幾何比例極限法的非公理化重建

——乘法失真極小化與對數度量中心定理

英文題名： A Non-Axiomatic Reconstruction of the Geometric Proportional Limit Method: Multiplicative Minimax Distortion and Log-Metric Center Theorems
文件編號： EML-GPLM-RIGOR-2026-v1.0
作者： Neo.K（許筌崴）with Aletheia（GPT-5.6 Thinking）
日期： 2026 年 7 月 26 日
文件性質： 純數學重建／極小極大優化／形式化與計算驗證
取代版本： 2025 年《幾何比例極限法：從萬能容器到跨領域優化的統一理論框架》

摘要

本文對幾何比例極限法（Geometric Proportional Limit Method, GPLM）進行非公理化重建。舊版將「兩端極限之間取幾何平均」描述為廣泛的自然平衡原理，並直接套用於萬能容器、模型壓縮、機器人夾具與多種工程問題。這種表述缺少一個必要環節：幾何平均究竟最小化哪一個明確目標函數？

本文從正實數的序、乘法與平方根出發，定義乘法失真：

D_\times(x,y) = \max\left\{ \frac xy,\frac yx \right\}, \qquad x,y>0.

對未知目標 $y\in[a,b]$ ，定義最壞失真：

W(x;[a,b]) = \sup_{y\in[a,b]}D_\times(x,y).

本文逐步證明：

W(x;[a,b]) = \max\left\{ \frac xa,\frac bx \right\},

並證明唯一極小值點為：

x^\ast=\sqrt{ab},

最小最壞失真為：

W(x^\ast;[a,b]) = \sqrt{\frac ba}.

此結果等價於：在對數度量

d_\times(x,y)=|\log x-\log y|

下， $x^\ast$ 是區間 $[a,b]$ 的唯一 Chebyshev 中心。本文再推導非對稱權重版本、多維正盒版本、尺度不變性與應用契約，並明確說明幾何平均何時不是最優解。

本重建不使用「比例平衡公理」，也不主張所有優化問題都自然收斂到幾何平均。GPLM 的嚴格內容是：當不確定性與損失具有乘法尺度、端點對稱及最壞情況結構時，幾何平均由極小極大問題唯一導出。

關鍵詞： 幾何比例極限法、幾何平均、極小極大、乘法失真、對數度量、Chebyshev 中心、穩健優化

1. 重建問題

給定兩個正尺度：

0<a\le b,

我們希望選擇一個代表尺度 $x>0$ 。

若使用加法誤差：

|x-y|,

則區間中心是算術平均：

\frac{a+b}{2}.

若使用相對誤差、倍數誤差或跨數量級的對稱失真，則自然尺度不是加法，而是乘法。

本理論的問題因此明確定義為：

\boxed{ \min_{x>0} \sup_{y\in[a,b]} \max\left\{ \frac xy,\frac yx \right\}. }

只有在這個問題中，幾何平均才是待證的最優解。

2. 基礎定義

定義 2.1：乘法失真

對 $x,y>0$ ：

D_\times(x,y) = \max\left\{ \frac xy,\frac yx \right\}.

它滿足：

D_\times(x,y)\ge1,

且：

D_\times(x,y)=1 \iff x=y.

此外：

D_\times(x,y)=D_\times(y,x).

定義 2.2：對數距離

d_\times(x,y) = |\log x-\log y|.

因為：

\log D_\times(x,y) = |\log x-\log y|,

所以：

D_\times(x,y) = \exp(d_\times(x,y)).

因此，最小化乘法失真與最小化對數距離完全等價。

定義 2.3：區間最壞失真

W(x;[a,b]) = \sup_{y\in[a,b]}D_\times(x,y).

3. 端點化定理

定理 3.1

對任意 $x>0$ 與 $0<a\le b$ ：

W(x;[a,b]) = \max\left\{ \frac xa,\frac bx \right\}.

證明

對固定 $x$ ：

\frac xy

隨 $y$ 增加而下降，因此在 $[a,b]$ 上最大值為：

\frac xa.

另一方面：

\frac yx

隨 $y$ 增加而上升，因此最大值為：

\frac bx.

故：

\sup_{y\in[a,b]} \max\left\{ \frac xy,\frac yx \right\} = \max\left\{ \sup_{y\in[a,b]}\frac xy, \sup_{y\in[a,b]}\frac yx \right\},

即：

W(x;[a,b]) = \max\left\{ \frac xa,\frac bx \right\}. \qquad\square

4. 幾何比例中心定理

定理 4.1：GPLM 核心定理

對：

0<a\le b,

函數：

W(x) = \max\left\{ \frac xa,\frac bx \right\}, \qquad x>0

具有唯一極小值點：

\boxed{ x^\ast=\sqrt{ab}. }

最小值為：

\boxed{ W(x^\ast)=\sqrt{\frac ba}. }

證明

令：

u=\frac xa, \qquad v=\frac bx.

