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lm-004234 · 2026-10

ESC-EXP-07：Bridge-Cost Pareto Frontier 與 Pairwise ESC Distance

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ESC-EXP-07：Bridge-Cost Pareto Frontier 與 Pairwise ESC Distance

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-07
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-06
狀態： Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-06 已把共同 kernel 對齊寫成最小 observation-cost optimization。

本輪將單一六維 target kernel 擴張為所有非空子集：

∅≠J′⊆J.\varnothing \neq \mathcal J' \subseteq \mathcal J.

六個 target 產生：

26−1=632^6-1=63

個非空 kernel subsets。

對每個：

J′\mathcal J'

本輪計算：

  1. F/C/I 各自最小 adaptation cost；
  2. 三路共同最低 bridge cost；
  3. target-count coverage；
  4. joint-information coverage；
  5. pairwise target-conditioned ESC distance；
  6. bridge-cost / information-coverage Pareto frontier。

因此 EXP-07 第一次回答：

若不要求一次保留全部共同核心，哪些 kernel 最「便宜」？多得到一點共同結構，需要支付多少額外 observation cost？

本輪 controlled domain 仍為：

624624

個 canonical n=3n=3 substrate classes。

完整六維 kernel entropy：

H(J)=6.079214 bits.\boxed{ H(\mathcal J) = 6.079214\text{ bits}. }

1. Runtime

EXP-07 tests：

5 passed

完整 experimental regression：

37 passed

並成功枚舉：

63\boxed{ 63 }

個非空 target-kernel subsets。

2. Adaptation Cost

對 projection：

P∈{F,C,I},P\in\{F,C,I\},

定義：

AP(J′)=min⁡SPH(SP)\boxed{ A_P(\mathcal J') = \min_{S_P} H(S_P) }

subject to：

J′\mathcal J'

可由：

(ΠP,SP)(\Pi_P,S_P)

恢復。

所以：

APA_P

是單一 representation 補到指定 kernel 所需的最低資訊成本。

3. Pairwise ESC Bridge Distance

本輪定義 target/domain-conditioned symmetric bridge distance：

dESC(P,Q∣J′,D)=AP(J′)+AQ(J′).\boxed{ d_{\mathrm{ESC}} (P,Q\mid\mathcal J',\mathcal D) = A_P(\mathcal J') + A_Q(\mathcal J'). }

並定義：

dESC(P,P)=0.d_{\mathrm{ESC}}(P,P)=0.

這是一個以共同 kernel 為中心的 star-type bridge pseudometric 候選。

它具有：

  • 非負；
  • 對稱；
  • triangle inequality；

但：

d(P,Q)=0d(P,Q)=0

只表示兩邊都不需額外 bridge 才能恢復該 target kernel，

不表示：

P=Q.P=Q.

所以不能把它誤寫成 representation identity metric。

4. Full-Kernel Distance

對完整六維：

J\mathcal J

各 representation adaptation cost：

AF=1 bit,A_F=1\text{ bit}, AC=2 bits,A_C=2\text{ bits}, AI≈3.713545 bits.A_I\approx3.713545\text{ bits}.

因此：

dESC(F,C)=3.000000 bits\boxed{ d_{\mathrm{ESC}}(F,C)=3.000000\text{ bits} } dESC(F,I)≈4.713545 bits\boxed{ d_{\mathrm{ESC}}(F,I)\approx4.713545\text{ bits} } dESC(C,I)≈5.713545 bits.\boxed{ d_{\mathrm{ESC}}(C,I)\approx5.713545\text{ bits}. }

所以在這個 target kernel / finite domain 下：

F 與 C 最近,\boxed{ F\text{ 與 }C\text{ 最近}, } C 與 I 最遠.\boxed{ C\text{ 與 }I\text{ 最遠}. }

這不是抽象本體距離，而是對齊到同一共同 kernel 的最小橋接成本距離。

5. Normalized Full-Kernel Distance

因 pair distance 是兩邊 adaptation cost 相加，可用：

2H(J)2H(\mathcal J)

正規化。

得到約：

d~(F,C)≈0.246742,\widetilde d(F,C) \approx 0.246742, d~(F,I)≈0.387677,\widetilde d(F,I) \approx 0.387677, d~(C,I)≈0.469925.\widetilde d(C,I) \approx 0.469925.

