進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十一篇）

進位觀察的成本敏感最小覆蓋、回饋式查詢的有限界線與可信歷史見證

English title: Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXI: Cost-Aware Separating Covers, Limits of Feedback Adaptivity, and Provenance-Aware Computation Certificates
版本： v0.1（精確有限域定理、完整枚舉、雙重最佳化驗證）
日期： 2026-11-05
研究系列： EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何
研究構想與問題設定： Neo.K；形式化、實驗設計與程式核驗：AI 協作
直接承接： 第十九篇之跨進位運算指紋與質數辨識定理、第二十篇之已知路徑最小觀察覆蓋
Canonical source： 原始 UTF-8 Markdown；正式數學僅以 $...$ 與 $$...$$ 為原始碼分隔符
研究定位： 有界正整數語法的數學論證與表示成本模型；不主張真實硬體加速、真實歷史識別或所有實數演算法的普適定律。

作者： Neo.K；形式化、實驗設計與程式核驗：AI 協作
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

本系列由 $9\times99$ 的多運算路徑出發，逐步將數字、運算作用、逆向約束、逐位進位、循環及觀察投影分離為可驗證的資訊層。第十九篇在特定雙作用算術圖中證明，所有不超過輸入上限 $K$ 的質數基底，是辨識全圖兩種操作選擇所必須且足夠的固定集合；第二十篇則指出，面對已知的有限數值路徑，可以利用質數或複合數進位制取得更小的局部基底覆蓋。本篇繼續區分兩個尚未解決的問題：最少基底數量是否等於最少觀察處理量？在路徑已知的條件下，根據已觀察到的實際進位結果，是否能進一步減少保證完整辨識的成本？

本文固定 $K=40$ 的雙作用正整數圖，沿用相同的 $80$ 個節點、 $156$ 條精確數值邊，以及全部 $30,342$ 條有方向、允許重複節點的三邊數值行走。基底候選固定為 $Q=\{2,\ldots,80\}$ ；對每條數值邊 $x<y=x+d=xr$ ，以標準加法與卷積乘法的完整逐位進位向量是否不同決定該基底是否足以辨識運算選擇。無任何算術數值或合法邊集合因本篇新增的成本模型而改變。

本文首先定義一個刻意透明的候選算術表示位數工作量：對一條邊及進位基底 $q$ ，計入 $x,d,r,y$ 四個正整數在該基底下所需的數位數，並對一次路徑全段觀察的所有基底與邊加總。它是兩種候選操作所需表示資訊的寬度代理量，不是 CPU 指令數、真實執行時間、耗能或最終壓縮位元數。在此模型中，最少基底數量與最少位數工作量形成兩個不同的最佳化問題。本文證明：三邊路徑的正成本最優覆蓋一定可取至多三個基底，並構造按覆蓋位元樣式合併的精確枚舉法，另以獨立八狀態動態規劃逐路徑核對。

完整實驗得到：若只要求基底數量最少，再在此限制下選擇位數最便宜的方案，全部路徑總表示位數為 1,248,500；不限制基底個數、直接極小化表示位數，則為 1,234,172。恰有 1,418 條路徑的真正位數最優方案多使用一種基底，其中 $1,310$ 條由一種增至兩種、 $108$ 條由兩種增至三種。最小基底的字典序預設方案則需 $1,639,200$ 個位數單位；這顯示同為「基底個數最少」時，選取哪一個合法解也會顯著影響結果。上述數字均由明確的成本定義生成，並不聲稱「多基底在真實機器一定更快」。

進一步，在已知數值路徑、各步操作位元彼此無先驗約束、查詢回傳可信且完整的逐步進位向量、每個基底的成本不依據未知操作位元變動的模型下，本文證明一項回饋式觀察無額外收益定理：任何能對全部 $2^s$ 種合法標籤歷史保證完整辨識的自適應查詢決策樹，其每個成功葉節點所查詢的基底都必須覆蓋全部 $s$ 個步驟。因此其最壞情況與每條葉路徑的成本都不低於事先算出的最小成本覆蓋；固定最佳方案即可達到此界線。此定理不排除路徑未知、操作選擇有相關性、查詢成本依觀測結果改變或只要求部分辨識時，自適應策略可能具有不同價值。

最後，文章將算術可辨識性與歷史來源可信性嚴格區分。對已記錄的觀察向量，可以建立會逐位重算並拒絕篡改的條件式證書；但僅從兩個可能演算法的模擬進位向量，不能推斷過去真正執行的是哪一種。本篇附帶的證書明示為可重現的合成測試資料，而非經過外部可信執行環境簽證的歷史證據。

