title: 進位制塔樓有限界域研究 II：雙軸窮盡、首次出現閾值與中間態觀察界限
english_title: Radix Tower Finite-Boundary Study II: Two-Axis Exhaustion, Exact Birth Thresholds, and Intermediate-State Window Semantics
series: EveMissLab / Radix Tower / Finite Boundary Exhaustion
research_id: RT-FBE-02
version: v0.1
date: 2026-11-05
author: Neo.K（有限界域窮盡研究方向與理論脈絡）／GPT-6（有限模型、條件性證明、程式與原稿）
status: EXACT FINITE ENUMERATION; ELEMENTARY CONDITIONAL PROOFS; NO UNIVERSAL INFORMATION-CONSERVATION CLAIM
predecessor: RT-FBE-01 v0.1; Radix Tower Paper XII v0.1
source: User-supplied Radix_Tower.zip; original artifact SHA-256 72f844cde3df43913eb01b577dfd7ba5fcb4fc92cc6412ba22a890fc1e212059
canonical_source: UTF-8 / LF / no BOM; mathematics only with $...$ and $$...$$
peer_review: NOT PEER REVIEWED
formal_proof_assistant: NOT LEAN VERIFIED

進位制塔樓有限界域研究 II

雙軸窮盡、首次出現閾值與中間態觀察界限

RT-FBE-02 · v0.1 · 2026-11-05

核心發現。 在相同的三階段八重交會語法下，固定運算元界限 $K$ ，只放大最終輸出界限 $N$ ，會在 $N=2K$ 精確飽和；但只固定最終輸出 $N$ ，再無限放大 $K$ ，則永遠不會飽和，即使 $N=1$ 。 若改成三個精確狀態全部受 $N$ 限制，便可證明 $K\ge N$ 後完全穩定。這三種主張的差別，直接決定一張有限計算驗證收據究竟能保證什麼。

證據類型：[DEF] 可操作定義、[PROP] 在明示語法中的初等命題、[PROOF] 推導、[AUDIT] 實際完整有限窮盡、[COUNTER] 反例、[OPEN] 尚未處理的全域延伸。

作者： Neo.K（有限界域窮盡研究方向與理論脈絡）／GPT-6（有限模型、條件性證明、程式與原稿）
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
日期： 2026-11-05
版本： v0.1
原稿狀態： EXACT FINITE ENUMERATION; ELEMENTARY CONDITIONAL PROOFS; NO UNIVERSAL INFORMATION-CONSERVATION CLAIM

摘要

RT-FBE-01 已重新核對《進位制塔樓與全域運算關係幾何》第十二篇的精確三階段八重交會：在 $K=40$ 下共有 $2488$ 個不同的 $(m,u,z)$ 位置，且在 $N=80$ 完整飽和。但「完整」仍是一個需要指定所有作用域軸的語詞：固定最後結果 $z\le N$ 不代表兩個中間值 $m,u$ 也受限於 $N$ ，更不代表當運算元上限 $K$ 繼續增長時，完整集合依然不變。

本文將相同的運算語法延伸成兩參數集合 $E_{K,N}^{\mathrm{out}}$ （只限制最終輸出）與 $E_{K,N}^{\mathrm{all}}$ （三個精確狀態全限制），給出每個八重三元組首次可出現的最小運算元上界 $\kappa(m,u,z)$ 的明確整數公式，並將所有三元組編成可重播的「雙軸出現帳本」。在該公式下，雙參數集合可用有限二維前綴和精確重建，不需逐一重新生成每個 $K,N$ 的所有四輸入歷史。

在 $2\le K\le160$ 的 159 個連續輸入界域中，以運算元／標籤直接枚舉與閾值公式的兩套不同整數程序逐級比對，全部相符； $K=2$ 至 $8$ 另以四個原始輸入加全部 $32$ 種模板直接窮舉。 $K=40$ 再與使用者提供的第十二篇原始 CSV 全集合比對，並重新核對其 20 筆雜湊清單。 $K=160$ 取得 $40212$ 個精確八重三元組， $N=1$ 時已有 $873$ 個；當 $N=40$ 時，結果界域版本有 $12008$ 個，但三個狀態全限制版本固定為 $2074$ 個。此差異具有精確反例與一般性的條件證明，非統計誤差。

本文只建立特定三步、八重交會語法下的數學結論；不主張已窮盡所有計算語法、全體整數／實數、物理量子計算，或已證明通用全域資訊不變量。

關鍵詞： 有限界域、窮盡驗證、雙參數濾過、運算成本閾值、精確歷程、首次出現、視窗語義、非飽和、輸出裁切、中間態保真、FELRA、TCGCT、TCGQT。

1. 研究對象：兩種「限制 N」不是一回事

[DEF 1.1] 對每個整數 $K\ge2$ ，固定原始運算元域：

A_K=\{2,3,\ldots,K\}.

