FDRS / FCSR Classical Cube Foundations V

啟發式與剪枝：Admissibility、Pattern Database 與搜尋下界

英文題名： Heuristics and Pruning: Admissibility, Pattern Databases, and Search Lower Bounds
系列： FDRS / FCSR Classical Cube Foundations
系列編號： EML-FDRS-FCSR-CUBE-05
版本： v0.1
日期： 2026-08-20
作者： Neo.K
機構： 一言諾科技有限公司（EveMissLab）
狀態： Orthodox Origin Continuation / 經典地基第五篇

摘要

第四篇將 BFS、雙向搜尋、A* 與 IDA* 統一為對搜尋問題

\mathcal Q=(X,A,T,G,c,h)

採取不同 frontier 與 memory policy 的方法。本文進一步聚焦其中最能決定實際搜尋規模的部分：heuristic 與 pruning。

本文首先把 heuristic 從「經驗猜測」重新定義為可證明的剩餘成本下界。若真實最短剩餘成本為 $h^\ast(x)$ ，admissibility 要求

0\leq h(x)\leq h^\ast(x).

這個不等式不是裝飾性質，而是 A* / IDA* 能安全排除搜尋分支、同時保留最短解保證的核心。本文進一步區分 admissibility 與 consistency，並證明多個 admissible heuristics 的最大值仍為 admissible；相反，直接相加一般不保證 admissible，除非各抽象問題之間具有適當的 cost partition / additive abstraction 結構。

在此基礎上，本文把 Pattern Database（PDB）寫成一個抽象搜尋圖上的精確距離表。設抽象映射為

\alpha:\mathcal S\rightarrow\mathcal A,

若每個具體 move 在抽象圖中的成本不大於原 move 成本，則抽象最短距離

d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G))

天然構成具體問題的 admissible lower bound。PDB 的本質因此不是「背答案」，而是預先求解一個較小的抽象問題，並把精確抽象距離重用為完整問題的下界證書。

本文亦重新檢查既有 FDRS 魔方 Demo 的 piece-count heuristic：

h(s) = \max\left( \left\lceil\frac{N_c^{\mathrm{wrong}}}{4}\right\rceil, \left\lceil\frac{N_e^{\mathrm{wrong}}}{4}\right\rceil \right).

由於任一標準 face turn 僅改變四個 corners 與四個 edges，單步最多使四個 incorrect corners 或四個 incorrect edges 歸位，因此該 heuristic 不只可證 admissible，亦可證 consistent。這使原 Demo 中一個原本僅作工程直覺使用的 heuristic，可以被提升為正式 Search Kernel 的第一個 verified baseline。

本文最後建立四類 pruning：bound pruning、move-sequence pruning、duplicate / transposition pruning、symmetry / quotient pruning，並要求所有 pruning rule 都具有明確的 safety contract。新版 FCSR 可視化層將不再只顯示「節點被剪掉」，而會顯示下界來源、PDB lookup、支配關係與剪枝理由，使 heuristic search 的內部計算可以被直接觀察。

關鍵詞： heuristic、admissibility、consistency、Pattern Database、PDB、lower bound、pruning、IDA*、A*、cost partition、FCSR、FDRS

1. Heuristic 不是答案，而是下界

對搜尋狀態 $x$ ，令真實到目標集合的最短成本為：

h^\ast(x) = d(x,G).

heuristic：

h:X\rightarrow\mathbb R_{\geq0}

若滿足：

0 \leq h(x) \leq h^\ast(x)

對所有 $x$ 成立，則稱為 admissible。

因此 admissible heuristic 的角色不是「猜答案有多遠」，而是聲明：

真實答案至少不會比這個數字更近。

也就是：

\boxed{ h(x) = \text{certified lower bound}. }

這個定位對形式驗證尤其重要。

2. 為什麼 lower bound 可以安全剪枝

考慮 IDA* 的 threshold：

\theta.

目前節點 $n$ 的已花成本為：

g(n).

若：

g(n)+h(n)>\theta,

又因：

h(n)\leq h^\ast(n),

則：

g(n)+h^\ast(n) \geq g(n)+h(n) > \theta.

所以任何經過 $n$ 到達 goal 的路徑，總成本都必然：

>\theta.

