title: "動態判定域與開放系統概率：時間變動空間、邊界流與概率質量分離" english_title: "Dynamic Judgment Domains and Open-System Probability: Time-Varying Spaces, Boundary Flow, and the Separation of Probability from Mass" series: "判定域概率論與超概率研究" series_id: "JDPSP" paper_id: "JDPSP-07" author: "Neo.K" organization: "EveMissLab" version: "0.1.0" status: "研究初稿 / dynamic probability framework proposal" date: "2026-08-14" language: "zh-TW"

動態判定域與開放系統概率

時間變動空間、邊界流與概率質量分離

作者： Neo.K
機構： EveMissLab
系列： 判定域概率論與超概率研究，Paper 07
版本： v0.1.0
日期： 2026-08-14

摘要

本篇將前六篇建立的判定域、多尺度概率幾何、遞歸概率階與零測度點結構加入時間維度，並重新檢查作者早期《綜合概率論：開放系統中的超因果測度理論》與《綜合測度論：關係的量化與動態積分》中的開放系統主張。

舊框架中最需要修正的一點，是把 Kolmogorov 歸一化

P(\Omega)=1

直接解讀成「封閉系統假設」，並進一步允許 $P>1$ 或 $P<0$ 來表達外部注入與概率擦除。本文撤回這種作為標準 probability measure 的表述。開放性不要求真正概率超過 $1$ 或變成負數。當 probability mass 從一個被截取的子系統流出時，可以使用 subprobability measure、partial kernel、absorbing / cemetery completion 或 open Markov process；當系統存在人口、能量、權重、強度或 source–sink 流而總量可超過 $1$ 時，應使用非負 finite measure $\mu_t$ 或 intensity，而不是把它仍稱為 probability $P_t$ 。若需要負值，則數學對象應明確改稱 signed measure、quasiprobability 或其他非概率權重。

本文因此把動態開放系統拆成兩個層次。第一層為真正概率：

P_t\in\mathsf P(X_t), \qquad P_t(X_t)=1.

第二層為可變總質量：

\mu_t\in\mathcal M_+(X_t), \qquad M_t=\mu_t(X_t)\in[0,\infty).

若 $M_t>0$ ，則唯一分解為：

\boxed{ \mu_t=M_tP_t, \qquad P_t=\frac{\mu_t}{M_t}. }

因此「系統總量變動」與「條件於系統內仍存在時的概率分布形狀」可以被嚴格分離。

本文定義動態判定域：

\boxed{ \mathfrak D_t = (X_t,\Sigma_t;r_t,s_t,c_t), }

以及跨時間 stochastic transport：

K_{s,t}: X_s \rightsquigarrow X_t.

當：

K_{s,t}(x,X_t)=1

時為 probability-preserving kernel；當：

K_{s,t}(x,X_t)\le1

時可視為 sub-Markov transport。若兩參數 kernels 滿足：

K_{s,u} = K_{t,u}\circ K_{s,t}, \qquad s\le t\le u,

則形成 time-inhomogeneous evolution family。本文不宣稱時間非齊次 Markov process、moving-domain stochastic process 或 measure-valued process 為新概念；既有研究已處理固定與變動 state spaces、moving domains、open Markov boundary flows、McKean–Vlasov measure flows 與 partial Markov categories。

本文新增的層次，是把這些動態概率工具與判定索引綁定，形成 dynamic transport witness：

\boxed{ \mathcal W^{\mathrm{dyn}}_{s,t} = ( \tau_{s,t}, K_{s,t}, \Gamma_{s,t}, \mathcal B_{s,t}, \mathcal S_{s,t} ), }

其中 $\tau_{s,t}$ 記錄 reference / scale / context 的時間轉譯， $\Gamma_{s,t}$ 記錄 regularity 與 model assumptions， $\mathcal B_{s,t}$ 記錄 boundary / escape structure， $\mathcal S_{s,t}$ 記錄 source–sink data。

本文證明三個基本結果。第一，任何非零 finite measure 都唯一分解成 total mass 與 normalized probability。第二，任何 subprobability measure 都可以藉由新增一個 cemetery state 唯一補成 probability measure。第三，若 $\mu_t$ 滿足 weak source–sink evolution，則 normalized law $P_t=\mu_t/M_t$ 的演化方程會額外出現一個 normalization drift，精確區分 distributional evolution 與 total-mass evolution。

最後，本文把前三條軸合併：

\boxed{ \mathfrak P_{s,t}^{(r)}. }

其中 $s$ 是尺度， $t$ 是時間， $r$ 是 probability order。這完成本系列第一次真正的三軸結構：

\boxed{ \text{Scale} \times \text{Time} \times \text{Probability Order}. }

關鍵詞： 動態判定域、開放系統概率、time-inhomogeneous Markov process、subprobability、finite measure、boundary flow、source–sink、cemetery state、measure-valued process、動態測度、概率質量、判定域

1. 舊框架的第一個修正：歸一化不等於封閉宇宙

早期《綜合概率論》曾把：

P(\Omega)=1

直接解讀為：

系統沒有概率流入／流出，因此是封閉系統。

這個推論過強。

標準概率歸一化真正表示的是：

\boxed{ \text{在目前被宣告為完整 outcome space 的 }\Omega\text{ 上，總概率為 }1. }

它不自動表示：

物理系統與環境沒有交互作用；
state distribution 不隨時間變化；
probability current 必為零；
系統沒有 memory；
沒有 boundary flow；
沒有外部驅動。

Open Markov processes 已可在標準概率語言中處理 boundary states 與非零 probability currents。

Open quantum systems 亦可使用 completely positive trace-preserving dynamical maps，使 reduced state 的 trace 保持：

\operatorname{Tr}\rho_t=1.

