ 為 measurable map。 若存在： $$ x_1\neq x_2 $$ 使： $$ f(x_1)=f(x_2)=y, $$ 則： $$ f_{\#} $$ 在 probability measures 上一般不是單射。 ### 證明 取： $$ P_1=\delta_{x_1}, $$ $$ P_2=\delta_{x_2}. $$ 顯然： $$ P_1\neq P_2. $$ 然而： $$ f_{\#}P_1 = \delta_y = f_{\#}P_2. $$ 故： $$ f_{\#}P_1 = f_{\#}P_2 $$ 並不推出： $$ P_1=P_2. $$ 因此： $$ \boxed{ f_{\#} \text{ generally loses information whenever }f\text{ is non-injective}. } $$ $$ \boxed{\square} $$ ### 推論 若： $$ P_M = g_{\#}P_{\mu} $$ 是 coarse-grained macro probability，則 $P_M$ 一般不足以唯一恢復 micro probability。 所以： $$ \boxed{ \text{macro} \rightarrow \text{micro} } $$ 通常需要額外 inverse model，而不是單純反轉 pushforward。 --- # 9. 定理二：邊際不唯一決定 joint 考慮： $$ X,Y\in\{0,1\}. $$ 已知： $$ P(X=1)=p, $$ $$ P(Y=1)=q. $$ 令： $$ r = P(X=1,Y=1). $$ 則 joint table 必須為： $$ P(1,1)=r, $$ $$ P(1,0)=p-r, $$ $$ P(0,1)=q-r, $$ $$ P(0,0)=1-p-q+r. $$ 所有概率非負要求： $$ r\le p, $$ $$ r\le q, $$ $$ r\ge p+q-1, $$ $$ r\ge0. $$ 因此： $$ \boxed{ \max(0,p+q-1) \le r \le \min(p,q). } $$ 只要此區間不是單點，就存在多個不同 joint distributions 具有完全相同 marginals。 ### 命題 9.1 若： $$ \max(0,p+q-1) < \min(p,q), $$ 則兩個 Bernoulli marginals： $$ P_X, \qquad P_Y $$ 不唯一決定： $$ P_{XY}. $$ $$ \boxed{\square} $$ ## 9.2 特例 若： $$ p=q=\frac12, $$ 則： $$ 0\le r\le\frac12. $$ $r=1/4$ 對應 independent coupling。 $r=1/2$ 對應： $$ X=Y $$ 幾乎處處。 $r=0$ 對應： $$ X=1-Y $$ 幾乎處處。 三者的 marginals 完全一樣： $$ P(X=1) = P(Y=1) = \frac12. $$ 但 joint structure 完全不同。 因此： $$ \boxed{ \text{知道所有單點 marginal probabilities} \not\Rightarrow \text{知道跨變量關係}. } $$ --- # 10. 定理三：Overlap Consistency 是 gluing 的必要條件 設局部 variable sets： $$ S_i $$ 與局部分布： $$ P_i $$ 定義在： $$ X^{S_i}. $$ 假設存在 global joint： $$ Q $$ 定義在： $$ X^{\cup_i S_i} $$ 且： $$ (\pi_i)_{\#}Q = P_i. $$ 對任意： $$ S_i\cap S_j\neq\varnothing, $$ 令： $$ \pi_{i,ij}: X^{S_i} \rightarrow X^{S_i\cap S_j} $$ 與： $$ \pi_{j,ij}: X^{S_j} \rightarrow X^{S_i\cap S_j}. $$ 則必有： $$ (\pi_{i,ij})_{\#}P_i = (\pi_{j,ij})_{\#}P_j. $$ ### 證明 因： $$ P_i=(\pi_i)_{\#}Q, $$ 故： $$ (\pi_{i,ij})_{\#}P_i = (\pi_{i,ij}\circ\pi_i)_{\#}Q. $$ 同理： $$ (\pi_{j,ij})_{\#}P_j = (\pi_{j,ij}\circ\pi_j)_{\#}Q. $$ 而兩個 composite 都是從全域變量投影到同一 overlap： $$ S_i\cap S_j. $$ 故兩者相等。 $$ \boxed{\square} $$ 因此： $$ \boxed{ \text{global joint existence} \Rightarrow \text{overlap consistency}. } $$ 但反方向在一般情況下需要額外條件，不能在本文中無條件宣稱。 --- # 11. Consistency 不等於 uniqueness 這是本文最重要的觀念之一。 如果所有 local marginals 已經 overlap-consistent： $$ P_i|_{S_i\cap S_j} = P_j|_{S_i\cap S_j}, $$ 我們仍然必須分開兩個問題： $$ \text{Does a global lift exist?} $$ 以及： $$ \text{If it exists, is it unique?} $$ Kolmogorov/projective consistency 在適當架構中提供非常強的 existence route。 Marginal problems 與 contextuality 則展示 obstruction route。 