關係幾何與載體展開 X：無預設區段標籤的雙觀察關係譜配對、局部圖冊全域銜接及其可辨識性界線

英文題名： Relational Geometry and Carrier Unfolding X: Unlabeled Two-Observer Spectral Matching, Global Atlas Gluing, and Identifiability Boundaries
系列： RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding
版本： P10 / v1.0.0
日期： 2026-11-04
研究問題與原始幾何構想： Neo.K
數學形式化、程式實作、合成實驗與原稿協作： GPT-6
正式來源： 本 UTF-8 Markdown 原始碼。數學僅以 $...$ 和 $$...$$ 分隔，圖像與聊天畫面不取代 canonical source。
研究性質： 指定載體—觀察模型中的定理、反例、精確有理數見證與可重現合成實驗；不代表實體實驗或外部同行審查。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

RGC P09 證明：對 P06 的廣義圓柱折疊載體，其總法向轉角約 $128.17^\circ$，超過任一單一平方投影譜的最長單調角區間 $90^\circ$。因此，若沒有先辨認局部區段，將單一觀察者的譜值直接排序，不構成合法的全域來源配準。P09 的建構性做法保留了「區段標籤已知」的前置條件。本篇提出一個不同的、條件明確的最小反演通道，解除此項前置條件。

考慮兩個已校準的觀察方向，法向平面內方位分別為 $\beta_0=0$ 與 $\beta_1=\pi/4$。對同一未知法向角 $\alpha$，令 $q_0=\cos^2\alpha$ 與 $q_1=\cos^2(\alpha-\pi/4)$。兩個經線性重編碼的量 $x=2q_0-1$ 、 $y=2q_1-1$ 恰滿足 $x^2+y^2=1$。因此，即使兩位觀察者交付的是各自獨立打亂、沒有來源編號，也沒有局部區段標籤的兩袋測量值，只要兩袋涵蓋同一批有限來源點，且不同點的 $x_i^2$ 值兩兩不同，就能透過圓方程的零殘差配對唯一找回跨觀察者對應。配對後， $\alpha$ 可在已知的長度小於 $\pi$ 的角域內唯一恢復。

本文進一步給出有界 $q$ 雜訊下的明確充分界。令 $\Delta=\min_{i\ne j}|x_i^2-x_j^2|>0$。若兩個觀察者每筆 $q$ 的加性誤差均不超過 $\eta$，則 $\Delta>16\eta+16\eta^2$ 保證真正配對的代數殘差嚴格小於所有錯誤配對。以一組十二點精確有理數樣本為見證， $\Delta\approx0.01545147$ 、充分界為 $\eta<0.000964786$。在此界內的指定合成實驗，兩視角的完整配對於每個設定 256 次重播皆正確；超出充分界的成功率則由實驗而非定理決定。

全域配對建立後，由恢復的角度自動決定兩張局部單調圖冊：第一張使用 $\alpha\in[0,\pi/2]$ 上的 $q_0$，第二張使用 $\alpha\in[\pi/4,\Theta]$ 上的 $q_1$ ；兩者在 $[\pi/4,\pi/2]$ 形成非空重疊。重疊轉移函數是精確的 $q_1=1/2+\sqrt{q_0(1-q_0)}$，因而可驗證圖冊銜接一致性。第三個校準方向 $\beta_2=\arctan(1/2)$ 則提供線性冗餘檢查 $2q_2-1=[3(2q_0-1)+4(2q_1-1)]/5$。

本文同時給出失敗邊界：單視角無法全域區分不同角度；若放寬角域限制，兩個未配對譜袋也可能共享不同的真實來源角集合；若兩袋來源點不相同或缺失且沒有額外資訊，本文的完整配對定理不適用；即使恢復所有角度，仍無法僅由譜袋決定法向角沿材料弧長如何分布，故不能據此唯一恢復完整連續載體。有效關係譜 $D_{\mathrm{PR}}$ 不是傳統非整數空間維度。