因此：

\boxed{ \text{openness} \neq \text{failure of probability normalization}. }

2. 第二個修正： $P>1$ 不是 open-system probability

如果：

P

是真正 probability measure，則必有：

0\le P(A)\le1

對所有 measurable event $A$ 成立。

若某個 quantity 可以：

>1,

它可以是：

population；
mass；
intensity；
energy；
unnormalized weight；
expected count；
likelihood density value；
Radon–Nikodym density；
signed / complex amplitude 的模或分量；

但不能在不改變定義的情況下仍稱為 event probability。

因此本文將早期：

P>1

的「概率溢出」重新分類為：

\boxed{ \text{unnormalized mass / intensity overflow}. }

若要保留符號，應改寫為：

\mu(A)>1

而不是：

P(A)>1.

3. 第三個修正：負值應改稱 signed / quasi quantity

標準 probability measure 要求：

P(A)\ge0.

因此早期：

P(A)<0

的「概率擦除」不能作為 ordinary probability。

如果研究確實需要負值，可以使用：

\nu: \Sigma \rightarrow \mathbb R

的 signed measure，或在量子相空間中使用 quasiprobability。

此時必須明確標記：

\boxed{ \text{negative weight} \neq \text{negative event probability}. }

因此本系列數學核心不再使用「負概率代表事件存在性債務」作為 probability axiom。

若這種語義仍有理論價值，只能留在 interpretation / application 層，而不能混入標準概率公理。

4. 舊框架中可以保留的核心

早期《綜合概率論》與《綜合測度論》中真正值得保留的是：

\boxed{ \Omega=\Omega(t), \qquad \mathcal F=\mathcal F(t), \qquad \mu=\mu_t, }

以及：

\boxed{ \partial_t\mu_t = \text{flow} + \text{source} - \text{sink}. }

這些思想與現代：

time-inhomogeneous stochastic processes；
stochastic PDEs on moving domains；
measure-valued processes；
Fokker–Planck / Kolmogorov evolution；
open Markov processes；
partial stochastic maps；

存在直接接口。

所以 Paper 07 不再把舊理論建立在「概率公理破缺」上，而改建成：

\boxed{ \text{dynamic domain} + \text{dynamic measure} + \text{boundary/source transport}. }

5. 既有理論邊界

5.1 Time-Inhomogeneous Markov Evolution

傳統 time-homogeneous Markov semigroup 常寫為：

K_{t+s} = K_tK_s.

時間非齊次情況則自然使用兩參數 transition family：

K_{s,t}.

其 composition law 為：

\boxed{ K_{s,u} = K_{t,u}\circ K_{s,t}. }

因此：

\boxed{ \text{transition law itself can depend on absolute time}. }

這不是本文新概念。

5.2 Time-Varying State Spaces

moving-domain stochastic PDE 已明確研究：

X_t

隨時間變動的 state spaces。

例如 moving spatial domain：

I_t=(0,a_t)

使 solution space：

L^2(I_t)

本身依賴時間。

因此：

\boxed{ X_t\neq X_s }

的 stochastic evolution 已有既有數學前例。

5.3 Measure-Valued Processes

McKean–Vlasov、filtering、Feynman–Kac flows 與其他 nonlinear stochastic systems 中，probability distribution 本身可以成為動態 state：

t\mapsto P_t.

甚至 conditional law：

P_t

本身可以是一個 measure-valued stochastic process。

所以：

\boxed{ \text{probability distribution evolves as a state} }

本身也不是新命題。

5.4 Open Markov Processes

Open Markov processes 允許 probability current 經由指定 boundary states 流入流出。

因此本文的 boundary-flow language 必須與既有 open-system Markov theory 對話。

5.5 Partial Markov Categories

Partial Markov categories 與 partializations 已處理 partial stochastic morphisms、normalisation、observations 與 partial kernels。

因此本文不重新發明 subprobability / partial stochastic semantics。

6. Dynamic Judgment Domain

Paper 02 定義靜態判定域：

\mathfrak D = (X,\Sigma;r,s,c).

現在加入時間：

定義 6.1

\boxed{ \mathfrak D_t = (X_t,\Sigma_t;r_t,s_t,c_t). }

其中：

$X_t$ ：時間 $t$ 的 carrier；
$\Sigma_t$ ：當時可測事件結構；
$r_t$ ：reference scope；
$s_t$ ：scale；
$c_t$ ：observation / model context。

因此 domain evolution 可能發生在不同層：

X_t, \qquad \Sigma_t, \qquad r_t, \qquad s_t, \qquad c_t.

