關係幾何與載體展開 II：有效關係維度的座標不變性、譜不可識別與內部觀測界限

英文題名： Relational Geometry and Carrier Unfolding II: Coordinate-Invariant Effective Dimension, Spectral Non-Identifiability, and the Limits of Interior Observation
系列： RGC（Relational Geometry and Carrier Unfolding）
版本： P02 / v1.0.0
日期： 2026-11-03
成果層級： 嚴格數學模型、反例及可重現的精確算術驗證；未提出物理實驗或新的非整數歐氏座標維度
正式原稿： UTF-8 Markdown；所有數學原始碼僅使用 $...$ 及 $$...$$。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

第一篇以二維三角形的三條真實直線段為輸入，構造分片仿射同胚，使其像恰為正方形的四條邊；然而，該幾何存在性結果無法唯一確定所謂的「1.XD」有效關係維度。本文把問題提升為可識別性：在幾何載體、來源度量、關係算子與觀察規則被分別指定後，哪些關係量可由觀測唯一推出？本文定義由來源及目標度量導出的廣義變形算子，證明其譜參與比在一致的座標變換與經校準的觀察者變換下不變。更關鍵的是，本文以第一篇的精確構造證明：一個輸出正方形的分片映射與另一個輸出三角形的全域仿射映射，可以在幾乎處處具有完全相同的局部本徵值譜，不只具有相同的有效維度 $9/7$ 。因此，單靠譜數值無法恢復折痕、主方向與幾何邊界。本文另構造固定三條來源邊界而改變內部變形的參數族，及對任意有限觀測點連一階導數都保持不變的多項式擾動，確立非參數模型的不可識別界限。作為正面結果，若預先限制在單參數模型，一個內部探針即可精確識別參數；若是三維載體的局部二維參數化，三組已校準的座標平面正交投影，可重建其局部誘導度量。最後，本文把 $1.5$ 、 $1.7$ 、 $1.8$ 明確解釋為特定譜定義下的有效參與度，而非半條傳統座標軸。

關鍵詞： 關係幾何、載體映射、有效維度、參與比、變形梯度、座標協變性、逆問題、譜不可識別、有限探針、觀察者。

1. 研究對象：從構造問題轉入辨識問題

設來源載體為二維閉三角形

T=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le y\le x\le1\},

三個頂點為 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $C=(1,1)$ 。允許的輸入筆畫恰為三條歐氏直線段

L_1=\overline{AB},\qquad L_2=\overline{BC},\qquad L_3=\overline{CA}.

令 $M=(1/2,1/2)$ 是第三段內部的標記點；它並非第四筆。P01 已定義映射

F(x,y)= \begin{cases} (x-y,\,2y),&x+y\le1,\\ (2x-1,\,1-x+y),&x+y\ge1. \end{cases}

在分界線 $x+y=1$ 上兩式相容，且 $F$ 將整個 $T$ 可逆地映為單位正方形 $Q=[0,1]^2$ ，其三條來源邊界線段的像恰為 $\partial Q$ 。來源與觀測的座標維度都仍為二。

本篇不重複討論「三條線在固定歐氏平面上能否直接覆蓋四條邊」的文字謎題，而研究更嚴格的辨識：給定某些觀測資料，能否唯一恢復載體內部的關係算子、折痕位置及有效關係維度？

1.1 三種不能混同的「維度」

$d_{\mathrm{coord}}$ ：獨立座標軸的數量；在常規有限維歐氏空間中是整數。
$d_{\mathrm H}$ 或 $d_{\mathrm{top}}$ ：固定度量及空間後的 Hausdorff 維度或拓撲維度。
$D_{\mathrm{PR}}$ ：本文定義的局部變形關係譜的有效參與比；它可以連續取 $1$ 與 $2$ 之間的值，但不是額外出現了小數條座標軸。

使用者提出的「1.XD 關係幾何維度化」是本文需要形式化並檢驗的研究假說，不能因為某個變形參數或譜指標數值接近 $1.8$ ，就把它宣告成一個新型內稟維度。

2. 幾何載體上的關係算子

定義 2.1：度量相容的局部關係算子

設來源位置 $p$ 具有正定度量矩陣 $g_p$ ，目標位置 $F(p)$ 具有正定度量矩陣 $h_{F(p)}$ ，而 $F$ 在 $p$ 可微。令 $J_p=DF_p$ 為變形梯度，定義

C_p=J_p^{\mathsf T}h_{F(p)}J_p,\qquad \mathcal A_p=g_p^{-1}C_p.

