《序列域相對論與探針演算》第 3 篇

探針演算：類型、組合、精化、雙向約束與任務充分性

系列名： 序列域相對論與探針演算
英文： Sequence-Domain Relativity and Probe Calculus
縮寫： SDRPC
篇次： 03 / 06
作者： Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）
日期： 2026-09-22
版本： v0.1
文件性質： 理論篇／探針形式化篇

機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

前兩篇建立了序列域、結構依賴、表示、商化、modulus、fiber 與資訊損失等基礎。本篇進一步把「探針」本身提升為一個可形式化、可組合、可比較、可反向推理的數學對象。

本篇將 probe 定義為：

\boxed{ P: (\mathfrak S,\Gamma) \longrightarrow \mathcal Y }

其中：

$\mathfrak S$ ：被觀測的序列域；
$\Gamma$ ：上下文、尺度、參數、表示與資源限制；
$\mathcal Y$ ：觀測空間。

本篇區分六類核心探針：

Extractive Probe；
Derived Probe；
Comparative Probe；
Relational Probe；
Spectral Probe；
Bidirectional Probe。

並建立：

\boxed{ \mathcal P = (P_1,\ldots,P_k) }

作為探針族。對目標 predicate (Q)，若：

\mathcal P(x)=\mathcal P(y) \Rightarrow Q(x)=Q(y),

則稱：

\boxed{ \mathcal P \text{ is task-sufficient for }Q. }

本篇進一步定義：

Probe Composition；
Probe Join；
Probe Refinement；
Probe Equivalence；
Probe Dominance；
Probe Provenance；
Probe Independence；
Bidirectional Constraint Intersection；
Observable Exhaustion；
Residual Ambiguity。

核心觀點是：

數學探針的目的不是重建整個數學對象，而是以最低必要資訊成本，把與目標命題有關的不可區分性逐步消除。

因此，證明搜尋可以被重新描述成：

\boxed{ \text{find a task-sufficient probe family} }

而不是單純：

\text{find a visual or symbolic pattern}.

一、從「看數字」到「設計觀測器」

傳統 pattern search 常採取：

x_1,x_2,\ldots,x_n

然後尋找：

重複；
對稱；
週期；
差分；
比值；
residue；
頻率；
spectral peak。

問題是：

為什麼選這些量？

SDRPC 將這個問題顯式化：

\boxed{ \text{pattern search} \rightarrow \text{probe design}. }

也就是說，不只研究輸出，也研究產生輸出的觀測映射。

二、一般探針定義

定義 probe：

\boxed{ P: (\mathfrak S,\Gamma) \to \mathcal Y }

其中：

\Gamma = (\rho,\lambda,\theta,B,\ldots)

可以包含：

representation $\rho$ ；
scale $\lambda$ ；
threshold $\theta$ ；
budget (B)；
modulus；
window size；
precision；
sampling policy。

因此 probe 不一定只是：

[ P(x). ]

更完整可以寫：

P_{\Gamma}(x).

三、Probe 的四個基本屬性

對每個 probe 至少追蹤：

3.1 Domain

\operatorname{Dom}(P).

3.2 Codomain

\operatorname{Cod}(P).

3.3 Dependency

\operatorname{Dep}(P).

表示 probe 依賴哪些：

operations；
relations；
representations；
external parameters。

3.4 Loss

\operatorname{Loss}(P).

描述 probe 對原域造成的不可逆壓縮。

四、第一類：Extractive Probe

Extractive Probe 直接抽取已有結構中的某一部分。

例如：

P_{\mathrm{digit}}(n) = \text{第 }k\text{ 位 digit}.

P_{\mathrm{residue}}(n) = n\bmod m.

P_{\mathrm{index}}(x_n) = n.

特徵：

\boxed{ \text{read existing component} }

而不是重新推導新的量。

五、第二類：Derived Probe

Derived Probe 由原結構計算新量。

例如：

P_{\mathrm{gap}}(x_n) = x_{n+1}-x_n.

