《序列域相對論與探針演算》第 6 篇

質數作為第一個驗證對象：從 M6 不動點、Wheel Refinement 到預註冊式探針驗證

系列名： 序列域相對論與探針演算
英文： Sequence-Domain Relativity and Probe Calculus
縮寫： SDRPC
篇次： 06 / 06
作者： Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）
日期： 2026-09-22
版本： v0.1
文件性質： 系列收束篇／驗證設計篇／質數案例篇

機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

本篇是 SDRPC 系列第一階段的收束篇。

前五篇分別建立：

序列域本體；
表示、商化與觀測；
探針演算；
全域量詞與量詞下沉；
可序列化無限數學域。

本篇不再新增大規模理論，而將所有概念壓到第一個高價值驗證對象：

\boxed{ Q_{\mathrm{prime}}(n) }

即整數上的 primality predicate。

本篇首先重新定位早期：

6k\pm1

與 M6 不動點構造。其價值不被否定，但其結構位置被重新定義為：

\boxed{ \text{quotient-filtered divisibility construction} }

而：

6\to30\to210\to2310\to\cdots

被視為一族 primorial / wheel quotient probes。

本篇提出第一輪 SDRPC 質數驗證的核心問題：

在不直接調用 primality oracle、不偷用完整 factorization、也不把 trial division 重新命名的條件下，哪些 probe family 真正降低 primality 的 residual ambiguity、quantifier residual 與 proof burden？

為此，本篇建立預註冊式驗證框架，包括：

Encoding Control；
Domain Change Control；
Modulus / Wheel Refinement；
Probe Sufficiency；
Hidden Oracle Detection；
Counterexample-Guided Probe Refinement；
Quantifier Residual Tracking；
Cross-Representation Validation；
Serializable Prime Domain State；
Positive / Negative Controls；
Stop Conditions。

系列在本篇後停止理論擴張，正式進入驗證階段。

一、為什麼選質數作為第一個大型案例

質數具有幾個適合壓測 SDRPC 的特徵。

第一，它的定義清楚：

p>1

且只有平凡因數。

第二，它依賴明確乘法／整除結構。

第三，它具有大量 representation-dependent pattern：

$6k\pm1$ ；
尾數；
residue classes；
gaps；
wheel candidates；
counting functions。

第四，它同時包含：

局部判定問題；
全域分布問題；
無限存在命題；
漸近命題；
複雜猜想。

因此它可以同時測試 SDRPC 的：

\text{domain}, \quad \text{probe}, \quad \text{quotient}, \quad \text{quantifier}, \quad \text{serialization}.

二、質數 predicate 的結構依賴

在自然數乘法結構中，可寫：

Q_{\mathrm{prime}}(n)=1

若：

n>1

且：

d\mid n \Rightarrow d=1 \lor d=n.

因此其 dependency signature 至少包含：

\boxed{ \operatorname{Dep}(Q_{\mathrm{prime}}) = \{\times,1,=,\mid\} }

若使用 order formulation，還可包含：

<.

因此質數性不依賴十進位符號。

三、第一個控制：重新編碼不能改變 prime

設：

f:\mathbb N\to X

為雙射，例如：

1\mapsto A, \quad 3\mapsto B, \quad 5\mapsto C, \ldots

若乘法結構經同構搬運：

f(a\times b) = f(a)\otimes f(b),

則：

Q_{\mathrm{prime}}(n) = Q'_{\mathrm{prime}}(f(n)).

因此：

\boxed{ \text{renaming / encoding} }

不應製造新的 prime ontology。

這是第一個 positive sanity control。

四、真正換域時 prime 才可能改變

若我們不搬運原本乘法，而在新符號域重新定義：

\star,

則：

Q_{\mathrm{prime}}^\star

可能與原本不同。

因此本系列最早的直覺：

取消偶數概念，是否會改變質數？

答案要拆成兩種。

如果只是：

\mathbb N \to \{1,3,5,\ldots\}

的抽取或重新編碼，

則只是 observation / subdomain change。

若連 operation semantics 都改變，才可能真正得到新 prime-like predicate。

五、M6 的重新定位

對：

p>3,

若 (p) 為質數，則：

2\nmid p, \quad 3\nmid p.

因此：

\gcd(p,6)=1.

