FDRS / FCSR Classical Cube Foundations III

表示不是解法：Facelet、Cubie、Permutation 與 Coordinate 的等價與代價

英文題名： Representation Is Not a Solver: Equivalence and Cost among Facelet, Cubie, Permutation, and Coordinate Models
系列： FDRS / FCSR Classical Cube Foundations
系列編號： EML-FDRS-FCSR-CUBE-03
版本： v0.1
日期： 2026-08-19
作者： Neo.K
機構： 一言諾科技有限公司（EveMissLab）
狀態： Orthodox Origin Continuation / 經典地基第三篇

摘要

前兩篇已分別建立 FCSR 的表示語義與標準 $3\times3\times3$ 魔方的合法狀態條件。本文進一步回答一個對 FDRS 起源線至關重要的問題：如果 Facelet、Cubie、Permutation 與 Coordinate 都可以描述同一顆魔方，為什麼 solver 的實際效率會因表示不同而產生巨大差異？

本文首先區分兩類表示。第一類是完整狀態表示：在固定參考框架與合法狀態域內，Facelet 與 Cubie 表示可以互相重建，因而可視為同一 canonical state 的不同無損編碼。第二類是任務導向表示：單一 orientation coordinate、UDSlice coordinate、sym-coordinate 或 pruning-table index 通常不是完整狀態，而是將多個原始狀態合併到同一等價類、coset 或 symmetry class 中。這類表示刻意丟棄與當前子任務無關的自由度，以換取更小的狀態域、更快的 move evaluation、可查表的 heuristic 與更有效的剪枝。

本文因此提出 FCSR/FDRS 經典線的表示分層：

\text{Canonical State} \rightarrow \begin{cases} \text{Lossless Views}\\ \text{Task Coordinates}\\ \text{Quotient / Symmetry Views}\\ \text{Search Instrumentation} \end{cases}

並定義表示的五種代價：儲存代價、轉移代價、編解碼代價、資訊辨識力與搜尋價值。對固定 $3\times3\times3$ 而言，單純使用大 $O$ 漸近符號比較 Facelet 與 Cubie 常會失去意義，因為狀態寬度為常數；因此本文改採 representation work units 與實際 table cardinality 來描述成本。

本文最後提出一個適合新版 FCSR 可視化實驗室的 Representation Registry：同一 canonical state 可同步投影為 3D、flat net、facelet array、cubie tuple、完整 permutation、phase coordinates、symmetry classes 與 search heuristic state；每個表示必須聲明其是否 injective、是否可逆、是否對 move 封閉、是否依賴預計算表，以及其 intended task。如此，FDRS 最早的「改變觀察方式」命題便從哲學直覺升級為可計算、可測量、可視化的 representation engineering 問題。

關鍵詞： representation、Facelet、Cubie、permutation、coordinate、coset、symmetry reduction、move table、pruning table、FCSR、FDRS

1. 問題：同一顆魔方，為什麼要有這麼多表示？

對合法狀態集合

\mathcal{S}_{\mathrm{legal}},

第一篇已定義多個 representation map：

R_i: \mathcal{S}_{\mathrm{legal}} \rightarrow \mathcal{V}_i.

如果所有表示只是「不同畫法」，那 solver 理論上不應因表示選擇而出現巨大的工程差異。

但現代魔方求解器實際上恰恰相反。

Facelet level 適合輸入、掃描與畫面。

Cubie level 適合描述 piece permutation 與 orientation。

Coordinate level 將 orientation、permutation、slice membership 等結構映射到有限整數區間。

Sym-coordinate 進一步利用對稱性把多個 coordinate values 合併到同一 equivalence class。

Pruning table 則直接把 coordinate tuple 映射到距離下界。

因此問題不能只問：

哪個表示最完整？

還必須問：

哪個表示對當前任務最有計算價值？

2. 表示的第一分類：Lossless 與 Task-Reduced

令：

R: \mathcal{S} \rightarrow \mathcal{V}.

