終點不等於歷史 v0.2

非交換計算序列、型別化事件依賴與可追溯全域演化

Endpoint Is Not History: Noncommutative Computational Sequences, Typed Event Dependencies, and Traceable Global Evolution

系列：Global Computation Methodology Series
文件編號：Paper-06
版本：v0.2
日期：2026-08-24
作者：Neo.K
協作：Aletheia / GPT
狀態：第二輪正式核心論文
Canonical anchors：Series-00 v0.2、Paper-01 v0.2、Paper-02 v0.2、Paper-03 v0.2、Paper-04 v0.2、Paper-05 v0.2
編碼：UTF-8 Markdown
數學 delimiter：僅使用 $...$ 與 $$...$$

摘要

Global Computation Methodology（GCM）在前五篇正式論文中，已依序建立 World-relative globality、heterogeneous composition、versioned computational configuration space、typed routing / authority / commit semantics、World–Runtime–Observer separation，以及 finite active realization / unbounded extensibility。當這些元素都允許動態切換、並行、失敗、回復、封存、重啟與 Foundation revision 時，最後一個不可迴避的問題是：若兩條執行最後抵達相同 World state，它們是否可以被視為同一件事？

本文的基本答案是否定的：

\boxed{ \text{State Equality} \not\Rightarrow \text{History Equality} }

以及：

\boxed{ \text{Endpoint Closure} \neq \text{History Closure} }

本文將第一輪以 sequence / receipt DAG 表達的歷史模型升級成 typed provenance structure。令 $\mathcal H_\eta$ 為 history / provenance revision，其中 $\eta$ 只是歷史儲存層的 revision identifier，不等同 World commit index、physical time、Runtime schedule 或 causal order。本文明確區分：

\boxed{ \prec_{\mathsf{exec}} \neq \prec_{\mathsf{causal}} \neq \prec_{\mathsf{commit}} \neq \prec_{\mathsf{log}} \neq \prec_{\mathsf{observer}} \neq \prec_{\mathsf{foundation}}. }

一個 append-only log 可以提供 serialization order，但 serialization 不應被偷換成因果全序；一個 checkpoint 可以保存某個時刻的 state，但不能自動回答「為什麼來到這裡」；一個 hash 可以驗證 artifact identity / integrity，但不能取代 causal semantics；一個 rollback 或 compensation 可以恢復某些 state invariant，也不等於「那件事從未發生」。

本文引入 typed event / receipt、typed relation edges、history branch、Foundation lineage、proposal / commit / rollback / compensation separation、replay grade、semantic history quotient、context-dependent independence、retention obligation、counterfactual branch 與 history compression soundness。對 semantics profile $\mathbb S$ ，只有在明確證明：

H_1 \sim_{\mathbb S} H_2

時，Runtime 才可以在該 semantics 下將兩條 history quotient；endpoint hash equality 本身不足以證明此事。本文同時指出，Mazurkiewicz trace theory、partial-order reduction、Lamport happens-before、vector time、distributed snapshot、database provenance、W3C PROV、Sagas、event sourcing 與 checkpoint/replay 已分別提供成熟先例。GCM 不宣稱發明 partial order、provenance、event log、rollback 或 replay；本文的研究主張，是把這些機制置入同一個 World-relative、typed、authority-aware、Foundation-versioned Runtime methodology，並明確規定何種歷史差異可安全壓縮、何種差異必須被保留。

關鍵詞

Global Computation Methodology；history；provenance；partial order；noncommutativity；causality；receipt DAG；event sourcing；checkpoint；replay；rollback；compensation；trace equivalence；partial-order reduction；Foundation lineage；counterfactual history；history compression

1. 問題設定：現在一樣，不代表過去一樣

對一個最簡單的 deterministic transition system，可以寫：

s_{k+1}=f(s_k,a_k).

如果系統只需要從目前 state 繼續計算，保存 $s_k$ 往往足夠。然而 GCM 的 Runtime 還需要回答更多問題：

哪個 operation 產生目前版本？
哪個 domain / configuration / executor 被選中？
哪個 representation bridge 被使用？
哪些 invariants 被驗證？
哪個 caller 具有哪一種 authority？
哪次 local execution 成功但 global commit 被拒絕？
哪次 retry、rollback、compensation 或 reactivation 發生？
哪個 Observer query 觸發了 computation，但沒有修改 World？
哪個 Foundation version 定義了當時的合法性？
哪條 causal chain 使某個 event 必須先於另一個 event？

因此當前 World state 只是整個 Runtime 歷史的一種壓縮結果，而不是整個過程本身。

令一條 execution history 為：

H = (e_0,e_1,\ldots,e_n).

若從初始狀態 $W_0$ 出發：

W_n = \mathsf{Eval}(W_0,H),

一般而言：

W_n \not\Rightarrow H.

也就是同一 endpoint 可以由多條不同 history 到達。

2. 本文不主張什麼

本文不主張：

partial order、logical clock 或 vector clock 由 GCM 首創；
provenance data model 由 GCM 首創；
event sourcing、checkpoint、snapshot、replay 或 append-only log 由 GCM 首創；
rollback、compensation 或 Saga pattern 由 GCM 首創；
Mazurkiewicz trace、POR 或 DPOR 由 GCM 首創；
所有不同 schedule 都必須永久保存；
所有 schedule difference 都具有語義差異；
所有 history 都必須是單一全序 log；
hash 等於 history semantics；
endpoint equality 永遠不足以做任何 deduplication；
history 必須永久保留所有原始 payload；
replay 一定可以 exact 重現外部世界；
rollback 等於把已發生事件從 provenance 中刪除；
Foundation revision 可以由普通 Runtime event 自動觸發；
model checking 的 history equivalence 與 Runtime audit equivalence 必然相同。

本文只主張：

在 GCM Runtime 中，state、execution、causality、commit、observation、lifecycle、Foundation revision 與 provenance 必須 typed separation；任何 history quotient / compression 都必須相對明確 semantics 或 retention obligation 證明安全，而不能因 endpoint 相同就無條件合併。

3. 相關研究與定位

3.1 Lamport happens-before：因果不等於牆上時鐘

Lamport 在 1978 年以 happens-before relation 形式化 distributed events 的 partial ordering，並說明 logical clock 可以提供與 causal order 相容的 timestamp。[1]

這直接支持本文的一個基礎限制：

\boxed{ \text{Timestamp Order} \neq \text{Causal Order} }

除非額外條件成立。

GCM 不重新發明 happens-before，而是把 causal relation 放入更大的 typed history structure，與 execution、commit、Observer、Foundation lineage 等 relation 並存。

3.2 Vector time 與 global-state reasoning

Fidge 與 Mattern 的 vector-time 工作，使 message-passing computation 的 partial order 可以被更精細地表示；Chandy–Lamport distributed snapshot 則證明 distributed computation 可以在沒有單一全域實體時鐘的情況下定義有意義的 global state / consistent cut。[2,3,4]

因此 GCM 不宣稱「distributed history 不需要 global clock」是新發現。GCM 的問題是：在 heterogeneous World Runtime 中，哪些 clock/order 對象屬於 World、Runtime、Observer、commit、history 或 Foundation，並要求它們不可互相偷換。

3.3 Trace theory 與 partial-order reduction

Mazurkiewicz trace theory以 independence relation 將可交換的 concurrent actions quotient 成 equivalence classes；partial-order reduction 與 dynamic partial-order reduction 進一步在 model checking 中避免探索大量等價 interleavings。[5,6,7]

這與本文的 history compression 有直接啟發：

\boxed{ \text{Preserve semantically distinct dependencies,} \text{ not every serialization permutation.} }

但 Runtime history 與 model checking 的目標不同。Model checking 可能只需要保留足以驗證 property 的 representative executions；Runtime provenance 可能同時服務 audit、replay、rollback、debugging、learning、governance 與 legal/operational traceability。因此 independence relation 與 quotient semantics 不能直接照搬。

3.4 Provenance 已有成熟資料模型

Buneman、Khanna 與 Tan 對 database provenance 的 why / where distinction，是資料來源與推導研究的重要經典工作。[8] W3C PROV family 進一步建立 domain-agnostic provenance model / ontology，包含 entity、activity、agent、derivation 與 bundle 等概念，用於跨 heterogeneous systems 交換 provenance。[9]

GCM 不把 provenance 當成新資料模型。本文關心的是：GCM 的 route、proposal、verification、commit、Observer、lifecycle 與 Foundation event 應如何映射到 typed provenance，並如何與 canonical World version 一起形成 Runtime 可追溯性。

3.5 Sagas、rollback 與 compensation

Garcia-Molina 與 Salem 的 Sagas 對 long-lived transactions 建立了拆分 transaction 與 compensation 的經典方法。[10]

這提醒 GCM：

\boxed{ \text{Rollback} \neq \text{Compensation} \neq \text{Erase History}. }

尚未 commit 的 proposal 可以被 discard / rollback；已經 commit 且產生外部 side effect 的操作，往往只能以新的 compensating operation 建立後續 commit，而不能假裝原 event 從未發生。

