關係幾何與載體展開・生物視覺分支 VI：主動掃描路徑的資訊最佳化、動態場景補償與關係可辨識性

English title: Relational Geometry and Carrier Unfolding — Biological Vision VI: Information-Guided Active Scanning, Dynamic-Scene Compensation, and Relational Identifiability

系列： RGC-BV06；承接 RGC-BV01–BV05，原 RGC 數學主線 P01–P12 維持獨立。
版本／日期： v1.0.0 / 2026-11-05
原始問題與載體—關係幾何研究方向： Neo.K
文獻檢核、數學形式化、演算法、合成實驗與原稿協作： GPT-6
形式： 正式原始碼為 UTF-8 Markdown（LF、無 BOM）；數學只使用 $...$ 和 $$...$$ 為 canonical delimiter，不以聊天畫面渲染取代原稿。
驗證範圍： 限定數學模型內的推導、Python 單元測試及固定種子的合成實驗；未涉及活體觀察、個體神經資料或外部同行評審。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
日期： 2026-11-05
版本： v1.0.0

摘要

前篇 BV05 指出，窄視野或單列感測系統可透過已知的掃描位置逐步建構二維視覺表示；若場景具有有限頻帶先驗，所需的掃描列數可以小於像素行數，但掃描位置影響數值穩定性。本文進一步問：在有限的感測機會下，應該觀察哪裡；而當被觀察的場景也在移動時，哪些關係仍可辨識？

本文以實數傅立葉基底表示沿掃描方向的有限維場景，加入高斯先驗、位置相依的已知雜訊及一維掃描路徑。先推導增加任一掃描位置的條件資訊增益，證明在固定場景、獨立雜訊與固定候選集合的假設下，資訊目標單調且具次模性，因而可以套用既有的基數約束貪婪近似界。隨後明確區分資訊量、貝氏預測均方誤差與感測器的移動距離，並以路徑懲罰的建構性啟發式作為比較，不將後者宣稱為全域最優。

在動態場景部分，以已知速度的純平移為最小前向模型，證明校正後的有效掃描座標可以恢復靜態參照場景，但速度接近掃描速度時會壓縮有效採樣範圍，造成病態反演。另構造不同場景函數與不同運動速度產生完全相同時間序列的精確反例，說明未知運動與未知場景同時反演，必須加入比純時間資料更強的先驗。

合成實驗使用 $80$ 個候選位置、 $11$ 次掃描、 $7$ 維傅立葉係數；資訊量貪婪路徑得到 $23.94395$ nats，均勻路徑為 $23.34959$ nats，但均勻路徑的期望場景均方誤差較低。已知平移速度為 $0.27$ 時， $120$ 次重播的平均重建 RMSE：忽略運動為 $0.46544$ ，正確補償為 $0.02301$ ；當速度提高到 $0.42$ ，補償結果的 RMSE 亦上升至 $0.10750$ ，凸顯「知道幾何位移」不等於「採樣足夠穩定」。

全文所稱「關係維度」只指在指定資訊矩陣度量下的譜參與比。可在兩個非零本徵值為 $1$ 與 $1/2$ 時精確得到 $1.8$ ，但不構成任何生物擁有非整數座標軸的證據。

關鍵詞： 生物視覺；載體幾何；主動掃描；線掃描；次模資訊增益；有限頻帶；場景運動補償；可辨識性；路徑成本；關係參與比。

1. 生物學動機與研究界線

1.1 跨物種參照

螳螂蝦的中帶視覺感受器具有狹窄的空間覆蓋，其慢速眼球掃描被比擬為工程中的 push-broom 線掃描 [R1, R2]。有關螳螂蝦以眼部掃描與時間訊號進行色彩處理的提案受到 2014 年行為研究支持 [R1]；不過 2025 年的行為研究也報告了口足類存在光譜對抗處理的證據 [R3]，因此不能將單一的舊有色彩處理假說視為全物種已定論的神經演算法。

跳蛛的主要眼睛則有眼內視網膜運動，能使有限視野掃描目標 [R4]。這些生物學實證只支持「主動感測位置會變動、感覺系統有不同載體」的研究動機。本文並未證明任何動物使用貝氏 D-optimal 路徑、本文的 Fourier 反演器或特定速度補償公式。

