LRC–COL-06：靜態完備區間與動態完備區間

Static and Dynamic Completeness Intervals of Composite Operator Languages

系列：LRC–COL — Language–Reality Coupling & Composite Operator Language
中文：語言—現實耦合與複合算子語言系列
版本：v0.1
日期：2026-08-21 作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

LRC–COL-03 至 LRC–COL-05 已建立複合算子語言的三個核心靜態問題：最小有效基底 $N_{\min}^{effective}$ 、最大有效算子集 $N_{\max}^{effective}$ ，以及 operator 數量 $N$ 、組合深度 $d$ 、粒度 $g$ 與 verification density $v$ 之間的交換面。然而，這些量只有在 Agent、domain、workload、retriever、context、版本與風險要求固定時才是靜態的。

真實 AI 語言系統不是固定環境。Agent 會學會新的組合規則；某些反覆使用的複合結構會結晶成 macro；新工具、新 domain 與新風險會加入；舊 operator 會被合併、淘汰、版本化；retriever、compiler 與 context architecture 也會改良；多 Agent population 的成員甚至會持續更新與替換。因此真正需要研究的不是單一區間：

I_{\mathcal O}^{S} = [ N_{\min}^{effective}, N_{\max}^{effective} ],

而是一個時間依賴區間：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t) = [ N_{\min}(t), N_{\max}(t) ]. }

本文進一步加入動態最佳點：

\boxed{ N_{\min}(t) \le N^*(t) \le N_{\max}(t), }

並將動態語言狀態表示為：

\Theta_t = ( A_t, \Omega_t, \mu_t, G_t, R_t, C_t, P_t, V_t ),

其中 $A_t$ 是 Agent 能力、 $\Omega_t$ 是目標域、 $\mu_t$ 是 workload、 $G_t$ 是 grammar/runtime、 $R_t$ 是 retrieval architecture、 $C_t$ 是 context / compute resource、 $P_t$ 是 population / propagation state，而 $V_t$ 是版本與治理狀態。

本文提出：動態最小邊界受到「domain expansion、new distinction、risk constraints」向外推動，也受到「Agent 內化、composition ability、compiler / retrieval improvement、shared context」向內壓縮；動態最大邊界則受到「retrieval、context、semantic discrimination、hierarchy」向外推升，也會受到「semantic collision、drift、version burden、population instability」向內壓縮。

在此基礎上，本文提出一個候選語言生命週期：

\boxed{ \text{Expansion} \rightarrow \text{Saturation} \rightarrow \text{Compression} \rightarrow \text{Re-expansion}. }

這不是普遍必然律，而是可檢驗的動態模式。近期 emergent-communication 與大型 tool-retrieval 研究提供了幾個重要外部錨點：代際傳播可以提高人工語言的 learnability，但同時可能造成 vocabulary degeneration；不同 plasticity schedule 會顯著影響 dynamic-agent population 的 language drift；而 massive and evolving tool repositories 已迫使 Agent 系統使用 proactive retrieval、multi-step query planning 與 context-aware filtering，而不能依賴靜態全量工具表。

本文最終主張：

\boxed{ \text{A usable composite language should not target a fixed vocabulary size; it should regulate a moving viability interval.} }

換言之，未來複合語言的核心治理問題不是「最後固定成幾個符號」，而是「如何讓 operator ecology 在世界與 Agent 都持續變化時，仍維持在可學、可傳、可組、可執行的有效區間內」。

關鍵詞

dynamic completeness；operator ecology；language evolution；semantic drift；macro crystallization；tool retrieval；AI agent；plasticity；language lifecycle；dynamic vocabulary

1. 靜態模型的限制

前文：

I_{\mathcal O}^{S} = [ N_{\min}^{effective}, N_{\max}^{effective} ]

隱含假設：

Agent 能力固定；
domain 固定；
workload 固定；
context 固定；
retriever 固定；
language version 固定。

但真實系統不滿足這些條件。

因此：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{S} }

只能理解為：

某一時刻、某一系統狀態下的切片。

2. 動態狀態 Θ_t

本文定義：

\boxed{ \Theta_t = ( A_t, \Omega_t, \mu_t, G_t, R_t, C_t, P_t, V_t ). }

其中：

$A_t$ ：Agent capability；
$\Omega_t$ ：target domain；
$\mu_t$ ：workload distribution；
$G_t$ ：grammar / compiler / runtime；
$R_t$ ：retriever / routing；
$C_t$ ：context / compute / memory budget；
$P_t$ ：population / propagation state；
$V_t$ ：version / governance state。

