關係幾何與載體展開 IV：多觀察者的三維反演、摺線可辨識性與有效關係維度

英文題名： Relational Geometry and Carrier Unfolding IV: Calibrated Multi-Observer Reconstruction, Crease Identifiability, and Observation-Dependent Relational Dimension
研究系列： RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding
版本： P04 / v1.0.0
日期： 2026-11-03
研究狀態： 理想已校準正交觀察模型的解析定理、精確符號驗證與可重現數值模擬。未進行實體攝影或材料試驗。
Canonical source： 本 UTF-8 Markdown 為正式原稿，所有數學原始碼只使用 $...$ 與 $$...$$ 作為 LaTeX 分隔符。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

P01 提供三條來源直線段經分片仿射載體映射形成正方形的明確構造；P02 建立關係算子的有效譜維度及不可辨識反例；P03 進一步在單條摺線、兩片局部等距的理想剛性折片上，構造其正交投影精確形成正方形的三維實例。然而，單一觀測畫面能否恢復載體的真正形狀，與觀測畫面能否呈現正方形，並非同一問題。

本文在已知且位於同一世界座標系的兩個校準正交觀察者、四個可靠對應特徵點、已知載體關聯圖等明確前提下，證明只要兩個觀察方向不平行，三維的四個折片特徵點便可唯一線性反演，進而恢復單條摺線的位置、局部面法向量與摺角。本文同時證明單一正交觀察者存在鏡射歧義，並導出雙視角反演的確切條件數及高斯測量誤差擴張公式。以 P03 的精確折片為範例，第一觀察者對兩片折面的有效譜維度均測得 $9/7$ ；第二觀察者則分別得到 $1+1/\sqrt5$ 及 $1+2/\sqrt5$ ，但經兩視角反演後恢復的內稟幾何維度均仍是 $2$ 。

研究由此建立三個可直接測試的層次：載體幾何的真實約束、觀察算子產生的局部譜、以及多觀察資料是否足以辨識載體。本篇不主張非整數傳統歐氏空間軸的存在，亦不宣稱 $1.7D$ 、 $1.8D$ 是三線成方的普遍臨界值。

關鍵詞： 關係幾何、載體展開、三線成方、多觀察者、正交相機、三維重建、可識別性、單摺線剛性折疊、譜參與比、觀測秩、穩定性。

1. 研究問題與承接

本系列的最初問題是：若只畫三條真正的來源直線段，能否利用特殊幾何載體讓其觀察像形成正方形？P03 已建立一個理想剛性模型的肯定答案。本文將焦點轉向反向問題：

在不事先告訴觀察者三維頂點高度、面法向及摺角的情況下，觀測到的幾何是否足以唯一反推出材料的三維形狀與關係算子？

這裡刻意把「存在性」與「可辨識性」分開。將圖形投影成正方形，不等於已從正方形恢復三維載體；從多張圖片恢復四個點，也不等於對任意曲面或未校準觀測都能恢復連續幾何。

1.1 三種互不等同的維度

傳統座標／內稟維度： 原始薄片與折片的內稟維度為 $2$ ；外部嵌入空間為 $\mathbb R^3$ 。
局部有效關係維度： 由指定觀察映射的度量相容關係算子構造的譜參與比，取值可位於 $[1,2]$ ，不是新增「部分座標軸」。
觀測可辨識秩： 由不同觀察者組成的量測矩陣秩與奇異值，決定可否恢復未知三維座標、以及測量噪音如何放大。

我們的實驗不使用「維度數值」取代幾何的定義，而先固定合法載體模型與量測條件，最後才計算其關係指標。

2. P03 來源模型與未知量

來源為右等腰三角薄片

T=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le y\le x\le1\},

來源頂點與摺線端點為

A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad M=(1/2,1/2).

