# 幾何比例極限法的非公理化重建

## ——乘法失真極小化與對數度量中心定理

**英文題名：** A Non-Axiomatic Reconstruction of the Geometric Proportional Limit Method: Multiplicative Minimax Distortion and Log-Metric Center Theorems  
**文件編號：** EML-GPLM-RIGOR-2026-v1.0  
**作者：** Neo.K（許筌崴）with Aletheia（GPT-5.6 Thinking）  
**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**文件性質：** 純數學重建／極小極大優化／形式化與計算驗證  
**取代版本：** 2025 年《幾何比例極限法：從萬能容器到跨領域優化的統一理論框架》

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## 摘要

本文對幾何比例極限法（Geometric Proportional Limit Method, GPLM）進行非公理化重建。舊版將「兩端極限之間取幾何平均」描述為廣泛的自然平衡原理，並直接套用於萬能容器、模型壓縮、機器人夾具與多種工程問題。這種表述缺少一個必要環節：幾何平均究竟最小化哪一個明確目標函數？

本文從正實數的序、乘法與平方根出發，定義乘法失真：

$$
D_\times(x,y)
=
\max\left\{
\frac xy,\frac yx
\right\},
\qquad x,y>0.
$$

對未知目標 $y\in[a,b]$ ，定義最壞失真：

$$
W(x;[a,b])
=
\sup_{y\in[a,b]}D_\times(x,y).
$$

本文逐步證明：

$$
W(x;[a,b])
=
\max\left\{
\frac xa,\frac bx
\right\},
$$

並證明唯一極小值點為：

$$
x^\ast=\sqrt{ab},
$$

最小最壞失真為：

$$
W(x^\ast;[a,b])
=
\sqrt{\frac ba}.
$$

此結果等價於：在對數度量

$$
d_\times(x,y)=|\log x-\log y|
$$

下， $x^\ast$ 是區間 $[a,b]$ 的唯一 Chebyshev 中心。本文再推導非對稱權重版本、多維正盒版本、尺度不變性與應用契約，並明確說明幾何平均何時不是最優解。

本重建不使用「比例平衡公理」，也不主張所有優化問題都自然收斂到幾何平均。GPLM 的嚴格內容是：**當不確定性與損失具有乘法尺度、端點對稱及最壞情況結構時，幾何平均由極小極大問題唯一導出。**

**關鍵詞：** 幾何比例極限法、幾何平均、極小極大、乘法失真、對數度量、Chebyshev 中心、穩健優化

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# 1. 重建問題

給定兩個正尺度：

$$
0<a\le b,
$$

我們希望選擇一個代表尺度 $x>0$ 。

若使用加法誤差：

$$
|x-y|,
$$

則區間中心是算術平均：

$$
\frac{a+b}{2}.
$$

若使用相對誤差、倍數誤差或跨數量級的對稱失真，則自然尺度不是加法，而是乘法。

本理論的問題因此明確定義為：

$$
\boxed{
\min_{x>0}
\sup_{y\in[a,b]}
\max\left\{
\frac xy,\frac yx
\right\}.
}
$$

只有在這個問題中，幾何平均才是待證的最優解。

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# 2. 基礎定義

## 定義 2.1：乘法失真

對 $x,y>0$ ：

$$
D_\times(x,y)
=
\max\left\{
\frac xy,\frac yx
\right\}.
$$

它滿足：

$$
D_\times(x,y)\ge1,
$$

且：

$$
D_\times(x,y)=1
\iff
x=y.
$$

此外：

$$
D_\times(x,y)=D_\times(y,x).
$$

## 定義 2.2：對數距離

$$
d_\times(x,y)
=
|\log x-\log y|.
$$

因為：

$$
\log D_\times(x,y)
=
|\log x-\log y|,
$$

所以：

$$
D_\times(x,y)
=
\exp(d_\times(x,y)).
$$

因此，最小化乘法失真與最小化對數距離完全等價。

## 定義 2.3：區間最壞失真

$$
W(x;[a,b])
=
\sup_{y\in[a,b]}D_\times(x,y).
$$

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# 3. 端點化定理

## 定理 3.1

對任意 $x>0$ 與 $0<a\le b$ ：

$$
W(x;[a,b])
=
\max\left\{
\frac xa,\frac bx
\right\}.
$$

## 證明

對固定 $x$ ：

$$
\frac xy
$$

隨 $y$ 增加而下降，因此在 $[a,b]$ 上最大值為：

$$
\frac xa.
$$

另一方面：

$$
\frac yx
$$

隨 $y$ 增加而上升，因此最大值為：

$$
\frac bx.
$$

故：

$$
\sup_{y\in[a,b]}
\max\left\{
\frac xy,\frac yx
\right\}
=
\max\left\{
\sup_{y\in[a,b]}\frac xy,
\sup_{y\in[a,b]}\frac yx
\right\},
$$

