進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十四篇）

精確重算的歷史不可辨識性、共同上游改寫、預先承諾錨點與算術見證的證據邊界

English title: Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXIV: Historical Non-Identifiability under Exact Replay, Common-Upstream Rewrites, Precommitted Anchors, and Evidence Boundaries for Arithmetic Certificates
版本： v0.1（有限域精確定理、完整算術枚舉及合成故障實驗）
日期： 2026-11-05
研究系列： EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何
研究構想： Neo.K；形式化、實驗程式與可重現核驗：AI 協作
直接承接： 第十九至第二十三篇的質數進位辨識、有限觀察碼、來源域容錯與歷史可信性問題
Canonical source： 本 UTF-8 Markdown 原始檔；數學內容僅使用 $...$ 與 $$...$$
證據範圍： 明定正整數雙作用圖、合成進位觀測、確定性日誌及模擬預先固定雜湊值。不聲稱進行真實設備遠端證明、數位簽章、真實時間戳或物理因果驗證。

作者： Neo.K；形式化、實驗程式與可重現核驗：AI 協作
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

本系列第二十二篇將逐位進位觀測視為可辨識算術操作的有限碼字，證明不同質數基底的重複通道在明確的 Hamming 錯誤模型下具有精確的擦除與替換修復界線。第二十三篇進一步區分通道數量與獨立故障來源數量：同一來源的三份資料，不能自動當成三個可獨立故障的證據。然而，即使我們配置三組來源，全部都回傳一致結果，也還沒有回答更基本的問題：它們所共同計算的原始事件宣告，是否可信？

本文將這個問題形式化為四個不可混同的驗證維度：精確算術正確性、操作選擇可辨識性、事後記錄完整性，以及歷史來源真實性。固定第十四至二十三篇相同的有限正整數雙作用子圖 $G_{40}$ ，其中有 $80$ 個節點、 $156$ 條合法雙作用無向邊、 $30{,}342$ 條有方向且允許重複節點的三邊數值行走。每條數值邊有兩種合法操作標籤，故所有三步路徑共有 $242{,}736$ 條帶標籤候選歷史。

第一項結論是精確重算的歷史不可辨識定理：只給定完整數值路徑和正確整數算術，長度為 $s$ 的雙作用數值行走仍有 $2^s$ 條合法操作歷史。逐一交換其中一個操作標籤，不會改變任何數值節點；在本篇主實驗中，此種帶起點方向的單位元改寫測試共 $728{,}208$ 次，全部仍通過精確整數重播。反之，對每條三步數值行走的第一個宣告中間值作一次不相容改寫，共 $30{,}342$ 次，全部被逐事件精確重算拒絕。兩類測試說明：能拒絕算錯的數字，不等於能辨認哪一種正確算法曾經發生。

第二項結論是上游共同改寫的不可能性界線。若把操作標籤與其進位見證一起重算，再讓三組來源全部使用這份新的事件宣告，所產生的資料仍可能構成另一個完全合法且內部自洽的碼字。對 $156$ 條無向邊的兩種標籤進行此類完整替換，得到 $312$ 個可驗算但來源無法由內部一致性辨別的對照。相反地，若至多只有三組來源中的一組被改寫，而其餘兩組仍反映原本操作，則在十二質數基底的觀測設定中， $936$ 次單來源替換與 $936$ 次擦除測試皆可由未損壞來源恢復。兩種情況的差異不是算術定律改變，而是故障作用於觀察之後，或作用於所有觀察之前。

第三項結論是預先承諾雜湊的有條件偵測性。本文把每個事件的順序、輸入、運算符、右操作元及結果逐步編入確定性 SHA-256 鏈。若原始根雜湊事先存於不受改寫者控制、且驗證者可以正確取回的位置，則後續改寫將在密碼學抗碰撞假設下被偵測。本篇 $312$ 個單邊標籤改寫測試與一份完整三步合成證書均呈現：兩套日誌都可以通過算術重算，但只有原先承諾的日誌符合先前固定的測試錨點。若攻擊者能同時替換日誌與它自己聲稱的根雜湊，則一份重新計算的自洽雜湊鏈本身不提供外部歷史認證。

本文還用模 $101$ 的負對照指出，模數一致性不能取代精確整數相等性。最後提出適用於塔樓觀察的「數值—操作—觀測—承諾—來源」證據協定，嚴格標示各層可支持的主張與無法支持的主張。全文所有新量化數據均來自合成、可重算的有限算術測試；不把數學一致性、密碼學承諾及實際歷史真實性混稱為同一種證明。

關鍵詞： 全域運算關係幾何、進位制塔樓、精確重播、歷史不可辨識、雙作用運算、共同原因故障、質數進位錨點、來源域、確定性日誌、雜湊鏈、預先承諾、條件式完整性、歷史來源證據、有限域驗證。