於是：

\boxed{ N_{\min}(t) = f_{\min}(\Theta_t), }

\boxed{ N_{\max}(t) = f_{\max}(\Theta_t). }

3. 動態完備區間

正式定義：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t) = [ N_{\min}(t), N_{\max}(t) ]. }

這個區間回答：

在時間 $t$ 的 Agent、domain、runtime 與治理條件下，什麼規模的 operator language 是有效的？

4. 動態最佳點

只知道區間仍不夠。

定義：

\boxed{ N^*(t) = \arg\max_N J(N;\Theta_t). }

因此：

\boxed{ N_{\min}(t) \le N^*(t) \le N_{\max}(t). }

而且：

N^*(t)

也會漂移。

5. 四個不同的動態量

需要同時追蹤：

Global Library

N_G(t)

Active Set

N_A(q,t)

Effective Lower Bound

N_{\min}(t)

Effective Upper Bound

N_{\max}(t)

因此：

\boxed{ \text{language growth} \neq \text{effective interval growth}. }

6. Operator 變多，不代表有效區間變大

如果：

N_G(t)\uparrow

但：

collision 上升；
retrieval 變差；
drift 上升；

則：

N_{\max}(t)

反而可能下降。

所以：

\boxed{ \frac{dN_G}{dt}>0 \not\Rightarrow \frac{dN_{\max}}{dt}>0. }

7. Agent 學習會改變下界

假設同一 operator language 在：

t_0

需要很多 explicit macros 才能保持低 depth。

經過訓練／內化後：

A_{t_1}

的 composition ability 上升。

則可能：

\boxed{ N_{\min}(t_1) < N_{\min}(t_0). }

即：

Agent 變強後，語言可以變小。

8. Internalization Compression

本文稱：

\boxed{ \text{Internalization Compression}. }

即原本需要顯式 operator：

O_M

幫助 Agent 的流程，

在 Agent 已穩定內化後，可以退回：

derived form；
local macro；
implicit learned routine。

因此 stable global basis 可以收縮。

9. 但 Agent 變強也可能讓語言變大

更強的 Agent 可以處理：

更多 distinctions；
更多 domains；
更複雜 tool space。

所以：

A_t\uparrow

可能同時讓：

N_{\min}\downarrow

與：

N_{\max}\uparrow.

結果：

\boxed{ |I_{\mathcal O}^{D}(t)| }

變寬。

10. Domain Expansion 會推高下界

如果：

\Omega_{t+1} \supset \Omega_t,

加入：

robotics；
finance；
biology；
new APIs；

原本 basis 可能不再 ε-complete。

因此：

\boxed{ N_{\min}(t+1) > N_{\min}(t) }

可能成立。

11. Distinction Pressure

新 domain 不一定只是多幾個工具。

它可能要求新的 semantic distinctions。

例如原本只有：

execute

新 domain 需要區分：

simulate
preview
commit
rollback
authorize

則：

\boxed{ \text{Distinction Pressure} }

推動 basis expansion。

12. Risk Pressure 也會讓最小基底增加

在低風險 domain：

do

可能足夠。

高風險 domain 可能需要：

verify；
authorize；
checkpoint；
rollback；
audit。

因此：

\boxed{ Risk\uparrow \Rightarrow N_{\min}^{robust}\uparrow }

可能成立。

13. 最小邊界的力學表示

可以先寫成：

\boxed{ \dot N_{\min} = F_{\Omega} + F_{dist} + F_{risk} - F_{learn} - F_{comp} - F_{shared}. }

其中：

$F_{\Omega}$ ：domain expansion；
$F_{dist}$ ：new distinction；
$F_{risk}$ ：risk constraints；
$F_{learn}$ ：Agent learning；
$F_{comp}$ ：compiler / composition improvement；
$F_{shared}$ ：shared context / stable conventions。

這只是第一版 phenomenological equation。

14. Dynamic Upper Bound

同樣：

N_{\max}(t)

也不是固定。

如果：

context 增大；
retrieval 更好；
semantic discrimination 更強；
hierarchy 更合理；

則：

N_{\max}\uparrow.