若對所有合法狀態：

R(s_1)=R(s_2) \Rightarrow s_1=s_2,

則 $R$ 在合法域上是 injective。

若還存在 decoder：

D: R(\mathcal{S}) \rightarrow \mathcal{S}

使：

D(R(s))=s,

則稱 $R$ 是本文意義下的 lossless state representation。

相對地，若存在：

s_1\neq s_2

但：

R(s_1)=R(s_2),

則表示將多個 full states 合併到同一 representation value。這不是錯誤，而可能是刻意的 task reduction。

因此本文將魔方表示分成：

\boxed{ \text{Lossless State Representation} }

與

\boxed{ \text{Task-Reduced Representation}. }

FDRS 的「展平」概念在經典魔方域中必須明確指出自己屬於哪一類，而不能只用「降維」一詞含混帶過。

3. Facelet representation：最接近觀察層

在固定 center / color convention 下，facelet representation 可以寫成：

R_f: \mathcal{S}_{\mathrm{legal}} \rightarrow \mathcal{C}^{54}.

其中：

\mathcal{C} = \{U,D,F,B,L,R\}.

它的主要優點是：

與真實魔方表面一一對應；
容易由相機、人工輸入或 UI editor 取得；
容易畫成 $3D$ cube 或 FCSR flat net；
move 可以直接預先生成為 $54$ 個 position indices 的 permutation。

在固定合法域內，只要 center convention 已知，合法 facelet encoding 可以重建 cubie identities 與 orientations，因此它可以是完整狀態表示。

但它的缺點也很明顯：

piece identity 是隱含的；
legality invariants 不直接可見；
solver 真正需要的 corner twist、edge flip、piece permutation 需要解析後才能取得；
phase/subgroup information 不自然地直接出現在 facelet array 中。

因此：

\text{Facelet} \approx \text{excellent observer representation}

但不代表：

\text{Facelet} = \text{best search representation}.

4. FCSR flat net：Facelet 的幾何佈局，而非另一個狀態本體

FCSR 的平面十字圖可以表示為：

R_{\mathrm{flat}} = L\circ R_f,

其中：

L: \mathcal{C}^{54} \rightarrow \mathcal{V}_{2D}

只決定這 $54$ 個 facelets 如何排列在畫面上。

因此，若 $L$ 只是重新安排位置而不合併資料，則：

R_{\mathrm{flat}}

與：

R_f

具有相同的狀態辨識能力。

也就是：

R_f(s_1)=R_f(s_2) \iff R_{\mathrm{flat}}(s_1)=R_{\mathrm{flat}}(s_2).

所以 FCSR flat net 的第一個價值不是壓縮 state count，而是：

\boxed{ \text{改變觀察幾何，而保持狀態可辨識性。} }

這也是 2025 起源命題在今日應採用的最精確版本之一。

5. Cubie representation：把物理約束變成顯式資料

第二篇已定義：

R_c(s) = (\pi_c,o_c,\pi_e,o_e).

Cubie representation 的資訊與合法 facelet representation 等價，但組織方式不同。

它直接暴露：

\pi_c\in S_8,

o_c\in\mathbb{Z}_3^8,

\pi_e\in S_{12},

o_e\in\mathbb{Z}_2^{12}.

因此：

corner / edge identity 直接可讀；
orientation invariants 直接可計算；
parity 直接可計算；
subgroup / coordinate extraction 更自然；
move composition 可以在 piece level 上完成。

Kociemba 的 cubie-level 表示明確指出：在 cubie level 上，單純 permutation 不足以描述狀態，因為 corners 可以 twist、edges 可以 flip；因此 permutation 與 orientation 必須一起保存。

所以：

\boxed{ \text{Cubie} = \text{piece permutation} + \text{piece orientation}. }

6. 「Permutation representation」必須說清楚是哪一種 permutation

在魔方文獻與程式中，「permutation」可能指至少三個不同東西。

6.1 Facelet permutation

一個 move 可以表示為：

\sigma_a\in S_{54},

描述 sticker positions 如何被重排。

這適合表示 transformation。

6.2 Piece permutation

狀態的一部分可以寫成：

\pi_c\in S_8, \qquad \pi_e\in S_{12}.

但這不含 orientation，因此不能單獨描述完整 cubie state。

6.3 Full state as a group element

選定 solved state 後，每個合法 state 可視為 Rubik group 中某元素對 solved state 的作用結果。

這時候「permutation」已是群元素層的描述，而不是單純某個 array。

因此新版工程與論文不應使用裸詞：

permutation representation

而應標明：

\text{FaceletPerm}, \quad \text{CornerPerm}, \quad \text{EdgePerm}, \quad \text{GroupElement}.