因 $a,b,x>0$ ，故 $u,v>0$ ，且：

uv = \frac xa\frac bx = \frac ba.

對任意正數 $u,v$ ：

\max(u,v)^2\ge uv.

因而：

W(x)^2 = \max(u,v)^2 \ge uv = \frac ba.

取正平方根：

W(x) \ge \sqrt{\frac ba}.

等號成立當且僅當：

u=v.

即：

\frac xa=\frac bx.

乘以正數 $ax$ ：

x^2=ab.

因 $x>0$ ，唯一解為：

x=\sqrt{ab}.

將其代回：

\frac{x^\ast}{a} = \frac{\sqrt{ab}}a = \sqrt{\frac ba},

且：

\frac b{x^\ast} = \frac b{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac ba}.

故最小值確為：

\sqrt{\frac ba}. \qquad\square

5. 對數中點的等價推導

令：

A=\log a, \qquad B=\log b, \qquad X=\log x.

則：

\log W(x) = \max\{X-A,B-X\}.

所以原問題等價於：

\min_{X\in\mathbb R} \max\{X-A,B-X\}.

定理 5.1：實數區間的極小極大中心

若 $A\le B$ ，則：

\arg\min_X \max\{X-A,B-X\} = \frac{A+B}{2}.

證明

兩項之和為常數：

(X-A)+(B-X)=B-A.

因此兩項中至少有一項不小於其平均：

\max\{X-A,B-X\} \ge \frac{B-A}{2}.

等號成立當且僅當兩項相等：

X-A=B-X,

故：

X=\frac{A+B}{2}. \qquad\square

指數化得到：

x^\ast = \exp\left(\frac{\log a+\log b}{2}\right) = \sqrt{ab}.

這表明 GPLM 的幾何平均，本質上是對數空間中的普通中點。

6. 尺度不變性

定理 6.1

對任意 $\lambda>0$ ：

x^\ast(\lambda a,\lambda b) = \lambda x^\ast(a,b).

證明

x^\ast(\lambda a,\lambda b) = \sqrt{(\lambda a)(\lambda b)} = \lambda\sqrt{ab}. \qquad\square

同時：

W(\lambda x;[\lambda a,\lambda b]) = W(x;[a,b]).

因此乘法失真與測量單位無關。

7. 非對稱成本的加權定理

對數空間中，若低估與高估具有不同允許尺度，令 $p,q>0$ ，定義：

F(X) = \max\left\{ \frac{X-A}{p}, \frac{B-X}{q} \right\}.

定理 7.1

唯一最優點為：

X^\ast = \frac{qA+pB}{p+q}.

因此：

\boxed{ x^\ast = a^{q/(p+q)} b^{p/(p+q)}. }

證明

在最優點，兩個單調方向的最壞成本必須相等；否則可向較大成本的反方向移動並降低最大值。令：

\frac{X-A}{p} = \frac{B-X}{q}.

交叉相乘：

q(X-A)=p(B-X).

故：

(p+q)X=pB+qA,

得到：

X^\ast = \frac{qA+pB}{p+q}. \qquad\square

當 $p=q$ 時恢復普通幾何平均。

8. 多維正盒定理

令：

\mathcal B = \prod_{i=1}^n[a_i,b_i], \qquad 0<a_i\le b_i.

在對數 $L^\infty$ 距離下：

d_{\infty,\times}(x,y) = \max_i|\log x_i-\log y_i|.

定理 8.1

$\mathcal B$ 的唯一 Chebyshev 中心為：

\boxed{ x_i^\ast=\sqrt{a_i b_i}, \qquad i=1,\ldots,n. }

證明

取對數後， $\mathcal B$ 變成普通長方體：

\prod_i[\log a_i,\log b_i].

在 $L^\infty$ 距離下，各座標最壞距離可分離。每一座標的唯一極小極大中心為區間中點：

\frac{\log a_i+\log b_i}{2}.

再指數化即得結論。 $\square$

9. GPLM 的適用契約

要把 GPLM 套用到一個新領域，必須依序證明：

條件一：正尺度

研究量必須位於：

(0,\infty).

若允許 $0$ 、負數或符號切換，對數尺度與比例失真可能失效。

條件二：不確定集合可由乘法區間描述

必須證明：

y\in[a,b]

確實捕捉了研究對象的必要不確定性。

條件三：損失為乘法對稱或明確加權

必須使用：

D_\times(x,y)

或已證明等價的損失。不能只因兩端量存在，就自動取幾何平均。

條件四：端點決定最壞情況

必須證明中間狀態不會產生更高損失。

條件五：決策變數確實是單一尺度

若系統還有方向、拓樸、離散結構、非凸約束或多個耦合變數，單一幾何平均不能自動解決完整問題。

10. 幾何平均何時不是最優解

10.1 加法最壞誤差

若目標為：

\min_x\max\{|x-a|,|b-x|\},

最優解是：

x^\ast=\frac{a+b}{2}.

