ESC-EXP-17：Approximate Contextual Minimization

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-17
版本： v0.1
日期： 2026-09-23
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-16
狀態： Error-Bounded Contextual Compression Experiment / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-16 已解出 exact contextual minimization：

\boxed{ \text{在不丟失任何 admissible future epistemic behavior 的前提下， 求最大的安全 quotient。} }

exact case使用：

\operatorname{Eff}_1 = \operatorname{Eff}_2.

但真實 AI、world model、agent memory 與 approximate representation 很少要求精確相等。

更自然的是：

\boxed{ d( \operatorname{Eff}_1, \operatorname{Eff}_2 ) \le \varepsilon. }

本輪因此建立：

\boxed{ \varepsilon\text{-Contextual Minimization}. }

但一進入：

\varepsilon>0,

exact quotient 的一個重要性質立即消失：

距離不超過 $\varepsilon$ 通常不是等價關係。

因此 approximate compression 一般不再是：

S/\sim

形式的唯一 quotient，

而是：

\boxed{ \text{在 error budget 下尋找 minimum-cardinality safe partition。} }

本輪對 8 個 mechanism states 的全部：

\boxed{ B_8=4140 }

個 set partitions 做完整枚舉。

最重要的 finite 結果：

approximate safe compression 隨 $\varepsilon$ 單調增加；
future horizon 增加時 safe compression 單調下降；
$\varepsilon$ -closeness 確實出現非傳遞反例；
approximate optimum 可以不唯一；
skewed prior 下，小到約 $0.00597$ bit 的 current error，在 future composition 下可放大到約 $0.86877$ bit；
最大 finite amplification ratio 約： $\boxed{ 145.48\times. }$
uniform synergy regime 中有： $\boxed{ 15 }$ 組 mechanism pairs 具有： $d_0=0$ 但： $d_{\mathrm{future}}>0.$

所以：

\boxed{ \text{small current approximation error} \not\Rightarrow \text{small future compositional error}. }

1. Runtime

EXP-17 新增 regression：

5 passed

測試內容：

8 mechanisms 的 set partition 總數為： $4140;$
minimum class count 對 $\varepsilon$ 單調不增；
required class count 對 future horizon 單調不減；
uniform prior 存在 zero-now / positive-future activation；
skewed approximate minimization 存在多個 optimal partitions。

2. Approximate Contextual Distance

對 mechanism states：

s,t,

target family：

\mathcal J,

future action alphabet：

\Sigma,

future horizon：

h,

定義 contexts：

\mathcal C_{\Sigma,h} = \{ c: |c|\le h \}.

在目前 monotone-union mechanism 中，context 可以用 primitive-effect subset 表示。

定義：

\boxed{ d_h(s,t) = \max_{ c\in\mathcal C_{\Sigma,h} } \left\| \operatorname{Eff}(s\vee c) - \operatorname{Eff}(t\vee c) \right\|_\infty. }

這是把所有允許 future contexts 下的最壞 epistemic difference 聚合成一個 contextual pseudometric。

3. Horizon Monotonicity

因為：

\mathcal C_{\Sigma,h} \subseteq \mathcal C_{\Sigma,h+1},

所以：

\boxed{ d_{h+1}(s,t) \ge d_h(s,t). }

也就是：

看得越遠，兩個 mechanisms 只能變得更容易區分，不會更難區分。

這是 approximate contextual compression 的基本 monotonicity。

4. $\varepsilon$ -Safe Block

對 mechanism block：

B\subseteq S,

定義 contextual diameter：

\boxed{ \operatorname{diam}_{h}(B) = \max_{s,t\in B} d_h(s,t). }

若：

\boxed{ \operatorname{diam}_h(B) \le \varepsilon, }

則稱：

B

為：

(\varepsilon,h)\text{-safe block}.

5. Approximate Safe Partition

partition：

\mathcal P = \{B_1,\dots,B_k\}

合法若：

\forall B_i\in\mathcal P, \quad \operatorname{diam}_h(B_i) \le \varepsilon.