關鍵詞： 關係幾何、無標記感測、全域圖冊、觀察者相依幾何、雙角觀測、圓不變量、代數配對、單調過渡、連續等距載體、可辨識性、有界雜訊、反例。

1. 問題設定與 P09 的剩餘障礙

本研究系列始於「三條原始直線段，能否藉由特定載體與觀察映射，在觀測平面形成正方形」。P01–P03 建立精確分片映射與理想折疊模型，P06 將薄片折疊平滑化並建立局部關係譜，P07–P08 分離視角校準、局部場反演、無標記來源及觀測缺失，P09 則研究已知局部區段內的排序配準、弧長錨定與連續載體的非唯一性。

P09 的全域障礙並未消失： $q_\beta=\cos^2(\alpha-\beta)$ 對長於 $\pi/2$ 的角域不可能嚴格單調，所以不能透過單一譜值的全域大小順序直接推斷來源點的角度順序。本篇改為利用不同已校準觀察者之間的代數相容性，先做跨觀察者配對，再還原全域角度，最後才自動建立局部圖冊。

本篇準確求解的問題為：

• 輸入：兩個已校準的平方投影觀察者對同一批 $N$ 個不同法向角的各自獨立亂序的 $q$ 測量多重集合。來源編號、材料弧長、局部圖冊標籤均不提供給配對演算法。
• 先驗：觀察方位差恰為 $\pi/4$ ；法向角落在已知定向的 $[0,\Theta]$，其中 $\Theta<\pi$ ；兩袋在主要定理中測量的是同一批且完整的來源角點。
• 目標：唯一恢復跨袋對應及角順序，並由恢復的角自動標記每張合法局部單調圖冊的成員及重疊關係。
• 不求解：未知相機方位、兩袋來源集合不一致時的普遍配對、未經量測的弧長座標、有限樣本的任意連續場唯一插值、真正非整數歐氏空間的存在性。

重要命名約束： 這裡的「無標記」指沒有來源點與區段標籤，不指不知道各份測量屬於哪一個已校準的觀察儀器。第三位觀察者僅用於驗證；觀察儀器並非來源三條線之外另畫出的筆畫。

2. 載體與關係譜模型

2.1 P06 的等距廣義圓柱

令 $\mathbf e=(0,0,1)$，設法向場為

並定義截面切向及三維嵌入

由 $\mathbf e$ 與 $\mathbf v(u)$ 正交且長度均為一，可得

所以載體的內稟維度仍為 $2$，折疊不要求局部拉伸。本文只使用它的法向角觀測，不假設已知 $\alpha$ 與材料弧長 $u$ 的函數關係。

P06 的總角度基準為

2.2 觀察譜與有效參與比

沿用 P07–P09 的平面內單位光軸模型，定義

其中

$D$ 在此僅為觀察度量本徵值的參與比： $q\in[0,1]$ 映到 $D\in[1,2]$。本文直接在 $q$ 上證明配對定理；若觀察裝置輸出 $D$，必須先透過已知 $F^{-1}$ 換算，且不能把 $D$ 雜訊當成等幅 $q$ 雜訊。

3. 定理一：兩個完全無標記譜袋的精確配對

選擇兩個已知觀察方位

令

利用兩倍角恆等式，得到

因此每一個真正來源點都滿足精確不變量

問題是觀察者沒有交付 $(x_i,y_i)$ 配對，而只交付兩個各自打亂的集合 $\{x_i\}$ 與 $\{y_j\}$。

定理 3.1（兩袋完整有限樣本的配對唯一性充分條件）。 設兩個觀察者對同一批 $N$ 個來源點各量測一次，無遺漏、無重複來源身分，但兩袋順序未知。若 $x_i^2$ 對不同來源點兩兩不同，即

則滿足 $x_i^2+y_j^2=1$ 的跨袋配對是唯一的，而且恰好等於真實來源配對。

證明。 真實配對的圓殘差為零。對任意錯誤配對 $(i,j)$ 且 $i\ne j$，因 $y_j^2=1-x_j^2$，有

因此每個 $x_i$ 都只有一個零殘差候選 $y_j$ ；將所有唯一候選收集，即恢復唯一真實排列。證畢。

注 3.2。 $\Delta>0$ 是足夠而非必要條件。某些 $x_i^2$ 重複的案例，仍可能藉由已知角域約束或其他觀測恢復正確配對；本篇不將上述充分條件誤寫成完整的必要且充分刻畫。