關鍵詞： 進位制塔樓、全域運算、進位指紋、成本敏感集合覆蓋、條件辨識、位數工作量、精確動態規劃、回饋式觀察、資訊下界、合成見證、歷史來源、有限算術圖。

1. 問題重定位：從「幾個進位制」到「為何觀察」

1.1 第二十篇完成了什麼

第二十篇的最少觀察集合以基底的數量作為目標。對一條已知路徑，可以選擇同一組基底觀察全部運算步驟，也可以逐事件指定不同基底。當一個基底只對某些步驟有辨識力時，整條路徑的最小共同基底數量就是有限集合覆蓋問題。

但基底 $2$ 、 $4$ 、 $34$ 的數字位數不一樣，且一個基底可能需要檢查長位值字串，另一個基底可能僅需較短的數字表示。兩種可行觀察方案即使消耗不同的表示處理量，也可能在「使用幾種基底」這個單一指標上被視為相等。

因此本篇不改變第二十篇的算術定義，而是額外建立一個可以公開反駁、替換、比較的成本模型。

1.2 本篇刻意區分的五個物件

底層數值關係： 精確的整數端點與加法／乘法結果。
可選操作歷史： 給定端點後仍可選擇加法或乘法，以及逆向減法或精確除法。
進位分離能力： 哪些進位基底能使兩個候選操作的完整向量不同。
觀察成本代理量： 對每次指定基底的候選演算法比較，需處理多少表示數位。
真實歷史來源： 某筆觀測值究竟是可信執行紀錄，還是事後模擬所得。

前四項能在本篇有限算術模型中完整計算；第五項涉及紀錄來源與外部信任機制，不能由數學等式本身替代。

2. 沿用的有限整數圖與進位觀察

2.1 精確雙作用圖

對整數 $K\ge2$ ，令：

A_K=\{2,3,\ldots,K\},\qquad V_K=\{1,\ldots,2K\}.

若 $1\le x<y$ 且存在 $r,d\in A_K$ 使：

y=x+d=xr,

則以 $\{x,y\}$ 表示一條雙作用數值邊。因 $d=x(r-1)$ 且 $d\le K$ ，其端點必在 $V_K$ 中。

固定 $K=40$ 時：

|V_{40}|=80,\qquad|E_{40}|=156.

對同一條向上邊，兩個候選操作分別是加 $d$ 與乘 $r$ 。逆向路徑則是減 $d$ 與精確除以 $r$ 。當本文以乘法進位向量驗證逆向除法時，指的是逆乘法一致性見證，而不是某一種長除法的內部計算軌跡。

2.2 標準完整進位向量

固定進位基底 $q\ge2$ ，令正整數 $n$ 的標準數位多項式為：

D_q(n;t)=\sum_{i\ge0} n_i t^i,\qquad 0\le n_i<q.

標準加法與標準卷積乘法的進位多項式為：

C_q^+(x,d;t) =\frac{D_q(x;t)+D_q(d;t)-D_q(y;t)}{q-t},

C_q^\times(x,r;t) =\frac{D_q(x;t)D_q(r;t)-D_q(y;t)}{q-t}.

完整進位向量是上述多項式的整數係數列。它不能只用「是否曾進位」或「進位次數」來代替；不同位值欄位上出現的進位可能具有不同辨識能力。

定義該基底對精確數值邊 $e=\{x,y\}$ 的分離指示：

s_q(e)= \begin{cases} 1,&C_q^+(x,d;t)\ne C_q^\times(x,r;t),\\ 0,&C_q^+(x,d;t)=C_q^\times(x,r;t). \end{cases}

方向已知且事件合法時， $s_q(e)=1$ 表示觀察到的實際、完整進位向量可以區分兩個操作標籤； $s_q(e)=0$ 表示二者在此視角不可區分。

2.3 為何只須檢查 $2\le q\le80$

由 $x,d,r\le K$ 且 $y\le2K$ ，對所有 $q>2K$ ，四個數值均以一位數字表示，兩種運算都不需進位。故：

q>2K\Longrightarrow s_q(e)=0

對所有合法邊成立。以 $K=40$ 為例，所有能用來分辨操作的整數基底若存在，必可在 $Q=\{2,\ldots,80\}$ 找到；更大的基底無法提高本模型的分離能力。

我們不是假設現實計算機不能使用較大的進位制，而是證明它們在本次完整進位差指紋這個測量目標下沒有分離資訊。

3. 兩個明確不同的最佳化目標

3.1 三邊有向數值行走

固定：

P=(v_0,v_1,v_2,v_3),

其中相鄰節點必須構成合法雙作用邊。允許回到原本節點或重走某條邊；但不同步驟的操作標籤仍視為獨立未知選擇。

對每個基底 $q$ 定義它能分離的步驟集合：

S_q(P)=\{i\in\{1,2,3\}:s_q(e_i)=1\}.

