修正型線性化：從仿射運算到 Correction Field
——log-sum-exp、log-diff-exp 與結構殘餘的統一形式
English Title: Corrected Linearization from Affine Maps to Correction Fields: A Unified Formalism for Log-Sum-Exp, Log-Diff-Exp, and Structural Residuals
作者： Neo.K機構： EveMissLab / 一言諾科技有限公司系列： Operation Translation Series A — Paper 03版本： v0.1日期： 2026-08-10
摘要
Series A Paper 01 建立了判定域下的運算轉譯框架，
T ( μ ( x , y ) ) = ν ( T x , T y ) , T(\mu(x,y))=\nu(Tx,Ty), T ( μ ( x , y )) = ν ( T x , T y ) , Paper 02 則以自然對數證明正實數乘法可被全域、精確、可逆地轉成加法：
ln ( x y ) = ln x + ln y . \ln(xy)=\ln x+\ln y. ln ( x y ) = ln x + ln y . 然而，大多數真正的數學與工程運算並不如此理想。當原運算包含加法、偏移、仿射項、非交換效應或其他不能被目標運算完全吸收的結構時，精確加法化通常失敗。這時最直接的形式是：
T ( μ ( x , y ) ) = ν ( T x , T y ) + C T ( x , y ) , \boxed{
T(\mu(x,y))
=
\nu(Tx,Ty)+C_T(x,y),
} T ( μ ( x , y )) = ν ( T x , T y ) + C T ( x , y ) , 其中 C T C_T C T
本文的目標不是宣稱「任何失敗都可以補一個 correction」，因為若允許 C T C_T C T
C T = T μ − ν ( T × T ) , C_T=T\mu-\nu(T\times T), C T = T μ − ν ( T × T ) , 不具有任何簡化意義。本文真正關心的是：在什麼條件下，correction 本身比原始運算低成本、低維、可控、可壓縮、可漸近展開、可局部查表或具有穩定的結構類？
本文首先定義 correction field：
C T : Ω μ → Y , C_T:\Omega_\mu\to Y, C T : Ω μ → Y , 並提出 correction class：
C , \mathscr C, C , 用來限制允許的結構殘餘。只有當：
C T ∈ C C_T\in\mathscr C C T ∈ C 且總計算成本低於原運算或帶來結構性優勢時，才稱為有意義的修正型線性化。
本文以三個標準案例建立此理論。第一，對正實數仿射映射
f ( x ) = a x + b , f(x)=ax+b, f ( x ) = a x + b , 有：
ln ( a x + b ) = ln x + ln a + ln ( 1 + b a x ) , \ln(ax+b)
=
\ln x+\ln a
+
\ln\left(1+\frac{b}{ax}\right), ln ( a x + b ) = ln x + ln a + ln ( 1 + a x b ) , 因此 correction 為：
C a , b ( x ) = ln ( 1 + b a x ) . C_{a,b}(x)
=
\ln\left(1+\frac{b}{ax}\right). C a , b ( x ) = ln ( 1 + a x b ) . 第二，對正值加法：
x + y , x+y, x + y , 在 log-domain 中可寫成：
ln ( x + y ) = m + ln ( e L x − m + e L y − m ) , \ln(x+y)
=
m+\ln\left(
e^{L_x-m}+e^{L_y-m}
\right), ln ( x + y ) = m + ln ( e L x − m + e L y − m ) , 其中：
m = max ( L x , L y ) . m=\max(L_x,L_y). m = max ( L x , L y ) . 這是 log-sum-exp 類 correction。第三，對 x > y > 0 x>y>0 x > y > 0
ln ( x − y ) = L x + ln ( 1 − e L y − L x ) , \ln(x-y)
=
L_x+\ln\left(
1-e^{L_y-L_x}
\right), ln ( x − y ) = L x + ln ( 1 − e L y − L x ) , 形成 log-diff-exp correction，並顯示 subtraction 的 singular boundary 出現在：
L y − L x → 0 − . L_y-L_x\to0^-. L y − L x → 0 − . 本文進一步提出 correction 的六個結構指標：幅度、維度、平滑性、衰減性、可組合性與計算成本，並建立一個第一版「非空洞化準則」：若 correction 需要重新計算與原始運算等價或更困難的完整資訊，則不應視為成功線性化；若 correction 可被有限參數、局部狀態、低階展開或結構 primitive 表達，則其具有真正方法論價值。
最後，本文把 correction 從「數值誤差」中分離。結構 correction 是為保存原運算在目標座標下無法被吸收的真實數學內容；數值誤差則是有限精度實作產生的近似偏差。二者必須在理論與 Runtime 中被分開追蹤。
本文因此把 Series A 從：
Exact Additivization \text{Exact Additivization} Exact Additivization 擴張為：
Exact ∪ Corrected ∪ Local/Approximate . \boxed{
\text{Exact}
\;\cup\;
\text{Corrected}
\;\cup\;
\text{Local/Approximate}.
