title: "多域知識判定論：定義域、觀察域、可達域、判定域、驗證域、局部域與全域黏合域" title_en: "Multi-Domain Epistemic Judgment Theory: Definition, Observation, Reachability, Judgment, Verification, Local, and Global-Gluing Domains" series: "動態知識空間論（Dynamic Epistemic Space Theory, DEST）" series_id: "EML-DEST-2026-01" version: "v0.1" date: "2026-08-12" language: "zh-Hant" document_type: "系列第一篇／多域型別論／AI-readable judgment specification" status: "Canonical Draft" depends_on: - "EML-DEST-2026-00 動態知識空間總論 v0.1" canonical_keywords: - "定義域" - "觀察域" - "可達域" - "判定域" - "驗證域" - "局部域" - "全域黏合域" - "域間債務" - "判定膠囊" - "條件纖維" - "多域路由"

多域知識判定論

定義域、觀察域、可達域、判定域、驗證域、局部域與全域黏合域

摘要

本文是《動態知識空間論》（DEST）的第一篇子理論，專門處理一個在前期研究中反覆造成混淆的問題：一個對象被定義、被看到、被找到、可被判定、可被驗證、可在局部成立、以及可在全域成立，是七種不同的資格，而不是同一個「已知／未知」二元狀態。

前期概念積分以覆蓋、Gap 與邊界描述知識擴張；條件依賴演化論指出真值、理論狀態與修正方向依條件改變；語義拓撲指出局部正確並不保證全域可黏合；移動中的可知邊界則指出可知性本身會隨工具、世界狀態、研究記憶與驗證制度而移動。這些研究共同要求一個更細的多域型別系統。

本文因此定義時刻 (t)、條件纖維 $\theta$ 下的七域狀態：

\boxed{ \mathcal D_t(\theta) = \left\langle D^{\mathrm{def}}, D^{\mathrm{obs}}, D^{\mathrm{reach}}, D^{\mathrm{judge}}, D^{\mathrm{verify}}, D^{\mathrm{local}}, D^{\mathrm{global}} \right\rangle_{t,\theta} }

並引入：

條件纖維化判定域：所有域都相對於條件、尺度、版本、觀察者、工具與預算；
多域成員向量：同一對象可同時「已定義但不可達」「可判定但未驗證」「局部成立但全域黏合失敗」；
域間債務：量化從已定義到可判定、從可判定到可驗證、從局部到全域仍缺的 proof obligations；
多域邊界：區分定義前沿、可達前沿、判定前沿、驗證前沿與全域黏合前沿；
非線性域轉換：搜尋、工具調用、形式化、實驗、證明、橋接、表示重構與版本遷移分別改變不同域；
判定膠囊：AI／Agent 輸出不得只給 true/false，而應攜帶作用域、條件、證書、版本、失效條件與未清債務；
多域路由控制器：依失敗所在域，選擇 Retrieve、Define、Condition、Verify、Glue、Reframe、Branch 或 Defer，而不是反覆在錯誤域內繼續推理。

本文的核心命題是：

\boxed{ \text{知識判定不是單一真值函數，而是對多個資格域的條件化通過過程。} }

以及：

\boxed{ \text{若不知道失敗發生在哪一個域，就無法知道下一步應增加知識、工具、條件、證據，還是改寫表示。} }

0. 研究定位與非主張聲明

本文不是一般認識論中「什麼叫知道」的完整哲學理論，也不是把 Kripke 語義、domain theory、abstract interpretation、sheaf theory 或 proof theory 合併成單一新數學。

本文建立的是一套 AI 可操作的多域判定規格。

本文不宣稱：

七種域是所有知識問題的唯一分類；
七域之間存在固定總序；
所有域都可以用同一個集合論後端表示；
$D^{\mathrm{verify}}$ 在現實研究中必然單調增加；
局部域與全域域永遠具有標準層論結構；
所有不可判定都能藉由換表示或增加工具解除；
Unknown 是單一狀態；
判定域的擴大必然代表理論更真；
覆蓋更多對象必然降低全域 Gap；
形式證書可以自動替代經驗證據、資料品質或語義對齊。

本文遵循 DEST 的認識論標籤：

[DEF]：本文定義；
[PROP]：由定義或明示假設可推出的命題；
[CONJ]：尚待數學或實驗證明的結構猜想；
[PROG]：研究綱領／工程規格；
[OPEN]：未完成 proof obligation；
[ALIGN]：與外部既有數學的結構對照，不表示同一或包含關係。

1. 為什麼需要多域，而不是 Known / Unknown？

1.1 二元知識標籤的主要錯誤

對命題 (p)，傳統簡化常寫：

K(p)\in\{0,1\}.

但在真實研究中，下面情況完全不同：

A. 我不知道這個詞代表什麼。
B. 我知道定義，但現在拿不到資料。
C. 我拿得到資料，但條件不足，不能判斷。
D. 我可以作條件判斷，但尚未有證明。
E. 我有數值或形式證書，但只在某個範圍成立。
F. 我在每個局部區域都能證，但無法黏成全域結果。
G. 我有全域結果，但只對某個版本、模型或公理分支成立。

如果全部標記為 Unknown，系統失去最重要的資訊：

下一步到底要做什麼。

1.2 多域判定論的最低主張 [DEF]

對任意知識對象 (x)，不再問：

\text{Known}(x)?

而問：

\boxed{ \operatorname{Profile}_t(x\mid\theta) = \left( \delta_{\mathrm{def}}, \delta_{\mathrm{obs}}, \delta_{\mathrm{reach}}, \delta_{\mathrm{judge}}, \delta_{\mathrm{verify}}, \delta_{\mathrm{local}}, \delta_{\mathrm{global}} \right) }

其中每個分量都可以是：

\{1,0,?,\mathsf B,\mathsf S\}.

語義為：

(1)：通過；
(0)：已知不通過；
(?)：尚未決定；
$\mathsf B$ ：branch-dependent；
$\mathsf S$ ：scope-dependent，只在子域成立。

因此：

[ (1,0,0,0,0,0,0) ]

與：

[ (1,1,1,1,?,1,0) ]

雖然都不能寫成「全域已驗證」，研究狀態卻完全不同。

2. 條件纖維：所有判定域都不是無條件集合

2.1 條件空間 [DEF]

令條件空間：

\Theta_t = \Theta^{\mathrm{task}} \times \Theta^{\mathrm{scale}} \times \Theta^{\mathrm{time}} \times \Theta^{\mathrm{model}} \times \Theta^{\mathrm{version}} \times \Theta^{\mathrm{observer}} \times \Theta^{\mathrm{resource}} \times \Theta^{\mathrm{permission}}.