7. Dynamic Probability State

在 $\mathfrak D_t$ 上有兩種需要嚴格區分的 measure objects。

7.1 Normalized Probability Mode

\boxed{ P_t\in\mathsf P(X_t), \qquad P_t(X_t)=1. }

這是 ordinary probability law。

7.2 Open Mass Mode

\boxed{ \mu_t\in\mathcal M_+(X_t), }

其中：

M_t = \mu_t(X_t)

不要求等於 $1$ 。

$\mu_t$ 可以表示：

population mass；
particle mass；
intensity；
probability mass before conditioning on survival；
unnormalized filtering density；
open-system occupancy weight。

因此：

\boxed{ \mu_t \neq P_t }

除非：

M_t=1.

8. 定理一：Mass–Probability 唯一分解

命題 8.1

令：

\mu

為非零 finite nonnegative measure。

定義：

M=\mu(X)>0.

則：

\boxed{ P=\frac{\mu}{M} }

是 probability measure，且：

\boxed{ \mu=MP. }

此分解唯一。

證明

有：

P(X) = \frac{\mu(X)}{M} = 1.

所以 $P$ 是 probability measure。

若：

\mu=M_1P_1=M_2P_2

且 $P_1,P_2$ 均為 probability，取全空間：

M_1 = \mu(X) = M_2.

因此：

P_1=P_2=\frac{\mu}{\mu(X)}.

\boxed{\square}

9. 這個分解修正了早期「概率溢出」

假設 open system 中：

\mu_t(X_t)=3.7.

正確解讀不是：

\boxed{ P_t(X_t)=3.7. }

而是：

\boxed{ M_t=3.7 }

以及：

\boxed{ P_t = \frac{\mu_t}{3.7}. }

前者是 total mass / intensity。

後者才是 conditional probability shape。

所以：

\boxed{ \text{mass dynamics} \neq \text{probability normalization failure}. }

10. Subprobability 與 Escape

若：

\widetilde P

滿足：

0\le \widetilde P(X) \le1,

稱為 subprobability measure。

它自然描述：

只記錄「仍留在目前 domain 內」的 probability mass，而把已離開者省略。

例如：

\widetilde P_t(X)=0.83

可以表示：

17\%

的 probability mass 已逃離 current domain。

11. 定理二：Cemetery Completion

命題 11.1

令：

\widetilde P

為 $X$ 上的 subprobability measure。

加入一個新點：

\partial\notin X.

令：

\bar X = X\cup\{\partial\}.

定義：

\boxed{ \bar P(A) = \widetilde P(A\cap X) + \left( 1-\widetilde P(X) \right) \mathbf 1_{\{\partial\in A\}}. }

則 $\bar P$ 是 $\bar X$ 上的 probability measure。

而且在固定 cemetery point $\partial$ 與原 $X$ restriction 的條件下，此 completion 唯一。

證明

有：

\bar P(\bar X) = \widetilde P(X) + 1-\widetilde P(X) = 1.

可列可加性由 $\widetilde P$ 與單點 measure 得到。

若另一 probability $\bar Q$ 在 $X$ 上 restriction 等於 $\widetilde P$ ，則：

\bar Q(\{\partial\}) = 1-\bar Q(X) = 1-\widetilde P(X).

故：

\bar Q=\bar P.

\boxed{\square}

12. Escape Probability 不需要破壞歸一化

由 Cemetery Completion：

\widetilde P_t(X_t)<1

可以等價改寫成：

\bar P_t(\bar X_t)=1

並令：

\bar P_t(\partial) = 1-\widetilde P_t(X_t).

因此：

\boxed{ \text{probability leakage} }

可以理解成：

\boxed{ \text{probability transfer to an outside / cemetery state}. }

而不是：

\boxed{ \text{Kolmogorov normalization breaking}. }

13. Dynamic Kernel Between Different State Spaces

令：

s<t.

定義：

\boxed{ K_{s,t}: X_s \rightsquigarrow X_t. }

對每個：

x\in X_s,

K_{s,t}(x,\cdot)

是 $X_t$ 上的 probability 或 subprobability measure。

若：

K_{s,t}(x,X_t)=1

對所有 $x$ 成立，稱為 total stochastic transport。

若：

K_{s,t}(x,X_t)\le1,

則是 sub-Markov transport。

14. Time-Inhomogeneous Composition

若：

s\le t\le u,

則要求：

\boxed{ K_{s,u}(x,A) = \int_{X_t} K_{t,u}(y,A) K_{s,t}(x,dy). }

記為：

\boxed{ K_{s,u} = K_{t,u}\circ K_{s,t}. }

若：

P_s

為初始 law，則：

\boxed{ P_t = P_sK_{s,t}. }

這是跨時間 probability transport 的標準形態。

15. 變動 Carrier 的真正困難

若：

X_s=X_t=X,

只有 kernel 改變，主要是 time-inhomogeneous dynamics。

若：

X_s\neq X_t,

還需要回答：

哪些 old states 在 $t$ 仍有對應？
哪些 states birth？
哪些 states disappear？
事件 $A_s\in\Sigma_s$ 在 $\Sigma_t$ 中如何翻譯？
reference scope 是否改變？
scale 是否改變？

所以：

\boxed{ \text{dynamic state space} }

比：

\boxed{ \text{dynamic probability on a fixed space} }

多了一層 domain translation。

16. Event Translation

為了比較同一「語義事件」跨時間的 probability，需要：

\boxed{ \alpha_{s,t}: \Sigma_s \rightsquigarrow \Sigma_t. }

$\alpha_{s,t}$ 可以是：

measurable image；
pullback / pushforward relation；
semantic matcher；
refinement map；
event correspondence；
stochastic event translation。