} Exact ∪ Corrected ∪ Local/Approximate . 並為 Paper 04 的離散精確模型、Paper 05 的局部／流形擴張與 Paper 06 的非交換結構 correction 建立共同形式語言。
關鍵詞： Correction Field、修正型線性化、log-sum-exp、log-diff-exp、仿射轉譯、結構殘餘、運算簡化、判定域、數值穩定、Logarithmic Number System
1. 從 Exact 到 Corrected
Paper 01 的精確轉譯形式為：
T ( μ ( x , y ) ) = ν ( T x , T y ) . T(\mu(x,y))
=
\nu(Tx,Ty). T ( μ ( x , y )) = ν ( T x , T y ) . 最理想的情況是：
ν ( u , v ) = u + v . \nu(u,v)=u+v. ν ( u , v ) = u + v . 即：
T ( μ ( x , y ) ) = T ( x ) + T ( y ) . T(\mu(x,y))
=
T(x)+T(y). T ( μ ( x , y )) = T ( x ) + T ( y ) . Paper 02 的正實數乘法正是如此：
ln ( x y ) = ln x + ln y . \ln(xy)=\ln x+\ln y. ln ( x y ) = ln x + ln y . 但若：
μ \mu μ 含有一個不能被目標加法結構吸收的部分，
則一般會得到：
T ( μ ( x , y ) ) − T ( x ) − T ( y ) ≠ 0. T(\mu(x,y))
-
T(x)-T(y)
\neq0. T ( μ ( x , y )) − T ( x ) − T ( y ) = 0. 這個非零量不應立即被稱為「誤差」。
因為即使使用無限精度、完全符號化計算，
它仍然可能不為零。
因此本文定義：
C T ( x , y ) = T ( μ ( x , y ) ) − ν ( T x , T y ) . \boxed{
C_T(x,y)
=
T(\mu(x,y))
-
\nu(Tx,Ty).
} C T ( x , y ) = T ( μ ( x , y )) − ν ( T x , T y ) . 它描述的不是 implementation error，
而是：
原始運算經 T T T ν \nu ν
2. Correction Field 的定義
定義 2.1
設：
μ : Ω μ → X \mu:\Omega_\mu\to X μ : Ω μ → X 為部分運算，
T : X → Y T:X\to Y T : X → Y 為轉譯，
ν : Ω ν → Y \nu:\Omega_\nu\to Y ν : Ω ν → Y 為目標運算。
對所有同時合法的：
( x , y ) ∈ Ω μ (x,y)\in\Omega_\mu ( x , y ) ∈ Ω μ 定義：
C T , ν ( x , y ) = T ( μ ( x , y ) ) − ν ( T x , T y ) . \boxed{
C_{T,\nu}(x,y)
=
T(\mu(x,y))
-
\nu(Tx,Ty).
} C T , ν ( x , y ) = T ( μ ( x , y )) − ν ( T x , T y ) . 若 Y Y Y
則上式為良定義。
本文簡寫：
C T C_T C T 或：
C . C. C . 2.2 Correction Field
當：
C T C_T C T 隨：
( x , y ) (x,y) ( x , y ) 在判定域中變化時，
本文稱其為：
Correction Field . \boxed{
\text{Correction Field}.
} Correction Field . 這裡的 field 是「定義在狀態域上的結構修正場」，
不必等同於代數中的 field / 域。
為避免歧義，
正式數學敘述中可使用：
structural correction map
而「Correction Field」保留為 Series A 的方法論名稱。
3. Correction 不能任意
如果不限制：
C T , C_T, C T , 則對任何：
T , μ , ν T,\mu,\nu T , μ , ν 都可以定義：
C T = T μ − ν ( T × T ) . C_T=T\mu-\nu(T\times T). C T = T μ − ν ( T × T ) . 因此：
T μ = ν ( T × T ) + C T T\mu=\nu(T\times T)+C_T T μ = ν ( T × T ) + C T 永遠成立。
這顯然會導致理論空洞化。
所以真正問題不是：
是否存在 correction？
而是：
C T 是否落在一個事前限制、低複雜度且可利用的結構類中？ \boxed{
C_T
\text{ 是否落在一個事前限制、低複雜度且可利用的結構類中？}
} C T 是否落在一個事前限制、低複雜度且可利用的結構類中？ 4. Correction Class
定義：
C \mathscr C C 為允許的 correction class。
例如：
C c o n s t \mathscr C_{\mathrm{const}} C const 表示常數修正，
C b o u n d e d \mathscr C_{\mathrm{bounded}} C bounded 表示有界修正，
C p o l y , n \mathscr C_{\mathrm{poly},n} C poly , n 表示至多 n n n
C t a b l e , N \mathscr C_{\mathrm{table},N} C table , N 表示有限查表修正，
C a s y m p , n \mathscr C_{\mathrm{asymp},n} C asymp , n 表示具有 n n n
或：
C s p a r s e \mathscr C_{\mathrm{sparse}} C sparse 表示只在有限／稀疏條件下啟動。
5. 修正型可線性化
定義 5.1
若存在：
T T T 及：
ν ∈ N \nu\in\mathscr N ν ∈ N 使：
T ( μ ( x , y ) ) = ν ( T x , T y ) + C T ( x , y ) , T(\mu(x,y))
=
\nu(Tx,Ty)+C_T(x,y), T ( μ ( x , y )) = ν ( T x , T y ) + C T ( x , y ) , 並且：
C T ∈ C , C_T\in\mathscr C, C T ∈ C , 則稱：
μ \mu μ 相對於：
( T , ν , C ) (T,\nu,\mathscr C) ( T , ν , C ) 為：
Corrected Linearizable . \boxed{
\text{Corrected Linearizable}.
} Corrected Linearizable . 6. 第一個標準模型：仿射運算
考慮：
f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f ( x ) = a x + b 並假設：
x > 0 , a > 0 , a x + b > 0. x>0,
\qquad
a>0,
\qquad
ax+b>0. x > 0 , a > 0 , a x + b > 0. 令：
T ( x ) = ln x . T(x)=\ln x. T ( x ) = ln x . 則：
a x + b = a x ( 1 + b a x ) . ax+b
=
ax
\left(
1+\frac{b}{ax}
\right). a x + b = a x ( 1 + a x b ) . 因此：
ln ( a x + b ) = ln a + ln x + ln ( 1 + b a x ) . \ln(ax+b)
=
\ln a+\ln x+
\ln\left(
1+\frac{b}{ax}
\right). ln ( a x + b ) = ln a + ln x + ln ( 1 + a x b ) . 令：
C a , b ( x ) = ln ( 1 + b a x ) . \boxed{
C_{a,b}(x)
=
\ln\left(
1+\frac{b}{ax}
\right).