1. 研究問題：為什麼三組相同的答案仍可能不夠

1.1 前篇建立的數學保證

第二十二篇固定一條雙作用數值邊 $y=x+d=xr$ ，以不同進位基底的完整加法與乘法進位向量作為操作辨識碼字。第二十三篇則依照故障來源分組：如果一個來源會使其中所有觀測一起失效，便應把同一來源所屬的所有通道當成一個故障單位。

在三組互相可獨立故障、每組都有完整質數基底的假設下，兩個合法操作的來源級碼字距離為 $3$ 。這足以在「只有其中一組來源資料受損」的前提下修復一次未知來源替換。

但這個保證始終以原始操作標籤已決定、觀察由該操作產生為前提。如果三個來源同時接收到被改寫的標籤，它們可以全部忠實算出同一份錯誤的歷史宣告。此時來源之間沒有發生相互不一致，反而因為共同輸入相同而產生完全一致的報告。

1.2 研究需要區分的四種「正確」

算術正確： 宣告的每一步數值輸出，是否符合宣告的算術操作。
操作可辨識： 在多種合法操作得到同一數值時，是否持有足以區分它們的可信觀測。
紀錄完整： 一份已經固定的事件紀錄，事後是否被改寫。
歷史來源真實： 該紀錄是否確實來自指定主體、時間與執行環境的實際行動。

前兩項有完整的有限算術規格；第三項可以在額外信任前提下使用雜湊承諾；第四項不能由本篇的離線合成模型直接提供。

1.3 為什麼這仍是全域運算塔樓研究

原本的進位塔樓不只包含節點與結果，也包含從哪條路徑抵達、何種操作造成轉移、哪個進位視角揭露差異，以及這些觀察來自哪個來源。若最後只把所有通道算出的同一結果再次合併成一個數字，便會丟失整個研究真正關心的作用資訊。

因此，本篇不是重新研究 Hamming 距離的基礎公式，而是研究：一條精確算術作用線，究竟需要哪些不同層級的證據，才能由「算得通」提升為「可以對其來源作出有界而清楚的陳述」。

2. 不變的有限算術語法

2.1 雙作用整數圖

固定整數 $K\ge2$ ，令：

A_K=\{2,3,\ldots,K\},\qquad V_K=\{1,2,\ldots,2K\}.

對 $1\le x<y$ ，若存在 $r,d\in A_K$ 滿足：

y=x+d=xr,

則 $\{x,y\}$ 為一條合法雙作用無向邊。必要且充分的整數條件為：

x\mid y,\qquad 2\le y/x\le K,\qquad 2\le y-x\le K.

向上 $x\to y$ 有兩種合法操作：加法 $A$ 使用 $d=y-x$ ，乘法 $M$ 使用 $r=y/x$ ；向下則可以減法 $S$ 使用 $d$ ，或精確除法 $D$ 使用 $r$ 。

因 $d=x(r-1)\le K$ ，所有邊端點均位於 $V_K$ 。本篇實驗取：

K=40,\qquad |V_K|=80,\qquad |E_K|=156.

這是數字 1–1000 全域研究的限定雙作用子圖，不是宣稱 81–1000 沒有其他加減乘除關係。

2.2 原始操作事件與數值行走

令長度為 $s$ 的有方向數值行走為：

P=(v_0,v_1,\ldots,v_s),\qquad \{v_{i-1},v_i\}\in E_K.

容許回返與重複邊。完整帶標籤操作歷史再包含二元選擇字：

\epsilon=(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_s)\in\{0,1\}^s.

當 $\epsilon_i=0$ 時，向上使用 $A$ 、向下使用 $S$ ；當 $\epsilon_i=1$ 時，向上使用 $M$ 、向下使用 $D$ 。給定相鄰精確數值及該位元，可以唯一求得合法右操作元。

對本篇主實驗 $s=3$ ，兩端間的三次運算事件皆保留其輸入角色、操作種類與結果。完整歷史因此不只是一個終點整數，而是帶有順序與作用標籤的可重播資料。

3. 精確重算的能力與不可能性

3.1 定義：逐事件精確重播

對宣告的事件 $e_i=(v_{i-1},o_i,c_i,v_i)$ ，定義一個確定性執行檢查函式。它必須同時驗證：

$o_i$ 是本語法允許的操作，且方向相容；
$c_i$ 為正整數並落在 $A_K$ ；
減法結果仍為正、除法精確整除；
由 $v_{i-1}$ 與 $(o_i,c_i)$ 計算出的整數，恰為宣告的 $v_i$ ；
該事件與前後事件的端點一致。