所以：

p\bmod6\in\{1,5\}.

也就是：

p=6k\pm1.

這不是錯。

但其真正結構鏈是：

\boxed{ \text{prime} \Rightarrow \text{not divisible by }2,3 \Rightarrow \gcd(n,6)=1 \Rightarrow n\bmod6\in\{1,5\}. }

六、M6 Pattern 是 Quotient Image

定義：

q_6:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z.

則：

Q_{\mathrm{prime}}(p)=1 \Rightarrow q_6(p)\in\{[1]_6,[5]_6\}.

因此：

\boxed{ 6k\pm1 }

應被定位為：

\boxed{ \text{prime necessary-condition image under }q_6. }

七、M6 不動點構造

若先前定義：

M_6^* = \{n>1:n\equiv\pm1\pmod6\}

並定義某個利用整除關係的算子：

T_6(n),

使 prime-like 元素形成：

T_6(n)=n,

則：

\operatorname{Fix}(T_6)

可以成為 primality 的一種 fixed-point encoding。

但因：

\operatorname{Dep}(T_6)

仍包含：

\mid,

所以更精確的定位是：

\boxed{ \text{M6 fixed point} = \text{quotient-filtered divisibility construction}. }

這是有效構造，但不能宣稱已消除整除本體。

八、從 6 推廣到 Wheel Family

令：

p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=5,\ldots

定義：

M_k = \prod_{i=1}^{k}p_i.

則：

2,\ 6,\ 30,\ 210,\ 2310,\ldots

形成 primorial family。

對每一層：

P_k(n) = n\bmod M_k.

九、Wheel Candidate Domain

定義：

C_k = \{n>1:\gcd(n,M_k)=1\}.

則：

C_{k+1} \subseteq C_k.

並且：

p>p_k,\quad p\text{ prime} \Rightarrow p\in C_k.

因此：

C_k

是 primality 的 necessary-condition candidate domain。

十、Wheel Refinement 真正增加什麼

每增加：

p_{k+1}

到 modulus，

實際增加的是：

p_{k+1}\nmid n

這個 exclusion constraint。

因此：

C_{k+1} = C_k \cap \{n:p_{k+1}\nmid n\}.

這是非常清楚的 probe refinement。

十一、Wheel Refinement 丟失什麼

即使：

n\in C_k,

仍可能：

n=ab

其中：

a,b>p_k.

所以有限 wheel 不包含完整 factor structure。

因此：

\boxed{ \text{wheel survival} \neq \text{primality}. }

十二、候選密度

有：

\frac{|C_k\cap[1,M_k]|}{M_k} = \frac{\varphi(M_k)}{M_k} = \prod_{i=1}^{k} \left(1-\frac1{p_i}\right).

這是 wheel probe 的理論候選密度。

後續實驗應直接與有限樣本結果核對。

十三、Prime Retention 與 Composite Rejection

對有限範圍：

X_N=\{2,\ldots,N\},

定義：

\operatorname{PrimeRetention}_k(N) = \frac{ |C_k\cap\mathbb P\cap X_N| }{ |\mathbb P\cap X_N| }.

以及：

\operatorname{CompositeRejection}_k(N) = \frac{ |(X_N\setminus\mathbb P)\setminus C_k| }{ |X_N\setminus\mathbb P| }.

十四、False Positive Rate

定義：

\operatorname{FPR}_k(N) = \frac{ |C_k\cap(X_N\setminus\mathbb P)| }{ |C_k\cap X_N| }.

這直接量化：

通過 wheel probe 後，還剩多少合數。

十五、Residual Ambiguity for Prime

對 probe family：

\mathcal P

定義：

[n]_{\mathcal P}

為與 (n) probe signature 相同的元素集合。

若存在：

a,b\in[n]_{\mathcal P}

且：

Q_{\mathrm{prime}}(a)\neq Q_{\mathrm{prime}}(b),

則該 fiber 對 primality 仍矛盾。

十六、Contradictory Fiber

定義：

\boxed{ \operatorname{CFiber}_{\mathcal P} }

為同時含：

Q=1

與：

Q=0

的 probe fiber。

若：

\operatorname{CFiber}_{\mathcal P} \neq\varnothing,

則：

\mathcal P

不 task-sufficient。

十七、第一個主要驗證目標

第一輪不是證明：

\mathcal P

能完全決定 primality。

而是測：

\boxed{ \operatorname{CFiber} }

如何隨 probe refinement 變化。

例如：

P_6 \to P_{30} \to P_{210} \to P_{2310}.