1.2 三個不可混淆的空間與目標

外部場景幾何： 某一時刻的二維亮度／色彩場 $F_0(x,y)$ 。
感測與運動幾何： 感測器一次讀取一條 $y=\text{常數}$ 的列，並隨時間移動；其移動路徑與場景的實際運動分開建模。
資訊關係幾何： 掃描方向、雜訊、先驗與後驗不確定性共同定義的資訊算子；其秩與譜參與比不等同於物理空間維度。

有了這項區分，才能問一條線如何在時間中被組織成更高維的資訊表示，而不是把掃描本身解讀成多創造了一條真實座標軸。

2. 有限頻帶掃描模型

令每個橫向像素位置 $x$ 的靜態場景沿垂直方向為 $K$ 階實數傅立葉展開。本文固定 $K=3$ ，因此每個獨立橫向通道有 $p=2K+1=7$ 個未知係數：

F_0(x,y)=h(y)^T c_x,

h(y)=\bigl(1,\sqrt2\cos(2\pi y),\sqrt2\sin(2\pi y),\ldots,\sqrt2\sin(2\pi K y)\bigr)^T.

上式的省略號代表依序加入 $k=2,3$ 的餘弦、正弦兩個基底。掃描器在 $y_t$ 的單一橫向通道讀數為

z_t=h(y_t)^Tc_x+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\sim N(0,\sigma_t^2).

所有橫向通道可以各自採用同一組掃描位置與同一先驗結構；本文的路徑目標以每個通道的資訊量計算，不把多通道重複資訊加總後誤認為新空間維度。先驗為

c_x\sim N(0,\Sigma_0),\qquad \Sigma_0=\operatorname{diag}(1,0.8,0.8,0.45,0.45,0.25,0.25).

對於已選的位置集合 $S$ ，其後驗協方差為

\Sigma_S=\left(\Sigma_0^{-1}+\sum_{y\in S}\frac{h(y)h(y)^T}{\sigma_y^2}\right)^{-1}.

本研究的雜訊為人工設定，與任何生物實測無關。具體取

\sigma(y)=0.045+0.26\exp\left(-\frac{(y-0.22)^2}{0.105^2}\right) +0.18\exp\left(-\frac{(y-0.70)^2}{0.08^2}\right).

設 $80$ 個等間隔候選位置 $y_j=j/80$ ，每個方案最多選 $11$ 個互異位置。

3. 靜態場景的資訊定理

定理 BV06.T1｜單次掃描的條件資訊增益

在上述線性高斯與條件獨立雜訊模型下，新增位置 $y$ 的條件互資訊為

\Delta I(y\mid S)=\frac12\log\left(1+\frac{h(y)^T\Sigma_S h(y)}{\sigma_y^2}\right).

證明。 單次更新的精度矩陣增加秩一量 $h(y)h(y)^T/\sigma_y^2$ 。由矩陣行列式引理，更新前後的後驗協方差行列式比等於 $1+h(y)^T\Sigma_Sh(y)/\sigma_y^2$ 。高斯條件熵的差為其對數的一半，得到上述公式。證畢。

定理 BV06.T2｜單調性、次模性與貪婪界

定義已選掃描的總資訊

\mathcal I(S)=\frac12\log\frac{\det\Sigma_0}{\det\Sigma_S}.

若各候選位置的觀測雜訊獨立、變異固定且嚴格為正，則 $\mathcal I(\varnothing)=0$ ， $\mathcal I$ 單調不減，且滿足次模性。對固定掃描次數 $B$ ，每次選擇最大 $\Delta I$ 的集合 $S_g$ 滿足

\mathcal I(S_g)\geq(1-e^{-1})\max_{|S|\leq B}\mathcal I(S).