P_{\mathrm{ratio}}(x_n,x_{n+1}) = \frac{x_{n+1}}{x_n}.

P_{\mathrm{digit\ sum}}(n) = \sum_i d_i.

P_{\gcd}(a,b) = \gcd(a,b).

形式上：

P_{\mathrm{derived}} = f\circ E

其中 (E) 先抽取輸入，(f) 再推導特徵。

六、第三類：Comparative Probe

Comparative Probe 不關心單點絕對值，而比較兩個或多個對象。

例如：

P_{\Delta}(x,y) = d(x,y).

P_{\mathrm{order}}(x,y) = \mathbf 1[x<y].

P_{\mathrm{cross}} (\rho_1(x),\rho_2(x)) = d(\rho_1(x),\rho_2(x)).

這類 probe 很適合：

跨表示一致性；
精度階梯；
domain comparison；
invariant testing。

七、第四類：Relational Probe

Relational Probe 直接觀測結構關係。

例如：

P_{\mid}(a,b) = \mathbf 1[a\mid b].

P_{\mathrm{adj}}(u,v) = \mathbf 1[u\sim v].

P_{\mathrm{factor}}(n,d) = \mathbf 1[d\mid n].

這類 probe 常比 numeric feature 更接近 algebraic structure。

八、第五類：Spectral Probe

Spectral Probe 將局部或全域結構轉換到另一個 basis / frequency domain。

形式：

P_{\mathrm{spec}}(x) = \mathcal T(x),

例如：

Fourier transform；
wavelet；
eigen-spectrum；
generating function coefficient；
z-transform；
spectral graph feature。

Spectral Probe 的價值在於：

原空間不明顯的規律可能在轉換後集中。

但也必須防止 transformation-induced artifact。

九、第六類：Bidirectional Probe

Bidirectional Probe 不只：

x\to y,

還包含反向限制：

y\to \mathcal C(y),

其中：

\mathcal C(y) \subseteq X

是與觀測值相容的候選集合。

所以一個完整 bidirectional probe 可寫：

\boxed{ B=(P,C) }

其中：

P:X\to Y,

C:Y\to 2^X.

理想上：

x\in C(P(x)).

十、反向 Probe 不是逆函數

若 (P) 有損，則：

P^{-1}

不是單值函數。

所以 reverse probe 應寫成：

C(y) = P^{-1}(y).

即：

\boxed{ \text{reverse observation} = \text{constraint set}, }

不是：

\text{exact reconstruction}.

十一、Forward / Reverse Intersection

若有多個 forward probes：

P_1,\ldots,P_k

與 reverse constraints：

C_1,\ldots,C_m,

則候選集合：

\mathcal K = \bigcap_{i=1}^{k} P_i^{-1}(P_i(x)) \cap \bigcap_{j=1}^{m} C_j.

如果：

|\mathcal K|

持續縮小，表示正反向觀測正在共同壓縮不確定性。

十二、Probe Family

定義：

\mathcal P = \{P_i\}_{i\in I}.

有限 probe family：

\mathcal P_k = (P_1,\ldots,P_k)

可形成 joint probe：

\boxed{ J_{\mathcal P_k}(x) = (P_1(x),\ldots,P_k(x)). }

這將多個觀測合併成一個向量。

十三、Joint Fiber

定義：

\operatorname{Fiber} (J_{\mathcal P},y_1,\ldots,y_k) = \bigcap_{i=1}^{k} P_i^{-1}(y_i).

對特定 (x)：

[x]_{\mathcal P} = \bigcap_{i=1}^{k} P_i^{-1}(P_i(x)).