十八、TaskLoss 曲線

定義有限域上的：

L_k(N) = \operatorname{TaskLoss} (P_{M_k},Q_{\mathrm{prime}};X_N).

可用：

contradictory fiber count；
false positive；
conditional entropy；
classification ambiguity；

作不同代理量。

不預先要求唯一量度。

十九、這不是機器學習分類競賽

即使某 probe 在：

N\le10^{12}

分類準確率極高，

仍不能推出：

\forall n.

因此：

\boxed{ \text{low empirical TaskLoss} \neq \text{logical sufficiency}. }

只有 contradictory fibers 全域不可存在，才能完成證明層結論。

二十、Hidden Trial Division

本篇設立最重要的失敗檢查之一。

如果某 probe：

[ P(n) ]

實際計算時：

逐一測試 potential divisors；
執行完整 factorization；
呼叫 primality oracle；
查詢 precomputed prime table；

則必須標記：

\boxed{ \text{hidden divisibility / oracle dependency}. }

二十一、Probe Purity for Prime

定義：

\operatorname{Pure}_{\mathrm{prime}}(P)

表示 (P) 不直接依賴：

Q_{\mathrm{prime}}

或其明顯等價黑箱。

但允許基礎：

arithmetic；
modular operations；
sequence transforms；
explicitly declared relations。

二十二、Purity 不是禁止所有整除

本系列不是任意禁止：

a\mid b.

因為整除本來就是 prime 定義核心。

真正目的在於區分：

新 probe 是不是只是完整 primality test 換名；
還是它提供新的 structural compression。

因此 purity 應記錄 dependency，而不是把所有 divisibility 都排除。

二十三、Probe Novelty Gate

一個 candidate probe (P) 要算有新價值，至少檢查：

N1

不與現有 probe 等價。

N2

不被現有 probe dominate。

N3

不直接調用 target oracle。

N4

能分裂至少一個 contradictory fiber。

N5

不是單純增加更多 trial factors。

N6

提供新的 invariant / compression / certificate interface。

二十四、Counterexample-Guided Probe Refinement

若：

[ a,b ]

滿足：

J_{\mathcal P_k}(a) = J_{\mathcal P_k}(b),

但：

Q_{\mathrm{prime}}(a) \neq Q_{\mathrm{prime}}(b),

則：

[ (a,b) ]

是 insufficiency witness。

下一步搜尋：

P_{k+1}

使：

P_{k+1}(a) \neq P_{k+1}(b).

形成：

\mathcal P_{k+1} = \mathcal P_k\vee P_{k+1}.

二十五、CGPR 在 Prime Case 中的意義

CGPR 的目的不是最終得到無限 feature list。

而是觀察：

每次 contradictory fiber 被分裂時，新增 probe 是真的引入新結構，還是在逐步逼近完整 factorization？

這是判斷 SDRPC 是否有新 proof compression 的核心。

二十六、Probe Classes

第一輪建議分層測：

A. Encoding Probes

radix digit；
digit sum；
tail digit；
symbol mapping。

B. Quotient Probes

mod (m)；
wheel family。

C. Relational Probes

gcd；
bounded divisibility；
local factor compatibility。

D. Sequence Probes

local gap；
index；
neighboring candidate structure。

E. Spectral / Transform Probes

transform-based signatures。

F. Certificate Probes

primality witness structure；
compositeness witness structure。

二十七、Encoding Negative Control

對 primality，純重新編碼應該滿足：

Q_{\mathrm{prime}}(n) = Q'_{\mathrm{prime}}(E(n)).

如果研究流程因：

10\to2\to16

改基數就宣稱 prime ontology 改變，則驗證流程有概念錯誤。

這是基礎 negative control。

二十八、Modulus Negative Control

任何固定 modulus：

[ m ]

都不能單獨決定 primality。

因此研究系統應能自動找到：

a\equiv b\pmod m

但：

Q_{\mathrm{prime}}(a) \neq Q_{\mathrm{prime}}(b).