因此該 subtree 可以安全排除。

這給出本文第一個核心 theorem schema：

\boxed{ \text{Lower-bound proof} \Rightarrow \text{pruning safety}. }

3. Admissibility 與 consistency 不同

heuristic 稱為 consistent，若對任意合法 edge

x\xrightarrow{a}y

滿足：

h(x) \leq c(x,a,y)+h(y),

並要求 goal 上：

h(g)=0.

consistency 可以理解為 heuristic 自己也滿足一種 triangle inequality。

若所有 edge cost 非負，consistent heuristic 自動 admissible。

但 converse 一般不成立：

\text{admissible} \not\Rightarrow \text{consistent}.

這個差異對 graph-search A* 的 closed / reopen policy 很重要。

4. Zero heuristic、perfect heuristic 與 dominance

若：

h_0(x)=0,

則它永遠 admissible，但幾乎不提供方向。

若：

h_{\mathrm{perfect}}(x) = h^\ast(x),

則它是 perfect heuristic。

所以 heuristic design 可以被理解成：

h_0 \preceq h \preceq h^\ast.

若兩個 admissible heuristics：

h_1,h_2

對所有 $x$ 滿足：

h_1(x)\geq h_2(x),

則稱 $h_1$ dominates $h_2$ 。

較大的 admissible lower bound 在 bound quality 上不會比較弱，但實際 wall-clock time 還取決於 heuristic evaluation cost 與 memory access cost。

5. 最大值組合定理

若：

h_1,\ldots,h_k

皆 admissible，定義：

h_{\max}(x) = \max_i h_i(x).

因每個：

h_i(x)\leq h^\ast(x),

所以：

\max_i h_i(x) \leq h^\ast(x).

因此：

\boxed{ h_{\max} \text{ 仍為 admissible}. }

同理，若每個 $h_i$ consistent，則 $h_{\max}$ 亦 consistent。

6. 為什麼不能隨便相加

若：

h_1(x) \leq h^\ast(x)

且：

h_2(x) \leq h^\ast(x),

並不能推出：

h_1(x)+h_2(x) \leq h^\ast(x).

因為兩個 heuristic 可能都在計算同一批真實 move 的成本。

因此：

\boxed{ \text{admissible} + \text{admissible} \not\Rightarrow \text{admissible}. }

要安全相加，必須證明成本沒有被重複計算，或使用更一般的 cost partition。

7. 從 representation 到 search abstraction

第三篇已建立 task-reduced representation：

R: \mathcal S\rightarrow X.

本文把其中一類特別提升為 search abstraction。

令具體搜尋圖為：

\Gamma = (\mathcal S,E,c),

抽象圖為：

\Gamma_\alpha = (\mathcal A,E_\alpha,c_\alpha),

以及抽象映射：

\alpha: \mathcal S \rightarrow \mathcal A.

若每個具體 edge：

s\xrightarrow{a}s'

在抽象圖中都有對應 path 或 abstract edge：

\alpha(s) \rightsquigarrow \alpha(s'),

且其成本不大於原成本，則任何具體 solution path 都投影成一條不更昂貴的抽象 path。

因此：

d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G)) \leq d_{\mathcal S}(s,G).

這直接給出 admissible heuristic：

\boxed{ h_\alpha(s) = d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G)). }

8. 抽象下界定理

把上一節寫成正式命題。

若：

\alpha:\mathcal S\rightarrow\mathcal A

是 cost-nonincreasing abstraction，則：

h_\alpha(s) = d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G))

滿足：

h_\alpha(s) \leq h^\ast(s).

證明概念如下。

取任意具體最短解：

p^\ast: s\rightsquigarrow G.

將 $p^\ast$ 逐步投影到抽象圖，得到：

\alpha(p^\ast): \alpha(s) \rightsquigarrow \alpha(G).

由 abstraction 不增加 edge cost：

C_\alpha(\alpha(p^\ast)) \leq C(p^\ast).

又因抽象最短距離不大於任意抽象 path：

d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G)) \leq C_\alpha(\alpha(p^\ast)).

故：

h_\alpha(s) \leq h^\ast(s).

9. Pattern Database 的本質

Pattern Database 的核心流程是：

\text{Concrete State} \xrightarrow{\alpha} \text{Abstract Pattern State}.

先在較小的抽象 graph 上，對 abstract goal 反向計算所有可達 abstract states 的精確距離：

\operatorname{PDB}[a] = d_{\mathcal A}(a,\alpha(G)).

求解具體狀態 $s$ 時，只需：

h_{\mathrm{PDB}}(s) = \operatorname{PDB}[\alpha(s)].

由抽象下界定理：

h_{\mathrm{PDB}}(s) \leq h^\ast(s).