3.6 Event sourcing 與 replay

Event sourcing 長期使用「保存 state-changing events，再由事件重建 state」的架構模式；實務研究亦指出 event schema evolution、projection rebuild 與 privacy 是重要挑戰。[11,12]

2026 年 agent-runtime 工作亦開始把 append-only event log、deterministic projection、fork、replay 與 end-to-end lineage 直接用於 agentic systems。[13,14]

因此本文不宣稱「agent / runtime 應該有 event log」是首創。GCM 更保守：history 可以是 canonical source，也可以只是 World state 的 provenance companion；這取決於 Runtime contract。GCM 不要求所有實作採 event-sourced architecture。

3.7 Transaction reenactment 與 post-mortem provenance

Database transaction reenactment 研究已處理 transaction replay、concurrent effects 與 provenance，用於 post-mortem debugging 與 what-if analysis。[15]

GCM 的 replay semantics 因此不應只寫成「重新跑一次」。它必須記錄 deterministic prerequisites、external inputs、Foundation / model / bridge version、randomness、clock / order assumptions 與 side-effect policy。

4. 從 00–05 匯入的 canonical state-plane

本文沿用 GCM v0.2 expanded core：

\mathcal M_G^{(0.2)} = \left\langle \mathbf W; W_\nu, \Xi_\mu, O_\omega, \mathcal F^{(v)}; \mathfrak P, \mathfrak L, \mathcal D, \Gamma; \mathcal C, \mathsf{Reach}, \mathsf{Auth}, \mathcal S; \Pi, \mathsf{Mat}, \mathcal H \right\rangle.

其中：

$\mathbf W$ ：World primitive / ontological target；
$W_\nu$ ：canonical committed World-state presentation；
$\Xi_\mu$ ：Runtime control state；
$O_\omega$ ：Observer state；
$\mathcal F^{(v)}$ ：Foundation version；
$\mathcal H$ ：history / provenance structure。

本文保留：

\boxed{ \mathbf W \neq W_\nu \neq \Xi_\mu \neq O_\omega \neq \mathcal F^{(v)}. }

History 不被加入 World primitive 本身；它是 Runtime 用來保存、重建或證明「World 如何演化」的 provenance structure。

5. 四種 index 不得重新合併

Paper-04 已拆開單一 $t$ 。Paper-06 延續此規則：

\nu = \text{World commit/version identifier},

\mu = \text{Runtime-control revision},

\omega = \text{Observer revision},

\eta = \text{History-store revision}.

因此：

\boxed{ \nu \neq \mu \neq \omega \neq \eta }

表示它們的語義角色不可偷換；並不要求四者數值永遠不同。

特別地：

\eta \neq \text{physical time},

也不自動等於：

\prec_{\mathsf{causal}}.

6. World version 不必假定全域線性

在最簡單的 single-head Runtime 中，可以有：

W_0 \rightarrow W_1 \rightarrow \cdots \rightarrow W_\nu.

但若 Runtime 支援 fork、speculative branch、counterfactual branch 或 merge，World version 本身更合理地表示為 graph：

\mathcal G_W = (V_W,E_W).

每個 committed version node：

w\in V_W

具有 stable identifier； $\nu$ 可以視為 single-head presentation 中的 shorthand，而不是宣稱所有 branches 共享一個宇宙級 total order。

因此：

\boxed{ \text{World Versioning} \not\Rightarrow \text{Universal Total Order}. }

7. History 的 canonical typed structure

令：

\boxed{ \mathcal H_\eta = \left\langle \mathcal E_\eta, \mathcal A_\eta, \mathsf{EType}, \mathsf{RType}, \mathsf{Status}, \mathsf{Anchor}, \mathsf{PayloadRef} \right\rangle }

其中：

$\mathcal E_\eta$ ：typed event / receipt nodes；
$\mathcal A_\eta$ ：typed relation arcs；
$\mathsf{EType}$ ：event type；
$\mathsf{RType}$ ：relation type；
$\mathsf{Status}$ ：proposal / committed / rejected / speculative 等狀態；
$\mathsf{Anchor}$ ：World、Runtime、Observer、Foundation、model / schema 等版本錨點；
$\mathsf{PayloadRef}$ ：必要 payload、digest、external pointer 或 encrypted reference。

這個 structure 不要求所有資料都 inline 保存，也不要求所有 relation 都映射成一條 sequence。

8. Event type 不只等於 World mutation

建議至少區分：

\mathsf{EType}(e) \in \{ \mathsf{Proposal}, \mathsf{Execution}, \mathsf{Verification}, \mathsf{Commit}, \mathsf{Reject}, \mathsf{Rollback}, \mathsf{Compensation}, \mathsf{Route}, \mathsf{Bridge}, \mathsf{Observe}, \mathsf{Materialize}, \mathsf{Activate}, \mathsf{Dormant}, \mathsf{Archive}, \mathsf{Restore}, \mathsf{FoundationRevision}, \mathsf{Migration}, \mathsf{Fork}, \mathsf{Merge} \}.

不是所有 event 都修改 $W$ 。

例如 pure observation 可以：

\Delta W=0,

但仍建立 observer history，因為它可能對後續 decision、audit 或 causal explanation 有意義。

9. Typed relation 不等於一條 DAG edge

對 events $e_i,e_j$ ，edge 必須帶 relation type：

(e_i,r,e_j) \in \mathcal A_\eta.

其中：

r \in \mathbb T_H,

而 $\mathbb T_H$ 可以包含：

\mathsf{execBefore}, \mathsf{causes}, \mathsf{proposalOf}, \mathsf{verifiedBy}, \mathsf{committedAs}, \mathsf{rollbackOf}, \mathsf{compensates}, \mathsf{derivedFrom}, \mathsf{observes}, \mathsf{materializes}, \mathsf{routesTo}, \mathsf{restoresFrom}, \mathsf{foundationParent}, \mathsf{branchParent}.

這避免把所有 dependency 都縮成一種無類型 arrow。

10. 六種 order 的正式分離

本文至少區分：

\prec_{\mathsf{exec}} = \text{actual execution precedence},

\prec_{\mathsf{causal}} = \text{causal dependency},

\prec_{\mathsf{commit}} = \text{canonical commit precedence},

\prec_{\mathsf{log}} = \text{storage serialization order},

\prec_{\mathsf{observer}} = \text{observer-local interaction order},

\prec_{\mathsf{foundation}} = \text{Foundation revision lineage}.

一般而言：

\boxed{ \prec_{\mathsf{exec}} \neq \prec_{\mathsf{causal}} \neq \prec_{\mathsf{commit}} \neq \prec_{\mathsf{log}} \neq \prec_{\mathsf{observer}} \neq \prec_{\mathsf{foundation}}. }

某些實作中它們可能部分重合，但不能默認同一。

11. Log order 只是 serialization

若 storage 寫成：

L = (e_0,e_1,\ldots,e_n),

這只證明：

e_i \prec_{\mathsf{log}} e_j

在 log 中有 serialization relation。

它不自動證明：

e_i \prec_{\mathsf{causal}} e_j.

因此：

\boxed{ \text{Append Order} \neq \text{Causal Order}. }

這是 GCM history type-safety 的最低要求之一。

12. State Equality 不推出 History Equality

令兩條 history：

H_a, H_b.

如果：

\mathsf{Eval}(W_0,H_a) = \mathsf{Eval}(W_0,H_b),

仍可能：

H_a \neq H_b.

例如：

+1 \rightarrow -1

與 no-op 可以有相同 endpoint，但第一條 path 曾經產生兩個 event。

因此：

\boxed{ \text{Same Endpoint} \neq \text{Same Process}. }

13. 非交換性只是最顯眼的 history sensitivity

若：

\Phi_a\circ\Phi_b \neq \Phi_b\circ\Phi_a,

order 顯然可以改變 endpoint。

例如：

a:x\mapsto 2x,

b:x\mapsto x+1.

則：

b(a(x))=2x+1,

a(b(x))=2x+2.

此時 sequence order 必須保留。

但 GCM 更強的主張是：即使 algebraically commute，也不代表 history 可以被刪除。

14. 交換仍可能不等價

即使：

\Phi_a\circ\Phi_b = \Phi_b\circ\Phi_a,

history 仍可能因下列因素不同：

authority chain；
external side effect；
cost / energy / latency；
resource contention；
observer-visible intermediate state；
retry / failure；
legal / audit obligation；
model / Foundation version；
provenance responsibility；
irreversible external action。

因此：

\boxed{ \text{Algebraic Commutativity} \not\Rightarrow \text{History Equivalence}. }

15. Context-dependent independence

令 candidate events 為 $a,b$ ，context 為：

\theta = \left\langle W_\nu, \Xi_\mu, O_\omega, \mathcal F^{(v)}, \mathcal C_\nu, \mathsf{Auth}, \mathbb S \right\rangle.