若找不到，表示測試範圍或實作有問題。

二十九、Wheel Positive Control

Wheel refinement 應滿足：

C_{k+1} \subseteq C_k.

候選密度理論上應接近：

\prod_{i=1}^{k} \left(1-\frac1{p_i}\right).

若實驗不符合，優先檢查實作。

三十、Prime Retention Control

對：

p>p_k

的 prime，

應有：

p\in C_k.

若 wheel 過濾掉合法 prime，表示 implementation / domain boundary 有錯。

三十一、Composite Witness Control

對任何標記 composite 的 (n)，若使用 compositeness witness：

n=ab

則：

1<a<n, \quad 1<b<n

應可直接驗證。

這是強 certificate control。

三十二、Primality Certificate Layer

單個 prime 的驗證不必只靠：

\text{trial division}.

可以允許成熟 primality certificate / proof structure 作為：

\boxed{ \text{reference label / verifier layer}. }

但此 layer 必須與 candidate probes 分離。

不能讓 reference oracle 污染 probe input。

三十三、Reference Oracle Isolation

實驗中應分成：

\boxed{ \text{Probe Channel} }

與：

\boxed{ \text{Truth Channel}. }

Probe Channel 不得讀：

Q_{\mathrm{prime}}(n).

Truth Channel 只在評估 probe 後提供 label / certificate。

這是防止 oracle leakage 的基本設計。

三十四、序列域控制

Prime case 至少比較三個 domain views：

D1

自然數：

\mathbb N.

D2

奇數子序列：

O=\{1,3,5,\ldots\}.

D3

Wheel candidate domain：

C_k.

研究：

predicate semantics 是否保持；
indexing 如何變；
probe cost 如何變；
candidate density 如何變。

三十五、Subsequence vs New Domain Control

奇數域實驗必須分兩種：

A

只抽 odd subsequence，保留原 multiplication semantics。

B

真正重新定義新的 operation。

如果不區分 A / B，所有「偶數消失後 prime 改變」的結論都無效。

三十六、Cross-Representation Prime Validation

對同一 (n)，至少比較：

E_2(n), \quad E_{10}(n), \quad E_{16}(n).

任何宣稱本體性的 prime pattern，都應檢查是否：

\text{representation invariant}

或只是：

\text{digit artifact}.

三十七、Cross-Quotient Validation

至少比較：

m=6,30,210,2310.

記錄：

class count；
candidate density；
CFiber count；
false-positive rate；
cost；
information gain。

三十八、Cross-Probe Provenance

如果兩 probes 都來自：

n\bmod30,

例如：

P_1(n)=n\bmod6,

P_2(n)=n\bmod10,

它們不是完全獨立。

因：

[ 30 ]

共同控制兩者。

所以 provenance graph 必須揭露共享來源。

三十九、Prime Quantifier Residual

對：

Q_{\mathrm{prime}}

建立：

R_{\mathrm{prime}}(\mathcal P).

它表示：

在目前 probe family 下，尚未被有限結構／證書／invariant 吸收的 primality proof responsibility。

四十、Wheel 下的 Quantifier Residual

有限 wheel：

C_k

仍包含大因子 composite。

因此：

R_{\mathrm{prime}}(P_{M_k}) \neq0.

而且 residual 的核心是：

\boxed{ \text{unseen factors } > p_k. }

四十一、Infinite Wheel 不代表 Finite Proof Compression

若讓：

k\to\infty,

每個 composite 最終會被某個 factor 排除。

但如果實作就是逐步加入所有 prime divisors，

那只是：

\boxed{ \text{exhaustive refinement}. }

不能宣稱 finite structural compression。

四十二、真正需要搜尋的東西

我們要尋找的不是：

\text{更大的 modulus}.

而是：

\boxed{ \text{是否存在能一次吸收無限或大族 factor constraints 的有限結構。} }

這可能來自：

algebraic invariant；
certificate structure；
recursion；
transform；
graph property；
yet-unknown probe。

四十三、Finite Task Sufficiency

如果存在有限 probe family：

\mathcal P_*

以及有限 verifier：

[ V ]

使：

V(J_{\mathcal P_*}(n)) = Q_{\mathrm{prime}}(n)

對所有 (n) 成立，

則得到 finite task sufficiency。

但必須證明：

\forall n.