15. ToolScope 類系統如何推高上界

大型 toolset 中，

如果直接：

N_A=N_G,

active overload 很快出現。

加入：

tool merging；
context-aware filtering；

後：

N_A\ll N_G.

因此：

\boxed{ \text{better routing} \rightarrow N_{\max}^{effective}\uparrow. }

16. ToolDreamer 類 retriever 的意義

2026 年 ToolDreamer 研究指出，大工具集通常不能全部放入 LLM context，因此需要外部 retriever；而單純依 query-description similarity 仍可能有語義 gap。

這意味著：

\boxed{ RetrieverQuality }

直接是：

N_{\max}

的決定因素。

17. ToolQP 類 multi-step retrieval 的意義

當 request 本身需要：

O_1\circ O_2\circ O_3,

單次 retrieval 未必能找到完整 tool composition。

2026 年 ToolQP 將 retrieval 改為 iterative query planning。

因此：

\boxed{ \text{better compositional retrieval} }

也可能推高：

N_{\max}^{effective}.

18. Open-World Tool Repository

ToolOmni 類工作直接把問題放在：

massive and evolving tool repositories。

這與 COL 的動態 operator language 幾乎同型。

因為：

\boxed{ \mathcal O_G(t+1) \neq \mathcal O_G(t). }

因此 tool semantics 不能只被靜態 memorization。

19. 上界的負向壓力

即使 runtime 變強，

以下因素仍會讓：

N_{\max}\downarrow:

semantic collision；
version multiplicity；
language drift；
population disagreement；
stale operators；
ontology fragmentation。

20. 最大邊界的力學表示

第一版：

\boxed{ \dot N_{\max} = G_{retrieval} + G_{context} + G_{discrim} + G_{hier} - L_{collision} - L_{drift} - L_{version} - L_{instability}. }

21. Dynamic Interval Width

定義：

\boxed{ W_I(t) = N_{\max}(t) - N_{\min}(t). }

$W_I$ 大：

語言設計自由度高。

$W_I$ 小：

任何加減 operator 都容易越界。

22. Interval Collapse

如果：

N_{\min}(t) > N_{\max}(t),

則：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t)=\varnothing. }

代表當前 Agent/runtime 根本不存在同時滿足：

coverage；
learnability；
selection；
fidelity；
risk；

的平坦語言。

23. Interval Collapse 意味著什麼？

不是語言不可能。

而是需要改架構，例如：

hierarchy；
external retrieval；
multi-layer basis；
stronger Agent；
domain partition；
dynamic macro。

也就是：

\boxed{ \text{architecture change} }

而不是再硬調 N。

24. Interval Stress

在 collapse 前，

當：

W_I(t)\rightarrow0,

稱：

\boxed{ \text{Interval Stress}. }

這可以是 language runtime 需要 restructuring 的預警。

25. Expansion Phase

當新 domain / tool / distinction 快速加入：

\dot N_G>0,

且新增能力的 coverage gain 高，

語言進入：

\boxed{ \text{Expansion}. }

特徵：

operator birth 高；
version 變動高；
long-tail 快速增加。

26. Saturation Phase

隨 vocabulary 增長：

overlap 增加；
marginal coverage 下降；
selection / governance cost 上升。

當：

\Delta J_{add}\approx0,

進入：

\boxed{ \text{Saturation}. }

27. Compression Phase

此時可能開始：

merge aliases；
crystallize motifs；
retire stale operators；
build hierarchy；
improve retriever。

形成：

\boxed{ \text{Compression}. }

注意 compression 不一定讓：

N_G

下降。

它也可能只讓：

N_A

或：

C_{lang}

下降。

28. Re-expansion Phase

當新 Agent / 新 domain / 新世界接口出現，

舊壓縮結構可能再次不足。

於是：

\boxed{ \text{Re-expansion}. }

因此候選生命週期：

\boxed{ Expansion \rightarrow Saturation \rightarrow Compression \rightarrow Re-expansion. }

29. 這不是固定四階段定律

某些語言可能：

長期擴張；
直接 collapse；
反覆小幅震盪；
多 branch 並行。

所以本文只提出：

\boxed{ \text{candidate lifecycle archetype}. }

30. Operator Birth–Death Process

令：

B_t

是新 operator birth rate，

D_t

是 retire / merge rate。

則：

\boxed{ \dot N_G = B_t-D_t. }

但這只描述 cardinality，

不描述效用。

31. Utility-Weighted Ecology

對 operator $O_i$ ：

u_i(t).

