Collatz Local Affine Atlas：有限奇偶字的精確仿射化

——Finite-Word Affine Closure、Count/Order Decomposition 與字序修正

English Title: Collatz Local Affine Atlas: Exact Affine Linearization of Finite Parity Words

作者： Neo.K
機構： 一言諾科技有限公司（EveMissLab）
系列： Collatz Operation Translation Series — Paper 02
版本： v0.1.1
日期： 2026-08-10
修訂日期： 2026-08-14

摘要

本文建立 Collatz Operation Translation Series 的第一個核心數學層：有限 parity word 的精確仿射封閉性。

採用 modified Collatz map

T(n)= \begin{cases} \dfrac n2,&n\equiv0\pmod2,\\[2mm] \dfrac{3n+1}{2},&n\equiv1\pmod2, \end{cases}

並定義兩個 branch operators

D(x)=\frac x2, \qquad U(x)=\frac{3x+1}{2}.

對任意長度 $k$ 的有限字

w=\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_k, \qquad \sigma_j\in\{D,U\},

令 $u(w)$ 為 $U$ 的總出現次數。本文證明存在唯一非負整數 $b_w$ ，使形式 composition 恆可寫為

\boxed{ F_w(x) = \frac{3^{u(w)}x+b_w}{2^k}. }

若 $U$ 出現在位置

1\le j_1<j_2<\cdots<j_u\le k,

則

\boxed{ b_w = \sum_{t=1}^{u} 2^{j_t-1}3^{u-t}. }

因此 finite Collatz word 的全部仿射資訊可精確分解為

\boxed{ (k,u(w)) + b_w. }

其中 $(k,u)$ 決定主斜率

\lambda_w=\frac{3^u}{2^k},

而 $b_w$ 保存 branch order 所造成的 affine offset。這提供本文最重要的結構性分解：

\boxed{ \text{counts determine the multiplicative skeleton;} }

\boxed{ \text{order determines the affine correction.} }

本文進一步建立遞迴律

b_{wD}=b_w,

\boxed{ b_{wU}=3b_w+2^{|w|}, }

以及字串 composition law。若先執行 $w$ 再執行 $v$ ，則

\boxed{ b_{wv} = 3^{u(v)}b_w + 2^{|w|}b_v. }

因此三元組

\Omega(w)=(|w|,u(w),b_w)

在 concatenation 下具有精確半直積型結構。

同一結構亦可用 upper-triangular matrices 表示：

M_D= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix}, \qquad M_U= \begin{pmatrix} 3&1\\ 0&2 \end{pmatrix},

以及

\boxed{ M_w= \begin{pmatrix} 3^{u(w)}&b_w\\ 0&2^{|w|} \end{pmatrix}. }

字的 composition 因此轉化為矩陣乘法。這一表示清楚揭示：標量主乘數 $3^u$ 與分母 $2^k$ 只依賴 branch counts；非交換的字序資訊則集中在右上角 correction term $b_w$ 。

本文同時嚴格區分兩個層次：

Formal Word Operator：任意 $w\in\{D,U\}^*$ 均定義一個 $\mathbb Q$ 上的仿射算子；
Admissible Collatz Itinerary：只有當輸入 $n$ 的實際 parity decisions 與 $w$ 一致時，才有 $T^k(n)=F_w(n).$

因此 finite-word affine closure 並不等於任意 word 對任意正整數都是合法 Collatz trajectory。這個 domain restriction 將在 Paper 03 被進一步精確化為 parity word 與唯一 residue cylinder modulo $2^k$ 的對應。

本文還證明固定 $(k,u)$ 下， $b_w$ 的極值由字序決定：

\boxed{ 3^u-2^u \le b_w \le 2^{k-u}(3^u-2^u), }

其中最小值由

U^uD^{k-u}

取得，最大值由

D^{k-u}U^u

取得。這使「order correction」不只是一個概念，而具有明確可計算的有限範圍。

本文不聲稱 finite affine closure 本身解決 Collatz 猜想。相反地，本文的結論正是：

\boxed{ \text{finite local arithmetic is exactly compressible;} }

而真正未閉合的問題將轉移到：

\boxed{ \text{which affine chart is admissible at each stage?} }

亦即後續所稱的 global itinerary problem。

關鍵詞： Collatz conjecture、parity word、affine operator、operation translation、correction term、upper-triangular matrix、finite-word closure、local atlas、3n+1

1. 問題設定

傳統 Collatz map 為

\operatorname{Col}(n) = \begin{cases} n/2,&n\text{ even},\\ 3n+1,&n\text{ odd}. \end{cases}

本文採用等價的 modified form：

\boxed{ T(n) = \begin{cases} n/2,&n\equiv0\pmod2,\\[2mm] (3n+1)/2,&n\equiv1\pmod2. \end{cases} }

之所以採此形式，是因為奇數經 $3n+1$ 後必為偶數，因此可把必然出現的一次除以 2 合併進 odd branch。

定義：

D(x)=\frac{x}{2},

U(x)=\frac{3x+1}{2}.