這就是：

\boxed{ \text{Residual Ambiguity} }

的核心。

十四、Residual Ambiguity

定義：

\boxed{ \mathcal A_{\mathcal P}(x) = [x]_{\mathcal P}. }

若：

|\mathcal A_{\mathcal P}(x)|=1,

則 probe family 對 (x) 完全辨識。

但多數證明任務不需要達到 singleton。

十五、Task Sufficiency

給定：

Q:X\to\mathcal L

其中 $\mathcal L$ 可以是：

({0,1})；
finite labels；
theorem status；
equivalence classes。

若：

J_{\mathcal P}(x) = J_{\mathcal P}(y) \Rightarrow Q(x)=Q(y),

則：

\boxed{ \mathcal P \text{ is task-sufficient for }Q. }

這是 SDRPC 的核心判定之一。

十六、完全辨識不是必要條件

完全辨識要求：

J_{\mathcal P}(x) = J_{\mathcal P}(y) \Rightarrow x=y.

Task Sufficiency 只要求：

Q(x)=Q(y).

因此：

\boxed{ \text{task sufficiency} \ll \text{full reconstruction}. }

這可能大幅降低證明所需信息。

十七、Prime Task 的例子

令：

Q_{\mathrm{prime}}(n) = \mathbf 1[n\text{ is prime}].

若 probe family $\mathcal P$ 滿足：

\mathcal P(a)=\mathcal P(b) \Rightarrow Q_{\mathrm{prime}}(a) = Q_{\mathrm{prime}}(b),

則 $\mathcal P$ 對 primality task sufficient。

單一：

P_6(n)=n\bmod6

顯然不充分。

十八、Probe Refinement

若：

\mathcal P_k \subseteq \mathcal P_{k+1},

則：

[x]_{\mathcal P_{k+1}} \subseteq [x]_{\mathcal P_k}.

因此加入 probe 不會增加 joint fiber。

這給出：

\boxed{ \text{monotone ambiguity reduction} }

在集合意義下成立。

十九、Probe Join

定義：

\mathcal P\vee\mathcal Q

為兩 probe family 的聯合集。

則：

[x]_{\mathcal P\vee\mathcal Q} = [x]_{\mathcal P} \cap [x]_{\mathcal Q}.

這是 probe algebra 最基本的 join operation。

二十、Probe Composition

若：

P:X\to Y, \quad Q:Y\to Z,

則：

Q\circ P:X\to Z.

composition 通常壓縮更多信息。

而 join：

[ (P,Q) ]

通常保留更多信息。

所以：

\boxed{ \text{composition} \neq \text{join}. }

這是非常重要的區分。

二十一、Probe Dominance

定義：

P\succeq Q

若存在函數 (f) 使：

Q=f\circ P.

表示 (P) 至少包含足以重建 (Q) 的觀測信息。

此時：

\boxed{ P\text{ dominates }Q. }

例如若：

m\mid M,

則：

P_M \succeq P_m.

二十二、Probe Equivalence

若：

P\succeq Q

且：

Q\succeq P,

則：

P\sim Q

在信息意義上等價。

注意這不要求：

P(x)=Q(x).

只要求彼此可由對方重建。

二十三、Task Equivalence of Probes

對目標 $Q_*$ ，即使兩 probes 信息量不同，也可能：

\operatorname{TaskLoss}(P,Q_*) = \operatorname{TaskLoss}(R,Q_*) =0.

則它們在該任務上 task-equivalent。

因此：

\boxed{ \text{global information equivalence} \neq \text{task equivalence}. }

二十四、Probe Minimality

若 $\mathcal P$ 對 (Q) task-sufficient，且移除任一 probe 後不再 sufficient：

\forall P_i\in\mathcal P,\quad \mathcal P\setminus\{P_i\}

皆不 sufficient，

則稱：

\boxed{ \mathcal P \text{ minimally task-sufficient}. }

這是後續尋找「最小證明結構」的重要概念。

二十五、Probe Redundancy

若：

P_i

可由其他 probes 重建：

P_i=f(P_1,\ldots,P_{i-1},P_{i+1},\ldots),

則 $P_i$ 對 joint information 是冗餘。

這不代表它工程上無用，但不能當獨立信息。

二十六、Probe Provenance

每個 probe 應記錄：

\operatorname{Prov}(P).