整體：

\boxed{ U_{\mathcal O}(t) = \sum_i u_i(t). }

可能：

N_G\uparrow

但：

U_{\mathcal O}\downarrow.

所以語言演化不能只追 operator count。

32. Crystallization

反覆 motif：

m

如果通過 macro admission gate，

形成：

O_m.

這是：

\boxed{ \text{Crystallization}. }

它可能暫時：

N_G\uparrow.

33. Consolidation

若：

O_m

成熟後：

替代多個舊 aliases；
舊 macro 被 deprecated；
low-value operators 被 retire；

則：

\boxed{ \text{Consolidation}. }

這才可能讓：

N_G\downarrow.

34. 所以 Crystallization ≠ Compression

很重要：

\boxed{ \text{Crystallization} \neq \text{Cardinality Compression}. }

結晶最初可能增加 vocabulary。

只有後續 consolidation 才可能壓縮總語言複雜度。

35. Internalization 又是第三件事

如果 Agent 已學會：

O_m

的 semantics，

可以把 definition 移出 active context。

因此：

C_{context}\downarrow

但：

N_G

可能不變。

所以：

\boxed{ \text{Internalization Compression} }

主要壓縮 context / learning cost，而非 operator count。

36. 三種 Compression

因此至少區分：

Cardinality Compression

operator 真的變少。

Context Compression

每次不需載入那麼多定義。

Cognitive Compression

Agent 已把複合程序內化成低成本 routine。

這三者不能混為一談。

37. Generational Transmission

若：

Language_g \rightarrow Agent_{g+1} \rightarrow Language_{g+1},

進入：

\boxed{ \text{intergenerational language dynamics}. }

38. 2025 LLM Iterated Transmission 的提醒

COLING 2025 的 LLM emergent-language 研究顯示：

initially unstructured artificial languages 可以逐代形成一些 structure；
generational transmission 可以提高 learnability；
但同時可能產生 non-humanlike degenerate vocabularies。

因此：

\boxed{ \text{Learnability Gain} \neq \text{Semantic Quality Gain}. }

39. Degeneration Pressure

如果每一代都偏好：

更容易學；
更短；
更高成功率；

但沒有足夠 grounding constraints，

語言可能：

\boxed{ \text{compress toward degenerate conventions}. }

因此 language evolution 需要：

world grounding；
semantic coverage；
novelty retention。

40. Population Turnover

動態 Agent population：

P_t

也會影響語言。

新 Agent 進入：

需要 learnability；
可能推動 regularization。

舊 Agent 留存：

提供 continuity；
抑制 drift。

41. 2026 Plasticity Result

CoNLL 2026 的研究顯示：

static populations 可形成 shared languages；
population turnover 後，age-based plasticity 顯著降低 drift；
uniformly low plasticity 無法快速整合 newcomers；
uniformly high plasticity 則語言變化太快，stable conventions 難形成。

這提供一個直接的 dynamic-language boundary：

\boxed{ \text{Plasticity} \leftrightarrow \text{Stability}. }

42. 語言層的 Stability–Plasticity Tradeoff

定義：

\pi_t

為平均 language plasticity。

太低：

\pi_t\downarrow \Rightarrow Adaptation\downarrow.

太高：

\pi_t\uparrow \Rightarrow Drift\uparrow.

因此存在：

\boxed{ \pi^*. }

43. Operator Version Plasticity

不是所有 operator 都應同樣可塑。

可以：

Core

低 plasticity。

Experimental

高 plasticity。

Ephemeral

極高 plasticity。

這和 RLMM 方法論版本治理相接。

44. Frequency 不是單一演化驅動

2025 EMNLP 的 frequency-compositionality 研究顯示，人工 communication system 中 compositionality 並不是 frequency 本身的固有結果；limited exposure 是重要驅動因素。

因此 dynamic COL 不能簡化成：

高頻 → macro；低頻 → composition。

真正是：

\boxed{ \text{Frequency} + \text{Exposure} + \text{Task Pressure} + \text{Transmission}. }

45. Frequency Threshold 必須動態

前篇的 macro threshold：

f^*

應改成：

\boxed{ f^*(t) = f( Agent, Domain, Exposure, Risk, Drift ). }

46. Hysteresis：加入與刪除不應用同一門檻

若 operator：

O

剛因：

\Delta J>\tau_{add}

加入。

使用量稍微下降就立即刪除，

會造成：

\boxed{ \text{Operator Churn}. }

因此應有：

\tau_{remove} < \tau_{add}.