一個具體條件：

\theta = (\tau,s,t,m,v,o,b,a).

其中可分別表示：

任務；
尺度；
時間；
模型／公理後端；
版本；
觀察者或 Agent；
資源預算；
權限與資料可見性。

2.2 域不是固定集合，而是纖維 [DEF]

對每一域型別 $\alpha$ ，定義：

D_{t,\theta}^{\alpha} \subseteq \Omega_t.

因此完整域應理解為：

\mathfrak D_t^{\alpha} = \bigsqcup_{\theta\in\Theta_t} D_{t,\theta}^{\alpha}.

也就是：

同一個命題在不同模型、資料版本、時間、工具、權限或任務下，可以落入不同判定資格。

這直接避免把「今天可驗證」誤寫成「永遠可驗證」。

2.3 條件改變可以移動域，而不改變對象 [PROP]

固定對象 (x)，若：

\theta_1\neq\theta_2,

則允許：

x\in D^{\mathrm{judge}}_{t,\theta_1} \qquad\text{但}\qquad x\notin D^{\mathrm{judge}}_{t,\theta_2}.

例如：

在 ZFC 中 branch-dependent；
在 ZFC+CH 中可判定；
在有資料庫權限時可驗證；
在離線模型中不可達；
在有限高度範圍可證；
在全域高度未閉合。

因此「判定能力」必須綁定 $\theta$ 。

3. 七種主要域

3.1 定義域 $D^{\mathrm{def}}$

3.1.1 定義 [DEF]

D^{\mathrm{def}}_{t,\theta} = \{x\in\Omega_t:\operatorname{WellTyped}(x\mid\theta)=1\}.

它回答：

這個對象／命題／算子在當前形式系統中有沒有合法語義？

最低要求可能包括：

變數有型別；
作用域明示；
所用算子有輸入輸出；
關係端點存在；
量詞綁定；
版本與模型不混淆；
單位、維度或語義類型一致。

3.1.2 已命名不等於已定義 [PROP]

一個術語有文字標籤：

\operatorname{Name}(x)\neq\varnothing

不推出：

x\in D^{\mathrm{def}}.

因為名稱可以：

過載；
互相矛盾；
缺乏作用域；
只是隱喻；
在不同文件具有不同含義。

因此 DEST 將「命名 Gap」與「定義 Gap」分開。

3.2 觀察域 $D^{\mathrm{obs}}$

3.2.1 定義 [DEF]

D^{\mathrm{obs}}_{t,\theta} = \{x:\operatorname{DirectlyRegistered}(x\mid\theta)=1\}.

包括：

感測器資料；
已讀取檔案；
已下載論文；
實驗結果；
API 回傳；
目前上下文；
使用者直接提供內容。

觀察域回答：

現在系統實際拿到了什麼？

3.2.2 被觀察不等於被理解 [PROP]

x\in D^{\mathrm{obs}} \not\Rightarrow x\in D^{\mathrm{judge}}.

大量原始資料可以全部被讀到，但仍缺：

定義；
分類；
條件；
因果模型；
統計功效；
驗證規則。

這與《視域》系列中「發生、被感測、被登錄、被辨識、顯現、成為知識」的分層一致。

3.3 可達域 $D^{\mathrm{reach}}$

3.3.1 定義 [DEF]

D^{\mathrm{reach}}_{t,\theta} = \left\{ x:\exists\pi, \operatorname{Cost}(\pi)\le B_{t,\theta}, \ \pi:q_t\leadsto x \right\}.

其中：

$q_t$ ：當前研究狀態；
$\pi$ ：可用搜尋、工具、計算、通訊或推導路徑；
(B)：時間、token、算力、金錢、權限與風險預算。

可達域回答：

在現在的工具與預算下，我能不能碰到它？

3.3.2 可達性是資源依賴的 [PROP]

可存在：

x\notin D^{\mathrm{reach}}(B_1) \quad\text{但}\quad x\in D^{\mathrm{reach}}(B_2), \qquad B_2>B_1.

也可因新工具出現使：

D^{\mathrm{reach}}_{t+1} \supsetneq D^{\mathrm{reach}}_t.

因此：

「沒找到」不是「不存在」；「目前不可達」也不是「原理不可達」。

3.4 判定域 $D^{\mathrm{judge}}$

3.4.1 定義 [DEF]

D^{\mathrm{judge}}_{t,\theta} = \{p:\operatorname{JudgmentRule}(p\mid\theta)\text{ 已足夠指定}\}.

也就是對 (p) 至少能合法輸出：

成立；
不成立；
條件成立；
branch-dependent；
目前未決；
超出作用域。

而不是只能輸出無結構的「不知道」。

3.4.2 條件可判斷 [DEF]

延續「移動中的可知邊界」，定義：

J(p) = \langle \Omega_p, C_p, T_p, F_p, U_p, \Gamma_p \rangle,

其中：

$\Omega_p$ ：相關情境／分支；
$C_p$ ：成立條件；
$T_p$ ：有效時間窗；
$F_p$ ：失效／可否證條件；
$U_p$ ：更新規則；
$\Gamma_p$ ：證據／理由集合。

只要此結構足夠形成合法輸出，便可視為進入判定域，即使尚未進入驗證域。

3.5 驗證域 $D^{\mathrm{verify}}$

3.5.1 定義 [DEF]

D^{\mathrm{verify}}_{t,\theta} = \{p:\exists c\in\mathsf{Cert},\operatorname{Check}(c,p,\theta)=\mathsf{Pass}\}.

證書可以是：

形式證明；
exact arithmetic；
interval certificate；
統計檢驗；
可重播實驗；
密碼學完整性證書；
多來源一致性；
合法引用的外部 theorem applicability certificate。

3.5.2 數值吻合不自動進入驗證域 [PROP]

若只有：

|f(x)-g(x)|<10^{-12}

對有限樣本成立，不能自動推出：

\forall x, \quad f(x)=g(x).

所以：

D^{\mathrm{numerical\ evidence}} \neq D^{\mathrm{verify}}.