三條真正的來源筆畫為 $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$ 。內部摺線是 $BM$ ，不是額外一筆邊界墨跡。兩個剛性面分別是 $\triangle ABM$ 與 $\triangle BMC$ 。令 $\Phi:T\to\mathbb R^3$ 為分片剛性、連續的折疊嵌入，四個三維頂點寫為 $X_A,X_B,X_C,X_M$ 。

P04 反演時的限制與未知量：

未知量：四個三維點的座標、局部法向量、摺角、以及摺線端點沿來源邊 $AC$ 的位置參數 $t$ ；測試樣本的真值來自 P03，但反演器不直接讀取真值。
已知量：至少兩個觀察者的正交相機矩陣及其影像平移；每個觀察者與同一個世界座標系對齊，影像尺度已校準。
已知資料關係：每個視角裡能辨識對應的 $A,B,C,M$ 四個點；且已知來源是兩片在 $BM$ 共邊的剛性三角面， $M$ 在來源的 $AC$ 邊上。
無噪音定理先假設理想點測量；噪音模型在第 6 節另外加入。

這些是定理的前提，不是透過算法自動獲得的能力。真實相機中的遮擋、特徵誤配、未知焦距、未知姿態與材料厚度必須另行處理。

2.1 精確驗證樣本（只供產生模擬觀測）

P03 給出的三維樣本為

u=\frac{3-\sqrt5}{4},\qquad s=\sqrt u,\qquad a=\sqrt{1-u},\qquad b=\sqrt{\frac12-2u},

X_A=(0,0,a),\quad X_B=(s,0,0),\quad X_C=(s,s,a),\quad X_M=(0,s,b).

第一觀察者使用 $P_{xy}(X,Y,Z)=(X,Y)$ 時，四點呈現邊長 $s$ 的精確正方形。本文把這個構造當成保留真值的基準資料集，用它檢查反演器是否在不直接存取真值的情況下求回原三維構造。

3. 多觀察模型與主定理

定義 3.1（已校準正交觀察者）

第 $i$ 個觀察者的正交量測為

y_i=P_iX+b_i+\varepsilon_i,

其中 $X\in\mathbb R^3$ ， $P_i\in\mathbb R^{2\times3}$ 的兩列為單位正交向量， $b_i\in\mathbb R^2$ 已知， $\varepsilon_i$ 是測量誤差。令 $n_i\in\mathbb R^3$ 是相機的單位觀察軸，則

P_i^{\mathsf T}P_i=I_3-n_in_i^{\mathsf T}.

對兩名觀察者將平移校正後的四個測量值堆疊：

\mathcal P=\begin{pmatrix}P_1\\P_2\end{pmatrix}\in\mathbb R^{4\times3},\qquad z=\begin{pmatrix}y_1-b_1\\y_2-b_2\end{pmatrix}=\mathcal PX+\varepsilon.

定理 3.2（兩個非平行正交視角的唯一點反演）

對同一個三維點 $X$ ，若兩個已校準觀察者的觀察方向不平行，即 $n_1\ne\pm n_2$ ，則 $\mathcal P$ 有秩 $3$ ，無噪音時 $X$ 可唯一恢復：

X=(\mathcal P^{\mathsf T}\mathcal P)^{-1}\mathcal P^{\mathsf T}z.

證明。 正交投影的核為 $\ker P_i=\operatorname{span}(n_i)$ 。若 $n_1\ne\pm n_2$ ，則兩條直線核的交集是零向量：

\ker\mathcal P=\ker P_1\cap\ker P_2=\{0\}.

故 $\mathcal P$ 的列秩為 $3$ ， $\mathcal P^{\mathsf T}\mathcal P$ 可逆。上述左逆對任意三維點皆成立。證畢。

重要限定： 兩名觀察者已知的是矩陣、尺度、姿態和同點對應。若只有兩幅無標記圖片而不存在這些資訊，定理不能直接應用。本結果也是既有已校準仿射／正交三角測量線性代數的特例，不是宣稱首次發明雙視角三維重建。

推論 3.3（分片仿射折片的完整幾何反演）

若四個帶標記頂點 $A,B,C,M$ 在兩個視角中皆可對應，且已知兩片的來源三角形座標及組合關係，則定理 3.2 可恢復 $X_A,X_B,X_C,X_M$ 。由每個三角面三個非共線點，得其唯一分片仿射映射及三維雅可比 $J_-,J_+$ ；再計算法向量、共同邊 $X_BX_M$ 及兩片法向量夾角。這一結論只適用於已知是兩片平面剛體的有限維模型，不推出任意曲面上所有內部幾何細節都被四點決定。

證明。 對每個面，以來源邊向量為列組成可逆 $2\times2$ 矩陣 $S_f$ ，以恢復後的三維邊向量為列組成 $3\times2$ 矩陣 $W_f$ ，則

J_f=W_fS_f^{-1}.

兩個恢復的三維面法向量可取

n_-\propto(X_B-X_A)\times(X_M-X_A),

n_+\propto(X_C-X_B)\times(X_M-X_B).

