關係幾何與載體展開 IX：無標記關係譜的局部順序配準、弧長錨定與連續載體的不可辨識性

Q: 8. 討論：關係資訊是否能取代來源標記？

本文的答案是在限定條件下，可以取代部分標記；但不能取代全部度量資訊。

英文題名： Relational Geometry and Carrier Unfolding IX: Local Order Registration of Unlabeled Spectra, Arclength Anchoring, and Non-Identifiability of Continuous Carriers
系列： RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding
版本： P09 / v1.0.0
日期： 2026-11-04
研究問題與原始構想： Neo.K
數學形式化、程式實作、合成實驗及論文協作： GPT-6
文件性質： 模型內定理、反例、可重現合成實驗的研究初版；非實物測試、非外部同行審查。
Canonical source： 此 UTF-8 Markdown 原稿；所有正式數學源碼僅以 $...$ 與 $$...$$ 分隔，不以聊天畫面渲染結果作為正式原稿。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

RGC P08 已指出，當不同觀察者僅提供沒有來源位置標記的局部關係譜多重集合時，即使相機光軸已校準、觀測精確且觀察者數量增加，也不保證能唯一恢復跨觀察者的配準。本文將該不可辨識性與 P06 的連續等距可展載體相接，研究是否存在可由局部幾何關係導出的排序座標，以及排序到何種程度仍不足以重建真正的載體。

本文第一個結果是全域障礙：P06 指定的總法向旋轉角為 $\Theta\approx128.172708^\circ$ ，但任一非退化單一正交觀察者的局部平方投影譜 $q=\rho^2\cos^2(\alpha-\beta)$ ，最多只能在長度不超過 $90^\circ$ 的角區間內嚴格單調。因此將完整 P06 折角中的一袋關係譜直接依數值排序，不是合法的全域來源配準方法。

第二個結果是建設性的：本文以兩個總角長均小於 $90^\circ$ 的已辨識局部區段覆蓋折疊過渡，為每一區段設計三個已校準觀察方向，使關係譜對角座標嚴格單調。若觀察者採到共同且完整的一批來源位置，即使各自打亂資料順序，只需使用已知的單調方向排序，即可唯一恢復這些位置的跨觀察者對應；若每一譜值的有界誤差小於該觀察者最小相鄰真值間距的一半，結果在雜訊下仍然保持。局部可逆的角座標亦允許在有限缺失情況下，於角度誤差相對於採樣間隔足夠小時，恢復共同樣本配對。

第三個結果是反向定理：即使觀察者已經恢復每個局部法向角的順序及精確取值，如果沒有量測這些角度落在材料的哪個弧長位置，就仍不能唯一重建載體曲線。本文展示兩條不同的光滑、等距、無自交廣義圓柱截線：它們具有相同的起終法向、相同的總折角，並可對所有角度相依觀察者產生完全相同的無標記譜集合，卻具有不同的曲率沿弧長分布及不同的截線終點。加入材料弧長錨點後，若兩個觀察者的弧長誤差上界為 $\eta$ 、真實採樣間的最小間距為 $\delta$ ，則 $4\eta<\delta$ 是容許獨立缺失資料時，透過唯一鄰近匹配恢復共同來源對應的一個充分條件。

可重現驗證包含 21 項 SymPy 精確符號檢查與 58 項數值／幾何檢查。在兩區段、各十六個來源位置、每區段三個觀察方向的合成實驗中，有界譜誤差 $0.0004$ 時，128 次重播均取得正確的完整排序；但當關係譜的高斯雜訊標準差為 $0.002$ ，全輪完全正確的比例降為 $0.453$ 。這些數字來自指定的模型、採樣與演算法，不是對任意幾何或實體設備的性能保證。

本文得到的核心界線為：順序是一種幾何關係資訊，弧長則是一種度量資訊；前者可以恢復部分配準，卻不能普遍取代後者對三維載體的約束。 本文所稱的 $1.X$ 有效關係譜，依然不是傳統非整數歐氏空間維度的證明。