推論 3.3（恢復全域法向角）。 對找到的每個 $(x_i,y_i)$，有

若已知 $0\le\alpha_i\le\Theta<\pi$，並固定了角零點與方向，則將 $\arg$ 選為 $[0,2\pi)$ 分支、再除以 $2$，可唯一恢復每個 $\alpha_i$，因而得出正確的全域角排序。這是角順序，不是先驗已知的材料弧長順序；後者仍需 $\alpha(u)$ 的單調性或其他物理資訊。

4. 定理二：雜訊下的可證明安全界

實際有限資料帶有量測誤差。假設每一個 $q$ 量測的加性誤差均不超過 $\eta\ge0$。則對 $x=2q_0-1$ 、 $y=2q_1-1$，觀測值 $\widehat x$ 、 $\widehat y$ 滿足

由於 $|x|,|y|\le1$，

令配對代價矩陣為

定理 4.1（有限樣本有界譜雜訊下的配對保證）。 在定理 3.1 的條件下，如果

則真實配對在每一列的代價嚴格小於任何錯誤配對；因此逐列唯一最小值搜尋以及最小總代價的二分指派均恢復真實排列。

證明。 真實配對的殘差最多為 $8\eta+8\eta^2$。任一錯誤配對的殘差至少為 $\Delta-8\eta-8\eta^2$。由假設前者嚴格小於後者，因而對每列真實配對均唯一最優；這些配對本來便組成一個合法的全排列，因此全域總代價最小的二分指派也是該真實排列。證畢。

當 $\Delta>0$，定理 4.1 的充分噪聲上界可寫成

這是保守的確定性充分界；超過此界不能據此推論演算法一定失敗。本文實作使用最小總殘差二分指派，並用上述不等式作獨立可核對的保證。

注 4.2（指標轉換的雜訊不等價）。 參與比映射導數為

因此當 $q\to1$ 時， $F'(q)\to0$ ；在 $D$ 空間給定固定誤差，經 $F^{-1}$ 轉回 $q$ 空間時可能被放大，不能直接將 $|\delta D|\le\eta$ 代入定理 4.1 的 $q$ 雜訊界。

5. 從全域配對到自動的局部幾何圖冊

P09 的方法先人為提供兩個區段身分，再各自在已知的單調區段內排序。本篇次序相反：先透過第 3 節恢復所有 $\alpha_i$，再由已知的 $q_\beta$ 函數的單調區域自動給每筆記錄指派局部圖冊身分。

對 P06 的 $[0,\Theta]$，選擇兩張角圖冊：

第一張使用 $q_0=\cos^2\alpha$，在 $I_A$ 上嚴格遞減；第二張使用 $q_1=\cos^2(\alpha-\pi/4)$，由 $\Theta<3\pi/4$ 可知它在 $I_B$ 上也嚴格遞減。兩張圖冊形成覆蓋

命題 5.1（已校準兩觀察者的自動圖冊銜接）。 在定理 3.1 條件與已知定向角域下，從兩袋資料恢復的 $\alpha_i$ 足以唯一決定每個樣本是否屬於 $I_A$ 、 $I_B$ 或二者重疊。在重疊內，兩譜之間的轉移關係恰為

證明。 定理 3.1 和推論 3.3 唯一確定 $\alpha_i$。兩圖冊都是角度的已知區間，故成員身分由已恢復的 $\alpha_i$ 確定，而非外部提供。重疊區內 $\alpha\in[\pi/4,\pi/2]$，故 $\sin\alpha,\cos\alpha\ge0$。利用兩倍角恆等式，

因此兩個局部觀察表示在重疊上滿足精確且單值的轉移關係。證畢。

這個圖冊銜接在連續區間的內部是合法的局部單調轉換；端點是閉區間的邊界，導數可能退化，若需要傳統微分流形意義的光滑局部座標，應取不含退化端點的開子區間並另以邊界圖冊處理。本文未把端點上的退化映射誤寫成處處非退化微分同胚。