若選擇共同基底集合 $B\subseteq Q$ ，在每一步都觀察 $B$ 中的所有基底，則其完整辨識條件為：

\bigcup_{q\in B}S_q(P)=\{1,2,3\}.

第二十篇的目標是：

\min_B |B|,

約束為上式的完整覆蓋條件。

3.2 候選算術表示位數工作量

令 $L_q(n)$ 為正整數 $n$ 的標準基底 $q$ 數位數；用連續整除決定，避免浮點精度的位數邊界問題。

對邊 $e=(x,y,r,d)$ ，定義候選驗證位數代理成本：

w_q(e)=L_q(x)+L_q(d)+L_q(r)+L_q(y).

這四項分別對應共同起點、加法增量、乘法比及共同結果。因本篇要求觀察者能比較兩種候選運算的完整進位特徵，所以把兩個候選右操作元的位數都納入。此模型不處理硬體整數寬度、實際乘法複雜度、資料快取、平行計算、資料移動或不同基底實作的固定開銷。

對已知路徑與一組共同基底 $B$ ，總成本定義為：

J_P(B)=\sum_{q\in B}\sum_{i=1}^{3}w_q(e_i).

重要： 即使某個基底只能分辨路徑中的一個步驟，只要選擇將它用在全路徑，其他步驟的候選表示成本在本模型中仍會被計入。這就是「整條路徑的共同基底集合」與「每一步各自挑選基底」的成本差異。

本篇第二個問題是：

\min_{B\subseteq Q}J_P(B)

並保持相同的完整覆蓋約束。

3.3 兩種成本定義的界線

最少基底數量只計每條路徑選幾種基底； $J_P(B)$ 是對候選表示數位的逐步加總。前者與後者不應混稱為「最低計算成本」。另一個合理的成本模型，可能以逐位乘法卷積項目數、傳輸位元數、基底切換開銷或真實儀器能耗計價；這些模型的最佳方案未必和本文相同。

因此本篇所有「最優」均必須附帶目標函數，而不能無條件說哪一種進位制「最好」。

4. 最小位數覆蓋的精確演算法與完備性

4.1 定理 4.1：三邊路徑最多只需三種基底

定理。 在上節的三步覆蓋問題中，只要所有 $w_q(e)>0$ ，則存在一組位數成本最小的完整覆蓋 $B^*$ ，滿足：

|B^*|\le3.

證明。 考慮任一成本最小的基底集合。若某個基底被移除後仍能覆蓋全部三個步驟，就能嚴格降低正成本，與最小性矛盾。因此最優集合是包含極小的覆蓋。對其中每個基底，至少有一個步驟是只能靠該基底覆蓋的私有步驟；否則它可被移除。不同基底不可能具有同一個私有步驟。因此基底個數不超過三個步驟數。證畢。

同樣的論證對一般長度 $s$ 的已知路徑給出 $|B^*|\le s$ ，但搜尋成本與 $s$ 的增長需要另外評估。

4.2 用三位元覆蓋碼將基底分組

對每個基底 $q$ ，定義：

M_q(P)=\sum_{i=1}^{3}2^{i-1}s_q(e_i).

因三個步驟最多產生 $2^3=8$ 種覆蓋碼，去除完全沒有分離能力的 $M_q=0$ ，只剩七種非空覆蓋模式。對相同模式的候選基底，保留其中成本最低的一個即可，因相同模式的其他基底不會增加覆蓋能力，只可能增加正成本。

程式對七種模式的代表做至多三基底組合的精確枚舉，並以總成本、基底數量及基底字典序依次決定唯一輸出。這不是貪婪式猜測，而是利用有限三步結構證明完備的窮舉法。

4.3 獨立的八狀態動態規劃

為避免兩種同源程式錯誤碰巧產生相同總計，另建立獨立的動態規劃：

DP_j(m)=\text{處理前 }j\text{ 個基底後，覆蓋碼 }m\text{ 的最低成本},

其中 $m\in\{0,1,\ldots,7\}$ 。新基底可以不選，也可以把當前覆蓋碼從 $m$ 更新為 $m\mathbin{|}M_q$ ；更新時加上該基底的完整路徑成本。