三步歷程由四個有序原始運算元構成：

m=a\,o_0\,b,\qquad u=m\,o_1\,c,\qquad z=u\,o_2\,d.

第一個操作標籤 $o_0$ 取加法 $A$ 或乘法 $M$ ；後兩個標籤 $o_1,o_2$ 取加法 $A$ 、正值減法 $S$ 、乘法 $M$ 、精確整除 $D$ 。所有輸入均屬 $A_K$ ，所有中間結果均為正整數；除法結果必須為正整數且沒有餘數。不同的運算標籤可有不同見證，不能把兩個標籤偷當成同一次操作。

沿用原第十二篇：若固定 $(m,u,z)$ ，第一階段同時有 $A,M$ 來源，第二與第三階段各有兩種不同且都合法的操作標籤，即構成八重交會。它恰有八種不同操作模板；同一模板可能還有多個有序第一步來源，因此八不等於原始歷程總數。

[DEF 1.2] 設 $E_K$ 為固定 $K$ 、不額外設最終上界時的所有八重精確三元組。定義兩種界限語義：

E_{K,N}^{\mathrm{out}}=\{(m,u,z)\in E_K:1\le z\le N\},

E_{K,N}^{\mathrm{all}}=\{(m,u,z)\in E_K:1\le m,u,z\le N\}.

兩者皆不限制四個原始運算元的值小於 $N$ ；它們一直由 $K$ 限制。第二種只額外限制三個精確狀態的範圍。特別地， $E_{K,N}^{\mathrm{all}}\subseteq E_{K,N}^{\mathrm{out}}$ 。本篇不把任何一個集合冒稱為所有合法的三步歷程：研究對象始終是八重交會三元組的集合。

2. 最小來源與最小雙標籤作用閾值

[DEF 2.1] 第一階段要同時用加法和乘法產生整數 $m$ 。若 $m$ 不是大於等於 $4$ 的合數，這種雙標籤來源不存在。若 $m\ge4$ 為合數，定義：

\kappa_0(m)=\max\left\{\left\lceil\frac m2\right\rceil,\ \min_{\substack{d\mid m\\2\le d\le\sqrt m}}\frac md\right\}.

[PROP 2.1] $\kappa_0(m)$ 恰好是第一步同時能由加法及乘法生成 $m$ 的最小整數 $K$ 。

[PROOF] 若 $a+b=m$ 且 $2\le a,b\le K$ ，則 $K\ge\lceil m/2\rceil$ ，而取最接近等分的兩個整數時可達到此下界（ $m\ge4$ 保證雙方至少為 $2$ ）。若 $ab=m$ 且 $a,b\ge2$ ，較小因數不大於 $\sqrt m$ ；對每組因數，所需的最小上限等於較大因數 $m/d$ ，再取全部可行因數對中的最小值。兩種來源必須同時存在，故取兩個最小上限的最大值。證畢。

[DEF 2.2] 對兩個不同的正整數 $x,y$ ，設 $l=\min(x,y)$ 、 $h=\max(x,y)$ 。若 $l\mid h$ 且 $h-l\ge2$ ，定義：

\kappa_1(x,y)=\max\left\{\frac hl,\ h-l\right\}.

否則令 $\kappa_1(x,y)$ 未定義。

[PROP 2.2] $\kappa_1(x,y)$ 恰好是同一精確轉移 $x\to y$ 能由兩種不同標籤實現的最小 $K$ 。

[PROOF] 若 $x<y$ ，只有加法及乘法可能同時合法，且必須存在右運算元 $y-x$ 和 $y/x$ ；它們都須為介於 $2$ 與 $K$ 之間的整數。因此恰要求 $l\mid h$ 、 $h-l\ge2$ 和 $K\ge\max(h/l,h-l)$ 。若 $x>y$ ，同理減法與整除所需的右運算元為 $x-y$ 和 $x/y$ 。因而方向可以改變操作標籤的類型，卻不改變最低界限的數值。證畢。

[DEF 2.3] 若前述三個來源與作用閾值全部存在，定義精確八重三元組首次出現閾值：

\kappa(m,u,z)=\max\{\kappa_0(m),\kappa_1(m,u),\kappa_1(u,z)\}.

