關係幾何與載體展開 XII：部分缺失無標記譜的多觀察者自校準、Gram 圖冊完成與鏡射障礙

英文題名： Relational Geometry and Carrier Unfolding XII: Multi-Observer Gram-Graph Synchronization, Partial Unlabeled Spectral Calibration, and Reflection Obstructions
系列： RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding
版本： P12 / v1.0.0
日期： 2026-11-05
原始研究問題與載體—關係幾何構想： Neo.K
數學建模、反例、程式、合成實驗與原稿協作： GPT-6
Canonical source： 本 UTF-8 Markdown 原始檔；全部數學以 $...$ 與 $$...$$ 表示。圖像是可重製的說明，不是公式原稿。
研究狀態： 具條件的數學定理、精確有理數有限樣本證書及合成邊參數雜訊驗證；不構成實體量測、完整三維相機校準、傳統非整數歐氏空間的存在證明或外部同行審查。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

P11 已對兩位觀察者建立了部分缺失、無共同樣本標記且相對觀察角未知時的有限自校準證書。P12 將這項成對的代數相容性資訊組織成多觀察者網路。關鍵問題是：即使每一對觀察者的未知相對方向都從亂序、部分缺失的關係譜中成功辨識，是否足以唯一決定全部觀察者的全域幾何？答案一般為否。成對平方投影譜只辨識雙倍角差的餘弦，不直接提供角差的正負號。單純連通的樹狀網路因此存在鏡射分支歧義。

本篇將每個觀察者方向提升為單位向量 $v_i=(\cos 2\beta_i,\sin 2\beta_i)$ ，將局部可辨識參數寫成部分 Gram 矩陣 $c_{ij}=v_i^{\mathsf T}v_j$ 。第一項主要結果是：若兩個基準觀察者不共線，且每個其他觀察者都與這兩個基準有精確可靠的關係邊，則全部方向可由線性方程唯一恢復，僅差一個共通的 $O(2)$ 座標規範。這項充分條件可以一般化為依次連接兩個已定位不共線鄰居的圖上 lateration 排序。第二項主要結果是精確橋接鏡射反例：一棵連通樹可以保有每條已知邊的數值，卻容許彼此不全域等價的嵌入。第三項是可檢驗的 Gram 三角閉合條件，可用冗餘邊排除部分錯誤局部證書，但不能將單次閉合通過誤認為完整真值保證。

本篇實作六個觀察者、十二個有限來源位置、十三條部分重疊觀察邊；每條邊分別以 P11 的無標記精確候選全集與二分圖匹配求解。所有十三條邊皆以唯一最高支援恢復真實 $c_{ij}$ ，共同來源配對亦逐筆通過精確驗證。整個網路的方向以有理數 Gram 完成精確恢復；對一條冗餘邊施加 $1/20$ 的錯誤，可由閉合殘差檢出。另在固定精確雙基準角的條件下，完成 2,560 次邊參數雜訊圖實驗、共 10,240 次非基準節點恢復，驗證所推導的保守角度誤差包絡。

研究意義不是宣稱找到新的非整數座標維度，而是將「局部關係如何構成全域幾何」變成可證明、可反駁、可實作的觀察網路問題。

關鍵詞： 關係幾何、載體展開、無標記觀測、部分缺失、自校準、部分 Gram 矩陣、角同步、兩基準法、鏡射歧義、閉合證書、有效關係維度。

1. 研究位置與限制

本系列由「在指定幾何容器中，三條原始線如何於觀察層形成四邊正方形」出發。P01–P03 建立載體構造；P06 建立光滑等距載體；P07–P09 建立已校準、部分缺失及無標記觀測的反演邊界；P10 在已知雙視角差下進行全域圖冊配對；P11 進一步將兩位觀察者的相對方向作為未知數。

P12 不更改 P06 載體的內稟幾何，也不添加第四條來源線。它研究的是觀察者間關係資訊如何實際組織為全域一致的幾何描述。本文全部法向仍位於指定的二維單位方向平面；所有有效關係維度均為觀察映射產生的指標，不是傳統空間軸數的非整數延伸。

為避免先驗混用，本文把流程分成三層：

原始譜層： 各儀器收到未標記且不完整的來源測值袋。
成對關係層： 利用 P11 的精確二次曲線相容性及共同來源下界，恢復邊參數 $c_{ij}$ 。
圖上全域層： 在各邊可被認定為可信後，解部分 Gram 完成、全域方向規範、相容性及錯誤閉合問題。