演算法逐一處理 $q=2,\ldots,80$ ，最後取 $DP(7)$ 。完整實驗要求：30,342 條路徑的成本、所選基底與字典序決勝結果都必須與前節模式枚舉逐筆完全一致。這比只驗證總成本更嚴格。

4.4 已知路徑的逐事件最小成本下界

若觀察者可以在每個步驟 $i$ 只選一個對該步有分離能力的基底，而不必把它也施加在其他步驟上，則其最低候選位數成本為：

J_{\mathrm{event}}(P)= \sum_{i=1}^{3}\min_{q:s_q(e_i)=1}w_q(e_i).

此模型自然滿足：

J_{\mathrm{event}}(P)\le\min_BJ_P(B).

但它具有更自由的操作介面；不能以同一方案的成本下降，直接聲稱存在某種免費的全路徑基底切換能力。

5. 最小基底數與最少位數成本不等價

5.1 一條可完整手算的反例

考慮三邊數值路徑：

1\longrightarrow4\longrightarrow1\longrightarrow34.

其兩種無向邊分別有精確關係：

4=1+3=1\times4,

34=1+33=1\times34.

在整數基底 $2$ ，兩種邊的加法與乘法進位都可以分辨，因此只需要一個基底。但按本篇位數成本：

每次觀察 $\{1,4\}$ 在基底 $2$ 的 $w_2$ 為 $9$ ；兩次合計為 $18$ 。
觀察 $\{1,34\}$ 在基底 $2$ 的 $w_2$ 為 $19$ 。
因此全路徑使用基底 $2$ 的成本為 $18+19=37$ 。

若改用共同基底集合 $\{4,34\}$ ：

基底 $4$ 的三步數位寬度合計為 $6+6+10=22$ 。
基底 $34$ 的三步數位寬度合計為 $4+4+6=14$ 。
因此總成本為 $22+14=36$ 。

基底 $4$ 辨識兩次 $1\leftrightarrow4$ ，基底 $34$ 辨識 $1\leftrightarrow34$ ；兩者合併覆蓋全部三步。雖然方案使用的基底數由 $1$ 變成 $2$ ，模型位數成本卻由 $37$ 降為 $36$ 。

這是由確切位數及完整分離能力逐項計算的反例；不是以圖片的排列、主觀美觀或模糊計算速度取得。

圖 3：一個兩基底成本優於單基底的精確反例

5.2 為何不能只展示兩個方案就宣稱全域最優

對該路徑，程式不只比較 $\{2\}$ 與 $\{4,34\}$ ；它逐一考慮全部 $2\le q\le80$ 形成的七種覆蓋碼，並由兩套獨立最佳化程序確認 $\{4,34\}$ 在本模型下確實為最佳位數成本方案。

如將成本換成真實機器耗時，該方案可能不再最佳。本文只聲明在本篇明定的數位寬度目標函數下，最少基底數與最小成本不等價。

6. 全部 30,342 條路徑的完整實驗

6.1 不改變第十九、二十篇的數值世界

主實驗固定：

K=40,\qquad|V|=80,\qquad|E|=156,

Q=\{2,3,\ldots,80\}.

使用第十四篇同樣的雙作用關係，對全部有方向、可重複節點的三步數值行走逐條建立三個精確邊鍵；得到：

30{,}342\text{ 條數值路徑},\qquad 242{,}736\text{ 條有標籤候選歷史}.

新程式先重新計算每條邊的完整加法與乘法進位，再和第二十篇釋出的每條邊分離基底集合逐筆比對；全部路徑與第二十篇 paper20_path_optima.csv 的四個精確節點也逐筆一致。

6.2 兩種最佳化對方案個數的影響

每條三步路徑選擇的基底數	最少基底數方案	最低位數成本方案
1	14,212	12,902
2	15,192	16,394
3	938	1,046
總計	30,342	30,342

恰有 1,418 條路徑在最低位數方案中比最少基底數方案多使用一種基底。其中 $1,310$ 條由一種增為兩種， $108$ 條由兩種增為三種，且沒有超過三種的最優方案。