否則 $\kappa(m,u,z)$ 未定義。

[PROP 2.3：首次出現判準] 對任意正整數三元組，

(m,u,z)\in E_K\quad\Longleftrightarrow\quad \kappa(m,u,z)\ \text{有定義且}\ \kappa(m,u,z)\le K.

[PROOF] 由 [PROP 2.1] 及 [PROP 2.2]，三個階段的每一種合法標籤見證都存在，當且僅當三個最低界限不超過 $K$ 。原第十二篇的運算種類因子化定理又保證：一旦固定精確中間態，每階段見證可依序自由串接，故能形成全部八種模板。反之，如果八種模板都存在，則每個階段的最低界限都必須被滿足。證畢。

重要限制。 這個簡潔的最大閾值公式依賴各階段可獨立選擇原始運算元。若要求跨步共用同一個運算元、禁止重複、限制來源身份，或讓操作帶狀態依賴副作用，此公式便不保證成立。

3. 雙軸精確出生帳本及前綴重建

[PROP 3.1] 根據 [PROP 2.3]，對所有 $K,N\ge1$ ，

E_{K,N}^{\mathrm{out}}=\{(m,u,z):\kappa(m,u,z)\le K,\ z\le N\},

E_{K,N}^{\mathrm{all}}=\{(m,u,z):\kappa(m,u,z)\le K,\ \max(m,u,z)\le N\}.

未定義的閾值不納入上述集合。故每個精確三元組在輸入界域軸有唯一最小出現值 $K_*=\kappa(m,u,z)$ ；在兩種觀察規則下，分別有 $N_*^{\mathrm{out}}=z$ 和 $N_*^{\mathrm{all}}=\max(m,u,z)$ 。

因此 $(K,N)$ 同時增大時，兩種集合均單調不減。每一個三元組各自擁有一個二維「向右上方持續存在」的合法區域；這是整數偏序上的雙參數濾過，而不是宣稱已計算多參數持續同調群。

[DEF 3.2] 記 $B_{k,n}^{\mathrm{out}}$ 為所有首次出現在 $K=k$ 且最終輸出恰等於 $n$ 的三元組數； $B_{k,n}^{\mathrm{all}}$ 則以三個狀態的最大值等於 $n$ 計數。令 $C_{K,N}$ 為對應累積計數，便有可精確計算的二維前綴求和：

C_{K,N}=C_{K-1,N}+C_{K,N-1}-C_{K-1,N-1}+B_{K,N},

兩軸在零的基例均為零。這是有限離散累積和的恆等式，沒有近似、浮點誤差或統計推估。

實作意義。 對固定的有限最大 $K_{\max}$ ，只要先取得所有三元組及其首次出現閾值，就可以在同一張出生帳本上重建不同 $K,N$ 的集合大小，無需在每個網格點重新執行四個原始運算元的完整排列。任何這種節省都只在目前的完整性及閾值定理成立範圍內有保障；換語法必須重新建證書。

4. 兩個方向的飽和性並不對稱

4.1 固定 K，最終輸出界域具有銳利飽和

[PROP 4.1] 對每個 $K\ge2$ ，都有：

E_{K,N}^{\mathrm{out}}=E_K\qquad(N\ge2K).

且此上限對一般 $K$ 不能降低： $N=2K-1$ 仍缺少八重三元組 $(2K,K,2K)$ 。

[PROOF] 第十二篇已在明示語法下證明每個八重三元組滿足 $m,u,z\le2K$ ，並給出 $(2K,K,2K)$ 為銳利見證。本輪重新由獨立演算法檢查其有限實例，但不將此已知證明宣稱為本篇首次發現。證畢。

4.2 固定 N，只限制最終輸出的集合不會隨 K 飽和

[PROP 4.2] 對任何固定整數 $N\ge1$ ，當 $K$ 在全體正整數上無界增大時，集合 $E_{K,N}^{\mathrm{out}}$ 不會在某個有限 $K$ 之後停止新增三元組。

[PROOF] 對每個 $K\ge3$ ，構造：

(m,u,z)=(2K,K,1).

