遞歸知差界理論：觀察包絡、正差隙、上限、視界與任意遞歸譜 No-Go

English title: Recursive Epistemic Bound Theory: Observed Envelopes, Positive Gaps, Ceilings, Horizons, and the Arbitrary-Profile No-Go

Series: Recursive Knowing-Difference Algebra / 遞歸知差代數系列
Paper ID: EML-RKD-05
Version: v0.1
Date: 2026-08-16
Author: Neo.K（許筌崴）
Affiliation: EveMissLab / 一言諾科技有限公司
Document status: FORMAL EXTENSION / BOUND THEORY
Upstream: EML-RKD-01, EML-RKD-02, EML-RKD-03, EML-RKD-04
Claim strength: 本文研究在固定量化契約與觀察域下可建立的遞歸知差上下界。本文證明若干條件性 bound 與結構性 No-Go，但不宣稱存在跨所有認知存在、所有任務與所有觀察者的單一普遍知差界。

摘要

EML-RKD-04 將遞歸知差拆成 structural rank、functional amplitude、fidelity、information gain 與 direction/calibration。本文進一步研究：這些量在觀察存在集合擴張、遞歸階數增加與資源條件改變時，究竟有哪些上下界可以合法推出？

本文首先定義固定量化契約 $Q$ 下的觀察值域：

\mathcal V_{n,Q}(t) = \left\{ \Delta_{X,n}^{Q}(p): X\in\mathfrak X_{\mathrm{obs}}^Q(t), \; p\in\mathcal P_X^Q \right\},

以及觀察下包絡、上包絡：

L_{n,Q}(t) = \inf\mathcal V_{n,Q}(t),

U_{n,Q}(t) = \sup\mathcal V_{n,Q}(t).

若 observed corpus 在固定 protocol 下只增不減，則：

L_{n,Q}(t)

單調不增，

U_{n,Q}(t)

單調不減；在 normalized bounded codomain 中兩者皆有極限。這是一個觀察時間方向的單調結果，而不是遞歸深度方向的衰減律。

本文最重要的結構性結果是任意遞歸譜可實現性（Arbitrary Recursive Profile Realizability）：對任意指定序列

(a_n)_{n\ge0}, \qquad a_n\in[0,1],

可構造一個 exact-coherent graded tower，使每一階 functional meta-amplitude 恰為：

\nu_n=a_n.

因此在不加入額外 contraction、resource、noise、information 或 architectural hypotheses 時，不存在由遞歸深度本身推出的普遍：

\Delta_{n+1}\le\Delta_n,

也不存在普遍：

\Delta_n\to0,

或有限最大遞歸視界定理。遞減、遞增、振盪、週期、平台、稀疏與任意 bounded profile 在純代數上都可實現。

本文隨後定義 positive recursive gap、recursive ceiling、structural/functional/observable horizons，以及 fixed-protocol asymptotic envelope。本文證明：若額外假設 uniform multiplicative contraction：

\Delta_{n+1}\le\lambda\Delta_n, \qquad 0\le\lambda<1,

則得到幾何衰減與 logarithmic horizon bound；若每階至少產生 additive loss $\delta>0$ ，則得到 linear horizon bound。若每階有效遞歸有成本 $c_n$ 且總預算有限，則是否能有無限階不由「預算有限」單獨決定，而由：

\sum_n c_n

是否發散決定。

本文亦定義 recursive mass、meta-amplification factor 與 recursive efficiency，指出每階知差趨零不代表整體累積遞歸知差有限。文末把所有 bound 分成：無條件代數界、protocol-fixed observation bounds、以及需額外結構假設才成立的 conditional depth bounds。

關鍵詞： 遞歸知差；上下界；observed envelope；positive gap；recursive ceiling；recursion horizon；arbitrary profile；contraction；resource bound；metareasoning；data processing

Abstract

This paper develops a bound theory for Recursive Knowing Difference. Under a fixed quantification contract, it defines observed lower and upper envelopes, positive recursive gaps, ceilings, and structural/functional/observable horizons.

The central structural result is an arbitrary-profile realizability theorem: every bounded sequence $(a_n)\subseteq[0,1]$ can be realized as the functional recursive-difference profile of an exactly coherent graded tower. Hence recursion depth alone does not imply monotone decay, convergence to zero, or a finite maximal horizon.

Meaningful decay theorems require additional assumptions. Uniform multiplicative contraction yields geometric decay and logarithmic horizon bounds; fixed additive loss yields linear horizon bounds. Finite total resource alone does not imply finite recursion depth: the decisive condition is whether cumulative per-level cost diverges.

The paper separates unconditional algebraic bounds, fixed-protocol observational bounds, and architecture-dependent conditional bounds, preparing the final bound branch for a subsequent paper on strong infinite recursive knowers.