若上述全部成立，稱事件序列具有算術可重播性。它證明的是「所宣告的程序能算到所宣告的結果」，不涉及事件究竟是否曾真實發生。

定理 3.1（數值路徑對操作歷史的不可辨識性）

給定任一長度 $s\ge1$ 的合法雙作用數值行走 $P$ ，若每一步運算標籤可獨立選擇，則恰有：

2^s

條彼此不同的合法帶標籤歷史，全部通過精確整數重播，且具有完全相同的數值路徑與終點。

證明。 每條無向邊在給定方向下恰提供兩種不同操作，而兩種操作均按其定義到達同一數值端點。對 $s$ 步獨立選擇，得到 $2^s$ 個不同的二元標籤字；每個字都能逐步重播到原路徑的下一個數值。不同位元字至少有一步操作標籤不同，故完整歷史不同。證畢。

推論 3.1.1。 任何只接受精確數值路徑、而沒有額外來源資訊的決定性辨識程序，都不能對每一條可能歷史唯一判定原先操作標籤。因全部 $2^s$ 個候選在該觀察介面上具有完全相同的輸入資料。

這不是計算困難或處理器速度不足，而是給定資訊本身不足以分辨。

3.2 用完整三步路徑實驗檢查此定理

固定 $K=40$ ：

\#\{\text{三步數值行走}\}=30{,}342.

每條路徑具有 $8$ 種操作標籤，故：

30{,}342\times8=242{,}736.

本篇逐筆執行全部 $242{,}736$ 條歷史，並對每個三位元標籤字逐一翻轉其三個位置中的其中之一，得到：

30{,}342\times8\times3=728{,}208

次有方向的單一步驟重標記測試。這個計數可能包含同一對歷史被雙向測試兩次，故不應誤稱為 $728{,}208$ 對無序互異歷史。全部測試的改寫前、改寫後歷史都通過精確整數重播。

3.3 對照：真正的中間數值錯誤會被重算拒絕

對同一批 $30{,}342$ 條三步數值行走，選擇固定合法標籤字 000，把第一步事件宣告的輸出增加 $1$ ，但不同步修改原先的輸入、操作及右操作元。由確定性整數運算可知，新宣告的中間值不再等於重算結果。

這 $30{,}342$ 次測試全部被拒絕。其意義是：逐事件重算能偵測與已固定算術語法不一致的宣告，卻無法分辨多種同樣合法的算術來源。

3.4 模數驗證不能替代精確相等

單一模數一致性同樣不足以證明完整算術等式。例如：

4+4=8,

但若把宣告結果換成 $109$ ，則有：

109\equiv8\pmod{101}.

因此僅以模 $101$ 檢查，可能錯誤接受 $109$ ；完整整數重播會拒絕。這個 $109$ 示範是獨立於 $G_{40}$ 有效邊枚舉的負對照，不能當成本篇雙作用圖新增了一條有效邊。

4. 進位見證能分辨操作，卻不能自動提供來源

4.1 標準逐位進位指紋

固定整數基底 $q\ge2$ 。令 $D_q(n;t)$ 是正整數 $n$ 的標準數位多項式。對雙作用邊 $y=x+d=xr$ ，定義：

F_q^0(x,y;t)=\frac{D_q(x;t)+D_q(d;t)-D_q(y;t)}{q-t},

F_q^1(x,y;t)=\frac{D_q(x;t)D_q(r;t)-D_q(y;t)}{q-t}.

每個商的整係數向量對應一套已指定的標準逐位算法。向下除法使用的是對應的逆乘法一致性見證，不代表本篇直接量測了某套長除法的內部暫存狀態。

只要在某個基底下 $F_q^0\ne F_q^1$ ，且我們取得可信的實際觀察向量，就有機會區分兩種操作。第十九篇證明，所有不超過 $K$ 的質數基底足以覆蓋全圖辨識。

4.2 精確算術與完整進位仍可能共同支持兩種歷史

考慮：

2+2=4=2\times2.

在二進位，兩種操作的逐位進位向量不同；但如果觀察者從未取得真實執行時的向量，而只是事後自行模擬「若用加法」與「若用乘法」，兩種向量都能被正確計算出來。

因此可以事後計算兩個候選指紋不等於已經觀察到其中一個候選實際發生。這個區別與定理 3.1 的歷史不可辨識性相容。

4.3 上游共同改寫的自洽替代碼字

假設三組來源均以同一個上游操作宣告作為輸入。若上游把操作 $0$ 改成操作 $1$ ，且三組來源都依新宣告生成進位，就會得到另一組在數學上完全正確、來源間也彼此一致的觀測。