關鍵詞： 關係幾何、載體展開、三線成方、無標記感測、局部單調座標、資料配準、弧長錨定、重參數化規範、可展曲面、有效關係譜、可辨識性、合成實驗。

1. 承接 P06–P08 的問題與觀測層級

本系列源於「只畫三條直線，是否可以在特定幾何載體及觀測映射下得到正方形」的思維實驗。P03 在兩片剛性折片上給出了理想精確構造；P06 將零寬摺線連續化，建立保持內稟距離的光滑可展載體；P07 在點對應與觀察方向已知時分離位置、法向與局部譜的反演；P08 進一步指出未知相機光軸、資料缺失與來源無標記是三種不同的辨識問題。

本文固定以下幾個與數學結論密切相關的範圍：

觀察方向已完成 P08 類型的光軸校準；相機 roll、平移、透視畸變及完全盲相機標定不在本文求解範圍內。
來源載體屬於已知母線方向的等距廣義圓柱模型族；其內稟維度固定為 $2$ ，環境空間維度為 $3$ 。
首先只得到每個觀察者自己的局部譜值多重集合，沒有跨觀察者來源點識別碼；後續依次加入區段標籤、局部順序及材料弧長等明示的額外資訊。
有效關係譜 $D_{\mathrm{PR}}$ 是投影度量本徵值的參與比，不將其視為拓撲維度、Hausdorff 維度或「一個完整軸加半個獨立軸」。

這些限制使本文可以清楚劃分哪個結論由譜本身推出、哪個結論必須由額外幾何先驗支持。

2. 精確的連續等距載體與譜模型

令 $\mathbf e=(0,0,1)$ 是已知的母線單位向量，並令未知法向場由角函數 $\alpha(u)$ 表示：

\mathbf N(u)=(\cos\alpha(u),\sin\alpha(u),0).

對應材料的單位橫截面切向為

\mathbf v(u)=\mathbf N(u)\times\mathbf e =(\sin\alpha(u),-\cos\alpha(u),0).

定義嵌入

\Psi(t,u)=\mathbf B+t\mathbf e+ \int_0^u\mathbf v(r)\,dr.

於是

\partial_t\Psi=\mathbf e,\qquad \partial_u\Psi=\mathbf v,\qquad (D\Psi)^{\mathsf T}D\Psi=I_2.

對任一足夠平滑的 $\alpha$ ，材料局部都保持正交與單位弧長。其局部法向的角變化率 $|\alpha'(u)|$ 對應非零主曲率的絕對值；同樣的法向取值集合，並不決定 $\alpha$ 如何沿弧長分布。

P06 的連續正則化基準取

\Theta=\arccos\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right) \approx2.237035759287412, \qquad \varepsilon=0.075.

令 $z=(u+\varepsilon)/(2\varepsilon)$ ，並取

h(z)=\begin{cases} 0,&z\le0,\\ 6z^5-15z^4+10z^3,&0<z<1,\\ 1,&z\ge1. \end{cases}

原始法向角輪廓為

\alpha_0(u)=\Theta\,h\left(\frac{u+\varepsilon}{2\varepsilon}\right).

本文主要量測通道沿用 P07–P08。若已校準觀察者的光軸在法向平面的投影大小為 $\rho>0$ ，方位角為 $\beta$ ，則

q_{\beta}(u)=\rho^2\cos^2(\alpha(u)-\beta), \qquad D_{\beta}(u)=F(q_{\beta}(u)),

其中

F(q)=\frac{(1+q)^2}{1+q^2}, \qquad F^{-1}(D)=\frac{D-1}{1+\sqrt{1-(D-1)^2}}.

本篇的建構性實驗選用光軸落在法向平面中的相機，故 $\rho=1$ 。精確 $D$ 仍然只是 $q$ 的單調重編碼；單靠一個 $D$ 值無法普遍恢復法向角的象限或其材料弧長位置。

3. 定理一：完整折疊區段的單一譜排序障礙

由直接微分可得

\frac{d}{d\alpha}\cos^2(\alpha-\beta) =-\sin(2(\alpha-\beta)).