} C a , b ( x ) = ln ( 1 + a x b ) . 得到：
T ( f ( x ) ) = T ( x ) + ln a + C a , b ( x ) . \boxed{
T(f(x))
=
T(x)+\ln a+C_{a,b}(x).
} T ( f ( x )) = T ( x ) + ln a + C a , b ( x ) . 7. 仿射 correction 的合法域
Correction：
C a , b ( x ) = ln ( 1 + b a x ) C_{a,b}(x)
=
\ln\left(
1+\frac{b}{ax}
\right) C a , b ( x ) = ln ( 1 + a x b ) 要求：
1 + b a x > 0. 1+\frac{b}{ax}>0. 1 + a x b > 0. 這等價於：
a x + b > 0. ax+b>0. a x + b > 0. 因此 correction 的合法域不是額外隨意產生，
而正好反映原本：
ln ( a x + b ) \ln(ax+b) ln ( a x + b ) 的轉譯合法性。
所以：
Ω C = Ω T ∘ f \boxed{
\Omega_C
=
\Omega_{T\circ f}
} Ω C = Ω T ∘ f 在此案例成立。
這顯示 correction field 本身也必須有判定域。
8. 當 b = 0 b=0 b = 0
若：
b = 0 , b=0, b = 0 , 則：
f ( x ) = a x . f(x)=ax. f ( x ) = a x . 此時：
C a , 0 ( x ) = ln 1 = 0. C_{a,0}(x)
=
\ln1
=
0. C a , 0 ( x ) = ln 1 = 0. 因此：
ln ( a x ) = ln a + ln x . \ln(ax)
=
\ln a+\ln x. ln ( a x ) = ln a + ln x . 也就是：
Corrected → Exact \boxed{
\text{Corrected}
\rightarrow
\text{Exact}
} Corrected → Exact 在：
b → 0 b\to0 b → 0 時自然退化。
這是一個好 correction 應具有的性質：
當造成非線性的原結構消失時，correction 也應消失。
9. 仿射 correction 的漸近衰減
若：
∣ b a x ∣ ≪ 1 , \left|
\frac{b}{ax}
\right|
\ll1, a x b ≪ 1 , 令：
u = b a x . u=\frac{b}{ax}. u = a x b . 有：
ln ( 1 + u ) = u − u 2 2 + u 3 3 − ⋯ . \ln(1+u)
=
u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots. ln ( 1 + u ) = u − 2 u 2 + 3 u 3 − ⋯ . 因此：
C a , b ( x ) = b a x − b 2 2 a 2 x 2 + b 3 3 a 3 x 3 − ⋯ . C_{a,b}(x)
=
\frac{b}{ax}
-
\frac{b^2}{2a^2x^2}
+
\frac{b^3}{3a^3x^3}
-\cdots. C a , b ( x ) = a x b − 2 a 2 x 2 b 2 + 3 a 3 x 3 b 3 − ⋯ . 所以：
C a , b ( x ) ∼ b a x \boxed{
C_{a,b}(x)
\sim
\frac{b}{ax}
} C a , b ( x ) ∼ a x b 當：
x → ∞ . x\to\infty. x → ∞. 這意味：
C a , b ( x ) → 0. C_{a,b}(x)\to0. C a , b ( x ) → 0. 因此：
ln ( a x + b ) → ln x + ln a \ln(ax+b)
\to
\ln x+\ln a ln ( a x + b ) → ln x + ln a 在大 x x x
10. Correction 的導數
對：
C ( x ) = ln ( 1 + b a x ) , C(x)
=
\ln\left(
1+\frac{b}{ax}
\right), C ( x ) = ln ( 1 + a x b ) , 可以寫：
C ( x ) = ln ( a x + b ) − ln ( a x ) . C(x)=\ln(ax+b)-\ln(ax). C ( x ) = ln ( a x + b ) − ln ( a x ) . 所以：
C ′ ( x ) = a a x + b − 1 x . C'(x)
=
\frac{a}{ax+b}
-
\frac1x. C ′ ( x ) = a x + b a − x 1 . 整理得：
C ′ ( x ) = − b x ( a x + b ) . \boxed{
C'(x)
=
-\frac{b}{x(ax+b)}.
} C ′ ( x ) = − x ( a x + b ) b . 若：
a > 0 , b > 0 , a>0,
\qquad
b>0, a > 0 , b > 0 , 則：
C ′ ( x ) < 0. C'(x)<0. C ′ ( x ) < 0. 所以 correction 隨 x x x
這不是單純「有 correction」，
而是 correction 的幾何具有清晰規律。
11. Correction 的曲率
再微分：
C ′ ′ ( x ) = b ( 2 a x + b ) x 2 ( a x + b ) 2 . C''(x)
=
\frac{b(2ax+b)}
{x^2(ax+b)^2}. C ′′ ( x ) = x 2 ( a x + b ) 2 b ( 2 a x + b ) . 在：
a , b , x > 0 a,b,x>0 a , b , x > 0 下：
C ′ ′ ( x ) > 0. C''(x)>0. C ′′ ( x ) > 0. 因此：
C C C 單調下降且凸。
這是第一個真正的 correction geometry 範例。
12. 一般二元加法
現在考慮：
μ ( x , y ) = x + y , \mu(x,y)=x+y, μ ( x , y ) = x + y , 且：
x , y > 0. x,y>0. x , y > 0. 令：
L x = ln x , L y = ln y . L_x=\ln x,
\qquad
L_y=\ln y. L x = ln x , L y = ln y . 如果仍想在 log-space 計算：
x + y , x+y, x + y , 則：
x + y = e L x + e L y . x+y=e^{L_x}+e^{L_y}. x + y = e L x + e L y . 直接取 log：
ln ( x + y ) = ln ( e L x + e L y ) . \ln(x+y)
=
\ln\left(
e^{L_x}+e^{L_y}
\right). ln ( x + y ) = ln ( e L x + e L y ) . 這不是：
L x + L y . L_x+L_y. L x + L y . 13. Log-Sum-Exp
令：
m = max ( L x , L y ) . m=\max(L_x,L_y). m = max ( L x , L y ) . 則：
e L x + e L y = e m ( e L x − m + e L y − m ) . e^{L_x}+e^{L_y}
=
e^m
\left(
e^{L_x-m}
+
e^{L_y-m}
\right). e L x + e L y = e m ( e L x − m + e L y − m ) . 所以：
ln ( x + y ) = m + ln ( e L x − m + e L y − m ) . \boxed{
\ln(x+y)
=
m+
\ln\left(
e^{L_x-m}
+
e^{L_y-m}
\right).