因此跨時間 probability difference 不應裸寫：

P_t(A)-P_s(A)

若 $A$ 在兩個時間其實不是同一 event object。

更精確為：

\boxed{ \Delta_{s,t}^{\alpha}(A) = P_t( \alpha_{s,t}(A) ) - P_s(A). }

17. Dynamic Transport Witness

本文定義：

\boxed{ \mathcal W^{\mathrm{dyn}}_{s,t} = ( \tau_{s,t}, K_{s,t}, \Gamma_{s,t}, \mathcal B_{s,t}, \mathcal S_{s,t} ). }

其中：

$\tau_{s,t}$ ：judgment-index translation；
$K_{s,t}$ ：state / probability transport；
$\Gamma_{s,t}$ ：regularity、Markov、causal、model assumptions；
$\mathcal B_{s,t}$ ：boundary、escape、entry structure；
$\mathcal S_{s,t}$ ：source / sink description。

因此：

(\mathfrak D_s,\mu_s) \xRightarrow{ \mathcal W^{\mathrm{dyn}}_{s,t} } (\mathfrak D_t,\mu_t).

18. Weak Measure Evolution with Source–Sink

在 fixed carrier 或已選定共同 comparison carrier 時，可考慮：

\boxed{ \frac{d}{dt} \langle f,\mu_t\rangle = \langle L_tf,\mu_t\rangle + \langle f,\sigma_t\rangle, }

其中：

\langle f,\mu\rangle = \int f\,d\mu.

$L_t$ 是 transport / generator。

$\sigma_t$ 是 source–sink signed finite measure。

注意：

\boxed{ \sigma_t \text{ 可以 signed} }

不代表：

\boxed{ \mu_t \text{ 或 }P_t \text{ 必須 signed}. }

source 可以增加 mass，sink 可以減少 mass，而 state measure 本身仍保持非負。

19. Total Mass Equation

取：

f\equiv1.

若 generator 保持常數：

L_t1=0,

則：

\boxed{ \frac{dM_t}{dt} = \sigma_t(X), }

其中：

M_t=\mu_t(X).

所以：

\boxed{ \text{total mass change} = \text{net source/sink}. }

這正是早期「動態守恆」更精確的 measure-theoretic 版本。

20. 定理三：Normalized Law 的動力學

假設：

M_t>0,

且：

P_t=\frac{\mu_t}{M_t}.

由：

\mu_t=M_tP_t,

對 test function $f$ ：

\langle f,\mu_t\rangle = M_t\langle f,P_t\rangle.

微分：

\frac{d}{dt} \langle f,\mu_t\rangle = \dot M_t \langle f,P_t\rangle + M_t \frac{d}{dt} \langle f,P_t\rangle.

代入 weak evolution：

\frac{d}{dt} \langle f,\mu_t\rangle = M_t \langle L_tf,P_t\rangle + \langle f,\sigma_t\rangle.

所以：

\boxed{ \frac{d}{dt} \langle f,P_t\rangle = \langle L_tf,P_t\rangle + \frac{ \langle f,\sigma_t\rangle }{ M_t } - \frac{ \dot M_t }{ M_t } \langle f,P_t\rangle. }

若：

L_t1=0,

則：

\dot M_t=\sigma_t(X).

故：

\boxed{ \frac{d}{dt} \langle f,P_t\rangle = \langle L_tf,P_t\rangle + \frac{ \langle f,\sigma_t\rangle - \sigma_t(X)\langle f,P_t\rangle }{ M_t }. }

\boxed{\square}

21. 這條式子區分兩種變化

前式將 open-system dynamics 分成：

第一部分：

\langle L_tf,P_t\rangle

代表 domain 內部 probability shape 的 stochastic dynamics。

第二部分：

\frac{ \langle f,\sigma_t\rangle - \sigma_t(X)\langle f,P_t\rangle }{ M_t }

代表 source / sink 對 normalized law 的重塑。

所以：

\boxed{ \text{distribution change} }

與：

\boxed{ \text{total mass change} }

終於被數學上分開。

22. 封閉、開放與截斷其實是三種不同概念

22.1 Closed Modeling Domain

研究已經把所有 relevant outcomes 放入：

X_t.

則：

P_t(X_t)=1.

22.2 Open Physical System

系統和 environment 交互作用，但仍可對 subsystem states 定義：

P_t(X_t)=1.

開放性表現在：

transition kernel；
memory；
driving；
boundary currents；
non-equilibrium dynamics；

而非必然表現在 normalization failure。

22.3 Truncated Observation Domain

研究只追蹤部分 states。

此時：

\widetilde P_t(X_t)\le1

可以是 subprobability。

所以：

\boxed{ \text{open} \neq \text{subnormalized} }

但 open modeling 經常可以自然產生 subnormalized representation。

23. Whole-System Embedding

設：

X_S

是 subsystem，

X_E

是 environment。

可在 joint space：

X_S\times X_E

上有 normalized：

P_{SE,t}.

subsystem marginal：

P_{S,t} = (\pi_S)_\#P_{SE,t}

仍滿足：

P_{S,t}(X_S)=1.