其導數每隔 $\pi/2$ 出現一個零點，而且每個零點都是局部極大值或局部極小值。

定理 3.1（全域單標量排序障礙）。 對任何固定觀察方向 $\beta$ 和非零平面投影 $\rho$ ，若 $\alpha$ 連續涵蓋一個長度嚴格大於 $\pi/2$ 的角區間，則 $q_{\beta}(\alpha)=\rho^2\cos^2(\alpha-\beta)$ 不可能在該全區間嚴格單調； $D_{\beta}=F(q_{\beta})$ 亦然。

證明。 $q_{\beta}$ 的極值角位於 $\beta+k\pi/2$ ，相鄰極值間距為 $\pi/2$ 。任何長度大於 $\pi/2$ 的開區間必包含至少一個內部極值，因此該區間上的 $q_{\beta}$ 必先遞增再遞減，或先遞減再遞增。 $F$ 對 $q\in[0,1]$ 嚴格遞增，不會消除該轉折。證畢。

P06 的 $\Theta\approx128.17^\circ>90^\circ$ ，因此完整折疊區段不能由任何單一此類譜指標的數值大小直接排序。這是觀測函數的限制，而非宣稱沒有其他可用的配準機制。

圖 1：完整折角內，單一觀察譜必經過轉折

4. 定理二：已辨識局部區段上的無標記順序配準

把角域劃分為

I_1=[0,\Theta/2],\qquad I_2=[\Theta/2,\Theta].

由於 $\Theta/2\approx1.118518<\pi/2$ ，對每一區段 $I_c=[a_c,b_c]$ ，選擇三個平面內觀察方向

\beta_{c,j}=a_c-\rho_j,\qquad \rho_j\in\{0.20,0.24,0.28\}.

則在 $\alpha\in I_c$ 上，有

0<\alpha-\beta_{c,j}<\frac{\pi}{2},

因為 $\Theta/2+0.28<\pi/2$ 。因此三位觀察者的 $q_{c,j}(\alpha)$ 和 $D_{c,j}(\alpha)$ 對角 $\alpha$ 均嚴格遞減；且每一個觀察者都可在區段內獨立反求角度：

\alpha=\beta_{c,j}+\arccos\sqrt{F^{-1}(D_{c,j})}.

圖 2：局部單調譜圖冊；同一相對角配置可以在兩個區段重複使用

定理 4.1（完整共同樣本的排序配準唯一性）。 設 $I$ 上有 $N$ 個不同的未知來源位置，其局部角度滿足

\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_N.

所有觀察者各自測量同一批 $N$ 個位置，但交付的是獨立打亂的資料袋。若每位觀察者的已知量測函數 $G_j(\alpha)$ 都在 $I$ 上嚴格單調，且其單調方向已知，則將各資料袋按所對應的單調方向排序，即可唯一恢復跨觀察者的角順序配對；唯一性以不預先命名的 $\alpha$ 排名為準。

證明。 嚴格單調函數保持角度的嚴格次序，或將它完整反轉。依各 $G_j$ 的已知方向排序後，第 $k$ 個元素只能對應來源第 $k$ 小角度的樣本。任何不同配對必使至少某位觀察者的角順序顛倒，與嚴格單調性矛盾。證畢。

定理 4.2（有界量測誤差下的排序保證）。 對第 $j$ 位觀察者，令相鄰來源樣本的最小無噪音譜間距為

\Delta_j=\min_{1\le i<N}|G_j(\alpha_{i+1})-G_j(\alpha_i)|>0.

若每個被觀測譜值的加性誤差絕對值皆不超過 $\eta_j$ ，且

2\eta_j<\Delta_j,

則排序不會改變，定理 4.1 的配對仍正確。

證明。 相鄰無噪音值相隔至少 $\Delta_j$ ；兩端向彼此移動最多 $2\eta_j$ 。若後者嚴格小於前者，所有相鄰順序都保持，因而整體排序保持。證畢。

這兩個定理必須強調三個條件：區段成員身分已知、量測是相同來源樣本、該區段內沒有導致譜值重合的非單調分支。在 P06 的平坦區段，許多位置法向完全相同，不能透過角排名區分；本文不把那種重複角當成可排序的不同特徵點。

5. 缺失樣本、角座標配對與弧長錨定

5.1 缺失時，角座標仍可成為局部關係標記

若某些樣本沒有被個別觀察者測得，單靠每袋的第 $k$ 小元素配第 $k$ 小元素，已不再保證是同一個來源位置。但在第 4 節的已知角分支上，每個被保留的譜值仍可換算成角估計 $\widehat\alpha_{j,i}$ 。