因此兩面夾角由 $\arccos(\widehat n_-\cdot\widehat n_+)$ 決定，邊 $X_BX_M$ 決定摺軸。來源關聯圖已知且面非退化，所列量全部確定。證畢。

命題 3.4（來源摺線位置之反算）

將原來的來源摺線端點放寬為 $M=(t,t)$ ，其中 $0<t<1$ ；若薄片在兩片內嚴格等距，且 $M$ 在來源直邊 $AC$ 上，則兩個視角恢復三維點後可直接求得

t=\frac{\lVert X_M-X_A\rVert}{\lVert X_M-X_A\rVert+\lVert X_C-X_M\rVert}.

這裡不需要預先指定 $t=1/2$ 。理由是來源長度 $|AM|=\sqrt2t$ 、 $|MC|=\sqrt2(1-t)$ ，而兩段都位於各自剛性三角面內，其三維直段長度保持不變。只要正確辨識對應點，便能反推出 $t$ 。P03 真值給出 $t=1/2$ 。若材料會伸縮、摺線彎曲，或 $M$ 不在來源的 $AC$ 上，此公式不再保證成立。

4. 單觀察者的不可辨識性

命題 4.1（單一正交視角具有深度鏡射歧義）

對任一非平面折片 $\Phi$ ，若觀察者為 $P_{xy}$ ，則把整個三維折片沿影像平面鏡射的映射

H(X,Y,Z)=(X,Y,-Z)

會保持所有 $P_{xy}$ 影像資料不變：

P_{xy}H\Phi=P_{xy}\Phi.

但是在固定的世界座標系裡， $\Phi$ 和 $H\Phi$ 的深度與帶方向的法向資訊不同。當第二觀察者為 $P_{xz}$ 且有非零深度資訊時，這兩種候選可被區分。

證明。 因 $P_{xy}H=P_{xy}$ ，故兩者的第一視角影像相同；若存在 $Z\ne0$ 的可見對應點，則 $P_{xz}H(X,Y,Z)=(X,-Z)$ 與 $P_{xz}(X,Y,Z)=(X,Z)$ 不同。證畢。

這裡區分的是在已固定且帶向的世界座標與相機座標下的兩個嵌入。若另外允許整體鏡射作為等價關係，則兩者應視為同一等價類，不能再以此宣稱該等價類仍有二重歧義。若來源幾何、折疊模式等先驗限制足夠強，單一視角可能已只剩有限離散候選；本命題不宣稱所有單視角模型都有連續無窮多歧義。

4.2 關聯圖資訊不能憑空省略

從四個三維點恢復兩個三角面，仍需知道哪些點相接、哪條邊是摺線。P04 使用 P03 的來源關聯圖： $ABM$ 與 $BMC$ ，共享 $BM$ 。若這項先驗取消，僅知道四點位置不一定能識別材料的內部連接方式；也不能直接把「唯一頂點重建」誤寫成「未知拓撲的唯一重建」。

5. 觀察者幾何與穩定性定理

在有噪音時，反演是否穩定取決於 $\mathcal P$ 最小奇異值。令

c=|n_1\cdot n_2|,\qquad 0\le c<1.

定理 5.1（雙視角條件數與誤差上界）

上述兩個正交相機的聯合正規矩陣 $Q=\mathcal P^{\mathsf T}\mathcal P$ 的三個本徵值恰為

\operatorname{spec}(Q)=\{2,\ 1+c,\ 1-c\}.

因此

\sigma_{\min}(\mathcal P)=\sqrt{1-c},\qquad \kappa_2(\mathcal P)=\sqrt{\frac{2}{1-c}}.

任意測量擾動 $\varepsilon$ 下，最小平方反演的誤差滿足

\lVert\widehat X-X\rVert_2 \le\frac{\lVert\varepsilon\rVert_2}{\sqrt{1-c}}.

證明。 由 $P_i^{\mathsf T}P_i=I-n_in_i^{\mathsf T}$ ，

Q=2I-n_1n_1^{\mathsf T}-n_2n_2^{\mathsf T}.