2. Formal Word 與 Admissible Itinerary 必須分開

令：

\Sigma=\{D,U\}.

有限字：

w=\sigma_1\cdots\sigma_k \in\Sigma^k.

本文約定字由左至右執行：

\sigma_1 \to \sigma_2 \to\cdots\to \sigma_k.

因此形式算子：

F_w = \sigma_k\circ\cdots\circ\sigma_2\circ\sigma_1.

這個算子可以對所有：

x\in\mathbb Q

形式計算。

但對真正 Collatz trajectory，

必須有：

\sigma_j = \begin{cases} D,&T^{j-1}(n)\text{ even},\\ U,&T^{j-1}(n)\text{ odd}. \end{cases}

才稱 $w$ 對 $n$ admissible。

3. Admissible Domain

定義：

\boxed{ \Omega_w = \{ n\in\mathbb Z_{>0}: \text{the first }|w| \text{ parity branches of }n \text{ equal }w \}. }

若：

n\in\Omega_w,

則：

\boxed{ T^{|w|}(n)=F_w(n). }

若：

n\notin\Omega_w,

則 $F_w(n)$ 仍是一個合法有理數算式，

但它不代表 $n$ 的實際 Collatz itinerary。

這正是 Operation Translation 中的：

\boxed{ \text{formal transform legality} \neq \text{dynamical-domain legality}. }

4. Finite-Word Affine Closure Theorem

定理 4.1

對任意：

w\in\{D,U\}^k,

令：

u(w) = \#\{j:\sigma_j=U\}.

則存在唯一：

b_w\in\mathbb Z_{\ge0}

使：

\boxed{ F_w(x) = \frac{3^{u(w)}x+b_w}{2^k} }

對所有 $x\in\mathbb Q$ 成立。

5. 歸納證明

對空字：

\varepsilon,

有：

F_\varepsilon(x)=x.

所以：

k=0,\qquad u=0,\qquad b_\varepsilon=0.

假設長度 $k$ 的 $w$ ：

F_w(x) = \frac{3^ux+b_w}{2^k}.

5.1 加上一個 $D$

F_{wD}(x) = D(F_w(x))

= \frac{3^ux+b_w}{2^{k+1}}.

所以：

\boxed{ u(wD)=u(w), }

\boxed{ b_{wD}=b_w. }

5.2 加上一個 $U$

F_{wU}(x) = U(F_w(x))

= \frac{ 3\frac{3^ux+b_w}{2^k}+1 }{2}

= \frac{ 3^{u+1}x+3b_w+2^k }{ 2^{k+1} }.

因此：

\boxed{ u(wU)=u(w)+1, }

\boxed{ b_{wU}=3b_w+2^k. }

歸納完成。

6. Correction Recurrence

所以 $b_w$ 可以被看成一個字上的狀態量：

初始：

b_\varepsilon=0.

讀取符號：

D: \quad b\mapsto b,

\boxed{ U: \quad b\mapsto3b+2^j, }

其中 $j$ 是加入該符號前的字長。

這不是 numerical error。

它是 exact structural correction。

7. Closed Form of the Order Correction

假設：

U

出現在位置：

1\le j_1<j_2<\cdots<j_u\le k.

第 $t$ 個 $U$ 在加入時產生：

2^{j_t-1}.

之後每遇到另一個 $U$ ，

既有 correction 乘以 3。

第 $t$ 個 $U$ 後面共有：

u-t

個 $U$ 。

因此：

\boxed{ b_w = \sum_{t=1}^{u} 2^{j_t-1}3^{u-t}. }

8. 例一： $UD$

先：

U(x)=\frac{3x+1}{2}.

再 $D$ ：

F_{UD}(x) = \frac{3x+1}{4}.