即：

$$
W(x;[a,b])
=
\max\left\{
\frac xa,\frac bx
\right\}.
\qquad\square
$$

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# 4. 幾何比例中心定理

## 定理 4.1：GPLM 核心定理

對：

$$
0<a\le b,
$$

函數：

$$
W(x)
=
\max\left\{
\frac xa,\frac bx
\right\},
\qquad x>0
$$

具有唯一極小值點：

$$
\boxed{
x^\ast=\sqrt{ab}.
}
$$

最小值為：

$$
\boxed{
W(x^\ast)=\sqrt{\frac ba}.
}
$$

## 證明

令：

$$
u=\frac xa,
\qquad
v=\frac bx.
$$

因 $a,b,x>0$ ，故 $u,v>0$ ，且：

$$
uv
=
\frac xa\frac bx
=
\frac ba.
$$

對任意正數 $u,v$ ：

$$
\max(u,v)^2\ge uv.
$$

因而：

$$
W(x)^2
=
\max(u,v)^2
\ge
uv
=
\frac ba.
$$

取正平方根：

$$
W(x)
\ge
\sqrt{\frac ba}.
$$

等號成立當且僅當：

$$
u=v.
$$

即：

$$
\frac xa=\frac bx.
$$

乘以正數 $ax$ ：

$$
x^2=ab.
$$

因 $x>0$ ，唯一解為：

$$
x=\sqrt{ab}.
$$

將其代回：

$$
\frac{x^\ast}{a}
=
\frac{\sqrt{ab}}a
=
\sqrt{\frac ba},
$$

且：

$$
\frac b{x^\ast}
=
\frac b{\sqrt{ab}}
=
\sqrt{\frac ba}.
$$

故最小值確為：

$$
\sqrt{\frac ba}.
\qquad\square
$$

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# 5. 對數中點的等價推導

令：

$$
A=\log a,
\qquad
B=\log b,
\qquad
X=\log x.
$$

則：

$$
\log W(x)
=
\max\{X-A,B-X\}.
$$

所以原問題等價於：

$$
\min_{X\in\mathbb R}
\max\{X-A,B-X\}.
$$

## 定理 5.1：實數區間的極小極大中心

若 $A\le B$ ，則：

$$
\arg\min_X
\max\{X-A,B-X\}
=
\frac{A+B}{2}.
$$

## 證明

兩項之和為常數：

$$
(X-A)+(B-X)=B-A.
$$

因此兩項中至少有一項不小於其平均：

$$
\max\{X-A,B-X\}
\ge
\frac{B-A}{2}.
$$

等號成立當且僅當兩項相等：

$$
X-A=B-X,
$$

故：

$$
X=\frac{A+B}{2}.
\qquad\square
$$

指數化得到：

$$
x^\ast
=
\exp\left(\frac{\log a+\log b}{2}\right)
=
\sqrt{ab}.
$$

這表明 GPLM 的幾何平均，本質上是**對數空間中的普通中點**。

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# 6. 尺度不變性

## 定理 6.1

對任意 $\lambda>0$ ：

$$
x^\ast(\lambda a,\lambda b)
=
\lambda x^\ast(a,b).
$$

## 證明

$$
x^\ast(\lambda a,\lambda b)
=
\sqrt{(\lambda a)(\lambda b)}
=
\lambda\sqrt{ab}.
\qquad\square
$$