在兩觀察軸張成的平面內，矩陣 $n_1n_1^{\mathsf T}+n_2n_2^{\mathsf T}$ 的非零本徵值為 $1+c$ 、 $1-c$ ；沿著垂直於兩軸的方向，本徵值為零。故 $Q$ 的本徵值為 $1-c$ 、 $1+c$ 、 $2$ 。其平方根為 $\mathcal P$ 的奇異值；用最小平方左逆 $\mathcal P^+$ 的算子範數 $1/\sigma_{\min}$ 即得誤差上界。證畢。

意義： 兩視角不平行保證理論可辨識，卻不保證數值好算。當兩觀察軸幾乎平行時， $c\to1$ ，最小奇異值趨零，噪音放大可任意嚴重。這是幾何觀測條件，而不是材料的維度降低。

定理 5.2（獨立同方差高斯量測的均方誤差）

若四個測量座標的噪音獨立且各服從 $N(0,\sigma^2)$ ，且無模型與校準偏差，則對每個三維點的最小平方估計有

\operatorname{Cov}(\widehat X-X)=\sigma^2Q^{-1},

\mathbb E\lVert\widehat X-X\rVert_2^2 =\sigma^2\left(\frac12+\frac{2}{1-c^2}\right).

證明。 $\widehat X-X=Q^{-1}\mathcal P^{\mathsf T}\varepsilon$ ，因此其協方差是 $\sigma^2Q^{-1}$ 。均方三維歐氏誤差為協方差的跡，利用定理 5.1 的三個本徵值直接求和：

\operatorname{tr}(Q^{-1}) =\frac12+\frac1{1+c}+\frac1{1-c} =\frac12+\frac2{1-c^2}.

證畢。這是統計模型推導值，不是現場設備的測量數據。

6. 可重現計算實驗

6.1 相機設定

先令第一相機觀看 $XY$ 平面。第二相機在 $YZ$ 平面內旋轉觀察方向，兩列投影向量定為

P_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad P_2(\theta)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta\end{pmatrix}.

當 $\theta=90^\circ$ 時，第二相機就是 $XZ$ 投影；這時三維點可以由兩幅影像中的 $X,Y,Z$ 直接恢復，並使用最小平方平均兩個重複的 $X$ 讀值。若 $\theta\to0$ ，兩視角趨近相同，深度恢復逐漸不穩定。

6.2 P03 精確樣本的反演結果

在 Python 的浮點計算中，對 $A,B,C,M$ 的反演最大三維頂點誤差約為 $1.67\times10^{-16}$ 。這是雙精度浮點捨入誤差，不代表任何真實相機已達此精度。SymPy 另以精確根式驗證四點可由左逆完全恢復。

反演亦恢復：

摺線端點比例 $t=1/2$ 。
兩個面的內稟等距條件 $J_f^{\mathsf T}J_f=I_2$ 。
同向面法向夾角的餘弦 $(1-\sqrt5)/2$ ，夾角約 $128.172708^\circ$ 。
三條來源邊界筆畫在第一視角中生成四條邊長 $s$ 的精確正方形。

第一觀察者：正方形

第二觀察者：深度區分

雙視角恢復的三維折片

6.3 觀測夾角與計算穩定性

令每個影像座標具有獨立高斯雜訊，標準差 $\sigma=0.002$ （相對於來源直角邊長 $1$ 的座標單位），每個觀測角度模擬 $2,500$ 次、每次四個對應頂點，共 $10,000$ 個頂點重建樣本。使用固定亂數種子 20261103，其結果如下：

觀察軸夾角	理論條件數	理論三維 RMS	模擬三維 RMS
$5^\circ$	約 $22.93$	$0.032483$	$0.032810$
$15^\circ$	約 $7.66$	$0.011019$	$0.010985$
$30^\circ$	約 $3.86$	$0.005831$	$0.005860$
$60^\circ$	$2.00$	$0.003559$	$0.003570$
$90^\circ$	$\sqrt2$	$0.003162$	$0.003172$

此表為有固定種子、可在本機重跑的合成數據實驗。它支持定理 5.1–5.2 的數值實作，不能代替相機校準與實際物理測量。參數化在這一組觀察軸夾角內， $90^\circ$ 提供最好的奇異值條件數；實際攝影尚需考慮遮擋、相機可放置性及材質等條件。

雙視角夾角與條件數

高斯雜訊的理論 RMS 與數值實驗

7. 不同觀察者的有效關係維度

P02–P03 的關係譜參與比對局部面雅可比 $J_f\in\mathbb R^{3\times2}$ 定義為

D_{\mathrm{PR}}(P_iJ_f)= \frac{[\operatorname{tr}(J_f^{\mathsf T}P_i^{\mathsf T}P_iJ_f)]^2} {\operatorname{tr}[(J_f^{\mathsf T}P_i^{\mathsf T}P_iJ_f)^2]}.