定義：

(a,b) \in I_\theta

表示在 context $\theta$ 與 semantics profile $\mathbb S$ 下， $a,b$ 可被安全視為 independent。

GCM 不把 independence 固定成「不同 thread」或「不同 domain」；它可能依：

shared World state；
resource；
Observer；
authority；
Foundation constraint；
external side effect；
retained semantics；
lifecycle / archive dependency；

而改變。

16. Strong Independence Obligation

對 $a,b$ ，若要允許相鄰交換：

\alpha ab\beta \sim \alpha ba\beta,

至少應檢查下列義務：

$a,b$ 在相關 precondition 下皆可合法啟用；
$ab$ 與 $ba$ 都 admissible；
兩種順序都不造成 authority escalation；
指定 World semantics 下 endpoint 保持等價；
目標 Observer / audit semantics 保持等價；
不破壞 required causal / Foundation / provenance edge；
不遺漏不可逆 external side effect；
resource / cost 若屬 $\mathbb S$ 的 retained semantics，亦需保持等價。

因此：

\boxed{ I_\theta \text{ is a typed proof obligation, not a label.} }

17. Dependence Relation

定義：

D_\theta = (\Sigma\times\Sigma) \setminus I_\theta.

若：

(a,b) \in D_\theta,

則它們的相關 order / relation 必須在目標 history semantics 中被保留。

這不表示 Runtime 一定要保存完整 serialized sequence；保存足夠 dependency structure 即可。

18. History equivalence 必須相對 semantics

不能只問：

兩條歷史是否絕對相同？

更合理的問題是：

H_1 \sim_{\mathbb S} H_2,

其中：

\mathbb S = \left\langle \mathsf{Endpoint}, \mathsf{Safety}, \mathsf{Observer}, \mathsf{Cost}, \mathsf{Audit}, \mathsf{Causal}, \mathsf{Replay}, \mathsf{Governance} \right\rangle

是一個 semantics profile，而不是單一固定標準。

不同系統可以選擇不同 profile；但 profile 必須 explicit。

19. 一般 History Quotient

令：

\Omega_{\mathbb S}(H)

為 history $H$ 在 semantics profile $\mathbb S$ 下必須保留的可觀察資訊。

定義：

\boxed{ H_1 \sim_{\mathbb S} H_2 \iff \Omega_{\mathbb S}(H_1) = \Omega_{\mathbb S}(H_2). }

則 quotient class：

[H]_{\mathbb S}

可以作為某種 compression / canonicalization 的目標。

但：

[H]_{\mathbb S_1}

不必等於：

[H]_{\mathbb S_2}.

因此不存在不經假設即可安全使用的 universal history quotient。

20. Endpoint quotient 是最粗的一種

若只關心 endpoint：

H_1 \sim_E H_2 \iff \mathsf{Eval}(W_0,H_1) = \mathsf{Eval}(W_0,H_2).

這可以用於某些 memoization、state-space reduction 或 purely extensional task。

但只要系統還關心 retry、cost、audit、authorization、side effect、replay、causality 或 Foundation lineage，endpoint quotient 就可能過粗。

因此：

\boxed{ \text{Endpoint Hash Equality} \not\Rightarrow \text{Safe History Deduplication}. }

21. Observer-dependent history equivalence

給 Observer contract $q$ ，可以定義：

H_1 \sim_{O_q} H_2

當且僅當兩條 history 對該 Observer 所要求的 projection / interaction semantics 等價。

但：

H_1 \sim_{O_a} H_2

不推出：

H_1 \sim_{O_b} H_2.

這也說明 Paper-04 的 Observer separation 會直接影響 Paper-06 的 independence relation。

22. Predictive equivalence 不等於 audit equivalence

Runtime 可以將歷史壓成 summary：

z_\eta = \Psi(\mathcal H_\eta).

如果：

P(W_{\nu+1}\mid\mathcal H_\eta) = P(W_{\nu+1}\mid z_\eta),

則 $z_\eta$ 對某個 prediction task 可以是 sufficient summary。

但：

\boxed{ \text{Predictive Sufficiency} \neq \text{Audit Sufficiency}. }

同一 summary 可能足以 routing，卻不足以回答 authority、責任、retry 或 external side effect 的歷史問題。

23. History-aware Runtime 不必每次掃描完整歷史

History 可以影響未來 routing：

\mathsf{Route}_\mu = \mathsf R \left( W_\nu, \Xi_\mu, z_\eta, \boldsymbol\omega \right).

例如：

避免剛失敗的 accelerator；
降低 configuration thrashing；
根據過去 bridge approximation error；
根據 latency / energy history；
根據 failure rate；
根據 provenance trust。

但這不要求每次 routing 都 full scan $\mathcal H_\eta$ ； $z_\eta$ 可以是 task-specific history state variable。

24. Markovization 是壓縮，不是歷史消失

對 path-dependent process：

W_{\nu+1} = F(W_\nu,\mathcal H_\eta,a),

可以引入：

z_\eta = \Psi(\mathcal H_\eta)

並寫成：

\widetilde W_{\nu} = (W_\nu,z_\eta).

若 $z_\eta$ 足夠，可能得到 Markov-like transition。

但這只是將 relevant history 壓進 extended state：

\boxed{ \text{Markovization} \neq \text{No History}. }

25. Receipt 的最低 canonical fields

GCM Reference Runtime 的 event receipt 建議至少具有：

\mathsf{Rec}(e) = \left\langle \mathsf{id}, \mathsf{type}, \mathsf{status}, \mathsf{actor}, \mathsf{scope}, \mathsf{authorityCtx}, \mathsf{worldAnchor}, \mathsf{runtimeAnchor}, \mathsf{observerAnchor}, \mathsf{foundationVersion}, \mathsf{configuration}, \mathsf{law}, \mathsf{bridge}, \mathsf{inputRef}, \mathsf{outputRef}, \mathsf{invariantRef}, \mathsf{verification}, \mathsf{resource}, \mathsf{timeAnn}, \mathsf{relations} \right\rangle.

欄位可以是 null / omitted when inapplicable，但不能因此把語義角色合併。

26. Payload 可以外置，但 anchor 不可丟失

為了降低 storage / privacy cost，receipt 不必 inline 保留所有 input / output bits。

可保存：

\mathsf{digest},

\mathsf{locator},

\mathsf{encryptedRef},

\mathsf{summary},

或：

\mathsf{redactedMarker}.

但至少要能知道：

reference 指向什麼語義角色；
哪個 version / schema 解讀它；
是否 exact / approximate / unavailable；
為何被 redacted / expired；
哪些 replay / audit obligation 因此失效。

27. Proposal history 與 committed history 分層

Paper-03 已定義 executor 先產生 proposal，而不是直接修改 World。

因此至少分：

\mathcal H^{\mathsf{proposal}},

\mathcal H^{\mathsf{commit}}.

一個 local execution 可以成功並建立 receipt，但後續：

\mathsf{CommitOK}=0.

此時：

\boxed{ \text{Execution Happened} \land \text{World Commit Did Not Happen}. }

如果把 history 只綁在 $W_{\nu+1}$ 上，這種 rejected-but-executed path 就會消失。

28. Reject、Abort 與 Rollback 不同

建議區分：

$\mathsf{Reject}$ ：proposal 未通過某個 gate；
$\mathsf{Abort}$ ：執行 branch 被終止；
$\mathsf{Rollback}$ ：將尚未形成或尚可原子撤銷的 tentative effect 恢復；
$\mathsf{Compensation}$ ：對已經 commit / 外部生效的操作，以新的 forward operation 做補償。

因此：

\boxed{ \mathsf{Reject} \neq \mathsf{Abort} \neq \mathsf{Rollback} \neq \mathsf{Compensation}. }

29. Rollback 不刪除已發生 event

若 tentative execution：

e_a

後來 rollback：

e_r,

history 應至少保留：

e_r \xrightarrow{\mathsf{rollbackOf}} e_a

或等價 typed relation。

即使 World 回到原 endpoint：

W_{\nu'} = W_\nu,

仍然：

\boxed{ \text{Rollback to Same State} \neq \text{No Event Occurred}. }

30. Compensation 是新的歷史，不是歷史抹除

對已 commit operation $e_c$ ，若後續以 $e_k$ 補償：

e_k \xrightarrow{\mathsf{compensates}} e_c.

即使 compensation 後 state 與先前某版本等價：

W_{\nu+2} \equiv W_\nu,

也不能把：

[e_c,e_k]

視為 empty history。

此原則與 Sagas / compensating transaction 的一般精神一致。[10]

31. Retry 是 reliability history

考慮：

attempt 1 -> timeout
attempt 2 -> checksum mismatch
attempt 3 -> success

與：

attempt 1 -> success

若只看 endpoint，兩者可能相同。

但 failure-rate、routing policy、resource reliability、security anomaly 與 future model selection 都可能需要區分。

因此：

\boxed{ \text{Retry History} \text{ can be semantically relevant even under endpoint equality.} }

32. Speculative / Counterfactual branch 必須與 committed history 分離

AI planning、solver search 或 speculative execution 可能生成：

H^{\mathsf{spec}}_1, \ldots, H^{\mathsf{spec}}_n.

這些不能直接進 committed World lineage。

至少需要：

\mathsf{status} \in \{ \mathsf{speculative}, \mathsf{counterfactual}, \mathsf{committed}, \mathsf{aborted}, \mathsf{rejected} \}.