命題 5.1（無標記且有缺失時的角座標唯一配對充分條件）。 假設原共同樣本的不同真實角度最小間隔為 $\delta_\alpha>0$ ，每份局部角估計與其所對應真實角度相差至多 $\eta_\alpha$ 。如果

4\eta_\alpha<\delta_\alpha,

則跨觀察者以 $2\eta_\alpha$ 為距離門檻的唯一鄰近匹配，恰好恢復兩者共同觀測到的樣本配對，不會將不同來源角誤配；沒有被雙方共同觀測的點則不會被強行補造。

證明。 相同來源點的兩個估計最多相差 $2\eta_\alpha$ ；不同來源點的兩個估計則至少相差 $\delta_\alpha-2\eta_\alpha>2\eta_\alpha$ 。所以門檻內恰有真正的共同來源點；獨立缺失不影響這個不等式。證畢。

此命題提供了從局部關係譜轉換出的角標記。然而角度並非弧長，知道一個位置的 $\alpha$ ，還不知道它在材料上的實際 $u$ 坐標。

5.2 弧長是獨立的度量資訊

假設每筆觀測除了譜值，還能從外部運動編碼器、材質里程標記、可校準的載體測量或等價方法，附帶其相對材料來源基點的弧長估計 $\widehat u_{j,i}$ 。弧長不是從單一平方投影譜自動湧現的資訊。

定理 5.2（弧長錨點在缺失觀測下的配準充分條件）。 設不同共同候選來源位置的真實弧長坐標至少相隔 $\delta>0$ ，兩位觀察者對每一個有保留的來源點皆有

|\widehat u_{j,i}-u_i|\le\eta.

若

4\eta<\delta,

則不論各觀察者的資料是否獨立打亂、也不論個別點是否缺失，對兩組弧長估計執行門檻 $2\eta$ 的唯一鄰近匹配，都會精確找回所有雙方共同觀測到的來源點，且沒有錯誤配對。

證明。 共同來源點的兩筆估計差至多 $2\eta$ 。不同來源點的任何兩筆估計差至少 $\delta-2\eta$ ，由假設嚴格大於 $2\eta$ 。因此每一筆存在共同來源的量測恰有一筆對方量測處於門檻內，而不同來源點不可能通過門檻。證畢。

嚴格不等式是為了排除邊界重合的歧義，不是宣稱 $\eta\ge\delta/4$ 時一定會失敗。超過該界線只代表此簡單演算法的普遍保證失效；個別實驗仍可能成功。

這兩種配準機制的差別是：局部角座標最多把觀測標記為「折角演化到哪裡」，弧長錨點則能進一步標明「材料上哪裡發生該折角」。

圖 3：三組無標記譜值經局部排序恢復的角序列

6. 定理三：已配準的完整角序列仍不唯一決定載體

本節不是再做一組排列反例，而是指出比 P08 更深的弧長重參數化障礙。觀測者甚至可能已經取得所有角度值和它們的正確大小順序，卻仍無法恢復角度在材料上如何分布。

在固定材料區間 $u\in[-\varepsilon,\varepsilon]$ 上，令

z=\frac{u+\varepsilon}{2\varepsilon},\qquad \phi(z)=z+\frac12z(1-z).

$\phi(0)=0$ 、 $\phi(1)=1$ 且

\phi'(z)=\frac32-z\in[1/2,3/2].

因而它是嚴格遞增的光滑自同胚。定義兩個候選法向角場

\alpha_A(u)=\Theta h(z),\qquad \alpha_B(u)=\Theta h(\phi(z)).

兩者具有相同的材料總長、相同起終角以及相同的角值範圍，但一般 $\alpha_A(u)\ne\alpha_B(u)$ 。將它們代入第 2 節的 $\Psi$ ，便得到兩個局部等距的載體。

定理 6.1（只由角譜袋與角順序無法辨識弧長分布）。 若觀察者沒有來源位置的弧長坐標，而各個相機的譜值僅依賴其來源點的法向角 $\alpha$ ，則上述兩個不同的光滑載體可以在相同角樣本集合下，對任意數目的這類相機產生完全相同的無標記譜袋與相同的角順序；然而，它們的曲率沿材料弧長分布不同，所生成的截線亦不同。因此單靠譜袋與角順序不能唯一恢復載體。

證明。 取任一有限角樣本集 $\{a_i\}\subset(0,\Theta)$ ，依遞增順序排列。由於 $h$ 與 $h\circ\phi$ 在開過渡區域均嚴格遞增，可分別找到唯一的 $u_i^A,u_i^B$ 使 $\alpha_A(u_i^A)=a_i=\alpha_B(u_i^B)$ 。對任一已知觀察方向 $\beta$ ，這兩組隱藏的來源位置給出

D_\beta(u_i^A)=F(\cos^2(a_i-\beta))=D_\beta(u_i^B).