這不同於其中一組來源觀測損壞：後者留下兩組未改寫來源作為辨識依據；前者的三組都已改變，沒有內部的不一致供錯誤修復利用。

本文的三來源資料完全由程式合成，三組名稱 D0、D1、D2 是故障假設標記，不能當成已經部署三台相互獨立設備的證據。

5. 來源域容錯與共同上游錯誤的精確界線

定理 5.1（單來源故障的條件式恢復）

對任一 $G_K$ 合法雙作用邊，若每個來源域包含全部不超過 $K$ 的質數基底完整進位觀測，且三個來源域可個別遭受至多一個來源級未知替換或已知擦除，則原操作在對應兩碼字模型中仍可唯一恢復。

證明。 由第十九篇的質數分離定理，兩種操作的質數基底觀測向量至少有一個位置不同。三個來源域分別完整保留該集合，故兩個來源級碼字的 Hamming 距離恰為 $3$ 。經典距離判準保證可修復一次未知替換，或恢復一次已知擦除。證畢。

此定理成立的故障單位是整個來源域，而非來源域內的某個進位係數；它也不保證源資料在發送給三個來源之前未被改寫。

5.1.1 全圖合成故障實驗

對 $156$ 條雙作用邊的兩個操作選擇，各自輪流替換三個來源中的一組完整觀測，再由最近合法來源碼字解碼：

156\times2\times3=936.

全部 $936$ 次未知來源替換正確恢復。對相同操作與來源位置執行 $936$ 次已知擦除，也全部恢復。這些數據重新驗證第二十三篇的條件式結論，沒有更改圖或來源數量。

定理 5.2（共同上游改寫的內部不可辨識性）

固定任一合法雙作用數值邊。若操作標籤本身可以被上游任意改寫，且全部來源觀測僅由此宣告及相同公開算法決定，又沒有任何不受上游控制的原先歷史資訊，則兩種合法操作各自都能構成一份完全自洽的觀測碼字。僅由「碼字內部一致」及「來源彼此一致」不能判定哪一種操作先前真的被執行。

證明。 兩種標籤均是該精確數值邊的合法算術事件。對每一個標籤，可依標準位值算法確定性地生成全部進位向量，再在各來源域生成相同的合法證書。兩份資料各自通過全部內部一致性檢查；它們間唯一的區別來自被宣告的操作標籤與進位內容，而非任何外部保留的執行證據。若所給的驗證條件只檢查自洽，則兩者均被接受，因此不能唯一選出先前的歷史。證畢。

測試。 對全部 $156$ 條無向邊各測試兩種原始操作，共構造 $312$ 個完整改寫為相反合法操作、並重新生成三組來源進位的對照。每個替代碼字在沒有外部錨定時都仍是合法碼字。

界線。 這是明定的資訊不足結果；不是宣稱密碼學、硬體證據或可信第三方一律無法提供歷史來源資訊。它只是說，本篇的純算術加自我一致觀測沒有額外歷史資訊。

6. 可被重播的日誌，與真正的預先承諾

6.1 確定性事件紀錄

一條完整事件紀錄至少保留：事件順序 $i$ 、原始精確輸入、操作種類、合法右操作元、精確輸出、以及對應的操作選擇位元。為避免相同字串有多種解碼，本文採固定欄位、固定排序與 UTF-8 編碼，形成確定性事件位元組序列。

若只有事件清單、沒有額外的固定參照，任何人都可以對任意合法清單重新算出一條新的雜湊鏈。因此自帶雜湊的日誌不自動具有外部真實性。

6.2 SHA-256 鏈與模擬預先錨點

令 $B_i$ 為事件 $i$ 的確定性序列化， $H$ 為 SHA-256。設 $h_0$ 由明確的版本、初始節點、事件長度和運算元上限產生，並對每一步定義：

h_i=H(\mathtt{STEP}\parallel h_{i-1}\parallel B_i).

其中 $\parallel$ 是位元組串接，STEP 為固定的領域分隔標記。最終 $h_s$ 是整份事件紀錄在此協定下的根摘要。只要改變事件順序、操作標籤、運算元或輸出，通常會得到不同摘要。

重要限定： 此處檢查改寫的可信性，必須假設原始 $h_s$ 已經事先固定在攻擊者無法事後替換的地方，且驗證者確實取得原始根。在標準抗碰撞與抗第二原像假設下，攻擊者難以構造另一份不同日誌卻通過相同根的比對；本文的實測則只檢查有限個確切改寫樣本，不能宣稱以有限測試證明 SHA-256 的密碼學安全性。

定理 6.1（事先可信承諾的條件式改寫偵測）

若驗證者持有未被改寫的預先固定事件鏈根值，且將候選事件紀錄重新序列化、重算並比較根值，則凡新紀錄算得不同根值的改寫，都被拒絕。在密碼學假設成立時，此比較可作為後提交完整性檢查；但它不能單憑本身證明原始日誌最初就是一份真實歷史。