這可以避免很多實作與理論歧義。

7. 完整座標：把狀態映射到有限整數

Kociemba 的 coordinate level 展示了一個經典做法。

corner orientation 可映射為：

x_1\in\{0,\ldots,3^7-1\},

edge orientation：

x_2\in\{0,\ldots,2^{11}-1\},

corner permutation：

x_3\in\{0,\ldots,8!-1\},

edge permutation：

x_4\in\{0,\ldots,12!-1\}.

所以合法 cube 可以由 tuple：

(x_1,x_2,x_3,x_4)

描述，但並非任意 tuple 都合法，因為 permutation parity 還需匹配。

因此 full coordinate tuple 是 cubie state 的另一種完整數值化表示。

這種 encoding 的第一個工程價值是：

\text{structured state} \rightarrow \text{small integers}.

如此可以把 move evaluation 從結構操作轉成 table lookup。

8. 單一 coordinate 通常不是完整狀態

這是本文最重要的區分之一。

例如 corner orientation coordinate：

R_{\mathrm{twist}}: \mathcal{S}_{\mathrm{legal}} \rightarrow \{0,\ldots,2186\}

只保留角塊朝向資訊。

因此大量不同的 full states 會有相同：

R_{\mathrm{twist}}(s).

它不是 lossless representation。

同理，edge orientation coordinate 只有：

2048

個值，UDSlice coordinate 只有：

495

個位置類型。

Two-Phase phase 1 使用的三個 raw coordinates：

(\text{corner orientation}, \text{edge orientation}, \text{UDSlice})

其目標不是唯一識別整顆魔方，而是判斷距離子群：

G_1 = \langle U,D,R^2,L^2,F^2,B^2\rangle

還有多遠。

所以：

\boxed{ \text{coordinate compression} \neq \text{complete state encoding}. }

它是任務導向的資訊選擇。

9. Coordinate 與 coset：真正的「商空間」入口

若 subgroup：

H\leq G,

coordinate 可以對應到 $G$ 相對於 $H$ 的 right cosets。

令 quotient-like projection：

q_H: G \rightarrow H\backslash G

將群元素映射到其 right coset。

如果：

g_1,g_2\in Hg,

則：

q_H(g_1)=q_H(g_2).

這表示 coordinate 有意識地把「在子群 $H$ 內的差異」忽略掉。

這對 FDRS 是一個比單純 $3D\rightarrow2D$ 更強、更精確的數學概念：

\boxed{ \text{不是把畫面壓平，而是把任務無關自由度商掉。} }

這種 reduction 的代價與收益都可以明確描述。

10. Move table：表示選擇如何直接改變轉移成本

若 coordinate $x$ 對 move $a$ 的更新只依賴目前 coordinate value，而不依賴被商掉的 full-state 細節，則存在：

M_a: X \rightarrow X

使：

R(T(s,a)) = M_a(R(s)).

這就是 coordinate-level move table 可以成立的原因。

實作上可以預先建立：

\operatorname{MoveTable}[x,a] = x'.

求解時的 move evaluation 便從：

解析 cubies、執行 permutation、更新 orientation、重新編碼

變成：

以 $(x,a)$ 查表取得 $x'$ 。

對固定 $3\times3\times3$ ，這些操作在傳統漸近分析中都可以視為常數時間；但實際 solver 差異來自常數、cache locality、table size 與節點展開次數。

因此本文不以：

O(54) \quad\text{vs}\quad O(20) \quad\text{vs}\quad O(1)

作為主要理論結論，而引入「representation work units」。

11. Representation Work Units

對 representation $R$ ，定義成本向量：

\mathbf{C}(R) = (C_S,C_T,C_E,C_D,C_M).

其中：

11.1 Storage cost

C_S(R)

描述一個 representation value 的儲存寬度或 table cardinality。

11.2 Transition cost

C_T(R)

描述套用一個 move 所需的 primitive operations / table accesses。

11.3 Encode cost

C_E(R)

描述：

\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{V}_R

的成本。

11.4 Decode cost

C_D(R)

描述若可逆時：

\mathcal{V}_R\rightarrow\mathcal{S}

的成本。

11.5 Memory-precomputation cost

C_M(R)

描述為了讓 $C_T$ 或 heuristic lookup 很低而必須支付的預計算與記憶體代價。

因此「比較表示」不再只有一個 scalar。

真正的問題是：

\min_R J(R)

其中：

J(R) = w_S C_S + w_T C_T + w_E C_E + w_D C_D + w_M C_M - w_H V_H(R),

而：

V_H(R)

表示該 representation 對 heuristic / pruning 的價值。

12. Pruning table：把表示直接變成搜尋下界

coordinate 的更強用途不是單純更新快，而是可以建立 distance table。

對 coordinate space $X$ 與目標集合 $X_\star$ ，定義：

h(x) = d_X(x,X_\star).