因此每位觀察者得到相同的譜袋；因兩個角場均遞增，其角順序亦一致。但兩個法向場作為 $u$ 的函數不相同，故 $|\alpha_A'(u)|$ 和 $|\alpha_B'(u)|$ 在某些位置不同。它們積分產生的橫截線一般亦不相同。本文選定的參數例子具有不同截線終點，排除它們在相同起點、相同初始方位和固定材料參數框架下重合的可能。證畢。

嵌入合法性補充。 兩個角場均落在 $[0,\Theta]$ ，且 $\Theta<\pi$ 。取橫截面切向角區間的中間方向 $\mathbf d=\mathbf v(\Theta/2)$ ，則所有 $u$ 滿足

\mathbf v(u)\cdot\mathbf d =\cos(\alpha(u)-\Theta/2) \ge\cos(\Theta/2)>0.

因此截線在 $\mathbf d$ 方向上的坐標嚴格遞增，兩個截線都沒有自交；加上獨立母線方向後，載體亦無自交。此反例並未以不合法的自交曲面偷換問題。

圖 4：同角域但不同的角度—弧長對應

圖 5：相同無標記角譜所允許的兩條不同截線

命題 6.2（有限弧長錨點仍不足以唯一決定全部連續場）。 即使給定有限個精確配準的資料對 $\{(u_i,\alpha(u_i))\}_{i=1}^N$ ，若允許任意足夠光滑、嚴格遞增且端點固定的角場，則仍存在無限多條彼此不同、且滿足所有這些有限資料對的等距廣義圓柱載體。

證明。 有限個弧長採樣點之間必存在不含採樣點的開區間 $J$ 。選擇支集完全位於 $J$ 、非恆零的 $C^\infty$ 函數 $b$ ，且令 $\|b'\|_\infty<1$ 。定義 $\phi(u)=u+b(u)$ ，則 $\phi$ 在整個材料區間上嚴格遞增，於端點及全部採樣點均等於恆等映射，但在 $J$ 內並非恆等。對原有嚴格遞增的角輪廓 $\alpha$ ，新輪廓 $\widetilde\alpha=\alpha\circ\phi$ 在所有採樣點取值完全相同，卻於 $J$ 內不同。不同的小幅 $b$ 可產生無限多組合法輪廓及其等距載體。證畢。

因此，有限弧長錨點能精確解除已取樣點的對應歧義，不能單靠有限樣本保證整條連續曲面的唯一插值。若要宣稱完整場的唯一反演，還需要事先限定有限維參數族、提供足夠密的極限觀測，或加入能真正排除上述擾動的額外模型約束。

限制聲明。 此不可辨識性成立於允許未知的角—弧長輪廓函數的連續載體類別。若反過來把 P06 的 $h$ 、 $\varepsilon$ 、來源座標框架與所有參數都先當作完全已知，則 $\alpha$ 到 $u$ 的映射可由已知公式直接反解；那不是本文第 6 節處理的未知場反問題。

7. 合成實驗與數值結果

7.1 觀測配置與測試範圍

採樣：兩個已知局部區段，各有 $16$ 個不同角度，避開兩端的平坦區；共 $32$ 個來源位置。
局部觀察者：每區段使用第 4 節的三個方向，共六組固定校準方向（或三台可重新定向的觀察裝置），並非額外畫在來源材料上的筆畫。
無標記：每台觀察者獨立亂序其譜值；真實來源索引只保留在模擬器內以便最後評估，不輸入配準演算法。
譜雜訊：直接加在 $D_{\mathrm{PR}}$ 數值上，並截斷到 $[1,2]$ ；不將它誤記為 $q$ 的雜訊或像素誤差。
弧長錨點：每台觀察者保留同一次量測自己的 $\widehat u$ ，但沒有跨相機來源識別碼；每觀察者隨機缺失約 $20\%$ 的位置。
重播種子：20261104。主要重播每一配置 $128$ 次；符號檢查使用 SymPy，有界及高斯雜訊實驗使用 NumPy，弧長反演與角反演使用 SciPy。

兩區段的最小相鄰無噪音譜差（取六種配置中的最小者）為

\Delta_D=0.002535409418364498.