所以 environment interaction 不會自動使 subsystem marginal 不歸一。

真正變化的是：

P_{S,t}

的 time evolution，且可能失去 Markov property。

24. Dynamic Domain Change 的五種等級

本文將 domain dynamics 暫分為：

D0：Measure-Only Dynamics

X_t=X, \qquad \Sigma_t=\Sigma,

只變：

P_t.

D1：Kernel Dynamics

carrier 固定，但：

K_{s,t}

依賴時間。

D2：Context Dynamics

c_t

改變，如 prompt、memory、intervention、protocol。

D3：Event-Algebra Dynamics

\Sigma_t

本身改變。

D4：Carrier Dynamics

X_t

本身 birth / death / deformation。

D5：Reference / Scale Dynamics

r_t

或：

s_t

發生變化。

這些層可以同時出現。

25. Dynamic Domain Equivalence

兩個時間：

s,t

可能形式上 carrier 不同，但只是 coordinate deformation。

若存在 measurable isomorphism：

\phi_{s,t}: X_s \cong X_t

且 judgment index translation 保持語義，則 domain change 可以視為 representation change。

所以：

\boxed{ X_s\neq X_t }

不自動代表本體上有 state birth / death。

必須區分：

\boxed{ \text{true domain change} }

與：

\boxed{ \text{coordinate change}. }

26. Moving-Domain Embedding

既有 moving-domain stochastic PDE 常把：

X_t

嵌入共同較大 space：

\widehat X.

本文把這理解為 comparison chart：

\iota_t: X_t \hookrightarrow \widehat X.

於是：

(\iota_t)_\#P_t

可以在共同 carrier 中比較。

這直接接 Paper 04 的 scale chart / comparison witness。

27. Dynamic Globality

Paper 04 定義 study-global domain。

現在它也可以隨時間變動：

\boxed{ \mathfrak D_{G,t}. }

可能發生：

\mathfrak D_{G,t} \not\simeq \mathfrak D_{G,t+1}.

因此「全域概率」本身也有時間索引：

P_{G,t}.

如果研究 universe 擴張：

r_t \subsetneq r_{t+1},

則昨天的 global：

P_{G,t}

不應被語言上自動當成今天的 global：

P_{G,t+1}.

28. Time × Scale × Probability Order

Paper 04 提供：

s.

Paper 05 提供：

r.

本文加入：

t.

所以完整 index 變成：

\boxed{ (s,t,r). }

記：

\boxed{ \mathfrak P_{s,t}^{(r)} \in \mathsf P^r(X_{s,t}). }

其中：

$s$ ：scale；
$t$ ：time；
$r$ ：probability order。

29. 三種獨立 transport

現在有：

Scale Transport

T_{s\rightarrow s'}^{(t,r)}.

Time Transport

U_{t\rightarrow t'}^{(s,r)}.

Order Transport

\eta, \qquad \mu.

因此整體不再是一張二维 grid，而是：

\boxed{ \text{scale–time–order lattice}. }

30. Time–Scale Coherence Defect

從：

\mathfrak P_{s,t}^{(r)}

到：

\mathfrak P_{s',t'}^{(r)}

有兩條 route。

第一：

\text{time} \rightarrow \text{scale}.

第二：

\text{scale} \rightarrow \text{time}.

定義：

\boxed{ \Delta_{\mathrm{TS}} = D \left( T_{s\rightarrow s'}^{(t',r)} U_{t\rightarrow t'}^{(s,r)}P, U_{t\rightarrow t'}^{(s',r)} T_{s\rightarrow s'}^{(t,r)}P \right). }

如果：

\Delta_{\mathrm{TS}}>0,

表示：

\boxed{ \text{when aggregation occurs changes the resulting probability}. }

這是多尺度動態系統中可實驗的 path-dependence。

31. Time–Order Coherence Defect

同理可以比較：

\text{flatten then evolve}

與：

\text{evolve then flatten}.

定義：

\boxed{ \Delta_{\mathrm{TO}} = D \left( U^{(r+1)}\mu H, \mu U^{(r+2)}H \right). }

標準自然 transport 可能 commute。

但 model-dependent、nonlinear、conditional 或 learned transport 不一定 commute。

這延續 Paper 05 的 scale-order coherence。

32. Dynamic Recursive Probability Field

到此可定義：

\boxed{ \mathfrak R = ( \mathbf S, \mathbf T, \mathbf R, \{\mathfrak D_{s,t}\}, \{ \mathsf P^r(X_{s,t}) \}, \mathbf U, \mathbf T_S, \boldsymbol\eta, \boldsymbol\mu, \boldsymbol\Delta ). }

其中：

$\mathbf S$ ：scale base；
$\mathbf T$ ：time index；
$\mathbf R$ ：probability-order index；
$\mathbf U$ ：time transports；
$\mathbf T_S$ ：scale transports；
$\boldsymbol\eta,\boldsymbol\mu$ ：order transports；
$\boldsymbol\Delta$ ：各種 coherence / path defects。

這是目前系列的三軸總結構。

33. AI 作為 Dynamic Judgment-Domain System

AI deployment 特別適合此框架，因為：

c_t

可以隨時間改變：

model snapshot；
system prompt；
memory；
retrieved context；
tools；
policy；
temperature；
user state。

因此即使 model name 不變：

\boxed{ \mathfrak D_t \neq \mathfrak D_{t+1} }

仍可能成立。

所以「同一 AI 的概率分布」不能只用 model ID 做 domain typing。

34. AI Dynamic Probability Example

對固定 task，可寫：

P_t( \mathrm{strategy} \mid M_t, c_t ).

