關係幾何與載體展開・生物視覺分支 II：跳蛛分層視網膜的離焦深度反演、載體關係可辨識性與有效感測維度

English title: Relational Geometry and Carrier Unfolding — Biological Vision II: Depth-from-Defocus Identifiability, Layered Optical Carriers, and Effective Sensing Dimension in a Jumping-Spider-Inspired Model
系列： RGC-BV02（承接 RGC-BV01，與 RGC P01–P12 保持主題關聯但獨立編號）
版本： 1.0.0 / 2026-11-05
原始載體／關係幾何研究問題： Neo.K
文獻辨析、形式化、程式、合成實驗及原稿協作： GPT-6
稿件性質： 文獻核對與明定假設下的解析定理、反例及可重現合成實驗；不是跳蛛視神經解碼的實測、真實光學參數反演、空間維度發現或同行審查證明。
Canonical source： 本 UTF-8 Markdown；正式數學原始碼僅使用 $...$ 、$$...$$ 作為唯一 delimiter。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
日期： 2026-11-05

摘要

RGC-BV01 提出「場景—視覺載體—可觀測關係—行為」四層框架。本篇以跳蛛主要眼睛的分層視網膜作為第一個生物學案例，尋找能被嚴格檢驗的數學對應。Nagata 等（2012）在 Hasarius adansoni 的研究確認主要眼睛四層感光結構及深層綠敏感感光層之間的焦點錯位，並利用改變照明波長後的跳躍距離偏差支持離焦測距機制。該研究沒有完整識別神經解碼演算法。後來的眼球光學模擬指出受器層厚度也可能有功能作用。

本文以單一受控空間頻率、已校準的雙感測平面、兩層共用未知物體對比度作為獨立工程化簡模型。每層的對數頻譜幅度受到高斯近似模糊影響。證明單一層在對比度未知時不可唯一估計深度，而兩層位置不同且校準有效時，可由兩份觀測的差解析地同時恢復深度和共同對比度；加入兩個未知且獨立的通道增益，又恢復不可辨識性。對加性、同方差對數噪音，導出精確估計變異數與 Fisher 資訊界；合成實驗包含 15 萬組測量，檢查解析結果的數值一致性。最後藉由既有薄透鏡色差公式展示紅光可能被綠光標定錯讀為較近的目標，並將局部 Fisher 譜參與比與真正空間維度嚴格區分。

結論： 載體不同接收深度，確實可能讓原先不可辨識的場景參數變得可辨識；這是在已知模型中的關係幾何效應，不是「跳蛛具有 1.8 條空間軸」的證據。

關鍵詞： 跳蛛；主要眼；分層視網膜；深度離焦；載體幾何；光學傳輸；可辨識性；Fisher 資訊；關係參與維度；色差。

1. 生物學證據與模型身份分離

1.1 已有實驗支持的事項

文獻觀察 B1. Nagata 等（2012）在 Hasarius adansoni 的主要眼睛確認四層感光組織。較深的 L1、L2 含綠敏感視覺色素；其中綠光在 L1 聚焦，而 L2 的相同波段光具有失焦。改變照明波長的行為實驗出現系統性距離估計偏差，支持離焦作為單眼深度線索。[R1–R2]

文獻觀察 B2. 文獻中的光學模型與行為資料支持此機制，但不等於已測得跳蛛由 L1、L2 影像進行某一指定的傅立葉對數比運算；神經編碼方式仍未確定。[R2–R3]

文獻觀察 B3. Nolte 等（2017）對 Metaphidippus aeneolus 建立光線追跡眼球模型，指出將受器視為具有厚度的結構可改善部分既有深度離焦演算法表現。這也提醒我們：真實厚透鏡、色差、受器厚度及訊號處理都比下文的雙平面模型複雜。[R3]

因此，本文把「在生物中失焦能攜帶距離訊號」列為文獻支持的命題；把「雙平面對數幅度差具有解析反演」列為本文合成理想模型的命題。二者相關，但不是同一個實驗結論。

2. 從物理場景到受器關係的前向模型

設 $z$ 為物距， $F_\lambda$ 為波長 $\lambda$ 下的有效薄透鏡焦長。在 $z>F_\lambda$ 的理想薄透鏡近似中，像距 $v$ 滿足

\frac{1}{z}+\frac{1}{v}=\frac{1}{F_\lambda}, \qquad v=\frac{F_\lambda z}{z-F_\lambda}.