第二、第三層的驗證與雜訊保證不能被偷換成第一層全部原始量測的保證。尤其本文的雜訊模擬僅在已恢復的 $c_{ij}$ 上加擾動。

2. 觀察模型及局部不變量

令來源法向由未知角函數 $\alpha(u)$ 給出，觀察者 $i$ 的方位為 $\beta_i$ 。其平方投影譜定義為

q_i(u)=\cos^2\bigl(\alpha(u)-\beta_i\bigr), \qquad 0\le q_i(u)\le1.

與 P11 一致，亦可定義有效關係譜參與比

D_{\mathrm{PR}}(q)=\frac{(1+q)^2}{1+q^2}.

其中 $D_{\mathrm{PR}}$ 是觀察者相依的光譜參與量，不是內稟 Hausdorff 維度、拓撲維度或歐氏座標維度。令

x_i(u)=2q_i(u)-1=\cos\bigl(2\alpha(u)-2\beta_i\bigr).

相同來源 $u$ 被 $i,j$ 兩位觀察者看到時，定義

c_{ij}=\cos\bigl(2\beta_i-2\beta_j\bigr).

在不知道 $u$ 的情況下，任一候選配對 $(x,y)$ 仍受 P11 的二次曲線條件制約：

f_c(x,y)=x^2+y^2-2cxy+c^2-1=0.

每個候選跨袋配對產生的合法相對方向候選為

c_{\pm}=xy\pm\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}, \qquad -1<c_{\pm}<1.

對同一對觀察者，枚舉所有跨袋候選，按候選值建立精確相容二分圖，計算其最大匹配數 $\nu_{ij}(c)$ 。若已知真正共同來源至少為 $K_{ij}$ ，且恰有一個候選滿足 $\nu_{ij}(c)\ge K_{ij}$ ，則該邊的 $c_{ij}$ 可被唯一辨識。真正的每點身分對應仍需進一步驗證匹配唯一性與偶然相容邊。

重要： $c_{ij}$ 是無符號的雙倍角關係。單憑 $c_{ij}$ 無法知道 $\sin 2(\beta_j-\beta_i)$ 的符號。P11 對兩觀察者使用的相對角正向選擇，不可在含迴圈的全域網路裡不加檢驗地逐邊獨立指定。

3. 從局部譜到部分 Gram 幾何

定義

v_i=\begin{pmatrix}\cos2\beta_i\\ \sin2\beta_i\end{pmatrix} \in\mathbb R^2, \qquad \lVert v_i\rVert=1.

則

c_{ij}=v_i^{\mathsf T}v_j.

令 $V=(v_0,\ldots,v_{n-1})$ ，完整關係矩陣為

G=V^{\mathsf T}V, \qquad G\succeq0, \qquad G_{ii}=1, \qquad \operatorname{rank}(G)\le2.

原始觀察只產生部分條目 $G_{ij}$ 。因此網路問題不是「先畫一張圖再猜方向」，而是：能否把部分已知的內積關係完成成一個正半定、對角為一且秩不超過二的矩陣，並從中恢復 $v_i$ ？

這是一個帶有單位長度先驗的部分 Gram 完成問題。不同觀察者可以有不同的來源缺失；能否形成邊，只由該對觀察者的共同來源及其可辨識證書決定，不要求所有儀器共享同一完整樣本清單。

定理 3.1：雙基準的全域唯一性充分條件

假設 $c_{01}=a$ 已知且 $-1<a<1$ ，每個 $k\ge2$ 都有真實且精確的 $c_{0k}$ 與 $c_{1k}$ ；並假設所有邊符合某個二維單位向量模型。選擇共同 $O(2)$ 規範

v_0=(1,0), \qquad v_1=(a,b), \qquad b=\sqrt{1-a^2}>0.

則任意 $k\ge2$ 的向量唯一為

v_k=\left(c_{0k},\frac{c_{1k}-a c_{0k}}{b}\right).