至少包含：

probe:
  id:
  type:
  source_domain:
  codomain:
  representation:
  dependencies:
  derived_from:
  operations_used:
  relations_used:
  parameters:
  lossy:
  invertible:

這能避免多個表面不同 probe 其實共享同一底層來源。

二十七、Probe Independence

完全統計獨立並不是唯一需要的 independence。

本系列區分至少三種：

27.1 Structural Independence

probes 不依賴同一組核心 operations / relations。

27.2 Computational Independence

使用不同算法／實作路徑。

27.3 Evidential Independence

失效模式不高度共因。

因此：

\boxed{ \text{different formulas} \neq \text{independent evidence}. }

二十八、Conditional Redundancy

兩 probes 在全域可能不同，但對某 task：

[ Q ]

其中一個可能完全冗餘。

可定義：

P_i \text{ redundant given } \mathcal P_{-i} \text{ for }Q.

這使 probe selection 變成 task-conditioned optimization。

二十九、Probe Cost

定義：

\operatorname{Cost}(P)

可包含：

time；
memory；
precision；
oracle calls；
symbolic complexity；
proof complexity；
external dependencies。

因此 probe optimization 不能只追求最大信息量。

三十、Probe Utility

可定義候選 utility：

U(P;Q) = \frac{ \Delta \operatorname{Ambiguity}(Q) }{ \operatorname{Cost}(P) }.

或：

U(P;Q) = \frac{ \Delta \operatorname{TaskLoss} }{ \operatorname{Cost}(P) }.

這為未來自動 probe selection 提供接口。

三十一、Extractive → Derived → Comparative 鏈

很多 probe 可以拆成鏈：

X \xrightarrow{E} F \xrightarrow{D} G \xrightarrow{C} Y.

例如：

n \to \text{digits} \to \text{digit sum} \to \text{compare with modulus}.

如果最後看到規律，要追蹤整條 provenance chain。

三十二、Relational Probe Graph

若：

P_R(a,b)

是 relational probe，

則可建立圖：

G_R=(V,E_R),

其中：

(a,b)\in E_R \iff P_R(a,b)=1.

例如 divisibility graph：

a\to b \iff a\mid b.

這時數學探針不再只輸出 scalar，而可以輸出結構。

三十三、Graph Probe

對：

G_R

可以進一步建立：

degree probe；
component probe；
path probe；
centrality probe；
spectral probe。

因此 probe 可以作用在 probe 產生的結構上。

這形成多層：

P_2(P_1(X)).

三十四、Spectral Probe 的限制

Spectral representation 往往有高度壓縮能力，但也容易產生：

basis artifact；
window artifact；
finite-size effect；
aliasing；
normalization artifact。

所以 spectral pattern 必須搭配：

\text{cross-basis validation}

或回原域驗證。

三十五、Bidirectional Probe 的形式

定義：

B=(F,R)

其中：

F:X\to Y

為 forward probe，

R:Y\to 2^X

為 reverse constraint map。

要求至少：

x\in R(F(x)).

若：

R(F(x)) = F^{-1}(F(x)),

則 reverse map 完整描述 fiber。

三十六、Approximate Reverse Probe

很多情況只能得到：

R(y) \supseteq F^{-1}(y).

即 reverse constraint 比真 fiber 更寬。

仍然有用，因為可與其他 constraints 交集：

R_1(y_1) \cap R_2(y_2) \cap \cdots.

三十七、Reverse Constraint Compression

定義：

\mathcal K_0=X,

每加入一個 reverse constraint：

\mathcal K_{i+1} = \mathcal K_i \cap R_i(y_i).

