進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二篇）

有限算術事件的全域枚舉、作用—反向約束對偶與跨進位運算軌跡

英文題名： Radix Towers and Global Operational Relation Geometry II: Exhaustive Finite Arithmetic Events, Forward–Inverse Constraint Duality, and Cross-Radix Computation Traces
版本： v0.1（可重現的有限域基準實驗稿）
日期： 2026-11-03
研究脈絡： EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何
先行文件： EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_01_v0.1.md
本篇附屬驗證： verify_paper02.py、paper02_stats.json
研究性質： 定義、證明、窮舉計數與有界實驗；尚未宣稱存在新的數論定理
Canonical source： UTF-8 Markdown；所有數學原始碼僅使用 $...$ 與 $$...$$

作者： Neo.K
公司： 一言諾科技有限公司

摘要

第一篇提出了以數值節點、運算事件、計算歷史與進位制觀察層構成的「全域運算關係幾何」基礎框架。本文將該框架落到一個真正可完整枚舉的有限模型，以解決兩個常被混淆的問題：其一，何謂一個數值在有限集合中所擁有的全部單步算術關係；其二，在給定代數關係不變的前提下，不同進位制的中間計算過程究竟有哪些可驗證差異。

設 $S_{1000}=\{1,2,\ldots,1000\}$，運算僅取正整數加法、結果為正的減法、正整數乘法，以及整除成立的精確除法；每個單步事件的兩個輸入與結果均必須位於 $S_{1000}$。在此嚴格限定之下，完整窮舉得到加法 $499500$ 個有序事件、減法 $499500$ 個、乘法 $7069$ 個、除法 $7069$ 個，合計 $1013138$ 個帶運算種類與輸入順序的事件。

本文證明，在保留第二運算元的條件下，加法與正值減法、乘法與精確除法各自存在明確的事件層雙射。這種「作用—反向約束對偶」能透過數量級高度差精確觀察：前向加法的升層幅度分布，等於其對偶減法的降層幅度分布；乘法與除法亦然。另一方面，以固定數值 $9\times99=891$ 實驗，在一種明確指定的「位值卷積加逐位進位」乘法程序中，二、八進位沒有非零進位位置，而十、十二、十六進位各有兩個。這證明了相同數值關係可以對應不同進位運算歷史，但並不證明所有演算法都具有相同的軌跡規律。

本文因此提供一個可以作為往後圖式驗證基線的精確參照：底層算術事件是關係對象；演算法軌跡是歷史對象；塔樓置中與進位顯示是觀察對象。 必須保持三者可互相映射而不過早合併，才有可能測量非平凡的耦合結構。

關鍵詞： 全域有限枚舉；運算事件；超圖；加減對偶；乘除對偶；數量級塔樓；進位軌跡；位值卷積；表示不變性；關係置中。

1. 從單一算式走向可完整檢查的有限世界

第一篇的起點是：

但真正值得觀察的是，這個算式與以下關係同時成立：

對十進位單位數字 $1\le n\le9$ 而言， $(11n)$ 恰好是兩位重複數字 $(nn)_{10}$。同一結果可以由不同表達式、不同分解方式、不同演算法得到；在有限值域中，這些歷史又會與其他數值的運算事件交會。

本文不直接宣稱已經枚舉「所有代數關係」。如果允許任意深度的表達式、常數插入及等價重寫，同一個結果便可以有無限多條語法不同的歷史。為了得到可以核對的實驗，本文首先只枚舉一次基本二元運算，再明確標示多步歷史與超界中間狀態應如何獨立保存。

這是從概念性「全域觀察」轉向可證明、可計數、可重現的第一道邊界。

2. 數值、事件、歷史與觀察的四層語義

令：

定義四類彼此相關但不相同的對象。

2.1 數值節點

對每個 $n\in S_N$ 設置唯一的數值節點 $v_n$。這個節點的識別依據是整數的精確數值，不是它在十進位、二進位或其他基底中的字串形式。

2.2 算術事件

對指定二元運算 $o\in\mathcal O$，事件為：

其中 $a,b,c\in S_N$ 且 $o\in\{+,-,\times,\div\}$。減法必須有 $a-b\ge1$ ；除法必須有 $b\mid a$，並且結果是正整數。

「有序」表示第一運算元與第二運算元的位置被保留。例如 $(3,\times,297;891)$ 與 $(297,\times,3;891)$ 是兩筆有序事件。若需要忽略交換律，應另外定義商集合，不得在原始資料層直接丟棄輸入位置。