1. 問題轉換：從「量多少」到「能界多少」

Paper 04 建立：

\mathbf Q_{X,n}^{RKD,Q} = (r,\nu,\phi,g,c).

本文允許選取其中某一 axis：

\mu\in \{ r,\nu,\phi,g,\ldots \}

或某個明確 scalarizer：

S_Q.

統一記為：

\boxed{ \Delta_{X,n}^{Q}(p) }

並假設在本文主要 normalized realization 中：

\boxed{ 0\le \Delta_{X,n}^{Q}(p) \le1. }

現在問：

\boxed{ \Delta \text{ 的 lower bound、upper bound、gap、ceiling 與 depth horizon 是什麼？} }

2. Bound 不應脫離 contract

定義 bound contract：

\boxed{ B = \left( Q, \mathfrak X_{\mathrm{obs}}, \mathcal P, \mu, \theta, t \right). }

其中：

$Q$ ：observation / alignment contract；
$\mathfrak X_{\mathrm{obs}}$ ：被納入的存在類別；
$\mathcal P$ ：task / content family；
$\mu$ ：量化 axis 或 scalarizer；
$\theta$ ：功能／觀察 threshold；
$t$ ：目前資料歷史位置。

因此本文不寫：

\boxed{ \text{the bound of knowing}. }

而寫：

\boxed{ \text{bound under }B. }

3. Observed Value Set

對固定 recursion level：

n,

定義：

\boxed{ \mathcal V_{n,B}(t) = \left\{ \Delta_{X,n}^{Q}(p): X\in \mathfrak X_{\mathrm{obs}}^Q(t), \; p\in\mathcal P_X^Q \right\}. }

如果某些 $X,p$ 在該階不可定義，應標記：

\mathrm{NA},

而不是強迫填：

0.

4. Hard Lower / Upper Envelope

定義：

\boxed{ L_{n,B}(t) = \inf \mathcal V_{n,B}(t) }

與：

\boxed{ U_{n,B}(t) = \sup \mathcal V_{n,B}(t). }

因此：

\boxed{ I_{n,B}(t) = [ L_{n,B}(t), U_{n,B}(t) ]. }

稱為：

\boxed{ \textbf{Observed Recursive Epistemic Envelope}. }

5. Theorem T5.1 — Fixed-Protocol Envelope Monotonicity

假設：

$B$ 中除 $t$ 外的 protocol 全部固定；
observed corpus nested： $\mathfrak X_{\mathrm{obs}}(t) \subseteq \mathfrak X_{\mathrm{obs}}(t+1);$
舊資料的 quantification 不被 retroactive revision 改寫。

則：

\boxed{ L_{n,B}(t+1) \le L_{n,B}(t) }

以及：

\boxed{ U_{n,B}(t+1) \ge U_{n,B}(t). }

證明。

新 value set 包含舊 value set：

\mathcal V_{n,B}(t) \subseteq \mathcal V_{n,B}(t+1).

集合擴張不能提高 infimum，也不能降低 supremum。∎

6. Corollary C5.1 — Envelope Limits

若：

\mathcal V_{n,B}(t) \subseteq [0,1],

則：

L_{n,B}(t)

為有下界的單調不增序列，

U_{n,B}(t)

為有上界的單調不減序列。

故：

\boxed{ L_{n,B}^{\ast} = \lim_{t\to\infty} L_{n,B}(t) }

與：

\boxed{ U_{n,B}^{\ast} = \lim_{t\to\infty} U_{n,B}(t) }

皆存在。

7. 這不是 depth monotonicity

T5.1 說的是：

\boxed{ t\rightarrow t+1 }

資料集合擴張。

它完全不推出：

\boxed{ n\rightarrow n+1 }

時：

\Delta_{X,n+1} \le \Delta_{X,n}.

因此：

\boxed{ \text{corpus monotonicity} \neq \text{recursive-depth monotonicity}. }

8. Positive Recursive Gap

若：

\mathcal V_{n,B}(t) \cap (0,1] \neq\varnothing,

定義：

\boxed{ \gamma_{n,B}(t) = \inf \left( \mathcal V_{n,B}(t) \cap (0,1] \right). }

稱為：

\boxed{ \textbf{Positive Recursive Gap}. }

如果沒有任何 reliable positive observation，則：

\gamma_{n,B}(t) = \mathrm{NA}.

9. Finite-Sample Gap Trap

若目前只觀察：

\{0.1,0.4,0.8\},

則：

\gamma=0.1.