對內稟等距片而言， $J_f^{\mathsf T}J_f=I_2$ ，故在沒有投影壓縮的載體層，相同譜參與比計為 $2$ 。對一個正交觀察者，若片法向 $\widehat n_f$ 與相機觀察軸 $n_i$ 之內積平方是 $r=(n_i\cdot\widehat n_f)^2$ ，則觀察投影的兩個平方奇異值為 $1$ 與 $r$ ：

D_{\mathrm{PR}}=\frac{(1+r)^2}{1+r^2}.

將第 6 節恢復的 P03 三維座標代入，得到精確比較：

幾何層次／觀察者	面 $ABM$	面 $BMC$
載體內稟關係算子 $J_f^{\mathsf T}J_f$	$2$	$2$
第一觀察者 $P_{xy}$	$9/7$	$9/7$
第二觀察者 $P_{xz}$	$1+1/\sqrt5\approx1.447214$	$1+2/\sqrt5\approx1.894427$

第二觀察者看到的兩片關係維度不但不同於第一觀察者，兩片之間也不同。但這不代表材料的一側真的從 $2D$ 變成 $1.447D$ ，另一側真的變成 $1.894D$ 。二者均為固定觀察算子、固定觀測座標度量下的局部譜參與比。當資料已具備兩視角的可辨識條件時，可先反演 $J_f$ ，再恢復原始載體關係算子 $J_f^{\mathsf T}J_f=I_2$ 。

命題 7.1（由兩個校準視角恢復局部關係算子）

設 $J\in\mathbb R^{3\times2}$ 為一片載體在共同世界座標系的局部雅可比，而兩個相機都能對應同一來源座標的局部導數。若 $\mathcal P$ 滿列秩，則由堆疊的觀察雅可比 $K=\mathcal PJ$ 可唯一得到

J=(\mathcal P^{\mathsf T}\mathcal P)^{-1}\mathcal P^{\mathsf T}K.

故 $J^{\mathsf T}J$ 亦可唯一恢復。這比只在影像中比較兩個 $D_{\mathrm{PR}}$ 數字更強，因為它恢復方向與度量資訊。若來源座標及同點導數無法匹配，或未知相機度量，則不能直接套用。

與 P02 的關係： P02 已提供三個座標正交視角的度量加總恆等式。本命題說明在已知完整觀察雅可比並具有共同三維座標校準的較強條件下，兩個非平行視角就足以先恢復 $J$ 本身；並沒有否定 P02 的三視角恆等式。更沒有主張從任意兩張沒有點對應與姿態資訊的照片自動完成重建。

8. 模型邊界、錯誤來源與反證條件

8.1 本篇真正已證明的內容

在已知相機外參、影像尺度與點對應的模型中，兩個非平行正交視角足以唯一反演三維點。
對已知來源分片關聯圖且每片非退化的兩片剛性三角面，四點可決定三維折片的分片仿射幾何與摺線。
一個正交視角存在固定世界座標系下的鏡射歧義。
雙視角反演的秩、條件數與 Gaussian 均方噪音傳遞可以精確寫出。
同一載體的兩個觀察者可測得不同的有效譜維度；用充分已校準資料恢復的內稟度量則一致。

8.2 尚未證明的內容

1.5D、1.7D、1.8D 或其他非整數數值為三線成方的必要／充分幾何維度。
一般曲面或未知摺線網路，只憑四點及兩張影像就可唯一重建所有內部幾何或歷史。
有遮擋的真實照片中能無誤自動辨識同一 $A,B,C,M$ 。
未知相機、透視畸變及未知尺度都能由本論文同一個左逆公式處理。
真實有限厚度材料的折疊力學、製程誤差或感測系統已經獲得實驗驗收。

8.3 反證與失效範例

平行視角： 若 $n_1=\pm n_2$ ，則 $\operatorname{rank}(\mathcal P)=2$ ，反演不唯一。
近乎平行： 雖理論上唯一，但 $\sigma_{\min}$ 很小，已知有限雜訊可導致巨大的深度不確定性。
點對應錯誤： 將一幅影像的 $C$ 與另一幅影像的 $M$ 混淆，即使矩陣可逆，也不再是同一三維點的數據。
關聯圖未知： 四點坐標本身不攜帶完整材料連接關係，不保證知道哪一邊是鉸鏈。
非剛性片： 若材料可面內形變，四角可恢復不代表中間每個點的位置唯一；P02 的內部不可識別性仍適用。