若 $R(s)=x$ 且 coordinate graph 是 full search graph 的適當 projection，則：

h(R(s)) \leq d_{\mathcal{S}}(s,s_\star).

也就是：

h

成為 full-state distance 的 lower bound。

這就是 pruning table 能用於 IDA* 的核心原因。

Kociemba 的 pruning tables 直接用 coordinate 或 coordinate tuple 作為索引，儲存回到目標 subgroup / goal 的最少 move 數；該值因此是 full solver 可安全使用的下界。

於是表示第一次不只是：

\text{state encoding},

而是：

\boxed{ \text{search knowledge structure}. }

13. Symmetry reduction：表示還可以再商一次

如果 symmetry group：

\Sigma

作用於 coordinate space $X$ ，可以定義等價關係：

x\sim y \iff \exists \sigma\in\Sigma: \sigma\cdot x=y.

再把：

X

壓縮成 symmetry classes：

X/\Sigma.

例如 Kociemba 的 FlipUDSlice raw coordinate space 有：

495\cdot2048 = 1{,}013{,}760

個 raw values，而利用保留 UD-axis 的 symmetry 後，核心 equivalence classes 可降為：

64{,}430.

同樣，corner permutation 可映射到：

2768

個 symmetry classes。

因此：

\text{state} \rightarrow \text{coordinate} \rightarrow \text{symmetry class}

是一個逐層 quotient 的過程。

這和 FDRS 起源思想產生真正可計算的連接：

改變表示不是為了「看起來比較簡單」，而是要找出哪些差異對當前任務可以被安全視為等價。

14. 表示的辨識力

定義 representation $R$ 的 equivalence relation：

s_1\equiv_R s_2 \iff R(s_1)=R(s_2).

則每個 representation 都誘導一個 partition：

\Pi_R = \mathcal{S}/\equiv_R.

若 $R$ injective：

|\Pi_R| = |\mathcal{S}|.

若 $R$ 是 task-reduced：

|\Pi_R| < |\mathcal{S}|.

因此可以定義辨識力比例：

\eta(R) = \frac{|\Pi_R|}{|\mathcal{S}|}.

對完整表示：

\eta(R)=1.

對高度壓縮的 task coordinate：

\eta(R)\ll1.

注意：

\eta(R)\ll1

不代表表示比較差。

若被合併的差異正好對某個 heuristic / phase goal 無關，則低辨識力反而是優勢。

15. 任務充分性比全資訊更重要

令任務：

\tau: \mathcal{S} \rightarrow Y.

若存在：

\hat{\tau}: \mathcal{V}_R \rightarrow Y

使：

\tau = \hat{\tau}\circ R,

則稱 representation $R$ 對任務 $\tau$ 是 sufficient。

即使：

R

不是 injective，只要它仍保留完成 $\tau$ 所需的全部資訊，就足夠。

例如 phase 1 的任務不是：

唯一重建 full cube。

而是：

把狀態帶進 $G_1$ 。

因此 phase-1 coordinates 不需要完整保存所有 permutation 細節。

這個原則可以寫成：

\boxed{ \text{Best representation} \neq \text{Most informative representation}. }

而是：

\boxed{ \text{Best representation} = \text{Task-sufficient representation with favorable cost}. }

16. FDRS 在經典魔方域中的重新定義

早期 FDRS 容易用：

nD\rightarrow(n-1)D

描述 representation change。

在經典魔方算法域，更精確的版本應是：

\mathcal{S} \xrightarrow{R} \mathcal{V}

並同時問：

$R$ 是否 injective？
$R$ 是否可逆？
$R$ 對哪些任務 sufficient？
$R$ 對 move 是否 closed？
$R$ 是否誘導 quotient / coset？
$R$ 是否支援 symmetry reduction？
$R$ 的 move-table / pruning-table 成本是多少？

於是 FDRS 的核心問題被重寫為：

\boxed{ \text{如何選擇一個對當前任務足夠、但計算成本最低的表示？} }

這比單純問「能不能展平」更接近計算機真正的行為。

17. 完整表示與 task representation 的雙層架構

新版 Twisty Core 不應讓所有模組都共享同一 representation。

建議建立：

Canonical layer

S_{\mathrm{canonical}} = \text{ValidCubieState}.