這只表示：

當前 finite corpus 中最小 positive observed value 是 0.1。

完全不表示：

\boxed{ \text{ontology has a minimum recursive quantum of }0.1. }

10. Resolution-Tracked Gap

令：

\epsilon_B(t)

為 observation / estimation floor。

定義 reliable positive set：

\boxed{ \mathcal V_{n,B}^{+,\mathrm{rel}}(t) = \left\{ v\in\mathcal V_{n,B}(t): v>\epsilon_B(t) \right\}. }

再定義：

\boxed{ \gamma_{n,B}^{rel}(t) = \inf \mathcal V_{n,B}^{+,\mathrm{rel}}(t). }

只有同時追蹤：

t\to\infty

與：

\epsilon_B(t)

變化，才能討論 asymptotic positive gap。

11. Gap Trichotomy

對固定：

n,B,

可以有：

G0 — No reliable positive evidence

\gamma_{n,B}^{rel} = \mathrm{NA}.

G1 — Gapless candidate

\boxed{ \liminf_{t\to\infty} \gamma_{n,B}^{rel}(t) = 0. }

G2 — Positive-gap candidate

\boxed{ \liminf_{t\to\infty} \gamma_{n,B}^{rel}(t) > 0. }

本文不把 G2 自動叫成 universal quantization。

12. Recursive Ceiling

定義：

\boxed{ \beta_{n,B}(t) = U_{n,B}(t). }

asymptotic：

\boxed{ \beta_{n,B}^{\ast} = U_{n,B}^{\ast}. }

稱為：

\boxed{ \textbf{Recursive Epistemic Ceiling}. }

如果：

\beta_{n,B}^{\ast}=1,

只表示在該 normalized contract 下 observed values 可接近上端。

不表示：

\boxed{ \text{absolute omniscience}. }

13. Individual Floor

對固定：

X,

定義：

\boxed{ \delta_{X,n}^{B} = \inf_{p\in\mathcal P_X^Q} \left\{ \Delta_{X,n}^{Q}(p)>0 \right\}. }

在 recursion-depth direction 也可定義：

\boxed{ \delta_X^{B} = \liminf_{n\to\infty} \Delta_{X,n}^{Q}. }

兩者不要混。

14. Class Floor

對存在 class：

\mathfrak X,

定義：

\boxed{ \delta_{\mathfrak X}^{B} = \inf_{X\in\mathfrak X} \delta_X^{B}. }

即使：

\delta_X^{B}>0

對每個 $X$ individually 成立，仍可能：

\boxed{ \delta_{\mathfrak X}^{B}=0. }

例如：

\delta_{X_m}^{B} = \frac1m.

15. No-Go N5.1 — Individual positivity 不推出 class gap

\boxed{ \forall X\in\mathfrak X, \quad \delta_X>0 }

不推出：

\boxed{ \inf_X\delta_X>0. }

這是最簡單但非常重要的 non-uniformity。

16. 任意遞歸譜的代數構造

現在進入本文核心。

給任意 bounded sequence：

\boxed{ (a_n)_{n\ge0}, \qquad a_n\in[0,1]. }

定義：

\boxed{ \mathcal E^{(n)} = \mathbb R^{n+1}. }

bonding map：

\boxed{ F_n ( x_0,\ldots,x_n,x_{n+1} ) = ( x_0,\ldots,x_n ). }

zero-meta embedding：

\boxed{ \iota_n ( x_0,\ldots,x_n ) = ( x_0,\ldots,x_n,0 ). }

recursive lift：

\boxed{ K_n ( x_0,\ldots,x_n ) = ( x_0,\ldots,x_n,a_n ). }

17. Exact Coherence of the Construction

立刻有：

F_nK_n ( x_0,\ldots,x_n ) = ( x_0,\ldots,x_n ).

因此：

\boxed{ F_nK_n=id. }

所以每一階 target coherence 都 exact。

meta-residual：

\boxed{ m_{n+1} = K_n(x)-\iota_n(x) = a_n e_{n+1}, }

其中：

e_{n+1}

為新 coordinate 的 unit vector。

若 amplitude：

\nu_n = \|m_{n+1}\|_2,

則：

\boxed{ \nu_n=a_n. }

18. Theorem T5.2 — Arbitrary Recursive Profile Realizability

對任意 sequence：

(a_n)_{n\ge0} \subseteq[0,1],

存在一個 exact target-coherent graded recursive system，使其 Euclidean functional meta-amplitude 滿足：

\boxed{ \nu_n=a_n \quad \forall n. }

∎

19. Corollary C5.2 — No Universal Decay

不存在僅由「recursive level increases」推出的普遍：

\boxed{ \nu_{n+1}\le\nu_n. }

因為可取：

a_n = 1-2^{-n-1},

得到遞增 profile。

20. Corollary C5.3 — No Universal Amplification

同理不存在普遍：

\nu_{n+1}\ge\nu_n.

取：

a_n=2^{-n}

即可。

21. Corollary C5.4 — No Universal Convergence to Zero

取：

a_n=1.

則：

\nu_n=1

對所有 $n$ 。

因此：

\boxed{ \text{recursive depth} \not\Rightarrow \nu_n\to0. }

22. Corollary C5.5 — No Universal Limit

取：

a_n = \frac{1+(-1)^n}{2}.