最佳化：

\boxed{ k^\ast(\varepsilon,h) = \min_{\mathcal P} |\mathcal P| }

subject to上述 diameter constraint。

定義 compression：

\boxed{ C^\ast(\varepsilon,h) = 1- \frac{k^\ast(\varepsilon,h)}{|S|}. }

6. Exact Case 是 Approximate Case 的特例

若：

\varepsilon=0,

則同 block 中任意兩個 states 必須：

d_h(s,t)=0.

zero-distance relation 是 equivalence relation。

因此 exact case重新得到：

\boxed{ \text{唯一的 coarsest behavioral quotient}. }

但：

\varepsilon>0

後一般不再成立。

7. Pairwise $\varepsilon$ -Closeness 不傳遞

skewed prior、full future horizon 下，取：

\boxed{ \varepsilon = 0.868767195327. }

找到反例：

x=\varnothing,

y=T,

z=TG.

距離：

d(x,y) \approx 0.868767 \le \varepsilon,

d(y,z) \approx 0.811278 \le \varepsilon,

但：

\boxed{ d(x,z) \approx 0.968520 > \varepsilon. }

因此：

x\sim_\varepsilon y,

y\sim_\varepsilon z,

但：

x\not\sim_\varepsilon z.

所以：

\boxed{ \sim_\varepsilon \text{ 一般不是 equivalence relation}. }

8. Approximate Compression 不是普通 Quotient

因為 threshold relation 不傳遞，

不能直接寫：

S/\sim_\varepsilon.

真正需要的是：

\boxed{ \text{partition optimization}. }

等價地，可以建立 compatibility graph：

G_\varepsilon,

其中：

(s,t)\in E \iff d_h(s,t)\le\varepsilon.

每個合法 compression block 必須是：

G_\varepsilon

中的 clique。

因此 minimum-class approximate compression 是：

\boxed{ \text{minimum clique cover} }

問題，

亦等價於 complement graph 的 coloring problem。

所以 finite approximate minimization 的計算複雜度已經和 exact partition refinement 明顯不同。

9. 為什麼本輪可以完整枚舉？

mechanism states只有：

|S|=8.

set partition總數：

\boxed{ B_8=4140. }

因此本輪直接完整枚舉所有 partitions，

而不是使用 heuristic clustering。

這保證每一個報告的：

k^\ast(\varepsilon,h)

都是 exact finite optimum。

10. Uniform Prior

uniform prior 保留 EXP-15 最乾淨的 pure synergy。

full future horizon 的 contextual distances 只產生兩級：

0, \quad 1.

所以：

\varepsilon=0

時：

k^\ast=8,

C^\ast=0.

一旦：

\varepsilon=1,

全部 mechanisms 都可以放進同一 block：

k^\ast=1,

\boxed{ C^\ast=87.5\%. }

uniform prior 因此不是 graded approximation 的好例子，但非常適合研究 latent activation。

11. Uniform Zero-Now Activation

本輪找到：

\boxed{ 15 }

組 pairs：

(s,t)

滿足：

d_0(s,t)=0

但：

d_3(s,t)>0.

因此它們：

現在完全無法區分，但 future composition 可以把差異放大成可觀察 effect。

這是 EXP-15：

\text{current zero gain} \neq \text{future zero capability}

的 approximate-error 版本。

12. Infinite Amplification 的自然情況

若：

d_0=0,

而：

d_h>0,

則普通 ratio：

\frac{d_h}{d_0}

沒有有限值。

因此本輪不把它硬寫成數值。

而標記成：

\boxed{ \text{latent activation}. }

這比宣稱「無限倍」更精確。

13. Skewed Prior

為了研究 graded error budget，本輪加入 nonuniform prior。

它對：

$T$ ；
$D$ ；
$G$ ；

設定不同 base rates，

並對：

T=D

加入 mild correlation。

因此 reveal 單一 primitive 後，

對 XOR target也可能產生部分資訊，

不再只有：

0/1

gain。

14. Skewed $\varepsilon$ –Compression Curve

full contextual horizon 下：

$\varepsilon$	$k^\ast$	compression	optimal partitions
0	8	0%	1
0.811278	4	50%	1
0.868767	4	50%	16
0.922142	2	75%	1
0.928114	2	75%	4
0.968520	2	75%	16
0.980864	2	75%	64
0.982256	1	87.5%	1

這是本系列第一條真正 graded：

\boxed{ \text{error budget} \longrightarrow \text{safe compression ratio} }

曲線。

15. Compression Phase Transitions

曲線不是平滑的。

class count：

8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1.