若某 speculative branch 被選為 commit basis，應建立 explicit derivation / commit edge，而不是重寫它的過去狀態。

33. Fork 與 Merge history

若從 World version $w_a$ 分出：

w_b, \quad w_c,

則建立：

w_a \rightarrow w_b,

w_a \rightarrow w_c.

若後續 merge：

(w_b,w_c) \rightarrow w_d,

則 merge 本身必須具有 receipt，記錄：

merge parents；
conflict resolution；
reconciliation policy；
verifier；
Foundation / schema compatibility；
information loss / approximation；
authority。

因此 merge result 不應只被當成「新 state」而丟失 lineage。

34. Foundation history 與 Runtime history 必須分開

普通 Runtime event 在 fixed Foundation 下運作：

\mathcal F^{(v)} \rightarrow \mathcal F^{(v)}.

Foundation revision 必須走：

\mathsf{ReviseFoundation}: \mathcal F^{(v)} \rightarrow \mathcal F^{(v+1)}.

因此 history 至少分：

\mathcal H_W = \text{World / Runtime operation history},

\mathcal H_F = \text{Foundation revision lineage}.

它們可以透過 typed anchor 關聯，但不能合併成「普通操作序列」。

35. Foundation migration / fork / reject 必須可追溯

若 $W_\nu$ 建立於：

\mathcal F^{(v)},

而新 Foundation：

\mathcal F^{(v+1)}

與舊 state 不完全相容，Runtime 只能明示選擇：

\mathsf{Migrate},

\mathsf{Fork},

或：

\mathsf{Reject}.

任何一條 path 都必須保留 lineage。

因此：

\boxed{ \text{Foundation Revision} \neq \text{Silent History Rewrite}. }

36. Observer history 與 World history 分層

Paper-04 已允許 pure observation：

\Delta W=0,

同時：

\Delta O\neq0

或：

\Delta\Xi\neq0.

因此定義：

\mathcal H_O = \text{Observer history}.

若 Observer event $e_O$ 只改 zoom / focus / query：

e_O \notin \mathcal H_W^{\mathsf{mutation}}.

但若它後續導致 authorized command：

e_O \xrightarrow{\mathsf{causes}} e_W,

則 causal relation 可以跨兩個 history layer。

37. Lifecycle history 是 Paper-05 的正式接口

Paper-05 已定義 active / dormant / archive / restore / reactivate lifecycle。

因此：

\mathcal H_L

至少應保存重要 lifecycle receipts，例如：

activation reason；
dormancy mode；
archive anchor；
restore source；
catch-up range；
validation result；
approximation certificate；
pin authority；
resource cost。

這些 event 可能不修改 World primitive，但會影響 Runtime recoverability 與 performance history。

38. Configuration-switch history

Paper-02 / 03 允許 configuration switching。

若：

\Gamma(D_i): \gamma_a \rightarrow \gamma_b,

即使 $W$ 的 semantic endpoint 等價，仍可能產生：

bridge cost；
approximation；
solver error；
model version change；
resource migration；
reason / policy；
fallback path。

因此 configuration switch 應建立 typed receipt。

39. Snapshot / Checkpoint 不等於 History

一個 checkpoint：

K_j \approx W_{\nu_j}

可以保存某個可恢復 state anchor。

Chandy–Lamport distributed snapshot 已證明 distributed systems 中 consistent global snapshot 可以在 asynchronous computation 中被定義與取得。[4]

但：

\boxed{ \text{Snapshot} \neq \text{History}. }

它回答「某個一致切面長什麼樣」，不自動回答完整 causal / authorization / retry / compensation lineage。

40. Checkpoint + Delta Replay

實務上不必每個 commit 都保存完整 World copy。

可採：

K_j + \Delta\mathcal H_{j\rightarrow\nu}.

若 replay prerequisites 成立：

W_\nu = \mathsf{Replay} \left( K_j, \Delta\mathcal H_{j\rightarrow\nu} \right).

此式是 Runtime recovery strategy，不是宣稱 history 是唯一 World ontology。

41. Replay 必須有 grade

本文建議：

\mathsf{ReplayGrade} \in \{ \mathsf{Exact}, \mathsf{DeterministicInternal}, \mathsf{SemanticEquivalent}, \mathsf{Approximate}, \mathsf{NonReplayable} \}.

Exact

所有必要外部 input、executor / model / bridge / Foundation version、random seed、order constraint 與 state dependency 都可重建，且 side effects 在 replay sandbox 中可精確重現。

DeterministicInternal

Runtime 內部 state transition 可重建，但外部世界 side effect 不重演。

SemanticEquivalent

允許 implementation / version 差異，但目標 semantics profile 下結果等價。

Approximate

只保證 error / fidelity contract。

NonReplayable

缺少必要 source、外部事件不可取回、version incompatibility 或 irreversible effect 無法再現。

因此：

\boxed{ \text{Replay Requested} \not\Rightarrow \text{Exact Replay Available}. }

42. Exact replay 的最低 prerequisites

Exact replay 至少需要視系統情況保存：

input / external-event provenance；
World checkpoint anchor；
Foundation / schema version；
computational configuration version；
executor / solver implementation version；
model version；
bridge version；
randomness / seed / nondeterministic choices；
relevant scheduling / causal constraints；
external side-effect isolation / idempotency strategy；
archive / lifecycle dependencies；
required credentials / authority context 的可驗證替代證據。

缺少這些資訊時，只能降級 replay grade，而不能假稱 exact。

43. Event Sourcing 是一種 strategy，不是 GCM 公理

某些 Runtime 可以選擇：

\mathcal H \rightarrow \text{source of truth},

再把：

W_\nu

視為 history projection。

另一些 Runtime 可以選擇：

W_\nu \rightarrow \text{canonical state store},

而：

\mathcal H

是 provenance companion。

GCM 接受兩者，前提是 invariants、replay claim、retention policy 與 lineage semantics 明確。

因此：

\boxed{ \text{GCM History Layer} \neq \text{Mandatory Event-Sourced Architecture}. }

44. History closure

即使 World state space 有限：

|\mathcal W|<\infty,

history space 仍可無界。

只要存在 loop：

s_0 \rightarrow s_1 \rightarrow s_0 \rightarrow \cdots,

history length 可以任意增長。

因此：

\boxed{ \text{Finite State Closure} \neq \text{Finite History Closure}. }

這也解釋 Paper-05 為何指出 bounded active memory 不推出 bounded history storage。

45. Schedule Explosion

對 $n$ 個可排序 events，naive 全排列最壞可達：

n!.

但 Runtime 實際需要保存的不是「所有可能 schedule」，而是：

actual execution；
necessary dependency structure；
selected speculative / counterfactual branches；
required equivalence metadata；
audit / replay / governance obligations。

因此：

\boxed{ \text{History Preservation} \neq \text{Enumerate All Interleavings}. }

46. Partial-order compression

若 $a,b$ 在 context $\theta$ 下 independent：

(a,b)\in I_\theta,

則 sequence：

\alpha ab\beta

與：

\alpha ba\beta

可在指定 $\mathbb S$ 下進入同一 trace-like equivalence class。

Runtime 可保存 dependency partial order：

G_H = (\mathcal E,\prec_D)

而不是每個 total-order permutation。

但 dependence / independence 的證明本身應可版本化，因為 Foundation、Observer 或 retained semantics 改變後，舊 quotient 可能不再有效。

47. Compression Soundness

令 compression operator：

\mathsf C_{\mathbb S}: \mathcal H \rightarrow \widehat{\mathcal H}.

若：

\mathsf C_{\mathbb S}(H_1) = \mathsf C_{\mathbb S}(H_2)

必然推出：

H_1 \sim_{\mathbb S} H_2,

則稱 $\mathsf C_{\mathbb S}$ 對 $\mathbb S$ sound。

即：

\boxed{ \mathsf C_{\mathbb S}(H_1) = \mathsf C_{\mathbb S}(H_2) \Rightarrow H_1\sim_{\mathbb S}H_2. }

如果反向不成立，compression 可能不是 maximal，但仍可以安全。

48. Compression completeness 不是必要條件

若：

H_1 \sim_{\mathbb S} H_2

但：

\mathsf C_{\mathbb S}(H_1) \neq \mathsf C_{\mathbb S}(H_2),

代表 Runtime 保存了更多資訊，但不一定錯。

真正危險的是 unsound merge：

H_1 \not\sim_{\mathbb S} H_2

卻：

\mathsf C(H_1) = \mathsf C(H_2).

因此初期 Reference Runtime 應優先保守 soundness，而不是追求最小 history size。

49. Hash 只能做 identity / integrity anchor

令：

h_H = \mathsf{Hash}(H).

這可以協助：

integrity；
dedup candidate discovery；
content addressing；
Merkle lineage；
tamper detection。

但：

\boxed{ \mathsf{Hash}(H) \neq \text{Causal Explanation}(H). }

hash 不會告訴 Runtime 哪些 event independent、誰擁有 authority、哪個 event compensates 哪一個 event。

50. Merkle DAG 也不是語義本身

Merkle DAG 可以高效表示 immutable content / ancestry，但 cryptographic parent edge 不一定等於：

\mathsf{causes}.