若 memory 更新：

c_t \rightarrow c_{t+1},

則：

P_t \rightarrow P_{t+1}.

但如果 strategy labels 本身也被重新分類：

\Sigma_t \neq \Sigma_{t+1},

就需要 event translation：

\alpha_{t,t+1}.

因此真正 longitudinal AI probability study 需要同時保存：

\boxed{ \text{model state} + \text{domain state} + \text{event ontology} + \text{probability law}. }

35. Legacy Migration：舊《綜合概率論》如何重新分類？

本文對舊框架作如下 migration。

保留

\Omega(t), \qquad \mathcal F(t), \qquad P(t),

作為 dynamic-domain intuition。

保留 source / sink、probability flow、time evolution。

保留 open-system boundary interaction。

改名

P>1

改為：

\mu>1

的 mass / intensity。

P<0

改為 signed / quasi weight，不能稱 ordinary probability。

撤回

P(\Omega)=1 \Rightarrow \text{physical closure}

作為一般定理。

移出數學核心

「高維干涉」「概率擦除」「暗能量概率溢出」等未被形式化或實證的物理解釋，改列 conjectural application，而不作為 JDPSP 基礎公理。

36. Legacy Migration：舊《綜合測度論》如何重新分類？

舊《綜合測度論》中的：

\partial_t\mu

與 dynamic measure intuition 可以保留。

關係網絡上的 measure 若需要複值，則應明確使用 complex measure，而不是 ordinary probability measure。

source / sink equation 可以轉寫成本文：

\frac{d}{dt} \langle f,\mu_t\rangle = \langle L_tf,\mu_t\rangle + \langle f,\sigma_t\rangle.

原先「傳統測度無法描述關係」的說法也需要收斂。

Graph measures、random measures、point processes、network probability、path-space measures 等既有數學早已能對關係結構建立 measure。

所以更精確的研究問題是：

\boxed{ \text{如何讓 relation ontology 成為判定域的一部分，而非聲稱既有 measure theory 無法處理關係}. }

37. Open-System Conservation 的新表述

舊版本試圖用：

\sum_iP_i=C(\Lambda)

取代：

\sum_iP_i=1.

本文改寫為：

\boxed{ M_t=\mu_t(X_t) }

允許：

M_t\neq1.

而 normalized law：

P_t=\frac{\mu_t}{M_t}

仍滿足：

\boxed{ P_t(X_t)=1. }

所以真正可變的是：

\boxed{ \text{mass normalization factor }M_t, }

而不是 probability axioms。

38. 動態守恆也可以分成兩層

Mass Balance

\boxed{ \dot M_t = \text{inflow} - \text{outflow}. }

Probability Shape

\boxed{ \dot P_t = \text{internal stochastic dynamics} + \text{normalized source/sink reshaping}. }

這兩層一起才構成真正 open-system probability dynamics。

39. Dynamic Probability Ledger

每個時間點至少可以保存：

time:
domain_id:

carrier:
event_structure:
reference_scope:
scale:
context:

measure_mode:
  normalized_probability
  subprobability
  finite_mass
  signed_measure
  quasiprobability

total_mass:
normalized_probability:

source:
sink:
boundary:

incoming_transport:
outgoing_transport:

event_translation:
domain_change_type:

proof_or_model_assumptions:

這比只保存：

P(t)

更能重現 open-system probability history。

40. Dynamic Legality Levels

本文提出：

T0：Unindexed

只有 $P_t$ ，domain 不可恢復。

T1：Time-Indexed

已知 $t$ ，但 domain change 未標記。

T2：Domain-Indexed

具有：

\mathfrak D_t.

T3：Transport-Resolved

跨時間具有：

K_{s,t}

與 judgment translation。

T4：Open-Balance Resolved

source、sink、boundary、mass/probability mode 已分離。

T5：Coherence Resolved

time–scale–order path defects 已可檢查。

這不是 probability confidence，而是動態模型的可審計程度。

41. 新穎性邊界

本文不宣稱首次提出：

time-inhomogeneous Markov processes；
stochastic kernels；
moving-domain stochastic PDE；
Fokker–Planck equations；
measure-valued processes；
McKean–Vlasov distribution flows；
open Markov processes；
subprobability measures；
partial Markov categories；
source–sink equations；
cemetery states；
open quantum systems。

本文提出或重新整合的核心是：

dynamic judgment domain $\mathfrak D_t$ ；
normalized probability / open mass 的雙層表示；
early “probability overflow” 到 finite-mass representation 的修正；
event translation 作為跨時間概率比較的必要 witness；
dynamic transport witness $\mathcal W^{\mathrm{dyn}}_{s,t}$ ；
study-global domain 的時間化；
scale × time × probability-order 三軸結構；
time–scale / time–order coherence defects；
舊綜合概率論與綜合測度論的正式 migration。

42. 待證問題

42.1 Dynamic Domain Category

何種最小公理可以使：

\{ \mathfrak D_t \}

與：

K_{s,t}

形成真正 category / fibration？

42.2 Event-Algebra Evolution

若：

\Sigma_s\neq\Sigma_t,

最自然的 event translation 應使用 Boolean algebra morphism、Markov kernel、relation 還是 sheaf morphism？