因此 approximate abstraction 具有：

\boxed{ \text{discrete compression phase transitions}. }

增加很小的 error budget，

可能完全不改 optimum class count；

跨過某些 critical distance 後，

class count會突然下降。

16. Critical Error Thresholds

在本 skewed finite domain：

第一個 compression threshold：

\boxed{ \varepsilon_1 \approx 0.811278. }

從：

8 \rightarrow4.

第二個主要 threshold：

\boxed{ \varepsilon_2 \approx 0.922142. }

從：

4 \rightarrow2.

最後：

\boxed{ \varepsilon_3 \approx 0.982256. }

從：

2 \rightarrow1.

17. Approximate Optimum 可以不唯一

exact：

\varepsilon=0

只有：

1

個 optimal partition。

但 approximate regime 中：

\varepsilon \approx 0.868767

有：

\boxed{ 16 }

個不同 4-class optimal partitions。

\varepsilon \approx 0.928114

有：

4

個 2-class optima。

\varepsilon \approx 0.968520

有：

16.

而：

\varepsilon \approx 0.980864

甚至有：

\boxed{ 64 }

個不同的 2-class optimal partitions。

18. Approximate Quotient 的 Canonicality Gap

因此可以定義：

\boxed{ N_{\mathrm{opt}}(\varepsilon,h) }

為 minimum-class safe partitions 的數量。

若：

N_{\mathrm{opt}}=1,

approximate abstraction具有唯一 optimum。

若：

N_{\mathrm{opt}}>1,

則：

\boxed{ \text{class count 唯一， grouping structure 不唯一}. }

這是 exact quotient 完全沒有的問題。

19. Approximate Abstraction 需要 Secondary Criterion

當：

N_{\mathrm{opt}}>1,

只指定：

(\varepsilon,h)

不足以決定唯一 abstraction。

還需要 secondary criterion，例如：

nestedness；
stability；
provenance preservation；
minimal representation churn；
weighted semantic preference；
canonical tie-breaking。

所以：

\boxed{ \text{approximate minimization} = \text{compression optimization} + \text{canonicalization policy}. }

20. Future Horizon 對 Approximate Compression 的影響

選：

\boxed{ \varepsilon = 0.868767195327. }

這個 threshold 同時具有：

非傳遞反例；
horizon-sensitive class count；
multiple optima。

skewed prior：

Horizon 0

k^\ast=2,

compression：

\boxed{ 75\%. }

optimal partitions：

2.

Horizon 1

k^\ast=4,

compression：

\boxed{ 50\%. }

optimal partitions：

16.

Horizon 2

仍：

k^\ast=4.

Horizon 3

仍：

k^\ast=4.

所以：

\boxed{ \text{只要求再看一步未來， safe compression 就從 }75\%\text{ 降到 }50\%. }

21. Approximate Future-Obligation Price

對固定：

\varepsilon,

可定義：

\boxed{ P_{\mathrm{future}}^\varepsilon = C^\ast(\varepsilon,0) - C^\ast(\varepsilon,h). }

在上述例子：

\boxed{ P_{\mathrm{future}}^\varepsilon = 0.75-0.50 = 0.25. }

也就是一層 future compositional guarantee 要付出：

\boxed{ 25\text{ percentage points} }

的 compression budget。

22. Error Amplification

定義：

\boxed{ A_h(s,t) = \frac{ d_h(s,t) }{ d_0(s,t) } }

當：

d_0>0.

若：

d_0=0<d_h,

改記為 latent activation。

23. Skewed 最大有限 Amplification

最強 finite pair：

s=\varnothing,

t=T.

current difference：

d_0 \approx 0.00597183.

full contextual difference：

d_3 \approx 0.86876720.

因此：

\boxed{ A_3 \approx 145.48. }

也就是：

現在只有千分位到百分位等級的小 effect difference，未來 composition 後可以被放大兩個數量級以上。

24. 另一個對稱 Amplification

G

與：

TG

同樣：

d_0 \approx 0.00597183,

而：

d_3 \approx 0.86876720.