因此全部觀察者的方向在該規範下唯一。若改用其他全域規範，所有向量只會受到同一個正交變換，亦即整體旋轉或鏡射；完整 Gram 矩陣保持不變。

證明。 由 $v_0^{\mathsf T}v_k=c_{0k}$ ，立即得到 $v_k$ 第一個座標。再以 $v_1^{\mathsf T}v_k=c_{1k}$ ，得到 $a c_{0k}+b(v_k)_2=c_{1k}$ 。因 $b>0$ ，第二個座標唯一。其他相容的單位向量族在指定兩個不共線基準後只能給出相同座標；改變基準座標系即為一個共同 $O(2)$ 作用。證畢。

一致性檢查。 若邊資料來自真實模型，恢復的 $v_k$ 必須滿足 $\lVert v_k\rVert^2=1$ 。若不滿足，至少一項邊資料或模型假設已不相容；不能將向量強行規一化後宣稱精確證書依然成立。

推論 3.2：逐步 two-neighbor lateration

若圖有一個非共線初始基準對，且能安排其他節點的加入順序，使每個新節點至少與兩個已完成定位且彼此不共線的節點有精確內積邊，則依次解二元線性方程，可以唯一完成所有節點方向，僅差共同 $O(2)$ 規範。

證明。 在雙基準定位後，每個新節點的兩個內積方程具有由兩個不共線已知方向構成的可逆 $2\times2$ 係數矩陣。歸納完成所有節點。證畢。

這是充分條件，不是一般圖全域剛性或所有部分 Gram 完成問題的必要條件。沒有 lateration 排序的圖，也可能由其他全域約束得到唯一解。

六觀察者的關係圖，實線為雙基準，虛線為冗餘閉合

4. 樹狀網路的精確鏡射歧義

僅有圖的連通性不保證全域關係幾何唯一。考慮一條四節點路徑 $0-1-2-3$ ，已知的只有三條邊的內積 $c_{01},c_{12},c_{23}$ 。選擇 $v_0$ 、 $v_1$ 不共線，並固定它們不動。把右側子樹 $\{2,3\}$ 透過以 $v_1$ 方向為軸的鏡射

R_{v_1}(w)=2(v_1^{\mathsf T}w)v_1-w

變成 $w_2=R_{v_1}(v_2)$ 、 $w_3=R_{v_1}(v_3)$ 。

則 $v_0,v_1,w_2,w_3$ 與原組態具有完全相同的三條已知路徑邊：

v_0^{\mathsf T}v_1=v_0^{\mathsf T}v_1, \quad v_1^{\mathsf T}w_2=v_1^{\mathsf T}v_2, \quad w_2^{\mathsf T}w_3=v_2^{\mathsf T}v_3.

而未被觀測的跨接內積 $v_0^{\mathsf T}w_2$ 可以不同於 $v_0^{\mathsf T}v_2$ 。因 $v_0$ 、 $v_1$ 兩個不共線方向固定，兩個組態不可能由單一共同 $O(2)$ 變換互相得到。

反例 4.1：精確有理數見證

使用雙倍角單位向量的有理數參數化

v(t)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right),

取 $v_0=v(0)$ 、 $v_1=v(1/2)$ 、 $v_2=v(2/3)$ 、 $v_3=v(3/2)$ 。在上述橋接鏡射後，三條路徑邊完全不變，但跨接關係有精確差值

v_0^{\mathsf T}v_2-v_0^{\mathsf T}w_2=-\frac{128}{325}\ne0.

這不是可忽略的浮點殘差；它是兩個不同全域幾何實現的精確差別。因此，增加一條適當的跨接關係，例如 $0-2$ ，即可排除這對候選組態。

兩個幾何配置具備相同的樹狀邊關係，但非全域等價

這個反例可概念性延伸至橋接結構：若一個子圖僅透過一條關係邊連到已定位區域，反射那個子圖的自由度可能沒有被限制。唯有增加足夠非共線、跨子圖的約束，才有機會排除該自由度。

5. 多餘觀察關係與局部幾何閉合

任意三個真正來自 $\mathbb R^2$ 的單位向量，其 $3\times3$ Gram 矩陣的秩不大於二，因此行列式必為零。若三條邊的關係值為 $a,b,c$ ，必要條件是

1+2abc-a^2-b^2-c^2=0.