這不是對真實跳蛛厚透鏡完整光線追跡的替代，只是用於解析辨識性的示範。令兩個已校準接收面的位置為 $s_1$ 、 $s_2$ ，且 $s_1\ne s_2$ ；定義無量綱的簡化失焦方差

q_j(v)=(v-s_j)^2+\sigma_0^2,\qquad j\in\{1,2\}.

共同的 $\sigma_0$ 是理想底噪／不可消除的基礎模糊尺度。假定可抽取同一物體、同一已知空間頻率 $\nu>0$ 的傅立葉幅度。以高斯模糊作點擴散函數近似，該頻率的傳遞幅度是 $\exp(-2\pi^2\nu^2q_j)$ 。令

k=2\pi^2\nu^2>0, \qquad a=\log A,

其中 $A>0$ 是兩層共同且未知的場景頻率對比度，則測量模型為

y_j=a-k\left[(v-s_j)^2+\sigma_0^2\right]+\varepsilon_j. \tag{1}

測量可視為已註冊、增益已校準的兩個接收通道之對數頻率幅度。這裡假定共同 $A$ 、共同 $k$ 、共同 $\sigma_0$ ，且同一空間頻率不因兩層成像倍率而改變。缺乏頻率紋理、未註冊、個別增益未知、強飽和或非高斯 PSF 時，後面的推導不可直接套用。

圖一是理想光學示意而非生物解剖圖：figures/01_two_layer_carrier_schematic.png。

3. 定理一：一層的未知對比度歧義，兩層的解析反演

定理 BV02.T1（雙平面共同紋理的可辨識性）

假設式 (1) 無噪音、 $s_1\ne s_2$ 、 $k>0$ ，且兩層共用同一未知 $a$ 。則未知參數 $(v,a)$ 可由 $(y_1,y_2)$ 唯一恢復，並有

\widehat v=\frac{s_1+s_2}{2}-\frac{y_1-y_2}{2k(s_2-s_1)}, \tag{2}

\widehat a=y_1+k\left[(\widehat v-s_1)^2+\sigma_0^2\right]. \tag{3}

證明。 直接相減消去共同未知的 $a$ 與 $\sigma_0^2$ ：

y_1-y_2=-k\left[(v-s_1)^2-(v-s_2)^2\right] =-2k(s_2-s_1)\left[v-\frac{s_1+s_2}{2}\right].

由 $k(s_2-s_1)\ne 0$ ，可唯一求得式 (2)，再回代式 (1) 求得式 (3)。證畢。

命題 BV02.P1（單一受器層不足以分離兩個未知量）

只有 $y_1$ 時，對任意候選像距 $v'$ ，皆可選取

a'=y_1+k\left[(v'-s_1)^2+\sigma_0^2\right]

產生完全相同的測量。因此在場景對比度 $a$ 未知的模型類別內，單層無法同時唯一識別 $a$ 與 $v$ 。

重要邊界。 若外界對比度已知，且像距限制在 $s_1$ 同一側的單調支上，單層可以反演。這不否定跳蛛實驗所支持的 L2 失焦深度線索；本文的兩層定理僅是另一組條件明確的數學充分性結果。

反例 BV02.C1（獨立未知通道增益破壞識別）

若式 (1) 改為

y_j=a+g_j-kq_j(v),

其中兩層各有任意未知 $g_j$ ，則任取 $v'$ ，均可取

g_j'=y_j-a+kq_j(v')

令同一組觀察成立。增加第二層不再保證深度唯一性。關係幾何的增加，必須伴隨足夠的跨通道校準，才構成新增資訊。

圖二：figures/02_two_layer_transfer_and_ratio.png。

4. 定理二：雜訊穩定性與資訊邊界

取兩個通道的對數量測噪音獨立、同分布，且

\varepsilon_1,\varepsilon_2\sim\mathcal N(0,\eta^2).