所以固定有界譜雜訊 $\eta_D=0.0004$ 滿足 $2\eta_D<\Delta_D$ 。這是排序必然維持的充分條件，不是由 128 次成功才倒推的統計結論。

7.2 未標記完整樣本排序的結果

每筆 $D$ 的高斯雜訊標準差	128 次中整輪全部配對正確比例	平均單筆排序位置正確比例	平均法向角 RMSE（弧度）
0	1.000	1.000	$<10^{-12}$
0.0001	1.000	1.000	0.000507
0.0005	1.000	1.000	0.002651
0.0010	0.945	0.999	0.007121
0.0020	0.453	0.986	0.014589
0.0050	0.008	0.940	0.031656

整輪正確的判準是六個局部觀察者的每一個樣本都位於正確排序位置，比平均單筆正確比例嚴格得多。第 7.2 節的角度 RMSE 將三位觀察者各自在局部合法分支反演的角度取平均；不存在把真實角度送回估計器的步驟。

圖 6：高斯譜雜訊增大後，完整排序的可靠性下降

7.3 來源缺失與關係角座標配對

在保留各觀察者約 $80\%$ 的樣本、但各自獨立缺失的條件下，使用兩個已知分支觀察者的反演角度來配對。令每筆 $D$ 的誤差絕對值不超過 $0.00015$ ，實測最大的角反演絕對誤差約為 $0.004194$ 弧度；以 $\eta_\alpha=0.012$ 作保守容許界，角度樣本最小間距約為 $0.071901$ 弧度，符合 $4\eta_\alpha<\delta_\alpha$ 。

128 次重播全部找回所有共同來源點，合計配對 $2635$ 筆，且沒有錯配。這證明局部角坐標能在已辨識區段內提供無標記配準資訊；尚不代表弧長已被恢復。

7.4 弧長錨定、缺失與保證邊界

所有三十二個離散來源位置的最小弧長間距約為

\delta=0.0014305511342319471.

以下把弧長誤差上界 $\eta$ 除以 $\delta$ ，每個配置重播 $128$ 次。演算法只接受雙向唯一、落在距離門檻 $2\eta$ 內的配對。

$\eta/\delta$	整輪完全正確次數	平均配對精確率	平均召回率
0.05	128 / 128	1.000	1.000
0.20	128 / 128	1.000	1.000
0.27	126 / 128	1.000	0.999
0.40	80 / 128	0.999	0.973

數值結果和定理 5.2 一致：低於四分之一是普遍充分界；超過此界後可能仍大量成功，但不應宣稱仍有同樣的保證。

圖 7：缺失樣本的弧長錨定配準與四分之一間距保證界

7.5 重新參數化反例的數值比較

用第 6 節的兩條輪廓，在相同角度樣本上、但不同隱藏弧長位置產生譜。六組觀察方向的最大譜差約為 $2.89\times10^{-15}$ ，屬於雙精度浮點數值誤差；兩條角度場在同一材料弧長位置的最大差異約為 $0.513635$ 弧度，而積分截線的終點距離約為 $0.029163$ （來源單位）。

這組比較特別重要：譜集合的數值近乎完全一樣，並不代表原來的連續載體也一樣。 這是本研究的反例，不是反演演算法的失敗紀錄。

7.6 驗收層級

src/verify_symbolic.py：21 項獨立 SymPy 恆等式及 P08 無標記反例複核。
src/run_experiments.py：58 項數值檢查、完整樣本排序的 $768$ 次高斯重播、128 次有界雜訊重播、512 次弧長錨定重播、128 次角度缺失配準重播。
src/render_figures.py：七張可重繪 PNG 及七張 SVG。
results/：全部實驗的 JSON 摘要及 NPZ 示意資料。