因此：

\boxed{ \text{Storage Ancestry} \neq \text{Semantic Causality}. }

GCM 可以使用 hash / Merkle 技術，但 relation type 必須另外保存。

51. Retention obligation

不是所有歷史都需要永久保存同等 fidelity。

令：

\mathsf{RetReq}(e) = \left\langle q_{\mathsf{audit}}, q_{\mathsf{replay}}, q_{\mathsf{rollback}}, q_{\mathsf{causal}}, q_{\mathsf{debug}}, q_{\mathsf{learning}}, q_{\mathsf{governance}}, q_{\mathsf{privacy}} \right\rangle.

Retention policy 應依 obligation 決定：

raw payload；
digest only；
summarized receipt；
external archive；
encrypted retention；
expired / redacted marker。

因此：

\boxed{ \text{Traceability} \neq \text{Keep Every Bit Forever}. }

52. Minimum Sufficient History 是相對問題

對 inquiry set：

\mathcal Q = \{q_1,\ldots,q_m\},

若 compressed history $\widehat H$ 滿足：

\forall q\in\mathcal Q, \quad \mathsf{Ans}(q,H) = \mathsf{Ans}(q,\widehat H),

則可稱 $\widehat H$ 對 $\mathcal Q$ 是 sufficient。

但 inquiry set 改變後，原 compression 可能不再 sufficient。

因此 history retention policy 本身應 versioned / auditable。

53. Privacy 與 provenance 的張力

History 越詳細，越可能暴露：

user input；
model prompt；
credentials / capability context；
private data path；
internal business logic；
third-party identifiers。

因此 GCM 不要求把 sensitive payload 直接寫進不可變 log。

可以使用：

data minimization；
access control；
encryption；
content indirection；
cryptographic erasure；
redaction marker；
retention tier；
provenance without raw payload。

但任何刪除 / redaction 都必須同步降低 replay / audit claim，不能一邊刪掉必要證據，一邊繼續宣稱 exact replay。

54. History policy 本身也要有 provenance

若 Runtime 將某段 history：

H \rightarrow \widehat H

進行 compression / deletion / archival，應建立 policy receipt，記錄：

policy version；
scope；
operator / authority；
retained semantics；
lost semantics；
storage destination；
verification；
effective time / revision。

因此：

\boxed{ \text{History Transformation} \text{ is itself a history event.} }

55. Branch-aware counterfactual reasoning

AI planner 可能問：

如果當時選另一個 route，會怎樣？

這時建立：

H^{\mathsf{cf}}

而不是修改：

H^{\mathsf{commit}}.

Counterfactual branch 應保存：

base version；
changed assumption；
simulated route；
model / Foundation version；
replay grade；
whether external side effects disabled。

因此：

\boxed{ \text{Counterfactual History} \neq \text{Committed Provenance}. }

56. History-aware learning 不取得 commit authority

AI / learned router 可以從 history 學習：

\theta_{m+1} = \mathsf{Learn}(\theta_m,\mathcal H_\eta).

但：

\boxed{ \text{Learn From History} \not\Rightarrow \text{Authority To Rewrite History} }

以及：

\boxed{ \text{History-based Route Proposal} \not\Rightarrow \text{Commit Authority}. }

這延續 Paper-03 的 authority non-escalation principle。

57. Canonical history consistency checks

Reference Runtime 至少應檢查：

所有 relation endpoint 都存在；
relation type 合法；
commit receipt 有合法 parent / predecessor；
Foundation version 可解析；
rollback / compensation target 存在；
Observer-only event 未偽裝成 World commit；
proposal / rejected branch 未偽裝成 committed lineage；
replay claim 與 retained prerequisites 相容；
history compression 具有 semantics profile；
receipt payload digest / locator 若宣稱可用，必須可驗證或標記 unavailable。

58. Receipt DAG 可以是多層 graph，而不是單層 DAG

若所有 edge 都是 strict causal precedence，通常可以形成 DAG。

但完整 provenance structure 可能同時包含：

causal DAG；
World version DAG；
Foundation lineage DAG；
storage graph；
semantic relation graph。

部分 semantic edge 可能不是 ordering relation。

因此更精確的說法是：

\boxed{ \text{History} = \text{typed provenance graph with ordered subrelations}. }

而不是宣稱所有關係都必須塞進一個單一 DAG。

59. Causal subgraph

定義：

G_{\mathsf{causal}} = (\mathcal E, \prec_{\mathsf{causal}}).

若：

e_i \prec_{\mathsf{causal}} e_j,

則 $e_j$ 的成立依賴 $e_i$ 的相關 effect / information / authority / trigger。

若：

e_i \parallel_{\mathsf{causal}} e_j,

只表示目前沒有 causal precedence 證據；是否可 history quotient 還需檢查 $I_\theta$ 。

因此：

\boxed{ \text{Concurrent} \not\Rightarrow \text{Semantically Independent}. }

60. Commit subgraph

對 committed World versions：

G_{\mathsf{commit}} = (V_W,E_W^{\mathsf{commit}}).

每個 commit edge 應可對應到 commit receipt：

e_c: W_a \rightarrow W_b.

如果 branch merge：

(W_b,W_c) \rightarrow W_d,

則 $e_c$ 可以有多 parent anchor。

這比把所有 World versions 強迫塞進單一 numeric order 更一般。

61. Observer subgraph

Observer history 可寫：

G_O = (V_O,E_O).

若 Observer event 只改 presentation：

\Delta W=0.

但 $e_O$ 可以與後續 command 有 causal edge。

這讓系統可以回答：

某次 World-changing action 是否源自先前某個 observation / query？

而不必把 observation 自己誤標成 World mutation。

62. Lifecycle subgraph

Paper-05 的 archive / restore / activate history 可形成：

G_L = (V_L,E_L).

例如：

e_{\mathsf{archive}} \prec_{\mathsf{causal}} e_{\mathsf{restore}} \prec_{\mathsf{causal}} e_{\mathsf{reactivate}}.

這條 lineage 對 debug reactivation failure、cost accounting 與 audit 很重要，但不應和 World commit order混為一談。

63. Foundation subgraph

Foundation lineage：

G_F = (V_F,E_F).

其中：

F^{(v)} \rightarrow F^{(v+1)}

必須由 explicit revision receipt 支援。

如果 schema migration 產生：

W_a^{(v)} \rightarrow W_b^{(v+1)},

則 migration receipt 同時 anchor 到：

F^{(v)}, F^{(v+1)}, W_a, W_b.

64. Global history 不要求 flatten 所有 sub-world

若 parent World 包含 recursive sub-worlds：

W \supset W_1,\ldots,W_n,

每個 sub-world 可保有 local history：

\mathcal H_i.

parent 只需保存：

\mathsf{HistoryAnchor}_i

與必要 summary / boundary receipts。

因此：

\boxed{ \text{Recursive Globality} \neq \text{Flatten Every Descendant Log}. }

這延續 Paper-05 的 bounded active realization。

65. History storage 可以 out-of-core

History / archive size 可以持續增長，因此 $\mathcal H$ 不要求完全 resident in memory。

可使用：

hot recent receipts；
indexed summaries；
checkpoint segments；
external object store；
append-only segment；
content-addressed archive；
compressed dependency graph。

但 index / query path 不能每次 full scan entire history，否則 Paper-05 的 support-local cost discipline 會被 history layer 破壞。

66. Bounded active memory 不推出 bounded history cost

即使：

|\mathsf{Act}_\mu|<B,

如果每次 commit 都：

\mathsf{Scan}(\mathcal H_\eta),

則 cost 仍可隨 history length 增長。

因此：

\boxed{ \text{Bounded Active Memory} \neq \text{Bounded History Access Cost}. }

History index / summary / partition strategy 應成為 TW-02 Runtime Architecture 的一級模組。

67. History cost decomposition

可將 history-related cost 粗分：

C^{\mathsf{hist}}_\eta = C^{\mathsf{append}}_\eta + C^{\mathsf{index}}_\eta + C^{\mathsf{query}}_\eta + C^{\mathsf{verify}}_\eta + C^{\mathsf{checkpoint}}_\eta + C^{\mathsf{compress}}_\eta + C^{\mathsf{archive}}_\eta + C^{\mathsf{replay}}_\eta.

GCM 不宣稱存在普遍最小化所有維度的單一 objective；不同 Runtime 可以設 hard constraints 與 optimization preferences。

68. Endpoint closure 與 history closure 的形式命題

若 finite state system 存在可重複 loop $L$ ：

W \xrightarrow{L} W,

則對任意 $k\in\mathbb N$ ，存在 history：

H_k =L^k.

即使所有 $H_k$ endpoint 相同：

\mathsf{Eval}(W,H_k)=W,

若 semantics profile 保留 loop count / cost / audit，則：

H_i \not\sim_{\mathbb S} H_j \quad (i\neq j).

因此有限 state closure 不能推出 history closure。

69. Loop quotient 依 semantics 決定

若只關心 endpoint，可以把：

L^k

壓成：

(k,L).