將含噪 $y_1,y_2$ 代入式 (2)，可得

\widehat v-v=-\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2k(s_2-s_1)}.

因此估計無偏，而且有精確變異數

\mathrm{Var}(\widehat v)=\frac{\eta^2}{2k^2(s_2-s_1)^2}. \tag{4}

這說明「理論上唯一可反演」與「雜訊下穩定」是兩個不同問題：層距越接近零，反演放大越嚴重；空間頻率係數 $k$ 趨近零時亦然。若每通道有確定性噪音界 $|\varepsilon_j|\le\epsilon$ ，則

|\widehat v-v|\le\frac{\epsilon}{k|s_2-s_1|}. \tag{5}

以 $\theta=(v,a)$ 作為局部未知參數，量測平均值的 Jacobian 為

J=\begin{pmatrix} -2k(v-s_1)&1\\ -2k(v-s_2)&1 \end{pmatrix}, \qquad \det J=2k(s_1-s_2).

所以 $k(s_2-s_1)\ne0$ 時， $J$ 滿秩；單一接收面只有一列，秩最多為 1。由固定方差高斯模型得到的 Fisher 資訊矩陣是

\mathcal I(\theta)=\eta^{-2}J^{\mathsf T}J.

其逆矩陣的深度分量恰為式 (4)，所以此簡化模型的式 (2) 同時達到局部 Cramér–Rao 界。若真實噪音是在線性光強而非對數幅度上加性、或噪音方差依深度改變，則 Fisher 資訊、估計方法及式 (4) 都必須改寫。

有限光照與紋理限制。 若輸入的對應空間頻率不存在，即 $A=0$ ，對數幅度不可定義，不能宣稱可反演。若模糊導致強烈衰減，固定對數噪音的假設也可能不符合感測器的實際噪音物理。

5. 合成實驗與可重現結果

所有參數是示範用無量綱值，並非跳蛛視網膜測量：

項目	合成設定
第一接收面位置 $s_1$	1.00
第二接收面位置 $s_2$	1.35
失焦轉換係數 $k$	2.00
共同基礎模糊 $\sigma_0$	0.07
共同對數幅度 $a$ （解析範例）	0.10
固定種子	20261105

E1｜無噪音全區間反演。 在 191 個像距位置的雙通道計算中，像距最大絕對誤差 $1.11\times10^{-16}$ ，共同對數幅度最大絕對誤差 $6.94\times10^{-17}$ （浮點四捨五入層級）。

E2｜不可辨識反例。 可以為兩個不同像距配置不同場景對比，使第一通道的輸出完全相同（實測計算殘差為零）；第二通道將它們分開，觀測差為 $0.7$ 。如果再次容許每層獨立未知增益，兩通道資料又可被不同像距同時擬合。

E3｜雜訊穩定性掃描。 取層距 $0.15,0.35,0.70$ ，各搭配對數測量噪音標準差 $0,0.005,0.01,0.02,0.05$ 。每組 10,000 個樣本，共 150,000 組合成對應測量（其中非零雜訊條件 120,000 組）。無噪音條件回復精確；12 個非零雜訊設定的 RMSE 與式 (4) 預測標準差的最大相對差約 $1.04\%$ 。此差異屬有限蒙地卡羅抽樣波動，而不是估計偏差的實證證明。

例如 $k=2$ 、層距 $0.35$ 、每通道對數噪音標準差 $\eta=0.01$ 時，式 (4) 的理論深度標準差為

\frac{0.01}{\sqrt{2}\cdot 2\cdot 0.35}\approx0.01010.