驗證域必須保存證書類型與作用域。

3.6 局部域 $D^{\mathrm{local}}$

3.6.1 定義 [DEF]

對遮蔽／局部族：

\mathcal U=\{U_i\}_{i\in I},

定義：

D^{\mathrm{local}}(U_i) = \{p:p|_{U_i}\text{ 可合法處理}\}.

局部域可以代表：

一段參數區間；
一個模型；
一個學科；
一個 Agent；
一個版本；
一個資料中心；
一個語言；
一個 proof regime。

3.6.2 局部覆蓋完備不等於全域完備 [PROP]

即使：

X=\bigcup_iU_i

且每個：

p_i\in D^{\mathrm{verify}}(U_i),

仍可能因 overlap 不相容而：

p\notin D^{\mathrm{global}}.

這是 DEST 對「局部證明很多，但全域還是卡住」的正式表示。

3.7 全域黏合域 $D^{\mathrm{global}}$

3.7.1 定義 [DEF]

給定局部截面：

s_i\in\mathcal F(U_i),

如果存在全域對象 (s)，使：

s|_{U_i}=s_i

且所有必要 overlap／closed-loop 條件成立，則相應命題進入：

D^{\mathrm{global}}.

更一般寫成：

D^{\mathrm{global}}_{t,\theta} = \{p:\operatorname{GlueCert}(p,\mathcal U,\theta)=\mathsf{Pass}\}.

3.7.2 全域黏合失敗的三種基本形式 [DEF]

G1. overlap conflict

s_i|_{U_i\cap U_j} \neq T_{ji} \left(s_j|_{U_i\cap U_j}\right).

G2. loop holonomy defect

H_\gamma \neq \operatorname{id}.

G3. branch non-single-valuedness

存在兩個合法分支：

s^{(1)}\neq s^{(2)},

且無合法規則將其壓縮成單值全域截面。

此時正確輸出不是硬選一個，而是：

\operatorname{status}=\mathsf{BranchDependent}.

4. 七域不是一條線：資格依賴圖

4.1 錯誤的線性模型

不能簡單寫：

D^{\mathrm{def}} \subseteq D^{\mathrm{obs}} \subseteq D^{\mathrm{reach}} \subseteq D^{\mathrm{judge}} \subseteq D^{\mathrm{verify}} \subseteq D^{\mathrm{global}}.

因為：

可以先觀察到但尚未有良好定義；
可以定義但不可觀察；
可以可達但不可判定；
可以判定但無法驗證；
可以局部驗證但全域失敗；
可以依外部 theorem 進入驗證域，但內部模型仍不可直接觀察相關對象。

4.2 正確表示：Gate DAG [DEF]

定義七種 Gate：

\mathsf G = \{ G_D,G_O,G_R,G_J,G_V,G_L,G_G \}.

它們不是總序，而是一個依任務指定的有向依賴圖：

\mathcal G_{\mathrm{qual}}(q,\theta).

例如一個數學 theorem claim 的典型依賴：

Definition Gate
      ↓
Judgment Gate
      ↓
Verification Gate
      ↓
Local/Global Scope Gate

而一個資料科學 claim 可能是：

Observation Gate → Definition Gate
        ↓              ↓
      Reachability → Judgment
                        ↓
                    Verification

所以每一任務都必須保存自己的 qualification graph。

5. 多域狀態矩陣

5.1 成員矩陣 [DEF]

對候選集合 $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ ，定義：

M_t(i,\alpha\mid\theta) = \operatorname{Member} \left( x_i, D^\alpha_{t,\theta} \right).

其中：

\alpha \in \{D,O,R,J,V,L,G\}.

因此得到：

M_t\in\mathcal Q^{n\times7},

\mathcal Q=\{1,0,?,\mathsf B,\mathsf S\}.

5.2 多域指紋 [DEF]

每個對象：

\mathbf m_t(x\mid\theta) = (M_D,M_O,M_R,M_J,M_V,M_L,M_G)

稱為其：

Domain Qualification Fingerprint（DQF，多域資格指紋）。

DQF 比單一「可信度 0.82」更能告訴 Agent 下一步做什麼。

6. 域間債務：真正需要補的是哪一段？

6.1 定義 [DEF]

對兩種資格域 (A,B)，定義：

\boxed{ \Delta_t^{A\rightarrow B}(\theta) = D^A_{t,\theta} \setminus D^B_{t,\theta} }

稱為：

Domain Transition Debt（域間轉換債務）。

它表示已經通過 (A)，但尚未通過 (B) 的部分。

6.2 六種高價值債務

定義—判定債務

\Delta^{D\to J} = D^{\mathrm{def}}\setminus D^{\mathrm{judge}}.

代表：已定義，但條件不足／沒有判定規則。

可達—判定債務

\Delta^{R\to J}.

代表：資料／論文／工具已拿到，但仍不會判。

判定—驗證債務

\Delta^{J\to V}.

代表：已能形成合理判斷，但缺 proof / experiment / certificate。

局部—全域債務

\Delta^{L\to G}.

代表：局部都很好，但黏合、uniformity 或 tail 未閉合。

版本債務

舊版本已有證書，新版本尚未遷移。

表示債務

在表示 $\Pi_1$ 下不可判，在 $\Pi_2$ 下可能可判，但尚未建立合法轉譯。

7. 域間債務不是一個數，而是一個 proof-obligation 集

7.1 債務物件 [DEF]

\mathfrak d = \langle id, source\_domain, target\_domain, missing\_conditions, missing\_evidence, missing\_bridge, resource\_estimate, failure\_risk, next\_action \rangle.

因此：

\Delta^{A\to B}

不是抽象「差很多」，而是可被 Agent 實際派工的 obligation queue。

8. 域轉換算子

8.1 搜尋／檢索： $\mathsf{Retrieve}$

主要作用：

D^{\mathrm{reach}}\uparrow,

有時也間接提高：

D^{\mathrm{obs}},D^{\mathrm{judge}}.

但：

\mathsf{Retrieve} \not\Rightarrow D^{\mathrm{verify}}.

8.2 定義化： $\mathsf{Define}$

將語義模糊候選轉成合法型別：

\mathsf{Define}: G^{\mathrm{definition}} \to D^{\mathrm{def}}.