則：

a_n = 1,0,1,0,\ldots

沒有 limit。

因此：

\boxed{ \text{recursive depth} \not\Rightarrow \Delta_n \text{ converges}. }

23. 可合法出現的 profile regime

純代數上可以有：

Decay

a_n=2^{-n}.

Persistent

a_n=c>0.

Amplifying

a_n=1-2^{-n-1}.

Periodic

a_{n+p}=a_n.

Sparse

只有：

n=2^k

時：

a_n>0.

Oscillatory / irregular

任意 bounded sequence。

因此：

\boxed{ \text{profile shape requires extra law, not recursion alone}. }

24. No-Go N5.2 — Depth is not a contraction operator

n\mapsto n+1

只是階層索引增加。

它本身沒有數學理由必須是：

contraction；
smoothing；
noise accumulation；
information loss；
cost growth。

所有這些都必須額外建模。

25. Conditional Contraction Assumption

現在加入：

\boxed{ \Delta_{n+1} \le \lambda \Delta_n, \qquad 0\le\lambda<1. }

這不是 RKD 母公理。

它是一個 additional realization hypothesis。

26. Theorem T5.3 — Geometric Recursive Bound

由 induction：

\boxed{ \Delta_n \le \lambda^n \Delta_0. }

因此：

\boxed{ \Delta_n\to0. }

27. Functional Horizon

給：

\theta>0,

定義：

\boxed{ H_X^{fun}(\theta) = \sup \left\{ n: \Delta_{X,n}\ge\theta \right\}. }

若：

\Delta_0<\theta,

則：

H_X^{fun}(\theta)

可視為空或：

-1

依 implementation convention。

28. Theorem T5.4 — Logarithmic Horizon under Contraction

若：

0<\theta\le\Delta_0,

且：

\Delta_n \le \lambda^n\Delta_0, \qquad 0<\lambda<1,

則任何滿足：

\Delta_n\ge\theta

的 $n$ 必須：

\lambda^n\Delta_0 \ge \theta.

因此：

\boxed{ n \le \frac{ \log(\theta/\Delta_0) }{ \log\lambda }. }

所以：

\boxed{ H_X^{fun}(\theta) \le \left\lfloor \frac{ \log(\theta/\Delta_0) }{ \log\lambda } \right\rfloor. }

29. Additive Loss Assumption

若：

\boxed{ \Delta_{n+1} \le \max \{ 0, \Delta_n-\delta \}, \qquad \delta>0, }

則：

\boxed{ \Delta_n \le \max \{ 0, \Delta_0-n\delta \}. }

30. Theorem T5.5 — Linear Horizon under Additive Loss

對：

0<\theta\le\Delta_0,

若：

\Delta_n\ge\theta,

必須：

\Delta_0-n\delta \ge \theta.

所以：

\boxed{ H_X^{fun}(\theta) \le \left\lfloor \frac{ \Delta_0-\theta }{ \delta } \right\rfloor. }

additive loss 產生 linear horizon。

31. Contraction 需要物理／資訊來源

實際：

\lambda<1

可能來自：

information channel contraction；
memory loss；
finite precision；
repeated lossy compression；
noise accumulation；
imperfect re-encoding；
bounded attention；
communication bottleneck。

但這些是 realization assumptions。

本文不把任何一個預設為所有存在必有。

32. Data Processing 作為條件性前例

若某 observable chain 滿足：

C \rightarrow M_n \rightarrow M_{n+1},

即高一階只是低一階 observable 的 stochastic post-processing，則普通 data-processing inequality 給：

\boxed{ I(C;M_{n+1}) \le I(C;M_n). }

若 channel 進一步滿足 strong data-processing coefficient：

\eta_n<1,

則可以有：

\boxed{ I(C;M_{n+1}) \le \eta_n I(C;M_n). }

這提供一種「為什麼某些 recursion realization 會衰減」的外部數學模板。

33. No-Go N5.3 — DPI 不能無條件套在 open recursion

若：

M_{n+1}

還取得新的 evidence：

Z_{n+1},

使：

M_{n+1} = h(M_n,Z_{n+1}),

而：

I(C;Z_{n+1}\mid M_n)>0,

則：

C\rightarrow M_n\rightarrow M_{n+1}

的純 post-processing Markov 結構不再成立。

所以：

\boxed{ I(C;M_{n+1}) > I(C;M_n) }

完全可能。

Paper 06 將正式把這種新資訊寫成 epistemic injection。

34. Structural Horizon

定義：

\boxed{ H_X^{str} = \sup \left\{ n: r_{X,n}>0 \right\}. }

如果：

r_{X,n}=0

從某階後永久成立，structural recursion 在該 contract 下停止新增不可約 meta directions。

35. Observable Horizon

令 observer detection floor：

\epsilon_{Q,n}.