所以：

k=2, \qquad u=1, \qquad b_{UD}=1.

closed form：

j_1=1

給：

b=2^0=1.

9. 例二： $DU$

先：

D(x)=\frac x2.

再 $U$ ：

F_{DU}(x) = \frac{3x+2}{4}.

所以：

b_{DU}=2.

兩個字：

UD

與：

DU

具有相同：

k=2,\qquad u=1,

因此相同主斜率：

\frac34.

但：

\boxed{ b_{UD}\neq b_{DU}. }

所以：

\boxed{ \text{branch counts do not determine the full operator}. }

10. Count/Order Decomposition

本文定義：

Multiplicative Skeleton

\boxed{ S(w) = (k,u(w)). }

它決定：

\boxed{ \lambda_w = \frac{3^{u(w)}}{2^k}. }

Order Correction

\boxed{ C(w)=b_w. }

因此：

\boxed{ F_w(x) = \lambda_wx+\frac{b_w}{2^k}. }

可讀作：

\boxed{ \text{finite dynamics} = \text{order-insensitive multiplicative skeleton} + \text{order-sensitive affine correction}. }

11. 為什麼這不是普通的「線性化」？

因為：

F_w(x)

本身已是 affine。

本文真正做的是：

\boxed{ \text{many branch-dependent steps} \longrightarrow \text{one exact affine operator}. }

原始流程：

x \to\sigma_1(x) \to\sigma_2\sigma_1(x) \to\cdots \to F_w(x).

轉譯後：

\boxed{ x \longmapsto \frac{3^ux+b_w}{2^k}. }

這是 finite temporal composition 的 operator compression。

12. 三元組表示

定義：

\boxed{ \Omega(w) = (k_w,u_w,b_w). }

若先執行：

w

再執行：

v,

則：

F_{wv} = F_v\circ F_w.

設：

F_w(x) = \frac{3^{u_w}x+b_w}{2^{k_w}},

F_v(x) = \frac{3^{u_v}x+b_v}{2^{k_v}}.

代入：

F_v(F_w(x)) = \frac{ 3^{u_v} \left( \frac{3^{u_w}x+b_w}{2^{k_w}} \right) +b_v }{ 2^{k_v} }.

整理：

= \frac{ 3^{u_v+u_w}x + 3^{u_v}b_w + 2^{k_w}b_v }{ 2^{k_v+k_w} }.

因此：

\boxed{ \Omega(wv) = \left( k_w+k_v,\, u_w+u_v,\, 3^{u_v}b_w+2^{k_w}b_v \right). }

13. 半直積型結構

前兩個分量：

k_w+k_v,

u_w+u_v

只做 ordinary addition。

第三分量：

3^{u_v}b_w+2^{k_w}b_v

則受前兩個分量作用。

因此可以把這個結構視作一種：

\boxed{ \text{additive count monoid acting on an affine correction coordinate}. }

這是 finite parity words 的 operation-translation algebra。

14. Concatenation Order Defect

交換 $w,v$ 的執行次序。

有：

b_{wv} = 3^{u_v}b_w+2^{k_w}b_v,

而：

b_{vw} = 3^{u_w}b_v+2^{k_v}b_w.

所以：

\boxed{ b_{wv}-b_{vw} = b_w(3^{u_v}-2^{k_v}) - b_v(3^{u_w}-2^{k_w}). }

這是精確的 word-order defect。

注意：

k_w+k_v

與：

u_w+u_v

完全不變。

因此在標量 Collatz finite-word algebra 中：

\boxed{ \text{noncommutativity is confined to the affine correction coordinate}. }

這個現象將在 Paper 08 與矩陣／非交換 algebra 對比；在真正 noncommutative multiplier 中，order dependence 會進入 leading linear part，而不再只停在 correction。

15. Upper-Triangular Matrix Representation

對映：

F(x)=\frac{Ax+B}{D}

到：

M(F) = \begin{pmatrix} A&B\\ 0&D \end{pmatrix}.

其 action 為：

x \mapsto \frac{Ax+B}{D}.

對 Collatz branches：

\boxed{ M_D = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix}, }

\boxed{ M_U = \begin{pmatrix} 3&1\\ 0&2 \end{pmatrix}. }

16. Word Matrix

若：

w=\sigma_1\cdots\sigma_k,

則：

M_w = M_{\sigma_k}\cdots M_{\sigma_1}.