證明。 前半句由雜湊根的相等檢查定義立即成立。後半句的反例是：惡意來源起初即可自行建立一份合法、卻未曾真實執行的事件紀錄，並對它進行承諾；日後摘要仍可完全一致。因此承諾證明的對象是「與先前固定記錄相符」，不是「先前記錄必定描述真實行動」。證畢。

6.3 312 個合法重標記的完整比較

對每個 $G_{40}$ 無向邊，分別令兩種操作作為原紀錄，再把操作標籤改成另一種合法操作，同時相應修改右操作元。得到 $312$ 對各自精確算術正確的替代紀錄。

無先前根摘要：原紀錄與替代紀錄都接受為內部自洽的合法算術歷史。
固定舊根摘要：全部 $312$ 份替代紀錄與舊根不同，因而在模擬錨點比對時被拒絕。
如果替代紀錄能同時換成自己剛計算的新根摘要：內部仍一致，不能據此自稱歷史來源已受認證。

這個案例只表示 SHA-256 對本批 $312$ 個改寫樣本得到不同摘要；正式論證的安全前提來自明確的外部承諾與密碼學假設，不是上述枚舉次數。

6.4 外部信任機制與本篇的實作差異

成熟的透明度日誌方案可以使用帶簽章的樹根與包含、相容性證明來約束日誌的事後變更；例如 RFC 9162 的 Certificate Transparency v2 介紹以 Merkle 樹及簽署樹頭進行可稽核記錄的方式。本文只實作一條小型 SHA-256 事件鏈，沒有實作該標準、沒有提供數位簽章，也沒有對外發送或託管任何真正可信的承諾根。

因此，我們不得將測試用 simulation_expected_prior_root 誤稱為外部可信第三方錨點。

7. 歷史真實性的不可能性與必要的外部見證

命題 7.1（純內部自洽性的歷史真實性不可判定）

假設兩份事件宣告在給定語法下都算術合法，且各自附上與宣告相容的全部合成進位見證與自行產生的雜湊。若驗證器沒有取得與先前真實執行相關、且在其模型中受到適當保護的額外資料，則驗證器僅根據這些宣告的內部一致性，不能得知哪份描述了真實歷史。

理由。 可以構造兩個不同的可能執行世界：世界 $W_0$ 先實行標籤 $0$ ，世界 $W_1$ 先實行標籤 $1$ 。兩者具有相同數值端點，且各自可附上全套合法的運算與雜湊證書。內部自洽性在兩個世界都為真，故不含來源資訊的判準對兩者無法做出具有歷史根據的選擇。這是根據觀察介面所限定的可辨識性界線，不是關於所有可能的外部鑑識工具的全稱不可能定理。

7.1 哪些額外資料可能有用

如果要從「可重播」升級成「有可信來源的歷史」，可在實際系統中另考慮：具有可信執行階段的事件採集、受保護的身份與金鑰、外部時間與順序承諾、第三方見證、不可由同一上游任意重算的操作觀測、以及跨實作的獨立參照。

但每一項都有各自的信任假設，必須在實際部署後才可以聲稱實現。本篇只設計介面與負對照，並未交付這些安全環境本身。

7.2 可信根與可信初態也不等價

假設一個日誌的雜湊根確實被安全保留，但日誌從一開始就描述錯誤的初始輸入，或初始紀錄由不可信的主體捏造，安全承諾仍可完整保護那份原本就錯誤的資料。

同樣地，獨立精確整數重算只能證明「以這批輸入及操作為前提，輸出確實符合算術」，不能自行驗證輸入是否從現實世界正確採得。這是正確執行、資料正確取得與歷史歸屬之間的必要分界。

8. 雙軸驗證協定：不把四種不同證據排成單一成功狀態

本篇不把各種證據視為可以彼此替代的單向階梯；更適合使用分開的判斷欄位：

證據欄位	核驗方法	可以證明	尚不能證明
精確算術	依操作逐步整數重算	宣告程序的數值合法性	哪個合法替代程序真實執行
逐位觀測	按指定基底與算法逐係數比對	觀測向量與宣告操作相容	觀測是否真正來自指定歷史
承諾完整性	與事先固定且可信的摘要比對	目前紀錄與先前固定版本相符	先前版本當時是否描述真實行動
來源真實性	額外可信採集、身份與時間稽核	視部署制度而定	不是本篇離線合成程式的輸出

實作中採獨立狀態，而不是僅回傳 PASS/FAIL 的單一布林值。最重要的狀態區分包括：

REJECT_ARITHMETIC：宣告運算與數值矛盾。
REJECT_OBSERVATIONS：宣告觀測向量與指定算法重算不符。
CONSISTENT_UNAUTHENTICATED：資料全數自洽，但缺少可信先前承諾及真實歷史證據。
REJECT_PRECOMMIT_MISMATCH：與先前在測試中固定的根摘要不符。
MATCHES_SIMULATED_PRECOMMIT：與本輪測試預先固定的摘要吻合；不表示真實世界已有外部認證。