$C_p$ 是目標度量的拉回；在來源與目標都採標準歐氏度量時，它就是連續介質力學熟悉的右 Cauchy–Green 型張量 $J_p^{\mathsf T}J_p$ [R2]。 $\mathcal A_p$ 是相對於來源度量的廣義算子。由於它相似於對稱半正定矩陣 $g_p^{-1/2}C_pg_p^{-1/2}$ ，本徵值為實數且非負。下文只在 $\operatorname{tr}(\mathcal A_p)>0$ 時使用有效維度。

定義 2.2：有效關係維度

D_{\mathrm{PR}}(p)= \frac{[\operatorname{tr}(\mathcal A_p)]^2} {\operatorname{tr}(\mathcal A_p^2)}.

對二維正定算子，若本徵值為 $\lambda_1\ge\lambda_2>0$ ，則

D_{\mathrm{PR}}= \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^2}{\lambda_1^2+\lambda_2^2}, \qquad 1<D_{\mathrm{PR}}\le2.

此指標來自已知的譜參與比方法；本文的研究新問題在於對載體形變算子施加該指標，並檢驗其是否能辨識幾何構造，而非主張發明參與比 [R1]。

命題 2.3：一個精確的譜比例解釋

令 $r=\lambda_2/\lambda_1\in(0,1]$ ，則

D_{\mathrm{PR}}(r)=\frac{(1+r)^2}{1+r^2}.

它在 $0<r\le1$ 嚴格遞增，反解為

r(D)=\frac{D-1}{1+\sqrt{1-(D-1)^2}},\qquad 1<D\le2.

故 $D_{\mathrm{PR}}=1.8=9/5$ 當且僅當 $r=1/2$ 。這表示較小的平方伸長本徵值是較大者的一半；對應的伸長比是 $1/\sqrt 2$ ，並非「第二條軸只存在一半」。同理， $D_{\mathrm{PR}}=1.5$ 對應 $r=2-\sqrt3$ 。

這些是給定本定義後的數學等價式，尚未說明什麼容器會恰好完成三線成方。

3. 一致的座標改變與觀察者校準

命題 3.1：來源座標協變性

令來源座標局部作可逆改變 $x=S u$ ，其中 $S$ 是該點的非奇異雅可比。若同時將來源度量正確變換為

g_u=S^{\mathsf T}g_xS,\qquad J_u=J_xS,

則其局部關係算子滿足

\mathcal A_u=S^{-1}\mathcal A_xS.

證明。 由定義， $C_u=S^{\mathsf T}C_xS$ ，因此

(g_u)^{-1}C_u= (S^{\mathsf T}g_xS)^{-1}S^{\mathsf T}C_xS =S^{-1}(g_x^{-1}C_x)S.

相似矩陣具有同一譜，故 $D_{\mathrm{PR}}$ 不變。證畢。

算例。 取 P01 第一分片的 $J_- = \begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$ ，則 $D_{\mathrm{PR}}=9/7$ 。如果改用 $S=\operatorname{diag}(2,1)$ ，卻錯把新座標的度量仍當成單位矩陣，會算出假值 $81/49$ 。保留正確的 $g_u=\operatorname{diag}(4,1)$ 才會恢復 $9/7$ 。因此，座標伸縮不等於載體真的改變了關係維度。

命題 3.2：經校準的觀察者座標變化

令目標觀察座標改為 $v=By$ ，其中 $B$ 可逆，則新觀察者應使用

J_v=BJ_y,\qquad h_v=B^{-\mathsf T}h_yB^{-1}.

因而 $J_v^{\mathsf T}h_vJ_v=J_y^{\mathsf T}h_yJ_y$ ，關係譜與有效維度不變。若觀察者在非等距的畫面座標中忘記校正度量，所得有效維度一般會被誤報。

以 $B=\operatorname{diag}(3,1)$ 為例，不校準時由 P01 的 $J_-$ 算得 $121/103$ ；校準後回復 $9/7$ 。觀測外觀變形與被測量幾何的改變，必須分開。

4. 核心反例：完整局部譜相同，邊界幾何卻不同

定理 4.1：譜無法唯一辨識三線成方

存在兩個定義在同一來源三角形 $T$ 上、皆連續且可逆的映射 $F$ 與 $L$ ，使它們在幾乎每個來源點具有相同的 $J^{\mathsf T}J$ 本徵值譜，但

F(\partial T)=\partial [0,1]^2,

而 $L(\partial T)$ 只是一個三角形邊界。

構造及證明。 令 $F$ 是第一篇的分片映射，並令另一個映射為全域仿射式

L(x,y)=(x-y,\,2y).