它是可信狀態真相。

Lossless presentation adapters

R_{3D}, \quad R_{\mathrm{flat}}, \quad R_{\mathrm{facelet}}.

Lossless computational encoding

R_{\mathrm{fullcoord}}.

Task coordinates

R_{\mathrm{twist}}, \quad R_{\mathrm{flip}}, \quad R_{\mathrm{UDSlice}}, \quad \dots

Symmetry coordinates

R_{\mathrm{sym}}.

Search instrumentation

R_{\mathrm{heuristic}}, \quad R_{\mathrm{frontier}}, \quad R_{\mathrm{pruning}}.

這種架構可以同時保證：

\text{state truth}

不被壓縮表示污染，又讓 solver 在 task-specific spaces 中高速運算。

18. Representation Registry

新版 FCSR UI / runtime 建議為每種 representation 註冊 metadata：

RepresentationSpec
  name
  sourceType
  targetType
  injective
  reversible
  moveClosed
  task
  cardinality
  encodeCost
  decodeCost
  moveCost
  precomputeCost
  proofStatus

例如：

FCSRFlatNet
  injective: true on legal fixed-frame states
  reversible: true
  moveClosed: true
  task: visualization

CornerOrientationCoord
  injective: false
  reversible: false
  moveClosed: true
  cardinality: 2187
  task: phase/search heuristic

這樣 UI 不只是切換畫面，而是在展示每個表示的數學性質。

19. 可視化應展示「資訊被保留了什麼」

如果使用者從：

\text{Cubie}

切到：

\text{CornerOrientationCoord},

畫面不應只顯示：

1234

而應同時顯示：

保留

\text{all corner orientations}

忽略

\text{corner permutation}

\text{edge permutation}

\text{edge orientation}

狀態合併

R(s_1)=R(s_2)

可能對大量：

s_1\neq s_2

成立。

任務用途

\text{lower bound / phase coordinate}.

如此使用者可以真正看到：

所謂演算法「簡化問題」，究竟簡化掉了什麼。

這是 FCSR/FDRS 可視化可以比一般 solver UI 更有價值的地方。

20. 表示轉換本身也需要驗證

若：

E: \text{CubieState} \rightarrow \text{FaceletState}

與：

D: \text{FaceletState} \rightarrow \text{Option}(\text{CubieState}),

則對合法狀態至少應證：

D(E(s)) = \operatorname{some}(s).

若：

C: \text{CubieState} \rightarrow \text{FullCoordinate},

以及：

C^{-1}

存在於合法 image 上，則應證：

C^{-1}(C(s)) = s.

對 task coordinate：

Q: \mathcal{S} \rightarrow X,

則不要求 inverse，而要求 move compatibility：

Q(T(s,a)) = M_a(Q(s)).

這三種 proof obligation 不應混在一起：

\text{round-trip correctness},

\text{injectivity / uniqueness},

\text{move compatibility}.

21. 形式化目標：Representation Algebra

第三篇對應的 Lean 形式化可以建立一個通用介面：

概念上：

Representation α β
  encode : α → β

對 lossless representation：

LosslessRepresentation α β
  encode : α → β
  decode : β → Option α
  roundtrip : decode (encode s) = some s

對 move-compatible representation：

MoveCompatibleRepresentation α β
  encode : α → β
  moveState : Move → α → α
  moveView : Move → β → β
  commutes :
    encode (moveState m s)
    =
    moveView m (encode s)

數學上核心就是：

R\circ T_a = \widetilde T_a\circ R.

對 task coordinate，則可加：

\operatorname{TaskSufficient}(R,\tau).

這會讓 FCSR 起源命題第一次擁有一個可以跨 Facelet、Cubie、Coordinate、未來多面體 puzzle 重用的形式化 representation interface。

22. 表示與 solver 的真正關係

solver 可以抽象成：

\operatorname{Solve}(s;R,H,A),

其中：

$R$ ：工作 representation；
$H$ ：heuristic / pruning knowledge；
$A$ ：search algorithm。

因此性能更接近：

P = F(R,H,A,\text{hardware},\text{precomputation}),

而不是：

P=F(A).