若：

|\mathcal K_{i+1}| < |\mathcal K_i|,

就得到候選壓縮。

這是反向探針的基本作用。

三十八、Forward + Reverse 共識

正向：

x \to (P_1(x),\ldots,P_k(x)).

反向：

(y_1,\ldots,y_k) \to \bigcap_i R_i(y_i).

若：

x \in \bigcap_i R_i(P_i(x))

且交集很小，表示 probe family 對 (x) 具有高辨識力。

三十九、Observable Exhaustion

本篇提出：

\boxed{ \text{Observable Exhaustion} }

不是指觀測「所有可能數學性質」。

而是對指定：

(Q,\mathcal H,B)

其中：

(Q)：目標任務；
$\mathcal H$ ：允許的 probe hypothesis class；
(B)：資源預算；

在此範圍內，已沒有可加入且能實質降低 TaskLoss 的 probe。

形式上，若對所有允許 probe (P)：

\Delta\operatorname{TaskLoss} (\mathcal P\vee P,Q) \approx0,

則稱目前 probe family 對該假設類達到 Observable Exhaustion。

四十、Observable Exhaustion 不等於完整真理

它只表示：

在目前允許的 probe class 與資源限制下，新增 probe 沒有再提供可測任務收益。

所以：

\boxed{ \text{Observable Exhaustion} \neq \text{Ontological Exhaustion}. }

四十一、Task Sufficiency 與 Observable Exhaustion 的關係

可能出現四種狀態：

A

TaskLoss = 0，且 Exhausted。

表示找到一組足夠 probe。

B

TaskLoss = 0，但未 Exhausted。

已能解任務，但可能還能簡化或提升證書。

C

TaskLoss > 0，但 Exhausted。

表示目前 probe class 本身不足。

D

TaskLoss > 0，且未 Exhausted。

還值得繼續搜尋 probes。

這是一個很實用的研究狀態分類。

四十二、Probe Search Space

定義：

\mathfrak P

為允許 probe 的搜尋空間。

可以按層級分：

\mathfrak P_{\mathrm{extract}} \subset \mathfrak P_{\mathrm{derived}} \subset \mathfrak P_{\mathrm{relational}} \subset \mathfrak P_{\mathrm{spectral}} \subset\cdots

如果某任務在低層 probe class 已 task-sufficient，就不必直接進高成本 probe。

四十三、Probe Escalation

因此可以設計：

\boxed{ \text{Probe Escalation Strategy} }

順序例如：

Extractive；
Derived；
Comparative；
Relational；
Spectral；
Bidirectional；
External formal certificate。

只在低層不足時才升級。

四十四、Prime Task 的 Probe Escalation

對 primality，可以先測：

n\bmod 2, \quad n\bmod 6, \quad n\bmod30.

再測：

small factor relation；
divisibility graph features；
sieve state；
certificate features；
algebraic / spectral transforms。

重點不是預設哪個最好，而是量化每層：

\Delta \operatorname{TaskLoss}.

四十五、Probe Collapse

有些 probe 看似不同，但可證：

P_2=f\circ P_1.

則 $P_2$ 沒有新增信息。

這稱：

\boxed{ \text{Probe Collapse}. }

在系列驗證中，若多個 probe 最後全部 collapse 到 divisibility enumeration，就不能宣稱新的質數機制。

四十六、Hidden Oracle Detection

若 probe 計算過程暗中調用了：

primality test；
factorization；
divisibility scan；
precomputed prime table；

則必須標記：

\boxed{ \text{oracle leakage}. }

否則容易把答案偷偷放回輸入。

四十七、Probe Purity

可定義：

\operatorname{Pure}_Q(P)

表示 probe 在計算時不直接調用目標 predicate (Q) 或等價 oracle。

例如研究 primality 時：

[ P ]

若內部呼叫 is_prime(n)，則對該研究不純。

四十八、Probe Novelty

一個 probe 要被視為真正新資訊來源，至少要檢查：

不與既有 probe 等價；
不被既有 probe dominate；
不直接調用 target oracle；
對 TaskLoss 有非零改善；
成本／信息比合理。

四十九、Probe Certificate

probe 本身也可以需要證書。

例如：

P(x)=y

是否可驗證？

可以輸出：

C_P(x,y)

使：

V_P(x,y,C_P)=\text{true}.