E4｜變小層距。 若其他條件不變，層距減半，式 (4) 的深度標準差加倍；這是模型的確定性解析結論，不是任意繪圖比例。

圖三：figures/03_noise_and_stability.png；完整數據：data/monte_carlo.csv、data/validation.json。

6. 色差的可檢驗方向性：紅光錯讀為較近距離

Nagata 等（2012, 2013）實驗顯示：在特定單色紅光條件下，跳蛛的跳躍距離較實際目標距離短；此行為與其對自然綠光條件的離焦標定解釋一致。[R1–R2]

以理想薄透鏡式給出方向性示範：若 $F_r>F_g$ ，目標在真實距離 $z$ 由紅光形成的某個像距 $v$ 被誤當成綠光同一像距，則錯誤估計的物距 $z_g$ 滿足

\frac{1}{z_g}=\frac{1}{z}+\frac{1}{F_g}-\frac{1}{F_r},

故

z_g=\frac{z}{1+z\left(F_g^{-1}-F_r^{-1}\right)}<z. \tag{6}

方向性的推論是：若將紅光成像誤用綠光標定，估計將偏近。示範參數 $F_g=1$ 、 $F_r=1.03$ 、 $z=10$ 產生 $z_g\approx7.74436$ ；這些焦長與距離只是示意，不代表跳蛛的實測跳躍數據。圖五 figures/05_chromatic_miscalibration.png。

紅光的真實感測問題還涉及受器光譜靈敏度、實際厚透鏡、光強及神經反應；單一薄透鏡關係式不能替代動物實驗。

7. Fisher 譜、有效關係維度與真正空間維度

承接 BV01，對 Fisher 矩陣 $\mathcal I$ 定義任務依賴的參與比

D_{\mathrm{PR}}=\frac{\bigl(\mathrm{tr}\,\mathcal I\bigr)^2}{\mathrm{tr}\,(\mathcal I^2)}. \tag{7}

在基準模型中，若 $v=(s_1+s_2)/2$ ，則兩個 Jacobian 欄向量正交，Fisher 矩陣成為對角矩陣，其本徵值（共同忽略 $\eta^{-2}$ 倍率）是 $2(k\Delta s)^2$ 與 $2$ ，其中 $\Delta s=s_2-s_1$ 。因此

D_{\mathrm{PR}}=\frac{(1+t)^2}{1+t^2},\qquad t=(k\Delta s)^2.

對本篇無量綱設定 $k=2$ 、 $\Delta s=0.35$ ，有 $t=0.49$ 且

D_{\mathrm{PR}}=\frac{22201}{12401}\approx1.79026.

這是定義清楚的合成資訊幾何指標，不代表某一物種有 1.79 條幾何軸。特別要注意： $D_{\mathrm{PR}}$ 在一般可逆、非正交的參數重標度下不保持不變。例如改變深度參數單位，將改變兩方向的譜比例。比較物種或實驗時，必須事先固定同一參數標準化、任務及雜訊單位。

對一層量測，Fisher 矩陣至多秩 1；兩層在定理 T1 條件下秩 2。此處秩 1 → 2描述可辨識的刺激／紋理參數維度，仍不是物理空間由 1D 增加到 2D，更不支持宣稱跳蛛天生「1.8D 視覺」。圖四：figures/04_information_participation.png。

8. 載體幾何如何與原先「三線成方」問題對接

RGC 的原始主題是：輸入線條與外界幾何並未改變，但承載／觀測算子可使可觀測關係改變。本篇展示一個真實生物學啟發與可計算模型的嚴格對應：

外界幾何 $X$ ： 目標位置與紋理在同一三維場景中；
載體 $C$ ： 透鏡、色差、兩個不同深度的受光位置；
關係算子 $T_C$ ： 同一入射結構轉化成不同失焦程度；
可觀測資料 $Y$ ： 受控制頻率的兩層對數幅度；
反演條件： 共享對比、頻率與增益已校準、層距非零、訊噪比足夠；
不能推出的命題： 正方形多出一條真實邊、物理空間改變維度、跳蛛內部採用式 (2) 的精確演算法。