定義：

\boxed{ H_X^{obs}(Q) = \sup \left\{ n: \Delta_{X,n}^{Q}> \epsilon_{Q,n} \right\}. }

若 functional threshold：

\theta

滿足：

\theta\le \epsilon_{Q,n}

在考察範圍成立，則通常：

\boxed{ H_X^{obs}(Q) \le H_X^{fun}(\theta) \le H_X^{str} }

但此 inequality 依賴 definitions compatible。

36. No-Go N5.4 — Observable horizon 不是 intrinsic constant

若 measurement technology 改善：

\epsilon_{Q_t,n}\downarrow0,

則同一 $X$ 的：

H_X^{obs}(Q_t)

可以增加。

因此：

\boxed{ H_X^{obs} }

是：

\boxed{ X + Q + t }

的共同性質。

37. Resource Cost per Recursive Level

令：

\boxed{ c_{X,n}\ge0 }

表示建立／保持第 $n\to n+1$ 階有效 recursion 的 incremental cost。

這個 cost 可以是：

time；
compute；
memory；
energy；
communication；
sample complexity；
opportunity cost。

不同 cost 不應在沒有 exchange rate 時直接相加。

本文先假設已被 $Q$ 映到一個共同 resource unit。

38. Cumulative Recursive Cost

定義：

\boxed{ C_X(N) = \sum_{n=0}^{N-1} c_{X,n}. }

若 available budget：

B_X<\infty,

可執行 depth $N$ 必須：

\boxed{ C_X(N)\le B_X. }

39. Theorem T5.6 — Divergent Cost Implies Finite Budget Horizon

若：

\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} c_{X,n} = \infty, }

則對任何有限：

B_X<\infty,

存在有限 $N_B$ 使：

C_X(N_B)>B_X.

因此有限 budget 無法支付所有無限多階。

40. No-Go N5.5 — Finite budget alone 不推出 finite algebraic recursion

若：

c_n=2^{-n-1},

則：

\sum_{n=0}^{\infty}c_n = 1.

所以抽象 cost model 中，有限 budget：

B=1

不排除支付任意多階。

因此：

\boxed{ B<\infty \not\Rightarrow H<\infty. }

真正分界是 cumulative cost 是否 diverge。

41. Uniform Positive Cost Bound

若：

\boxed{ c_n\ge c_{\min}>0, }

則：

C_X(N)\ge Nc_{\min}.

若：

C_X(N)\le B_X,

得到：

\boxed{ N \le \left\lfloor \frac{B_X}{c_{\min}} \right\rfloor. }

42. Geometric Cost Growth

若：

c_n = c_0a^n, \qquad a>1,

則：

C_X(N) = c_0 \frac{a^N-1}{a-1}.

budget condition：

C_X(N)\le B

推出：

\boxed{ N \le \log_a \left( 1+ \frac{(a-1)B}{c_0} \right). }

因此 exponentially growing per-level cost 產生 logarithmic budget horizon。

43. Metareasoning 的資源前例

rational metareasoning 的核心思想之一，就是：

computation 本身不是免費；是否再多做一步 reasoning，應考慮 expected improvement 與 computation cost。

近年的 LLM metareasoning 工作亦把 reasoning quality 與 inference cost 的 trade-off 直接寫入 reward / policy。

本文只把這些當成：

\boxed{ c_n \text{ 不應被預設為 }0 }

的工程前例。

但是否：

c_n\ge c_{\min}>0

對任意存在成立，本文不作普遍主張。

44. Meta-Amplification Factor

若：

\Delta_{X,n}>0,

定義：

\boxed{ \lambda_{X,n}^{meta} = \frac{ \Delta_{X,n+1} }{ \Delta_{X,n} }. }

分類：

$0\le\lambda<1$ ：attenuation；
$\lambda=1$ ：persistence；
$\lambda>1$ ：amplification。

如果 denominator 為 0，ratio 標記 NA。

45. No-Go N5.6 — Meta-amplification 不代表 violation

若：

\lambda_{X,n}^{meta}>1,

只表示高一階在當前 metric 下值更高。

它可能來自：

better internal processing；
new external evidence；
changed measurement scale；
changed task distribution；
observer recalibration。

所以要判斷「真正 intrinsic amplification」，Paper 06 必須先控制 injection 與 protocol drift。

46. Recursive Mass

對 weights：

w_n\ge0,

定義：

\boxed{ M_X^{rec} = \sum_{n=0}^{\infty} w_n\Delta_{X,n}. }

若：

w_n=1,

得到 unweighted cumulative recursive mass。

47. No-Go N5.7 — Per-level decay 不推出 finite total mass

令：

\Delta_n = \frac1{n+1}.

則：

\Delta_n\to0.