這對未來高精度數學探針與形式證明非常重要。

五十、Certified Probe

定義：

\boxed{ (P,C,V) }

為 certified probe。

它不只輸出觀測：

y=P(x),

還附：

[ C ]

與驗證器：

[ V. ]

這能把 probe 從 heuristic observation 提升到 evidence-bearing observation。

五十一、Probe Sequence

探針本身也可以形成序列：

P_1,P_2,\ldots

並定義：

\mathcal P_k = \{P_1,\ldots,P_k\}.

如果：

\operatorname{TaskLoss}(\mathcal P_k,Q) \to0,

則這是一個 task-convergent probe sequence。

五十二、Finite Sufficiency 與 Asymptotic Sufficiency

52.1 Finite Sufficiency

存在有限 (k)：

\operatorname{TaskLoss}(\mathcal P_k,Q)=0.

52.2 Asymptotic Sufficiency

只有：

\lim_{k\to\infty} \operatorname{TaskLoss}(\mathcal P_k,Q)=0.

但任何有限 (k) 都不為零。

兩者在證明能力上非常不同。

五十三、Prime 問題尤其要區分兩者

如果只能透過：

P_2,P_3,P_5,\ldots

無限枚舉所有 potential divisors，

那是 asymptotic / exhaustive structure。

若存在有限結構壓縮：

\mathcal P_*

能完整決定 primality，

則是 finite task sufficiency。

現代 primality algorithms 本身已說明「不必 trial divide all factors」；因此 SDRPC 的問題不是重新發明 primality test，而是分析其 probe/invariant 結構可否被進一步抽象。

五十四、Probe Family 作為證明界面

對命題：

[ Q(x), ]

可將 proof architecture 寫成：

x \xrightarrow{\mathcal P} z \xrightarrow{\Pi} Q(x).

其中：

\mathcal P

抽取 task-sufficient representation，

\Pi

只需在較小觀測空間 (Z) 上完成證明。

這可能是一種真正的 proof compression。

五十五、Proof Compression Ratio

可定義候選量：

\operatorname{PCR} = \frac{ \operatorname{Complexity}(\text{direct proof}) }{ \operatorname{Complexity}(\mathcal P) + \operatorname{Complexity}(\Pi) }.

若：

\operatorname{PCR}>1,

probe-based proof architecture 可能有壓縮價值。

這只是研究指標，不是普遍定理。

五十六、Probe Calculus 的基本運算表

運算	記號	意義
Composition	$Q\circ P$	連續轉換
Join	$P\vee Q$	同時保留兩者
Refinement	$\mathcal P_k\subseteq\mathcal P_{k+1}$	降低 joint fiber
Dominance	$P\succeq Q$	(P) 可重建 (Q)
Equivalence	$P\sim Q$	相互可重建
Reverse Constraint	(R(y))	從觀測回推候選
Certification	((P,C,V))	帶證書觀測

五十七、Prime 作為第一個 Probe Calculus 測試對象

對：

Q_{\mathrm{prime}}

我們將來不直接問：

哪個 pattern 最漂亮？

而問：

哪些 probe 對 primality 有 TaskLoss 改善？
哪些 probe 完全由既有 probe 導出？
哪些 probe 偷用了 divisibility/primality oracle？
哪些 probe 只是 modulus refinement？
哪些 probe 真正改變 candidate fiber？
是否存在 finite task-sufficient family？
若不存在於某 probe class，能否證明 insufficiency？

五十八、Probe Insufficiency Certificate

若能證明：

\exists x,y: J_{\mathcal P}(x)=J_{\mathcal P}(y)

但：

Q(x)\neq Q(y),

則得到：

\boxed{ \mathcal P \text{ is insufficient for }Q. }

((x,y)) 本身就是 insufficiency witness。

這比只說「效果不好」更強。

五十九、Counterexample-Guided Probe Refinement

從 insufficiency witness：

[ (x,y) ]

出發，尋找新 probe (P') 使：

P'(x)\neq P'(y).