這與 P01–P12 的關係幾何主線相容，但提供的是生物視覺載體造成資訊可辨識性變化的實在案例，而非對三線成方猜想的生物學證明。

9. 限制、反例與驗證層級

光學近似限制： 高斯 PSF、等頻率對數訊號、兩個無厚度平面、共用底噪不能取代真實跳蛛的厚透鏡與多層感光體；真實波長色差可能更複雜。[R3]
生物推論限制： 行為支持離焦深度線索，並未驗證本文特定的對數譜雙層演算法或本文設定的 Fisher 數值。[R1–R3]
可辨識性限制： 共同紋理未知但跨層共用仍可消去；若各層的未知增益可自由變動，則觀測完全不足以唯一估深度。
穩定性限制： 小層距、低頻率、低對比及未知相機幾何會使辨識惡化，即使解析公式仍存在。
維度限制： 有效資訊譜參與比可取非整數，且依賴特定參數標準化；不能當作拓撲、Hausdorff 或傳統歐氏空間維度的量測。
外部效度限制： 15 萬組蒙地卡羅資料完全由程式產生；沒有以原始動物神經訊號、實際眼球成像、公開行為微觀數據或實物視覺感測器進行驗證。

10. 結論

跳蛛的分層視覺提供一個重要的生物學背景：感測器並非越接近理想銳利影像越好；經載體光學規則安排的失焦，可以把場景的距離關係編碼進可用的感測差異中。 在本文雙接收平面模型中，我們嚴格證明了單層共同紋理歧義、雙層解析消歧，以及未校準獨立增益使歧義重現；並計算了 Fisher 辨識條件與雜訊精度代價。

最重要的區別是：一個生物感測系統的關係可辨識性可以改變，而物理場景的傳統空間維度完全不需要改變。這才是載體幾何研究能夠與自然界實在證據接觸的位置。

資料可能保持相同，載體可能保持有限；真正新增的，是它們之間可以被確定的關係。

參考文獻（查核日期：2026-11-05）

[R1] Nagata, T., et al. (2012). Depth perception from image defocus in a jumping spider. Science, 335(6067), 469–471. DOI: 10.1126/science.1211667. PubMed PMID 22282813.
[R2] Nagata, T., Arikawa, K., & Terakita, A. (2013). Contribution of a visual pigment absorption spectrum to a visual function: depth perception in a jumping spider. Biophysics, 9, 85–89. DOI: 10.2142/biophysics.9.85. PMC4629671.
[R3] Nolte, A., et al. (2017). A Note on the Depth-from-Defocus Mechanism of Jumping Spiders. Biomimetics, 2(1), 3. DOI: 10.3390/biomimetics2010003. PMC6477618.
[R4] Supèr, H., & Romeo, A. (2014). Coding depth perception from image defocus. Vision Research, 105, 199–203. DOI: 10.1016/j.visres.2014.10.022. PubMed PMID 25448715.
[R5] Columbia University CAVE Laboratory. Depth from Defocus project. https://www.cs.columbia.edu/CAVE/projects/depth_defocus/depth_defocus.php.
[R6] RGC-BV01 (2026-11-05). Heterogeneous Optical Carriers, Relational Observability, and Cross-Species Identifiability. 本系列內部前導稿。

再現性與成果歸檔

src/bv02_depth_from_defocus.py：定理數值實作、反例、固定種子蒙地卡羅及 5 組圖（各 PNG／SVG）。
tests/test_bv02.py：12 項獨立測試，包含 SymPy 等式、雙層反演、模糊／增益反例、資訊矩陣及色差方向性。
data/monte_carlo.csv：15 個雜訊／層距設定之合成評估；data/validation.json：精確檢查摘要。
SHA256_MANIFEST.json：成品逐檔 SHA-256，排除清單自身以避免自指雜湊。
README.md、STATUS.md：重跑指令、研究定位、驗證邊界。

最終學術狀態： 本文給出指定模型內的數學定理及其可重現程式，但沒有完成跳蛛真實生理參數的擬合、神經解碼實證、非整數傳統空間維度證明或外部同行審查。