全域收斂、動態不動點與記憶穩定性：增長典範域下的三域循環理論

Global Convergence, Dynamic Fixed Points, and Memory Stability: Three-Domain Cycles under a Growing Canonical Archive

TDCD Series I / Paper 05 - v0.1
Date: 2026-08-15

摘要

三域上下文動力學（Three-Domain Context Dynamics, TDCD）前四篇依序建立工作域、投影域、典範域、上下文治理算子、typed search phase、當下適切性場以及可學習治理器。本文將分析尺度從單筆記憶與單次治理決策提升到整個長程記憶系統，研究當典範域持續增長、任務與分支持續變化、治理器本身亦持續學習時，系統何時可以稱為穩定。

本文首先指出：若把完整典範域 $\mathcal D_t$ 納入系統狀態，且系統長期持續吸收新事件，則要求

X_{t+1}=X_t

形式的靜態固定點通常既不可能也不是合理目標。本文因此定義操作狀態

Y_t = ( \mathcal P_t^{hot}, \mathcal W_t, \Gamma_t, Q_t ),

其中 $\mathcal P_t^{hot}$ 為當前可操作投影， $\mathcal W_t$ 為工作域， $\Gamma_t$ 為治理器 checkpoint， $Q_t$ 為待維護佇列，並把完整典範域與外部任務狀態視為非自治基底。系統演化寫為

Y_{t+1} = F_t(Y_t;B_t),

其中 $B_t$ 包含典範域、contextual moment、branch、regime 與外部更新。

在此基礎上，本文提出 TDCD 的 Dynamic Fixed Point：不是要求狀態停止，而是存在一條隨基底共同移動的參考軌跡 $Y_t^*$ ，滿足

Y_{t+1}^* = F_t(Y_t^*;B_t),

且實際系統能以有界 tracking error 跟隨該軌跡。本文進一步定義 archive-relative quotient stability，使大量與當前任務無關的新 canonical records 可以持續加入 $\mathcal D_t$ ，而不必迫使 active state 持續漂移。

本文證明數個基本結果。第一，只要 canonical archive 在無限多時間點嚴格增長，包含完整 archive 的總狀態一般不存在逐點靜態固定點。第二，若非自治治理映射在操作狀態上具有一致 contraction，且外部漂移擾動有界，則 tracking error 有明確幾何上界；若擾動趨零，實際操作狀態收斂到 moving equilibrium，若擾動僅有界，則系統收斂到有界 tube。第三，只要工作域、hot projection 與 governor checkpoint 各自受預算控制，active operational footprint 可與無界增長的 canonical archive 解耦。第四，若長期平均記憶更新到達率大於 maintenance service rate，則 maintenance backlog 必然無界，因此「上下文有界」本身不能推出「長程系統穩定」。

本文同時定義 branch-local attractor、良性週期與 pathological context thrashing、治理分岔、stability-plasticity window、Lyapunov-style governance functional，以及一組可實驗量測的全域穩定指標。

本文的核心主張為：

\boxed{ \text{A growing memory system need not converge by stopping; it may converge by tracking.} }

以及：

\boxed{ \text{Unbounded canonical growth is compatible with bounded active cognition only when maintenance, retrieval, and governance remain stable.} }

關鍵詞

三域上下文動力學、動態不動點、上下文穩定性、長程記憶、非自治系統、治理收斂、動態工作集、分支分岔、Stability-Plasticity、Agent Memory、TDCD

1. 問題：長程記憶系統不應被要求停止變化

前三篇 TDCD 定義：

\mathfrak M_t = ( \mathcal W_t, \mathcal P_t, \mathcal D_t ),

Paper 04 再加入治理器 checkpoint：

\Gamma_t.

因此最直接的總狀態是：

X_t = ( \mathcal D_t, \mathcal P_t, \mathcal W_t, \Gamma_t ).

若系統是一個真正長程運行的 Agent，則通常持續存在新事件：

\Delta\mathcal D_t\neq\varnothing.