然後：

\mathcal P' = \mathcal P\vee P'.

這形成：

\boxed{ \text{Counterexample-Guided Probe Refinement} }

簡寫可暫稱：

\text{CGPR}.

這將是未來自動探針搜尋的核心候選方法。

六十、CGPR 循環

完整循環：

\mathcal P_k

先測 Task Sufficiency。

若失敗，找：

x_k,y_k

滿足同 probe signature、不同 task label。

再找新 probe：

P_{k+1}

能分裂此 witness pair。

然後：

\mathcal P_{k+1} = \mathcal P_k\vee P_{k+1}.

直到：

task-sufficient；
observable exhausted；
cost budget exhausted；
證明 probe class 不足。

六十一、這和傳統機器學習不同

CGPR 看起來像 feature engineering / active learning，但其目標不同。

它不是最小化統計分類誤差，而是追求：

\boxed{ \text{logical task sufficiency} }

或：

\boxed{ \text{certified insufficiency}. }

也就是：

0\text{ remaining contradictory fibers}.

六十二、Probe Class Insufficiency

更強的結果是證明某整類 probes：

\mathfrak P_0

對 (Q) 永遠不可能 sufficient。

形式上：

\forall \mathcal P\subseteq_{\mathrm{fin}}\mathfrak P_0, \quad \exists x,y

使：

J_{\mathcal P}(x) = J_{\mathcal P}(y)

但：

Q(x)\neq Q(y).

這是很有價值的 negative theorem。

六十三、全域與局部 Probe

局部 probe：

P_{\mathrm{local}}(x,N_x)

只讀有限鄰域。

全域 probe：

P_{\mathrm{global}}(X)

依賴整個結構。

很多困難命題可能正卡在：

\boxed{ \text{finite local probes} }

不足以決定：

\boxed{ \text{global predicate}. }

這會直接接到下一篇「全域量詞與量詞下沉」。

六十四、Weak-Global Probe

介於局部與真正全域之間，可以有：

P_N

讀取越來越大的有限區域。

若：

N\to\infty

時收斂到某 global invariant，

則這是一類 weak-global / asymptotic probe。

這和很多數論計數函數、平均量、密度與 spectral statistics 有關。

六十五、Probe Horizon

定義：

[ h(P) ]

為 probe 需要觀測的 domain horizon。

例如：

digit probe：局部；
bounded divisibility scan：有限；
full factorization：依賴整個因數結構；
asymptotic density：趨向全域。

未來可以比較：

\operatorname{TaskLoss}

與：

[ h(P). ]

六十六、Task-Sufficient Horizon

可問：

\boxed{ \text{決定 }Q\text{ 所需的最小 observation horizon 是多少？} }

這對：

primality；
recurrence；
global sequence property；
graph property；

都可能有意義。

六十七、Probe Calculus 的核心限制

探針演算不能偷渡：

[ Q ]

本身。

因此 probe search 必須同時記錄：

\operatorname{Dep}(P)

與：

\operatorname{Dep}(Q).