由 affine closure：

\boxed{ M_w = \begin{pmatrix} 3^{u(w)}&b_w\\ 0&2^k \end{pmatrix}. }

因此：

\boxed{ \text{word concatenation} \longrightarrow \text{matrix multiplication}. }

17. Matrix Representation 的意義

這個表示把三種資訊分開：

左上：

3^u

表示 odd-branch multiplicative accumulation。

右下：

2^k

表示總 binary division depth。

右上：

b_w

表示所有 $+1$ injection 經後續 branch scaling 後留下的累積 correction。

因此：

\boxed{ M_w = \begin{pmatrix} \text{odd multiplier}&\text{order correction}\\ 0&\text{division scale} \end{pmatrix}. }

18. Correction 的物理式理解不是必要的

可以直觀說：

每次 $U$ 注入一個：

+1

項。

但不同時間注入的 $+1$ ，

會被後續：

3

multipliers 放大不同次數。

這正是：

2^{j_t-1}3^{u-t}.

出現的原因。

然而本文只把它當作精確代數結果，

不賦予額外物理本體論。

19. Fixed $(k,u)$ 的 Correction Range

對固定：

k,\qquad u,

不同字只改變：

j_1,\ldots,j_u.

由：

b_w = \sum_t2^{j_t-1}3^{u-t},

可以研究 order correction 的極值。

20. Adjacent Swap Lemma

考慮 word 中相鄰：

UD

與：

DU.

在相同 prefix state $x$ 下：

UD(x) = \frac{3x+1}{4},

DU(x) = \frac{3x+2}{4}.

所以：

\boxed{ DU(x)-UD(x)=\frac14. }

若後面再接任意相同 suffix，

其差仍乘上一個正係數。

因此把某個 $U$ 向右越過一個 $D$ ，

會嚴格增大最終 correction $b_w$ 。

21. Order Extremal Theorem

因此對固定：

(k,u),

最小 correction 由所有 $U$ 放最左：

\boxed{ w_{\min} = U^uD^{k-u}. }

最大 correction由所有 $U$ 放最右：

\boxed{ w_{\max} = D^{k-u}U^u. }

22. 最小 correction

對：

U^uD^{k-u},

$U$ 位置：

j_t=t.

所以：

b_{\min} = \sum_{t=1}^u 2^{t-1}3^{u-t}.

利用有限幾何和：

\boxed{ b_{\min} = 3^u-2^u. }

23. 最大 correction

對：

D^{k-u}U^u,

位置：

j_t=k-u+t.

所以：

b_{\max} = \sum_{t=1}^u 2^{k-u+t-1}3^{u-t}.

抽出：

2^{k-u},

得到：

\boxed{ b_{\max} = 2^{k-u}(3^u-2^u). }

因此：

\boxed{ 3^u-2^u \le b_w \le 2^{k-u}(3^u-2^u). }

24. 邊界案例

若：

u=0,

則：

w=D^k,

b_w=0.

上式亦給：

3^0-2^0=0.

若：

u=k,

則只有：

w=U^k,

上下界相同：

b_w=3^k-2^k.

例如：

U^3:

b=27-8=19.

因此：

F_{UUU}(x) = \frac{27x+19}{8}.

25. Order Correction Width

固定 $(k,u)$ 的 correction range 寬度：

W_{k,u} = b_{\max}-b_{\min}.

所以：

\boxed{ W_{k,u} = (2^{k-u}-1)(3^u-2^u). }

這提供一個有限字次序敏感性的 exact measure。

當：

k=u

時：

W_{k,u}=0

因為只有一種排列。

當同時存在 $D,U$ ，

通常：

W_{k,u}>0.

26. Logarithmic Form

若：

x>0,

且：

F_w(x)>0,

則：

\log F_w(x) = \log x + u\log3 - k\log2 + \log\left( 1+\frac{b_w}{3^ux} \right).

所以：

\boxed{ \Delta_w L = u\log3-k\log2 + C_w(x), }

其中：

\boxed{ C_w(x) = \log\left( 1+\frac{b_w}{3^ux} \right). }

27. Additive Core 與 Correction

因此 Series A 的 corrected linearization：

T\mu=\nu T+C

在 finite Collatz word 中出現一個非常標準的實例。

additive core：

\boxed{ u\log3-k\log2. }

order-sensitive correction：

\boxed{ C_w(x). }

且：

C_w(x)\to0

當：

x\to\infty.