相較於「基底數最少後，再選其中位數成本最低的方案」，這 $1,418$ 條路徑恰好也是成本嚴格改善的全部案例。其他路徑兩個目標可同時達成。

圖 2：兩個最佳化目標的選用基底數分布

6.3 全部路徑的候選數位寬度加總

觀察策略	總位數成本代理值
全部 12 個質數基底，觀察每一步	7,527,046
最少基底數，採字典序第一方案	1,639,200
最少基底數，其內再極小化位數成本	1,248,500
直接極小化全路徑位數成本	1,234,172
每一步各挑一個位數成本最低的分離基底	662,406

最低位數方案相較於「在最少基底數內選最佳」減少：

\frac{1{,}248{,}500-1{,}234{,}172}{1{,}248{,}500} \approx1.147617\%.

相較於字典序第一的最少基底數方案，減少約 $24.708882\%$ 。後者的大幅差異來自同樣是基底個數最少，所選的具體基底也很重要，不能把所有改善都歸功於多用一種基底。

圖 1：全部三步路徑的數位寬度模型成本

6.4 觀察次數與表示位數的兩張不同帳

沿用第二十篇的「基底 × 步驟」觀察位置數：

策略	觀察位置數
全部質數基底	1,092,312
最少基底數的全路徑方案	142,230
最低位數成本的全路徑方案	146,484
每一步只觀察一個分離基底	91,026

位數最優方案比基底個數最少方案多 $4,254$ 個觀察位置，但位數總和反而較小。因此不應把「觀察位置數較少」與「候選表示總位數較少」誤當成同一項性能指標。

同理，逐事件方案成本較低，是因為允許不同步驟獨立選擇基底與只在該步計價；如果實際硬體的基底切換非常昂貴，該方案未必具有相應的時間優勢。

7. 回饋式查詢在已知路徑上的嚴格界線

7.1 查詢模型

令已知精確數值路徑 $P$ 的三步操作位元為：

\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{0,1\}^3.

每次選定一個基底 $q$ ，觀察者取得該基底在三個步驟的完整可信執行進位向量。若 $s_q(e_i)=1$ ，觀測值可以唯一決定第 $i$ 個操作位元；若 $s_q(e_i)=0$ ，該步的兩個候選操作回傳完全相同的向量，無法排除其中任何一種。

考慮允許根據前幾次觀測到的位元，決定下一次要查詢哪個基底的策略。查詢成本設定為第 3 節的固定 $w_q(e)$ 加總，不依未知操作選擇或回傳的進位向量值改變。

定理 7.1（回饋式觀察無額外成本收益）

在已知路徑、三個操作位元事先沒有相關性限制、完整可信進位指紋、每種查詢成本固定為正值的條件下，任何保證辨識全部 $2^3$ 種可能標籤歷史的回饋式決策樹，其每個成功葉節點都必須查詢一組覆蓋所有三步的基底集合。因此：

\text{任一成功查詢歷史之成本}\ \ge\ \min_BJ_P(B).

而事先固定使用成本最小的覆蓋 $B^*$ 可達到此界線。故在此模型下，回饋式查詢不會降低保證完整辨識的最壞情況成本，也不會降低逐成功葉的最低成本。

證明。 假設某個成功葉的查詢基底集合未覆蓋第 $i$ 步。則對該葉所用過的每個基底 $q$ ，第 $i$ 步兩種操作的進位指紋都相同。因此保持其他操作位元不變，只把 $\epsilon_i$ 由 $0$ 翻為 $1$ 或反向，兩組候選歷史會給出完全相同的所有已查詢觀測值，並沿同一條決策樹路徑到達該葉。這與葉節點宣稱能唯一辨識完整歷史矛盾。故每個成功葉的基底集合都必須覆蓋所有步驟，其固定正成本至少為 $\min_BJ_P(B)$ 。反向採用事先求得的 $B^*$ ，必能辨識全部操作位元，達到同一下界。證畢。

7.2 何時上述定理不適用

本定理只處理非常特定的已知路徑、獨立二元操作選擇、固定成本、完整零誤差辨識問題。下列變更都需要新的實驗：

路徑本身未知，先前觀測會透露下一步可能的端點；
不同步驟的操作標籤受到額外語法或程式狀態相關性限制；
查詢成本會依實際操作位元、輸出資料大小或重播策略改變；
允許以一定機率猜測、放棄部分辨識或只回答某個特定命題；
觀測含錯誤、失真或缺失，需設計冗餘查詢與修復程序。