$L$ 將來源三頂點分別映為 $(0,0),(1,0),(0,2)$ ，所以其像為三角形。另一方面， $F$ 的來源三邊像為完整正方形。

兩者的局部雅可比為

J_-= \begin{pmatrix} 1&-1\\0&2 \end{pmatrix},\qquad J_+= \begin{pmatrix} 2&0\\-1&1 \end{pmatrix}.

$L$ 在全域使用 $J_-$ ，而 $F$ 在兩分片各使用 $J_-$ 與 $J_+$ 。在標準歐氏度量下，

\mathcal A_-= \begin{pmatrix} 1&-1\\-1&5 \end{pmatrix},\qquad \mathcal A_+= \begin{pmatrix} 5&-1\\-1&1 \end{pmatrix}.

雖然 $\mathcal A_-\ne\mathcal A_+$ ，但兩者都有

\operatorname{tr}(\mathcal A_\pm)=6, \qquad \det(\mathcal A_\pm)=4,

故特徵多項式相同，兩個本徵值皆為

\lambda_1=3+\sqrt5,\qquad\lambda_2=3-\sqrt5.

於是兩映射的局部有效維度在幾乎處處完全相等：

D_{\mathrm{PR}}(F,p) =D_{\mathrm{PR}}(L,p) =\frac97.

然而一個輸出正方形，另一個只輸出三角形，命題得證。

推論 4.2：比純量維度更強的不可識別性

本反例沒有只讓兩個模型碰巧得到同一個純量 $9/7$ ；它們在幾乎處處共享整組局部本徵值。因此，即使得到整個空間上的局部本徵值分布，仍不足以唯一決定能否三線成方。

造成區別的資訊至少包括兩個部分：

方向關係： $\mathcal A_-$ 與 $\mathcal A_+$ 的本徵向量方向不同；譜只給出伸長大小，沒有保留全部的空間對齊資訊。
分片接合與折痕： $F$ 在 $x+y=1$ 有導數跳躍； $L$ 沒有對應折痕。增加觀察角點需要特定的連續性與非光滑結構。

因此，僅以 $D_{\mathrm{PR}}$ 當作「關係幾何」的完整狀態變數，會丟失本題最關鍵的幾何資訊。有效維度可以是關係算子的摘要，但不能取代關係算子及其跨區域連接。

圖一：相同局部本徵值譜可以形成不同幾何邊界

5. 第二個反例：完全相同的正方形邊界，不代表相同的內部關係維度

定義 5.1：固定三邊的內部形變

對 $|\varepsilon|<4$ ，定義

H_\varepsilon(x,y)= \bigl(x,\ y+\varepsilon y(x-y)(1-x)\bigr).

附加項在 $y=0$ 、 $y=x$ 、 $x=1$ 上都為零，因此 $H_\varepsilon$ 固定整個三角形邊界，而非只固定三個頂點。令

F_\varepsilon=F\circ H_\varepsilon.

命題 5.2：邊界完全一致而內部譜可變

$H_\varepsilon$ 對 $|\varepsilon|<4$ 是 $T$ 上保持方向的可逆光滑映射，且所有 $F_\varepsilon$ 都將同一批三條來源筆畫映為同一正方形邊界；但其內部局部關係算子一般不同。

證明。 對每個固定 $x$ ，上下邊界 $y=0$ 與 $y=x$ 都被固定。又

\frac{\partial (H_\varepsilon)_2}{\partial y} =1+\varepsilon(x-2y)(1-x).