} ln ( x + y ) = m + ln ( e L x − m + e L y − m ) . 對兩項而言，
若假設：
L x ≥ L y , L_x\geq L_y, L x ≥ L y , 則：
m = L x m=L_x m = L x 且：
ln ( x + y ) = L x + ln ( 1 + e L y − L x ) . \boxed{
\ln(x+y)
=
L_x+
\ln\left(
1+e^{L_y-L_x}
\right).
} ln ( x + y ) = L x + ln ( 1 + e L y − L x ) . 14. 把 log-sum-exp 看成 correction
令：
d = L y − L x ≤ 0. d=L_y-L_x\leq0. d = L y − L x ≤ 0. 定義：
C + ( d ) = ln ( 1 + e d ) . \boxed{
C_+(d)
=
\ln(1+e^d).
} C + ( d ) = ln ( 1 + e d ) . 則：
ln ( x + y ) = max ( L x , L y ) + C + ( − ∣ L x − L y ∣ ) . \boxed{
\ln(x+y)
=
\max(L_x,L_y)
+
C_+\left(
-|L_x-L_y|
\right).
} ln ( x + y ) = max ( L x , L y ) + C + ( − ∣ L x − L y ∣ ) . 這裡 additive core 不再是：
L x + L y , L_x+L_y, L x + L y , 而是：
max ( L x , L y ) . \max(L_x,L_y). max ( L x , L y ) . 因此 Paper 03 的 corrected framework 不應被限制為：
ν ( u , v ) = u + v . \nu(u,v)=u+v. ν ( u , v ) = u + v . 更一般地：
T μ = ν ( T x , T y ) + C T . \boxed{
T\mu
=
\nu(Tx,Ty)+C_T.
} T μ = ν ( T x , T y ) + C T . 其中：
ν \nu ν 可以是指定的低成本 primitive。
15. 為什麼這仍然是「線性化／簡化」
在 log-domain 中，
原本需要處理：
x + y = e L x + e L y . x+y
=
e^{L_x}+e^{L_y}. x + y = e L x + e L y . 利用最大值抽取後，
correction 只依賴：
d = ∣ L x − L y ∣ . d=|L_x-L_y|. d = ∣ L x − L y ∣. 也就是：
C + = C + ( d ) . \boxed{
C_+
=
C_+(d).
} C + = C + ( d ) . 原本二維輸入：
( L x , L y ) (L_x,L_y) ( L x , L y ) 的非線性 correction，
被壓縮成一個一維差值函數。
因此它具有真正結構簡化：
dim C < dim Ω μ . \boxed{
\dim C
<
\dim \Omega_{\mu}.
} dim C < dim Ω μ . 這是 correction 非空洞化的一個強烈正面訊號。
16. C + C_+ C +
因：
d ≥ 0 , d\geq0, d ≥ 0 , 寫：
C + ( d ) = ln ( 1 + e − d ) . C_+(d)
=
\ln(1+e^{-d}). C + ( d ) = ln ( 1 + e − d ) . 則：
0 < C + ( d ) ≤ ln 2. 0<C_+(d)\leq\ln2. 0 < C + ( d ) ≤ ln 2. 且：
C + ( 0 ) = ln 2. C_+(0)=\ln2. C + ( 0 ) = ln 2. 當：
d → ∞ , d\to\infty, d → ∞ , 有：
C + ( d ) → 0. C_+(d)\to0. C + ( d ) → 0. 所以：
0 < C + ( d ) ≤ ln 2. \boxed{
0<C_+(d)\leq\ln2.
} 0 < C + ( d ) ≤ ln 2. 這表示 positive addition 的 correction 全域有界。
17. C + C_+ C +
若：
d ≫ 1 , d\gg1, d ≫ 1 , 則：
e − d ≪ 1. e^{-d}\ll1. e − d ≪ 1. 因此：
C + ( d ) = e − d − 1 2 e − 2 d + 1 3 e − 3 d − ⋯ . C_+(d)
=
e^{-d}
-\frac12e^{-2d}
+\frac13e^{-3d}
-\cdots. C + ( d ) = e − d − 2 1 e − 2 d + 3 1 e − 3 d − ⋯ . 所以：
C + ( d ) ∼ e − d . \boxed{
C_+(d)
\sim
e^{-d}.