在這些情況下，「自適應」可能具有不同的定義與效益，不能用本定理作過度否定。

7.3 部分查詢下的精確殘餘歧義

若觀察集合 $B$ 尚有 $u$ 個步驟完全未被任何基底分離，則在三個操作位元互不受限的條件下，每一組合法的觀察結果仍對應：

2^u

種不同操作標籤歷史。若額外採用均勻、互相獨立的先驗分布，條件熵恰為 $u$ 位元。這是標準二元資訊計數，而非對人類認知或物理資訊量的普遍測量。

此結論與第十九篇的指紋纖維定理一致；本篇只把它接到成本敏感查詢的行為界線。

8. 可辨識性與「真正發生過的運算」之間的距離

8.1 模擬兩條可能軌跡，不等於觀察歷史

假設觀察者只知道：

2+10=12, \qquad 2\times6=12.

即使觀察者能在二進位、十進位或任意其他進位基底下算出兩套正確進位向量，仍不能只靠這些反事實候選模擬，推斷過去的某個程式究竟執行加法還是乘法。

兩套候選完全可計算，是辨識能力的必要建模工具；實際取得執行時留下的觀測向量，則是另一個資料來源問題。這與第九篇正向算術見證不等於排除其他來源的道理相同。

8.2 可驗證觀察證書的最低資料欄位

本篇的合成測試證書包含：

{
  "schema": "RTGO-XXI-CERT-v1",
  "provenance": "synthetic_demonstration",
  "K": 40,
  "path": [1, 4, 1, 34],
  "bases": [4, 34],
  "decoded_bits": "101"
}

正式 JSON 另保留逐步、逐基底的完整 observed 進位向量。驗證器先從數值端點重新建立兩種合法操作，再比對每個觀察向量是否匹配且僅匹配其中一種，最後檢查宣告的操作位元字串。

在此條件式語義下，證書可以證明：「若此向量確實來自該次執行，且採用指定標準算法，則操作選擇必為所解碼者。」但不能僅靠這個 JSON 證明某一段歷史中真的有人或某台設備執行過該運算。

8.3 驗證器拒絕的負對照

程式至少檢查：

每個數值端點是否為 $G_{40}$ 的合法雙作用邊；
整數運算元及精確除法的合法性；
進位向量是否能由標準逐位演算法重算；
是否存在兩個候選都匹配、因而仍未解決的模糊步驟；
宣告的 decoded_bits 是否與唯一可行的位元序列相符；
故意竄改任一進位係數或位元宣告時是否拒絕接受。

本篇的範例證書全部標示為 synthetic demonstration，並未聲稱擁有真實設備量測資料、簽章或安全硬體認證。

8.4 為何跨基底證書與基底自適應策略不是同一件事

一份精確的操作事件證書可直接保存數值端點與操作選擇，並在任何基底下重新算出對應的理論進位；這是跨基底重現算術語義。若要從未經標記的歷史進位紀錄反推操作，才需要本篇的分離基底策略，且資料來源必須可信。

因此，觀察策略的研究可以協助決定需要量測什麼，卻不能自動提供誰在什麼時候真的做了什麼的證據。

9. 研究的負結果與可推廣界線

9.1 最少基底不必然最省數位

第 5 節的 $1\to4\to1\to34$ 是嚴格反例。但這個反例依賴四項正整數數位寬度相加的成本模型；若計入其他軟體與硬體開銷，最佳方案需要重新計算。

9.2 回饋式查詢不總能降低成本

本篇已證明，在已知路徑與每步獨立操作位元的完整零誤差辨識模型裡，回饋式策略沒有比固定最優覆蓋更低的保證成本。但這不是說一般主動學習、部分可觀測系統或含噪聲的推論都沒有自適應價值。

9.3 位數成本不等於資訊熵、壓縮位元或 CPU 時間

$L_q(x)+L_q(d)+L_q(r)+L_q(y)$ 是候選表示數位的代理指標，未計算每個高進位數字本身在二進位記憶體中需要幾個位元，也未估計單位數字乘法成本。因此數字較少不等於傳輸位元較少、實際執行較快或能耗較低。若要做工程性能研究，應另以確定的軟硬體環境測量。

9.4 依進位差作判定必須指定演算法

本文區分操作使用標準加法及標準卷積乘法；逆向除法使用逆乘法一致性向量，不是實際長除法演算法。如果更換逐位演算法，某些指紋特徵可能改變，必須重新檢查分離能力及最佳覆蓋。