這只是一個 finite normalized score，不宣稱具有跨 domain 絕對尺度。

6. Native Specialization

不加任何 bridge 時：

F 原生可恢復：

5/65/6

個 targets：

  • partition；
  • type；
  • direction；
  • context；
  • history。

只缺：

probe.\text{probe}.

C 原生可恢復：

4/64/6

個 targets：

  • partition；
  • type；
  • direction；
  • history。

缺：

context,probe.\text{context}, \quad \text{probe}.

I 原生可恢復：

2/62/6

個 targets：

  • partition；
  • probe。

因此：

F\boxed{ F }

在本 kernel 上是最接近完整共同 view 的 representation。

7. 單一 Target Pairwise Distance

Partition

三條原生都可恢復：

dFC=dFI=dCI=0.d_{FC}=d_{FI}=d_{CI}=0.

這不表示三條表示相同，只表示 partition target 在 full-support controlled domain 不需要 bridge。

Type

F/C 原生可恢復；I 需：

0.941829 bits.0.941829\text{ bits}.

因此：

dFC=0,d_{FC}=0, dFI=dCI≈0.941829.d_{FI}=d_{CI}\approx0.941829.

Direction

同理：

dFI=dCI≈0.830973.d_{FI}=d_{CI}\approx0.830973.

Context

F 原生可恢復，C/I 各需 11 bit：

dFC=1,d_{FC}=1, dFI=1,d_{FI}=1, dCI=2.d_{CI}=2.

Probe

I 原生可恢復，F/C 各需 11 bit：

dFC=2,d_{FC}=2, dFI=1,d_{FI}=1, dCI=1.d_{CI}=1.

History

F/C 原生可恢復；I 需：

0.941829 bits.0.941829\text{ bits}.

8. Distance Is Target-Dependent

因此 pair ordering 不是絕對固定。

例如：

對 type：

d(F,C)=0.d(F,C)=0.

對 probe：

d(F,C)=2.d(F,C)=2.

所以：

dESC=dESC(P,Q∣J′,D).\boxed{ d_{\mathrm{ESC}} = d_{\mathrm{ESC}} (P,Q\mid\mathcal J',\mathcal D). }

沒有 target kernel 與 domain，就沒有完整定義的 ESC distance。

9. Minimum Cost by Kernel Size

每個 target-count 下的最低 bridge cost：

  • 1 targets: 0.000000 bits; best-info set: partition_block_count; info fraction 22.81%
  • 2 targets: 0.830973 bits; best-info set: partition_block_count + directional_source_entropy; info fraction 36.47%
  • 3 targets: 1.771717 bits; best-info set: partition_block_count + type_entropy + directional_source_entropy; info fraction 51.91%
  • 4 targets: 2.713545 bits; best-info set: partition_block_count + type_entropy + directional_source_entropy + history_length; info fraction 67.10%
  • 5 targets: 4.713545 bits; best-info set: partition_block_count + type_entropy + directional_source_entropy + context_mode + history_length / partition_block_count + type_entropy + directional_source_entropy + probe_mode + history_length; info fraction 83.55%
  • 6 targets: 6.713545 bits; best-info set: partition_block_count + type_entropy + directional_source_entropy + context_mode + probe_mode + history_length; info fraction 100.00%

可以看到：

1 target1\text{ target}

時甚至存在：

0 cost0\text{ cost}

的 partition kernel。

而隨共同 kernel 擴大，最低成本單調不減。

10. Cheap Common Core

最便宜的逐步擴張序列非常清楚。

1 target

{partition}\{\text{partition}\}

成本：

0.0.

資訊覆蓋：

22.81%.22.81\%.

2 targets

加入 direction：

{partition,direction}\{\text{partition},\text{direction}\}

成本：

0.830973.0.830973.

資訊覆蓋：

36.47%.36.47\%.