47. Operator Hysteresis

定義：

\boxed{ \begin{cases} Add(O), & U_O>\tau_{add}\\ Keep(O), & \tau_{remove}\le U_O\le\tau_{add}\\ Retire(O), & U_O<\tau_{remove}. \end{cases} }

這就是：

\boxed{ \text{Operator Hysteresis}. }

48. 為什麼 Hysteresis 重要？

沒有 hysteresis：

O \rightarrow add \rightarrow remove \rightarrow add \rightarrow\cdots

會增加：

version burden；
training instability；
semantic drift；
user confusion。

49. Interval Hysteresis

不只是 operator 個體。

整個：

I_{\mathcal O}^{D}(t)

也可能有 path dependence。

即同樣：

\Theta

從 expansion 方向進入，

與從 compression 方向進入，

得到的 language state 不同。

50. Path Dependence

形式：

\boxed{ \mathcal O_t \neq f(\Theta_t) }

單獨決定。

而是：

\boxed{ \mathcal O_t = f( \Theta_t, H_{0:t} ). }

其中：

H_{0:t}

是演化歷史。

51. Dynamic Optimum 也可能有切換成本

即使：

N^*(t)

改變，

立刻把語言改到新 optimum 可能不划算。

因為：

C_{migration}.

所以真正 policy：

\boxed{ N_{policy}(t) \neq N^*(t) }

可能成立。

52. Inertia

語言可能維持在略次優區：

J(N)<J(N^*)

但避免巨大 migration cost。

這是：

\boxed{ \text{Language Inertia}. }

53. Migration-Adjusted Objective

可寫：

\boxed{ J_D = J_{current} - C_{migration} - C_{retraining} - C_{compatibility}. }

只有新版本 gain 足夠大才切換。

54. Dynamic Basis State

完整 operator 狀態可以：

\boxed{ \mathcal B_t = ( \mathcal O_t, G_t, H_t, R_t, V_t ). }

其中：

$\mathcal O_t$ ：operator set；
$G_t$ ：grammar；
$H_t$ ：hierarchy；
$R_t$ ：retriever；
$V_t$ ：version map。

55. State Transition

語言演化：

\boxed{ \mathcal B_{t+1} = \mathcal F( \mathcal B_t, Workload_t, Failure_t, Novelty_t, Agent_t ). }

56. 五種基本演化操作

Birth

新增 operator。

Crystallize

高頻 motif 升格。

Merge

重疊 operators 合併。

Split

God Operator / ambiguous operator 拆分。

Retire

低效、過時 operator 退出 stable set。

57. 再加入第六種：Reground

若語義漂移：

Meaning(O_t) \neq TargetMeaning,

不一定刪除。

可以：

\boxed{ Reground(O). }

重新把 operator 接回：

examples；
world behavior；
formal expansion。

58. 語義漂移率

定義：

\boxed{ D_{drift}(O;t_1,t_2) = D( Sem_{t_1}(O), Sem_{t_2}(O) ). }

整體：

\boxed{ \bar D_{drift}(t) = \mathbb E_O[D_{drift}(O)]. }

59. Drift Budget

要求：

\boxed{ \bar D_{drift}(t) \le B_D. }

超過則：

freeze；
reground；
rollback；
branch version。

60. Dynamic Nmax 受 Drift 影響

operator 越多、版本越多、population 越不穩，

drift-control cost 越大。

因此：

D_{drift}\uparrow \Rightarrow N_{\max}\downarrow

可能成立。

61. Dynamic Nmin 也受 Drift 影響

如果 primitives 本身語義不穩，

可能需要更多：

disambiguation；
version markers；
explicit constraints。

因此：

D_{drift}\uparrow \Rightarrow N_{\min}^{robust}\uparrow.