8.3 條件化： $\mathsf{Condition}$

補足：

參數範圍；
邊界條件；
模型；
時間；
作用域；
失效條件。

主要縮小：

\Delta^{D\to J}.

8.4 驗證： $\mathsf{Verify}$

\mathsf{Verify}: D^{\mathrm{judge}} \to D^{\mathrm{verify}}

只在合法 certificate 存在時成立。

8.5 橋接： $\mathsf{Bridge}$

新增中介：

A\to B\to C

以修復：

A\not\to C.

主要縮小：

G^R,G^P,\Delta^{L\to G}.

8.6 重表示： $\mathsf{Reframe}$

\Pi_1(x) \mapsto \Pi_2(x).

它可能讓原本：

x\notin D^{\mathrm{judge}}(\Pi_1)

變成：

x\in D^{\mathrm{judge}}(\Pi_2).

但必須保存：

\operatorname{TranslationCert}(\Pi_1,\Pi_2).

否則只是語義偷換。

8.7 分支保存： $\mathsf{Branch}$

若：

J_{T_1}(p)\neq J_{T_2}(p)

且兩者均合法，則：

\mathsf{Branch}(p) = \{(T_1,J_1),(T_2,J_2),\ldots\}.

不強迫單值化。

9. 多域轉換的成本

9.1 轉換成本 [DEF]

C_t^{A\to B}(x\mid\theta) = C_{\mathrm{search}} +C_{\mathrm{compute}} +C_{\mathrm{formal}} +C_{\mathrm{experiment}} +C_{\mathrm{human}} +C_{\mathrm{verification}} +C_{\mathrm{risk}}.

同一 proof obligation 在不同表示與工具下成本可能不同：

C^{A\to B}_{\Pi_1} \neq C^{A\to B}_{\Pi_2}.

這直接接到解空間幾何中的 Fold、Bridge、Project、Tunnel 等表示／路徑變換。

9.2 最小合法提升 [PROG]

Agent 不應永遠選「最短文字答案」，而應求：

\boxed{ \pi^* = \arg\min_{\pi} C(\pi) \quad \text{s.t.} \quad \operatorname{TargetGate}(\pi)=\mathsf{Pass}. }

即：

用最低總成本，把對象提升到任務真正需要的域，而不是提升到不必要的最高域。

例如日常推薦可能只需條件可判斷；數學新定理則要求驗證域；跨版本制度規則可能還要求全域黏合域。

10. 判定域邊界

10.1 多前沿 [DEF]

定義：

\mathbf B_t = ( \partial D^{\mathrm{def}}, \partial D^{\mathrm{obs}}, \partial D^{\mathrm{reach}}, \partial D^{\mathrm{judge}}, \partial D^{\mathrm{verify}}, \partial D^{\mathrm{global}} ).

這些邊界不必重合。

10.2 典型狀態

搜得到，但判不了

\partial D^{\mathrm{reach}} > \partial D^{\mathrm{judge}}.

判得了，但證不了

\partial D^{\mathrm{judge}} > \partial D^{\mathrm{verify}}.

局部都證了，但全域還沒閉合

\bigcup_iD^{\mathrm{verify}}(U_i) > D^{\mathrm{global}}.

工具進步造成可達前沿突然外移

D^{\mathrm{reach}}_{t+1} \gg D^{\mathrm{reach}}_t.

但如果驗證吞吐沒有同步上升，會形成：

\boxed{ \text{Epistemic Backlog} \approx D^{\mathrm{reach}}\setminus D^{\mathrm{verify}}. }

11. 時間與版本：證書歷史可以單調，活動真值不一定

11.1 Immutable ledger 與 Active state 分離 [DEF]

定義：

\mathcal H_t^{\mathrm{cert}} \subseteq \mathcal H_{t+1}^{\mathrm{cert}}

表示歷史證書帳本 append-only。

但當前有效狀態：

\operatorname{Active}_t(p)

可以因：

新反例；
資料修正；
版本變更；
假設撤回；
模型切換；
作用域擴大；

而發生非單調更新。

因此：

\boxed{ \text{證書歷史可單調保存，活動判定不必單調。} }

12. 判定域與條件依賴補丁演化

12.1 理論更新不只是改命題，也會改域

CDPET 定義：

\mathfrak T_{n+1} = \mathcal U(\mathfrak T_n,P_n,\theta_n,\mathcal H_n).

在 DEST 中擴展為：

\boxed{ (\mathfrak T_{n+1},\mathcal D_{n+1}) = \mathcal U_D ( \mathfrak T_n, \mathcal D_n, P_n, \theta_n, \mathcal H_n ). }

也就是一個 patch 可能：

擴大定義域；
縮小適用域；
擴大判定域；
暫時降低驗證域；
新增一個 branch；
修復局部—全域黏合；
產生新的未清債務。

12.2 Patch Mode 必須附 domain effect [PROG]

每個 patch 除 C/D/T/M/U 外，新增：

domain_effect:
  definition: expand|shrink|same|unknown
  observation: expand|shrink|same|unknown
  reachability: expand|shrink|same|unknown
  judgment: expand|shrink|same|unknown
  verification: expand|shrink|same|unknown
  local: expand|shrink|same|unknown
  global_gluing: expand|shrink|same|unknown

這樣「理論進步」才不會只用 fit error 衡量。

13. 判定域與語義拓撲

13.1 局部判定只是截面

每個局部域：

U_i

具有局部判定：

J_i(p).

全域問題是：

\operatorname{Glue} \{J_i\}_{i\in I}?

13.2 Loop audit [DEF]

選閉路：

\gamma: U_1\to U_2\to\cdots\to U_n\to U_1.

若：

H_\gamma(p)\neq p,

則：

p\notin D^{\mathrm{global}}

即使每一步映射單獨都通過局部驗證。

14. 判定域與概念積分

14.1 概念積分不直接產生 Verified

新版定位：

\mathsf{CI}_{\theta}: \mathbb K_t \rightharpoonup \mathcal C_{t+1},

其中 $\mathcal C_{t+1}$ 是候選節點、關係、橋接與表示。

所以：

\mathsf{CI}(x) \in D^{\mathrm{candidate}}

但：

\mathsf{CI}(x) \not\Rightarrow x\in D^{\mathrm{verify}}.