所以對固定 word：

\boxed{ \text{asymptotic drift is count-controlled}. }

這一結論將在 Paper 05 被用來建立 contraction boundary。

28. 但 Log 不是證明 certificate 的必要形式

因為 affine identity 已經 exact：

F_w(n) = \frac{3^un+b_w}{2^k}.

所以 descent 可以直接判斷：

3^un+b_w<2^kn.

因此後續 finite verification 應優先使用 exact integer inequality。

log-space 適合：

interpretation；
ordering；
asymptotic classification；
heuristic search。

但 exact certificate 不必依賴 floating logarithm。

29. 與既有 parity-vector 研究的關係

Collatz parity sequence / parity vector 與 $2$ -adic 整數之間的一一對應是既有研究的重要部分。

因此本文不主張：

parity vector 是新發現；
finite itinerary 可被代數表達是完全未知；
$2$ -adic coding 由本文首次提出。

本文的作用是把 finite-word dynamics 按 Operation Translation 的語言重新整理為：

\boxed{ \text{formal word} \to \text{affine operator} \to \text{multiplicative skeleton} + \text{order correction}. }

並明確準備後續 local atlas。

30. 為什麼 Paper 02 還不能直接談 residue bijection？

我們已經知道要使：

F_w(n)

代表真正的：

T^k(n),

必須：

n\in\Omega_w.

但本文尚未證明：

\Omega_w

究竟長什麼樣子。

Paper 03 將證明：

\boxed{ \Omega_w = (r_w+2^k\mathbb Z)\cap\mathbb Z_{>0} }

其中 $r_w$ 取模 $2^k$ 的 canonical representative $0\le r_w<2^k$ ，

且：

\boxed{ r_w \equiv -b_w3^{-u} \pmod{2^k}. }

這才會把 formal affine operator 升級成 Local Affine Atlas。

31. 本文不證明什麼？

本文沒有證明：

\forall n,\quad T^j(n)=1

對某個 $j$ 。

沒有證明所有 infinite parity sequences 最終包含 descending prefix。

沒有證明所有 finite words 都是對所有 $n$ admissible。

沒有從：

u/k

的平均值推出 universal convergence。

本文只證明：

\boxed{ \text{fixed finite word} \Rightarrow \text{exact finite affine operator}. }

32. 核心定理總結

Theorem A — Finite-Word Affine Closure

\boxed{ F_w(x) = \frac{3^{u(w)}x+b_w}{2^{|w|}}. }

Theorem B — Correction Recurrence

\boxed{ b_{wD}=b_w, \qquad b_{wU}=3b_w+2^{|w|}. }

Theorem C — Closed Form

\boxed{ b_w = \sum_{t=1}^{u} 2^{j_t-1}3^{u-t}. }

Theorem D — Concatenation

\boxed{ b_{wv} = 3^{u(v)}b_w+2^{|w|}b_v. }

Theorem E — Matrix Representation

\boxed{ M_w = \begin{pmatrix} 3^{u(w)}&b_w\\ 0&2^{|w|} \end{pmatrix}. }

Theorem F — Order Extremes

\boxed{ 3^u-2^u \le b_w \le 2^{k-u}(3^u-2^u). }

33. 新研究圖像

到這裡，一段長度 $k$ 的 Collatz dynamics 已不必看成：

k

個 if/else operations。

可以壓縮成：

\boxed{ (k,u,b_w). }

或者：

\boxed{ \begin{pmatrix} 3^u&b_w\\ 0&2^k \end{pmatrix}. }

因此：

\boxed{ \text{temporal branch sequence} \longrightarrow \text{finite algebraic operator}. }

這就是 Collatz Local Affine Atlas 的 algebraic kernel。

34. 與 Series A 的銜接

Series A Paper 01：

T(\mu(x,y)) = \nu(Tx,Ty)+C_T(x,y).

Series A Paper 03：

\text{Linear Core}+\text{Correction}.

Series A Paper 05：

\text{Local Chart / Atlas}.