所以 drift 會從兩邊擠壓 interval。

62. Drift-Induced Interval Compression

因此：

\boxed{ D_{drift}\uparrow \Rightarrow W_I(t)\downarrow }

是非常重要的候選命題。

63. Dynamic Interval Stability

定義：

\boxed{ S_I(t) = -\left| \frac{dN_{\min}}{dt} \right| - \left| \frac{dN_{\max}}{dt} \right|. }

更高代表 interval 邊界變動慢。

但穩定不代表好。

64. Stable but Bad Interval

如果：

I(t) = [500,510]

長期穩定，

但 Agent 學習成本極高，

仍不是好語言。

所以要同時報：

interval stability；
interval location；
interval width；
peak utility。

65. Optimal-Point Velocity

定義：

\boxed{ v_{N^*} = \frac{dN^*}{dt}. }

如果：

|v_{N^*}|

很大，

表示語言需求變化快，

不適合頻繁 hard-code stable operators。

66. Ephemeral Layer 應吸收高速變動

當：

|v_{N^*}|\uparrow,

更多新 operators 應留在：

\boxed{ \text{Ephemeral / Experimental Layer} }

而不是立即進 Stable Core。

67. Stable Core 應吸收低速變動

只有在 utility 長期穩定：

U_O(t)>\tau

持續窗口：

W,

才進：

\boxed{ \text{Stable Core}. }

68. Promotion Delay

定義：

\boxed{ T_{promote}(O) }

從 operator birth 到進 stable layer 所需時間。

如果太短：

noise 被永久化。

太長：

好 operator 無法傳播。

存在：

T_{promote}^*.

69. Retirement Delay

同樣：

\boxed{ T_{retire}(O) }

避免 temporary usage dip 就刪除 operator。

這和 hysteresis 一致。

70. Dynamic Completeness 不是每次都重新從零算

實際 runtime 不會每秒全局 optimization。

需要：

\boxed{ \text{incremental adaptation}. }

每次只處理：

new failure；
new motif；
new domain；
stale operator；
retriever change。

71. Incremental Update Rule

第一版：

\boxed{ \mathcal B_{t+1} = \mathcal B_t + \Delta_{birth} + \Delta_{crystal} + \Delta_{split} - \Delta_{merge} - \Delta_{retire}. }

注意 merge 可能不單純是「減一」，實際是 graph transformation。

72. Stability Gate

每次 update 後需要測：

coverage；
held-out composition；
selection；
fidelity；
drift；
migration compatibility。

若破壞 stable invariants：

\boxed{ Rollback. }

73. Dynamic Completeness 的核心不是追最佳點

如果每次都追：

N^*(t),

可能造成：

\boxed{ \text{Over-Adaptive Language}. }

因此真正目標是：

維持在高效可行區，而不是每一刻精準站在數學 optimum。

74. Viability Band

定義：

\boxed{ V_{\tau}(t) = \{ N: J(N,t)\ge J(N^*,t)-\tau \}. }

只要語言維持：

N(t)\in V_{\tau}(t),

就不必頻繁重構。

75. 這比追 N* 更穩健

因為：

減少 migration；
減少版本 churn；
提高跨 Agent compatibility。

因此：

\boxed{ \text{Good dynamic governance} = \text{stay inside a viability band}. }

76. Dynamic Completeness Interval vs Viability Band

不要混淆：

Completeness Interval

I_{\mathcal O}^{D}(t)

表示可接受的最大範圍。

Viability Band

V_{\tau}(t)

表示接近最佳的甜蜜區。

所以：

\boxed{ V_{\tau}(t) \subseteq I_{\mathcal O}^{D}(t). }

77. 語言治理的真正目標

不是：

把 operator 數永遠固定在 64。

而是：

\boxed{ \mathcal O_t \text{ remains inside } V_{\tau}(t) }

同時：

drift bounded；
migration bounded；
compatibility preserved。

78. Dynamic Completeness 的十二個正式命題

DC-P1 — Agent-Learning Contraction

Agent composition ability 提高時， $N_{\min}$ 可下降。

DC-P2 — Domain-Expansion Pressure

target domain 擴張通常推高 $N_{\min}$ 。

DC-P3 — Retrieval-Expanded Upper Bound

retrieval / routing 改善可推高 $N_{\max}$ 。

DC-P4 — Drift Compression

semantic drift 同時推高 robust lower bound 並壓低 upper bound，縮小 interval。

DC-P5 — Crystallization–Consolidation Distinction

macro crystallization 不必然減少 vocabulary；consolidation 才可能造成 cardinality compression。

DC-P6 — Multi-Form Compression

cardinality、context、cognitive compression 必須分開。

DC-P7 — Lifecycle Archetype

operator languages 可能出現 expansion → saturation → compression → re-expansion 的循環。

DC-P8 — Plasticity–Stability Optimum

dynamic population 中存在 nontrivial language-plasticity optimum。

DC-P9 — Hysteretic Governance

operator admission 與 retirement 應使用不同 threshold 以避免 churn。

DC-P10 — History Dependence

同一當前環境可能因不同演化歷史得到不同有效 language state。

DC-P11 — Viability-over-Optimality

動態語言治理應優先維持 viability band，而非持續追逐瞬時 optimum。

DC-P12 — Interval Collapse Trigger

若 $N_{\min}>N_{\max}$ ，需要 architecture change，而不是單純調整 vocabulary size。

79. 第一版實驗設計：Dynamic Domain Sweep

起始 domain：

\Omega_0.