有限實驗本身不能證這件事。

四十四、Asymptotic Sufficiency

如果只有：

\lim_{k\to\infty} \operatorname{TaskLoss} (\mathcal P_k,Q_{\mathrm{prime}}) =0,

但每個有限：

[ k ]

仍存在 contradictory fibers，

則只是 asymptotic sufficiency。

四十五、Prime Domain Serialization

可建立：

\boxed{ \mathfrak P_{\mathrm{ser}} }

包含：

prime_domain_state:
  domain_signature:
  bound:
  representations:
  wheel_depth:
  candidate_domain:
  probe_family:
  contradictory_fibers:
  reference_labels:
  certificates:
  counterexamples:
  invariants:
  quantifier_residual:
  provenance:
  checkpoint_hash:

四十六、每一輪實驗都是 Checkpoint

例如：

S_2

代表 mod 6，

S_3

代表 mod 30，

S_4

代表 mod 210。

每一層保存：

新增 constraint；
candidate shrinkage；
CFiber change；
cost change；
residual change。

四十七、Prime Probe Refinement Graph

可建立：

G_{\mathrm{prime-probe}}

節點是 probe families，

邊表示：

\mathcal P_i \to \mathcal P_j

新增某 probe 或 refinement。

每個 edge 附：

ambiguity reduction；
cost；
provenance；
oracle status。

四十八、Branch Types

至少允許：

wheel_branch
radix_branch
relational_branch
spectral_branch
certificate_branch
hybrid_branch

不同 branch 不應過早合併。

四十九、Hybrid Probe

可能：

\mathcal P = \mathcal P_{\mathrm{wheel}} \vee \mathcal P_{\mathrm{relational}} \vee \mathcal P_{\mathrm{spectral}}.

真正有趣的情況可能來自跨類 probe 組合，而不是單類無限精化。

五十、Probe Dominance Check

每次新增 (P') 前，檢查是否：

P'=f(J_{\mathcal P})

若是，則：

[ P' ]

沒有增加新信息。

只可能改善：

計算成本；
可解釋性；
certificate convenience。

五十一、Structural Compression Check

新 probe 若能：

\boxed{ \text{以有限規則取代大量逐項 factor tests} }

才算可能的 structural compression。

這是 prime case 最重要的 novelty gate。

五十二、Proof Burden Check

即使 probe 大幅壓縮 candidate space，也要計算：

\mathcal B_{\mathrm{proof}}.

若新 probe 本身正確性極難證，可能：

\text{classification gain} > 0

但：

\text{proof burden gain} < 0.

五十三、第一輪研究不碰什麼

第一輪故意不直接碰：

RH；
Twin Prime；
Goldbach；
Legendre；
Cramér；
深層 prime gap 猜想。

原因不是它們不重要。

而是先驗證 SDRPC 是否能對最基本 primality structure 產生非平凡壓縮。

五十四、第一輪驗證對象

第一輪只做：

\boxed{ \text{Prime Identifiability Under Probe Refinement} }

研究：

在不同 domain / representation / quotient / probe family 下，prime / composite 的 contradictory fibers 如何收縮？

五十五、實驗 A：Encoding Control

資料：

n\in[2,N].

表示：

b\in\{2,3,8,10,16\}.

檢查：

prime label invariant；
digit patterns 是否 representation-dependent；
哪些 probe collapse。

目的：

\boxed{ \text{排除「換進位＝新 prime structure」}. }

五十六、實驗 B：Subsequence / Domain Control

比較：

full $\mathbb N$ ；
odd subsequence；
wheel-filtered subsequence；
genuinely redefined operation domain。

目的：

\boxed{ \text{分離 selection 與 true domain change}. }

五十七、實驗 C：Wheel Refinement

測：

2,6,30,210,2310,\ldots

記錄：

\rho_k, \quad \operatorname{FPR}_k, \quad \operatorname{CFiber}_k, \quad \operatorname{Cost}_k.

目的：

\boxed{ \text{量化 quotient refinement，而不是只看圖。} }

五十八、實驗 D：Counterexample-Guided Refinement

從：

\operatorname{CFiber}_{\mathcal P}

選 witness pair：

[ (p,c) ]

其中：

p\text{ prime}, \quad c\text{ composite}.