42.3 Dynamic Globality

何時：

\mathfrak D_{G,t}

可以連續／functorially 演化？

何時 global domain 會 birth、split 或 merge？

42.4 Mass–Probability Identifiability

只觀察 normalized：

P_t

時，何種條件下可以恢復：

M_t

或 source / sink history？

一般而言顯然不唯一，因此需要額外觀測量。

42.5 Three-Axis Coherence

scale、time、probability order 三類 transports 在何種條件下 pairwise commute？

是否存在真正的 higher coherence law？

43. 通往 Paper 08：AI 多尺度概率場

Paper 07 完成：

\boxed{ \mathfrak P_{s,t}^{(r)}. }

下一篇將不再主要建立新的抽象概率底座，而轉向 AI 可實驗對象：

P_{\mathrm{token}}, \qquad P_{\mathrm{semantic}}, \qquad P_{\mathrm{strategy}}, \qquad P_{\mathrm{task}}, \qquad P_{\mathrm{success}}.

它們將被重新放入：

\boxed{ \text{domain} \times \text{scale} \times \text{time} \times \text{probability order}. }

並正式提出可重現實驗與 distributional fingerprint。

44. 結論

本文完成了舊「綜合概率論」最重要的一次修正。

首先：

\boxed{ P(\Omega)=1 }

不是物理封閉性的定理。

開放 stochastic systems 可以在完全標準的 normalized probability 下演化。

第二：

\boxed{ P>1 }

不應再稱 ordinary probability overflow。

真正可超過 $1$ 的是：

\boxed{ M_t=\mu_t(X_t), }

也就是 total mass、population、intensity 或 unnormalized weight。

第三：

\boxed{ P<0 }

若需要保留，只能轉為 signed / quasi quantity，而不能混入 probability measure。

因此 open-system dynamics 最乾淨的結構為：

\boxed{ \mu_t=M_tP_t. }

其中：

M_t

追蹤總量，

P_t

追蹤 normalized state distribution。

對 probability loss：

\widetilde P_t(X_t)<1

又可以透過 cemetery state 完成為：

\bar P_t(\bar X_t)=1.

所以 probability leakage 不需要破壞 Kolmogorov normalization。

本文同時把靜態判定域：

\mathfrak D

推進成：

\boxed{ \mathfrak D_t = (X_t,\Sigma_t;r_t,s_t,c_t). }

由：

K_{s,t}

負責 time transport，

由：

\tau_{s,t}

負責 judgment-domain translation，

由：

\mathcal B_{s,t}, \mathcal S_{s,t}

負責 boundary 與 source–sink structure。

最後，與 Paper 04、Paper 05 合併得到：

\boxed{ \mathfrak P_{s,t}^{(r)}. }

也就是：

\boxed{ \text{Scale} \times \text{Time} \times \text{Probability Order}. }

截至 Paper 07，本系列的數學骨架因此成為：

\boxed{ \text{Judgment Domain} + \text{Lifting} + \text{Geometry} + \text{Recursive Order} + \text{Base Points} + \text{Dynamic Open-System Evolution}. }

這讓舊的「概率破缺」敘事被重新收斂成一個更可證、也更接近現代概率與隨機過程的框架：

\boxed{ \text{不是概率公理破缺，} \quad \text{而是判定域、總質量與 transport 結構發生動態變化。} }

參考文獻

[1] Neo.K. (2026). 綜合概率論：開放系統中的超因果測度理論. EveMissLab, legacy draft.

[2] Neo.K. (2026). 綜合測度論：關係的量化與動態積分. EveMissLab, Draft v1.0.

[3] Pollard, B. S. (2017). Open Markov Processes and Reaction Networks. arXiv:1709.09743.

[4] Pollard, B. S. (2014). A Second Law for Open Markov Processes. arXiv:1410.6531.

[5] Baez, J. C., & Courser, K. (2017). Coarse-Graining Open Markov Processes. arXiv:1710.11343.

[6] Kendall, E. B., Williams, J. P., Hermansen, G. H., Bois, F., & Thanh, V. H. (2022). Beyond time-homogeneity for continuous-time multistate Markov models. arXiv:2211.03214.

[7] Pan, T., Wang, W., Zhai, J., & Zhang, T. (2023). Stochastic heat equations on moving domains. arXiv:2301.09897.

[8] Di Lavore, E., Román, M., & Sobociński, P. (2025). Partial Markov Categories. arXiv:2502.03477.

[9] Shah Mohammed, A. (2025). Partializations of Markov Categories. arXiv:2509.05094.

[10] Bao, J., Liu, Y., & Wang, J. (2025). Ergodicity of conditional McKean–Vlasov jump diffusions. arXiv:2509.02249.

[11] Feng, C., Qu, B., & Zhao, H. (2026). Entrance measures and dynamics for time-inhomogeneous McKean–Vlasov stochastic differential equations. arXiv:2604.19187.

[12] Vuckovic, J. (2026). Propagation of Chaos for Nonlinear Markov Chains. arXiv:2602.07537.

[13] Chruściński, D. (2022). Time inhomogeneous quantum dynamical maps. arXiv:2210.02770.