在 $0\le y\le x\le1$ 上， $|(x-2y)(1-x)|\le x(1-x)\le1/4$ ；所以 $|\varepsilon|<4$ 確保上述導數嚴格為正。每個垂直區間因此被單調、一一且滿射地映回自身，整個 $T$ 亦然。由於 $H_\varepsilon$ 固定來源三邊， $F_\varepsilon$ 的邊界像與 $F$ 完全相同。至於內部導數一般隨 $\varepsilon$ 改變，接下來給出精確見證。證畢。

取固定內部探針 $p=(1/2,1/4)$ 。它在 $|\varepsilon|<4$ 下都停留在 $F$ 的第一分片，其影像為

F_\varepsilon(p)= \left(\frac14-\frac{\varepsilon}{32},\ \frac12+\frac{\varepsilon}{16}\right).

此點的雅可比矩陣、跡及行列式為

J_\varepsilon(p)= \begin{pmatrix} 1-\varepsilon/16&-1\\ \varepsilon/8&2 \end{pmatrix},

\det J_\varepsilon(p)=2, \qquad s(\varepsilon)=\operatorname{tr}\bigl(J_\varepsilon^{\mathsf T}J_\varepsilon\bigr) =6-\frac{\varepsilon}{8}+\frac{5\varepsilon^2}{256}.

由二維矩陣恆等式可得

D_{\mathrm{PR}}(\varepsilon,p) =\frac{s(\varepsilon)^2}{s(\varepsilon)^2-8}.

例如

D_{\mathrm{PR}}(0,p)=\frac97, \qquad D_{\mathrm{PR}}(2,p)=\frac{139129}{106361} \approx1.3080828499.

兩者外部正方形毫無差異，卻有不同的內部有效關係維度。這給出嚴格的邊界非識別反例，與逆邊界問題中常見的邊界固定變換造成的不唯一性具有方法論上的類比，但並非宣稱本文正在求解 Calderón 逆導電問題 [R3]。

圖二：相同正方形邊界內的兩組變形網格

6. 可識別性的正式判準與有限觀測界限

定義 6.1：相對於一個觀測協議的可識別性

設 $\Theta$ 為事先限定的合法幾何模型集合， $\mathscr B:\Theta\to\mathscr Y$ 為實際能取得的觀測資料， $\mathscr D:\Theta\to\mathbb R$ 為待求有效關係維度。稱 $\mathscr D$ 在此觀測協議下可識別，若且唯若

\mathscr B(\theta_1)=\mathscr B(\theta_2) \quad\Longrightarrow\quad \mathscr D(\theta_1)=\mathscr D(\theta_2).

其等價敘述是：存在定義在 $\mathscr B(\Theta)$ 上的函數 $\widetilde{\mathscr D}$ ，使

\mathscr D=\widetilde{\mathscr D}\circ\mathscr B.

這不是一條聲稱所有幾何都應符合的新定律，而是確定「資料是否足以識別某個量」的基本邏輯判準。第 5 節已證明：若 $\mathscr B$ 只含三線的完整邊界像，則內部指定點的 $D_{\mathrm{PR}}$ 在該模型集合上不可識別。

命題 6.2：已知單參數模型時，一個內部探針足夠

若先驗已知模型必屬第 5 節的 $F_\varepsilon$ 族，且觀測到 $p$ 的影像第二座標 $Y_2$ ，則

\varepsilon=16\left(Y_2-\frac12\right).

因此在這個受限的一維參數族中，單一內部探針精確識別 $\varepsilon$ ，進而可識別該點的關係譜。這不表示單一探針可識別任意連續載體。

定理 6.3：任意有限的一階探針，不能識別無限制的內部形變場

給定 $T$ 內任意有限個探針點 $p_j=(x_j,y_j)$ ，存在非平凡的光滑邊界固定同胚 $H$ ，使其在全部探針點同時滿足

H(p_j)=p_j,\qquad DH(p_j)=I,

卻在其他內部點不等於恆等映射。

證明及顯式構造。 令

\psi(x,y)=y(x-y)(1-x) \prod_{j=1}^{m} \left[(x-x_j)^2+(y-y_j)^2\right],

並取

H_\delta(x,y)=(x,\ y+\delta\psi(x,y)).

