SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 12

Adaptive Proof Architecture

日期： 2026-09-23
Domain： odd 3 ≤ n ≤ 2,000,000

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 從 Static State 轉成 Conditional Proof Policy

Round 11 的 architecture 還可以被看成固定 probe family。

Round 12 把它改成真正的序列決策：

atom_1
  fail -> emit composite witness -> stop
  pass -> atom_2
            fail -> witness -> stop
            pass -> atom_3
                       ...
all pass -> positive certificate / factor fallback

因此 proof object 不再只是 bit vector，而是一條帶 short-circuit semantics 的 operator policy。

2. Search Scope

本輪 atom grammar：

D3, D5, D7, S2, S3, S5, S7

其中 D* 是 cheap divisibility routing atoms，S* 是 strong probable-prime relational atoms。

完整枚舉所有 depth ≤ 3 的 ordered policies，另加少量有意義的 depth-4 escalation policies。

總評估 policy 數：266。 Pareto non-dominated：51。

3. Zero-Fallback Policies

這些 policy 在本有限域沒有 composite 穿過全部 registered atoms，因此 composite side 不需要 factor fallback。

最省平均 probe-generation 的 zero-fallback policy 是：

S3 → S2 → S7

平均只執行 1.298 個 atoms，雖然最大深度是 3。

這就是 adaptive policy 與固定 vector 最大的差別：大部分輸入根本走不到最後一層。

4. 為什麼 S3 放第一層反而很強

S3 atom 內含 base-divisibility precheck。

所以大量 3 | n 的 composites 可以在 very cheap precheck 直接退出；剩餘樣本才支付 modular-exponentiation burden。

因此 S3 → S2 → S5/7 在本 cost model 下比 S2 → S3 → S5 更省平均 probe cost。

這不是新的 primality theorem，而是 proof-policy ordering optimization。

5. Order Effect

同一 atom set 換順序，結果：

• D3+D5+D7：best D3 → D5 → D7 = 2.200; worst D7 → D5 → D3 = 2.543; worst/best = 1.156×
• S2+S3+S5：best S3 → S2 → S5 = 26.967; worst S2 → S3 → S5 = 35.912; worst/best = 1.332×
• D3+S2+S3：best S3 → S2 → D3 = 23.048; worst S2 → D3 → S3 = 31.993; worst/best = 1.388×

最明顯的 registered example：

S2 + S3 + S5

最佳與最差排列的平均 probe-generation burden 相差約 1.332×。

所以：

{A,B,C} as a set != A→B→C as a proof policy

composition order 本身具有 proof semantics。

6. Adaptive vs Static

• S2 → S3 → S5：adaptive=35.912, static=69.035, saving=47.981%, fallback=0
• D3 → D5 → D7：adaptive=2.200, static=3.000, saving=26.667%, fallback=308213
• D3 → S2 → S3：adaptive=23.565, static=47.616, saving=50.510%, fallback=3

例如：

S2 → S3 → S5

相對於三個 atoms 對所有 n 全部執行，adaptive short-circuit 約省：

47.981% 的 probe-generation proxy。

而 exactness/certificate policy 沒有因此改變。

7. Cheap Filters 的位置被重新校準

D3/D5/D7 單獨當 prime state 很弱。

但放在 adaptive proof tree 裡，它們可以成為：

cheap routing operators

也就是先把 obvious composite branch 剪掉，再把昂貴 MR operator 留給較小 survivor set。

這比把 6k±1 / wheel 類結構硬解讀成 prime ontology 更合理。

8. Pareto Preview

• S3 → S2 → S7 | depth=3, avg probe=26.967, repair=0.000, fallback=0
• S3 → S7 → S2 | depth=3, avg probe=26.967, repair=0.000, fallback=0
• S3 → S5 → S2 | depth=3, avg probe=26.967, repair=0.000, fallback=0
• S5 → S2 → S3 | depth=3, avg probe=30.545, repair=0.000, fallback=0
• S5 → S3 → S2 | depth=3, avg probe=30.545, repair=0.000, fallback=0
• S5 → S7 → S2 | depth=3, avg probe=30.545, repair=0.000, fallback=0
• S2 → S7 → S3 | depth=3, avg probe=35.912, repair=0.000, fallback=0
• S2 → S5 → S3 | depth=3, avg probe=35.912, repair=0.000, fallback=0
• D3 → S5 → S2 | depth=3, avg probe=19.987, repair=0.000, fallback=1
• D3 → S2 → S5 | depth=3, avg probe=23.565, repair=0.000, fallback=1
• S5 → S2 | depth=2, avg probe=26.477, repair=0.000, fallback=1
• S5 → D7 → S2 | depth=3, avg probe=26.626, repair=0.000, fallback=1
• S5 → D3 → S2 | depth=3, avg probe=26.626, repair=0.000, fallback=1
• S2 → S5 | depth=2, avg probe=31.844, repair=0.000, fallback=1
• D3 → S2 → S7 | depth=3, avg probe=23.565, repair=0.000, fallback=1
• S2 → S7 | depth=2, avg probe=31.844, repair=0.000, fallback=1
• S3 → S5 → S7 | depth=3, avg probe=26.979, repair=0.000, fallback=1
• S3 → S7 → S5 | depth=3, avg probe=26.979, repair=0.000, fallback=1
• S5 → S7 → S3 | depth=3, avg probe=30.557, repair=0.000, fallback=1
• S5 → S3 → S7 | depth=3, avg probe=30.557, repair=0.000, fallback=1

frontier 保留的是不同 proof policies 的不可全面支配 trade-off，不存在一個脫離 burden axes 的單一『最佳順序』。

9. Policy-EMTS*

前面我們得到：

EMTS* = Pareto-minimal exact certificate-carrying architectures

這輪應再升級：

Policy-EMTS*(Q; D, G, C)
  = Pareto-minimal adaptive proof policies
    under domain D, grammar G, certificate policy C

最小物件不再必須是一個 state；它可以是一棵 decision/proof tree。

10. 這直接接回算子本體論

現在不只有『哪個算子存在』，還有：

which operator is applied first?
under which branch condition?
which operator is skipped?
where is the certificate handoff?

所以 proof ontology 開始具有：

operator + composition order + branch semantics

而不只是 operator set。

11. 可序列化物件再擴張

現在應序列化：

• policy graph；
• branch predicate；
• atom provenance；
• stop reason；
• witness；
• fallback reason；
• certificate handoff；
• verifier。

這已經很接近一個 replayable mathematical runtime。

12. 下一輪：讓 Policy 自己長出來

Round 13 最自然的是：

Counterexample-Guided Adaptive Policy Synthesis

流程：

1. 從 cheapest policy 開始；
2. 找 state-pass composite；
3. 在該 branch 搜尋最便宜、能分裂 witness 的新 atom；
4. 只把 atom 插進需要的 branch；
5. 重新計算 burden；
6. 重複直到 zero-repair 或 Pareto 停止。

這會把之前的 CGPR 真正轉成 proof-policy synthesis algorithm。

13. Round 12 結論

proof state can be a policy, not merely a vector;
probe ordering changes computational burden;
cheap insufficient probes can be valuable routing operators;
adaptive short-circuiting can materially reduce average burden;
the natural optimization object is an adaptive proof tree.

Round 12: COMPLETE
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