證明。 如果 $A\subseteq B$ ，則資訊精度矩陣的偏序給出 $\Sigma_A\succeq\Sigma_B$ 。因此 $h(y)^T\Sigma_Ah(y)\geq h(y)^T\Sigma_Bh(y)$ ，再代入 T1 的單調對數函數，即得到 $\Delta I(y\mid A)\geq\Delta I(y\mid B)$ 。單次增益非負，故目標單調。最後直接應用已知的非負、正規化、單調次模函數在基數限制下的標準貪婪近似定理 [R5]。證畢。

關鍵界線： $S$ 是集合，不包含移動路徑的順序；加入連續動態場景、測量相關雜訊、未知增益或路徑成本後，不能不加條件地沿用本定理。且在已知固定雜訊的線性高斯模型中，後驗協方差不依賴本次讀值的具體數值，所以此處的「主動」是根據既有不確定性與量測設計做選擇，不等於觀測內容觸發的生物注意力策略。

定理 BV06.T3｜資訊量與影像 MSE 的非等價性

對 $G$ 個均勻分布的評估行所構成的矩陣 $H_G$ ，後驗均值在指定先驗下的期望場景均方誤差為

\mathcal R(S)=\frac1G\operatorname{tr}(H_G\Sigma_SH_G^T).

其中 $\mathcal I$ 取決於協方差行列式， $\mathcal R$ 取決於加權跡，它們一般不具有相同的排序關係。

精確理由。 對不同正定矩陣，較小行列式不推出較小跡。例如 $\operatorname{diag}(0.01,4)$ 的行列式 $0.04$ 小於 $\operatorname{diag}(0.5,0.5)$ 的 $0.25$ ，但其跡 $4.01$ 大於 $1$ 。這個矩陣反例說明兩個準則不等價；第 6 節則提供一組由本篇實際掃描位置產生的數值比較。證畢。

4. 路徑成本的幾何關係

對依序選擇的位置 $y_1,\ldots,y_B$ ，從 $y_0=0$ 出發，定義總移動距離

L(y_1,\ldots,y_B)=\sum_{t=1}^B|y_t-y_{t-1}|.

本文僅採用一個啟發式：在當前位置 $y_{t-1}$ 選使下式最大的未掃描位置，然後移動。

Q_t(y)=\Delta I(y\mid S_{t-1})-\lambda|y-y_{t-1}|,\qquad\lambda=0.22.

這裡 $\lambda$ 的單位是每一單位正規化移動距離的 nats 懲罰。該策略受到有限資源主動感測問題啟發，但不具備本篇 T2 的 $1-1/e$ 保證，因為加總的距離依賴順序。只選 $B$ 次的固定掃描預算也不表示為真實動物設定了能量或時間單位。

5. 動態場景與未知運動的不可辨識性

5.1 已知純平移的補償模型

讓外部場景在時間 $t$ 沿掃描方向以常速度 $v$ 平移：

F_t(x,y)=F_0(x,y-vt).

觀察者知道自身位置 $y_t$ ，於是

z_t(x)=F_0(x,y_t-vt)+\varepsilon_t(x).

若 $v$ 已知、時間戳正確、場景只有上述純平移且有限頻帶先驗成立，便能改用有效掃描位置 $\widetilde y_t=y_t-vt$ 構造前向矩陣，再以最小平方解恢復靜態場景係數。

定理 BV06.T4｜已知運動時的充分辨識與誤差界

若有效位置的設計矩陣 $H_v$ 滿列秩，則無噪音下 $c_x$ 唯一可辨識。有噪音時，最小平方估計滿足

\|\widehat c_x-c_x\|_2\leq\frac{\|\varepsilon_x\|_2}{\sigma_{\min}(H_v)}.

證明。 $H_v$ 滿列秩意味存在左逆；最小平方誤差為 $H_v^\dagger\varepsilon_x$ ，其算子範數為最小奇異值的倒數。證畢。

重要反例： 即使 $v$ 已知，當掃描位置為 $y_t=ut$ 、且 $v$ 接近 $u$ 時， $\widetilde y_t=(u-v)t$ 會擠在很窄的區間， $H_v$ 可能變得病態。當 $v=u$ 時所有有效位置完全相同，若 $p>1$ ，前向矩陣不再滿列秩。故運動校正不保證有效空間覆蓋。

定理 BV06.T5｜未知速度—未知場景的精確歧義

考慮只知道掃描路徑 $y(t)=t$ 、未知場景函數與場景速度的單一時間序列。以下兩個不同解釋完全相容：

v_1=\frac14,\qquad f_1(z)=\sin(\pi z),

v_2=\frac12,\qquad f_2(z)=\sin\left(\frac{3\pi z}{2}\right).