2.3 計算歷史

一次複合計算由若干相互依賴的事件組成，記為：

其中 $\prec$ 表示事件的依賴順序。若中間結果被其他事件重新使用，則歷史更適合存為有向無環依賴圖，不一定是一條簡單線性路徑。對允許迭代或回圈的演算法，執行記錄可展開為有限步驟的時間索引事件，不能把語法上的回圈與已展開的有限計算混同。

2.4 觀察投影

對基底 $b\ge2$，定義數值表示 $R_b(n)$ 與數量級高度：

實作應使用整數比較或連續整除計算高度，避免在進位邊界使用浮點對數導致誤判。圖上的座標、格子寬度、色彩和置中模式都屬於觀察投影，不屬於事件真值本身。

因此一個完整系統至少需要：

其中 $V$ 是數值節點集合、 $E$ 是事件集合、 $P$ 是明確挑選或有限枚舉的計算歷史、 $R_b$ 是進位編碼， $\Pi$ 是塔樓或關係透鏡的顯示映射。不同實驗可以只使用其中的部分層級，但不得把它們視為同一種資料。

3. 四類單步算術事件的精確定義

定義：

為避免輸入位置的歧義，以上三元組一律依序表示「第一運算元、第二運算元、輸出」，並以集合下標指定運算類型。

命題 3.1：加法與正值減法事件等勢

對任意正整數 $N$：

證明。 固定加法的第一運算元 $a$，為使 $a+b\le N$ 且 $b\ge1$，第二運算元恰有 $N-a$ 種選擇。因此：

對減法，固定第一運算元 $a$ 時，要求 $1\le b\le a-1$，恰有 $a-1$ 種選擇。故：

證畢。

命題 3.2：乘法與精確除法事件等勢

對任意正整數 $N$：

證明。 對乘法固定第一運算元 $a$，合法的 $b$ 恰為 $1\le b\le\lfloor N/a\rfloor$。對除法固定第二運算元 $b$，合法的第一運算元為 $b,2b,\ldots,\lfloor N/b\rfloor b$。兩者的和式相同。證畢。

3.3 實際枚舉數據

針對 $N=1000$，使用 verify_paper02.py 在標準 Python 整數運算下逐筆檢查所有合法輸入對，得到：

這是一個完備的四運算單步事件基準；不是任意代數表達式的完備集合，也不包含中間值超界的複合運算。

一百萬筆以上的事件足以說明：只有一千個數值格子，並不代表連結結構也只有一千條。數值節點與事件之間具有數量級差異，正是採用事件索引、篩選與關係置中的實用理由。

4. 可證明的作用—反向約束對偶

使用者提出的「對偶」不是單純交換兩個乘數，也不是一定等同物理作用反作用；本文先建立一種不依賴圖面形狀的最小嚴格版本，作為更複雜關係耦合的驗證基線。

定義 4.1：事件反向映射

對加法事件定義：

這個輸出被視為減法事件，因為 $a+b=c$ 等價於 $c-b=a$。

對乘法事件定義：

這個輸出被視為精確除法事件，因為 $ab=c$ 等價於 $c/b=a$ ；且 $b\mid c$ 自動成立。

定理 4.2：保留運算元的前向／反向雙射

映射：

皆為雙射，且其反映射都由同一個位置置換 $(a,b,c)\mapsto(c,b,a)$ 給出。

證明。 依定義，事件由 $(a,b,c)$ 轉換至 $(c,b,a)$ 後仍滿足其對偶運算的精確等式；三個數值都沒有改變，故均仍屬於 $S_N$。再施行一次相同置換即可還原原事件，因此映射可逆，且滿射、單射均成立。證畢。

這條定理有一個重要限制：如果只存「輸出 $c$ 」，而刪去另一個運算元 $b$，反向解通常不唯一。故「作用—反向約束對偶」必須包含完整事件條件；不能把一個結果節點的所有來源誤認為單一反向箭頭。

4.3 以 891 作為局部中心

假定所有運算元與結果皆屬於 $S_{1000}$，計算以 $891$ 為輸出的有序事件數：

其中乘法的十筆有序事件對應五組無序因數對：

這五組因數對在「忽略交換順序」之後不重複；若顯示兩個輸入方向，則對應十筆乘法事件。

5. 每個結果格子的全域來源度數

對 $z\in S_N$，將四種以 $z$ 為結果的有序事件數分別記為 $D_+(z)$ 、 $D_-(z)$ 、 $D_\times(z)$ 與 $D_\div(z)$。

