E2 Gap Operator：局部開口、配置空間拓樸與自由度臨界閾值

E2 Gap Operator: Local Apertures, Configuration-Space Topology, and Freedom Thresholds

版本： v0.1
日期： 2026-10-02
前置： E0 Occupancy Separation；E1 Freedom Transport
狀態： Exact finite connectivity law / channel-indexed freedom threshold

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

E2 從完整垂直 barrier 開始：

B_0

並以 gap operator 逐格釋放中央構成位：

B_0 \xrightarrow{G_1} B_1 \xrightarrow{G_2} \cdots.

若只看 obstacle site occupancy，這是一條平滑、線性的變化：

|\operatorname{Supp}(B_g)| = N-g.

但若觀察 probe 的 configuration-space connectivity，結果不是平滑變化。

對一個 axis-aligned rectangular probe：

P=(w_p,h_p),

E2 得到 exact finite threshold：

\boxed{ g_c(P)=h_p. }

亦即：

\boxed{ \mathrm{LRConnected}(P,g) = \mathbf 1[g\ge h_p]. }

因此同一個幾何 gap 對不同 freedom channel 並不具有相同意義。

更細地，barrier line 上可容納 probe 的 transverse aperture capacity 為：

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1). }

所以 gap 中「已經空白」的構成位，在：

g<h_p

時對該 probe 而言仍然是 latent freedom，尚未形成可穿越的 operational aperture。

E2 因而得到：

\boxed{ \text{geometric emptiness} \neq \text{operational freedom}. }

以及：

\boxed{ \text{local support release} \rightarrow \text{channel-dependent global connectivity transition}. }

1. 實驗容器

使用：

X_N=\{0,\ldots,N-1\}^2,

其中：

N\in\{32,64,128\}.

在：

x=\frac N2

建立一格厚 vertical barrier。

中央開口大小為：

g=0,1,2,\ldots.

因此：

|\operatorname{Supp}(B_g)|=N-g,

以及：

\eta_{\mathrm{site}}(B_g) = \frac{N-g}{N^2}.

這表示每增加一格 gap，直接 obstacle occupancy 只改變：

\Delta\eta_{\mathrm{site}} = -\frac{1}{N^2}.

2. Freedom channel 不是唯一的

E2 使用四個 probe：

在 $N=64$ ：

point： $1\times1$ ；
horizontal bar： $8\times1$ ；
square： $4\times4$ ；
vertical bar： $1\times8$ 。

這四者不是四種「觀察角度」而已，而是四種不同 admissible-action structure。

對每一個 probe $P$ ，定義它所有合法 translation anchors：

\mathcal A(P;B_g).

在 anchor grid 上，以單格上下左右平移作為 configuration-space adjacency。

因此每個 probe 都誘導自己的配置空間：

\boxed{ \mathcal Q_P(B_g). }

3. Exact threshold law

若 probe 在跨過 barrier 時與 barrier line 相交，那麼 probe 的整個垂直 span：

h_p

都必須落在 gap 內。

因此存在穿越 anchor 的必要且充分條件是：

g\ge h_p.

所以：

\boxed{ g_c(P)=h_p. }

而 gap 中可放置 probe 垂直 span 的 anchor 數為：

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1). }

在本實驗中，probe 若有 width $w_p$ ，則所有與 barrier line 相交且合法的 placement 數為：

\boxed{ N_{\mathrm{cross}} = w_p\,C_{\mathrm{ap}}(g;P). }

程式對所有 $N$ 、所有 gap、所有 probe 逐筆 exact assertion 通過。

4. $N=64$ 臨界值

probe	probe height $h_p$	recovered critical gap $g_c$
point	1	1
hbar	1	1
square	4	4
vbar	8	8

所以：

g_c(\text{point})=1,

g_c(\text{hbar})=1,

g_c(\text{square})=4,

g_c(\text{vbar})=8.