本篇刻意不提供 HISTORY_AUTHENTICATED 的正向成功狀態，因為沒有可信的真實執行資料與外部認證機制。

9. 精確有限域測試結果

9.1 核心算術與歷史數量

程式獨立生成 $G_{40}$ 全部 $156$ 條精確邊，並與第二十三篇的原始邊、三步行走資料逐行核對，完全相同。

指標	完整數量	驗證含義
無向雙作用邊	156	每條可採兩種合法上升／下降操作
三步有向數值行走	30,342	保留方向與全部中間數值
三步帶操作歷史	242,736	$30{,}342\times2^3$
單步標籤改寫的有方向測試	728,208	改寫後仍通過精確數值重播
固定標籤下的中間數值不一致測試	30,342	全部被精確重播拒絕

這裡的三步數值行走保留了重複節點及重複邊，因此不是三角形或不重複簡單路徑的計數。

9.2 來源損壞與上游改寫

故障或改寫類型	測試次數	觀察結果
單一來源域觀測替換	936	全部恢復原操作
單一來源域已知擦除	936	全部恢復原操作
三個來源同步使用改寫後操作宣告	312	全部形成另一合法來源碼字
合法替代標籤與模擬舊承諾比對	312	全部檢出根摘要差異

不能將第二、第三列混稱為同一種攻擊。 一次來源域故障預算只容許一個來源的觀測改變；三個來源共用已改寫的上游事件，沒有滿足此故障模型。它們全數產生另一個合法碼字，是模型應有的行為，不是距離 $3$ 定理被反例推翻。

9.3 一個完整的三步合成證書

取路徑：

4\longrightarrow8\longrightarrow16\longrightarrow4.

以位元字 010 表示三種操作選擇，得到：

4+4=8,\quad8\times2=16,\quad16-12=4.

將第一位改為 1，改寫為：

4\times2=8,\quad8\times2=16,\quad16-12=4.

兩條歷史的每一個數值節點都相同，且皆通過精確算術重播。若觀測也依新標籤重新生成，兩條歷史都可以得到完全一致的質數進位見證。

實驗中先固定 010 的根雜湊，再比較 110：前者吻合，後者不吻合。可是如果 110 改用自己重新計算的根，又能通過內部雜湊一致性檢查。因此這份證書可以證明相對於一個事先可信固定的承諾，事後事件改寫會有何差異，卻不能憑它宣稱我們真實觀測過某台計算機歷史上執行了 010。

9.4 最小進位辨識集合的交叉核驗

對每條 $G_{40}$ 邊重新計算十二個質數基底的加法與乘法完整進位，並以兩條獨立實作核對：逐位歸一化，以及將原始數位多項式缺陷除以 $q-t$ 。結果逐係數一致，與前篇的相同邊和相同進位分離集合一致。

不同邊被十二質數基底分辨的基底數量從 $1$ 到 $10$ 不等；這不影響定理 5.1 在三組完整來源下的距離 $3$ ，因為只要有至少一個質數基底能辨識，就會在每組來源產生一次整個來源碼字的差異。

10. 反例與負結果的必要性

10.1 算術重算不足以識別合法替代操作

同一個 $4\to8$ 可以來自 $4+4$ 或 $4\times2$ 。只檢查數值 $8$ 的正確性，並不能排除其中任何一種合法歷史；這是資訊不足，而不是需要更強處理器才可能解決的難題。

10.2 三來源一致不足以排除上游共同改寫

三組來源若共用同一個已被修改的操作標籤，全部報告一致是可預期結果。只有當故障模型明確限制其中部分來源不能同時受影響，才可使用跨來源分歧進行糾錯。

10.3 自行重算雜湊不足以證明未被竄改

若原日誌與雜湊值均可被同一改寫者更換，任何新的自洽事件序列都可重新產生正確雜湊。這不表示 SHA-256 失效，而是未提供先前可信固定的參照根。

10.4 固定雜湊根不足以證明原始日誌為真

即使摘要被可信保留，如果其對應的事件內容在承諾前就已捏造，摘要仍只能忠實對應那份捏造資料。因此完整性與來源真實性是不同的命題。

10.5 模數一致不是完整算術相等

對單一模數而言，不同整數可能具有相同餘數；本篇給出的 $8$ 與 $109$ 對照，已說明模數檢查只能作為特定保證的輔助，不能在無界整數輸出上取代精確結果。

10.6 合成故障不是實際獨立故障率

雖然本篇對三個來源標記做了單來源替換與擦除，來源域其實均在同一套本地 Python 程式內模擬。因此測試通過不等於我們已取得硬體級獨立性、故障率估計或現實中的防竄改能力。