Coupling theory 又大量展示： $$ \boxed{ \text{existence without uniqueness}. } $$ 因此提升演算不能只輸出： $$ \mathrm{YES} / \mathrm{NO}. $$ 至少應輸出： $$ \boxed{ \mathrm{status} \in \{ \mathrm{obstructed}, \mathrm{nonunique}, \mathrm{unique}, \mathrm{rule\text{-}selected} \}. } $$ --- # 12. No-Unwitnessed-Lift Principle Paper 02 的 No-Smuggling Principle 在本文提升為： ### 原則 12.1：No-Unwitnessed-Lift 若： $$ \mathfrak D \preceq \mathfrak E $$ 而研究者宣稱： $$ P_{\mathfrak E} $$ 是由： $$ P_{\mathfrak D} $$ 或一族 local probabilities 所得到，則必須至少指出： $$ \boxed{ \mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q). } $$ 不得只由語言操作： $$ \text{在局部域中} \rightarrow \text{通常} \rightarrow \text{整體上} \rightarrow \text{全域概率} $$ 完成提升。 這條原則不限制研究者使用 heuristic model。 它只要求： $$ \boxed{ \text{heuristic lifting must be labeled as heuristic lifting}. } $$ --- # 13. Exact、Approximate 與 Empirical Lifting 實際研究不可能永遠有 exact equality。 因此需要三種 lifting mode。 ## 13.1 Exact lift $$ \mathcal R_i(Q) = P_i $$ 對所有 local constraints 精確成立。 ## 13.2 Approximate lift 給定 divergence / metric： $$ d, $$ 若： $$ d( \mathcal R_i(Q), P_i ) \le \varepsilon_i, $$ 則稱 $Q$ 是： $$ \boldsymbol{\varepsilon}\text{-lift}. $$ ## 13.3 Empirical lift 若 $P_i$ 本身只是 empirical estimator： $$ \widehat P_i, $$ 則目標不應寫成： $$ \mathcal R_i(Q) = \widehat P_i $$ 具有本體上的絕對真值。 更合理的是： $$ d( \mathcal R_i(Q), \widehat P_i ) \le \varepsilon_i $$ 並同步保留 sampling uncertainty。 因此： $$ \boxed{ \text{probability lifting} \neq \text{pretending estimated probabilities are exact measures}. } $$ --- # 14. Scale Lifting 比 Measure Extension 更複雜 ## 14.1 同事件 extension 最簡單的 extension 問題是： $$ A_L \mapsto \widetilde A_G $$ 仍然代表「同一事件內容」在更大 domain 中的 extension。 這接近標準 measure extension。 ## 14.2 Derived-event lifting 多尺度研究中，更常見的是： $$ A_{\mu} $$ 與： $$ A_M $$ 根本不是同一事件。 例如： $$ A_{\mu} = \text{一個個體是否成功}, $$ 而： $$ A_M = \text{整個制度是否有效}. $$ 兩者之間需要： $$ g: X_{\mu}^n \rightarrow X_M. $$ 所以宏觀概率不是： $$ P_M(A_M) = P_{\mu}(A_{\mu}). $$ 而是： $$ P_M = g_{\#}Q_{\mu}^{(n)}, $$ 其中： $$ Q_{\mu}^{(n)} $$ 是多個 micro states 的 joint distribution。 因此尺度提升真正需要： $$ \boxed{ \text{micro marginals} + \text{dependence structure} + \text{aggregation map} } $$ 才能得到： $$ \boxed{ \text{macro probability}. } $$ --- # 15. 一個尺度反例：相同微觀 marginals，不同宏觀結果 令： $$ X_1,X_2\in\{0,1\} $$ 且： $$ P(X_1=1) = P(X_2=1) = \frac12. $$ 定義宏觀事件： $$ A_M = \{X_1=X_2\}. $$ ### 模型 A：完全同向 $$ P(0,0)=\frac12, $$ $$ P(1,1)=\frac12. $$ 因此： $$ P_M(A_M)=1. $$ ### 模型 B：完全反向 $$ P(0,1)=\frac12, $$ $$ P(1,0)=\frac12. $$ 因此： $$ P_M(A_M)=0. $$ 兩個模型的所有單變量微觀 marginals 完全相同。 但宏觀事件概率從： $$ 0 $$ 到： $$ 1. $$ 所以： $$ \boxed{ \text{micro marginal equality} \not\Rightarrow \text{macro event probability equality}. } $$ 這是一個極簡但非常重要的尺度提升反例。 --- # 16. Aggregation Witness 對尺度提升： $$ \mathfrak D_{\mu} \Uparrow \mathfrak D_M, $$ 本文建議至少提供： $$ \mathcal W_{\mathrm{agg}} = ( \tau, Q_{\mu}^{(n)}, g, \Gamma, P_M ). $$ 其中： - $\tau$：micro-to-macro judgment translation； - $Q_{\mu}^{(n)}$：micro joint model； - $g$：aggregation / statistic / classifier； - $\Gamma$：依賴假設、抽樣條件、時間窗等； - $P_M=g_{\#}Q_{\mu}^{(n)}$。 