這提供了一個不需先恢復每個角度的三角關係閉合檢查。若計算結果不為零，該三邊不可能同時是本篇模型中同一組三個方向的精確內積。

定理 5.1：非零閉合殘差的拒絕有效性

在精確算術、指定二維單位方向模型下，任意三邊閉合量若不為零，則至少一個邊值不符合模型，或者模型假設本身錯誤。

證明。 假設三條邊均來自同一組二維單位向量，則其 Gram 行列式必為零，與非零閉合值矛盾。證畢。

反向並不成立： 一個三角閉合量剛好為零，不保證該觀測是正確來源配對，不保證全部圖冊可銜接，也不保證材料弧長或三維折疊載體已恢復。若僅有稀疏的局部三角形，仍可能保留跨區域鏡射歧義。

精確異常注入

六觀察者示例中，關係邊 $(3,4)$ 的真實值為 $119/169$ 。故意將它改成

\widetilde c_{34}=\frac{119}{169}+\frac1{20},

而其餘邊不變，則三角形 $(0,3,4)$ 的 Gram 閉合量變成

\Delta_{034}=-\frac{5929}{67600}\ne0.

由雙基準恢復的方向對 $(3,4)$ 所預測的邊值仍為 $119/169$ ；該冗餘邊的殘差恰為 $1/20$ 。因此這項錯誤能被精確偵測。不能由此推論「任何錯誤邊都可被定位」，因為沒有冗餘路徑的邊缺少閉合證書，而彼此協調的錯誤也可能通過部分局部測試。

6. 有限無標記、部分缺失網路的精確實驗

6.1 生成方式與資訊隔離

沿用 P11 的十二個來源切線參數：

1/5, 2/5, 4/5, 6/5, 9/5, 13/5, 21/5, 39/5, -9, -4, -7/3, -3/2。

六個觀察者的自身方位以切線參數生成：

(\tan\beta_0,\ldots,\tan\beta_5) =(0,1/2,1/4,2/3,3/2,2).

所有 $v_i$ 與原始無標記譜皆為精確有理數。每位觀察者只取得十二個來源中的十個；不同觀察者的缺失位置不同。每條實際觀察邊的共同來源數為八或九個。精確候選演算法只接收「某一觀察者的測值袋」和「另一觀察者的測值袋」；來源索引僅用於資料生成及事後核對，不作為配準演算法輸入。

定義十三條觀察邊，其中九條構成 $(0,1)$ 基準及所有其他觀察者到 $0$ 、 $1$ 的連線，其餘四條作冗餘閉合： $(2,3)$ 、 $(3,4)$ 、 $(4,5)$ 、 $(2,5)$ 。

6.2 有限候選配準結果

項目	結果
觀察者總數	6
來源樣本總數	12
每位觀察者實際取得	10
關係邊數	13
各邊共同來源數	8 或 9
真實相對方向為唯一最高支援的邊	13/13
真實邊的共同來源配對	全部正確
錯誤候選的最高匹配支援	5
真實候選的最低匹配支援	8

因此，若額外已知每條邊的真正共同來源至少有六個，P11 的有限匹配門檻 $K_{ij}=6$ 能在本組資料的十三條邊上辨識正確的 $c_{ij}$ 。這個下界是定理所需的資訊先驗，不是僅憑空白測值袋自動發現的宇宙定律。每一條真實邊在本組有限資料中也恰有與共同來源數相等的零殘差配對邊，故對應配對是唯一的。

十三條觀察邊的真實相對方向與最強錯誤候選支援數

例如，部分可核對的真實有理數值為

c_{01}=\frac35, \qquad c_{02}=\frac{15}{17}, \qquad c_{12}=\frac{77}{85}, \qquad c_{34}=\frac{119}{169}.

帶入定理 3.1， $a=3/5$ 、 $b=4/5$ ，六個方向可由其兩基準邊的內積以有理數精確恢復。全部十三條已知邊通過內積一致性與對角單位條件。

完成後的全體六觀察者 Gram 矩陣

需區分：這是在已指定六個二維觀察方向、來源為有限有理數樣本的合成模型裡取得的結果。這不是對任意連續曲面、任意未知相機姿態或真實噪聲機制的全局恢復證明。

7. 已校準邊參數下的穩定性定理

P11 的完整盲配準使用精確代數候選。當原始觀測帶有雜訊，候選歸併、最大匹配數及來源身分可能不穩定。為分清不同誤差來源，本節只研究第二階段：假設 $c_{ij}$ 的數值估計已由其他流程取得，且基準 $c_{01}=a$ 精確已知。

令

b=\sqrt{1-a^2}>0, \qquad \lvert\widehat c_{0k}-c_{0k}\rvert\le\eta, \qquad \lvert\widehat c_{1k}-c_{1k}\rvert\le\eta.