所以同樣：

A_3 \approx145.48.

這不是單一 pair 偶然。

25. 為什麼會放大？

原因仍是：

\boxed{ \text{synergy activation}. }

current output只看到：

\operatorname{Eff}(s),

而 future context 可以補齊 latent dependency set。

一旦 interaction term 被啟動，

原本很小的 marginal difference可能變成接近完整 target entropy 的差異。

26. Current Error 不是 Future Error Bound

因此不能只用：

d_0(s,t)\le\varepsilon

就宣稱：

這兩個 representations 可以安全合併。

真正需要的是：

\boxed{ d_h(s,t)\le\varepsilon }

或更強：

\boxed{ d_\infty(s,t)\le\varepsilon. }

這正是 approximate contextual criterion。

27. Horizon-Bounded Approximation

如果 runtime只承諾：

h

步 future composition，

則：

d_h

就足夠。

不需要為永遠不會發生的 contexts 支付 representation cost。

所以：

\boxed{ \text{approximate safety} }

仍然應該是 obligation-conditioned。

28. Error Budget × Horizon Geometry

本輪現在得到一個二維 compression surface：

\boxed{ C^\ast(\varepsilon,h). }

其基本單調性：

\boxed{ \varepsilon_1\le\varepsilon_2 \Rightarrow C^\ast(\varepsilon_1,h) \le C^\ast(\varepsilon_2,h), }

以及：

\boxed{ h_1\le h_2 \Rightarrow C^\ast(\varepsilon,h_1) \ge C^\ast(\varepsilon,h_2). }

所以：

放寬 error budget → 可以壓更多；
拉長 future guarantee → 必須保留更多。

29. Exact ESC 是 Surface 的一條邊

當：

\varepsilon=0,

C^\ast(0,h)

就退回 EXP-16 的 exact contextual compression。

因此：

\boxed{ \text{Exact Contextual Minimization} }

不是另一套理論，

而是 approximate compression surface 的：

\boxed{ \varepsilon=0 }

boundary。

30. Approximate CER

ESC 最早的 CER 要求：

\Pi(x_1)=\Pi(x_2) \Rightarrow x_1=x_2.

現在可定義 approximate behavioral version：

\boxed{ q(s_1)=q(s_2) \Rightarrow d_h(s_1,s_2)\le\varepsilon. }

即 abstraction fiber 的 contextual diameter受：

\varepsilon

控制。

這可以視為：

\boxed{ \varepsilon\text{-Contextual Recoverability}. }

31. Approximate Quotient 不應濫用「等價類」

因為：

d\le\varepsilon

不傳遞，

所以稱為：

\boxed{ \text{safe block} }

比：

\text{equivalence class}

更準確。

只有：

\varepsilon=0

或 distance具有特殊 ultrametric / transitivity property 時，

才自然回到 quotient language。

32. Canonicality 成為新問題

exact minimization：

\boxed{ \text{coarsest quotient unique}. }

approximate minimization：

\boxed{ \text{minimum class count may unique， optimal partition may non-unique}. }

所以 approximate representation system必須多回答一個問題：

若有 64 種一樣小、都符合 error budget 的 abstraction，選哪一種？

這是 EXP-17 新增的結構問題。

33. Compression Stability

可以定義 abstraction：

\mathcal P^\ast(\varepsilon,h)

對：

$\varepsilon$ perturbation；
prior shift；
horizon change；

的穩定性。

一個 class count 很好、但 grouping structure稍微改參數就完全重排的 abstraction，

可能不適合真實 runtime。

因此：

\boxed{ \text{minimum size} \neq \text{maximum operational quality}. }

34. 對 Agent Memory Compression 的直接意義

假設兩個 skill states現在只有：

0.006

bit effect difference。

current-only compressor 可能幾乎必然把它們合併。

但若未來 tool composition 可能使：

0.006 \rightarrow0.869,

則這個 merge 會毀掉大量 future capability。

所以 agent compression需要的不是：

\boxed{ \text{current embedding similarity} }

而更接近：

\boxed{ \text{future contextual distortion}. }

35. 對模型量化／Representation Compression 的意義

同理，

若某個 latent channel現在只有極小 observable effect，

不能只因：

\Delta_{\mathrm{now}} \ll1

就刪掉。

需要先檢查：

\boxed{ \sup_c \Delta_{\mathrm{future}}(c). }

尤其含有：

gating；
routing；
multiplicative interaction；
parity-like coupling；
rare-condition activation；