3 targets

再加入 type：

{partition,type,direction}\{\text{partition},\text{type},\text{direction}\}

成本：

1.771717.1.771717.

資訊覆蓋：

51.91%.51.91\%.

4 targets

再加入 history：

{partition,type,direction,history}\{\text{partition},\text{type},\text{direction},\text{history}\}

成本：

2.713545.2.713545.

資訊覆蓋：

67.10%.67.10\%.

這形成一個相當便宜的：

structural + relational + provenance-lite kernel.\boxed{ \text{structural + relational + provenance-lite kernel}. }

11. Semantic Coordinates 比較昂貴

第五個 target 若加入：

context\text{context}

或：

probe,\text{probe},

最低成本都跳到：

4.713545 bits.4.713545\text{ bits}.

資訊覆蓋：

83.55%.83.55\%.

所以本 domain 中，真正昂貴的是：

semantic / observer-frame alignment.\boxed{ \text{semantic / observer-frame alignment}. }

而不是 partition 本身。

12. Full Kernel

完整六維：

J\mathcal J

成本：

6.713545 bits,6.713545\text{ bits},

資訊覆蓋：

100%.100\%.

所以從約：

67.1%67.1\%

資訊 kernel 推到 full semantic kernel，需要額外約：

4.0 bits.4.0\text{ bits}.

這再次顯示：

結構共同性便宜，語義／觀察框架共同性較昂貴。\boxed{ \text{結構共同性便宜，語義／觀察框架共同性較昂貴。} }

至少在本 finite domain 成立。

13. Entropy-Cost Pareto Frontier

本輪共有：

1616

個 nondominated Pareto points。

完整 frontier：

  • cost 0.000000 bits → info 22.81% → partition_block_count
  • cost 0.830973 bits → info 36.47% → partition_block_count, directional_source_entropy
  • cost 0.941829 bits → info 38.30% → partition_block_count, history_length
  • cost 0.941829 bits → info 38.30% → partition_block_count, type_entropy
  • cost 1.771717 bits → info 51.91% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy
  • cost 1.883657 bits → info 53.60% → partition_block_count, type_entropy, history_length
  • cost 2.713545 bits → info 67.10% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, history_length
  • cost 3.771717 bits → info 68.36% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, context_mode
  • cost 3.771717 bits → info 68.36% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, probe_mode
  • cost 3.883657 bits → info 70.05% → partition_block_count, type_entropy, context_mode, history_length
  • cost 3.883657 bits → info 70.05% → partition_block_count, type_entropy, probe_mode, history_length
  • cost 4.713545 bits → info 83.55% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, context_mode, history_length
  • cost 4.713545 bits → info 83.55% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, probe_mode, history_length
  • cost 5.771717 bits → info 84.81% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, context_mode, probe_mode
  • cost 5.883657 bits → info 86.50% → partition_block_count, type_entropy, context_mode, probe_mode, history_length
  • cost 6.713545 bits → info 100.00% → partition_block_count, type_entropy, directional_source_entropy, context_mode, probe_mode, history_length

這裡的 Pareto 意義是：

不存在另一個 kernel subset 同時成本更低或相等，且 joint-information coverage 更高或相等，並至少一項嚴格更好。

14. Pareto Frontier 的形狀

frontier 顯示三個明顯區段。

A. Zero / Low Cost Structural Core

0→2.713545 bits0 \rightarrow 2.713545\text{ bits}

可以從：

22.8%22.8\%

推到：

67.1%67.1\%

資訊覆蓋。

B. Semantic Expansion

加入 context / probe 後，成本跳升至：

3.77∼5.88 bits,3.77 \sim 5.88\text{ bits},

資訊覆蓋約：

68%∼86.5%.68\% \sim 86.5\%.

C. Full Closure

最後：

6.713545 bits6.713545\text{ bits}

才到：

100%.100\%.