因此 PDB 是 admissible heuristic。

它不是預先儲存每一顆完整魔方的答案，而是儲存：

\boxed{ \text{較小抽象問題的精確解距離}. }

10. PDB 的 offline / online 分工

Pattern Database 把成本拆成兩個時期。

Offline

建立：

\operatorname{PDB}.

通常由 goal side 在 abstract graph 上執行 BFS、Dijkstra 或其他 exact distance computation。

Online

對每個搜尋節點 $s$ ：

計算：

\alpha(s);

查表：

\operatorname{PDB}[\alpha(s)].

因此：

\text{expensive once} \rightarrow \text{cheap many times}.

對固定規則、固定目標、會反覆求解大量 scramble 的 twisty puzzle，這種 offline / online 分工尤其自然。

11. Korf 1997 的 Rubik's Cube PDB 意義

Richard Korf 1997 的工作把 Pattern Database heuristic 與 IDA* 用於 Rubik's Cube optimal solving，展示大型預計算抽象表如何加強 admissible heuristic。

對本系列來說，歷史重要性不在於複製當年的硬體或表大小，而是建立一條清楚的算法鏈：

\boxed{ \text{abstraction} \rightarrow \text{exact abstract distance} \rightarrow \text{admissible heuristic} \rightarrow \text{IDA* pruning}. }

這條鏈把 representation engineering 與 search performance 直接接在一起。

12. Kociemba pruning table 與 PDB 的關係

Kociemba Two-Phase 實作使用 pruning tables。

其 index 可以由一個 coordinate，或兩到三個 coordinates 的組合產生；table 中保存的是到 phase goal / subgroup 的距離資訊，用於給出安全的搜尋下界與剪枝。

在概念上，它與 Pattern Database 有共同結構：

\text{abstract / coordinate state} \rightarrow \text{precomputed lower bound}.

但工程術語、壓縮方式與具體表語義可以不同，因此本文不強迫把所有 Kociemba pruning table 都改名為 PDB。

更合適的關係是：

\boxed{ \text{PDB} \text{ 與 } \text{pruning table} \text{ 都屬於 memory-based lower-bound heuristic family}. }

13. Symmetry 可以壓縮 heuristic table

第三篇已討論：

X/\Sigma

的 symmetry coordinate。

若：

x\sim y

代表兩個 coordinate states 在 puzzle symmetry 下等價，而 goal 與 move metric 對該 symmetry 保持相容，則它們的距離資訊可以共享。

因此可以把：

\operatorname{PDB}[x]

壓縮到 equivalence class：

[x].

這再次說明 symmetry reduction 不只是群論裝飾，而會直接影響 heuristic memory。

14. Disjoint Pattern Databases

假設問題可以分成多個 patterns：

P_1,\ldots,P_k.

各自建立：

h_1,\ldots,h_k.

最安全的通用組合是：

h_{\max} = \max_i h_i.

但若 patterns 與 operator costs 可以被適當分離，就可能使用：

h_{\mathrm{add}} = \sum_i h_i.

歷史上的 disjoint PDB 方法利用互不重疊的子目標 / 狀態變數與 operator 影響結構，使不同 PDB 的成本可以相加而不 double count。

15. 更一般的 cost partition

對每個具體 operator $o$ ，成本為：

c(o).

為第 $i$ 個 abstraction 分配成本：

c_i(o)\geq0.

若對所有 operator：

\sum_i c_i(o) \leq c(o),

則每個 abstraction 使用 $c_i$ 計算其 exact abstract distance：

h_i.

此時：

\boxed{ \sum_i h_i(s) \leq h^\ast(s). }

因此 additive heuristic 仍 admissible。

這比簡單說「pattern 不重疊就一定能加」更一般，也更精確。

16. Move pruning 與 heuristic pruning 不同

heuristic pruning 依賴：

g+h>\theta.

move pruning 則在生成 successor 前，就根據 move sequence 結構排除冗餘操作。

例如：

R,R'

等價於不做任何事。

所以 optimal path 不需要包含這種立即抵消。

又例如在 HTM move alphabet 中：

R,R

可以直接改寫為：

R^2.

若 $R^2$ 計作一 move，則 $R,R$ 不是最短序列。

這類規則可以在不看 heuristic 的情況下直接排除。

17. Sequence dominance pruning

定義兩個 move sequences：

p,q.