因此： $$ \boxed{ \text{macro probability} } $$ 不再是 micro probability 的放大版，而是： $$ \boxed{ \text{joint micro structure passed through a macro-forming operator}. } $$ --- # 17. AI 概率場中的 lifting AI 是本框架最直接的實驗場之一。 假設已有： $$ P_{\mathrm{token}}, $$ $$ P_{\mathrm{semantic}}, $$ $$ P_{\mathrm{strategy}}, $$ $$ P_{\mathrm{task}}. $$ 不能假設： $$ P_{\mathrm{strategy}} $$ 只是： $$ P_{\mathrm{token}} $$ 的簡單總和。 更合理的是： $$ Q_{\mathrm{token\ sequence}} $$ 先描述完整序列或生成 trajectory。 再由： $$ g_{\mathrm{sem}} : X_{\mathrm{token}}^{\ast} \rightarrow X_{\mathrm{semantic}} $$ 得到： $$ P_{\mathrm{semantic}} = (g_{\mathrm{sem}})_{\#} Q_{\mathrm{token\ sequence}}. $$ 如果 semantic classifier 本身具有不確定性，則改用 kernel： $$ K_{\mathrm{sem}} : X_{\mathrm{token}}^{\ast} \rightsquigarrow X_{\mathrm{semantic}}. $$ 則： $$ P_{\mathrm{semantic}} = (K_{\mathrm{sem}})_{\star} Q_{\mathrm{token\ sequence}}. $$ strategy 層同理。 因此 AI 多尺度概率場可寫成： $$ Q_0 \xrightarrow{T_{01}} P_1 \xrightarrow{T_{12}} P_2 \xrightarrow{T_{23}} P_3 \cdots $$ 每一個箭頭都應保留 lifting witness。 這直接避免把： $$ \text{token stochasticity} $$ 偷渡成： $$ \text{strategy stochasticity} $$ 或： $$ \text{model-level global stochasticity}. $$ --- # 18. Local–Global Lifting Ledger 為了讓理論真正可工程化，本文提出一個最小 lifting ledger。 每次跨域概率推論至少記錄： ```text source_domain target_domain direction source_probability_object target_probability_object transport_type transport_map_or_kernel compatibility_conditions regularity_conditions selection_rule uniqueness_status approximation_tolerance evidence_or_proof ``` 數學上可表示： $$ \mathcal L = ( \mathfrak D, \mathfrak E, T, \Gamma, S, U, \varepsilon ). $$ 其中： $$ U \in \{ \mathrm{obstructed}, \mathrm{nonunique}, \mathrm{unique}, \mathrm{rule\text{-}selected} \}. $$ 這讓： $$ \boxed{ \text{概率推論本身具有 provenance}. } $$ --- # 19. Lifting 的五級合法性狀態 本文建議暫時使用以下狀態，而不是使用單一 yes/no。 ## L0：Untyped 來源與目標判定域未聲明。 ## L1：Typed but Unchecked 域已聲明，但尚未驗證 compatibility。 ## L2：Compatible 局部 constraints 通過已聲明的一致性條件。 ## L3：Extendable 已證明： $$ \operatorname{Lift}\neq\varnothing. $$ ## L4：Resolved 已進一步取得： - unique lift；或 - 明示 selection rule 後的 selected lift。 因此： $$ \boxed{ L0 \rightarrow L1 \rightarrow L2 \rightarrow L3 \rightarrow L4 } $$ 不是概率值的可信度百分比，而是「提升證書完成程度」。 這一點必須與 Bayesian confidence 或 statistical significance 分開。 --- # 20. Obstruction 也需要分類 若： $$ \operatorname{Lift}=\varnothing, $$ 仍然需要知道為什麼。 至少可以區分： ## 20.1 Type obstruction 判定域本身不可比較。 ## 20.2 Overlap inconsistency 局部模型在共同 overlap 上已經矛盾。 ## 20.3 Marginal obstruction 局部 marginals 無共同 joint distribution。 ## 20.4 Contextuality obstruction 局部 contexts 無 global section / noncontextual realization。 ## 20.5 Regularity obstruction 形式上希望的 extension 需要的 topology / measurability / regularity 條件不成立。 ## 20.6 Model obstruction 全域 lift 只有在某個被拒絕的 independence、causal 或 aggregation assumption 下才能成立。 因此： $$ \boxed{ \text{No global lift} } $$ 本身也不是單一原因。 --- # 21. 與 Kolmogorov Extension 的正確關係 本文的 No-Unwitnessed-Lift Principle 與 Kolmogorov extension theorem 並不衝突。 相反地，Kolmogorov extension theorem 可以被視為一種非常強的： $$ \boxed{ \text{lifting witness schema}. } $$ 其輸入是： $$ \text{consistent finite-dimensional distributions}, $$ 加上適當空間條件。 其輸出是： $$ \text{global probability measure}. $$ 所以在判定域語言中，可以寫成： $$ \{ P_J \}_{J\in\mathcal F(I)} \xRightarrow{ \mathcal W_{\mathrm{Kol}} } P_I. $$ 其中： $$ \mathcal W_{\mathrm{Kol}} $$ 封裝 projective consistency 與 theorem hypotheses。 因此判定域理論不是要阻止 local-to-global。 而是要求： $$ \boxed{ \text{如果可以 local-to-global，就說清楚為什麼可以。} } $$ --- # 22. 與 Marginal Problem 的正確關係 給定： $$ P_{S_1}, \ldots, P_{S_n}, $$ marginal problem 問： $$ \exists Q \quad \text{s.t.} \quad (\pi_i)_{\#}Q=P_{S_i} ? $$ 在本文語言中就是： $$ \operatorname{Lift}_{\mathfrak G} ( \{ P_{S_i} \} ) \stackrel{?}{\neq} \varnothing. $$ 所以 marginal-problem solver 可以直接成為： $$ \boxed{ \text{lifting admissibility checker}. } $$ 這表示 JDPSP 後續如果做工程工具，沒有必要重造 marginal solver，而可以直接掛接既有 polyhedral、optimization、SAT、LP 或 symbolic tools。 --- # 23. 與 Categorical Probability 的正確關係 Markov categories 將 stochastic maps 視為 morphisms，這與本文的： $$ \text{probability transport} $$ 高度相容。 但 JDPSP 多加一層： $$ \tau: \kappa \rightarrow \lambda. $$ 所以未來可能形成： $$ \boxed{ \text{Judgment-indexed Markov structure} } $$ 或某種 fibration / indexed category： $$ \mathbf{Prob} \rightarrow \mathbf K. $$ 其中每個 judgment context： $$ \kappa $$ 上都有一個 probability fiber。 跨 context morphism： $$ \tau $$ 再誘導 stochastic transport。 本文目前只把它列為研究方向，不宣稱已完成 categorical construction。 --- # 24. 新穎性邊界 本文不宣稱首次發現： - marginals 不唯一決定 joint； - local distributions 可能無 global joint； - consistent finite-dimensional distributions 可以延伸； - kernels 可以 transport probabilities； - conditioning 不是可逆操作； - sheaf contextuality 存在 global obstruction； - projective limits 可以建構全域 measures。 這些均屬既有概率、測度、coupling、stochastic-process 或 categorical probability 理論。 本文的新提案位於： $$ \boxed{ \text{把所有跨域概率推論統一成 judgment-domain lifting statements} } $$ 並要求： $$ \boxed{ \text{direction} + \text{domain typing} + \text{transport witness} + \text{existence status} + \text{uniqueness status}. } $$ 這個統一規範才是本文的主要研究貢獻候選。 --- # 25. 後續可證明的定理群 本文 v0.1.0 已完成三個基本命題，但更強版本仍待建立。 ## 25.1 Lifting Composition Theorem 若： $$ (\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W_1} (\mathfrak E,Q) $$ 與： $$ (\mathfrak E,Q) \xRightarrow{\mathcal W_2} (\mathfrak F,R), $$ 何時： $$ \mathcal W_2\circ\mathcal W_1 $$ 仍是合法 lifting witness？ ## 25.2 Scale Path Independence 若存在： $$ \mathfrak D_{\mu} \rightarrow \mathfrak D_m \rightarrow \mathfrak D_M $$ 與直接： $$ \mathfrak D_{\mu} \rightarrow \mathfrak D_M, $$ 何時兩條路得到相同： $$ P_M? $$ 即： $$ T_{\mu M} \stackrel{?