對每個掃描時間 $t$ ，皆有

f_1((1-v_1)t)=\sin\left(\frac{3\pi t}{4}\right)=f_2((1-v_2)t).

但 $v_1\ne v_2$ ，且 $f_1\ne f_2$ ，所以純粹由時間序列不可能唯一區分這兩種「場景＋速度」解釋。證畢。

適用域警告： T5 的兩個函數屬於一般連續場景類，不能未經查驗便宣稱它們同時屬於第 2 節的同一個固定週期、固定頻寬 $K=3$ 傅立葉空間；加入已知頻譜及其他外部約束，可能排除這個特定反例。T5 的結論是：在沒有那些附加先驗的較廣模型中，存在不可消除的歧義。

命題 BV06.P1｜忽略運動所引起的單點誤差界

若靜態場景 $f$ 是 $L$ -Lipschitz 函數，則

|f(y-vt)-f(y)|\leq L|v|t,\qquad t\geq0.

這由 Lipschitz 定義立即成立。該式是保守的誤差上界，不等同於最小平方估計的全域重建誤差，也不包含未知姿態、遮蔽或非剛性變形。

6. 固定種子的合成實驗與數值結果

6.1 靜態路徑設計

候選位置 $80$ 個，掃描預算 $11$ ， $K=3$ ，採用第 2 節的非均勻噪音及先驗。隨機基準為固定種子的 $300$ 條隨機路徑，距離按其抽取順序計算；均勻掃描按由小到大的位置順序移動。

方案	資訊量（nats）	後驗理論場景 MSE	總移動距離
均勻掃描	23.34959	0.00821	0.98750
不計移動的資訊貪婪	23.94395	0.00933	6.08750
加入 $\lambda=0.22$ 距離懲罰	23.91925	0.01103	3.31250
隨機選擇平均， $300$ 組	21.27665	0.06328	3.81242

因此，此一模型下，資訊貪婪在所比較的三種固定策略中取得最大資訊量，但均勻掃描具有較低的預期場景 MSE 與更短的移動路徑。距離懲罰策略將資訊貪婪的移動距離由 $6.0875$ 降到 $3.3125$ ，但對場景 MSE 也有代價；此處沒有證明它是資訊—距離 Pareto 最佳解。

另以每一固定設計 $320$ 次獨立抽樣，驗證解析預期 MSE：均勻、資訊貪婪及距離懲罰策略的實驗平均分別約為 $0.00847$ 、 $0.00944$ 、 $0.00988$ 。有限抽樣偏差屬蒙地卡羅波動，不能把單次平均值當作後驗風險的精確值。

掃描位置與空間雜訊

資訊與移動距離

後驗理論與實驗風險

6.2 動態場景補償

場景以 $64$ 個橫向通道與 $7$ 維垂直基底生成，掃描 $30$ 次，時間 $t_j=j/30$ ，感測器位置 $y_j=t_j$ ，添加標準差 $0.02$ 的獨立高斯雜訊。對每個運動速度固定模型、獨立重播 $120$ 次。重建誤差均以靜態參照場景的 $128\times64$ 評估格點計算。

場景速度 $v$	正確補償平均 RMSE	誤當靜態平均 RMSE
0.00	0.00963	0.00963
0.12	0.01053	0.26661
0.27	0.02301	0.46544
0.42	0.10750	0.52125

第一個結果顯示，在模型完全正確且速度已知的情況下，補償通常顯著降低偏差；第二個結果顯示隨著有效採樣跨度縮小，補償重建的變異仍會增加。這些值不包含速度估計誤差、遮蔽、光照變化或非剛性變形，因此不代表任何實際生物視覺或機械設備的測量表現。

場景運動的參照、未補償及補償影像

動態速度掃描下的重建誤差

6.3 關係參與數與原始 1.XD 問題

對非負特徵值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ ，定義特定資訊度量下的譜參與數：

D_{\mathrm{PR}}=\frac{(\sum_i\lambda_i)^2}{\sum_i\lambda_i^2},

其中分母為零時另定 $D_{\mathrm{PR}}=0$ 。如果僅有兩個正本徵值 $1$ 與 $1/2$ ，則

D_{\mathrm{PR}}=\frac{(1+1/2)^2}{1+(1/2)^2}=\frac95=1.8.