如果連 $k$ 都不重要，甚至可進一步 quotient。

但若每輪具有不同：

\{c_1,\ldots,c_k\},

或不同 external side effects，則單一 $k$ 不足。

因此 compression schema 必須由 $\mathbb S$ 指定。

70. History reconstruction 不等於 causality discovery

從 log replay 可以重建某些 state，但：

\boxed{ \text{Replayable Order} \neq \text{True Causal Explanation}. }

如果 log 只保存 total serialization，可能丟失原本 concurrent relation；反之，一個 causal graph 也未必包含所有 replay 所需的 nondeterministic choice。

因此 replay metadata 與 causal metadata 應分開建模。

71. History query classes

Reference Runtime 至少應支援幾類 query：

State lineage query

哪些 commit 形成目前 $W$ ？

Causal query

哪個 event 導致 $e_j$ ？

Authority query

哪個 actor / delegation 允許這個 commit？

Replay query

從哪個 checkpoint 可以重建？Replay grade 是什麼？

Rollback / compensation query

哪個 event 被回退或補償？

Foundation query

這個 World version 建立在哪個 Foundation 下？

Lifecycle query

這個 domain 何時 archive / restore？

Observer query

哪個 observation 促成後續 action？

這些 query 的最低 history requirement 不相同。

72. Provenance graph 與 W3C PROV 的可映射性

GCM event / receipt 可以選擇映射到一般 provenance vocabulary：

event execution 對應 activity；
World / artifact / checkpoint 對應 entity；
actor / agent 對應 agent；
derivedFrom / generatedBy / attributedTo 可映射既有 provenance relation。

但 GCM 不要求所有 Runtime 直接使用 RDF / OWL。

本文只要求：

\boxed{ \text{GCM receipt semantics should be exportable to a provenance model,} }

而不是創造一個不可互通的封閉格式。

73. Provenance-of-provenance

如果 history 本身被：

compressed；
migrated；
redacted；
reindexed；
exported；
verified；

這些操作也需要 lineage。

因此 provenance store 可以有 meta-provenance：

\mathcal H^{(2)} = \text{history of history transformations}.

但 Reference Runtime 不需要遞歸無限展開；它可以用 stable policy receipt + versioned metadata 收斂。

74. Semantics profile 也必須 versioned

若 history quotient 使用：

\mathbb S^{(v)},

未來變更為：

\mathbb S^{(v+1)},

舊 compression 不一定仍充分。

因此：

\boxed{ \text{History Equivalence Is Versioned Relative To Its Semantics Profile}. }

這可以避免未來因 audit requirement 增加，卻發現過去已在較粗 quotient 下不可逆丟失必要資訊。

75. Compression 前應先定 retention frontier

對 old history segment：

H_{[a,b]},

Runtime 在壓縮前至少要確定：

哪些 open transactions 仍引用它？
哪些 rollback window 尚未關閉？
哪些 audit / legal / operational obligation 尚有效？
哪些 active branch 仍依賴它？
哪些 archived state 需要它 replay？
哪些 model / router summary 尚未 checkpoint？

只有超過 retention frontier 的 segment 才可進更強 compression / external archive。

76. History compaction 不應破壞 live dependency

若 event $e_j$ 仍依賴 old event $e_i$ ：

e_i \prec_{\mathsf{causal}} e_j,

即使 $e_i$ payload 被壓縮，仍需保留可證明的 anchor / summary，使 dependency 不變成 dangling semantic edge。

因此：

\boxed{ \text{Compaction} \not\Rightarrow \text{Dangling Provenance}. }

77. History retention 與 active support 是兩個維度

Paper-05 已固定：

\mathsf{Pin}^{\mathsf{Act}} \neq \mathsf{Pin}^{\mathsf{Mat}} \neq \mathsf{Pin}^{\mathsf{Ret}}.

因此一個 old receipt 可以：

\mathsf{Retained}=1,

但：

\mathsf{Active}=0,

\mathsf{Materialized}=0.

這使 audit retention 不必強迫 expensive active memory 常駐。

78. History security boundary

History store 可能包含比 current state 更敏感的資訊，因此 authority model 要延伸到：

P_{\mathsf{historyRead}}, P_{\mathsf{historyAppend}}, P_{\mathsf{historyCompress}}, P_{\mathsf{historyRedact}}, P_{\mathsf{historyExport}}.

並保持：

P_{\mathsf{observeWorld}}=1 \not\Rightarrow P_{\mathsf{historyRead}}=1.

也就是能看目前 World projection，不代表能查看完整歷史。

79. History tamper model

Runtime 可以使用 hash chain / signature / Merkle anchor 增強 integrity，但必須明示 threat model。

最低可檢查：

receipt content integrity；
parent anchor integrity；
version monotonicity / branch consistency；
unauthorized rewrite；
missing segment marker；
signature / verifier identity。

但 cryptographic integrity 不自動證明 semantic truth；錯誤 input 也可以被正確 hash。

因此：

\boxed{ \text{Integrity} \neq \text{Truth} \neq \text{Semantic Validity}. }

80. History truth claim 必須分級

可區分：

\mathsf{Recorded},

\mathsf{Verified},

\mathsf{Attested},

\mathsf{Replayed},

\mathsf{ExternallyConfirmed}.

一個 receipt 被記錄，只代表 Runtime 有這筆紀錄；它是否經 verifier、外部證據或 replay 支持，是另外的 evidence level。

這延續時空控制系列中的：

\text{Capability Class} \neq \text{Evidence Level}.

81. 最小 History Runtime Pipeline

Reference Runtime 可以採：

Operation Request
    ↓
Route Receipt
    ↓
Execution Receipt(s)
    ↓
Proposal Graph
    ↓
Reconciliation Receipt
    ↓
Verification Receipt
    ↓
Commit / Reject / Rollback Receipt
    ↓
Typed Relation Update
    ↓
History Index / Summary Update
    ↓
Checkpoint / Compression / Archive Policy

Observer、lifecycle 與 Foundation events 走各自 typed path，再用 relation edge 與共同 anchor 關聯。

82. Minimal algorithm sketch

handle_event(event):
    ctx = resolve_context(event)
    auth = check_history_authority(event, ctx)
    require(auth.ok)

    receipt = make_typed_receipt(event, ctx)
    relations = infer_required_relations(receipt, ctx)
    verify_relation_constraints(relations)

    append_receipt(receipt)
    append_relations(relations)
    update_history_indexes(receipt, relations)

    if receipt.status == COMMITTED:
        anchor_world_version(receipt)

    update_history_summary(receipt)
    maybe_checkpoint()
    maybe_compact_only_if_sound()

此 pseudo-code 不指定 storage backend，也不宣稱 relation inference 可完全自動化。

83. History quotient algorithm sketch

can_quotient(h1, h2, semantics_profile):
    obligations = load_semantics(semantics_profile)
    evidence = compare_history_semantics(h1, h2, obligations)

    if evidence.proves_equivalence:
        return ALLOW_WITH_CERTIFICATE

    if evidence.proves_difference:
        return REJECT

    return DEFER

Reference Runtime 應偏向：

\boxed{ \text{Unknown Equivalence} \Rightarrow \text{Do Not Merge By Default}. }

84. History Compression Certificate

若 Runtime quotient / compact history segment，建議產生：

\mathsf{HistCert} = \left\langle \mathsf{inputRange}, \mathsf{profileVersion}, \mathsf{method}, \mathsf{preservedQueries}, \mathsf{lostQueries}, \mathsf{verifier}, \mathsf{digest}, \mathsf{outputAnchor} \right\rangle.

這使未來可以回答：

這段歷史為什麼被壓縮成這樣？當時保證保留什麼？

85. History-aware global coherence

Paper-01 的 global coherence 原本主要判斷 candidate World state 是否可 commit。

Paper-06 加入 history obligation 後，可擴張為：

\mathsf{Coherent}^{\mathsf{hist}}_{B_W} = \mathsf{Coherent}_{B_W} \land \mathsf{HistoryWellTyped} \land \mathsf{LineageAnchored} \land \mathsf{RetentionSatisfied}.

也就是某個 World commit 即使 state invariants 通過，若 required receipt / provenance 完全缺失，仍可被 Runtime policy 判為不可接受。

是否把這項設為 hard commit gate，由 Foundation / deployment policy 決定。

86. 形式命題一：State Equality Does Not Entail History Equality

存在：

H_1\neq H_2

使：

\mathsf{Eval}(W_0,H_1) = \mathsf{Eval}(W_0,H_2).

因此：

\boxed{ W_a=W_b \not\Rightarrow H_a=H_b. }

這是本文最基本命題。

87. 形式命題二：Endpoint Closure Does Not Entail History Closure

若 finite state graph 存在 cycle，則 state set 可有限，但 execution histories 仍可因 cycle count 無界增長。

因此：

\boxed{ |\mathcal W|<\infty \not\Rightarrow |\mathcal H|<\infty. }

88. 形式命題三：Commutativity Is Not Sufficient for History Equivalence

存在 $a,b$ 使：

\Phi_a\Phi_b = \Phi_b\Phi_a,

但因 audit / side effect / authority / cost semantics：

ab \not\sim_{\mathbb S} ba.