10.7 本篇不是所有實數與任意程式的普適理論

本篇只研究精確正整數、有限雙作用圖、已知數值行走、固定運算語法與標準進位算法。浮點捨入、非終止小數、無理實數、一般程式狀態、隨機演算法及外部副作用都必須另行指定記錄與驗證語義。

11. 最小可信運算證書的資料協定

11.1 機器可讀紀錄

一份完整的條件式算術證書可包含：

{
  "schema": "RTGO-XXIV-SYNTHETIC-v1",
  "provenance": "synthetic_demonstration_not_attested",
  "path": [4, 8, 16, 4],
  "choice_bits": "010",
  "events": [
    {"i": 0, "before": 4, "after": 8, "bit": 0, "op": "A", "operand": 4},
    {"i": 1, "before": 8, "after": 16, "bit": 1, "op": "M", "operand": 2},
    {"i": 2, "before": 16, "after": 4, "bit": 0, "op": "S", "operand": 12}
  ]
}

正式套件的 JSON 另外附上十二質數基底的每一步完整進位向量及事件鏈根雜湊。上述 provenance 是必要標籤，防止把本篇合成資料誤寫成具有真實外部來源的紀錄。

11.2 驗證器的判斷順序

建議的檢查順序為：

驗證固定資料結構與精確整數型別。
逐步驗證每條算術事件的輸入、操作、右元與輸出。
由每條事件重算十二質數基底的標準進位向量，逐係數比對。
若另有事先獨立取得的可信根摘要，則重新計算事件鏈並與之比對。
最後依據實際存在的外部來源證據，決定可作出哪一類歷史性主張。

若任一層缺乏證據，應顯示其未證狀態，而不是將前一層的成功自動提升為下一層的成功。

11.3 兩種不能省略的辨識欄位

第一，精確整數來源。 裸字串 10 在不同進位基底下表示不同的數值；因此跨基底驗證必須以精確整數識別為準，進位字串只是顯示或運算視角。

第二，操作標籤與歷史承諾分開。 保存操作標籤可以在目前語法下重播一條歷史；另存可信的預先承諾才能檢查它是否在承諾之後遭修改。兩者不應壓縮成一個沒有來源描述的單一雜湊字串。

12. 可重現驗證程式與資料交付

12.1 主程式

verify_paper24.py 使用 Python 3 標準函式庫，獨立重生全部 $156$ 條雙作用邊、 $30{,}342$ 條三步數值行走、精確重標記實驗、逐位進位觀測、來源級合成故障及預先承諾測試。程式內還包含兩種獨立進位生成途徑：標準逐欄遞迴與多項式缺陷商遞迴。

全部事件輸入及輸出均以 Python 任意精度整數計算，沒有用浮點近似作為等式成立的判準。即使所有文件被轉換成別種進位制顯示，數值識別與事件的語義也不得跟著改寫。

12.2 前篇原始資料逐筆核對

本篇套件的 reference/ 保留第二十三篇未修改的 paper23_edge_domain_distance.csv、paper23_path_domain_distance.csv 與 paper23_stats.json。本篇重新計算的每一條數值邊、每一條三步行走，都和前篇原始 CSV 逐列比對；另對邊的全部有效分離基底作完整核對。

這項交叉檢查避免本篇因更換語法範圍或路徑生成方式，而錯誤宣稱得到了原本研究世界中的新結論。

12.3 正式資料清單

檔案	用途
`EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_24_v0.1.md`	正式 UTF-8 Markdown 論文原始碼
`verify_paper24.py`	正式枚舉、精確重算、合成來源錯誤及承諾測試
`verify_certificate_paper24.py`	獨立讀取單份合成證書，檢查算術、觀測與錨定結果
`make_figures.py`	由已完成驗證的 CSV/JSON 產生研究圖表
`validate_paper24.py`	數學原始碼、資料數量、證書與 SHA-256 檢查
`data/paper24_edges.csv`	156 條精確邊與質數進位分離基底
`data/paper24_paths.csv`	30,342 條三步數值行走及標籤候選數
`data/paper24_anchored_relabeling.csv`	312 組合法重標記及先前根摘要比較
`data/paper24_scenario_results.csv`	不同錯誤類型的完整實驗對照
`data/paper24_evidence_layers.csv`	各種證據可以及不能支持的主張
`data/paper24_synthetic_*.json`	自洽、竄改、單來源故障等正反例證書
`data/paper24_stats.json`	正式機器可讀統計與驗證摘要
`reference/`	第二十三篇的未修改原始對照資料
`figures/`	三組 PNG/SVG 研究圖，非 canonical source
`SHA256_MANIFEST.json`	完整研究套件之內容雜湊