典範域因而更新：

\mathcal D_{t+1} = \mathcal I( \mathcal D_t, \Delta\mathcal D_t ),

其中 $\mathcal I$ 為 canonical ingestion / revision operator。

因此若要求：

X_{t+1}=X_t

才能稱為「收斂」，則任何仍在正常生活、工作、研究或與環境互動的 Agent 都永遠不會穩定。

這是一個錯誤的穩定性目標。

2. 最新長程記憶研究暴露的全域問題

2026 年的長程記憶研究開始從單輪 retrieval accuracy 轉向更長的 state trajectory。

DynamicMem 以十五個月、多應用程式活動構造持續演化的使用者狀態，結果顯示目前受測系統無法同時良好保存持續有效的資訊並替換已改變資訊，而且大量失敗可追溯到 memory retrieval 本身。[1]

AgentCL 則把 language agent 的 continual learning 置於受控 task stream 中，發現 memory reuse、plasticity、stability 與 held-out generalization 之間存在明顯張力。[2]

2026 年的 long-horizon survey 亦強調 long-context、long-horizon 與 long-term memory 是不同性質，並指出隨 horizon 增長，單純 outcome-only signal 越來越不足，需要更密集的 process-level diagnostics。[3]

Agent Memory 的 systems characterization 與 Agent-Native Memory System 的資料管理分析則進一步顯示，memory architecture 的 write path、read path、maintenance、freshness、latency 與成本彼此存在顯著 trade-off，不能只以最終答案品質描述系統。[4,5]

因此本文把 TDCD 的穩定性問題寫成：

\boxed{ \text{Can a memory trajectory remain operationally stable while its canonical history keeps growing?} }

3. 總狀態與操作狀態

完整狀態定義為：

X_t = ( \mathcal D_t, \mathcal P_t, \mathcal W_t, \Gamma_t, Q_t, \tau_t, \rho_t ),

其中：

$\mathcal D_t$ ：canonical archive；
$\mathcal P_t$ ：projection domain；
$\mathcal W_t$ ：working context；
$\Gamma_t$ ：governor checkpoint；
$Q_t$ ：maintenance backlog；
$\tau_t$ ：contextual moment；
$\rho_t$ ：governance regime。

但對短時間推理與治理而言，不必把整個 $\mathcal D_t$ 的大小直接放入 active state。

因此定義 hot operational state：

Y_t = ( \mathcal P_t^{hot}, \mathcal W_t, \Gamma_t, Q_t^{active} ).

其餘 canonical history 仍存在於：

\mathcal D_t,

但不必常駐工作路徑。

令基底狀態為：

B_t = ( \mathcal D_t, \tau_t, \rho_t, \Delta\mathcal D_t ).

則 TDCD 全域動力學寫成：

\boxed{ Y_{t+1} = F_t(Y_t;B_t). }

這是一個非自治動力系統：更新規則的輸入基底本身隨時間改變。

4. 命題一：增長 archive 下的靜態固定點不可能性

命題 1

假設 canonical ingestion 具有歷史保留性，且存在無限多個時間 $t$ 使：

\mathcal D_t \subsetneq \mathcal D_{t+1}.

若總狀態 $X_t$ 逐點包含完整 $\mathcal D_t$ ，則不存在有限時間 $T$ 使：

X_{t+1}=X_t

對所有 $t\geq T$ 成立。

證明

若存在 $T$ 使所有 $t\geq T$ 皆有：

X_{t+1}=X_t,

因為 $\mathcal D_t$ 是 $X_t$ 的一個分量，必有：

\mathcal D_{t+1}=\mathcal D_t.

但假設在任意足夠晚的時間後仍存在某個 $t$ 使：

\mathcal D_t\subsetneq\mathcal D_{t+1},

矛盾。

證畢。

意義

真正的長程記憶穩定性不能定義成：

\boxed{ \text{nothing changes}. }

而必須定義成：

\boxed{ \text{change remains governed}. }

5. Archive-relative equivalence

大量新 canonical records 並不一定改變當前工作狀態。

對 contextual moment $\tau$ ，定義兩個典範域之間的操作等價：

\mathcal D \sim_\tau \mathcal D'

若它們在當前治理流程中產生相同的：

valid candidate set；
version head；
branch-valid state；
admitted active set；
required canonical expansion。

更形式化地，若：

\mathcal R_\tau(\mathcal D) = \mathcal R_\tau(\mathcal D'),

則：

\mathcal D\sim_\tau\mathcal D'.

其中 $\mathcal R_\tau$ 是從 canonical archive 到當下 operational consequences 的解析算子。

因此可以考慮商空間：

\mathcal D/{\sim_\tau}.

若新增資料完全屬於當前無關的 cold region，則可能：

\mathcal D_t \subsetneq \mathcal D_{t+1}

但：

[\mathcal D_t]_{\sim_\tau} = [\mathcal D_{t+1}]_{\sim_\tau}.