[14] Lindblad, G. (1976). On the Generators of Quantum Dynamical Semigroups. Communications in Mathematical Physics, 48, 119--130. DOI: 10.1007/BF01608499.

[15] Wigner, E. (1932). On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium. Physical Review, 40, 749--759.

Appendix A. Dynamic Measure Modes

Mode	Object	Total Mass	Negative Allowed?	Primary Meaning
Probability	$P_t$	$1$	No	normalized uncertainty
Subprobability	$\widetilde P_t$	$\le1$	No	retained / surviving mass
Finite mass	$\mu_t$	arbitrary $\ge0$	No	population / intensity / unnormalized mass
Signed measure	$\nu_t$	signed	Yes	source–sink / signed weight
Quasiprobability	$Q_t$	convention-dependent	Yes	nonclassical representation

Appendix B. Dynamic Judgment-Domain Schema

time:
domain_id:

carrier:
event_structure:

reference_scope:
scale:
context:

measure_mode:
total_mass:
normalized_probability:

boundary:
  entry_states:
  exit_states:
  cemetery_state:

source_sink:
  source:
  sink:
  net_mass_rate:

time_transport:
  from:
  to:
  kernel:
  total_or_submarkov:
  assumptions:

event_translation:
judgment_translation:

domain_change:
  measure_only:
  kernel_change:
  context_change:
  event_algebra_change:
  carrier_change:
  reference_scale_change:

coherence:
  time_scale_defect:
  time_order_defect:
  scale_order_defect:

Appendix C. Legacy Statement Migration

legacy_claim:
  "P(Omega)=1 implies closed physical system"
status:
  retired
replacement:
  "P(Omega)=1 means normalization on the declared outcome domain"

legacy_claim:
  "P > 1 represents open-system probability overflow"
status:
  retyped
replacement:
  "use finite mass/intensity mu with mu(X) > 1"

legacy_claim:
  "P < 0 is negative event probability"
status:
  retyped
replacement:
  "use signed measure or quasiprobability; do not call ordinary probability"

legacy_claim:
  "Omega, F, P can evolve with time"
status:
  retained_and_formalized
replacement:
  "D_t=(X_t,Sigma_t;r_t,s_t,c_t), with dynamic transport witness"

legacy_claim:
  "source/sink changes probability conservation"
status:
  refined
replacement:
  "source/sink changes total mass M_t; normalized P_t may still satisfy P_t(X_t)=1"

動態判定域與開放系統概率

動態判定域與開放系統概率

時間變動空間、邊界流與概率質量分離

摘要

1. 舊框架的第一個修正：歸一化不等於封閉宇宙

2. 第二個修正： P>1P>1P>1 不是 open-system probability

3. 第三個修正：負值應改稱 signed / quasi quantity

4. 舊框架中可以保留的核心

5. 既有理論邊界

5.1 Time-Inhomogeneous Markov Evolution

5.2 Time-Varying State Spaces

5.3 Measure-Valued Processes

5.4 Open Markov Processes

5.5 Partial Markov Categories

6. Dynamic Judgment Domain

定義 6.1

7. Dynamic Probability State

7.1 Normalized Probability Mode

7.2 Open Mass Mode

8. 定理一：Mass–Probability 唯一分解

命題 8.1

證明

9. 這個分解修正了早期「概率溢出」

10. Subprobability 與 Escape

11. 定理二：Cemetery Completion

命題 11.1

證明

12. Escape Probability 不需要破壞歸一化

13. Dynamic Kernel Between Different State Spaces

14. Time-Inhomogeneous Composition

15. 變動 Carrier 的真正困難

16. Event Translation

17. Dynamic Transport Witness

18. Weak Measure Evolution with Source–Sink

19. Total Mass Equation

20. 定理三：Normalized Law 的動力學

21. 這條式子區分兩種變化

22. 封閉、開放與截斷其實是三種不同概念

22.1 Closed Modeling Domain

22.2 Open Physical System

22.3 Truncated Observation Domain

23. Whole-System Embedding

24. Dynamic Domain Change 的五種等級

D0：Measure-Only Dynamics

D1：Kernel Dynamics

D2：Context Dynamics

D3：Event-Algebra Dynamics

D4：Carrier Dynamics

D5：Reference / Scale Dynamics

25. Dynamic Domain Equivalence

26. Moving-Domain Embedding

27. Dynamic Globality

28. Time × Scale × Probability Order

29. 三種獨立 transport

Scale Transport

Time Transport

Order Transport

30. Time–Scale Coherence Defect

31. Time–Order Coherence Defect

32. Dynamic Recursive Probability Field

33. AI 作為 Dynamic Judgment-Domain System

34. AI Dynamic Probability Example

35. Legacy Migration：舊《綜合概率論》如何重新分類？

保留

改名

撤回

移出數學核心

36. Legacy Migration：舊《綜合測度論》如何重新分類？

37. Open-System Conservation 的新表述

38. 動態守恆也可以分成兩層

Mass Balance

Probability Shape

39. Dynamic Probability Ledger

40. Dynamic Legality Levels

T0：Unindexed

T1：Time-Indexed

T2：Domain-Indexed

T3：Transport-Resolved

T4：Open-Balance Resolved

T5：Coherence Resolved

2. 第二個修正： $P>1$ 不是 open-system probability