這件事非常重要。

同一個：

g=1

開口，對 point 與 horizontal bar 已經是一個可穿越通道；

但對 square 與 vertical bar 而言：

\boxed{ \text{gap exists geometrically} }

卻仍然：

\boxed{ \text{no cross-barrier freedom exists operationally}. }

5. Freedom 不只是「空了幾格」

這裡出現 E2 最重要的新區分。

令：

E_g

表示 gap 中已被釋放的 lattice sites。

當：

|E_g|>0

時，不能推出對任意 probe：

\mathrm{Freedom}_P(E_g)>0

的跨 barrier 部分。

更精確地：

\boxed{ 0<g<h_p \Rightarrow C_{\mathrm{ap}}(g;P)=0. }

所以我們需要區分：

\boxed{ \text{released substrate} }

與：

\boxed{ \text{realized operational freedom}. }

前者已經存在，後者仍未顯現。

這就是本文所稱：

\boxed{ \text{Latent Freedom}. }

6. 配置空間的拓樸跳變

在：

g<h_p

時，probe 的 anchor configuration space 被 barrier 分成左右兩個 connected components：

\boxed{ \#\pi_0(\mathcal Q_P)=2. }

當：

g=h_p

時，第一個合法 corridor 出現：

C_{\mathrm{ap}}=1,

而配置空間立即變為：

\boxed{ \#\pi_0(\mathcal Q_P)=1. }

也就是一個離散 connectivity transition。

$N=64$ 的 transition 前後：

probe	$g_c$	frag at $g_c-1$	site release at transition
point	1	0.499998	0.000244141
hbar	1	0.499951	0.000244141
square	4	0.499990	0.000244141
vbar	8	0.500013	0.000244141

每一次 transition 都只比前一狀態多釋放 一個 lattice site：

\frac{1}{64^2} = 0.000244140625

的容器面積。

但 config fragmentation 可以從接近二分狀態直接掉到：

0.

所以：

\boxed{ \text{arbitrarily small local support change at finite resolution} \not\Rightarrow \text{small global freedom change}. }

這裡的「small」是相對容器 measure；不是連續極限上的無限小定理。

7. Barrier 的資訊佔據不能只寫成自己的 support

完整 barrier 的直接支撐只有：

N

格。

然而對 point probe：

\operatorname{Shadow}_{\mathrm{connect},P}(B_0)

作用到整個左／右配置空間的可互達關係。

所以 E2 再次確認：

\boxed{ \operatorname{Supp}(O) \neq \operatorname{Shadow}_{\mathcal F,q}(O). }

而且 $q$ 不只是 measurement label。

它實際指定：

\boxed{ \text{which motions and configurations count as freedom}. }

8. SOBTA 的進一步數學化

對某一 probe $P$ ：

\Gamma_P = \langle S_P, B_g, \partial\mathfrak C \rangle.

其中：

S_P

可以理解為「以 probe $P$ 的 admissible configuration space 作為 freedom query」。

因此同一 gap：

g

在不同主體／query domain 中產生：

\mathcal Q_{P_1}(B_g) \neq \mathcal Q_{P_2}(B_g).

但這不是任意主觀化。

因為 critical gap 由客體與 probe 的幾何關係 exact 決定：

\boxed{ g_c=h_p. }

所以更準確的 SOBTA 說法是：

\boxed{ \text{observable freedom} = \text{object constraint} + \text{container boundary} + \text{admissible action class}. }

9. E1 的 boundary law 在 E2 被深化

E1 發現：

\text{boundary} = \text{modifier of admissibility laws}.

E2 現在更進一步：

\boxed{ \text{boundary opening} \neq \text{freedom opening}. }

只有當 gap 對某個 action class 達到：

g_c(P)

時，才真正產生跨域的 configuration path。

因此可以把 boundary 寫成具有 channel-dependent permeability：

\boxed{ \kappa_P(g) = \mathbf 1[g\ge h_p] }

作為最小二值版本。

若要描述通道容量，則使用：

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1). }

10. ACTM-style closure / escape

對固定 probe $P$ ，令：

\mathcal K_{\mathrm{split}}^{(P)} = \{B_g:g<h_p\}.

在這個 closure class 中：

\#\pi_0(\mathcal Q_P)=2.