} C + ( d ) ∼ e − d . 因此兩個數在 log magnitude 上差距越大，
較小項對總和的 correction 呈 exponential decay。
這是非常強的壓縮性。
18. Softmax 權重自然出現
對：
F ( L x , L y ) = ln ( e L x + e L y ) , F(L_x,L_y)
=
\ln(e^{L_x}+e^{L_y}), F ( L x , L y ) = ln ( e L x + e L y ) , 有：
∂ F ∂ L x = e L x e L x + e L y , \frac{\partial F}{\partial L_x}
=
\frac{e^{L_x}}
{e^{L_x}+e^{L_y}}, ∂ L x ∂ F = e L x + e L y e L x , ∂ F ∂ L y = e L y e L x + e L y . \frac{\partial F}{\partial L_y}
=
\frac{e^{L_y}}
{e^{L_x}+e^{L_y}}. ∂ L y ∂ F = e L x + e L y e L y . 兩者和為：
1. 1. 1. 因此 log-sum-exp 的梯度正是 normalized exponential weight。
這說明 correction 不只是計算技巧，
還具有自然的幾何／權重結構。
19. 多項 log-sum-exp
對：
x i > 0 , L i = ln x i , x_i>0,
\qquad
L_i=\ln x_i, x i > 0 , L i = ln x i , 有：
ln ( ∑ i = 1 n x i ) = ln ( ∑ i = 1 n e L i ) . \ln\left(
\sum_{i=1}^n x_i
\right)
=
\ln\left(
\sum_{i=1}^n e^{L_i}
\right). ln ( i = 1 ∑ n x i ) = ln ( i = 1 ∑ n e L i ) . 令：
m = max i L i . m=\max_iL_i. m = i max L i . 則：
LSE ( L 1 , … , L n ) = m + ln ( ∑ i = 1 n e L i − m ) . \boxed{
\operatorname{LSE}(L_1,\dots,L_n)
=
m+
\ln
\left(
\sum_{i=1}^n
e^{L_i-m}
\right).
} LSE ( L 1 , … , L n ) = m + ln ( i = 1 ∑ n e L i − m ) . 所有：
L i − m ≤ 0 , L_i-m\leq0, L i − m ≤ 0 , 因此 exponential 不再處理巨大正輸入。
這個 shifted form 是標準數值實作形式。
20. Log-Diff-Exp
現在考慮：
x − y x-y x − y 且：
x > y > 0. x>y>0. x > y > 0. 令：
L x = ln x , L y = ln y . L_x=\ln x,
\qquad
L_y=\ln y. L x = ln x , L y = ln y . 則：
x − y = e L x ( 1 − e L y − L x ) . x-y
=
e^{L_x}
\left(
1-e^{L_y-L_x}
\right). x − y = e L x ( 1 − e L y − L x ) . 因此：
ln ( x − y ) = L x + ln ( 1 − e L y − L x ) . \boxed{
\ln(x-y)
=
L_x
+
\ln\left(
1-e^{L_y-L_x}
\right).
} ln ( x − y ) = L x + ln ( 1 − e L y − L x ) . 令：
d = L x − L y > 0. d=L_x-L_y>0. d = L x − L y > 0. 得到：
C − ( d ) = ln ( 1 − e − d ) . \boxed{
C_-(d)
=
\ln(1-e^{-d}).
} C − ( d ) = ln ( 1 − e − d ) . 所以：
ln ( x − y ) = max ( L x , L y ) + C − ( ∣ L x − L y ∣ ) \boxed{
\ln(x-y)
=
\max(L_x,L_y)
+
C_-(|L_x-L_y|)
} ln ( x − y ) = max ( L x , L y ) + C − ( ∣ L x − L y ∣ ) 在已知符號次序的正值 subtraction 中成立。
21. C − C_- C −
當：
d → 0 + , d\to0^+, d → 0 + , 有：
e − d → 1 − . e^{-d}\to1^-. e − d → 1 − . 因此：
1 − e − d → 0 + . 1-e^{-d}\to0^+. 1 − e − d → 0 + . 故：
C − ( d ) → − ∞ . \boxed{
C_-(d)\to-\infty.
} C − ( d ) → − ∞. 這正對應：
x − y → 0 + . x-y\to0^+. x − y → 0 + . 所以 singularity 不是 numerical bug。
它是原始運算結果正在接近 log chart 的零邊界。
22. 大差距下的 subtraction correction
若：
d ≫ 1 , d\gg1, d ≫ 1 , 則：
e − d ≪ 1. e^{-d}\ll1. e − d ≪ 1. 利用：
ln ( 1 − z ) = − z − z 2 2 − z 3 3 − ⋯ , \ln(1-z)
=
-z-\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}-\cdots, ln ( 1 − z ) = − z − 2 z 2 − 3 z 3 − ⋯ , 得到：
C − ( d ) = − e − d − 1 2 e − 2 d − 1 3 e − 3 d − ⋯ . C_-(d)
=
-e^{-d}
-\frac12e^{-2d}
-\frac13e^{-3d}
-\cdots. C − ( d ) = − e − d − 2 1 e − 2 d − 3 1 e − 3 d − ⋯ . 所以：
C − ( d ) ∼ − e − d . \boxed{
C_-(d)
\sim
-e^{-d}.
} C − ( d ) ∼ − e − d . 和 addition correction 一樣，
當一項遠小於另一項時，
correction 指數級衰減。
23. Addition 與 subtraction correction 的對偶
定義：
C ± ( d ) = ln ( 1 ± e − d ) . C_\pm(d)
=
\ln(1\pm e^{-d}). C ± ( d ) = ln ( 1 ± e − d ) . 其中：
C + C_+ C + 對所有：
d ≥ 0 d\geq0 d ≥ 0 有限，
而：
C − C_- C − 只對：
d > 0 d>0 d > 0 合法。
這給出一個簡潔的 correction family：
C σ ( d ) = ln ( 1 + σ e − d ) , σ ∈ { + 1 , − 1 } . \boxed{
C_\sigma(d)
=
\ln(1+\sigma e^{-d}),
\qquad
\sigma\in\{+1,-1\}.