第一階段可用 $K+K$ 與 $2\times K$ 產生 $m=2K$ ；第二階段可用 $(2K)-K=K$ 與 $(2K)/2=K$ ；第三階段可用 $K-(K-1)=1$ 與 $K/K=1$ 。各步右運算元均屬 $\{2,\ldots,K\}$ ，恰好形成八種不同操作模板。其最終輸出 $z=1\le N$ 。由於第一階段的加法來源要得到 $m=2K$ ，任何界限小於 $K$ 的系統都無法生成這個三元組。故它在 $K$ 首次出現，而對每個 $K\ge3$ 都有新元素，證畢。

這個結果對「1」的研究尤其重要： 最終數值固定為 $1$ ，不代表已經枚舉完所有合法生成歷程；但此結論是特定三步八重模型的精確定理，不是對通常乘方極限 $1^n=1$ 的改寫，也不能藉此宣稱實際執行了無窮次計算。

4.3 若 N 限制全部中間態，K>=N 後反而會飽和

[PROP 4.3] 對每個固定 $N\ge1$ 和所有 $K\ge N$ （在原始研究需 $K\ge2$ ），

E_{K,N}^{\mathrm{all}}=E_{\max(2,N),N}^{\mathrm{all}}.

[PROOF] 設一個合法三元組滿足 $m,u,z\le N$ 。任何生成 $m$ 的加法或乘法第一步見證，其兩個正整數運算元都不大於 $m$ ，故不大於 $N$ 。任何合法 $x\to y$ 的雙標籤見證，其兩個可選右運算元為絕對差 $|x-y|$ 與大值除以小值，二者也都不大於 $\max(x,y)\le N$ 。因此，無論它最初在多大的 $K$ 下出現，在 $K=\max(2,N)$ 已可完整實現。再由集合的單調性，較大的 $K$ 不會改變該受限集合。證畢。

[PROP 4.4：界限 K=N 在無窮多個 N 上是銳利的] 取任意 $N=4r$ 且 $r\ge2$ ，則三元組：

(m,u,z)=(N/2,N,1)

滿足 $m,u,z\le N$ ，而它最早在 $K=N$ 才能出現。

[PROOF] 令 $m=2r$ 。第一階段 $m=r+r=2\times r$ ；第二階段 $u=N=m+m=m\times2$ ；第三階段 $1=N-(N-1)=N/N$ 。全部運算元在 $K=N$ 內合法。但第三步的精確整除需要右運算元 $N$ ，因此任何 $K<N$ 都不能形成這個八重交會。證畢。

研究判斷。 「輸出已被限制」與「所有中間態也已被限制」不只會影響計數；它們改變了有限驗證是否具有可傳輸的飽和證書。若未事先寫明是哪一種，任何 EXHAUSTIVE 標籤都不足以作為獨立可用的數學證據。

5. 完整有限數據：K=2 至 160、N=1 至 320

本輪先以整數成本閾值方式建立 $K_{\max}=160$ 的全部八重精確三元組，再以完全獨立的運算元及標籤枚舉法，對每個 $K=2,3,\ldots,160$ 逐級比對相同集合。

可重算原始資料位於：

results/triple_births.csv：每個不同精確 $(m,u,z)$ 的首次出現 $K_*$ 、最終值最小界域與三狀態最小界域；
results/K_ladder.csv：全部 159 個 $K$ 值的來源集合計數與固定 $N$ 比較；
results/K_N_matrix.csv： $K=2..160$ 、 $N=1..320$ 的 50,880 個有限界域組合，分別對應兩種視窗語義；
results/nonzero_birth_cells.csv：非零的 $(K_*,z)$ 首次出現計數；
results/sample_8fold_witnesses.json：四個基準三元組各自八種實際四輸入計算見證；
results/two_axis_report.json：來源雜湊、統計與投影檢查。