這解釋了為什麼只比較：

BFS vs IDA*

往往過度粗糙。

同一個 IDA*，若一個版本每個節點都重建 cubie state，另一個版本以 compact coordinate + move table + pruning table 運行，實際行為可以完全不同。

所以第四篇開始談搜尋演算法時，本文將成為前置條件：

\boxed{ \text{先說明在哪個 representation space 搜尋，再談 search algorithm。} }

23. 本文核心命題

命題 R1：FCSR flat net 是完整觀察表示，不自動降低 state count

|\operatorname{Im}R_{\mathrm{flat}}| = |\mathcal{S}_{\mathrm{legal}}|

在固定合法 frame 與可逆 layout 下成立。

命題 R2：Cubie 與 legal facelet representation 可互相重建

\text{Facelet} \leftrightarrow \text{Cubie}

在合法固定-frame image 上是無損轉換。

命題 R3：單一 task coordinate 通常不是完整狀態

R(s_1)=R(s_2)

可在：

s_1\neq s_2

時成立。

命題 R4：Task sufficiency 比 injectivity 更重要

只要：

\tau = \hat\tau\circ R,

則 $R$ 即保留任務 $\tau$ 所需資訊。

命題 R5：搜尋性能取決於表示與演算法共同設計

\text{solver efficiency} = \text{representation} + \text{move tables} + \text{heuristics} + \text{search}.

24. 結論

本文完成 FDRS/FCSR 經典地基的第三次收斂。

第一篇確立：

\text{同一底層狀態} \rightarrow \text{多種表示}.

第二篇確立：

\text{raw encoding} \neq \text{legal state}.

第三篇則確立：

\boxed{ \text{representation} \neq \text{solver}, }

但同時：

\boxed{ \text{representation can determine what solver is computationally practical}. }

Facelet 與 FCSR flat net 的價值主要在觀察與交互。

Cubie representation 把 piece identity、permutation 與 orientation 顯式化。

Full coordinates 把完整結構映射成有限整數。

Task coordinates 把對當前子問題不重要的差異商掉。

Symmetry coordinates 再把等價狀態合併。

Pruning tables 最終把 representation 轉換成搜尋下界。

因此 FDRS 的起源命題現在可以得到一個更成熟的計算版本：

\boxed{ \text{困難不只取決於問題本身，也取決於你要求計算機在哪一個表示空間裡工作。} }

下一篇將正式進入搜尋：

《從狀態圖到搜尋：BFS、雙向搜尋、A 與 IDA 的統一語義》**。

但從下一篇開始，任何演算法都必須先回答：

它到底是在什麼 state / coordinate graph 上搜尋？

參考資料與來源定位

起源文件

[F2025-A] Neo.K，《展平式維度重構理論：完整數學架構與概念解析》，2025 年 8 月。
[F2025-B] Neo.K，《展平式維度重構理論：從 FCSR 到 FDRS 的完整數學架構》，2025 年 8 月。
[F2026-D] FDRS_展開收斂_同步性.html，FDRS/FCSR 魔方可視化與 IDA* 實驗原型。

外部計算基線

[R1] Herbert Kociemba, The Facelet Level.
https://kociemba.org/math/faceletlevel.htm
[R2] Herbert Kociemba, The Cubie Level.
https://kociemba.org/math/cubielevel.htm
[R3] Herbert Kociemba, The Coordinate Level.
https://kociemba.org/math/coordlevel.htm
[R4] Herbert Kociemba, Cosets.
https://kociemba.org/math/cosets.htm
[R5] Herbert Kociemba, The Move Tables.
https://kociemba.org/math/movetables.htm
[R6] Herbert Kociemba, Pruning Tables.
https://kociemba.org/math/pruning.htm
[R7] Herbert Kociemba, Coordinates and Symmetry.
https://kociemba.org/math/symcord.htm
[R8] Herbert Kociemba, Two-Phase Algorithm Details.
https://kociemba.org/math/imptwophase.htm

版本註記

v0.1 將「展平／降維」拆為三個可分辨概念：

\text{geometric relayout},

\text{lossless re-encoding},

\text{task-oriented quotient / coordinate reduction}.

後續所有 FCSR/FDRS 魔方演算法論述應明確指出使用的是哪一類 representation transform。

後續第四篇：