9.5 不是所有路徑，也不是所有實數

$30,342$ 條三步行走是同一張有限 $G_{40}$ 圖上的全部長度恰為三的有向數值行走，並非 1–1000 所有二步、三步、任意長度算術歷史的總和，更非無限精度的實數運算。

9.6 依事後模擬不能推出真實歷史

無論觀察基底有多少，只要缺少可信的執行紀錄，產生兩套可能進位指紋仍只是在做條件式反事實計算。對來源可信性的宣稱應另有獨立可核查資料，不能由已知算術恆等式提供。

10. 完整重現協定

10.1 主程式與兩條獨立最佳化路徑

核心 verify_paper21.py 使用 Python 3 標準函式庫，不依賴網路、商業 API、浮點近似或專用數論函式庫。流程依序為：

從 $y=x+d=xr$ 的整數條件重建 $G_{40}$ 的全部 $156$ 條邊。
對每條邊與每個 $q=2,\ldots,80$ ，逐位生成兩種標準算法進位向量。
另以數位多項式缺陷遞迴獨立重建進位，逐係數確認一致。
重建全部 $30,342$ 條有向三步數值行走。
對每條行走獨立執行「覆蓋模式枚舉」及「八狀態動態規劃」，要求完整最優方案逐筆相同。
同時計算最少基底數、在最少數量下的最佳位數成本，以及不限制基底數的最佳位數成本。
與第二十篇釋出的分離集合、路徑母集合及最少基底數逐項核對。
測試合成觀察證書，要求正例接受、竄改進位與宣告位元的負例拒絕。

此處「獨立」指不同的最佳化計算路徑交叉驗證，並非兩份不同數學語法各自任意得出相同數字。

10.2 套件交付內容

檔案	用途
`EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_21_v0.1.md`	UTF-8 Markdown 正式原稿
`verify_paper21.py`	標準整數位值、成本最優覆蓋及證書驗證
`make_figures.py`	從核准資料重新生成三組 PNG/SVG 研究圖
`validate_paper21.py`	原始碼、資料、圖檔及發行 manifest 驗證
`data/paper21_edge_cost_index.csv`	全部 156 條邊的完整基底分離能力索引
`data/paper21_path_cost_plans.csv`	全部 30,342 條路徑的三種成本方案與對照
`data/paper21_examples.csv`	成本反例、複合基底與三角路徑的完整進位證據
`data/paper21_synthetic_observation_certificate.json`	明示為合成資料的可重算辨識證書
`data/paper21_stats.json`	機器可讀的完整統計摘要
`reference/`	第二十篇未修改的最小覆蓋基準 CSV 與摘要 JSON
`figures/`	三組 PNG、SVG 研究視覺圖，非 canonical source
`SHA256_MANIFEST.json`	正式交付檔案的 SHA-256 完整性清單

10.3 離線執行

解壓縮完整研究套件後，在根目錄依序執行：

python verify_paper21.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper21.py

第一步重生全部正式資料及進行跨篇交叉檢驗；第二步重生圖表（需 Matplotlib）；第三步驗證原稿、資料、圖檔與 SHA-256 manifest。標準 Python 整數語義足以完成全部數值正確性檢查；Matplotlib 僅用於生成閱讀圖。

10.4 證據層級與發行前條件

正式提交前應確認：

UTF-8 可無損解碼，LF 換行，公式 source 維持唯一 $...$ 、$$...$$ 分隔符；
30,342 條路徑、156 條邊與第二十篇原始世界一致；
每條路徑的兩種最佳化算法輸出完全一致；
統計表、CSV、JSON 與文章中引用的數字一致；
合成證書與故意竄改的負例都能得到預期結果；
ZIP 獨立解壓後可重新運算所有資料，並核對所有內容雜湊。

上述是算術與軟體資料的驗證，不是外部執行來源或真實效能的可信認證。

11. 結論：觀察要被最佳化，但真實關係不應被最佳化掉

第二十篇已證明，當整張雙作用圖需要完整辨識時的最小基底，與單一已知路徑的最小基底，可能具有不同答案。第二十一篇進一步說明，即使已經限定在同一條已知路徑，仍然必須區分「最少基底數」和「最少候選數位處理量」。在 $K=40$ 的全部 $30,342$ 條三步路徑中， $1,418$ 條的位數成本最優覆蓋需要比基底數最少方案多一種觀察基底；完整模型數據與嚴格反例證明，這兩種最佳化目標不能直接等同。