命題 5.1：四類入射度的閉式公式

其中 $\tau(z)$ 為正整數 $z$ 的正因數個數。

證明。 加法 $a+b=z$ 中， $a$ 可選 $1$ 到 $z-1$。減法 $a-b=z$ 中，可選 $b=1,2,\ldots,N-z$，再令 $a=z+b$。乘法 $ab=z$ 的第一運算元可以是 $z$ 的每個正因數，第二運算元由它唯一決定。除法 $a/b=z$ 等價於 $a=zb$，其中 $1\le b\le\lfloor N/z\rfloor$。證畢。

在 $N=1000$ 時：

這張表已經表現一種不需要額外數論猜想的全域非均勻性：不同值雖然各占一個格子，其各類運算來源的密度卻差異極大。

例如 $1$ 沒有任何正整數加法來源，卻有 $1000$ 個精確除法來源； $1000$ 有 $999$ 個加法來源，卻沒有正整數減法來源。這種差異主要來自有限觀察域與正整數限制，而不是排列模式造成。

推論 5.2：入射度的加減互補

因此在固定有限正整數域中，加法來源數隨 $z$ 增加而增加，減法來源數則同步減少。這是一項可以直接驗算的互補關係。但它與使用者更廣泛的動態因果耦合概念之間，仍須透過具體路徑與依賴結構才能建立更強的聯繫。

6. 對偶關係如何成為塔樓的升降軌跡

只以事件輸出的數量級分類，會遺漏方向資訊。為讓前向與反向事件能在同一塔樓中比較，固定第一運算元作為有向基準，定義：

其中 $b'$ 代表第二運算元， $b$ 是進位基底，兩者不能混淆。此處 $\Delta_b$ 不是物理位移，只是數量級高度的代數差。

對正整數加法與乘法，由於結果不小於第一運算元，故 $\Delta_b\ge0$ ；對結果仍為正的減法與精確除法，故 $\Delta_b\le0$。

命題 6.1：反向事件的高度差恰好反號

若 $e=(a,+,b';c)$ 且 $e'=T_+(e)=(c,-,b';a)$，則：

同理，若 $e=(a,\times,b';c)$ 且 $e'=T_\times(e)=(c,\div,b';a)$，也有：

證明。 兩筆事件的第一運算元與結果交換，故其高度差由 $\ell_b(c)-\ell_b(a)$ 變為 $\ell_b(a)-\ell_b(c)$。證畢。

這條結論對任何整數基底 $b\ge2$ 成立；高度差的具體大小依基底改變，但反向對偶的反號關係仍成立。

6.2 十進位、1–1000 的實測高度分布

以十進位進位塔樓，列出前向加法、乘法的升層高度，並同時檢查其反向事件的降層高度：

以上數據由完整枚舉取得，且與命題 6.1 的事件雙射逐筆吻合。

一個有趣的邊界檢驗是高度差為 3 的情況。十進位的 $S_{1000}$ 中，最高一層只有 1000 這一格。加法升三層的事件恰為第一運算元 $a\in\{1,\ldots,9\}$，且 $a+b=1000$，故有九筆；乘法升三層則要求 $a$ 是 1000 的一位數正因數，即 $a\in\{1,2,4,5,8\}$，故有五筆。

這些數據顯示，一個置中塔樓可以把抽象的事件雙射呈現為成對升降關係。但反過來不能僅憑兩條線長得相像，就宣稱它們必為同一對偶事件；可檢驗的依據仍是上述事件映射。

7. 固定 $9\times99=891$，比較不同基底的過程

前述事件圖完全不需要指定某一進位制才能成立。接下來刻意保留相同的精確整數值：

只改變它們的位值表示與運算演算法的基底，不改變數值本身。

7.1 使用同一種明確的直式乘法程序

令 $a_i,c_j$ 分別為兩輸入在基底 $b$ 下由低位到高位的數字，無位處視為零。原始位值卷積係數為：

設定初始進位 $r_0=0$，逐位計算：

這裡 $d_k$ 是結果的第 $k$ 位數字， $r_{k+1}$ 是傳給下一位的進位值。我們把具有 $r_{k+1}>0$ 的位數量定為本次程序的「非零進位位置數」。此量是指定演算法與基底下的軌跡統計，不是乘積作為整數的內在性質。

7.2 逐基底驗證

這是本文最直接的表示差異證據：同一數值乘法，在指定的逐位卷積程序中，其進位軌跡會因基底改變。 特別是不能先假定二進位必然需要更多進位；本例的二進位表示中，卷積的每個原始係數恰好未達到進位門檻。