搜尋新 probe：

[ P' ]

分裂它們。

記錄：

probe type；
dependency；
cost；
whether hidden divisibility；
generalization；
new contradictory fibers。

五十九、實驗 E：Probe-Class Sufficiency

依序測：

\mathfrak P_{\mathrm{radix}},

\mathfrak P_{\mathrm{mod}},

\mathfrak P_{\mathrm{local}},

\mathfrak P_{\mathrm{relational}},

\mathfrak P_{\mathrm{hybrid}}.

目標不是假定某類成功，而是找：

\boxed{ \text{class-relative insufficiency witness}. }

六十、實驗 F：Quantifier Residual

每個 probe family 都輸出：

R_{\mathrm{prime}}.

分類 residual 為：

unseen_factor_residual
representation_residual
domain_boundary_residual
oracle_residual
proof_correctness_residual
global_quantifier_residual

六十一、實驗 G：Serializable Checkpoint Replay

每輪：

S_k

要可保存、重播並重新驗證：

candidate domain；
probe outputs；
contradictory fibers；
certificates；
residual。

目的：

\boxed{ \text{驗證可序列化域不是只停在論文概念。} }

六十二、預註冊式研究規格

正式測試前鎖定：

study:
  id: SDRPC-PRIME-001
  title: Prime Identifiability Under Probe Refinement

domain:
  base: natural_numbers
  range:
    min: 2
    max: PREDECLARED_N

truth_channel:
  primality_reference:
    isolated: true
    certificate_required: true

probe_channel:
  oracle_access: forbidden
  factorization_access: forbidden_unless_declared
  precomputed_prime_table: forbidden

probe_families:
  - encoding
  - quotient
  - wheel
  - relational
  - hybrid

primary_metrics:
  - contradictory_fiber_count
  - false_positive_rate
  - candidate_density
  - task_loss_proxy
  - computational_cost
  - proof_burden_proxy

outputs:
  - provenance
  - counterexamples
  - probe_graph
  - quantifier_residual
  - checkpoints

六十三、主要假說

第一輪不預註冊「會找到新 prime law」。

而預註冊更保守的假說。

H1

純 encoding change 不改變 primality semantics。

H2

固定有限 modulus 對 primality 不 task-sufficient。

H3

wheel refinement 單調縮小必要候選域。

H4

wheel refinement 對 finite sample 的 composite rejection 會增加。

H5

單純無限 wheel refinement 若無額外 compression，最終退化為 factor exclusion enumeration。

H6

跨類 probe 有可能比單一 modulus family 提供更高 ambiguity reduction / cost ratio。

六十四、主要反駁條件

F1

若改 radix 就改變 prime label，表示 domain / encoding 定義錯誤。

F2

若 mod (m) 在足夠大域沒有 prime/composite contradictory fiber，需先懷疑資料或 truth oracle。

F3

若 wheel refinement 不滿足 candidate nesting，實作錯誤。

F4

若新 probe 只是調用 primality oracle，不算新證據。

F5

若所有新 probe 最後都等價於更多 divisibility enumeration，則 SDRPC 在 prime case 未找到新 structural compression。

F6

若 Quantifier Descent 只是普通 induction / algorithm correctness 的重新命名，則不宣稱新 proof method。

六十五、正控制

至少加入：

PC1：Wheel Nesting

C_{k+1}\subseteq C_k.

PC2：Prime Retention

對：

p>p_k

的 prime：

p\in C_k.

PC3：Composite Witness

已知 composite 必須能由 witness 驗證。

PC4：Encoding Isomorphism

重新編碼不改變 prime semantics。

六十六、負控制

至少加入：

NC1：Finite Prefix Trap

人工序列在大範圍模仿 prime-like pattern，但之後故意破壞。

NC2：Fake Probe

直接輸入：

Q_{\mathrm{prime}}(n)