5.1 固定 K 與兩種 N 視窗的實測比較

| $K$ | 最終輸出界域 $N$ | 只限制輸出： $|E^{\mathrm{out}}_{K,N}|$ | 全部中間態也限制： $|E^{\mathrm{all}}_{K,N}|$ | 僅靠輸出視窗額外看見 | |---:|---:|---:|---:|---:| | 40 | 1 | 129 | 0 | 129 | | 40 | 40 | 2,339 | 2,074 | 265 | | 40 | 80 | 2,488 | 2,488 | 0 | | 80 | 1 | 346 | 0 | 346 | | 80 | 40 | 5,305 | 2,074 | 3,231 | | 80 | 80 | 9,630 | 8,966 | 664 | | 80 | 160 | 10,016 | 10,016 | 0 | | 160 | 1 | 873 | 0 | 873 | | 160 | 40 | 12,008 | 2,074 | 9,934 | | 160 | 80 | 21,212 | 8,966 | 12,246 | | 160 | 160 | 39,259 | 37,688 | 1,571 | | 160 | 320 | 40,212 | 40,212 | 0 |

[AUDIT] 在固定 $N=40$ 下，完整中間態視窗的數量對所有測試過的 $K\ge40$ 都等於 $2074$ ，符合 [PROP 4.3]；但只限制最終輸出的版本持續成長。固定 $N=1$ 時，這種差異更極端：前者一直為零，後者在 $K=40,80,160$ 分別為 $129,346,873$ 。

[AUDIT] $K=40$ 的全八重三元組數 $2488$ 與原第十二篇 CSV 完全一致； $K=160$ 有 $40212$ 個。此處的新數據是在已固定語法中的精確枚舉，不是對大 $K$ 漸近增長率的證明。

5.2 全域視角需要來源完整性，而不只是同一輸出

不同三元組可能共用最終輸出 $z$ ，但具有不同的 $m,u$ 與不同原始輸入。以 $K=160,N=1$ 為例，雖然所有 $873$ 個精確三元組的最終輸出都為 $1$ ，它們仍然是 $873$ 個不同的 $(m,u,z)$ 數值位置，且每個都具有八種合法操作模板。若只保存最終的 1，這些來源差異便不可逆地遭到合併。

需要再次區分：873 是精確三元數值位置，不是八倍之後的原始路徑總數、Shannon 資訊位元數、或者某個宇宙級資訊守恆量。前兩篇的正確計算沿用原則在此依然有效：能安全重用的是帶著明確作用域、運算與來源關係的證據。

6. 進位制觀察不應主導運算權威

對正整數 $x$ 、基底 $b\ge2$ ，用整數位階 $\ell_b(x)$ 對三元組做觀察投影。精確的三元組集合不受 $b$ 改變；改變的是將多少不同三元組放入相同的位階觀察格。

本輪對 $K=40,80,160$ 和多種 $N$ 視窗重算二、三、五、八、十、十二、十六進位的觀察格與同格配對碰撞。與 RT-FBE-01 的 $K=40,N=80$ 一致：八進位有 14 個格子、1,234,952 對精確狀態碰撞；十進位只有 8 個格子，卻有 1,055,337 對。這說明不同基底的格子數不構成天然的資訊精化順序。

對 $K=160,N=1$ ，二進位的 37 個位階格存在 15,129 對不同精確三元組碰撞，十進位的 9 個格子則有 61,100 對。這些數字僅是指定計數方式下的觀察統計，沒有建立任何不依賴觀察政策的單一資訊測度。

因而未來的 TCGCT → FELRA → TCGQT 工作流應明確要求：TCGCT 的精確數值與原始操作記錄是權威輸入；FELRA 獨立確認有限計算語義及完整性；TCGQT 可自由切換多尺度鏡頭，但不得將影像格子合併誤當成精確歷程合併。

7. 計算正確性優先：供 FELRA 使用的完整性契約

建議將有限界域窮盡輸出標準化為下列概念欄位（本包只是示範介面，尚未直接修改 FELRA 的正式原始碼）：

{
  "receipt_type": "FINITE_ENUMERATION_COVERAGE",
  "verification_status": "EXACT_FINITE_CHECKED",
  "research_object": "PAPER12_EIGHTFOLD_EXACT_TRIPLES",
  "K": 160,
  "N": 40,
  "boundary_mode": "OUTPUT_ONLY",
  "operands": "2..K",
  "stage_ops": ["AM", "ASMD", "ASMD"],
  "intermediate_domain": "POSITIVE_INTEGERS_NO_N_CUTOFF",
  "exact_triple_count": 12008,
  "derived_closed_window_count_same_K_N": 2074,
  "proof_basis": ["EXACT_BIRTH_THRESHOLD", "INDEPENDENT_LABELED_ENUMERATION"],
  "coverage_is_full_for": "THREE_STAGE_EIGHTFOLD_TRIPLES_ONLY",
  "universal_claim": "NOT_ASSERTED",
  "source_identity_status": "PINNED_SNAPSHOT_NOT_AUTHENTICATED"
}