算法分層解釋。 「自動」的意義是沒有餵入資料的局部區段標籤。算法依靠已知的相機方位、已知 $\Theta$ 範圍、同源完整樣本及可辨識性條件恢復角度，再用解析式選圖冊；不是聲稱任意未知幾何與完全未知相機都能自行生出正確圖冊。

6. 第三觀察方向的代數一致性檢查

為獨立驗證已得到的配對，增設一個外部校準觀察方向

因此 $\cos2\beta_2=3/5$ 、 $\sin2\beta_2=4/5$。令 $z=2q_2-1$，則

第三位觀察者亦可交付獨立亂序的譜袋。在前兩位已完成配對後，上式會對每個來源角產生唯一候選預測值；若第三袋不同點的 $z_i$ 兩兩不同，無雜訊下可用預測值作唯一配對及一致性稽核。

用途界線： 第三條譜通道是外部觀測約束，不是來源增加了一條畫線；它在本篇是驗收冗餘，不表示 P08 的未知觀察方向或 P09 的全部缺失觀測問題都已獲得一般性解答。

7. 精確反例與不可辨識性界線

7.1 單一觀察者的非單射性

在 P06 的合法角域內， $\alpha=\pi/3$ 與 $\alpha=2\pi/3$ 都存在，卻有

所以只憑 $q_0$ 不可能把這兩個法向角分開；單通道圖冊的全域障礙是真實的，不是演算法太弱。

7.2 角域過大時，雙袋本身仍可非唯一

若只知道角落在 $[0,\pi)$，則兩組不同的來源角集合

會對 $\beta_0=0$ 與 $\beta_1=\pi/4$ 分別產生完全相同的未配對譜袋，雖然 $A\ne B$。因而在未限制角域、且 $x_i^2$ 可重複時，這兩袋資料不能保證唯一決定真實角集合。

但 $7\pi/8$ 不在 P06 的 $[0,\Theta]$ 內；此反例是針對更一般的角域所作的警告，不能拿它宣稱 P06 的已知角域必定失敗。

7.3 來源缺失、未知相機與不同樣本集合

定理 3.1 假定兩袋包含完全相同的來源集合。若一位觀察者單獨缺失某個來源點， $x$ 和 $y$ 的一一對應不再形成原來的完整排列；若不同來源點重複測得相同平方譜，甚至精確的代數相容性也不一定指向唯一原始來源身分。

此外，若兩個 $\beta$ 也未知，則旋轉角零點與相機方向之間存在額外規範自由度；本文的推論 3.3 不保證還能回復同一個絕對角度座標。

7.4 角配準不等於材料弧長或完整連續曲面的唯一反演

沿用 P09 的光滑重參數化反例，取材料過渡區 $u\in[-\varepsilon,\varepsilon]$，令

並定義

兩個角場的角度範圍與所有角度相依觀察譜集合相同，卻在同一材料弧長處一般取不同角值。各自代入第 2.1 節的等距載體嵌入，便會產生不同的截面曲線。本文的全域角譜配對可以恢復兩位觀察者所見角度樣本的身分關聯，但若來源位置的弧長對應並未提供，仍無法區分這兩個候選材料場。

這也解釋為什麼自動圖冊的成功不等於原始思維實驗的所有幾何性質都已被反向證明，更不等於建立了傳統意義上的 $1.X$ 維空間。

8. 精確有理數見證、合成實驗與結果

8.1 使用理性參數生成完全可核對的角度資料

以有理數 $t=\tan\alpha$ 作參數，在 $0\le\alpha<\pi$ 的合法分支下，令

只要 $t$ 有理， $x$ 、 $y$ 、 $q_0$ 、 $q_1$ 、第三觀察值 $q_2$ 都可由有理數精確運算生成。本文採用十二個不同的 $t$：

1/5, 2/5, 4/5, 6/5, 9/5, 13/5, 21/5, 39/5, -9, -4, -7/3, -3/2。

這十二個法向角均位於 $[0,\Theta]$，跨越原 P09 的兩個半角區域與新圖冊的重疊區，且其 $x_i^2$ 兩兩不同。src/verify_exact.py 不依賴浮點數，以 Python 有理數和 SymPy 恆等式核對真實配對為零、所有錯誤配對非零。