八進位的原始卷積係數依序為：

每位都小於 8，因此不產生進位，從低位至高位直接得到 1573。十進位的計算則不同：

再由最後一個進位形成百位的 8，得到 891。

7.3 不可從此推論的結論

這個實驗沒有證明「二進位乘法永遠比十進位簡單」，也沒有證明任意數值在某個基底總能消除進位。它只證明：若演算法固定為以上位值卷積程序，對這一組固定輸入，進位位置數依基底不同。

如果改用加法鏈、Karatsuba、FFT/NTT 乘法或其他計算程序，「中間狀態」的意義必須重新界定，不能直接沿用本節的進位位置數作為跨演算法的唯一比較尺度。

8. 重複數位族與固定數值實驗必須分離

使用者提出的關鍵原型是：

這是一整族關係，而不是孤立的 891 等式。其一般基底形式，令 $d=b-1$，則：

從而：

這裡應區分兩種實驗：

1. 固定精確整數數值。 比較 9、99、891 在不同基底中的表示與計算軌跡。此時底層運算事件保持相同。
2. 固定重複數字符號的生成規則。 在不同基底下使用最大一位數 $d=b-1$ 與兩位重複數字 $(dd)_b$。此時數值也隨基底改變，保留的是參數化恆等式的形式。

若將這兩類資料疊在同一張塔樓，必須使用不同標記，否則會把「表示上的位值變化」與「被比較的數值本來就不同」混為一談。

對於 $n=9$ 的十進位案例， $n\times99$ 和 $9\times(nn)_{10}$ 其實是同一筆單步運算事件。兩種參數式雖然從不同的生成觀點抵達該點，卻不能在單步事件層虛構為兩筆獨立事件。若保留不同的代數展開歷史，它們才可能作為不同的歷史層紀錄。

9. 塔內關係、塔外中間狀態與可終止性

本篇的 $1013138$ 筆事件全部位於封閉的有限域：

這並不等於每條終值位於 $S_{1000}$ 的運算歷史都在塔內。例如：

此二步歷史由塔內常數出發，經過塔外整數 1089，再折返塔內的 891；它不是本篇單步封閉事件集合的一員，卻是一條合法的外部中間狀態範例。

要進一步完整枚舉這類歷史，需要固定：

• 合法算子與運算元的型別；
• 允許引用的常數集合；
• 最大事件數或表達式深度；
• 中間值的精確數值或符號大小上界；
• 是否允許重複狀態、循環與重寫；
• 表達式與演算法是否按語法區分。

如果任意新常數與任意重寫都被允許，即使只求終值 891，仍可任意插入 $+k-k$ 而生成無限多條不同歷史。有限終點集合不保證歷史集合有限。 這不是視覺化軟體的限制，而是問題自身在未加限制時不具有限可枚舉性的結果。

因此塔樓邊界應標為「所選主觀察域的視窗」，而不應誤稱為代數運算的全域邊界。跨界歷史保留來源事件與依賴資訊，顯示時用虛線即可；實際完整計算仍以精確值為準。

10. 關係置中要以事件為中心，而非只以畫面為中心

本文建議的置中顯示至少區分三個層次：

第一，樓層置中。 把 $[1,10)$ 、 $[10,100)$ 、 $[100,1000)$ 等數量級格子群放在共同中心軸下。這改善跨層比較，但不能單獨產生新的代數結論。

第二，結果置中。 選定 $z$ 後，以同一結果節點呈現四種運算的全部合法單步來源，例如 $z=891$ 對應 $890+109+10+1=1010$ 筆帶類型的入射事件。由於來源很多，可依運算類別、位階、因數或路徑成本作語義篩選，但篩選條件必須可查詢。

第三，事件及歷史置中。 選定某個乘法事件或某條計算歷史，再以保留運算元、依賴及結果的方式顯示前驅與後繼，並提供相對應的反向約束。真正重要的不是圖上是否呈現形似直線或金字塔的線段，而是其背後是否有可驗證的事件關係。

10.1 關係圖必須是事件超圖

一次二元運算有兩個輸入與一個輸出。如果只畫 $a\to c$，便容易失去另一輸入 $b$ 所提供的條件。故事件應在資料中保留為超邊或顯式事件節點：

value(a) ----\
               > event(op, rule, time) ----> value(c)
value(b) ----/

同時保留對偶映射 $T_+$ 、 $T_\times$ 的事件 ID 對應。只有在顯示時，才可以選擇簡化箭頭，但不能把簡化箭頭當作完整原始語義。

10.2 三種等價不可混為一談

• 同值等價：不同表達式有相同結果，例如 $9\times99=11\times81$。
• 事件對偶：例如 $9\times99=891$ 與 $891\div99=9$，完整運算元保留且由可逆映射連結。
• 歷史等價：例如由 $900-9$ 與某個直式乘法程序產生相同結果，但步驟數、操作序列、借位／進位事件不同。