同時：

$$
W(\lambda x;[\lambda a,\lambda b])
=
W(x;[a,b]).
$$

因此乘法失真與測量單位無關。

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# 7. 非對稱成本的加權定理

對數空間中，若低估與高估具有不同允許尺度，令 $p,q>0$ ，定義：

$$
F(X)
=
\max\left\{
\frac{X-A}{p},
\frac{B-X}{q}
\right\}.
$$

## 定理 7.1

唯一最優點為：

$$
X^\ast
=
\frac{qA+pB}{p+q}.
$$

因此：

$$
\boxed{
x^\ast
=
a^{q/(p+q)}
b^{p/(p+q)}.
}
$$

## 證明

在最優點，兩個單調方向的最壞成本必須相等；否則可向較大成本的反方向移動並降低最大值。令：

$$
\frac{X-A}{p}
=
\frac{B-X}{q}.
$$

交叉相乘：

$$
q(X-A)=p(B-X).
$$

故：

$$
(p+q)X=pB+qA,
$$

得到：

$$
X^\ast
=
\frac{qA+pB}{p+q}.
\qquad\square
$$

當 $p=q$ 時恢復普通幾何平均。

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# 8. 多維正盒定理

令：

$$
\mathcal B
=
\prod_{i=1}^n[a_i,b_i],
\qquad
0<a_i\le b_i.
$$

在對數 $L^\infty$ 距離下：

$$
d_{\infty,\times}(x,y)
=
\max_i|\log x_i-\log y_i|.
$$

## 定理 8.1

$\mathcal B$ 的唯一 Chebyshev 中心為：

$$
\boxed{
x_i^\ast=\sqrt{a_i b_i},
\qquad i=1,\ldots,n.
}
$$

## 證明

取對數後， $\mathcal B$ 變成普通長方體：

$$
\prod_i[\log a_i,\log b_i].
$$

在 $L^\infty$ 距離下，各座標最壞距離可分離。每一座標的唯一極小極大中心為區間中點：

$$
\frac{\log a_i+\log b_i}{2}.
$$

再指數化即得結論。 $\square$

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# 9. GPLM 的適用契約

要把 GPLM 套用到一個新領域，必須依序證明：

## 條件一：正尺度

研究量必須位於：

$$
(0,\infty).
$$

若允許 $0$ 、負數或符號切換，對數尺度與比例失真可能失效。

## 條件二：不確定集合可由乘法區間描述

必須證明：

$$
y\in[a,b]
$$

確實捕捉了研究對象的必要不確定性。

## 條件三：損失為乘法對稱或明確加權

必須使用：

$$
D_\times(x,y)
$$

或已證明等價的損失。不能只因兩端量存在，就自動取幾何平均。

## 條件四：端點決定最壞情況

必須證明中間狀態不會產生更高損失。

## 條件五：決策變數確實是單一尺度

若系統還有方向、拓樸、離散結構、非凸約束或多個耦合變數，單一幾何平均不能自動解決完整問題。

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# 10. 幾何平均何時不是最優解

## 10.1 加法最壞誤差

若目標為：

$$
\min_x\max\{|x-a|,|b-x|\},
$$

最優解是：

$$
x^\ast=\frac{a+b}{2}.
$$

## 10.2 平方誤差

若目標為：

$$
\min_x\mathbb E[(x-Y)^2],
$$

最優解為：

$$
x^\ast=\mathbb E[Y].
$$

## 10.3 絕對誤差

若目標為：

$$
\min_x\mathbb E[|x-Y|],
$$

最優解為中位數。

## 10.4 不對稱故障成本

若低估會造成災難，而高估只增加少量成本，最優解通常向上界偏移，不能使用無權幾何平均。

因此：

$$
\boxed{
\text{幾何平均是目標函數的結果，不是超越目標函數的自然律。}
}
$$

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# 11. 與萬能容器舊推導的分離

舊文取：

$$
R^\ast
=
\sqrt{R_{\min}R_{\max}}.
$$

此公式嚴格解決的是：

$$
\min_{R>0}
\max\left\{
\frac{R}{R_{\min}},
\frac{R_{\max}}R
\right\}.
$$

它不自動解決：

$$
\min_K A(K)
$$

的 Moser 蟲問題，也不自動保證半徑 $R^\ast$ 能容納所有曲線。

尤其當理想零厚度模型給出：

$$
R_{\min}=0
$$

時，GPLM 的正尺度前提失效：

- $\log R_{\min}$ 不存在；
- $R/R_{\min}$ 無定義；
- 幾何平均退化為零；
- 零半徑不可能容納直線段。

因此，零端點必須改用其他模型，不能以極限口語化掩蓋定義域失效。

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# 12. 計算複雜度的修正

若 $a,b$ 已經給定，計算：

$$
\sqrt{ab}
$$

在實數 RAM 抽象模型中可視為固定數量的基本運算。

但在位元複雜度模型中，計算到 $p$ 位精度仍有與 $p$ 有關的成本。更重要的是，若 $a,b$ 是其他優化問題的輸出，總成本為：

$$
T_{\mathrm{total}}
=
T_a+T_b+T_{\sqrt{\cdot}}.
$$

因此，GPLM 只能宣稱「中心公式為閉式」，不能一律宣稱整個應用問題從 $O(n^2)$ 降為 $O(1)$ 。

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# 13. 形式化接口

本封裝的 `GPLMCore.lean` 形式化下列底層命題：

1. 實數線上：

$$
\max(X-A,B-X)
\ge
\frac{B-A}{2}.
$$

2. 等號唯一性：

$$
\max(X-A,B-X)
=
\frac{B-A}{2}
\iff
X=\frac{A+B}{2}.
$$

3. 正實數幾何中心的平方關係與兩端比例平衡。

形式化採取「先證對數空間中點，再投影回正實數」的路徑，避免把幾何平均當作原始公理。

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# 14. 精確計算驗證

`verification/verify_rebuild.py` 對多組有理數 $a,b,x$ 使用精確分數驗證：

$$
\max\left\{
\frac xa,\frac bx
\right\}^2
\ge
\frac ba.
$$

若：

$$
a=p^2,
\qquad
b=q^2,
\qquad
x=pq,
$$

則驗證器精確得到：

$$
\frac xa=\frac bx,
$$

以及零證書缺口：

$$
W(x)^2-\frac ba=0.
$$

計算只驗證有限實例；一般定理由前述解析證明與形式化規格承擔。

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# 15. 結論

非公理化重建後，GPLM 的核心不再是：

> 自然界總會在兩端之間選擇幾何平均。

而是：

$$
\boxed{
\text{在乘法尺度、端點最壞情況與對稱倍數損失下，
幾何平均是唯一極小極大中心。}
}
$$

這個版本的適用範圍比舊版窄，但證明強度更高：

- 不依賴自訂公理；
- 不依賴工程修辭；
- 不需要經驗數據才能成立；
- 可以形式化；
- 可以用精確算術重放；
- 具有明確失效條件。

因此，GPLM 不再是一條無條件的跨領域萬用公式，而是一個可被嚴格辨認、合法套用與反駁的乘法穩健優化定理族。