若：

Q \in \operatorname{Dep}(P),

則 probe 對研究 (Q) 可能存在 target leakage。

六十八、最重要的研究問題

本篇最終把探針研究壓縮成四個問題：

1

\boxed{ \text{What does the probe preserve?} }

2

\boxed{ \text{What does the probe discard?} }

3

\boxed{ \text{Does the remaining information suffice for the task?} }

4

\boxed{ \text{Can the same task be solved with a cheaper / cleaner probe family?} }

六十九、本篇的形式防線

69.1 Different Output Is Not New Information

若新 probe 被舊 probe dominate，則不算新增結構信息。

69.2 More Probes Are Not Automatically Better

成本、冗餘與共因失效必須考慮。

69.3 Reverse Constraint Is Not Exact Reconstruction

反向 probe 通常只給候選集合。

69.4 Observable Exhaustion Is Not Ontological Exhaustion

只對允許 probe class 有意義。

69.5 Task Sufficiency Is Task-Relative

對一個 predicate sufficient，不代表能重建整個對象。

七十、核心命題

命題 A：Joint Fiber 原理

\boxed{ [x]_{\mathcal P} = \bigcap_{P_i\in\mathcal P} P_i^{-1}(P_i(x)). }

命題 B：Refinement 單調性

若：

\mathcal P\subseteq\mathcal Q,

則：

[x]_{\mathcal Q} \subseteq [x]_{\mathcal P}.

命題 C：Task Sufficiency

若：

J_{\mathcal P}(x) = J_{\mathcal P}(y) \Rightarrow Q(x)=Q(y),

則 $\mathcal P$ 足以決定 (Q)。

命題 D：Insufficiency Witness

若存在：

[ x,y ]

probe signature 相同但 (Q) 不同，則 $\mathcal P$ 不充分。

命題 E：Probe Dominance

若：

Q=f\circ P,

則：

P\succeq Q.

命題 F：Probe Search 可被 Counterexample Guided

每次 insufficiency witness 都可以作為下一輪 probe refinement 的目標。

七十一、結論

本篇完成了從「探針直覺」到「探針演算」的第一版形式化。

核心物件不再只是：

[ P(x). ]

而是：

\boxed{ P: (\mathfrak S,\Gamma) \to \mathcal Y }

以及 probe family：

\boxed{ \mathcal P = (P_1,\ldots,P_k). }

其真正研究對象是：

[x]_{\mathcal P},

也就是在目前觀測解析度下仍無法區分的 residual ambiguity。

因此，數學探針的核心任務可以重新表達成：

\boxed{ \text{逐步縮小 task-relevant ambiguity， 直到達到 Task Sufficiency， 或證明目前 probe class 永遠不足。} }

這直接把「數學探針」從 pattern visualization 提升成：

\boxed{ \text{可被用來組織證明搜尋的資訊結構。} }

下一篇將進一步處理本系列最關鍵、也最危險的命題之一：

\boxed{ \text{全域量詞能否下沉？} }

也就是：

$\forall$ 、 $\exists^\infty$ 、 $\forall\exists$ 這些看似要求跨越整個無限域的命題，何時能被改寫成 generator、transition、invariant 與有限 certificate？

這將是 SDRPC 是否具有真正證明價值，而不只是重新描述既有數學的第一個核心壓力測試。

附錄 A：Probe Type Summary

類型	核心作用
Extractive	直接讀取已有結構
Derived	推導新特徵
Comparative	比較多個對象
Relational	讀取關係結構
Spectral	轉換 basis / frequency
Bidirectional	forward observation + reverse constraints

附錄 B：Probe Metadata

probe:
  id:
  type:
  source_domain:
  codomain:
  context:
  dependencies:
  representation:
  derived_from:
  parameters:
  lossy:
  invertible:
  target_predicate:
  cost:
  certificate:

附錄 C：下一篇

第 4 篇：全域量詞、弱全域量詞與量詞下沉

下一篇將研究：

$\forall n$ ；
$\exists n$ ；
$\forall n\exists m$ ；
$\exists^\infty n$ ；
finite verification；
induction；
invariants；
transition systems；
weak-global probes；
asymptotic probes；
certificate propagation；
quantifier descent；
quantifier residual。

核心問題：

\boxed{ \text{什麼時候「證所有」可以轉化成「證生成規則永不離開某不變類」？} }