不可省略的區分：

EXACT_FINITE_CHECKED：在所聲明的完整有限演算對象中有可重算且覆蓋合法種類的證據；不是只有抽樣未發現反例。
FINITE_SAMPLE_ONLY：只取得樣本或部分歷程，不得冒稱全域窮舉。
BOUNDARY_MODE_MISMATCH：原本只限制 $z$ 的計算，不能直接被引用為 $m,u,z$ 全部在界內的完整性證書。
SOURCE_PIN_UNAUTHENTICATED：來源內容與指定 SHA-256 一致，並不代表作者、授權或來源真實性已驗證。
GLOBAL_PROOF_OPEN：即使每個目前已測的有限界域都通過，仍不等於對無界 $K$ 、新增操作語法或其他數域已證明。

工程上可以把上述完整性證書保存在 FELRA 的計算驗證收據中，並由 PPV 只引用已核對且作用域相容的計算證據。Lean／SMT 可用於確證數學規則及命題，仍不應取代明確的逐步算術驗證。TCGQT 對精確來源只有唯讀觀察權限。

8. 獨立驗證方法、回歸與反證

[AUDIT 8.1] 方法一：最小閾值建構。先用整數除法與因數分解求出各第一階段來源的最小 $K$ ；再用 較大值/較小值 與差值求每一條雙標籤有向作用的最小 $K$ ；最後對每個可接合的三元組取三段閾值最大值，建立全部首次出現事件。程式 src/two_axis.py 使用整數運算，沒有浮點取對數或近似誤差。

[AUDIT 8.2] 方法二：獨立運算元／標籤枚舉。不讀取上述閾值公式，直接枚舉 $a,b\in[2,K]$ 的兩種第一步來源；再逐條以加減乘除、允許右運算元 $2..K$ 計算所有中間轉移，保留每一步的兩標籤條件。對每個 $K=2..160$ ，所得全部八重三元組均與方法一在相同 $K$ 下精確相同。

[AUDIT 8.3] 方法三：小 K 四運算元直接窮舉。對 $K=2..8$ ，不預先合併第一步或中間邊，而是實際枚舉四個原始運算元與全部 $32$ 種三步模板，將精確 $(m,u,z)$ 的標籤集合聚合，直接找出完整八重交會。所有 7 個有限界域與前兩種方法相符。這一昂貴方法並未對 $K=160$ 執行。

[AUDIT 8.4] 來源釘選。從使用者 Radix_Tower.zip 中讀入原第十二篇 ZIP；外層及內層 CRC 均通過，內層 manifest 的全部 20 筆 SHA-256 與長度逐筆吻合；再將原 CSV 的 $2488$ 個三元組與本輪 $K=40$ 結果作精確集合相等比較。此結果是原始資料的位元組與算術核對，不是來源權利或作者身分認證。

[AUDIT 8.5] 數值與程式驗收。本篇單元測試 39 項通過；還對 $K=2..160$ 的 159 個界域跑了完整雙方法比對，並生成 $50880$ 個雙軸界域的確定性累積計數。測試範圍外的任意 $K$ 並未實際枚舉；大 $K$ 的一般性結論僅在前述明確假設的初等命題證明範圍內成立。

[COUNTER 8.6] 三種推論錯誤：

只看到 $N=2K$ 的最後輸出飽和，就聲稱固定 $N$ 而 $K$ 無界時不再新增：由 $(2K,K,1)$ 反駁。
將不同進位位階格的碰撞當成原始計算歷程相同：由同格不同三元組反駁。
以檔案雜湊相等推論研究命題正確：雜湊只對內容完整性提供證據，不能替代數學運算核對。

9. 理論意義與可繼續研究的具體方向

本輪最重要的不是把 $K$ 從 $40$ 放大到 $160$ ，而是把「有限界域」拆成具有精確含義的多個軸。從此可以分清楚三種情況：

真正封閉的有限世界： 運算元、操作規則、歷程深度、原始來源及全部需要的中間態都被完整而一致地限定；完整性可以取得有限證書。
只有結果裁切的世界： 最終畫面上只顯示很小的數值，仍可能隱含許多未被裁切的不同正確運算路徑。
跨版本擴張的世界： 變更 $K,N$ 、算子語法、深度或觀察政策，會改變可沿用的證據集合；只有相容的內容可以傳輸。