依定理 3.1 的線性恢復公式，尚未歸一化的估計向量 $\widetilde v_k$ 與真實方向 $v_k$ 滿足

\lVert\widetilde v_k-v_k\rVert \le \eta\sqrt{1+\frac{(1+\lvert a\rvert)^2}{b^2}} =:\delta.

若 $\delta<1$ ，則 $\widetilde v_k\ne0$ ，可定義 $\widehat v_k=\widetilde v_k/\lVert\widetilde v_k\rVert$ 。由反三角不等式，

\lVert\widehat v_k-v_k\rVert\le 2\delta.

因 $v_k$ 使用的是雙倍角表示，令原始觀察角度的週期性誤差為 $\epsilon_{\beta,k}$ ，則

\epsilon_{\beta,k}\le\arcsin\delta \qquad (0\le\delta<1).

這是保守、充分而非必要的誤差上界。尤其當兩基準幾乎共線時， $b\to0$ ，界線惡化；因此理論上的唯一可解與實際的穩定可重建是兩個不同問題。

在本組基準 $a=3/5$ 、 $b=4/5$ 下，簡化得到

\delta=\sqrt5\,\eta, \qquad \epsilon_{\beta,k}\le\arcsin(\sqrt5\,\eta).

7.1 受控邊參數雜訊模擬

使用固定隨機種子 20261105，對每條非基準節點的兩條邊，獨立加入 $[-\eta,\eta]$ 均勻隨機誤差。每個噪聲尺度進行 512 次整體網路試驗，五個尺度合計 2,560 次；每次恢復四個非基準方向，共 10,240 次節點恢復。

每條邊的誤差上界 $\eta$	實測最壞方位誤差（度）	理論充分上界（度）
0	0.000000	0.000000
$10^{-5}$	0.000621	0.001281
$10^{-4}$	0.006086	0.012812
$10^{-3}$	0.060524	0.128117
$3\times10^{-3}$	0.187947	0.384355

所有 10,240 次節點恢復均落在保守充分界內。這只驗證本節的邊參數誤差傳遞，不包含在原始無標記譜上加雜訊後重新估計各條 $c_{ij}$ 的整體成功率。

雙基準反演的邊參數雜訊實驗與理論誤差包絡

8. 全域方向的規範限制與真正的觀察者資訊

從完整部分 Gram 圖得到 $v_i$ ，依然有共同旋轉與鏡射規範：

\{v_i\}\longmapsto\{Qv_i\}, \qquad Q\in O(2),

不改變任何 $v_i^{\mathsf T}v_j$ 。因此，無論圖有多少條精確內積邊，僅靠這類資料不可能區分共同的全域鏡射。若要觀察者的絕對手性、世界座標朝向或真實相機光軸符號，就需要不同類型的外部資訊，例如具方向的標定、帶符號的叉積、已知方向錨點或其他不在本模型內的物理測量。

特別注意：以 $v_i=(\cos2\beta_i,\sin2\beta_i)$ 編碼後，原本的 $\beta_i$ 本身只在模 $\pi$ 的意義下可恢復；若儀器的物理前後方向也重要，平方投影譜並不足以分辨兩者。

P10、P11 與本文的 $q$ 、 $D_{\mathrm{PR}}$ 之間亦存在非線性轉換：

\frac{dD_{\mathrm{PR}}}{dq}=\frac{2(1-q^2)}{(1+q^2)^2}.