對此見證計算得

故第 4 節的確定性配對保證為

8.2 無噪音全域配對與圖冊結果

兩位主要觀察者與第三位稽核觀察者分別獨立亂序其完整十二筆資料。程式執行先做代價矩陣二分指派，再從配對的 $(x_i,y_i)$ 恢復角，最後才決定圖冊成員；匹配器沒有讀取隱藏來源編號或圖冊標籤。

驗證所得：

• 兩視角完整真實來源配對： $12/12$ 正確；最大圓不變量殘差約 $2.22\times10^{-16}$。
• 法向角最大絕對誤差：約 $2.22\times10^{-16}$ 弧度。
• 圖冊 A 成員： $8$ 筆；圖冊 B 成員： $9$ 筆；兩圖冊共有重疊： $5$ 筆。
• 第三位獨立亂序觀察者恢復的配對： $12/12$ 正確；最大線性冗餘殘差約 $3.33\times10^{-16}$。

以上極小殘差來自浮點實作；定理本身由精確代數證明。來源的真正弧長與圖冊標籤僅在模擬器完成後作為驗收參考，沒有送入配對程式。

8.3 有界 $q$ 雜訊的 256 次重播

以下在每個觀察者的 $q$ 上直接加入均勻有界雜訊，每個設定重播 $256$ 次。這不是在 $D_{\mathrm{PR}}$ 上加入同一數值的雜訊。

三觀察者的完整正確率是前兩袋與第三袋的來源配對全部正確的比例；因第三觀察者在本實驗只負責稽核、沒有回饋修正前兩袋，該比例必然不高於兩觀察者正確率。不能將新增冗餘觀測自動等同於已實作改善噪聲容忍度的聯合估計器。

8.4 有界 q 雜訊與高斯 D 雜訊不得混同

第二個實驗改在每筆 $D_{\mathrm{PR}}$ 上加入高斯雜訊，裁切至 $[1,2]$ 後再做 $F^{-1}$。這批資料不適用第 4 節原樣的固定 $q$ 雜訊充分界。

這批結果顯示所選十二個有限角樣本中，部分 $q$ 接近端點時， $D$ 的飽和映射會造成反演配對對指標雜訊高度敏感；上述比率僅適用本資料、演算法、種子及雜訊模型，不是一般材料或設備的準確率。

8.5 P09 非度量歧義的獨立複核

在同一材料弧長 $u$ 上，兩個不同角場的最大角度差約 $0.513635$ 弧度；相同起點與初始方向下，兩條截面曲線的終點距離約 $0.0291631$ 個材料單位。即使兩個載體對同一批角度值的所有三個觀察譜袋保持一致，這個非零的截面差仍存在。

所以本篇完成的是跨觀察者來源角配對及圖冊銜接，不是未量測材料弧長場的唯一重建。

8.6 可重現驗收

本包內包含：

• src/verify_exact.py：63/63 項有理數精確／SymPy 符號檢查；完整排列見證、廣角非唯一反例及觀察者恆等式。
• src/run_experiments.py：38/38 項數值與幾何檢查；每個 $q$ 雜訊設定 256 次、每個 $D$ 雜訊設定 128 次重播。
• src/render_figures.py：八張可重新產生的 PNG 與八張 SVG。
• results/：精確檢查 JSON、實驗摘要 JSON、示例觀測陣列 NPZ、發行驗收紀錄。

符號定理證明與程式檢查彼此支持，但不能以通過單元測試等同論文經過外部審查。所有結果均屬數學模型與合成實驗；尚未進行真實光學觀測或實體材料驗證。

9. 討論：關係數據如何組織幾何圖冊

本篇的進展不是在傳統幾何裡找出一個新的 $1.7$ 或 $1.8$ 維，而是在有限觀察資料上展示一種更嚴格的「關係先於區段標籤」的反演方式。

在 P09，單一譜值的大小必須依賴事先知道所屬的單調分支才能作排序。P10 改用兩份不同觀察者的代數不變量，先配對，再反演角度，最後才從恢復的幾何關係自動產生區段身分。這讓資訊流從「先知道局部圖冊，才能使用資料」轉變為「資料在受限條件下能幫助我們辨識合法的局部圖冊」。