符號檢查與有限模擬不等於對本文全部定理的外部獨立審查。模型已通過指定的程式與原稿驗收，沒有經過實體相機或材料的觀測驗證。

8. 討論：關係資訊是否能取代來源標記？

本文的答案是在限定條件下，可以取代部分標記；但不能取代全部度量資訊。

首先，一個足夠小、可辨識的關係區段本身可以具有單調座標，從而讓無標記相機數據被排序並相互配對。但 P06 的完整折角超過一個平方投影譜的單調範圍，說明局部座標必須透過區段標記、觀測路徑或其他合法資訊形成圖冊，不能暗中假裝全域有一條單調軸。

其次，當樣本出現缺失時，單純的排名不再充分；已知局部反演分支得到的角坐標可以提供數值標記，在有界誤差與最小間距條件下恢復共同樣本，這是關係幾何能實際協助資料配準的例子。

再次，知道法向場的角度及順序，不表示知道折角在材料的哪一個弧長位置發生。兩個不同的光滑等距截線仍可能共享所有未定位的角度譜觀測。因此將關係譜當成傳統幾何維度，或認為找到某個 $1.X$ 就等於決定折線展開形狀，仍然缺乏數學依據。

最後，本篇沒有實作一般的未知相機姿態、無標記、任意不規則採樣、未知遮蔽的聯合全域最佳化器。經典無標記感測與動態時間校準理論已指出此類配準含有獨立的辨識與計算困難 [R1–R3]；本文提供的是對本系列特殊光滑等距載體的嚴格可證明子案例，而不是宣稱取代一般解法。

9. 結論

P09 建立了從 P08 的「完全無標記不可辨識」走向「具附加幾何資訊時可恢復配準」的第一套模型內定理，並得到三種不能混為一談的資訊界線。

其一，全域折疊角度太大時，單一平方投影譜不能充當全域順序座標；必須先確立合法的局部觀測圖冊。其二，在已知圖冊、共同樣本與誤差間距條件下，資料的關係順序足以恢復跨觀察者對應，局部反演角度還可以應對部分觀測缺失。其三，即便已知完整角序列，若缺乏材料弧長與角值的配對，光滑、等距、無自交的不同載體仍可產生相同無標記關係譜；弧長錨定因而是恢復具體幾何的重要額外資訊。

一句話總結：關係可以告訴我們哪些觀測屬於同一位置，但若沒有度量，還不能告訴我們那個位置究竟在哪裡。

參考文獻

[R1] Unnikrishnan, J., Haghighatshoar, S., & Vetterli, M. (2018). Unlabeled Sensing With Random Linear Measurements. IEEE Transactions on Information Theory, 64(5), 3237–3253. https://doi.org/10.1109/TIT.2018.2809002 。無標記觀測的辨識條件與一般資料關聯問題；其隨機線性模型不同於本文的非線性局部譜。
[R2] Sakoe, H., & Chiba, S. (1978). Dynamic Programming Algorithm Optimization for Spoken Word Recognition. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 26(1), 43–49. https://doi.org/10.1109/TASSP.1978.1163055 。序列單調配準及時間扭曲的經典演算法背景；本文不宣稱已實作通用 DTW。
[R3] Deriso, D., & Boyd, S. A General Optimization Framework for Dynamic Time Warping. https://stanford.edu/~boyd/papers/pdf/gdtw.pdf 。序列配準與單調變形的最佳化背景。
[R4] RGC P06 (2026-11-03). 連續等距載體、局部關係維度場與三線成方的曲率代價. 本文載體與法向角基準。
[R5] RGC P07 (2026-11-04). 未知局部關係場的多觀察者反演、譜觀測可識別性與曲率穩定性. 本文局部譜—法向平方投影恆等式。
[R6] RGC P08 (2026-11-04). 未知觀察方向的關係譜校準、缺失觀測與配準不可辨識性. 本文無標記不可辨識性背景及光軸校準模型。

附錄 A：重現指令與資料完整性

在解壓縮資料夾根目錄執行：

python -m pip install -r requirements.txt
python src/verify_symbolic.py
python src/run_experiments.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py

results/symbolic_verification.json、results/numerical_experiments.json 及 results/release_validation.json 提供可機器檢查的驗證摘要。所有源碼與研究原稿依 SHA256SUMS.txt 檢查；數值驗證只證明所提交程式與本篇所聲明的測試條件相符，不用來取代正式數學推理。