} C σ ( d ) = ln ( 1 + σ e − d ) , σ ∈ { + 1 , − 1 } . 其中：
σ = + 1 \sigma=+1 σ = + 1 σ = − 1 \sigma=-1 σ = − 1
24. Correction Field 的六個指標
為避免 correction 變成任意垃圾桶，
本文提出六個第一版結構指標。
24.1 幅度
定義：
M C = sup Ω C ∥ C ∥ . M_C
=
\sup_{\Omega_C}\|C\|. M C = Ω C sup ∥ C ∥. 若有限，
則 correction globally bounded。
例如：
C + C_+ C + 有：
M C = ln 2. M_C=\ln2. M C = ln 2. 24.2 有效維度
若：
C ( x , y ) C(x,y) C ( x , y ) 實際只依賴：
ϕ ( x , y ) ∈ R k \phi(x,y)\in\mathbb R^k ϕ ( x , y ) ∈ R k 且：
k < dim ( x , y ) , k
<
\dim(x,y), k < dim ( x , y ) , 則 correction 具有 dimension reduction。
log-sum-exp 的 two-term correction：
C + ( ∣ L x − L y ∣ ) C_+(|L_x-L_y|) C + ( ∣ L x − L y ∣ ) 就是典型例子。
24.3 平滑性
研究：
C ∈ C k , C\in C^k, C ∈ C k , 或 analytic / Lipschitz / piecewise smooth。
平滑 correction 容易：
24.4 衰減性
若存在：
∥ C ( z ) ∥ → 0 \|C(z)\|
\to0 ∥ C ( z ) ∥ → 0 在某種尺度極限，
則表示主運算在該 regime 漸近成為 exact linearization。
例如：
C a , b ( x ) → 0 C_{a,b}(x)\to0 C a , b ( x ) → 0 當：
x → ∞ . x\to\infty. x → ∞. 24.5 可組合性
若連續多次 operation 的 correction 能以有限狀態遞推：
C n + 1 = Φ ( C n , z n ) , C_{n+1}
=
\Phi(C_n,z_n), C n + 1 = Φ ( C n , z n ) , 而不必重新展開完整歷史，
則 correction 具有 compositional closure。
這對 Runtime 特別重要。
24.6 計算成本
令：
K ( μ ) K(\mu) K ( μ ) 為原運算成本，
K ( T , ν , C , T − 1 ) K(T,\nu,C,T^{-1}) K ( T , ν , C , T − 1 ) 為轉譯路徑成本。
若：
K ( T , ν , C , T − 1 ) < K ( μ ) K(T,\nu,C,T^{-1})
<
K(\mu) K ( T , ν , C , T − 1 ) < K ( μ ) 或即使成本相近但帶來：
更高 dynamic range；
更容易 parallelize；
更容易 cache；
更容易誤差控制；
則修正型線性化仍可能有工程價值。
25. 非空洞化準則
本文提出第一版：
Principle 25.1
一個 correction-based translation 只有在至少滿足以下一項時，才應被視為非空洞化：
correction 的輸入維度低於原運算；
correction 有界；
correction 可由有限參數族描述；
correction 在主要 regime 衰減；
correction 可由低階展開逼近；
correction 可有限查表；
correction 具有稀疏啟動條件；
correction 具有封閉組合律；
correction 計算成本顯著低於原始運算；
correction 揭露了原運算的結構分類或 obstruction。
如果以上皆不成立，
且：
C T C_T C T 本質上等價於重新執行：
μ , \mu, μ , 則：
T μ = ν T + C T\mu=\nu T+C T μ = ν T + C 只是一種符號搬家。
26. Correction Complexity Ratio
為提供更明確的工程判定，
定義：
ρ C = K ( C ) + K ( ν ) + K ( T ) + K ( T − 1 ) K ( μ ) . \boxed{
\rho_C
=
\frac{
K(C)+K(\nu)+K(T)+K(T^{-1})
}{
K(\mu)
}.
} ρ C = K ( μ ) K ( C ) + K ( ν ) + K ( T ) + K ( T − 1 ) . 若：
ρ C < 1 , \rho_C<1, ρ C < 1 , 則轉譯在指定 cost model 下具有直接成本優勢。
若：
ρ C ≥ 1 , \rho_C\geq1, ρ C ≥ 1 , 仍不能立刻判定無價值，
因為可能換取：
更低 overflow risk；
更高可並行性；
更簡潔的 global error bound；
更小記憶體；
更適合特定硬體。
因此：
ρ C \rho_C ρ C 只是第一個 cost indicator，
不是唯一判準。
27. Structural Residual 與 Numerical Error
這是本文最重要的區分之一。
結構殘餘
C T = T μ − ν T . C_T
=
T\mu-\nu T. C T = T μ − ν T . 即使無限精度，
也可能：
C T ≠ 0. C_T\neq0. C T = 0. 它是數學結構。
數值誤差
實作中：
C ^ = C + ε C . \widehat C
=
C+\varepsilon_C. C = C + ε C . 其中：
ε C \varepsilon_C ε C 是有限精度、近似或查表造成的偏差。
因此完整實作應寫：
T μ ^ = ν ^ + C + ε . \boxed{
\widehat{T\mu}
=
\widehat\nu
+
C
+
\varepsilon.
} T μ = ν + C + ε . 而不是把：
C + ε C+\varepsilon C + ε 混成一個「誤差」。
28. Correction 的拓樸判定域
對 correction：
C T : Ω C → Y , C_T:\Omega_C\to Y, C T : Ω C → Y , 應獨立記錄：
Ω C . \Omega_C. Ω C . 例如 subtraction：
C − ( d ) = ln ( 1 − e − d ) C_-(d)=\ln(1-e^{-d}) C − ( d ) = ln ( 1 − e − d ) 只在：
d > 0 d>0 d > 0 合法。
當：
d = 0 , d=0, d = 0 , 原始結果：
x − y = 0 x-y=0 x − y = 0 離開非零 log chart。
因此：
d = 0 d=0 d = 0 不是「公式突然壞掉」，
而是 chart transition boundary。
29. Correction 與局部 chart
若：
C T C_T C T 在某區域變得巨大或 singular，
可以考慮切換 chart。
所以未來可以定義：
U = { U α } , \mathcal U
=
\{U_\alpha\}, U = { U α } , 每個區域使用不同：
( T α , ν α , C α ) . (T_\alpha,\nu_\alpha,C_\alpha). ( T α , ν α , C α ) . 例如：
大比例差距使用 log-diff-exp；
近 cancellation 使用 direct residual chart；
零點附近使用 zero-state chart。
因此：
Correction Field \boxed{
\text{Correction Field}
} Correction Field 自然連到 Paper 05 的 atlas。
30. 多運算系統
實際數學不只有單一：
μ . \mu. μ . 通常存在：
O = { μ 1 , μ 2 , … , μ k } . \mathcal O
=
\{\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_k\}. O = { μ 1 , μ 2 , … , μ k } . 一個轉譯：
T T T 可能對：
μ 1 \mu_1 μ 1 是 exact：
C 1 = 0 , C_1=0, C 1 = 0 , 對：
μ 2 \mu_2 μ 2 需要有界 correction，
對：
μ 3 \mu_3 μ 3 卻需要 singular correction。
例如 log coordinate：
× : C = 0 , ÷ : C = 0 , power : C = 0 , + : C = C + , − : C = C − . \begin{aligned}
\times &: C=0,\\
\div &: C=0,\\
\text{power} &: C=0,\\
+ &: C=C_+,\\
- &: C=C_-.