這就是 archive growth 與 active stability 可以共存的第一個形式化理由。

6. Archive-relative stability

定義 reduced state：

\overline X_t = ( [\mathcal D_t]_{\sim_{\tau_t}}, \mathcal P_t^{hot}, \mathcal W_t, \Gamma_t ).

如果：

d( \overline X_{t+1}, \overline X_t ) \to0,

即使：

|\mathcal D_t|\to\infty,

我們仍可說系統在當前 regime 下達到 archive-relative stability。

因此：

\boxed{ |\mathcal D_t|\to\infty \not\Rightarrow d(\overline X_{t+1},\overline X_t)\to\infty. }

完整記憶可以持續累積，操作狀態不必因此持續膨脹。

7. Dynamic Fixed Point

靜態 fixed point 要求：

Y^*=F(Y^*).

但 TDCD 的 $F_t$ 與 $B_t$ 均可能隨時間改變。

因此本文定義：

定義 1：TDCD Dynamic Fixed Point

一條狀態軌跡：

\{Y_t^*\}_{t\geq0}

若滿足：

\boxed{ Y_{t+1}^* = F_t(Y_t^*;B_t) }

則稱為給定基底軌跡 $\{B_t\}$ 下的 dynamic fixed-point trajectory。

它不是一個永遠不動的點，而是一個與環境共同演化、且每一步都與當時更新律相容的 moving equilibrium。

8. Tracking stability

實際狀態 $Y_t$ 與 dynamic fixed point 的距離定義為：

e_t = d_Y(Y_t,Y_t^*).

如果：

e_t\to0,

稱為 asymptotic tracking。

若只存在：

\limsup_{t\to\infty}e_t \leq\varepsilon,

則稱為 $\varepsilon$ -tracking stability。

對非平穩長程 Agent，後者往往比要求精確零誤差更合理。

9. 定理二：非自治 contraction tracking bound

定理 2

假設對所有 $t$ ，映射：

F_t(\cdot;B_t)

在操作狀態空間中具有一致 contraction factor：

0\leq q<1,

即：

d_Y( F_t(Y;B_t), F_t(Y';B_t) ) \leq q\,d_Y(Y,Y').

假設實際系統存在擾動 $\eta_t$ ：

Y_{t+1} = F_t(Y_t;B_t)+\eta_t,

且：

d_Y(\eta_t,0)\leq\epsilon_t.

則：

e_{t+1} \leq q e_t+\epsilon_t.

因此：

\boxed{ e_t \leq q^t e_0 + \sum_{j=0}^{t-1} q^{t-1-j}\epsilon_j. }

若：

\epsilon_t\to0,

且擾動序列足夠規則，則：

e_t\to0.

若：

\epsilon_t\leq\bar\epsilon,

則：

\boxed{ \limsup_{t\to\infty}e_t \leq \frac{\bar\epsilon}{1-q}. }

證明

由 contraction：

\begin{aligned} e_{t+1} &= d_Y(Y_{t+1},Y_{t+1}^*)\\ &\leq d_Y( F_t(Y_t;B_t), F_t(Y_t^*;B_t) ) + \epsilon_t\\ &\leq q e_t+\epsilon_t. \end{aligned}

遞迴展開即得幾何上界。證畢。

意義

TDCD 不需要假設世界停止改變。

只要治理系統對偏差有收縮能力，而外界改變速度不超出吸收能力，系統就可以在一個移動的穩定 tube 內運作。

10. 有界 active cognition

定義 active operational footprint：

C_t^{active} = C_W(\mathcal W_t) + C_P(\mathcal P_t^{hot}) + C_G(\Gamma_t).

若 runtime 強制：

C_W(\mathcal W_t)\leq B_W,

C_P(\mathcal P_t^{hot})\leq B_P,

C_G(\Gamma_t)\leq B_G,

則：

\boxed{ C_t^{active} \leq B_W+B_P+B_G. }

此上界與：

|\mathcal D_t|

無關。

11. 定理三：無界 archive 與有界 active state 的相容性

定理 3

若：

|\mathcal D_t|\to\infty

且 active domains 受到固定預算：

C_W\leq B_W, \quad C_P^{hot}\leq B_P, \quad C_G\leq B_G,

則：

\sup_t C_t^{active} \leq B_W+B_P+B_G < \infty.