這裡不能忽略關鍵的工程—數學成本：已校準觀察方向是額外先驗；完整共同樣本及非退化間距是保證唯一配對的條件；只有在已定向且短於 $\pi$ 的角域內，反演角度的絕對分支才固定。若放寬其中任一條件，可能需要更多感測器、材料度量、時間連續性或其他幾何先驗，而不能直接沿用本篇保證。

尤其是， $D_{\mathrm{PR}}$ 雖然可從投影度量導出，卻沒有因此成為傳統空間維度。P10 的可檢驗內容是有限資料的配準及圖冊相容性；「關係維度化」的更大本體論與數學問題，仍不能由這項實驗直接宣告完成。

本篇與既有的無標記感測、局部座標轉換及幾何反演問題有概念上的對話，但定理的模型、特殊角度配置與數值見證皆在本稿內明定，不宣稱這是一般無標記感測的最早或最廣泛解法。

10. 結論

RGC P10 在 P06–P09 的限定連續等距載體與觀察譜框架下，取得四項明確結果。

第一，兩個相差 $45^\circ$ 的已校準觀察者，即使獨立打亂資料且沒有先給局部圖冊標籤，只要來源樣本完整相同且代數不變量不退化，就能精確恢復全域跨觀察者配對。第二，該配對在可計算的有限雜訊間距下具有確定性的正確性保證。第三，恢復全域法向角後，可從量測關係自動分派局部單調圖冊，並以精確轉移函數驗證重疊區的相容性。第四，角譜的完整配準仍然不會消除材料弧長的重參數化歧義，因而不足以證明連續載體的唯一性。

真正連起來的不是「三條線等於四條邊」這句話，而是「當不同觀察提供的關係可以交叉辨識時，局部的幾何描述才有條件被組織成全域」。

參考文獻

• [R1] RGC P06 (2026-11-03). 連續等距載體、局部關係維度場與三線成方的曲率代價。提供 $\Theta$ 、連續等距嵌入與局部有效譜的模型基準。
• [R2] RGC P07 (2026-11-04). 未知局部關係場的多觀察者反演、譜觀測可識別性與曲率穩定性。提供多視角局部譜與法向反演問題設定。
• [R3] RGC P08 (2026-11-04). 未知觀察方向的關係譜校準、缺失觀測與配準不可辨識性。提供光軸校準及未標記觀測的反例邊界。
• [R4] RGC P09 (2026-11-04). 無標記關係譜的局部順序配準、弧長錨定與連續載體的不可辨識性。提供本篇消除預設區段標籤所承接的問題與非度量反例。
• [R5] Unnikrishnan, J., Haghighatshoar, S., & Vetterli, M. (2018). Unlabeled Sensing With Random Linear Measurements. IEEE Transactions on Information Theory, 64(5), 3237–3253. DOI: https://doi.org/10.1109/TIT.2018.2809002 。無標記感測的既有理論背景；其隨機線性模型與本文特殊非線性三角譜模型不同。
• [R6] Gortler, S. J., Healy, A. D., & Thurston, D. P. (2010). Characterizing Generic Global Rigidity. American Journal of Mathematics, 132(4), 897–939. DOI: https://doi.org/10.1353/ajm.0.0132 。提供「可配準／局部可辨識」與「整體幾何剛性／唯一性」必須區分的經典背景；本文未直接使用其一般剛性定理推導雙譜配對。

附錄 A：重現與版本控制

解壓縮 P10 ZIP 後於資料夾根目錄執行：

python -m pip install -r requirements.txt
python src/verify_exact.py
python src/run_experiments.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py

全部正式結果保存在 results/exact_verification.json、results/numerical_experiments.json、results/release_validation.json；逐檔 SHA-256 值保存在 SHA256SUMS.txt。再執行圖像或實驗產生器會改寫對應輸出，故若需要比對當初的封存版本，應在新資料夾執行，或在執行後重新產生雜湊清單。完整研究以 UTF-8 原稿為正本，不以渲染畫面的數學字元作反向原稿來源。