\end{aligned} × ÷ power + − : C = 0 , : C = 0 , : C = 0 , : C = C + , : C = C − . 因此轉譯品質不是單一 scalar。
它應該是：
C T = ( C 1 , … , C k ) . \boxed{
\mathbf C_T
=
(C_1,\dots,C_k).
} C T = ( C 1 , … , C k ) . 31. Operation Profile
定義轉譯 T T T
Π T = [ ( μ i , ν i , C i ) ] i = 1 k . \boxed{
\Pi_T
=
\left[
(\mu_i,\nu_i,\mathscr C_i)
\right]_{i=1}^k.
} Π T = [ ( μ i , ν i , C i ) ] i = 1 k . 例如 logarithmic coordinate：
Π log = { × ↦ + , ÷ ↦ − , power ↦ scale , + ↦ LSE , − ↦ LDE } . \Pi_{\log}
=
\{
\times\mapsto+,
\div\mapsto-,
\text{power}\mapsto\text{scale},
+\mapsto\operatorname{LSE},
-\mapsto\operatorname{LDE}
\}. Π l o g = { × ↦ + , ÷ ↦ − , power ↦ scale , + ↦ LSE , − ↦ LDE } . 這比只問：
「這個 representation 好不好？」
精確很多。
32. Correction Spectrum
可以根據：
C C C 的結構，定義一個初步光譜：
Level 0
C = 0. C=0. C = 0. Exact。
Level 1
常數／有限離散 correction。
Level 2
單變量 bounded correction。
Level 3
低維 smooth correction。
Level 4
局部／分段 correction。
Level 5
高階 recursive correction。
Level 6
correction 和原運算幾乎等複雜。
此時線性化價值趨近於零。
這是一個未來可形式化的研究方向。
33. Correction 與信息保存
若：
T T T 本身丟失信息，
correction 可能被迫重新攜帶那些遺失資訊。
因此 correction complexity 也可以視為：
轉譯造成的信息損失，為了保持運算忠實性所必須支付的回補成本。
若 T T T
那 correction 主要反映的是：
μ \mu μ 與：
ν \nu ν 結構不匹配。
若 T T T
correction 還可能混入 information loss。
因此兩者應分開。
34. Correction 與 obstruction
如果某個：
C C C 無法在任何低階類：
C n \mathscr C_n C n 中表達，
那它可能是一個 obstruction signal。
也就是：
correction complexity 可以測量目標線性化與原結構之間的失配程度。 \boxed{
\text{correction complexity}
\text{ 可以測量目標線性化與原結構之間的失配程度。}
} correction complexity 可以測量目標線性化與原結構之間的失配程度。 Paper 06 的 BCH commutator hierarchy 正是這種情況的高階範例。
35. 與 LNS 的關係
Logarithmic Number System 已長期利用：
log ( x y ) = log x + log y \log(xy)=\log x+\log y log ( x y ) = log x + log y 簡化乘除，
並承認 addition / subtraction 會變成非線性函數。
現代 LNS 實作通常需要：
lookup table；
interpolation；
co-transformation；
error correction；
處理加減。
本篇不主張發明這些既有工程技巧。
本文真正新增的框架是：
把這些非線性加減函數提升為「correction class」案例，並放入一個可以跨越 LNS、仿射轉換、局部幾何與非交換系統的統一分類中。
36. Correction 的三種角色
目前至少可以區分：
Type A：Operation-Induced Correction
例如：
a x + b , ax+b, a x + b , 中的：
ln ( 1 + b a x ) . \ln\left(1+\frac{b}{ax}\right). ln ( 1 + a x b ) . Type B：Representation-Induced Correction
某個 representation 為方便計算而引入的 normalization / chart correction。
Type C：Structure-Induced Correction
由原始代數與目標代數不匹配所產生。
非交換 BCH correction 將屬於此類。
37. 第一版 Correction Field 公理要求
一個可作為 Series A 正式對象的 correction field，
至少應記錄：
C = ( Ω C , C , C , K C , R C ) \boxed{
\mathcal C
=
(
\Omega_C,
C,
\mathscr C,
K_C,
R_C
)
} C = ( Ω C , C , C , K C , R C ) 其中：
Ω C \Omega_C Ω C C C C C \mathscr C C K C K_C K C R C R_C R C
這讓 correction 成為正式數學／工程介面，
而不是隨手補項。
38. Corrected Translation Object
因此一個完整修正型轉譯可以寫成：
T C = ( X , Y , Ω μ , T , ν , C , T − 1 ) . \boxed{
\mathfrak T_C
=
(
X,Y,
\Omega_\mu,
T,
\nu,
C,
T^{-1}
).