若直接把這三種關係都寫成一條無標籤連線，「塔樓矩陣」會很快變成大量交叉線，卻無法回答線條究竟代表什麼。

11. 區分底層不變資訊與觀察產物

為避免觀察視角先行決定結論，建立以下檢驗層級：

這張表並非要否定圖形的研究價值，而是為圖形中的「特殊關係」建立辨識門檻。

已驗證的不變性：事件集合和來源因數對在純基底重編碼下不變；反向事件雙射不依賴十進位；反向高度差的反號關係在每一基底中成立。

已驗證的表示差異：以 $9\times99$ 的同一位值卷積程序為例，非零進位位置數會在不同基底中變動。

尚未證立的額外猜想：在跨演算法、跨排列與跨基底的更廣泛歷史網路中，是否存在不能直接歸約為上述已知代數事實的新軌跡幾何不變量。若要宣稱存在，須先給出可獨立於畫面位置計算的數量、變換法則或反例排除方法。

12. 實驗實作、精確性與驗收結果

12.1 實驗限制

• 數值節點： $1$ – $1000$ 的全部正整數，共 1000 個。
• 單步算子： $+$ 、 $-$ 、 $\times$ 、 $\div$ 四種。
• 兩輸入與結果都必須位於 $S_{1000}$ ；減法結果為正，除法為精確整除。
• 保留兩個輸入的先後位置與運算種類。
• 十進位高度分析以第一運算元為高度差起點。
• 進位實驗固定輸入的數值為 $9$ 與 $99$，採用同一位值卷積加逐位進位的明確規則。
• 基底樣本： $2,8,10,12,16$。
• 僅展示一個兩步外部折返見證，不宣稱全部外部歷史已被枚舉。

12.2 驗收項目

獨立驗證腳本完成下列檢查：

1. 完整計數四類單步運算事件，各與閉式公式一致。
2. 加法對減法、乘法對除法的每個事件映射均符合精確逆運算。
3. 十進位的升層、降層事件數分布逐項一致。
4. 對指定中心值 $1,9,99,891,1000$，直接計數與入射度公式一致。
5. 五種基底下，固定乘積的數位重建均等於 891。
6. 每個基底的 $1\le n\le b-1$，重複數位族的等式與三位結果公式均成立。
7. 外部見證 $99\times11=1089$ 、 $1089-198=891$ 經精確整數驗算通過。

實驗結果標記為 PASS，詳細數據保留於機器可讀的 paper02_stats.json。程式只使用 Python 標準函式庫，可在不連網的環境重跑。

12.3 資料與推論的邊界

本篇的「完整」只修飾明確定義後的四類單步事件。不包含所有實數，不包含任意深度的代數變換，也不包含所有可能的算法中間狀態。使用者所提出的更大猜想——「任意實數在適當塔樓觀察下有顯著可辨的過程軌跡」——仍須先指明實數的可計算表示、精確性標準及合法過程模型，才能轉成可判真的命題。

此外，對偶映射是數學上的事件逆關係；沒有證據顯示它可以不加條件地被解讀成物理世界中具有時間方向的因果或等量反作用。

13. 本篇結論

本篇將原本直觀的「1–1000 數值塔樓」提升為一個可完整計數的有限算術事件系統，並證明最基本的作用與反向約束可以在事件層精確配對。對十進位數量級而言，該對偶進一步表現為完全對應的升層與降層統計，而不是僅由繪圖排列產生的表面對稱。

更重要的是， $9\times99=891$ 的跨基底實驗顯示：等式結果、事件來源與因數結構可以保持不變，位值卷積程序中的進位歷史卻可以發生可測量的差異。 這給予「底層資訊可能不變，而進位制改變其顯現」一個有限、具體、可重現的數學例子。

然而，形式化的穩健性也要求不把這個例子誇大為新的普遍定律。對任意演算法、任意實數及所有計算歷史的更強斷言，本篇均不作已證明主張。

真正值得保存的不是 891 這個答案，而是每個答案所連結的來源、逆約束、運算歷史，以及觀察它們時哪些關係始終沒有消失。

狀態： Paper 02 / v0.1 — 有界實驗完成、命題已證、程式驗收 PASS；更廣泛的軌跡幾何猜想仍為開放問題。
原始資料： 本篇 Markdown、verify_paper02.py、paper02_stats.json 均為 UTF-8，可離線保存與重新驗證。
數學原始碼規範： 檔案中的數學公式一律使用 $...$ 與 $$...$$，不以 Unicode 數學替代符號作為 canonical source。