的 representation。

36. Synergy-Sensitive Compression

因此可以提出：

\boxed{ \text{Synergy-Sensitive Compression Principle} }

任何 approximate merge：

s_1\sim_\varepsilon s_2

在接受前，至少要測：

\boxed{ \max_{c\in\mathcal C_{\mathrm{adm}}} d( \operatorname{Eff}(s_1\circ c), \operatorname{Eff}(s_2\circ c) ). }

current marginal distance只是一個 lower bound。

37. 本輪錨點

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-17.A} \quad \varepsilon>0 \text{ 時 contextual closeness 一般不再是 equivalence relation。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-17.B} \quad \text{approximate safe compression 是 minimum-diameter partition problem，而不是普通 quotient。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-17.C} \quad C^\ast(\varepsilon,h) \text{ 對 }\varepsilon\text{ 單調不減，對 }h\text{ 單調不增。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-17.D} \quad \text{skewed finite benchmark 中 current error 可被 future composition 放大約 }145.48\times. }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-17.E} \quad \text{approximate optimum 可以多解，因此 canonicalization policy 是 error-bounded compression 的必要額外層。} }

38. 下一輪：ESC-EXP-18

EXP-17 現在留下的最大問題已經不是：

可以壓多少？

而是：

如果有很多同樣 optimal 的安全 partition，哪一個應該成為 canonical approximation？

所以 EXP-18 最自然的是：

\boxed{ \text{Canonical Approximate Abstraction and Stability}. }

可以研究：

optimal partition 的 nestedness；
$\varepsilon$ 變動時 representation churn；
horizon 變動時 class split stability；
canonical tie-breaking；
prior shift robustness；
是否存在 hierarchical abstraction tree；
若 contextual distance 不是 ultrametric，如何找最接近的 stable hierarchy。

也就是把：

\boxed{ \text{minimum safe compression} }

提升成：

\boxed{ \text{stable, canonical, operationally reusable safe compression}. }

ESC-EXP-17：Approximate Contextual Minimization

ESC-EXP-17：Approximate Contextual Minimization

摘要

1. Runtime

2. Approximate Contextual Distance

3. Horizon Monotonicity

4. ε\varepsilonε -Safe Block

5. Approximate Safe Partition

6. Exact Case 是 Approximate Case 的特例

7. Pairwise ε\varepsilonε -Closeness 不傳遞

8. Approximate Compression 不是普通 Quotient

9. 為什麼本輪可以完整枚舉？

10. Uniform Prior

11. Uniform Zero-Now Activation

12. Infinite Amplification 的自然情況

13. Skewed Prior

14. Skewed ε\varepsilonε –Compression Curve

15. Compression Phase Transitions

16. Critical Error Thresholds

17. Approximate Optimum 可以不唯一

18. Approximate Quotient 的 Canonicality Gap

19. Approximate Abstraction 需要 Secondary Criterion

20. Future Horizon 對 Approximate Compression 的影響

Horizon 0

Horizon 1

Horizon 2

Horizon 3

21. Approximate Future-Obligation Price

22. Error Amplification

23. Skewed 最大有限 Amplification

24. 另一個對稱 Amplification

25. 為什麼會放大？

26. Current Error 不是 Future Error Bound

27. Horizon-Bounded Approximation

28. Error Budget × Horizon Geometry

29. Exact ESC 是 Surface 的一條邊

30. Approximate CER

31. Approximate Quotient 不應濫用「等價類」

32. Canonicality 成為新問題

33. Compression Stability

34. 對 Agent Memory Compression 的直接意義

35. 對模型量化／Representation Compression 的意義

36. Synergy-Sensitive Compression

37. 本輪錨點

38. 下一輪：ESC-EXP-18

4. $\varepsilon$ -Safe Block

7. Pairwise $\varepsilon$ -Closeness 不傳遞

14. Skewed $\varepsilon$ –Compression Curve