}{=} T_{mM}\circ T_{\mu m}. $$ ## 25.3 Lifting Distortion Bound 若每個 approximate lift 有誤差： $$ \varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots, $$ 跨尺度 composition 的總 distortion 如何累積？ ## 25.4 Minimal Witness Problem 對一個 global claim，最小需要多少資訊才能形成可驗證 lifting certificate？ 這些問題將與下一篇多尺度概率幾何直接連接。 --- # 26. 通往 Paper 04：概率尺度空間 Paper 02 建立： $$ \mathfrak D = (X,\Sigma;r,s,c). $$ Paper 03 建立： $$ (\mathfrak D,P) \xRightarrow{\mathcal W} (\mathfrak E,Q). $$ 下一篇將不再只看單一箭頭，而研究整個 domain network： $$ \mathfrak D_{\mu,i} \rightarrow \mathfrak D_{m,j} \rightarrow \mathfrak D_{M,k} \rightarrow \mathfrak D_G. $$ 此時真正需要的是： $$ \boxed{ \text{geometry of judgment domains}. } $$ 包括： - refinement distance； - aggregation distance； - information loss； - lifting distortion； - path dependence； - fibers； - scale topology； - local charts； - global atlas； - recursive probability order。 這將是多尺度概率幾何的正式入口。 --- # 27. 結論 局部概率與全域概率之間的關係不能被壓縮成： $$ \text{可以} / \text{不可以}. $$ 真正的 local-to-global 問題至少包含： $$ \boxed{ \text{typing} + \text{compatibility} + \text{existence} + \text{uniqueness} + \text{selection}. } $$ 經典 extension theorem 顯示，在適當 consistency 與 regularity 條件下，local family 可以合法生成 global probability。 Marginal problem 與 contextuality 則顯示，某些 local family 根本沒有 global realization。 Coupling 與本文 Bernoulli 例子又顯示： $$ \boxed{ \text{global existence} \not\Rightarrow \text{global uniqueness}. } $$ 因此本文將跨域概率推論寫為： $$ \boxed{ (\mathfrak D,P) \xRightarrow{ \mathcal W } (\mathfrak E,Q), } $$ 其中： $$ \mathcal W = (\tau,T,\Gamma,Q). $$ 這個 lifting witness 的目的，是讓每個「從局部到全域」「從微觀到宏觀」「從 token 到策略」「從子群體到母體」的概率提升都留下明確數學來源。 本文最核心的禁則因此不再是： $$ \text{local cannot become global}. $$ 而是： $$ \boxed{ \text{No Unwitnessed Lift}. } $$ 如果能提升，就提供 witness。 如果有多個 lift，就標記 nonunique。 如果需要 selection rule，就公開 selection rule。 如果根本無法提升，就辨識 obstruction。 由此，概率的局部–全域問題從一個語義警告轉化為一個可以逐步形式化、驗證與工程化的提升演算。 --- # 參考文獻 [1] Neo.K. (2026). 《判定域概率論：概率之前的容器、空間與量詞》. JDPSP-02, EveMissLab. [2] Kolmogorov, A. N. (1933). *Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung*. Springer. [3] Abramsky, S., & Brandenburger, A. (2011). The Sheaf-Theoretic Structure of Non-Locality and Contextuality. *New Journal of Physics*, 13, 113036. DOI: 10.1088/1367-2630/13/11/113036. [4] Fritz, T., & Chaves, R. (2013). Entropic Inequalities and Marginal Problems. *IEEE Transactions on Information Theory*, 59(2), 803–817. Preprint: arXiv:1112.4788. [5] Gläßle, T., Chaves, R., & Gross, D. (2018). Computational Tools for Solving a Marginal Problem with Applications in Bell Non-Locality and Causal Modeling. arXiv:1805.03313. [6] Simpson, A. (2017). Probability Sheaves and the Giry Monad. *CALCO 2017*, LIPIcs 72. DOI: 