逐步加入：

\Omega_1, \Omega_2,\ldots

每一階量：

$N_{\min}$ ；
$N^*$ ；
$N_{\max}$ ；
depth；
fidelity；
active set；
drift。

觀察：

I_{\mathcal O}^{D}(t).

80. Agent Learning Sweep

固定 domain，

但讓 Agent 經：

E_0,E_1,\ldots,E_k

不同 exposure / training。

觀察是否：

N_{\min}(t)\downarrow.

這可直接測 Internalization Compression。

81. Retriever Upgrade Sweep

固定：

N_G.

逐步提升：

embedding retriever；
reasoning retriever；
multi-step planner；
hierarchy。

觀察：

N_{\max}(t).

82. Population Turnover Sweep

建立 Agent population。

每隔：

k

步換入 newcomer。

比較：

uniform high plasticity；
uniform low plasticity；
age-based / staged plasticity。

量：

D_{drift}

與：

K_{\epsilon}^{stable}.

83. Iterated Transmission Sweep

每代只讓下一 Agent 接觸前一代語言的一部分。

量：

learnability；
vocabulary size；
compositionality；
semantic coverage；
degeneration。

這直接接 LRC–COL-09。

84. Hysteresis Experiment

設定 operator utility 隨 workload 緩慢上升、再下降。

比較：

No Hysteresis

同一 threshold add/remove。

Hysteresis

$\tau_{add}>\tau_{remove}$ 。

量：

churn；
version count；
performance；
migration cost。

85. Expansion–Compression Cycle Test

設 workload：

Phase A

快速加入新 motifs。

Phase B

固定 workload。

Phase C

長期重複。

Phase D

再加入新 domain。

觀察：

N_G(t), N_A(t), C_{lang}(t), Y_L(t).

若出現：

Expansion \rightarrow Saturation \rightarrow Compression \rightarrow Re-expansion,

則支持 lifecycle archetype。

86. 我們現在終於有「靜態值」和「動態區間」

靜態：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{S} = [ N_{\min}^{effective}, N_{\max}^{effective} ]. }

動態：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t) = [ N_{\min}(t), N_{\max}(t) ]. }

最佳點：

\boxed{ N^*(t). }

高效甜蜜區：

\boxed{ V_{\tau}(t). }

87. 最初問題的正式回答

最初問：

「應該會有一個靜態跟動態的範圍值區間嗎？」

本文的答案是：

\boxed{ \text{Yes, as a useful research model.} }

但它不是物理常數。

它是條件化於：

\boxed{ Agent + Domain + Workload + Runtime + Retrieval + Population + Risk + History. }

88. 更重要的結果

未來真正好的 language runtime 不應只知道：

我現在有 80 個 operator。

而應知道：

Current Global Library:
Current Active-Set Distribution:
Estimated Nmin:
Estimated Nmax:
Estimated N*:
Viability Band:
Drift Rate:
Birth Rate:
Retirement Rate:
Migration Cost:

也就是：

\boxed{ \text{Language Self-Monitoring}. }

89. 這已經接近 Operator Ecology Runtime

一套動態 COL 最後看起來不只是 parser。

它更像：

\boxed{ \text{Operator Ecology Manager}. }

管理：

birth；
learning；
crystallization；
competition；
merge；
split；
drift；
retirement。

90. 與 LRC 的最終接合

語言 operator ecology 的改變最後會影響：

Y_L(t)

與：

\kappa_{LR}(t).