14.2 概念積分的主要域作用

它可能擴大：

D^{\mathrm{def}}, D^{\mathrm{reach}}, D^{\mathrm{judge}}

並提供：

missing bridge candidate；
alternative representation；
new primitive candidate；
new condition candidate。

但之後必須交給 X Guard / Verifier。

15. 判定域與 X 積分

X 積分最適合放在：

\boxed{ D^{\mathrm{def}} \rightarrow D^{\mathrm{judge}} \rightarrow D^{\mathrm{verify}} }

之間的形成與證書層。

它負責：

typed formation；
provenance；
non-collapse；
guard；
certificate；
failure diagnostics。

因此 DEST 與 X 積分的關係不是誰包含誰，而是：

\boxed{ \text{DEST 描述域與動態；X 積分描述合法形成與失敗。} }

16. 判定域與解空間幾何

如果：

x\notin D^{\mathrm{judge}}_{\Pi_1},

不代表：

x\notin D^{\mathrm{judge}}_{\Pi_2}.

因此解空間幾何的八算子可以被重新理解為域提升路由器：

Fold：壓縮冗餘狀態；
Bridge：補中介；
Project：移到較低維可判域；
Lift：加入新結構；
Compress：形成可處理核心；
Reparam：改條件座標；
ClassJump：換問題類；
Tunnel：利用已知等價／宏路徑直接到新區域。

真正要求不是「變快」，而是：

\boxed{ \text{域提升是否合法且總成本是否下降？} }

17. 判定域與視域：中心／邊緣是條件化的

17.1 任務中心 [DEF]

對當前任務 (q)，定義 attention / relevance field：

A_q:N\to[0,1].

中心區：

C_q(\tau) = \{x:A_q(x)\ge\tau\}.

但：

C_q \neq D^{\mathrm{verify}}

也不等於：

D^{\mathrm{global}}.

一個高度核心的問題可能正是最不可判定的 Gap。

17.2 周邊不等於未知 [PROP]

低 relevance：

A_q(x)\ll1

不代表：

x\notin D^{\mathrm{verify}}.

很多成熟知識只是當前任務背景。

所以「中心—邊緣」和「已知—未知」必須正交表示。

18. 多域 Gap 分類

七域系統自然生成至少十種失敗碼。

Code	名稱	核心含義	下一動作
U00	Undefined	未合法定義	Define
O01	Unobserved	尚無直接資料	Observe / Acquire
R02	Unreachable	當前工具／預算不可達	Retrieve / Tool / Budget
J03	Underconditioned	條件不足，不能判	Condition
V04	Unverified	可判但未有證書	Verify
L05	Local-only	只在局部閉合	Expand / Uniformity
G06	Glue-failure	局部不能全域黏合	Bridge / Branch / Cohomology audit
T07	Stale-version	證書屬於舊版本	Migrate / Reverify
B08	Branch-dependent	多合法分支	Preserve branch
X09	Representation-trapped	當前表示阻塞	Reframe
C10	Certificate-debt	證書不完整或不可重播	Rebuild certificate
P11	Permission-bounded	權限造成可達失敗	Request / Declassify / Localize

19. 多域 AI 路由器

19.1 基本演算法 [PROG]

INPUT:
  query q
  context θ
  knowledge state K_t

1. Build DQF(q | θ)

2. if Definition Gate != PASS:
      route -> DEFINE

3. if required evidence is not observable:
      route -> ACQUIRE / OBSERVE

4. if Reachability Gate != PASS:
      route -> RETRIEVE / TOOL / BUDGET / PERMISSION

5. if Judgment Gate != PASS:
      route -> CONDITION / DECOMPOSE / REFRAME

6. if Verification Gate != PASS:
      route -> PROVE / TEST / FORMALIZE / CROSS-CHECK

7. if only Local Gate passes:
      route -> UNIFORMITY / TAIL / GLUE AUDIT

8. if branch-dependent:
      preserve branches; do not force scalar truth

9. if Global Glue Gate passes:
      emit global judgment capsule

10. always store:
      provenance, version, certificate, scope, debt, failure codes

20. 判定膠囊 Judgment Capsule

20.1 AI-readable 最小格式 [DEF]

judgment_capsule:
  claim_id: "..."
  claim: "..."
  time: "..."
  context:
    task: "..."
    model: "..."
    version: "..."
    scale: "..."
    observer: "..."
    resource_budget: "..."

  domain_profile:
    defined: pass|fail|unknown|branch|scoped
    observed: pass|fail|unknown|branch|scoped
    reachable: pass|fail|unknown|branch|scoped
    judgeable: pass|fail|unknown|branch|scoped
    verifiable: pass|fail|unknown|branch|scoped
    local: pass|fail|unknown|branch|scoped
    global_gluing: pass|fail|unknown|branch|scoped

  judgment:
    status: verified|refuted|conditional|open|branch-dependent|out-of-scope
    confidence: null
    conditions: []
    invalidation_conditions: []

  certificates:
    - type: "formal|exact|interval|experimental|external-theorem|cross-source"
      ref: "..."
      scope: "..."
      replayable: true

  debts:
    - from: "judgeable"
      to: "verifiable"
      missing: ["..."]
      next_action: "..."

  provenance:
    sources: []
    lineage: []
    transformations: []

21. 判定輸出不得只有 confidence

單一：

P(p)=0.83

不能回答：

是否已定義；
依什麼條件；
哪個模型；
可否重播；
是否全域；
哪個版本；
哪些例外未覆蓋。

所以 DEST 的 confidence 只能是 capsule 的一個可選欄位，而不能替代 domain profile。

22. 多域覆蓋矩陣

22.1 從覆蓋向量到域轉換矩陣 [DEF]

令：

\mathcal A = \{D,O,R,J,V,L,G\}.

定義：

Q_{ab}(t) = \frac{ \mu(D^a_t\cap D^b_t) }{ \mu(D^a_t) }

表示通過域 (a) 的對象中，同時通過域 (b) 的比例。

得到：

Q_t\in[0,1]^{7\times7}.

這比單一 coverage score 更能發現瓶頸。

例如：

Q_{RJ}\ll1

表示「大量資料可達，但很少真正可判」。

Q_{JV}\ll1

表示「大量判斷缺證書」。

Q_{LG}\ll1

表示「局部結果很多，全域閉合很差」。

23. 域轉換吞吐量

23.1 定義 [DEF]

\nu_{A\to B}(t) = \frac{ \#\text{在 }\Delta t\text{ 中完成 }A\to B\text{ 的對象} }{\Delta t}.