10.4230/LIPIcs.CALCO.2017.1. [7] Fritz, T. (2020). A Synthetic Approach to Markov Kernels, Conditional Independence and Theorems on Sufficient Statistics. *Advances in Mathematics*, 370, 107239. DOI: 10.1016/j.aim.2020.107239. [8] Vákár, M., & Ong, L. (2019). On S-Finite Measures and Kernels. *Electronic Notes in Theoretical Computer Science*, 336, 285–312. Preprint: arXiv:1810.01837. [9] Perrone, P. (2021). Lifting Couplings in Wasserstein Spaces. arXiv:2110.06591. [10] Orbanz, P. (2011). Projective Limit Random Probabilities on Polish Spaces. *Electronic Journal of Statistics*, 5, 1354–1373. Preprint: arXiv:1101.4657. [11] Sampedro, J. C. (2024). On the $L^p$ -Spaces of Projective Limits of Probability Measures. *Journal of Theoretical Probability*, 37, 2665–2703. Preprint: arXiv:2307.12178. [12] Bohinen, M., & Perrone, P. (2025). Categorical Algebra of Conditional Probability. arXiv:2502.14941. [13] Stein, D. (2025). Random Variables, Conditional Independence and Categories of Abstract Sample Spaces. arXiv:2503.02477. [14] Di Lavore, E., Román, M., & Sobociński, P. (2025). Partial Markov Categories. arXiv:2502.03477. [15] Shah Mohammed, A. (2025). Partializations of Markov Categories. arXiv:2509.05094. [16] Williams, T., Doosti, M., & Shahandeh, F. (2026). Sheaf-Theoretic Preparation Contextuality. arXiv:2605.00975. --- # Appendix A. Operator Table | 類型 | 操作 | 方向 | 一般是否丟資訊 | 逆向是否自動存在 | |---|---|---|---|---| | Restriction | $R$ | global $\to$ local | 是 | 否 | | Conditioning | $C$ | global $\to$ local | 是 | 否 | | Marginalization | $\pi_{\#}$ | joint $\to$ marginal | 是 | 否 | | Pushforward | $f_{\#}$ | domain $\to$ domain | 若 $f$ 非單射則通常是 | 否 | | Kernel | $K_{\star}$ | stochastic transport | 通常是 | 否 | | Extension | $E$ | local $\to$ global | 增加／補結構 | 不一定存在或唯一 | | Gluing | $G$ | locals $\to$ joint | 增加關聯結構 | 不一定存在或唯一 | | Aggregation | $g_{\#}Q$ | micro joint $\to$ macro | 通常大量丟資訊 | 否 | # Appendix B. Lifting Status Schema $$ \mathrm{LiftStatus} = \{ L0,L1,L2,L3,L4 \} $$ 其中： - $L0$：Untyped； - $L1$：Typed but Unchecked； - $L2$：Compatible； - $L3$：Extendable； - $L4$：Resolved by uniqueness or explicit selection rule。 此層級不是 probability confidence，也不是 theorem truth percentage。 # Appendix C. Canonical Lifting Record ```text source_domain: target_domain: source_reference_scope: target_reference_scope: source_scale: target_scale: source_context: target_context: direction: down | horizontal | up transport: restriction conditioning marginalization pushforward kernel extension gluing aggregation other formal_map: kernel: aggregation_map: compatibility_conditions: regularity_conditions: selection_rule: lift_status: uniqueness_status: approximation_tolerance: proof_or_external_theorem: empirical_evidence: notes: ```