若它們對任意 relevant state 具有相同作用：

T^\ast(s,p) = T^\ast(s,q),

但：

C(q)<C(p),

則 $q$ dominates $p$ 。

任何最優搜尋都不需要保留被支配的 $p$ 。

所以 move pruning 的正式安全條件可以寫成：

\boxed{ \text{只排除具有不更差等價替代路徑的序列}. }

這比硬編「不准連續同面」更適合泛化到不同 twisty puzzle。

18. Commuting move canonicalization

若兩個 move：

a,b

滿足：

ab=ba,

則：

a,b

與：

b,a

導向同一 state。

為避免兩條完全等價 search branches，可以固定 canonical ordering。

但這種規則必須依 puzzle 與 move set 證明 commutativity，不能把某一顆魔方上的 rule 直接複製到任意 twisty puzzle。

19. Duplicate / transposition pruning

若兩條 path：

p_1,p_2

到達同一 state $x$ ，且：

g(p_1)\leq g(p_2),

則在標準 Markovian shortest-path 問題中，較昂貴的 $p_2$ 通常被 $p_1$ 支配。

這就是 transposition / duplicate pruning 的基本來源。

但 IDA* 使用低記憶體 DFS，是否保存完整 transposition table、只保存當輪資訊、還是只做 path-cycle detection，是時間－空間 tradeoff，而不是語義必然。

20. Pruning safety contract

所有 pruning rule $P$ 都應具備一個明確聲明：

\operatorname{Safe}_P(\mathcal Q).

對 optimal solver，可以定義：

\operatorname{Safe}_P \iff \text{剪枝後仍至少保留一條 optimal solution path}.

對只要求 completeness 的 solver，則可放寬為：

\operatorname{CompleteSafe}_P \iff \text{若原問題有解，剪枝後仍至少保留一條 solution path}.

如此：

heuristic bound pruning；
move dominance pruning；
symmetry pruning；
duplicate pruning；

都可以用同一種 proof vocabulary 管理。

21. 舊 Demo heuristic：從直覺提升為 theorem

原 HTML 的 heuristic：

h_c(s) = \left\lceil \frac{N_c(s)}{4} \right\rceil,

h_e(s) = \left\lceil \frac{N_e(s)}{4} \right\rceil,

h(s) = \max(h_c(s),h_e(s)),

其中 $N_c(s)$ 為不在 solved position / orientation 的 corners 數， $N_e(s)$ 為不在 solved position / orientation 的 edges 數。

任一標準 face turn 只作用於四個 corners 與四個 edges。

因此對一步：

s\rightarrow s',

有：

N_c(s)-N_c(s') \leq4,

以及：

N_e(s)-N_e(s') \leq4.

22. Demo corner / edge heuristic admissibility

若目前：

N_c(s)=k,

要讓所有 incorrect corners 歸位，每一步最多修正四個。

因此任何 solution 至少需要：

\left\lceil\frac{k}{4}\right\rceil

步。

所以：

h_c(s) \leq h^\ast(s).

同理：

h_e(s) \leq h^\ast(s).

由 max-combination theorem：

h(s) = \max(h_c,h_e) \leq h^\ast(s).

故：

\boxed{ h \text{ admissible}. }

23. Demo heuristic consistency

對任一步：

s\rightarrow s',

因最多四個 corner correctness statuses 改變，所以：

N_c(s) \leq N_c(s')+4.

因此：

\left\lceil\frac{N_c(s)}4\right\rceil \leq 1+ \left\lceil\frac{N_c(s')}4\right\rceil.

即：

h_c(s) \leq 1+h_c(s').

所以 $h_c$ consistent。

同理 $h_e$ consistent。

而 max of consistent heuristics 仍 consistent，因此：

\boxed{ h=\max(h_c,h_e) \text{ consistent}. }

這是原 Demo 可以正式繼承進新版 Search Kernel 的第一個 verified heuristic candidate。

24. 為什麼這個 heuristic 很弱

若八個 corners 全部 incorrect：

N_c=8,

則：

h_c=2.

這只告訴我們「至少需要兩步」。

它沒有區分：

pieces 距離 home 多遠；
orientation 是否容易修正；
permutation cycle structure；
edges 與 corners 的耦合；
subgroup distance。

所以它的優點是：

\text{cheap} + \text{easy to prove}.

缺點是：

\text{low information}.

