SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 06

Operator-Relative Prime Core + Morphism Classification

日期： 2026-09-23
Finite domain： n ≤ 120,000

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 本輪核心

Round 05 抽出 prime 的 canonical operator-relative core：

multiplicative irreducibility
relative to:
  multiplication + unit + factorization relation

Round 06 直接分類：不同 morphism 到底保不保這個 core。

2. Morphism Catalog

Morphism	Class	Prime-core status	Counterexample / note
ISO_ODD_CODE	isomorphism_with_transported_operation	preserved	Irreducibility preservation follows from isomorphism; finite check is only a sanity control.
EMBED_Odd	submonoid_embedding	preserved_on_tested_elements	divisor-closed on checked range
EMBED_C6	submonoid_embedding	preserved_on_tested_elements	divisor-closed on checked range
EMBED_C30	submonoid_embedding	preserved_on_tested_elements	divisor-closed on checked range
EMBED_C210	submonoid_embedding	preserved_on_tested_elements	divisor-closed on checked range
EMBED_R1mod6	submonoid_embedding	not_preserved	{"n": 25, "prime_in_Nplus": false, "irreducible_in_submonoid": true, "factorization": {"5": 2}}
EMBED_Squares	submonoid_embedding	not_preserved	{"n": 4, "prime_in_Nplus": false, "irreducible_in_submonoid": true, "factorization": {"2": 2}}
QUOT_MOD_6	quotient_homomorphism	not_well_defined_on_quotient_classes	{"residue": 2, "prime": 2, "composite": 8}
QUOT_MOD_30	quotient_homomorphism	not_well_defined_on_quotient_classes	{"residue": 2, "prime": 2, "composite": 32}
QUOT_MOD_210	quotient_homomorphism	not_well_defined_on_quotient_classes	{"residue": 2, "prime": 2, "composite": 212}
HOM_V2	noninjective_monoid_homomorphism	not_preserved	{"v2": 1, "prime": 2, "composite": 6}
HOM_BIG_OMEGA	noninjective_monoid_homomorphism	task_sufficient_but_factorization_dependent	For n>1, Ω(n)=1 iff n is prime; however Ω computation encodes full factorization multiplicity.
LOSSY_RANKMOD100_C210	lossy_projection	not_preserved	{"rank_mod_100": 1, "prime_value": 11, "composite_value": 2197}

3. Class A：Isomorphism

ISO_ODD_CODE 把 f(n)=2n+1 當 carrier encoding，並把 multiplication 一起 transported。

這種情況 prime core 完整保存。

SDRPC 對它的定位不是新 theorem，而是 canonical preservation rule：

structure-preserving isomorphism -> irreducibility preserved

4. Class B：Submonoid Embedding

Odd / C6 / C30 / C210 在本輪都沒有 prime-vs-domain-irreducible disagreement。

共同特徵不是『看起來像質數候選』，而是：

multiplicative closure + divisor closure + same unit

這三個條件使 ambient factorization 不會因 domain restriction 而被刪掉。

相反，R1mod6 與 Squares 都不是 divisor-closed，因此會把 ambient composites 變成 domain irreducibles。

這一類差異已經不是 representation artifact，而是 operator-domain semantics 的真差異。

5. Class C：Quotient Homomorphism

mod 6 / 30 / 210 都是 many-to-one quotient maps。

它們可以保留 residue necessary conditions，但 primality 不能下降成 residue-class predicate：同一 residue fiber 中可同時有 prime 與 composite。

所以：

quotient may preserve constraints
without preserving prime ontology

6. Class D：Noninjective Homomorphism

v2(n) 滿足：

v2(ab)=v2(a)+v2(b)

是真正的 monoid homomorphism，但它會把大量 prime/composite 壓到同一值，所以不保 primality。

這證明：

homomorphism alone is too weak for prime-core preservation

需要更強的 faithful / isomorphic 條件，或至少 task-specific fiber condition。

7. 特別控制：Ω(n)

Ω(n)（含重數的質因子個數）同樣滿足加法型 homomorphism：

Ω(ab)=Ω(a)+Ω(b)

而對 n>1：

Ω(n)=1 iff n is prime

所以它雖然高度 noninjective，卻對 primality 是 task-sufficient。

但這不是新 primality compression：計算 Ω 一般需要取得完整 factorization multiplicity。

它非常適合作為 SDRPC 的控制案例：

task sufficiency != computational novelty

8. Class E：Lossy Projection

把 C210 survivor 映射成 rank mod 100，完全不保 original multiplication。

prime/composite 立即混在同一 projected fiber。

因此 lossy coordinate projection 只能作 observation，不能自動承載 prime core。

9. 目前的 Morphism Preservation Ladder

本輪可以先整理成：

Isomorphism / faithful transport
    -> preserves prime core

Divisor-closed submonoid embedding
    -> preserves prime core on retained elements

General submonoid embedding
    -> may create new irreducibles

Quotient / noninjective homomorphism
    -> generally does not preserve prime core
       unless a task-specific fiber theorem is available

Lossy non-homomorphic projection
    -> no preservation guarantee

10. 算子本體論與 SDRPC 的合流

到 Round 06，SDRPC 的 structural relativity 已經可以重寫成：

Carrier symbols are secondary.
Operator/relational structure determines the predicate semantics.
Morphisms determine which predicates survive transport.
Probes observe only selected images of that structure.

也就是：

Domain -> Operator Ontology -> Morphism -> Invariant -> Probe

而不是先從 digit / residue pattern 開始。

11. 這對 prime 問題最大的修正

現在可以很明確地分三層：

Ontology layer

multiplication + unit + factorization relation。

Morphism layer

哪些 domain transforms 保留這些結構？

Probe layer

在不完整保留 ontology 時，哪些 images 仍保留 task-relevant information？

因此 mod 6 的位置被徹底固定：它屬於 Probe / quotient layer，不是 Ontology layer。

12. Round 06 的 theorem-candidate / control 結果

本輪整理出五條：

isomorphism preservation；
divisor-closed embedding preservation；
non-divisor-closed embedding may create irreducibles；
quotient/homomorphic image need not preserve prime core；
noninjective map can still be task-sufficient if its fibers respect the task label。

其中第 1 條是標準代數事實；其餘在 SDRPC 中的價值主要是分類與 proof-engineering，不應冒充全新代數定理。

13. 下一輪

Round 07 應該開始真正碰『問題的問題』：

Prime Ontology Compression vs Probe Compression

把所有目前方法分成：

ontology-preserving compression；
task-preserving compression；
quotient necessary-condition compression；
computationally expensive exact compression；

然後比較 proof burden。

核心問題會是：

有沒有比完整 factor structure 更小、又比 modulus/wheel 更強的 canonical task state？

這才真正開始逼近 MinDep(Q_prime) 的有意義版本。

14. Round 06 結論

prime core preservation is primarily a morphism problem over operator structure;
probe patterns are downstream observations of that structure.

這一輪把『算子本體論 × 序列域相對論 × 探針演算』第一次正式合成同一張 preservation map。

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