作為 feature，驗證 leakage detector 必須抓到。

NC3：Redundant Probe

加入由 mod 30 可完全導出的 mod 6，驗證 dominance detector。

NC4：Random Feature

加入與 prime 無關 feature，確認不能被誤認為 structural progress。

六十七、第一階段成功標準

不要求解開任何著名猜想。

只要達到以下任一項即可視為成功：

S1

正式量化 wheel refinement 的 TaskLoss / CFiber 收縮。

S2

成功自動區分 representation artifact 與 domain invariant。

S3

建立可重播的 prime domain checkpoints。

S4

找到至少一個非 trivial probe，能分裂既有 contradictory fibers，且不 collapse 到舊 probe。

S5

證明某 probe class 對 primality 不可能 finite task-sufficient。

S6

找到真正的 structural compression candidate。

六十八、強成功標準

更強的成果包括：

SS1

找到 finite task-sufficient probe family。

SS2

找到比既有表示更小的 primality state representation。

SS3

建立新的可驗證 primality certificate interface。

SS4

把一部分 global quantifier residual 真正降為 finite invariant。

這些都需要形式證明，不接受純經驗結果。

六十九、停止條件

Stop A

找到完整 task-sufficient proof architecture。

Stop B

找到 candidate probe class 的 insufficiency theorem。

Stop C

所有新增 probe collapse 到已知 divisibility / primality machinery。

Stop D

在預註冊 probe class 中 Observable Exhaustion。

Stop E

資源預算耗盡。

Stop E 只能回報：

\text{unresolved}.

七十、FELRA 對接

FELRA 可作：

preregistration；
dataset hashing；
provenance；
replay；
counterexample registry；
result fingerprint；
evidence export。

但在數值／大整數／證書層需要按實際能力擴充。

第一輪可以先用外部 prime probe generator + FELRA governance。

七十一、最小資料表

建議：

n
truth_label
truth_certificate
domain_view
representation
probe_family
probe_id
probe_signature
candidate_status
contradictory_fiber_id
cost
oracle_dependency
provenance_hash
checkpoint_id

七十二、最小 Probe Report

probe_report:
  probe_id:
  type:
  dependencies:
  dominated_by:
  oracle_leakage:
  candidate_reduction:
  contradictory_fibers_before:
  contradictory_fibers_after:
  task_loss_change:
  cost:
  proof_burden_change:
  novelty_status:

七十三、最小 Quantifier Residual Report

quantifier_residual:
  target: primality
  remaining:
    - unseen_factor_residual
    - global_correctness_residual
  absorbed_by:
    quotient_constraints:
    invariants:
    certificates:
  status:
    partial_descent

七十四、真正要測的第一個命題

本系列正式把第一個實驗命題定為：

\boxed{ \textbf{Prime Identifiability Under Probe Refinement} }

中文：

探針精化下的質數可識別性

研究問題：

當 probe family 逐步增加時，prime / composite 的 contradictory fibers 是否以可解釋、可重播、非 oracle leakage 的方式收縮？

七十五、第二個命題

\boxed{ \textbf{Prime Probe Compression Question} }

是否存在一個有限描述的 probe / invariant system，能比逐項 divisibility exclusion 更有效地壓縮 primality proof responsibility？

這才是 M6 舊線真正升級後的核心問題。

七十六、第三個命題

\boxed{ \textbf{Prime Quantifier Residual Question} }

在給定 probe class 下，哪一部分 primality proof obligation 永遠無法被 quotient / local observation 吸收？

這可能產生 negative theorem，同樣有價值。

七十七、第四個命題

\boxed{ \textbf{Cross-Representation Prime Invariant Question} }

哪些 prime-related structures 在 radix、wheel、graph、certificate 等不同表示間仍保持？

跨表示存活的結構，比單表示 pattern 更值得作後續 theorem candidate。

七十八、第五個命題

\boxed{ \textbf{Serializable Prime Domain Question} }

能否把 prime research state 表示成可恢復、可驗證、可多代理接力的 domain serialization object，而不只是一組數字或論文文字？

這是本系列對 AI 數學工程的直接測試。

七十九、系列第一階段的真正成果判準

SDRPC 不應因為語言變漂亮就判成功。

第一階段只有在以下至少一項被實證時，才有方法論增量：

更好的 probe selection；
更好的 counterexample generation；
更小 residual ambiguity；
更低 proof burden；
更清楚的 non-sufficiency theorem；
更可靠的可序列化研究狀態；
真正跨表示 invariant。