9. 實作、驗證與檔案契約

研究包內包含：

src/reconstruct.py：三維頂點反演、摺線及法向計算、條件數分析、固定種子的高斯測量實驗。
src/symbolic_verification.py：獨立使用 SymPy 以精確根式驗證構造、雙視角左逆、觀察維度、剛性面與不可辨識例子。
src/render_figures.py：重建五張圖的 PNG 與 SVG，所有圖片均是視覺輔助，數學結論仍以證明與測試程式為準。
src/validate_release.py：檢查 UTF-8、唯一的 canonical LaTeX delimiters、依賴檔案、測試報告與 SHA-256 清單。
results/*.json：儲存精確／數值檢查、重建座標、相機條件數、合成雜訊測試及驗證紀錄。

在研究包根目錄執行：

python src/reconstruct.py
python src/symbolic_verification.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py

依賴是 Python 3、NumPy、SymPy、Matplotlib（詳見 requirements.txt）。發行前測試要求 reconstruct.py 的所有數值測試及 symbolic_verification.py 的所有符號測試通過，並有完整檔案雜湊清單。檔案格式檢查不代表數學同行審查或實驗驗證。

10. 結論

本篇把原來的「三條線經容器折疊成方」推進到一個更嚴格的反向問題：幾何載體若能讓不同觀察者看到不同的形狀與有效維度，我們究竟需要哪些觀測，才能恢復原始關係？

在已校準的兩視角、已知對應點、兩片剛體及已知關聯圖的類別中，答案是可反演，而且有精確的唯一性與穩定性判準。P03 的同一折片同時給出 $9/7$ 、 $1+1/\sqrt5$ 、 $1+2/\sqrt5$ 三個觀察有效維度數值，但恢復到內稟關係算子後始終是 $2$ 。一個可觀測小數不是空間軸的數量；觀察關係的變化也不等於載體本體的維度變化。

因此 P04 的成果是建立「觀察秩—關係譜—幾何反演」之間的可計算聯繫。它仍未給出一般 1.XD 的定義及三線成方的臨界維度，而是提供了研究這個猜想所必須遵守的觀測可辨識基準。下一篇可進一步研究不預先給定相機與摺線關聯圖的聯合反演，並把一般化的關係維度與可以獨立量測的物理參數連結，而非為某個小數維度事後調整定義。

本篇結語：可觀測的幾何未必等於載體的幾何；但只要觀察之間的關係足夠明確，二者的差異便不再只能依賴想像，而能成為可以證明、反演與誤差量化的數學事實。

參考文獻與原創性範圍

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[RGC-P02] Relational Geometry and Carrier Unfolding II: Coordinate-Invariant Effective Dimension, Spectral Non-Identifiability, and the Limits of Interior Observation，2026-11-03。
[RGC-P03] Relational Geometry and Carrier Unfolding III: A Single-Crease Isometric Fold Whose Orthographic Image is an Exact Square，2026-11-03。本篇完整沿用其精確樣本，未重新假定新的來源材料。
[T-K] Carlo Tomasi and Takeo Kanade, “Shape and Motion from Image Streams under Orthography: A Factorization Method”, International Journal of Computer Vision, 9(2), 137–154, 1992。卡內基美隆大學書目。研究說明了正交影像重建與點追蹤的既有背景；其相機未知、影像矩陣分解任務與本文相機已知的特例不應混為一談。
[H-Z] Richard Hartley and Andrew Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2nd ed., Cambridge University Press, 2004, Chapter 14: Affine Epipolar Geometry。出版社章節資訊。兩視角已校準的線性反演屬既有多視圖幾何知識。
[H-G] Zeyuan He and Simon D. Guest, On Rigid Origami I: Piecewise-planar Paper with Straight-line Creases, 2018。arXiv:1803.01430。提供理想剛性折片模型的背景。

原創性聲明： 本篇不主張發明已校準的正交三角測量、秩—條件數理論或剛性摺紙。本文的研究性組合在於：對 P03 的特定三線成方載體建立精確雙視角反演，以三層「載體—關係—觀察」協議比較不同觀察者的譜參與比，並提供相互獨立的符號與合成雜訊驗證。未完成全面先例檢索，不宣稱此構造組合在文獻中從未出現。