這使研究機構或 Agent runtime 可以比較：

retrieval throughput；
formalization throughput；
verification throughput；
global-gluing throughput。

23.2 生成速度高於驗證速度 [PROP]

若：

\nu_{\mathrm{generate}} > \nu_{J\to V},

則未驗證候選 backlog 傾向增加。

這是「移動中的可知邊界」所說 epistemic backlog 的多域版本。

24. 判定域的非單調性

24.1 三種非單調

世界非單調

現實環境改變，使舊判斷失效。

模型非單調

加入新公理／模型後，branch 結構改變。

證據非單調

資料修正或反例出現，active verification 被撤回。

因此 active domain 可：

D^{\mathrm{verify}}_{t+1} \not\supseteq D^{\mathrm{verify}}_t.

但歷史帳本不刪除舊證書，而標：

superseded
invalidated
scope-reduced
version-bound

25. 判定域的表示依賴性

25.1 Representation fiber [DEF]

令表示集合：

\Pi = \{\pi_1,\pi_2,\ldots\}.

則：

D^{\mathrm{judge}}_{t,\theta,\pi}

可能依 $\pi$ 改變。

一個問題在 CNF 中困難，在線性代數表示中可能容易；一個幾何問題在坐標表示中困難，在不變量表示中可能容易。

所以：

\boxed{ \text{判定域是問題 × 條件 × 表示的共同函數。} }

25.2 Representation Escape Gate [PROG]

宣稱「此處是全域障礙」前，至少要檢查：

\Pi_{\mathrm{alg}}, \Pi_{\mathrm{geom}}, \Pi_{\mathrm{spectral}}, \Pi_{\mathrm{logical}}, \Pi_{\mathrm{prob}}, \Pi_{\mathrm{computational}}.

若某障礙只在單一表示成立，應標記：

\mathsf{RepresentationBounded},

而不是 Global Barrier。

26. 判定域與中心—邊緣

新版至少區分：

\mathbf C_t = (C^{\mathrm{gen}},C^{\mathrm{task}},C^{\mathrm{view}},C^{\mathrm{compute}},C^{\mathrm{attractor}}).

以及：

\mathbf B_t = (B^{\mathrm{peripheral}},B^{\mathrm{reach}},B^{\mathrm{judge}},B^{\mathrm{verify}},B^{\mathrm{global}},B^{\mathrm{irreducible}}).

核心、周邊、前沿與不可約邊界不再混成「中心／邊緣」一條軸。

後續 DEST-04 將專門處理此問題。

27. 外部數學對照 [ALIGN]

本節只說結構相似，不主張 DEST 與既有理論同一。

27.1 Kripke semantics

Kripke 語義使命題真值相對於 world，並以 accessibility relation 描述世界間關係。

DEST 借用的不是其特定 modal logic theorem，而是：

\boxed{ \text{判定不能脫離 world/context/accessibility。} }

DEST 額外分離：

可達；
可判；
可驗證；
局部；
全域黏合。

27.2 Abstract Interpretation

Cousot & Cousot 的 abstract interpretation 以 concrete / abstract domains、lattice 與 fixpoint approximation 形式化 program analysis。

DEST 的啟發是：

不同分析層級需要明確 domain 與 soundness interface。

但 DEST 並不假設所有知識判定都可還原成 Galois connection 或靜態程式分析。

27.3 Scott / domain theory

Scott continuous lattices 與 domain-theoretic 語言提供「部分資訊、逼近、極限」的成熟數學背景。

DEST 後續可研究：

\operatorname{Info}_1 \sqsubseteq \operatorname{Info}_2

是否適合為某些判定域建立資訊序。

但本篇不預設七域形成單一 continuous lattice。

27.4 Sheaf / local-global gluing

層論提供：

local section；
restriction；
overlap consistency；
gluing；

的標準結構。

DEST 的全域黏合域可在適合的問題上採 sheaf backend；但制度、AI 記憶、非交換版本網路等未必天然構成標準 sheaf，因此保留多後端。

28. 第一組可證命題與待證猜想

Proposition A [PROP]

若一項任務的合法輸出要求 verification certificate，則：

D^{\mathrm{verify}} \subseteq D^{\mathrm{judge}}

在該任務的 qualification graph 中成立。

注意：這是任務規格上的先決關係，不宣稱集合宇宙中所有「可驗證」對象都有同一自然語義。

Proposition B [PROP]

存在：

x\in D^{\mathrm{reach}} \setminus D^{\mathrm{judge}}.

例：完整取得一份原始資料，但尚缺足夠模型、條件或統計設計。

因此：

\text{retrieval completeness} \not\Rightarrow \text{judgment completeness}.

Proposition C [PROP]

存在：

x\in D^{\mathrm{local}} \setminus D^{\mathrm{global}}.

只要存在不可黏合的局部截面族即可。

Conjecture 1：Domain Debt Predicts Research Bottlenecks [CONJ]

在長時程研究系統中，若某一：

\Delta^{A\to B}

長期保持高質量／高測度，則它比單純錯誤率更能預測下一個共同研究瓶頸。

Conjecture 2：Verification Frontier Lag [CONJ]

對高速 AI 研究系統，候選生成／可達前沿的擴張速度可能系統性高於驗證前沿：

v_{\mathrm{reach}} > v_{\mathrm{verify}}.

若無驗證治理，epistemic backlog 將超線性增長。

Conjecture 3：Representation Expansion Effect [CONJ]

對某些問題族，增加合法表示後端 $\Pi$ 的多樣性，可以嚴格擴張：

D^{\mathrm{judge}}(\Pi)

或降低平均域提升成本：

\mathbb E C^{A\to B}.