八十、若全部失敗，也有結論

若實驗結果顯示：

encoding 分析只是既有同構語言；
wheel 分析只是既有 sieve；
probe calculus 沒有比 feature engineering 更強；
quantifier descent 只是 induction / verification 重述；
serialization 只是研究工程管理；

則 SDRPC 應誠實定位為：

\boxed{ \text{統合性數學研究框架} }

而不是新的基礎證明理論。

這也是可接受結果。

八十一、若部分成功

若只有：

Probe Residual；
Counterexample-Guided Refinement；
Quantifier Residual；
Proof-State Serialization；

在實驗中顯著有用，

則可以只保留這些模組，而不必維持整套宏大理論。

SDRPC 本身也應接受：

\boxed{ \text{self-pruning}. }

八十二、系列收束

至此，七篇完成：

第 0 篇

總綱與問題重構。

第 1 篇

序列域本體。

第 2 篇

表示、商化與觀測。

第 3 篇

探針演算。

第 4 篇

全域量詞與量詞下沉。

第 5 篇

可序列化無限數學域。

第 6 篇

質數作為第一個驗證對象。

八十三、系列核心鏈

整個 SDRPC 第一階段可以壓縮成：

\boxed{ \text{Domain} \to \text{Representation} \to \text{Probe} \to \text{Residual} \to \text{Refinement} \to \text{Invariant} \to \text{Certificate} \to \text{Quantifier Residual} }

而可序列化層保存整條鏈的 state。

八十四、對 M6 的最終重新定位

早期：

6k\pm1

不是被推翻。

它被放回正確位置：

\boxed{ \text{M6} = \text{早期高效 quotient probe} }

而 M6 fixed point 則是：

\boxed{ \text{quotient-filtered divisibility fixed-point construction}. }

它的限制也因此清楚：

\boxed{ \text{它沒有消除 prime 的乘法／整除依賴。} }

八十五、最終問題

所以這次重新回到質數，不再先問：

質數到底藏著什麼神秘規律？

而先問：

\boxed{ \text{在什麼最小結構、最小 probe family、最小可序列化狀態下， primality 首次變得可完整識別與可證？} }

這是一個比：

6k\pm1

更底層，也更可被反駁的問題。

八十六、結論

本系列並未宣稱已解決質數問題。

真正完成的是：

\boxed{ \text{重新定義「我們要怎麼問質數問題」。} }

從：

\text{pattern search}

轉向：

\text{domain-relative structure analysis}.

從：

\text{看 residue}

轉向：

\text{分析 quotient probe}.

從：

\text{堆更多 features}

轉向：

\text{追蹤 contradictory fibers}.

從：

\text{大量有限驗證}

轉向：

\text{quantifier residual accounting}.

從：

\text{一次性計算}

轉向：

\text{serializable mathematical state}.

因此本系列下一步不再寫新理論篇。

下一步是：

\boxed{ \textbf{SDRPC-PRIME-001} }

即：

探針精化下的質數可識別性第一輪驗證

只有驗證結果，才決定 SDRPC 應該：

擴張；
修正；
收斂；
拆模組；
或直接淘汰部分命題。

附錄 A：第一輪實驗清單

[ ] Encoding Control
[ ] Subsequence / Domain Control
[ ] Wheel Refinement
[ ] Cross-Representation Validation
[ ] Contradictory Fiber Extraction
[ ] Counterexample-Guided Probe Refinement
[ ] Probe Dominance Detection
[ ] Hidden Oracle Detection
[ ] Probe Provenance Graph
[ ] TaskLoss Tracking
[ ] Quantifier Residual Tracking
[ ] Serializable Checkpoint Replay
[ ] Positive Controls
[ ] Negative Controls
[ ] Stop Conditions

附錄 B：第一輪最低輸出

SDRPC-PRIME-001/
├── preregistration.yaml
├── domain_signature.yaml
├── probe_registry.yaml
├── truth_channel.yaml
├── checkpoints/
├── contradictory_fibers/
├── counterexamples/
├── provenance/
├── metrics/
├── certificates/
├── quantifier_residual/
├── REPORT.md
└── RESULT_MANIFEST.json

附錄 C：第一階段結束標記

\boxed{ \text{SDRPC Theory Phase I: COMPLETE} }

後續正式切換到：

\boxed{ \text{Validation Phase I}. }