這與 GCTI-01～07 的「局部數值與證據—全域組合」研究互相呼應，但本篇提供的是可供 FELRA 機器判讀的界域語義與實際完整窮盡證據，不是任何更普遍的全域資訊守恆定律。

尤其在 AI 數學系統裡，可能允許命題長期 OPEN，卻不應允許單步算術錯誤、混淆輸出界域與全部狀態界域、或以不完整的計算樣本冒充完整有限證明。

下一個實際可落地的研究目標，不是直接加一個神祕的「全域資訊總量」參數，而是把 K,N,grammar,history_depth,observer,source_revision 全部版本化，使每份已驗證的有限計算資料都清楚知道在哪些新任務下仍合法有效。

10. 結論

[已證條件性結果] 在原第十二篇的三步八重語法下，來源與轉移都具有精確的最小運算元上限公式；所有八重三元組都有明確首次出現閾值。固定 $K$ 時 $N=2K$ 是銳利的輸出飽和界；固定任何輸出上限 $N\ge1$ 並放大 $K$ ，不會飽和；若所有精確中間態也受 $N$ 限制， $K\ge N$ 後則飽和，且 $K=N$ 對無窮多個 $N$ 是銳利的。

[實際執行結果] 159 個連續 $K$ 界域均通過兩種精確方法比對；7 個小 $K$ 界域另通過完整四輸入原始歷程窮舉； $K=40$ 的 $2488$ 個位置與原始資料相等； $K=160$ 取得 $40212$ 個精確位置，雙軸 $50880$ 組界域計數、原始 CSV 與 20 筆來源 SHA 均經核對。

[仍未證明] 其他三步或任意長語法的同類上界、任意數域的跨表示不變量、物理資訊守恆、與全域資訊運算量作為普遍單一標量的存在，皆不由本文直接推出。

有限界域不是畫面上的一道邊線，而是一份明示了哪些運算來源、中間狀態與合法延伸仍被保留的數學契約。

附錄 A：重播命令

專案根目錄執行：

python -m unittest discover -s tests -v
python src/two_axis.py --kmax 160 --output results
python src/two_axis.py --kmax 160 --archive /path/to/Radix_Tower.zip --output results
python validate_release.py

第三個命令需要使用者原始 Radix_Tower.zip，用來比對第十二篇原始資料。即使原始 ZIP 不在新包中，前兩個命令仍可完成全部獨立整數窮盡，並可核對本包的數值成果。報告中的原始來源檢查只對本輪確實讀取的指定快照成立。

附屬 CSV 是資料表而不是 Markdown 數學原始碼。正式數學稿為本檔 UTF-8 Markdown；所有公式使用 $...$ 及 $$...$$，沒有用渲染介面反向產生原始碼。

附錄 B：來源與學術定位

Neo.K / AI 研究協作，《進位制塔樓與全域運算關係幾何 XII：三階段軌跡的八重運算對偶、精確中間態保留與語法擾動穩健性》，v0.1，2026-11-05；由本輪使用者提供之 Radix_Tower.zip 的第十二篇來源快照讀取。
Neo.K / GPT-6，《進位制塔樓：有限界域窮盡、運算正確性與跨表示投影稽核》，RT-FBE-01 v0.1，2026-11-05；隨本包保存該版原稿與核心參考程式的唯讀快照。
EveMissLab，TCGCT、TCGQT 多尺度計算橋接契約（2026-10-31）；本篇只提出 FELRA 接口建議，未直接修改實際倉庫。
來源與思想背景：GCTI-01～07 的證據沿用、相容性及有限計算系統，SIO 的跨表示商與 GRST 的規則誘導可行結構。它們不是本文初等算術證明的外部公理。
使用的算術工具：整數因數分解、精確整除、有限集合與前綴求和。這些是成熟方法；不將它們誤稱成新發現的普適數學定理。

End of RT-FBE-02 v0.1 — exact finite two-axis exhaustion / conditional mathematical research.

進位制塔樓有限界域研究 II：雙軸窮盡、首次出現閾值與中間態觀察界限