因此 algebraic commutativity 不是 history quotient 的充分條件。

89. 形式命題四：Log Order Does Not Entail Causal Order

若 concurrent events 經 storage serialization 形成：

e_a \prec_{\mathsf{log}} e_b,

但兩者沒有 causal dependence：

e_a \parallel_{\mathsf{causal}} e_b,

則 log order 不能被解讀為 causal fact。

90. 形式命題五：Rollback Does Not Erase Provenance

若 event $e$ 已實際執行且後續 rollback $r$ ：

r \xrightarrow{\mathsf{rollbackOf}} e,

即使 endpoint 恢復：

W_{after}=W_{before},

history 仍包含：

\{e,r\}.

因此 rollback 不等於歷史抹除。

91. 形式命題六：Compression Soundness Is Semantics-relative

存在 $\mathbb S_1,\mathbb S_2$ ，使 compression $\mathsf C$ 對 $\mathbb S_1$ sound，但對 $\mathbb S_2$ 不 sound。

例如 endpoint-only compression 可能對：

\mathbb S_1=\mathsf{Endpoint}

安全，但對：

\mathbb S_2=\mathsf{Audit}

不安全。

因此：

\boxed{ \text{No Universal History Compression Without a Semantics Contract}. }

92. 形式命題七：Exact Replay Requires More Than State Snapshot

若 replay 依賴 nondeterministic choice $r$ ，但 snapshot 未保存 $r$ ：

K_j \not\Rightarrow W_\nu

的唯一重建 path。

因此 exact replay 必須保存足夠 event / nondeterminism / version metadata。

93. 形式命題八：Bounded Active Memory Does Not Bound History

即使對所有 Runtime revision：

|\mathsf{Act}_\mu|\le B,

若每次 commit 都新增 retained receipt，則：

|\mathcal E_\eta| \rightarrow \infty

仍可能成立。

因此 Paper-05 的 active support bound 與 Paper-06 的 retention policy 是不同問題。

94. Canonical Invariants Registry — Paper-06

I-06-01 State / History Separation

\boxed{ \text{State Equality} \not\Rightarrow \text{History Equality}. }

I-06-02 Endpoint / History Closure Separation

\boxed{ \text{Endpoint Closure} \neq \text{History Closure}. }

I-06-03 Typed Order Separation

\boxed{ \prec_{\mathsf{exec}}, \prec_{\mathsf{causal}}, \prec_{\mathsf{commit}}, \prec_{\mathsf{log}}, \prec_{\mathsf{observer}}, \prec_{\mathsf{foundation}} \text{ are not interchangeable.} }

I-06-04 Proposal / Commit History Separation

\boxed{ \text{Executed Proposal} \not\Rightarrow \text{Committed World Mutation}. }

I-06-05 Rollback Persistence

\boxed{ \text{Rollback} \neq \text{Erase Event Provenance}. }

I-06-06 Compensation Persistence

\boxed{ \text{Compensation} \neq \text{No Prior Event}. }

I-06-07 Hash / Semantics Separation

\boxed{ \text{Hash Equality} \not\Rightarrow \text{History Semantic Equality}. }

I-06-08 Snapshot / History Separation

\boxed{ \text{Snapshot} \neq \text{History}. }

I-06-09 Replay Honesty

Replay grade 必須與可用 prerequisites 一致，不得將 approximate / semantic replay 宣稱為 exact replay。

I-06-10 Foundation Lineage

任何 Foundation revision 都必須 explicit、versioned、auditable。

I-06-11 Observer / World History Separation

Pure observation 不得被記成 World mutation receipt。

I-06-12 Lifecycle / World History Separation

Archive / restore / activation event 不得因不修改 World primitive 就被無條件丟失。

I-06-13 Contextual Independence

History independence 必須相對 context / semantics profile；不得只以 thread / domain identity 判定。

I-06-14 Compression Soundness

任何 quotient / compression 都必須聲明其 semantics profile 與 preservation obligation。

I-06-15 Unknown Equivalence Safety

\boxed{ \text{Unknown History Equivalence} \Rightarrow \text{No Merge By Default}. }

I-06-16 Counterfactual Separation

Speculative / counterfactual branch 不得污染 committed provenance。

I-06-17 History Authority

World read authority 不自動包含 history read / redact / export authority。

I-06-18 History Transformation Provenance

History compression / deletion / migration 本身必須留下 policy lineage。

I-06-19 Integrity / Truth Separation

\boxed{ \text{Cryptographic Integrity} \neq \text{Semantic Truth}. }

I-06-20 Bounded Activity / History Separation

\boxed{ \text{Bounded Active Support} \not\Rightarrow \text{Bounded History Size or Cost}. }

95. Reference Runtime MVP experiments

Experiment 06-A — Same Endpoint / Different History

建立兩條 sequence 抵達相同 $W$ ，確認 endpoint dedup 不會自動合併 receipts。

Experiment 06-B — Noncommutative Order

使用：

a:x\mapsto 2x, \quad b:x\mapsto x+1

驗證 $ab$ / $ba$ 的 endpoint 與 history 都不同。

Experiment 06-C — Commutative but Audit-distinct

建立兩個 endpoint-commutative operations，但設定不同 authority / cost metadata，確認 audit profile 下不可 quotient。

Experiment 06-D — Context-dependent Independence

先讓兩個 events 無 Observer dependency，再加入 Observer-visible intermediate read，確認 independence relation 改變。

Experiment 06-E — Log Order / Causal Order Separation

平行執行兩個 independent events，storage 故意 serial append，確認 causal graph 不新增假 edge。

Experiment 06-F — Retry History

比較一次成功與兩次失敗後成功；endpoint 相同，但 reliability history 不同。

Experiment 06-G — Rollback vs Compensation

測試 uncommitted rollback 與 committed compensation，確認 relation type 不同且 prior receipt 保留。

Experiment 06-H — Checkpoint Replay

以 checkpoint + delta 重建 World，驗證 hash / invariant / version anchor。

Experiment 06-I — Replay Grade Downgrade

故意移除 random seed 或 model version，確認 Runtime 從 Exact 降級為 SemanticEquivalent / NonReplayable，而非假稱 exact。

Experiment 06-J — Foundation Revision Lineage

執行：

\mathcal F^{(v)} \rightarrow \mathcal F^{(v+1)}

並測 migration / fork / reject 三種 path 的 history anchor。

Experiment 06-K — Observer Causal Trigger

Observer query 不改 World；之後由 authorized command 修改 World，建立 observer-to-world causal edge。

Experiment 06-L — Lifecycle Provenance

執行 archive → restore → reactivate，確認 lifecycle receipt 與 World commit history 可分層查詢。

Experiment 06-M — Semantic Compression

同一 history 分別以 Endpoint profile 與 Audit profile 壓縮，確認兩者 quotient granularity 不同。

Experiment 06-N — History Growth Independence

固定 active support 大小，持續產生 commit receipts，確認 active memory bounded 但 history size 增長；再加入 partitioned index，測 query cost 是否避免 full scan。

Experiment 06-O — Counterfactual Isolation

建立 speculative / counterfactual branches，確認未 commit branch 不會出現在 canonical World lineage，但仍可被 debug / learning query 存取。

96. MVP 最低 History API

建議最低 API：

append_receipt(receipt) -> history_anchor
link_events(src, relation_type, dst) -> relation_receipt
query_lineage(world_version) -> lineage_view
query_causes(event_id) -> causal_view
query_authority(event_id) -> authority_view
query_foundation_lineage(version) -> foundation_view
checkpoint(world_version, policy) -> checkpoint_receipt
replay(checkpoint_id, target, mode) -> replay_receipt
rollback(proposal_or_tentative_id) -> rollback_receipt
compensate(commit_id, operation) -> compensation_proposal
fork(base_version, purpose) -> branch_id
merge(branches, contract) -> merge_proposal
compress_history(range, semantics_profile) -> compression_certificate
archive_history(range, policy) -> archive_receipt

這些 API 只是 Reference Runtime 的最小工程映射，不是 GCM 的唯一實作方式。

97. 與 TW-01 的接口

TW-01｜GCM Canonical Specification & Formal Contract 應從本文匯入：

event type registry；
relation type registry；
history status registry；
semantics profile schema；
replay grade；
compression certificate；
Foundation / World / Observer / lifecycle history boundary；
history authority classes。

98. 與 TW-02 的接口

TW-02｜GCM Reference Runtime Architecture 應實作：

History / Provenance Store
History Index
Causal Graph Index
World Version Graph
Foundation Lineage Registry
Checkpoint Manager
Replay Engine
Compression / Retention Manager
History Authority Gate
Integrity / Digest Service
External Archive Adapter

並與 Paper-03 Commit Engine、Paper-04 Projection Service、Paper-05 Active Support Manager 互連。

99. 與 TW-03 的接口

TW-03｜GCM Conformance & Verification Specification 至少應測：

C_{H1}: W_a=W_b \not\Rightarrow H_a=H_b,

C_{H2}: \text{Observer-only event} \Rightarrow \Delta W=0,

C_{H3}: \text{Rollback} \Rightarrow \text{prior receipt retained},

C_{H4}: \text{Foundation revision} \Rightarrow \text{explicit lineage},

C_{H5}: \text{compression} \Rightarrow \text{semantics profile + certificate},

C_{H6}: \text{counterfactual branch} \not\Rightarrow \text{committed history},

C_{H7}: \text{log serialization} \not\Rightarrow \text{causal edge}.