這是可驗證的有效關係參與數。改變參數化方式、量測噪音度量或先驗，通常會改變此指標；它既不能直接當作宇宙的分數座標維度，也不是某個物種的天生「1.8D 視覺」。

資訊譜參與數與本徵值比例

7. 綜合討論：感測決策如何改變可辨識的幾何

本篇研究將三條連續但不同的論述接起來。

第一，單一掃描線能取得哪些關係，取決於感測方向、所在位置與噪音，而不只取決於線本身的幾何長度。第二，當觀察者能夠主動移動感測載體時，觀察者可以改變接下來的資訊算子，但資訊增加、預測誤差、移動成本三者並不等價。第三，若外部場景同時變動，正確的時間—空間對應是必要資訊，而有限頻帶或多觀察者先驗可能成為解除歧義的條件。

因此，「視覺表示的有效關係維度」在這個模型中是一種對特定觀察任務所保留可辨識關係的度量，不是對外界空間維度做新的本體論斷言。最應避免的推論是：某種動物利用一維線索掃描，便「直接看見了 1.XD 空間」。本系列目前沒有支持該說法的實測證據。

對生物學而言，這裡提出的是可比較的理想感測策略與失敗模式。真實跳蛛與螳螂蝦具有不同的周邊視覺、姿態控制、神經延遲、物理光學與行為目標；只要不將這些因素納入，就不能由合成資訊增益數據推出牠們的實際掃描行為是最佳化的結果。

8. 主要結論與嚴格界線

BV06.C1： 在固定靜態線性高斯模型內，掃描資訊是單調次模函數，可對基數限制使用經典貪婪近似界。這是已知數學理論在本載體模型上的實例，而非新的次模性定理。

BV06.C2： 最大互資訊、最小預期場景 MSE、最短掃描路徑是三個不同目標；本篇提供固定種子與完整原始數據的可重現數值反例。

BV06.C3： 已知純平移速度時，可以校正有效掃描位置，但有效採樣位置若擠壓至狹窄區域，仍會發生病態或退化。

BV06.C4： 對未知場景與未知速度的廣義模型，存在精確且不可由同一時間序列區分的兩種解釋；其反例不能逕行擴大到所有附加頻帶先驗的較窄類別。

BV06.C5： $D_{\mathrm{PR}}=1.8$ 可在明確關係譜模型中精確構造；它不是物理上非整數歐氏維度或任何動物主觀視覺維度的證明。

這一系列的本體論命題仍有待與具體可辨識的數學物件分開討論。本文已封存的是限定模型與合成資料下可驗證的研究成果。

9. 重現、資料與驗證說明

壓縮包根目錄包含本 UTF-8 原稿、src/、tests/、figures/、data/、requirements.txt、README.md、STATUS.md、SHA256_MANIFEST.json 和 validation_report.json。必要依賴為 NumPy 與 Matplotlib。所有隨機源採固定種子 20261105，但跨不同 NumPy／Matplotlib 版本不保證圖檔逐位元相同；驗證器的雜湊檢查針對此發行版本的實際檔案，不宣稱未來所有執行環境生成的 PNG 位元組相同。

重現步驟：

python -m pip install -r requirements.txt
python -m unittest discover -s tests -v
python src/bv06_active_scan.py --output-dir .
python verify_release.py

建立資料時，data/experiment_results.json、data/motion_sweep.csv 與 data/scan_plans.csv 記錄可核對數值；figures/ 同時包含 PNG 與 SVG。verify_release.py 檢查正式原稿的 UTF-8、LF、BOM、唯一數學 delimiter、發行雜湊與檔案集合。該檢查不代替外部定理審稿。

參考文獻

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[R6] EveMissLab RGC-BV05 (2026-11-05). 主動線掃描、一維感測到二維表示的可辨識性與關係參與維度。系列內部前篇，非獨立外部文獻驗證。

正式原始碼聲明： 本 Markdown 檔是 canonical research artifact。聊天畫面與圖片只是閱讀介面；不得由公式渲染圖像回抄或修改 LaTeX 原始碼作為正式版本。所附合成實驗只驗證既定模型中的構造與測試，不表示外部同行審查、動物實測、或任何傳統非整數歐氏空間之存在證明。