} T C = ( X , Y , Ω μ , T , ν , C , T − 1 ) . 其執行流程：
x , y x,y x , y 先進：
T , T, T , 再算：
ν ( T x , T y ) , \nu(Tx,Ty), ν ( T x , T y ) , 加入：
C ( x , y ) , C(x,y), C ( x , y ) , 最後：
T − 1 . T^{-1}. T − 1 . 即：
μ ( x , y ) = T − 1 ( ν ( T x , T y ) + C ( x , y ) ) . \boxed{
\mu(x,y)
=
T^{-1}
\left(
\nu(Tx,Ty)+C(x,y)
\right).
} μ ( x , y ) = T − 1 ( ν ( T x , T y ) + C ( x , y ) ) . 39. Correction Runtime 雛形
對 Engineering Whitepaper，
這直接對應：
Domain Validator \text{Domain Validator} Domain Validator ↓ \downarrow ↓ Transform Selector \text{Transform Selector} Transform Selector ↓ \downarrow ↓ Linear Core \text{Linear Core} Linear Core ↓ \downarrow ↓ Correction Engine \boxed{
\text{Correction Engine}
} Correction Engine ↓ \downarrow ↓ Inverse Transform \text{Inverse Transform} Inverse Transform ↓ \downarrow ↓ Error / Decision Validator . \text{Error / Decision Validator}. Error / Decision Validator . Paper 03 因此正式定義了 Runtime 中 Correction Engine 的數學職責。
40. 本篇核心命題
本文可以濃縮成八條。
命題一
Correction 不是自動等於 error。
命題二
任何運算都能形式上定義 correction，
所以 correction 的存在本身沒有 novelty。
命題三
必須事先限制：
C ∈ C . C\in\mathscr C. C ∈ C . 命題四
仿射運算在 log-space 中產生：
C a , b ( x ) = ln ( 1 + b a x ) . C_{a,b}(x)
=
\ln\left(1+\frac{b}{ax}\right). C a , b ( x ) = ln ( 1 + a x b ) . 命題五
正值加法產生 bounded one-dimensional correction：
C + ( d ) = ln ( 1 + e − d ) . C_+(d)
=
\ln(1+e^{-d}). C + ( d ) = ln ( 1 + e − d ) . 命題六
正值減法產生：
C − ( d ) = ln ( 1 − e − d ) , C_-(d)
=
\ln(1-e^{-d}), C − ( d ) = ln ( 1 − e − d ) , 且在 cancellation boundary：
d → 0 + d\to0^+ d → 0 + 出現必然 singularity。
命題七
Correction 是否有價值，應由其維度、平滑性、衰減性、可組合性與成本共同判定。
命題八
Correction complexity 可以被視為 source operation 與 target operation 結構失配的一種量。
41. 限制
本文仍刻意不做幾件事。
第一，尚未為：
K ( C ) K(C) K ( C ) 建立唯一、跨硬體的複雜度定義。
第二，尚未證明 correction spectrum 的分類完備。
第三，尚未建立 correction field 的 sheaf / bundle / module 正式結構。
第四，尚未處理 matrix BCH correction 的完整收斂域。
第五，尚未處理 valuation exact coordinate。
這些分別留給後續 Paper 04–06。
42. 結論
Paper 02 給出了一個極度理想的模型：
ln ( x y ) = ln x + ln y . \ln(xy)=\ln x+\ln y. ln ( x y ) = ln x + ln y . 但一般數學不可能永遠如此乾淨。
本文因此把 Series A 的核心方程由：
T μ = ν T \boxed{
T\mu=\nu T
} T μ = ν T 擴張成：
T μ = ν T + C . \boxed{
T\mu=\nu T+C.
} T μ = ν T + C . 這一步的關鍵不是「允許補項」，
而是要求：
C C C 本身必須：
有合法判定域；
落在受限 correction class；
具有結構規律；
可被分析；
可被估計；
可被壓縮或低成本計算；
不得只是把原運算完整藏回去。
仿射映射：
a x + b ax+b a x + b 提供第一個 state-dependent correction；
log-sum-exp 提供 bounded、低維、指數衰減 correction；
log-diff-exp 則展示 singular boundary 如何對應原始結果跨入 zero chart。
因此 correction 應被理解為：
為保存原運算結構而在簡化座標中必須攜帶的殘餘資訊。 \boxed{
\text{為保存原運算結構而在簡化座標中必須攜帶的殘餘資訊。}
} 為保存原運算結構而在簡化座標中必須攜帶的殘餘資訊。 而不是：
計算沒算準留下的誤差。 \boxed{
\text{計算沒算準留下的誤差。}
} 計算沒算準留下的誤差。 這個區分將成為 Series A 後續發展的核心。
參考文獻
Pierre Blanchard, Desmond J. Higham, Nicholas J. Higham, Accurate Computation of the Log-Sum-Exp and Softmax Functions , 2019/2020.
SciPy Documentation, scipy.special.logsumexp.
Thanh Son Nguyen, Alexey Solovyev, Ganesh Gopalakrishnan, Rigorous Error Analysis for Logarithmic Number Systems , 2024.
Syed Asad Alam, James Garland, David Gregg, Low precision logarithmic number systems: Beyond base-2 , 2021.
NIST DLMF, Chapter 4, Logarithm, Exponential, Powers .
Series A 銜接
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《離散精確模型：估值座標、指數格與有限域精確還原》
下一篇將切換到完全不同但非常重要的模型：
Q > 0 × ≅ ⨁ p ∈ P Z , \mathbb Q_{>0}^{\times}
\cong
\bigoplus_{p\in\mathbb P}\mathbb Z, Q > 0 × ≅ p ∈ P ⨁ Z , 研究：
prime-exponent coordinate；
valuation；
exponent lattice；
exact discrete representation；
finite-domain nearest-state recovery；
並回答一個核心問題：
是否可以在完全不依賴連續近似 logarithm 的情況下，仍然把乘除法轉成純加減？