但：

\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \infty. }

所以：

\boxed{ \text{each level becomes weak} \not\Rightarrow \text{total recursive contribution is finite}. }

48. Power-Law Classification

若：

\Delta_n \asymp (n+1)^{-\alpha},

則：

$\alpha>1$

M^{rec}<\infty

對 $w_n=1$ 。

$0<\alpha\le1$

M^{rec}=\infty.

因此 tail rate 本身是重要 bound parameter。

49. Recursive Efficiency

定義：

\boxed{ \eta_{X,n}^{rec} = \frac{ \Delta_{X,n} }{ c_{X,n} } }

若：

c_{X,n}>0.

這不是 information-theoretic $\eta$ ；為避免符號衝突，machine-readable registry 中 canonical alias 採：

\boxed{ \mathrm{Eff}_{X,n}^{rec}. }

即：

\boxed{ \mathrm{Eff}_{X,n}^{rec} = \frac{\Delta_{X,n}}{c_{X,n}}. }

50. Cumulative Efficiency

\boxed{ \mathrm{Eff}_{X}^{cum}(N) = \frac{ \sum_{n<N}\Delta_{X,n} }{ \sum_{n<N}c_{X,n} } }

若 denominator positive。

這允許比較：

shallow high-yield system；
deep low-yield system；
distributed expensive system；
compact but noisy system。

但跨資源種類仍需要 cost normalization。

51. Bound Bundle

本文 canonical bound object：

\boxed{ \mathfrak B_{n,B}^{RKD} = \left\langle L_n, U_n, \gamma_n, \beta_n, H^{str}, H^{fun}, H^{obs}, M^{rec}, \mathrm{Eff}^{rec} \right\rangle. }

它不是一個 scalar。

52. Bound Type I — Unconditional Algebraic Bounds

例如 Paper 04 ordinary rank：

r>0 \Rightarrow r\ge1.

以及：

0\le \Delta \le1

若 normalization 如此定義。

這些來自 algebra / codomain specification。

53. Bound Type II — Protocol-Fixed Observational Bounds

例如：

L_n(t)\downarrow,

U_n(t)\uparrow

只在：

protocol fixed；
corpus nested；
old scores not rewritten；

時成立。

54. Bound Type III — Architecture-Dependent Depth Bounds

例如：

\Delta_{n+1}\le\lambda\Delta_n

推出 geometric decay。

這完全依賴 additional architecture / channel assumption。

因此：

\boxed{ \text{conditional theorem} \neq \text{universal law}. }

55. Population Upper Envelope under Uniform Contraction

令：

\boxed{ \beta_n = \sup_{X\in\mathfrak X} \Delta_{X,n}. }

若對 class 中所有 $X$ ：

\Delta_{X,n+1} \le \lambda\Delta_{X,n}

使用共同：

0\le\lambda<1,

則：

\Delta_{X,n} \le \lambda^n\Delta_{X,0}.

取 supremum：

\boxed{ \beta_n \le \lambda^n\beta_0. }

因此：

\boxed{ \beta_n\to0. }

這是一個 class-level conditional collapse result。

56. No-Go N5.8 — 沒有 uniform coefficient 就不能推出 class decay

如果每個 $X$ 有自己的：

\lambda_X<1

但：

\sup_X\lambda_X=1,

則 class upper envelope 未必以共同幾何率衰減。

例如：

\lambda_{X_m} = 1-\frac1m.

對每個固定 $X_m$ 都 contraction，

但 across class 可以有 arbitrarily slow decay。

57. Observation-Depth Matrix

實際實驗資料最好記錄：

\boxed{ D_{i,n} = \Delta_{X_i,n}^{Q}. }

rows：

X_i

為不同存在／個體／system instances，

columns：

n

為 recursion depth。

這樣：

column envelope 對應 fixed $n$ population bounds；
row profile 對應 fixed $X$ recursion spectrum；
global inf/sup 是第三種聚合。

不要把三種方向混在一個 summary statistic。

58. Recursive Spectrum

對固定 $X$ ：

\boxed{ \mathbf \Delta_X^{Q} = \left( \Delta_{X,0}^{Q}, \Delta_{X,1}^{Q}, \Delta_{X,2}^{Q}, \ldots \right). }

稱為：

\boxed{ \textbf{Recursive Epistemic Spectrum}. }

T5.2 告訴我們：

純代數不限制這條 bounded spectrum 的形狀。

因此任何實際規律都是 empirical / architectural information。

59. Human Evidence 的位置

Recht 等人在人類特定 nested-confidence task 中觀察到第二至第四階 above-chance behavior，並用包含 recursive evidence degradation 與 noise 的模型解釋高階表現下降。