$\psi$ 在三條邊界上為零。對每個探針 $p_j$ ，因其自身對應的平方距離因子及該因子的一階導數都在 $p_j$ 為零，故 $\psi(p_j)=0$ 且 $D\psi(p_j)=0$ 。由 $T$ 緊緻， $\partial_y\psi$ 有有限上界；選取非零而足夠小的 $|\delta|$ ，可使 $1+\delta\partial_y\psi>0$ 在整個 $T$ 成立。於是與命題 5.2 同理， $H_\delta$ 是固定三邊的可逆映射。因 $\psi$ 在排除有限個探針的內部點一般非零， $H_\delta$ 非恆等。證畢。

若探針避開 $F$ 的非光滑折痕，則 $F\circ H_\delta$ 與 $F$ 在所有探針的位置及一階雅可比完全相同，三條線的邊界結果也相同，卻仍不能保證內部幾何場處處一致。當然，加入足夠強的有限維參數模型、微分方程、材料定律或能量條件，可能改變這個可識別性結論；定理僅針對容許一般光滑內部擾動的模型類別。

7. 多觀察者：哪些資料真的可以恢復局部關係？

使用多個觀察者不等於自動擁有更多幾何維度。必須說明觀測映射的秩、校準與是否對應同一載體點。

命題 7.1：三個已校準的正交平面視角可恢復局部誘導度量

考慮一個局部二參數載體嵌入三維歐氏空間，其雅可比為 $J\in\mathbb R^{3\times2}$ 。令 $P_{xy}$ 、 $P_{xz}$ 、 $P_{yz}$ 分別為投影到三個座標平面的正交投影，並把各視角的測量矩陣定為

E_{ab}=J^{\mathsf T}P_{ab}^{\mathsf T}P_{ab}J.

則有精確恆等式

J^{\mathsf T}J =\frac12(E_{xy}+E_{xz}+E_{yz}).

證明。 三個投影矩陣滿足

P_{xy}^{\mathsf T}P_{xy} +P_{xz}^{\mathsf T}P_{xz} +P_{yz}^{\mathsf T}P_{yz}=2I_3.

左右各乘 $J^{\mathsf T}$ 與 $J$ 即得結論。證畢。

此命題表明：當觀察者取得的是已校準、同點對齊、可計算局部導數的觀測資料，三個視角能恢復局部的 $J^{\mathsf T}J$ ，因而在來源度量已知時恢復 $D_{\mathrm{PR}}$ 。但它仍不能單憑局部度量唯一重建整個形變場、折疊歷史、三維法向、拓撲或物理因果關係；也不適用於未校準的任意透視相機而不加修正。

8. 另一個陷阱：有效維度不能任意先平均後計算

對兩個正定關係算子

A_1=\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix},

兩者的局部有效維度皆為

D_{\mathrm{PR}}(A_1)=D_{\mathrm{PR}}(A_2)=\frac{25}{17}.

但是平均算子 $\overline A=(A_1+A_2)/2=(5/2)I$ 滿足

D_{\mathrm{PR}}(\overline A)=2.

所以「先對局部維度做平均」與「先平均關係算子再算維度」不是同一種量。若想描述整個容器的有效維度，就必須事先約定是否採體積加權、局部平均、全域算子、觀察尺度或其他定義。否則從一個展示圖上標出「全域 1.8D」並沒有唯一的數學意義。

圖三：本徵值參與比與有效維度的精確關係

9. 關係幾何的最小記錄結構與邏輯分工

本系列可以把一個可驗證的幾何狀態記為

\mathfrak R= (T,g,F,h,\mathcal K,\{\mathcal O_a\},\mathcal B),

其中 $\mathcal K$ 為分片折痕或奇異集合， $\mathcal O_a$ 是有明確校準規則的第 $a$ 位觀察者， $\mathcal B$ 是被觀察到的邊界與內部探針資料。局部關係算子 $\mathcal A_p$ 由這些幾何對象在可微點導出，而有效維度是

\mathfrak R\longrightarrow\mathcal A_p \longrightarrow D_{\mathrm{PR}}(p).

此箭頭只是一個資訊壓縮流程，不可反向當成唯一的幾何重建規則。

這裡需要三種互不代替的判準：

構造可行性：恰有三條來源直線段，是否透過合法映射得到四條精確等長、正交、閉合且不自交的觀測邊？P01 已給出二維分片仿射正例。
關係可識別性：在指定觀測資料與容許模型集合後，能否唯一恢復 $\mathcal A_p$ 、其譜或其有效維度？本篇給出了正面受限案例與嚴格反例。
物理可實現性：若要把它描述為可彎折的材料、物理觀察者或時空中的自然幾何，尚須額外給定保長、應力、能量、動力學、測地線或測量雜訊模型。本篇沒有以抽象映射的存在性取代這些條件。