此猜想必須以受控問題族測試，不能由「換角度有幫助」的直覺直接升格。

29. AI 訓練資料的多域化

未來知識單元可從：

(question, answer)

擴充成：

knowledge_unit:
  content: "..."
  definitions: []
  prerequisites: []
  relations: []
  conditions: []
  domain_profile: {}
  positive_examples: []
  counterexamples: []
  boundary_cases: []
  certificates: []
  provenance: []
  known_failures: []
  representation_alternatives: []
  unresolved_debts: []

這使模型不只學：

「答案是什麼？」

還學：

「這個答案在哪個域才有資格成立？」

30. 判定域與 Retrieval-first AI

如果知識可由外部即時檢索，模型內部能力的核心不只應是 recall，也應包括：

能否辨認自己位於哪個域；
能否產生正確 Gap query；
能否選擇 retrieval / tool；
能否把檢索結果從 Reachable 提升到 Judgeable；
能否區分 Retrieved 與 Verified；
能否把多來源局部結果做 Global Glue Audit。

因此：

\boxed{ \text{高效 AI 的核心能力之一，是多域遷移能力，而不只是參數內知識量。} }

31. 工程最小可行版本

31.1 MVP 資料結構

每個 claim 保存：

{
  "claim_id": "c-001",
  "context_id": "ctx-001",
  "domain_profile": {
    "defined": "pass",
    "observed": "pass",
    "reachable": "pass",
    "judgeable": "pass",
    "verifiable": "unknown",
    "local": "pass",
    "global_gluing": "fail"
  },
  "failure_codes": ["V04", "G06"],
  "certificate_refs": [],
  "debts": [
    {
      "from": "judgeable",
      "to": "verifiable",
      "missing": "uniform tail bound"
    }
  ]
}

31.2 MVP Dashboard

最有價值的不是總分，而是：

Defined        ██████████ 100%
Reachable      █████████░  91%
Judgeable      ███████░░░  72%
Verifiable     ████░░░░░░  43%
Global Glue    ██░░░░░░░░  21%

以及：

Top debt:
L → G : 328 items
J → V : 191 items
R → J : 64 items

這樣 Agent 會看到真正瓶頸，而不是只看到「知識覆蓋率很高」。

32. 與 DEST 總篇的接口

DEST-00 定義總狀態：

\mathbb K_t = \langle \Omega_t,N_t,R_t,\Theta_t,\mathcal D_t, \boldsymbol\rho_t,\mathbf G_t,\mathbf B_t, \mathbf C_t,\mathcal V_t,\mathcal H_t,\mathsf{Cert}_t \rangle.

本文專門細化：

\boxed{ \mathcal D_t. }

本文輸出的多域狀態，將成為後續：

DEST-02 多維覆蓋論；
DEST-03 Gap 分類與 Gap 場；
DEST-04 中心—周邊—前沿；
DEST-05 邊界與可知前沿；
DEST-06 關聯幾何；
DEST-07 局部—全域黏合；
DEST-08 條件依賴演化；
DEST-09 表示逃逸與解空間導航；
DEST-10 證書與來源；
DEST-11 AI Runtime；
DEST-12 長時程知識演化；

的共同型別基礎。

33. 後續系列正典路線

DEST-02

《多維知識覆蓋論：從單一覆蓋率到內容—關係—條件—路徑—驗證—版本矩陣》

核心：

\boldsymbol\rho_t \quad\text{與}\quad Q_t.

DEST-03

《Gap 場論：內容缺口、關係缺口、條件缺口、拓撲缺口與驗證缺口的動態幾何》

核心：

\mathbf G_t.

DEST-04

《多中心知識拓撲：生成核心、任務中心、視點中心、吸引子與周邊》

核心：

\mathbf C_t.

DEST-05

《移動邊界論：定義前沿、可達前沿、判定前沿、驗證前沿與不可約邊界》

核心：

\mathbf B_t.

DEST-06

《關聯幾何：知識距離、曲率、橋接、閉路與非交換路徑》

DEST-07

《局部—全域知識黏合理論：遮蔽、截面、相容、缺陷荷與 branch-preserving globality》

DEST-08

《條件依賴知識演化：殘差拓撲、補丁五態、域遷移與重構》

DEST-09

《表示逃逸與 Gap Navigation：Fold、Bridge、Project、Lift、ClassJump 與 Tunnel》

DEST-10

《知識證書論：來源、版本、作用域、失效條件與可重播判定》

DEST-11

《DEST Runtime：面向多 Agent 的 Gap Detector、Domain Router、Verifier 與 Global Glue Auditor》

DEST-12

《長時程動態知識空間：生成速度、驗證吞吐、認識積欠、考古回收與文明級不動點》

34. 最小核心公式

本文可壓縮成四個公式。

34.1 多域

\boxed{ \mathcal D_t(\theta) = \langle D^D,D^O,D^R,D^J,D^V,D^L,D^G \rangle_{t,\theta} }

34.2 多域指紋

\boxed{ \mathbf m_t(x\mid\theta) \in \{1,0,?,\mathsf B,\mathsf S\}^{7} }

34.3 域間債務

\boxed{ \Delta^{A\to B}_t = D^A_t\setminus D^B_t }

34.4 最小合法提升

\boxed{ \pi^* = \arg\min_{\pi}C(\pi) \quad\text{s.t.}\quad \operatorname{RequiredDomain}(\pi)=\mathsf{Pass} }

35. 結論

本文的真正目的不是再增加一組名詞。

而是消除以下常見錯誤：

\text{有資料} \Rightarrow \text{知道}

\text{搜得到} \Rightarrow \text{判得了}

\text{判得了} \Rightarrow \text{證明了}

\text{局部證明了} \Rightarrow \text{全域成立}

\text{一個表示卡住} \Rightarrow \text{問題本身卡住}

\text{過去驗證過} \Rightarrow \text{現在仍有效}

新版的總原則是：

\boxed{ \text{每個知識聲明都必須回答：} \text{它在哪一個域、哪一組條件、哪一個版本、靠什麼證書成立？} }

以及：

\boxed{ \text{真正有效的研究路由，不是一直推理，而是先辨認自己卡在哪一個域。} }

當一個 Agent 能夠區分：

定義不足；
資料不可達；
條件不足；
缺少證書；
只在局部成立；
全域黏合失敗；
表示造成障礙；
版本已失效；

它才真正具備從「會回答問題」走向「會管理研究狀態」的最低能力。

附錄 A：AI 判定狀態字典

DomainStatus:
  PASS:
    meaning: "在指定 context 與 certificate 規則下通過"
  FAIL:
    meaning: "已有合法反證或 Gate 明確失敗"
  UNKNOWN:
    meaning: "尚未完成判定"
  BRANCH:
    meaning: "依模型／公理／版本／分支而異"
  SCOPED:
    meaning: "只在明示子域成立"
  STALE:
    meaning: "曾通過，但 certificate 與目前版本不再對齊"