其次，已知路徑且每步二元操作互不受限時，單純根據已揭露的操作位元選擇下一個基底，並無法使完整零誤差辨識突破固定最優覆蓋的理論成本下界。真正需要研究的，可能是路徑未知、狀態相依、操作間有結構性約束，或者具噪聲與量測成本變化的情況；但這些新條件必須另行形式化，不能由本篇的有限數字直接臆測。

最後，觀察基底的選擇能力也不等於歷史資料的可信性。即使某種進位制能讓兩套候選運算產生明顯不同的逐位狀態，仍需要真實觀察、可信記錄或可驗證的執行見證，才有資格說明「實際選用了哪一條」。本文的演算法與證書可保證明定條件下的精確重建，不能反過來從結果推造不存在的過去。

本篇由此在不更換任何底層數值與運算語法的前提下，建立了表示成本、觀察最優性與歷史可信性的三層分界，讓進位制塔樓不只是能展開關係的圖，更開始成為能判斷何種觀察值得執行、何種資訊必須留存，以及哪些主張尚無法由資料支持的可檢驗研究框架。

本篇核心結語：最少看幾眼，不等於最少處理多少資訊；即使看得足夠清楚，也不等於已經知道那段歷史真的如何發生。

參考文獻與系列銜接

EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05。雙作用整數圖與精確算術來源。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六至十八篇）》，2026-11-05。逐位加乘進位、完整數位缺陷與路徑重建。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九篇）》，2026-11-05。質數進位分離定理與固定已知路徑的指紋等價類。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十篇）》，2026-11-05。局部最少基底覆蓋、複合基底與逐事件觀察。
本文使用有限加權集合覆蓋、動態規劃及零誤差辨識決策樹的標準組合最佳化思路，不宣稱這些通用數學方法為本研究新發明；其特殊研究對象是帶完整進位見證的有限雙作用算術圖。

End of Paper XXI (v0.1).

進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十一篇）

進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十一篇）

進位觀察的成本敏感最小覆蓋、回饋式查詢的有限界線與可信歷史見證

摘要

1. 問題重定位：從「幾個進位制」到「為何觀察」

1.1 第二十篇完成了什麼

1.2 本篇刻意區分的五個物件

2. 沿用的有限整數圖與進位觀察

2.1 精確雙作用圖

2.2 標準完整進位向量

2.3 為何只須檢查 2≤q≤802\le q\le802≤q≤80

3. 兩個明確不同的最佳化目標

3.1 三邊有向數值行走

3.2 候選算術表示位數工作量

3.3 兩種成本定義的界線

4. 最小位數覆蓋的精確演算法與完備性

4.1 定理 4.1：三邊路徑最多只需三種基底

4.2 用三位元覆蓋碼將基底分組

4.3 獨立的八狀態動態規劃

4.4 已知路徑的逐事件最小成本下界

5. 最小基底數與最少位數成本不等價

5.1 一條可完整手算的反例

5.2 為何不能只展示兩個方案就宣稱全域最優

6. 全部 30,342 條路徑的完整實驗

6.1 不改變第十九、二十篇的數值世界

6.2 兩種最佳化對方案個數的影響

6.3 全部路徑的候選數位寬度加總

6.4 觀察次數與表示位數的兩張不同帳

7. 回饋式查詢在已知路徑上的嚴格界線

7.1 查詢模型

定理 7.1（回饋式觀察無額外成本收益）

7.2 何時上述定理不適用

7.3 部分查詢下的精確殘餘歧義

8. 可辨識性與「真正發生過的運算」之間的距離

8.1 模擬兩條可能軌跡，不等於觀察歷史

8.2 可驗證觀察證書的最低資料欄位

8.3 驗證器拒絕的負對照

8.4 為何跨基底證書與基底自適應策略不是同一件事

9. 研究的負結果與可推廣界線

9.1 最少基底不必然最省數位

9.2 回饋式查詢不總能降低成本

9.3 位數成本不等於資訊熵、壓縮位元或 CPU 時間

9.4 依進位差作判定必須指定演算法

9.5 不是所有路徑，也不是所有實數

9.6 依事後模擬不能推出真實歷史

10. 完整重現協定

10.1 主程式與兩條獨立最佳化路徑

10.2 套件交付內容

10.3 離線執行

10.4 證據層級與發行前條件

11. 結論：觀察要被最佳化，但真實關係不應被最佳化掉

參考文獻與系列銜接

2.3 為何只須檢查 $2\le q\le80$