因此動態語言設計不是內部 elegance。

它最後會改變：

同一單位語言在不同時代到底能可靠地做多少事。

91. 本篇核心公式組

動態 interval：

\boxed{ I_{\mathcal O}^{D}(t) = [ N_{\min}(t), N_{\max}(t) ]. }

dynamic optimum：

\boxed{ N^*(t) = \arg\max_NJ(N;\Theta_t). }

interval width：

\boxed{ W_I(t) = N_{\max}(t)-N_{\min}(t). }

operator birth-death：

\boxed{ \dot N_G = B_t-D_t. }

hysteresis：

\boxed{ \begin{cases} Add,& U>\tau_{add}\\ Keep,& \tau_{remove}\le U\le\tau_{add}\\ Retire,& U<\tau_{remove}. \end{cases} }

viability band：

\boxed{ V_{\tau}(t) = \{ N: J(N,t)\ge J(N^*,t)-\tau \}. }

92. 非主張

本文不主張：

所有語言都必然出現四階段 lifecycle；
$N_{\min}$ 隨 Agent 學習一定單調下降；
$N_{\max}$ 隨模型進步一定單調上升；
operator count 足以描述 language evolution；
iterated transmission 必然改善 compositionality；
high plasticity 一定不好；
hysteresis threshold 有通用固定值；
dynamic optimum 值得每次追蹤到精確最大值；
global operator library 可以無限成長；
本篇 phenomenological differential equations 已被實證。

本文只提出：

\boxed{ \text{The effective size of a composite operator language should be modeled as a moving viability interval shaped by agent learning, domain expansion, retrieval capacity, semantic drift, population dynamics, and historical path dependence.} }

93. 文獻錨點

Searching for Structure: Investigating Emergent Communication with Large Language Models（COLING 2025）
模擬 LLM 代際學習 artificial languages；結果顯示 generational transmission 可以提高 learnability，但同時可能形成 non-humanlike degenerate vocabularies。這支持「傳播與壓縮不等於單調改善」。
Frequency & Compositionality in Emergent Communication（EMNLP 2025）
指出 compositionality 並非 frequency 本身的固有結果，limited exposure 是重要驅動；支持 dynamic macro policy 必須同時考慮 exposure 與 task pressure。
Cognitively Inspired Developmental Trajectories Improve Explore-Exploit Dynamics in Neural Agent Emergent Communication（CoNLL 2026）
在 dynamic population turnover 中，age-based plasticity 顯著降低 language drift；uniform low plasticity 適應 newcomer 太慢，而 uniform high plasticity 使語言變動過快、穩定 convention 難形成。這直接支持本文的 stability–plasticity dynamic。
ToolScope: Enhancing LLM Agent Tool Use through Tool Merging and Context-Aware Filtering（ACL 2026）
大型 toolsets 中的 redundancy / overlap / context limits 可藉 merging 與 filtering 改善，支持 runtime architecture 可以移動 $N_{\max}^{effective}$ 。
ToolDreamer: Instilling LLM Reasoning Into Tool Retrievers（EACL 2026）
指出 large tool collections 不能全部放入 context，需要 external retrieval，而 query 與 tool-description language space 的 alignment 會直接影響 retrieval quality。支持 retriever 作為 dynamic upper-bound factor。
Beyond Single-Shot: Multi-step Tool Retrieval via Query Planning（ACL Findings 2026）
對 massive dynamic tool libraries，以 iterative query planning 處理 compositional retrieval，比 static single-shot matching 更適合複雜任務。支持「operator library 規模與 retrieval architecture 必須聯合建模」。
ToolOmni: Enabling Open-World Tool Use via Agentic Learning with Proactive Retrieval and Grounded Execution（ACL 2026）
直接研究 massive and evolving tool repositories 下的 open-world tool retrieval / execution，支持 $N_G(t)$ 本身就是動態量，而不能視為靜態 vocabulary。

94. 下一篇

LRC–COL-07：AI 學習時間

從記憶符號到操作理解

AI Learning Time: From Symbol Recall to Operational Understanding

下一篇正式處理最初命題空間中的：

\boxed{ T_{\epsilon}^{learn}. }

將區分：

symbol recognition；
definition recall；
familiar composition；
novel composition；
cross-domain transfer；
execution fidelity；
retention；
re-learning。

並回答：

到底看到幾次、用幾次、經過多少不同 composition，才有資格說 AI「理解」了一個複合算子？

同時建立：

\boxed{ \text{Exposure} \rightarrow \text{Acquisition} \rightarrow \text{Generalization} \rightarrow \text{Operational Understanding} }

的學習曲線，而不是把「能複述定義」當成學會。

END — LRC–COL-06 v0.1