100. Open Problems

Context-dependent independence 的 proof obligation 如何高效自動化？
多 Observer 下，如何計算最小 observable-history quotient？
不同 Foundation version 的 history 如何做 cross-version causal query？
branch / merge world version graph 何時需要 CRDT / distributed merge semantics？
exact replay 在 AI model nondeterminism、remote service 與 hardware nondeterminism 下的最低條件是什麼？
provenance retention 如何同時滿足 privacy minimization 與 audit obligation？
history compression certificate 如何做 machine-checkable proof？
history index 如何維持 support-local cost，而不隨長期 lineage 線性退化？
counterfactual branch 是否需要與 committed history 採不同 storage trust model？
Foundation revision 是否需要獨立 human / multi-party governance quorum？
history-aware routing 如何避免「因過去偏差而固化未來路徑」？
distributed sub-world 的 local histories 何時需要被提升為 parent-world causal edge？
cryptographic transparency log 與 semantic provenance graph 應如何最小耦合？
history redaction 後，哪些 replay / proof claims 必須自動降級？
長期 AI Runtime 是否需要 provenance-of-model-update 與 provenance-of-memory-update 的獨立 edge types？

101. 第一輪 v0.1 → v0.2 的主要升級

第一輪以：

H_t = (a_0,\ldots,a_{t-1})

與 Receipt DAG 作為主要直覺。

第二輪正式升級為：

\mathcal H_\eta = \left\langle \mathcal E_\eta, \mathcal A_\eta, \mathsf{EType}, \mathsf{RType}, \mathsf{Status}, \mathsf{Anchor}, \mathsf{PayloadRef} \right\rangle.

主要差異包括：

$t$ 不再同時表示 World、Runtime、Observer、history；
History 不再只是一條 sequence；
Relation edge typed；
proposal / commit / rollback / compensation 分離；
Observer history 與 World history 分離；
lifecycle history 正式接入 Paper-05；
Foundation lineage 成為一級 history object；
exact / approximate replay 分級；
quotient 必須 semantics-relative；
compression / deletion 本身具有 provenance；
hash / Merkle 只做 integrity / identity，不做 causal semantics；
branch / merge / counterfactual history 被正式型別化。

102. 六篇正式論文的閉合

至此，GCM 六篇正式核心論文形成：

Paper-01

回答：

什麼是 World-relative globally coherent heterogeneous computation？

Paper-02

回答：

computational configuration 如何形成可定址、可擴張 basis？

Paper-03

回答：

candidate 如何經 Reachability、Admissibility、Authority、Execution、Reconciliation 與 Commit？

Paper-04

回答：

computation、observation、materialization、resolution、clock/order 如何分離？

Paper-05

回答：

有限 Runtime 如何維持可能無界擴張的 World，而不要求 full active realization？

Paper-06

回答：

當 Runtime 真正演化後，哪些過程必須被保存？何時 history 可以 quotient？如何 replay、rollback、compress、retain 並保留 provenance？

因此六篇共同形成：

\boxed{ \text{Configuration} \rightarrow \text{Routing} \rightarrow \text{Execution} \rightarrow \text{Observation} \rightarrow \text{Bounded Realization} \rightarrow \text{Traceable Evolution}. }

103. 最終定義：可追溯全域演化

本文將 Traceable Global Evolution 定義為：

在指定 World boundary 與 Foundation version 下，Global Runtime 不只維持目前可提交的 canonical World state，也維持或可重建足以區分目標 semantics 中重要 execution histories 的 typed provenance structure，使 noncommutative order、causal dependency、authority、configuration switching、failure、rollback / compensation、Observer trigger、lifecycle transition 與 Foundation revision 不會因 endpoint state 相同而被無條件消失；同時允許在明確 equivalence / retention contract 下對 independent、redundant 或過期歷史進行安全 quotient、checkpoint、compression 與 archive。

形式上：

\boxed{ \left( W_\nu, [\mathcal H_\eta]_{\mathbb S} \right) }

共同構成 GCM 可追溯 Runtime 對「現在」的最低描述。

這不表示 history quotient 永遠只有一個； $\mathbb S$ 必須 explicit、versioned。

104. 結論

終點狀態是一種壓縮。

歷史則保存「如何到達」。

在簡單系統中，endpoint 可能足以繼續運行；但在 heterogeneous、concurrent、authority-sensitive、可 rollback、可 Foundation revision、可 archive / restore、可由 Observer 觸發行動的 Global Runtime 中，把 endpoint equality 當成 process equality 會丟失真正重要的資訊。

因此本文固定：

\boxed{ \text{State Equality} \not\Rightarrow \text{History Equality} }

與：

\boxed{ \text{Endpoint Closure} \neq \text{History Closure}. }

但本文同樣拒絕另一個極端：GCM 不要求永久保存所有 permutation、所有 payload 或所有 counterfactual branch。真正可擴張的 history 方法是：

\boxed{ \text{Typed Events} + \text{Typed Relations} + \text{Semantic Equivalence} + \text{Checkpoint / Replay} + \text{Retention Contract} + \text{Compression Certificate}. }

如此一來，GCM 才能同時避免兩種失敗：

\text{Endpoint-only Amnesia}

與：

\text{Unbounded Naive History Explosion}.

六篇正式理論到此形成第一個完整閉合：Global Computation 不只是一個「如何算」的方法論，也是一個「如何證明自己算過什麼、為何能 commit、如何回復、如何保留差異、何時可以安全忘記」的方法論。

參考文獻

Lamport, L. (1978). Time, Clocks, and the Ordering of Events in a Distributed System. Communications of the ACM, 21(7), 558–565. DOI: 10.1145/359545.359563.
Fidge, C. J. (1988). Timestamps in Message-Passing Systems That Preserve the Partial Ordering. Proceedings of the 11th Australian Computer Science Conference, 56–66.
Mattern, F. (1989). Virtual Time and Global States of Distributed Systems. Proceedings of the Workshop on Parallel and Distributed Algorithms, 215–226.
Chandy, K. M., & Lamport, L. (1985). Distributed Snapshots: Determining Global States of Distributed Systems. ACM Transactions on Computer Systems, 3(1), 63–75. DOI: 10.1145/214451.214456.
Aalbersberg, I. J., & Rozenberg, G. (1988). Theory of Traces. Theoretical Computer Science, 60(1), 1–82. DOI: 10.1016/0304-3975(88)90051-5; see also Mazurkiewicz trace theory and Diekert & Rozenberg (eds.), The Book of Traces (1995).
Godefroid, P., Peled, D., & Staskauskas, M. (1996). Using Partial-Order Methods in the Formal Validation of Industrial Concurrent Programs. IEEE Transactions on Software Engineering, 22(7), 496–507.
Flanagan, C., & Godefroid, P. (2005). Dynamic Partial-Order Reduction for Model Checking Software. POPL 2005, 110–121. DOI: 10.1145/1040305.1040315.
Buneman, P., Khanna, S., & Tan, W.-C. (2001). Why and Where: A Characterization of Data Provenance. ICDT 2001.
W3C Provenance Working Group (2013). PROV-DM: The PROV Data Model; PROV-O: The PROV Ontology; PROV-CONSTRAINTS. W3C Recommendations.
Garcia-Molina, H., & Salem, K. (1987). Sagas. Proceedings of ACM SIGMOD 1987. DOI: 10.1145/38713.38742.
Fowler, M. (2005). Event Sourcing. Enterprise Application Architecture pattern notes.
Overeem, M., Spoor, M., Jansen, S., & Brinkkemper, S. (2021). An Empirical Characterization of Event Sourced Systems and Their Schema Evolution — Lessons from Industry. Journal of Systems and Software, 178, 110970. DOI: 10.1016/j.jss.2021.110970.
Nakajima, Y. (2026). The Log is the Agent: Event-Sourced Reactive Graphs for Auditable, Forkable Agentic Systems. arXiv:2605.21997.
dos Santos Filho, E. B. (2026). ESAA: Event Sourcing for Autonomous Agents in LLM-Based Software Engineering. arXiv:2602.23193.
Niu, X., Arab, B. S., Lee, S., Feng, S., Zou, X., Gawlick, D., Krishnaswamy, V., Liu, Z. H., & Glavic, B. (2017). Debugging Transactions and Tracking their Provenance with Reenactment. arXiv:1707.09930.

Canonical publication note

本文為 Global Computation Methodology Series 的第六篇正式核心論文。Series-00 為總綱與 canonical architecture anchor；Paper-01 至 Paper-06 為正式理論主體。下一階段不新增 Paper-07，而進入既定三份技術白皮書與 GCM Reference Runtime MVP。