當 $q\to1$ 時，導數趨近零。故有效維度讀值的有界噪聲不會自動給出同量級的 $q$ 噪聲界；本文 7 節的穩定性不得直接轉用於 $D_{\mathrm{PR}}$ 原始帶噪輸入。

9. 可重現性及證明分級

全部可重現物件包含：

src/core.py：有理數來源與觀察者、二次曲線候選、精確二分匹配、Gram 兩基準恢復、鏡射反例。
src/verify_exact.py：精確有理數有限樣本測試、十三邊支援證書、閉合與反例檢查。
src/verify_symbolic.py：SymPy 獨立符號恆等式及全部觀察邊內積再驗證。
src/simulate.py：精確基準下的邊參數雜訊實驗，固定種子並輸出 JSON。
src/render_figures.py：生成五組 PNG／SVG 科學圖。
src/validate_release.py：檢驗 UTF-8、canonical 數學分隔符、檔案清單及 ZIP 逐檔雜湊。

證明層： 定理 3.1、逐步 lateration 的充分條件、橋接鏡射反例、非零 Gram 閉合量的拒絕有效性，以及第 7 節的誤差包絡均可由其給定數學假設獨立推導。

有限證書層： 十三條邊的匹配數、候選全集、完整 Gram 邊值、橋接反例差值及注入異常殘差是可由 Python 精確再算的有限資料結果，不是任意輸入的普遍定理。

統計模擬層： 2,560 次網路模擬與 10,240 次節點估計是固定合成資料設定下的重播；通過結果不會升格為無條件的泛化效能主張。

運行方式（於 ZIP 解壓後的根目錄）：

python src/verify_exact.py
python src/verify_symbolic.py
python src/simulate.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py

requirements.txt 列出額外的繪圖與符號依賴；verify_exact.py 與 simulate.py 僅依賴 Python 標準函式庫。

10. 與現有數學工作的關係及貢獻界線

多觀察者方位同步（angular synchronization）本身已有成熟文獻。Singer（2011）已討論從有噪聲相對角度、稀疏圖及含離群值的量測重建未知角度，以及循環一致性和譜／半正定鬆弛。本文不能把「網路上的角同步」稱為首次發現。

本文與該類既有問題有一項本質區別：原始邊數據不是帶有方向符號的相對角度，而是從無標記、部分缺失的平方投影譜得到的無符號雙倍角餘弦。 因此在進行網路同步之前，還必須解決局部有限候選、來源匹配及鏡射規範的問題。本篇實際完成的是限定模型中的兩階段管線、可驗證的六觀察者有理數見證、反例與錯誤閉合測試，而非聲稱創立整個 Gram 完成或角同步理論。

11. 研究結論與下一個可檢驗問題

P12 可以嚴格支持以下結果：

將部分缺失、無標記的兩觀察者譜轉為局部內積關係後，可用部分 Gram 矩陣表述全域觀察幾何。
在兩基準不共線且其他節點均有兩條可信基準邊時，二維方向唯一恢復至共同 $O(2)$ 規範；更廣泛的逐步 two-neighbor lateration 亦為充分條件。
只有連通樹而缺乏足夠跨接關係時，存在精確的橋接鏡射歧義。
冗餘三角關係能偵測某些錯誤的局部自校準證書，但通過局部閉合並不等於已證明所有來源對應、整個載體或觀察網路的絕對手性。
六觀察者、十三條無標記局部觀察邊的精確有限證書通過；在精確雙基準先驗下，也得到帶有充分上界的邊參數雜訊傳遞實驗。

下一個可檢驗問題是：當網路中一些局部相對方向證書根本不存在、另一些可能錯誤，而兩個基準又未必完整可用時，能否對觀察圖本身建立冗餘、可信度與不確定性的聯合演算法？這需要研究稀疏圖的可辨識性、離群值剔除及不同感測先驗，而不能由本篇的理想雙基準定理直接推出。

最重要的區分是：局部關係資料可以非常精確，卻仍未必足以決定全域幾何；唯有將關係如何連接也納入約束，幾何才真正成為可以辨識的對象。

參考文獻

RGC P06 (2026-11-03). Continuous Carrier and Local Relational Field. 本系列內部前篇。
RGC P09 (2026-11-04). Unlabeled Spectral Registration and Arclength Identifiability. 本系列內部前篇。
RGC P10 (2026-11-04). Unlabeled Global Atlas Gluing. 本系列內部前篇。
RGC P11 (2026-11-05). Blind Partial Spectral Self-Calibration. 本系列內部前篇。
Singer, A. (2011). Angular synchronization by eigenvectors and semidefinite programming. Applied and Computational Harmonic Analysis, 30(1), 20–36. https://doi.org/10.1016/j.acha.2010.02.001

完整可重製程式與資料： 同層 ZIP 研究包及其 SHA256SUMS.txt；聊天畫面不是 canonical source。