這提供一個：

\boxed{ \text{某類 human realization 可能呈現 attenuation} }

的實證前例。

但它不能推出：

\boxed{ \forall X,\quad \Delta_{n+1}\le\Delta_n. }

本文的 T5.2 正式說明：純代數不會替這個 empirical pattern 提供普遍性。

60. AI / Tool-Using System 的位置

對人工系統，meta-level 可能：

重算；
查工具；
呼叫 verifier；
使用外部 memory；
委派另一 agent。

因此：

\Delta_{n+1}>\Delta_n

不只 algebraically possible，也有合理 architecture mechanism。

這也是為什麼 Paper 06 必須加入：

\boxed{ \text{epistemic injection} }

而不是只研究 closed contraction。

61. 本文主要定理

T5.1 Fixed-Protocol Envelope Monotonicity；
C5.1 Bounded Envelope Limits；
T5.2 Arbitrary Recursive Profile Realizability；
C5.2 No Universal Decay；
C5.3 No Universal Amplification；
C5.4 No Universal Convergence to Zero；
C5.5 No Universal Limit；
T5.3 Geometric Recursive Bound under uniform contraction；
T5.4 Logarithmic Functional Horizon；
T5.5 Linear Horizon under additive loss；
T5.6 Divergent Cost Implies Finite Budget Horizon。

62. 本文主要 No-Go

N5.1 Individual positive floors do not imply a class-wide positive floor；
N5.2 Recursion depth is not itself a contraction operator；
N5.3 Data Processing cannot be applied unchanged to open recursion with new evidence；
N5.4 Observable horizon is not an intrinsic constant of $X$ ；
N5.5 Finite budget alone does not imply finite algebraic recursion if cumulative costs are summable；
N5.6 Meta-amplification factor $>1$ does not by itself identify intrinsic amplification；
N5.7 Per-level decay does not imply finite total recursive mass；
N5.8 Individual contraction constants do not yield a uniform class decay unless they are uniformly bounded away from 1。

63. 對 Paper 01 猜想的第二次回答

Paper 01 問：

\boxed{ \text{知道之知道的上下界是否存在？} }

本文回答：

在固定 bounded quantification contract 下，observed-domain lower/upper envelopes 可以被嚴格定義，且在 nested corpus、fixed protocol 下具有時間方向的 monotone limits。

但：

\boxed{ \text{這不等於存在 recursion-depth universal law}. }

64. 對 Paper 04 Dual-Gap 的接續

Paper 04 得到：

\gamma^{rank}=1

與：

\gamma^{fun}=0

可同時成立。

本文現在補上：

\boxed{ \gamma_{n,B}(t) }

在 observational corpus 中如何演化，

以及：

\boxed{ \beta_{n,B}^{\ast} }

如何定義。

因此：

\boxed{ \text{algebraic gap} }

與：

\boxed{ \text{observed positive gap} }

再次被分離。

65. 下一篇正式交接

下一篇文件 ID：

\boxed{ \text{EML-RKD-06 — Strong Infinite Recursive Knowers} }

將在本文 bound skeleton 上加入：

\boxed{ \Delta_{n+1} \le \alpha_n\Delta_n + \eta_{n+1} }

其中：

$\alpha_n$ ：internal retention / contraction / amplification；
$\eta_{n+1}$ ：new epistemic injection。

並研究：

Strong Infinite Recursive Knower；
anchored strong recursion；
closed vs open recursion；
persistent information contraction；
resource no-free-lunch；
observation margin；
individual vs uniform class strongness。

66. 結論

本文最重要的結果是：

\boxed{ \text{recursive depth alone imposes no universal profile law}. }

因為對任意：

(a_n)\subseteq[0,1],

都有 exact-coherent algebraic realization：

\boxed{ \nu_n=a_n. }

所以沒有額外條件時，以下全部不能當成普遍定律：

\boxed{ \Delta_{n+1}\le\Delta_n, }

\boxed{ \Delta_{n+1}\ge\Delta_n, }

\boxed{ \Delta_n\to0, }

\boxed{ H_X<\infty. }

真正的 bound 必須來自額外結構。

若加入 uniform contraction：

\Delta_{n+1}\le\lambda\Delta_n,

得到：

\Delta_n\le\lambda^n\Delta_0.

若加入 additive loss：

\Delta_{n+1}\le\Delta_n-\delta,

得到 linear horizon。

若加入 resource cost：

c_n,

真正分界是：

\boxed{ \sum_n c_n = \infty \quad\text{or}\quad <\infty. }

因此本文把遞歸知差界理論整理成三層：

\boxed{ \text{algebraic bounds} }

\boxed{ \text{protocol-fixed observational bounds} }

\boxed{ \text{architecture-dependent conditional bounds}. }

這個三層分離阻止我們把某一種人類實驗中的衰減、某一種 AI 架構中的放大、或某一個 finite corpus 中的 positive gap，直接升格成所有認知存在的普遍定律。