因此：

\boxed{ |\mathcal D_t|\to\infty }

與：

\boxed{ \sup_t C_t^{active}<\infty }

可以同時成立。

限制

此定理只證明 active footprint boundedness。

它不保證：

retrieval latency 有界；
maintenance backlog 有界；
semantic index update 跟得上；
stale facts 不累積；
storage cost 可接受。

因此容量穩定只是全域穩定的一部分。

12. 四種穩定性

本文把 TDCD stability 分成至少四類。

12.1 Context Stability

C_W(\mathcal W_t)\leq B_W

且 task-stable regime 中：

d_W(\mathcal W_{t+1},\mathcal W_t)

保持低值。

12.2 Governance Stability

治理器：

\Gamma_t

不因微小擾動發生高頻 policy flip，且 calibration、stale rate 與 false eviction 不持續惡化。

12.3 Maintenance Stability

尚待索引、驗證、壓縮、版本更新或 dependency propagation 的工作量：

Q_t

保持有界。

12.4 Canonical Consistency Stability

即使資料持續增加，canonical invariants 仍保持：

address resolvability；
version traceability；
branch provenance；
digest integrity；
no silent canonical overwrite。

因此：

\boxed{ \text{context boundedness} \neq \text{system stability}. }

13. Maintenance queue

令時間 $t$ 新增的 maintenance workload 為：

A_t\geq0.

系統在一步中可完成：

S_t\geq0

單位 maintenance work。

則 backlog：

Q_{t+1} = \max \{ 0, Q_t+A_t-S_t \}.

$A_t$ 可以包括：

新 canonical ingestion；
embedding / index generation；
version reconciliation；
dependency invalidation；
projection rebuild；
audit tasks。

14. 定理四：維護吞吐必要條件

定理 4

若存在：

\lambda = \liminf_{T\to\infty} \frac{1}{T} \sum_{t=0}^{T-1}A_t

以及：

\mu = \limsup_{T\to\infty} \frac{1}{T} \sum_{t=0}^{T-1}S_t,

並且：

\lambda>\mu,

則：

Q_t

不能保持全域有界。

證明

由：

Q_T \geq Q_0 + \sum_{t=0}^{T-1}(A_t-S_t)

在忽略非負截斷只會降低右側負值影響後，長期平均淨輸入為正：

\lambda-\mu>0.

因此對足夠大的 $T$ ，累積淨工作量線性增長，故 $Q_T$ 不可能由固定常數全域上界。

證畢。

核心工程條件

因此長程記憶系統至少需要：

\boxed{ \lambda_{maintenance} < \mu_{service} }

在適當平均意義下成立。

否則即使 prompt 永遠維持很短，外部記憶系統仍會逐步失穩。

15. Maintenance lag 與 stale risk

如果：

Q_t

持續增大，最先出現的問題不一定是 crash。

更可能是：

新記憶尚未索引；
舊版本尚未 supersede；
invalidation 尚未 propagate；
projection 還是舊的；
recall 使用 stale metadata。

因此可定義 maintenance age：

L_t(O) = t-t_{last-maintained}(O).

以及 stale-pressure functional：

SP_t = \sum_{O\in Q_t} w(O)L_t(O).

即使：

|\mathcal W_t|\leq B_W,

若：

SP_t\to\infty,

系統仍可能逐步降低有效記憶品質。

16. Retrieval stability

Archive growth 還會影響 retrieval cost。

定義：

R_t^{lat} = \operatorname{Latency}( \operatorname{Cand}_S(\tau_t;\mathcal P_t) ).

以及：

R_t^{cost} = \operatorname{Cost}( \operatorname{Cand}_S(\tau_t;\mathcal P_t) ).

若：

|\mathcal D_t|\to\infty

但：

R_t^{lat}\to\infty,

則從認知內容看似穩定，工程上仍不是 stable runtime。

因此定義 Retrieval Stability：

存在常數：

L_{max},C_{max}<\infty

使典型工作負載下：

R_t^{lat}\leq L_{max},

R_t^{cost}\leq C_{max}.

此條件依賴 index architecture，不由 TDCD 的邏輯結構自動保證。

17. Lyapunov-style governance functional

為了把多種失穩共同量化，定義：

V_t = \alpha e_t + \beta K_t + \gamma M_t + \delta Q_t + \eta CTR_t + \zeta SAR_t + \xi BLR_t.