12.4 離線重現方法

在解壓研究套件的根目錄執行：

python verify_paper24.py --output . --reference reference
python verify_certificate_paper24.py
python make_figures.py
python validate_paper24.py

上述程式不使用商業 API 或外部網路；圖表生成需 Matplotlib，其餘核心驗證只用 Python 標準函式庫。故障證書均明示為合成測試，不得在沒有外部執行證據時將其改寫成真實歷史記錄。

12.5 正式版本的提交判準

提交前至少檢查：

UTF-8 與 LF 換行完整性，唯一 $...$ 、$$...$$ 數學 delimiter；
全部數值邊、三步行走與第二十三篇原始資料逐筆一致；
兩種進位計算方法取得逐係數相同的向量；
確切的 242,736、728,208、30,342、936、312 筆測試數量與本文相符；
正向算術、錯誤中間值、未錨定改寫、錨定改寫及觀測係數錯誤均得出符合其證據層級的狀態；
ZIP 獨立解壓後可重生資料並對全部內容檔案執行 SHA-256 比對。

聊天畫面僅供閱讀，本文原始 UTF-8 Markdown 才是正式 canonical source。

13. 新研究結果與既有理論的分界

本篇的精確重播與歷史不可辨識定理，直接來自有限語法中的兩種合法運算選擇；它沒有宣稱發明算術的交換律、基本圖論或新的密碼學假設。

來源域故障的距離 $3$ 判準，使用的是經典 Hamming 距離編碼的既有規則；其特殊性在於本篇使用具進位多項式見證的有限雙作用算術圖作為資料對象。

雜湊鏈的比對是已知完整性技術的一個簡化模型；若要取得真實世界的時間錨點、身份證明與不可抵賴性，應使用另外可稽核的機制與安全政策，而不是把程式自行生成的雜湊視作已認證歷史。RFC 9162 所描述的附簽章透明度日誌可作為工程背景，但本文並未宣稱實作該標準。

因此，本篇的研究貢獻是在同一套有限運算塔樓中，讓算術正確性、進位辨識、故障復原、事後完整性及來源真實性各自具有不混淆的驗證介面，並以可完整窮舉的反例證明其間不能任意互相替代。

14. 結論：算得對，不代表歷史就一定是真的

第二十四篇承接前篇的來源域容錯，進一步識別其不能自行填補的資訊界線：所有來源都忠實計算同一份上游輸入，也可能共同支持一份與原先歷史不同、卻完全算術正確的替代紀錄。這不是增加幾個不同進位制就能自動解決的問題，因為需要的已不只是算術一致性，而是歷史選擇與資料來源的獨立見證。

本文在 $G_{40}$ 的 156 條邊、30,342 條三步行走中完整枚舉，證明並驗證：固定數值路徑後的 $2^s$ 種合法操作歷史全部算得通；728,208 次單位元運算重標記仍保留相同節點；30,342 次與固定操作不相容的中間值改寫則被精確整數重算全部拒絕。同時，三來源條件式容錯可以恢復一次來源故障，但不能在全部來源共用已改寫上游資料時，判定哪份合法歷史具有較高的真實性。

另外，本文以確定性 SHA-256 事件鏈示範：事先可信固定的承諾可以檢查事後紀錄是否遭改動；而自行更新的雜湊只能說明新紀錄與新摘要一致，不能自行形成來源認證。即使先前承諾已獲保護，它仍不能保證在承諾之前的事件內容就是正確、真實的歷史。這是必須在算術核驗、運算觀測與可信系統之間清楚保存的層級差異。

本篇核心結語：全域運算圖能證明每一條關係如何成立；若要進一步聲稱哪一條關係曾經發生，就必須讓證明其成立的資訊，與證明其來源的資訊分別站得住腳。

參考文獻與系列銜接

EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九至二十一篇）》，2026-11-05。有限進位辨識、局部最小覆蓋與觀察成本模型。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十二篇）：逐位運算見證的錯誤距離、質數錨點與獨立冗餘通道的精確修復界線》，2026-11-05。來源通道的 Hamming 故障模型。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十三篇）：故障來源分層的進位觀察碼、質數錨點的來源覆蓋定理與可信算術見證邊界》，2026-11-05。來源級最小距離及共同上游輸入反例。
Hamming, R. W. “Error Detecting and Error Correcting Codes.” Bell System Technical Journal 29(2), 147–160, 1950. DOI: https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1950.tb00463.x 。編碼距離與有限錯誤容忍的既有理論背景。
RFC 9162, Certificate Transparency Version 2.0, RFC Editor, 2021. https://www.rfc-editor.org/rfc/rfc9162.html 。以 Merkle 樹與附簽章樹頭進行記錄完整性稽核的工程標準背景；本篇並未實作 RFC 9162。

End of Paper XXIV (v0.1).