因此 Pareto 曲線並非線性。

15. Kernel Coverage 不能只用 Target Count

例如兩個不同 5-target subsets 可能 target count 相同，但 joint entropy 不同。

所以本輪同時保存：

target fraction\boxed{ \text{target fraction} }

與：

information fraction.\boxed{ \text{information fraction}. }

真正 Pareto optimization 以：

H(J′)H(\mathcal J')

作為主要 coverage 軸，而不是只數 target 數量。

16. ESC Distance 與 Representation Specialization

full-kernel adaptation：

AF<AC<AI.A_F<A_C<A_I.

這不表示：

FF

一般比 I 「更強」。

只表示對本六維 target kernel：

F 原本保存較多 target-relevant observables。

如果 target 改成純 probe geometry，排序會改變。

因此：

specialization≠global superiority.\boxed{ \text{specialization} \neq \text{global superiority}. }

17. 一個更成熟的「理論距離」概念

ESC 現在可以把「兩套表示多像」拆成三種不同問題：

17.1 Native overlap

兩邊原生共同 recoverable 的 targets 有多少？

17.2 Bridge distance

兩邊補到共同 kernel 要多少成本？

17.3 Pareto profile

當 kernel coverage 從小到大時，距離如何變化？

所以單一 scalar：

dESCd_{\mathrm{ESC}}

只是其中一個截面。

完整關係其實更接近：

PPQ:coverage↦minimum bridge cost.\boxed{ \mathcal P_{PQ} : \text{coverage} \mapsto \text{minimum bridge cost}. }

18. EXP-07 對「三套理論到底有多遠」的答案

在目前 full kernel：

F−C<F−I<C−I.\boxed{ F-C < F-I < C-I. }

但 target-wise：

  • relation semantics 上 F/C 幾乎重合；
  • probe frame 上 I 更接近 F/C 的補充端；
  • context 上 F 與 C/I 分離；
  • history 上 I 與 F/C 分離。

因此 representation difference 具有：

anisotropy.\boxed{ \text{anisotropy}. }

也就是在不同 structural axis 上距離不同。

19. Anisotropic ESC Geometry

這表示未來不應只建一個 scalar distance。

更完整可以寫成 distance vector：

dESC(P,Q)=(dπ,dT,dD,dΓ,dP,dH,… ).\boxed{ \mathbf d_{\mathrm{ESC}}(P,Q) = ( d_{\pi}, d_T, d_D, d_\Gamma, d_P, d_H, \dots ). }

而 full-kernel scalar distance只是對這些軸在指定成本函數下的聚合。

20. 本輪錨點

ESC-EXP-07.AdESC(P,Q∣J,D) 必須 target/domain-conditioned。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-07.A} \quad d_{\mathrm{ESC}}(P,Q\mid\mathcal J,\mathcal D) \text{ 必須 target/domain-conditioned。} } ESC-EXP-07.B本 finite full kernel 中 F−C<F−I<C−I.\boxed{ \textbf{ESC-EXP-07.B} \quad \text{本 finite full kernel 中 }F-C<F-I<C-I. } ESC-EXP-07.C共同 kernel 的 bridge-cost / information-coverage frontier 非線性。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-07.C} \quad \text{共同 kernel 的 bridge-cost / information-coverage frontier 非線性。} } ESC-EXP-07.D結構／關係 kernel 相對便宜，而 semantic / observer-frame alignment 成本較高。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-07.D} \quad \text{結構／關係 kernel 相對便宜，而 semantic / observer-frame alignment 成本較高。} } ESC-EXP-07.Erepresentation distance 具有 structural-axis anisotropy。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-07.E} \quad \text{representation distance 具有 structural-axis anisotropy。} }

21. 下一輪：ESC-EXP-08

下一輪最自然的是把：

dESCd_{\mathrm{ESC}}

從單一 controlled domain 推到：

cross-domain stability.\boxed{ \text{cross-domain stability}. }

也就是比較：

  • 不同 nn ；
  • 不同 support coverage；
  • 不同 target priorities；
  • 不同 channel-cost model；

之下：

F−C<F−I<C−IF-C<F-I<C-I

是否仍成立。

如果排序會翻轉，就建立真正的：

ESC distance field\boxed{ \text{ESC distance field} }

而不是單一 distance matrix。