其中：

$e_t$ ：dynamic fixed-point tracking error；
$K_t$ ：context pollution；
$M_t$ ：necessary-memory miss cost；
$Q_t$ ：maintenance backlog；
$CTR_t$ ：context thrashing；
$SAR_t$ ：stale activation；
$BLR_t$ ：branch leakage。

若在某一固定 regime 內存在：

V_{t+1}-V_t \leq -cV_t+\epsilon_t

其中：

0<c\leq1,

則：

V_t

受到類似 contraction 的控制。

本文不主張所有 TDCD runtime 都天然存在全域 Lyapunov function。

此式是一個設計與驗證目標。

18. 命題五：Lyapunov tube bound

若：

V_{t+1} \leq (1-c)V_t+\bar\epsilon

其中：

0<c\leq1, \quad \bar\epsilon\geq0,

則：

V_t \leq (1-c)^tV_0 + \frac{\bar\epsilon}{c} \left( 1-(1-c)^t \right).

因此：

\boxed{ \limsup_{t\to\infty}V_t \leq \frac{\bar\epsilon}{c}. }

若：

\bar\epsilon=0,

則：

V_t\to0.

這給出一個簡單的「有擾動穩定 tube」形式。

19. 週期不是自動失穩

考慮一個週期性工作流程：

\tau_{t+k} = \tau_t.

若 Agent 每週重新進入同一任務，工作域可能也形成：

\mathcal W_{t+k} \approx \mathcal W_t.

這不一定是 context thrashing。

因此定義：

良性週期

若外部 regime 本身具有週期：

B_{t+k}\approx B_t,

且：

Y_{t+k}\approx Y_t,

則可能是 legitimate periodic attractor。

病理週期

若：

B_{t+1}\approx B_t

長期不變，但：

Y_t \to Y^{(1)} \to Y^{(2)} \to \cdots \to Y^{(k)} \to Y^{(1)}

反覆循環，且沒有外部狀態理由，則是 governance oscillation candidate。

所以：

\boxed{ \text{periodicity} \neq \text{thrashing}. }

必須比較 external regime。

20. Normalized cycle excess

定義 external cycle distance：

D_B(k,t) = d_B(B_{t+k},B_t),

以及 operational cycle distance：

D_Y(k,t) = d_Y(Y_{t+k},Y_t).

若：

D_B(k,t)\approx0

但單步：

d_Y(Y_{t+1},Y_t)

持續很大，則表示系統可能存在不必要的 internal oscillation。

可定義：

NCE_t = \frac{ d_Y(Y_{t+1},Y_t) }{ \epsilon+d_B(B_{t+1},B_t) }.

高 $NCE$ 表示「內部變動遠大於外部變動」，可作為治理震盪警報。

21. 分支吸引子

TDCD 不要求所有 branch 最終收斂到同一 active state。

對 branch：

b\in\mathcal B,

定義 branch-specific map：

F^{(b)}.

其 dynamic attractor 可表示為：

\mathcal A_b.

可能存在：

\mathcal A_{b_1} \neq \mathcal A_{b_2}.

這不是系統失敗。

如果兩個 branch 代表不同研究假設、不同軟體版本或不同使用情境，它們本來就可能擁有不同穩定工作集。

因此：

\boxed{ \text{global uniqueness of active context is not a TDCD requirement}. }

真正需要的是 branch-local consistency 與受證據控制的 bridge。

22. Governance bifurcation

當 regime parameter：

\rho

跨過某個臨界值，穩定 attractor 結構可能改變。

例如：

task 由閱讀轉為 coding；
user preference 被明確更新；
canonical version head 改變；
risk class 由普通轉為 critical；
branch fork 發生。

形式上，若：

F_\rho

在：

\rho<\rho_c

只有一個局部穩定集合，而在：

\rho>\rho_c

產生兩個不同 branch attractors，則可稱為 governance bifurcation。

這裡「bifurcation」描述治理動力學結構改變，不應自動提升為 Phase Canon 中的 phase transition。

因此：

\boxed{ \text{governance bifurcation} \neq \text{phase transition by default}. }

23. 分岔後的 branch isolation

若：

\mathcal A_{b_1} \neq \mathcal A_{b_2},

系統不應把兩個 attractor 強制平均成：

\frac{ \mathcal A_{b_1}+\mathcal A_{b_2} }{2}.