附錄 B：Domain Router 失敗碼

U00: undefined
O01: unobserved
R02: unreachable
J03: underconditioned
V04: unverified
L05: local_only
G06: glue_failure
T07: stale_version
B08: branch_dependent
X09: representation_trapped
C10: certificate_debt
P11: permission_bounded

附錄 C：外部形式後端候選

以下是後續形式化可選後端，不是本篇既定公理：

Kripke frame / possible-world semantics；
Cousot-style abstract interpretation；
Scott domain / continuous lattice；
sheaf / presheaf / Čech-style compatibility；
typed hypergraph；
category / fibrations；
proof assistant dependent types；
relational database + provenance semiring；
temporal logic / versioned event graph；
multi-objective optimization over transition cost。

附錄 D：參考脈絡

內部正典依賴

《動態知識空間總論：覆蓋、間隙、邊界、關聯與條件依賴演化的統一框架》v0.1。
《概念積分：知識宇宙的生成擴張代數》及其自審附錄。
《條件依賴補丁演化論：收斂、發散、過渡與理論重構的統一動力學》v1.0。
《語義拓撲與全域缺陷》v0.1。
《間隙幾何學：EML 理論體系的統一元結構》。
《移動中的可知邊界》v0.1。
《萬有理論的生成極限》v0.1。
《從差異到顯現：視域、前景、背景與遮蔽的生成》v0.1。
《解空間幾何快速通道的計算實驗》v0.1。
《X 積分統一綱領》v0.2。

外部形式對照

Patrick Cousot & Radhia Cousot (1977), Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints.
Saul A. Kripke (1963), Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Modal Propositional Calculi.
Dana Scott (1972), Continuous Lattices.
Alexander Grothendieck et al., sheaf/cohomology/local-global methods in EGA/SGA traditions.

EML-DEST-2026-01 · v0.1 · 2026-08-12

多域知識判定論

多域知識判定論

定義域、觀察域、可達域、判定域、驗證域、局部域與全域黏合域

摘要

0. 研究定位與非主張聲明

1. 為什麼需要多域，而不是 Known / Unknown？

1.1 二元知識標籤的主要錯誤

1.2 多域判定論的最低主張 [DEF]

2. 條件纖維：所有判定域都不是無條件集合

2.1 條件空間 [DEF]

2.2 域不是固定集合，而是纖維 [DEF]

2.3 條件改變可以移動域，而不改變對象 [PROP]

3. 七種主要域

3.1 定義域 DdefD^{\mathrm{def}}Ddef

3.1.1 定義 [DEF]

3.1.2 已命名不等於已定義 [PROP]

3.2 觀察域 DobsD^{\mathrm{obs}}Dobs

3.2.1 定義 [DEF]

3.2.2 被觀察不等於被理解 [PROP]

3.3 可達域 DreachD^{\mathrm{reach}}Dreach

3.3.1 定義 [DEF]

3.3.2 可達性是資源依賴的 [PROP]

3.4 判定域 DjudgeD^{\mathrm{judge}}Djudge

3.4.1 定義 [DEF]

3.4.2 條件可判斷 [DEF]

3.5 驗證域 DverifyD^{\mathrm{verify}}Dverify

3.5.1 定義 [DEF]

3.5.2 數值吻合不自動進入驗證域 [PROP]

3.6 局部域 DlocalD^{\mathrm{local}}Dlocal

3.6.1 定義 [DEF]

3.6.2 局部覆蓋完備不等於全域完備 [PROP]

3.7 全域黏合域 DglobalD^{\mathrm{global}}Dglobal

3.7.1 定義 [DEF]

3.7.2 全域黏合失敗的三種基本形式 [DEF]

G1. overlap conflict

G2. loop holonomy defect

G3. branch non-single-valuedness

4. 七域不是一條線：資格依賴圖

4.1 錯誤的線性模型

4.2 正確表示：Gate DAG [DEF]

5. 多域狀態矩陣

5.1 成員矩陣 [DEF]

5.2 多域指紋 [DEF]

6. 域間債務：真正需要補的是哪一段？

6.1 定義 [DEF]

6.2 六種高價值債務

定義—判定債務

可達—判定債務

判定—驗證債務

局部—全域債務

版本債務

表示債務

7. 域間債務不是一個數，而是一個 proof-obligation 集

7.1 債務物件 [DEF]

8. 域轉換算子

8.1 搜尋／檢索：Retrieve\mathsf{Retrieve}Retrieve

8.2 定義化：Define\mathsf{Define}Define

8.3 條件化：Condition\mathsf{Condition}Condition

8.4 驗證：Verify\mathsf{Verify}Verify

8.5 橋接：Bridge\mathsf{Bridge}Bridge

8.6 重表示：Reframe\mathsf{Reframe}Reframe

8.7 分支保存：Branch\mathsf{Branch}Branch

9. 多域轉換的成本

9.1 轉換成本 [DEF]

9.2 最小合法提升 [PROG]

10. 判定域邊界

10.1 多前沿 [DEF]

10.2 典型狀態

搜得到，但判不了

判得了，但證不了

局部都證了，但全域還沒閉合

工具進步造成可達前沿突然外移

11. 時間與版本：證書歷史可以單調，活動真值不一定

11.1 Immutable ledger 與 Active state 分離 [DEF]

12. 判定域與條件依賴補丁演化

12.1 理論更新不只是改命題，也會改域

12.2 Patch Mode 必須附 domain effect [PROG]

13. 判定域與語義拓撲

13.1 局部判定只是截面

13.2 Loop audit [DEF]

3.1 定義域 $D^{\mathrm{def}}$

3.2 觀察域 $D^{\mathrm{obs}}$

3.3 可達域 $D^{\mathrm{reach}}$

3.4 判定域 $D^{\mathrm{judge}}$

3.5 驗證域 $D^{\mathrm{verify}}$

3.6 局部域 $D^{\mathrm{local}}$

3.7 全域黏合域 $D^{\mathrm{global}}$

8.1 搜尋／檢索： $\mathsf{Retrieve}$

8.2 定義化： $\mathsf{Define}$

8.3 條件化： $\mathsf{Condition}$

8.4 驗證： $\mathsf{Verify}$

8.5 橋接： $\mathsf{Bridge}$

8.6 重表示： $\mathsf{Reframe}$

8.7 分支保存： $\mathsf{Branch}$