因此很適合作為：

\boxed{ \text{verified baseline heuristic}. }

而不是最終高效 solver heuristic。

25. Heuristic Registry

新版工程建議建立：

HeuristicSpec
  name
  inputRepresentation
  lowerBoundType
  admissible
  consistent
  additiveGroup
  tableCardinality
  memoryBytes
  evalCost
  precomputeCost
  proofStatus
  source

例如：

MisplacedPiecesOver4
  inputRepresentation: Cubie
  admissible: proven
  consistent: proven
  precomputeCost: none

Phase1Pruning
  inputRepresentation: Phase1Coordinates
  admissible: yes under exact-distance table semantics
  precomputeCost: high

這讓 heuristic 不再只是程式碼裡的一個函數名稱。

26. PDB 建構器的工程接口

Pattern Database builder 可抽象成：

PatternSpec
  project : FullState -> AbstractState
  abstractMoves
  abstractGoal
  abstractCost
  canonicalize

輸出：

PatternDatabase
  distance : AbstractState -> Distance
  metadata
  checksum
  proofOrValidationReport

若 abstract graph 可完全列舉，就可以用 reverse BFS / Dijkstra 計算 exact distances。

其 correctness contract：

\operatorname{PDB}[a] = d_{\mathcal A}(a,\alpha(G)).

27. 可視化：讓使用者看到「為什麼被剪」

每個 search node 可以顯示：

g, \quad h_1, \quad h_2, \quad h_{\max}, \quad f.

若被 PDB 剪枝：

PRUNED
reason: f > threshold
g: 7
PDB-corner: 5
PDB-edge: 6
h=max(...): 6
f: 13
threshold: 12

若被 move dominance 剪枝：

PRUNED
reason: dominated move sequence
sequence: R R
canonical replacement: R2
cost: 2 -> 1

若被 duplicate pruning：

PRUNED
reason: transposition
state: #A91F...
old g: 8
best known g: 6

這使「剪枝」從黑盒最佳化變成可以被人直接理解的證據鏈。

28. Heuristic inspection view

FCSR flat net、cubie view 與 search view 可以增加 heuristic inspection mode。

例如對當前 state：

h_{\mathrm{corner}}=4,

h_{\mathrm{edge}}=5,

h_{\mathrm{phase1}}=7.

UI 可以同步標示：

哪些 pieces 進入 pattern；
哪些資訊被 projection 忽略；
PDB index；
table distance；
最終 heuristic combination。

這正好回到 FDRS 的核心：

\boxed{ \text{不同觀察表示究竟保留了什麼計算信息？} }

29. FDRS 的抽象－下界命題

本篇提供一個重要的 FDRS-Cube 橋樑。

若表示轉換：

\alpha: \mathcal S \rightarrow \mathcal A

不是單純畫面 relayout，而是 cost-nonincreasing abstraction，則：

\boxed{ \text{抽象空間中的精確距離} \leq \text{原空間中的精確距離}. }

因此：

\boxed{ \text{某些商空間表示不只讓問題變小， 還能產生可證明的原問題下界。} }

這是比「低維比較容易看」更強的計算結果。

30. Abstraction 越小不一定 heuristic 越強

若 abstraction 過度合併 states：

|\mathcal A| \ll |\mathcal S|,

很多具體困難差異會被消失。

可能出現：

h_\alpha(s) \approx0

即使：

h^\ast(s)

很大。

所以 abstraction 有典型 tradeoff：

\text{table size} \leftrightarrow \text{heuristic discrimination}.

這可以成為後續實驗的重要軸。

31. PDB 記憶體估計

若 abstract state count 為：

N_A

且最大 abstract distance 為：

D_A,

若每格只儲存整數距離，理論最低 bit width 量級為：

b = \left\lceil \log_2(D_A+1) \right\rceil.

則裸距離表大小約：

M \approx N_A\cdot b

bits。

實際實作還需考慮 sentinel、alignment、compression、symmetry index、metadata 與 disk / memory layout。

因此 PDB 是典型：

\boxed{ \text{memory for search reduction}. }

32. Heuristic 的評估不只看平均值

對測試集：

\mathcal T

可以記錄：

\bar h = \frac1{|\mathcal T|} \sum_{s\in\mathcal T}h(s),

但在具有 optimal ground truth 的子集上，更可以觀察：

\rho_h(s) = \frac{h(s)}{h^\ast(s)}.

此外還應記錄：

heuristic distribution；
zero-rate；
node expansions；
prune ratio；
evaluation latency；
memory；
preprocessing time。

所以 heuristic quality 是多維 profile，而不是單一數字。

33. 形式驗證目標：Heuristic Kernel

第五篇對應的 Lean / proof targets：

H1. Lower-bound pruning theorem

h\leq h^\ast \land g+h>\theta \Rightarrow \text{no solution of cost }\leq\theta\text{ passes through node}.