下一篇才開始處理真正最強的問題：

\boxed{ \exists X: \quad \liminf_{n\to\infty} \Delta_{X,n}>0 \ ? }

以及什麼條件允許或禁止這種存在。

References

Recht, S., Jovanovic, L., Mamassian, P., & Balsdon, T. (2022). Confidence at the limits of human nested cognition. Neuroscience of Consciousness, 2022(1), niac014. DOI: 10.1093/nc/niac014.
Polyanskiy, Y., & Wu, Y. (2015). Strong data-processing inequalities for channels and Bayesian networks. arXiv:1508.06025.
Raginsky, M. (2014). Strong data processing inequalities and Phi-Sobolev inequalities for discrete channels. arXiv:1411.3575.
De Sabbata, C. N., Sumers, T. R., & Griffiths, T. L. (2024). Rational Metareasoning for Large Language Models. arXiv:2410.05563.
Cox, M. T., Mohammad, Z., Kondrakunta, S., Gogineni, V. R., Dannenhauer, D., & Larue, O. (2022). Computational Metacognition. arXiv:2201.12885.

Version note

v0.1 deliberately separates universal algebraic possibility from conditional decay models. Any later empirical finding of attenuation, amplification, ceilings, or horizons should be registered as a property of a declared observation/architecture class, not silently promoted into a carrier-independent law of recursive knowing.

遞歸知差界理論：觀察包絡、正差隙、上限、視界與任意遞歸譜 No-Go

遞歸知差界理論：觀察包絡、正差隙、上限、視界與任意遞歸譜 No-Go

摘要

Abstract

1. 問題轉換：從「量多少」到「能界多少」

2. Bound 不應脫離 contract

3. Observed Value Set

4. Hard Lower / Upper Envelope

5. Theorem T5.1 — Fixed-Protocol Envelope Monotonicity

6. Corollary C5.1 — Envelope Limits

7. 這不是 depth monotonicity

8. Positive Recursive Gap

9. Finite-Sample Gap Trap

10. Resolution-Tracked Gap

11. Gap Trichotomy

G0 — No reliable positive evidence

G1 — Gapless candidate

G2 — Positive-gap candidate

12. Recursive Ceiling

13. Individual Floor

14. Class Floor

15. No-Go N5.1 — Individual positivity 不推出 class gap

16. 任意遞歸譜的代數構造

17. Exact Coherence of the Construction

18. Theorem T5.2 — Arbitrary Recursive Profile Realizability

19. Corollary C5.2 — No Universal Decay

20. Corollary C5.3 — No Universal Amplification

21. Corollary C5.4 — No Universal Convergence to Zero

22. Corollary C5.5 — No Universal Limit

23. 可合法出現的 profile regime

Decay

Persistent

Amplifying

Periodic

Sparse

Oscillatory / irregular

24. No-Go N5.2 — Depth is not a contraction operator

25. Conditional Contraction Assumption

26. Theorem T5.3 — Geometric Recursive Bound

27. Functional Horizon

28. Theorem T5.4 — Logarithmic Horizon under Contraction

29. Additive Loss Assumption

30. Theorem T5.5 — Linear Horizon under Additive Loss

31. Contraction 需要物理／資訊來源

32. Data Processing 作為條件性前例

33. No-Go N5.3 — DPI 不能無條件套在 open recursion

34. Structural Horizon

35. Observable Horizon

36. No-Go N5.4 — Observable horizon 不是 intrinsic constant

37. Resource Cost per Recursive Level

38. Cumulative Recursive Cost

39. Theorem T5.6 — Divergent Cost Implies Finite Budget Horizon

40. No-Go N5.5 — Finite budget alone 不推出 finite algebraic recursion

41. Uniform Positive Cost Bound

42. Geometric Cost Growth

43. Metareasoning 的資源前例

44. Meta-Amplification Factor

45. No-Go N5.6 — Meta-amplification 不代表 violation

46. Recursive Mass

47. No-Go N5.7 — Per-level decay 不推出 finite total mass

48. Power-Law Classification

α>1\alpha>1α>1

0<α≤10<\alpha\le10<α≤1

49. Recursive Efficiency

50. Cumulative Efficiency

51. Bound Bundle

52. Bound Type I — Unconditional Algebraic Bounds

53. Bound Type II — Protocol-Fixed Observational Bounds

54. Bound Type III — Architecture-Dependent Depth Bounds

55. Population Upper Envelope under Uniform Contraction

56. No-Go N5.8 — 沒有 uniform coefficient 就不能推出 class decay

57. Observation-Depth Matrix

58. Recursive Spectrum

59. Human Evidence 的位置

60. AI / Tool-Using System 的位置

61. 本文主要定理

62. 本文主要 No-Go

63. 對 Paper 01 猜想的第二次回答

64. 對 Paper 04 Dual-Gap 的接續

65. 下一篇正式交接

$\alpha>1$

$0<\alpha\le1$