10.2 平方誤差

若目標為：

\min_x\mathbb E[(x-Y)^2],

最優解為：

x^\ast=\mathbb E[Y].

10.3 絕對誤差

若目標為：

\min_x\mathbb E[|x-Y|],

最優解為中位數。

10.4 不對稱故障成本

若低估會造成災難，而高估只增加少量成本，最優解通常向上界偏移，不能使用無權幾何平均。

因此：

\boxed{ \text{幾何平均是目標函數的結果，不是超越目標函數的自然律。} }

11. 與萬能容器舊推導的分離

舊文取：

R^\ast = \sqrt{R_{\min}R_{\max}}.

此公式嚴格解決的是：

\min_{R>0} \max\left\{ \frac{R}{R_{\min}}, \frac{R_{\max}}R \right\}.

它不自動解決：

\min_K A(K)

的 Moser 蟲問題，也不自動保證半徑 $R^\ast$ 能容納所有曲線。

尤其當理想零厚度模型給出：

R_{\min}=0

時，GPLM 的正尺度前提失效：

$\log R_{\min}$ 不存在；
$R/R_{\min}$ 無定義；
幾何平均退化為零；
零半徑不可能容納直線段。

因此，零端點必須改用其他模型，不能以極限口語化掩蓋定義域失效。

12. 計算複雜度的修正

若 $a,b$ 已經給定，計算：

\sqrt{ab}

在實數 RAM 抽象模型中可視為固定數量的基本運算。

但在位元複雜度模型中，計算到 $p$ 位精度仍有與 $p$ 有關的成本。更重要的是，若 $a,b$ 是其他優化問題的輸出，總成本為：

T_{\mathrm{total}} = T_a+T_b+T_{\sqrt{\cdot}}.

因此，GPLM 只能宣稱「中心公式為閉式」，不能一律宣稱整個應用問題從 $O(n^2)$ 降為 $O(1)$ 。

13. 形式化接口

本封裝的 GPLMCore.lean 形式化下列底層命題：

實數線上：

\max(X-A,B-X) \ge \frac{B-A}{2}.

等號唯一性：

\max(X-A,B-X) = \frac{B-A}{2} \iff X=\frac{A+B}{2}.

正實數幾何中心的平方關係與兩端比例平衡。

形式化採取「先證對數空間中點，再投影回正實數」的路徑，避免把幾何平均當作原始公理。

14. 精確計算驗證

verification/verify_rebuild.py 對多組有理數 $a,b,x$ 使用精確分數驗證：

\max\left\{ \frac xa,\frac bx \right\}^2 \ge \frac ba.

若：

a=p^2, \qquad b=q^2, \qquad x=pq,

則驗證器精確得到：

\frac xa=\frac bx,

以及零證書缺口：

W(x)^2-\frac ba=0.

計算只驗證有限實例；一般定理由前述解析證明與形式化規格承擔。

15. 結論

非公理化重建後，GPLM 的核心不再是：

自然界總會在兩端之間選擇幾何平均。

而是：

\boxed{ \text{在乘法尺度、端點最壞情況與對稱倍數損失下， 幾何平均是唯一極小極大中心。} }

這個版本的適用範圍比舊版窄，但證明強度更高：

不依賴自訂公理；
不依賴工程修辭；
不需要經驗數據才能成立；
可以形式化；
可以用精確算術重放；
具有明確失效條件。

因此，GPLM 不再是一條無條件的跨領域萬用公式，而是一個可被嚴格辨認、合法套用與反駁的乘法穩健優化定理族。

01_幾何比例極限法的非公理化重建_v1.0

幾何比例極限法的非公理化重建

——乘法失真極小化與對數度量中心定理

摘要

1. 重建問題

2. 基礎定義

定義 2.1：乘法失真

定義 2.2：對數距離

定義 2.3：區間最壞失真

3. 端點化定理

定理 3.1

證明

4. 幾何比例中心定理

定理 4.1：GPLM 核心定理

證明

5. 對數中點的等價推導

定理 5.1：實數區間的極小極大中心

證明

6. 尺度不變性

定理 6.1

證明

7. 非對稱成本的加權定理

定理 7.1

證明

8. 多維正盒定理

定理 8.1

證明

9. GPLM 的適用契約

條件一：正尺度

條件二：不確定集合可由乘法區間描述

條件三：損失為乘法對稱或明確加權

條件四：端點決定最壞情況

條件五：決策變數確實是單一尺度

10. 幾何平均何時不是最優解

10.1 加法最壞誤差

10.2 平方誤差

10.3 絕對誤差

10.4 不對稱故障成本

11. 與萬能容器舊推導的分離

12. 計算複雜度的修正

13. 形式化接口

14. 精確計算驗證

15. 結論