當 gap operator：

G:B_g\mapsto B_{g+1}

把：

g=h_p-1

推到：

g=h_p,

便有：

\boxed{ G(B_{h_p-1}) \notin \mathcal K_{\mathrm{split}}^{(P)}. }

同時：

\#\pi_0: 2\rightarrow1.

所以 E2 是另一個非常乾淨的 ACTM-style structural escape：

\boxed{ \text{local operator} \rightarrow \text{topological escape in configuration space}. }

11. 跨解析度

對 square 與 vbar：

h_p

隨 $N$ 同比縮放，因此：

\frac{g_c}{N}

保持固定：

square：

\frac{g_c}{N} = \frac{1}{16},

vbar：

\frac{g_c}{N} = \frac{1}{8}.

而 point / one-cell-thick hbar 的 transverse thickness 固定為一個 lattice cell，所以：

\frac{g_c}{N}\rightarrow0

隨解析度增加。

這提醒我們：未來 continuous-limit 研究必須區分：

固定 physical thickness family；
固定 lattice thickness family。

否則會把不同 scaling class 混在一起。

12. E2 最重要的概念修正

母論文曾把空白理解成：

\text{Uncommitted Admissible Freedom}.

E2 顯示還需要再細分：

\boxed{ \text{Blank Substrate} \neq \text{Immediately Usable Freedom}. }

所以可以暫時建立三級：

\boxed{ \text{Released Substrate} \rightarrow \text{Latent Freedom} \rightarrow \text{Realized Operational Freedom}. }

第一層：位置已經沒有 obstacle。

第二層：它參與形成可能通道，但尚未達某 action class 的最低 closure。

第三層：足以形成合法 path / placement / transport。

這可能正是「空白中的纖維資訊」要進一步形式化的地方。

13. E2 Verdict

E2 得到：

\boxed{ g_c(P)=h_p }

與：

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1) }

兩個 exact finite laws。

並得到：

\boxed{ \text{local support release} \not\sim \text{global freedom release} }

的明確反例。

因此：

\boxed{\mathrm{E2\ PASS}}

限於本文 axis-aligned rectangular probes、translation-only configuration graph 與 vertical one-cell barrier model。

14. 下一步：E3 Constituent Influence / Cooperative Fiber Field

E2 已經暴露一個更底層的問題：

為什麼前 $h_p-1$ 個 free sites 對某 probe 都不足以改變全域連通，而第 $h_p$ 個卻突然使自由出現？

這意味著單一構成位的資訊價值不是固定 scalar。

下一輪最自然的是定義：

\boxed{ \chi_q(x\mid O) = F_q(O\setminus\{x\}) - F_q(O), }

並進一步測試多點組合：

\chi_q(A\mid O)

是否滿足可加性。

E2 已經強烈暗示：

\boxed{ \chi_q(A) \neq \sum_{x\in A}\chi_q(x) }

一般可以成立。

換句話說，構成纖維可能具有 cooperative informational occupancy。

這會是我們真正開始研究：

\boxed{ \text{無形纖維點彼此之間如何共同承載自由度} }

的第一輪。

Reproducibility

E2_gap_operator.py
E2_results.csv
E2_thresholds.csv
images/
manifest.json

核心 threshold、component count 與 cross-barrier placement count 全部以 exact assertions 驗證。

E2 Gap Operator：局部開口、配置空間拓樸與自由度臨界閾值

E2 Gap Operator：局部開口、配置空間拓樸與自由度臨界閾值

E2 Gap Operator: Local Apertures, Configuration-Space Topology, and Freedom Thresholds

摘要

1. 實驗容器

2. Freedom channel 不是唯一的

3. Exact threshold law

4. N=64N=64N=64 臨界值

5. Freedom 不只是「空了幾格」

6. 配置空間的拓樸跳變

7. Barrier 的資訊佔據不能只寫成自己的 support

8. SOBTA 的進一步數學化

9. E1 的 boundary law 在 E2 被深化

10. ACTM-style closure / escape

11. 跨解析度

12. E2 最重要的概念修正

13. E2 Verdict

14. 下一步：E3 Constituent Influence / Cooperative Fiber Field

Reproducibility

4. $N=64$ 臨界值