H2. Max admissibility

\operatorname{Adm}(h_1) \land \operatorname{Adm}(h_2) \Rightarrow \operatorname{Adm}(\max(h_1,h_2)).

H3. Abstraction admissibility

對 cost-nonincreasing abstraction：

d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G)) \leq d_{\mathcal S}(s,G).

H4. PDB lookup correctness

\operatorname{PDB}[\alpha(s)] = d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G)).

H5. Cost-partition additivity

若：

\sum_i c_i(o)\leq c(o),

則：

\sum_i h_i(s)\leq h^\ast(s).

H6. Demo heuristic admissibility

\max\left( \left\lceil N_c/4\right\rceil, \left\lceil N_e/4\right\rceil \right) \leq h^\ast.

H7. Demo heuristic consistency

對任意 unit-cost face move：

h(s)\leq1+h(s').

34. 本文核心命題

命題 H-A：安全剪枝來自 lower-bound proof

h\leq h^\ast.

命題 H-B：PDB 是 exact abstract solution table

h_{\mathrm{PDB}}(s) = d_{\mathcal A}(\alpha(s),\alpha(G)).

命題 H-C：max 組合安全

h_{\max} = \max_i h_i

保持 admissibility。

命題 H-D：sum 組合需要成本分配證明

\sum_i h_i

不能無條件使用。

命題 H-E：move pruning 需要 dominance / equivalence proof

不是所有「看起來沒用」的 move 都能安全刪除。

命題 H-F：原 Demo heuristic 可以正式證明

h = \max( \lceil N_c/4\rceil, \lceil N_e/4\rceil )

是 admissible 且 consistent 的 baseline。

命題 H-G：FDRS abstraction 可以直接產生 search lower bound

若 abstraction 不增加成本，抽象 exact distance 就是原問題的 lower bound。

35. 結論

本文完成 FDRS/FCSR 經典魔方線從「搜尋策略」到「搜尋知識」的推進。

第四篇回答：

BFS、Bidirectional、A*、IDA* 如何安排探索？

本文回答：

搜尋器憑什麼知道哪些分支可以不看？

答案是：

\boxed{ \text{proof-backed lower bounds} + \text{solution-preserving pruning}. }

Pattern Database 的價值不在於巨大查表本身，而在於它把：

\text{一個較小抽象問題的精確解}

轉換成：

\text{原問題的可靠下界}.

這也使 FDRS 起源中的「改變表示」第一次獲得一個直接的演算法定理：

\boxed{ \text{適當 abstraction 的精確距離，可以成為原空間搜尋的證明式導航資訊。} }

至此，我們已經具備進入 Two-Phase 的全部前置地基：

legal state；
representation；
coordinate；
search；
admissible heuristic；
pruning table；
symmetry；
subgroup / quotient 語言。

下一篇將正式處理：

《Two-Phase 與子群分解：經典高效魔方求解的結構化路徑》。

參考資料與來源定位

起源與既有實作

[F2026-D] FDRS_展開收斂_同步性.html，FDRS/FCSR permutation engine、piece-count heuristic、IDA*、FSM 與同步可視化原型。

外部啟發式搜尋基線

[R1] Richard E. Korf, Finding Optimal Solutions to Rubik's Cube Using Pattern Databases, Proceedings of AAAI-97, 1997。
[R2] Joseph C. Culberson, Jonathan Schaeffer, Pattern Databases, Computational Intelligence, 1998。
[R3] Richard E. Korf, Ariel Felner, Disjoint Pattern Database Heuristics, Artificial Intelligence, 2002。
[R4] Ariel Felner, Richard E. Korf, Sarit Hanan, Additive Pattern Database Heuristics, Journal of Artificial Intelligence Research, 2004。
[R5] Herbert Kociemba, Pruning Tables，官方技術說明。
[R6] Herbert Kociemba, Coordinates and Symmetry，官方技術說明。
[R7] Herbert Kociemba, The Move Tables，官方技術說明。
[R8] Herbert Kociemba, Two-Phase Algorithm Details，官方技術說明。

版本註記

v0.1 將 heuristic 統一定義為 lower-bound certificate，將 PDB 定義為 abstract exact-distance table，並將所有 pruning rule 納入 safety contract。

本篇亦首次把原 FDRS Demo 的 piece-count heuristic 從「工程直覺」提升為可證 admissible / consistent 的正式 baseline。

後續第六篇：