本篇把三者移植到 Collatz：

\boxed{ \text{finite itinerary} \to \text{affine core} + \text{word-order correction}. }

下一篇再把：

\Omega_w

精確識別成 residue cylinder。

35. 結論

考拉茲猜想的單步規則極為簡單，

但任意有限字的 branch composition 並不需要逐步保存。

它具有 exact affine closure：

\boxed{ F_w(x) = \frac{3^ux+b_w}{2^k}. }

其中：

\boxed{ (k,u) }

保存 branch-count skeleton，

而：

\boxed{ b_w }

保存 branch order。

因此：

\boxed{ \text{counts determine slope;} }

\boxed{ \text{order determines offset.} }

這是本文最核心的結構性結論。

它同時說明一件更大的事：

Collatz 的有限局部算術其實可以被完整壓縮成低維 algebraic state。

真正困難不必再被描述為：

每一步 $3n+1$ 、除以 2 太亂。

更精確的描述是：

對固定有限 itinerary，算術完全可壓縮；未解問題在於每個起點究竟沿著哪些 itinerary 無限延伸，以及這些局部算子如何全域拼接。

Paper 03 將把這個結論再推一步：

\boxed{ \text{parity word} \longleftrightarrow \text{unique residue cylinder modulo }2^k, }

並證明適當 source / destination charts 下：

\boxed{ \psi_w\circ T^k\circ\phi_w^{-1} = \operatorname{id}. }

也就是 Collatz 局部 identity 化。

參考文獻

Olivier Rozier, Parity sequences of the 3x+1 map on the 2-adic integers and Euclidean embedding, arXiv:1805.00133.
Olivier Rozier, Claude Terracol, Paradoxical behavior in Collatz sequences, arXiv:2502.00948.
Tong Niu, Parity vectors and paradoxical sequences in the accelerated Collatz map, arXiv:2605.13886.
Terence Tao, Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values, Forum of Mathematics, Pi 10 (2022), arXiv:1909.03562.
David Applegate, Jeffrey C. Lagarias, The 3x+1 Semigroup, Journal of Number Theory 117 (2006), arXiv:math/0411140.
Tristan Stérin, Damien Woods, The Collatz process embeds a base conversion algorithm, arXiv:2007.06979.
Collatz Operation Translation Series — Paper 01, 考拉茲猜想既有研究的重新分類與校正.

Paper 03 —《Parity Word、Residue Cylinder 與局部 Identity 化》

核心任務：

證明每個 finite parity word 對應唯一 residue $r_w\bmod2^k$ ；
證明 $r_w\equiv-b_w3^{-u}\pmod{2^k};$
建立 exact cylinder map： $T^k(r_w+2^ka)=m_w+3^ua;$
定義 source / destination charts；
證明： $\psi_wT^k\phi_w^{-1}=\operatorname{id};$
正式建立 Collatz Local Affine Atlas。

Collatz Local Affine Atlas：有限奇偶字的精確仿射化

Collatz Local Affine Atlas：有限奇偶字的精確仿射化

——Finite-Word Affine Closure、Count/Order Decomposition 與字序修正

摘要

1. 問題設定

2. Formal Word 與 Admissible Itinerary 必須分開

3. Admissible Domain

4. Finite-Word Affine Closure Theorem

定理 4.1

5. 歸納證明

5.1 加上一個 DDD

5.2 加上一個 UUU

6. Correction Recurrence

7. Closed Form of the Order Correction

8. 例一： UDUDUD

9. 例二： DUDUDU

10. Count/Order Decomposition

Multiplicative Skeleton

Order Correction

11. 為什麼這不是普通的「線性化」？

12. 三元組表示

13. 半直積型結構

14. Concatenation Order Defect

15. Upper-Triangular Matrix Representation

16. Word Matrix

17. Matrix Representation 的意義

18. Correction 的物理式理解不是必要的

19. Fixed (k,u)(k,u)(k,u) 的 Correction Range

20. Adjacent Swap Lemma

21. Order Extremal Theorem

22. 最小 correction

23. 最大 correction

24. 邊界案例

25. Order Correction Width

26. Logarithmic Form

27. Additive Core 與 Correction

28. 但 Log 不是證明 certificate 的必要形式

29. 與既有 parity-vector 研究的關係

30. 為什麼 Paper 02 還不能直接談 residue bijection？

31. 本文不證明什麼？

32. 核心定理總結

Theorem A — Finite-Word Affine Closure

Theorem B — Correction Recurrence

Theorem C — Closed Form

Theorem D — Concatenation

Theorem E — Matrix Representation

Theorem F — Order Extremes

33. 新研究圖像

34. 與 Series A 的銜接

35. 結論

參考文獻

下一篇

5.1 加上一個 $D$

5.2 加上一個 $U$

8. 例一： $UD$

9. 例二： $DU$

19. Fixed $(k,u)$ 的 Correction Range