也因而，關係幾何的正式研究應將載體的度量及變形規律、局部關係算子與方向場、分片接合結構、觀測者的測量算子保留為不同物件，而不是都混入一個小數維度。

10. 可重現驗證與成果界限

隨附 src/verify_identifiability.py 僅用 Python 3 標準函式庫及 fractions.Fraction，對以下十項檢查執行精確有理數驗證：局部譜相等與張量不同；同譜三角形／正方形反例；來源座標協變；觀察者校準；相同邊界與不同內部譜；受限參數可識別；有限一階探針的多項式反例；局部 PR 與算子平均不交換； $D=1.8$ 對應本徵值比 $1/2$ ；三個正交視角恢復 Gram 矩陣。

執行命令：

python src/verify_identifiability.py
python src/render_figures.py

第一項沒有第三方依賴；第二項需要 NumPy 與 Matplotlib，僅負責生成圖像，不參與定理證明。results/verification.json 使用精確分數字串保存定理的演算見證，results/validation_report.json 保存原稿編碼、分隔符與發佈前驗證狀態。

主張	本篇狀態
二維度量相容的 $D_{\mathrm{PR}}$ 可作座標不變量	定義明確，已證明
$D_{\mathrm{PR}}=1.8$ 當且僅當局部譜比為 $1/2$	在本指標下已證明
相同局部完整本徵值譜足以辨識正方形	否；精確反例
相同三條來源邊界像足以辨識內部關係維度	否；精確反例
有限個位置與一階雅可比探針足以辨識任意內部形變	否；顯式構造反例
在指定單參數族中，一個內部位置探針足以恢復參數	已證明，限該參數族
三個已校準正交視角可恢復三維嵌入的局部 Gram 矩陣	已證明，具條件
在傳統歐氏幾何中存在非整數個獨立座標軸	未主張，也未證明
三線成方具有普遍的 $1.7D$ 或 $1.8D$ 臨界值	沒有證據可支持

以上數學論證不能替代連續介質力學的真實材料試驗、觀察裝置校準或高維時空的實驗驗證。

11. 結論

本篇最核心的發現不是某一個新維度數值，而是同一組有效關係譜，可能對應不同的幾何展開結果。在 P01 的精確二維構造中，三條來源直線段可以變成正方形，但另一個具有完全相同局部譜的映射仍只生成三角形；反過來，許多具有不同內部關係譜的映射又可以生成完全相同的正方形邊界。這兩個方向的反例，排除了「只看形狀便能反推關係維度」與「只看維度便能預言形狀」兩種過度簡化。

因此，若要嚴格研究「1.XD 的關係幾何展開」，不能只找一個可連續變化的維度數值，而必須把度量、譜、主方向、折痕、邊界連接與觀察協議作為受約束的整體。同時，這個整體應容許精確反例，否則所謂的維度反算將只是自由參數的重新命名。

幾何形狀不是關係譜的同義詞；關係維度是資訊的投影，而不是幾何存在的全部。

參考文獻與方法來源

[R0] Relational Geometry and Carrier Unfolding I: An Exact Three-Segment-to-Square Construction, Smoothness Obstructions, and Effective Relational Dimension，RGC P01 / v0.2.0（2026-11-03）。本文承接其明確二維分片仿射模型。
[R1] Stimuli Reduce the Dimensionality of Cortical Activity（2016），PMC4756130。本文借用其中已知的譜參與比觀念；神經資料與幾何載體是不同的應用對象。
[R2] Sandia National Laboratories，Sierra/SM Theory Manual — Deformation Measures，原始技術文件。右 Cauchy–Green 張量及變形梯度的連續介質力學背景。
[R3] John Sylvester, An anisotropic inverse boundary value problem, Communications on Pure and Applied Mathematics 43(2), 201–232 (1990)，DOI:10.1002/cpa.3160430203。邊界固定微分同胚造成不可識別性的既有逆問題背景；本文給出的多項式反例為本幾何模型內的獨立構造。

引文邊界： 參考文獻支援既有數學工具與類比；本文的三線成方反例、有限探針構造及數值驗證內容均以文內定義、證明及附帶原始碼為準。文中的局部「關係維度」是一項有條件的譜指標，不宣稱取得物理維度測量值。