語義上這可能完全沒有意義。

正確行為是：

\operatorname{fork} ( b_1,b_2 )

並保留：

common canonical ancestry；
divergence point；
branch-local version heads；
explicit bridge rules。

這延續 Paper 02 的：

\boxed{ \text{Isolation by default, connection by evidence}. }

24. Stability-Plasticity 問題

長程 Agent 必須同時：

保存仍然有效的長期資訊；
對真正的新狀態快速適應。

這就是 stability-plasticity tension。

2026 年 AgentCL 的結果直接顯示 memory-based continual language agents 在 reuse、plasticity 與 stability/generalization 之間存在可量測 trade-off。[2]

DynamicMem 也顯示，在長期使用者狀態演化下，「保留仍然有效的事實」與「替換已變更的事實」目前難以同時做好。[1]

TDCD 將這個問題轉寫為：

\boxed{ \text{tracking speed} \quad \text{versus} \quad \text{oscillation resistance}. }

25. 一維局部模型

考慮簡化 scalar governance state：

y_t.

外部理想目標為：

y_t^*.

令更新：

y_{t+1} = (1-\eta)y_t+\eta y_t^*.

若 target 固定，誤差：

e_t=y_t-y^*

滿足：

e_{t+1} = (1-\eta)e_t.

因此局部穩定條件為：

\boxed{ 0<\eta<2. }

若：

\eta\approx0,

系統非常穩但幾乎不適應。

若：

\eta

太大，則可能 overshoot 或震盪。

因此 adaptation rate 本身具有 stability window。

26. 移動 target 下的 tracking error

若：

y_{t+1}^* = y_t^*+\delta_t,

則：

e_{t+1} = (1-\eta)e_t-\delta_t.

若：

|\delta_t|\leq\bar\delta

且：

0<\eta<1,

則長期有：

\limsup|e_t| \leq \frac{\bar\delta}{\eta}.

因此：

太小的 $\eta$ 會降低震盪，但增加 moving-target lag；
太大的 $\eta$ 會提高追蹤速度，但增加 noise sensitivity。

這是 TDCD stability-plasticity window 的最小模型。

27. 多維局部穩定條件

對多維狀態：

Y_{t+1}=F(Y_t),

在局部平衡 $Y^*$ 附近線性化：

\Delta Y_{t+1} \approx J_F(Y^*)\Delta Y_t.

若 Jacobian spectral radius：

\rho(J_F(Y^*))<1,

則在標準局部條件下具有局部漸近穩定性。

若某些 eigenmode 接近：

| \lambda_i |\approx1,

則該模式可能長時間保留。

在 TDCD 中，這種 slow mode 可能對應：

persistent memory；
long-term trajectory；
slowly adapting governance rule。

因此所有 mode 都快速收縮到零不一定是最理想設計。

28. 多時間尺度穩定性

不同 TDCD 物件具有不同自然時間尺度：

T_W < T_P < T_G < T_D^{trajectory}.

例如：

工作域可以每輪更新；
projection 可以每數輪更新；
governor calibration 可以較慢更新；
long-term trajectory 可以跨月存在。

如果所有層以同一更新率運作，容易產生：

過度重編譯；
版本抖動；
長期記憶被短期訊號污染。

因此定義 multi-timescale condition：

\eta_W > \eta_P > \eta_G

只是一種常見設計，而不是必然法則。

真正要求是不同層的 update rate 必須與其 persistence / risk / drift regime 相容。

29. Dynamic fixed point 與 persistence class

Paper 01 定義：

\tau_p(O) \in \{ I,A,P,T \}.

dynamic fixed point 不要求所有記憶以相同速度變動。

可以把狀態拆為：

Y_t = Y_t^{I} \oplus Y_t^{A} \oplus Y_t^{P} \oplus Y_t^{T}.

其中不同部分具有不同 contraction / adaptation rate：

q_I, q_A, q_P, q_T.

例如：

q_I<q_A<q_P<q_T<1

可以表示瞬時資訊快速退出，而 trajectory state 慢速改變。

這提供 persistence class 的動力學解釋。

30. 吸收而非停滯

長程記憶 runtime 的理想狀態不是：

\Delta\mathcal D_t=0.

而是新資訊進入後：

\Delta\mathcal D_t \rightarrow \text{canonicalize} \rightarrow \text{project} \rightarrow \text{govern} \rightarrow \text{settle}.

如果每次有限擾動都能在有限或有界時間後回到 stable tube，則稱為 absorption stability。

定義擾動發生於：

t_0.

若存在：

T_\epsilon<\infty

使：

d_Y(Y_t,Y_t^*)\leq\epsilon

對所有：

t\geq t_0+T_\epsilon

成立，則：

T_\epsilon

稱為 absorption time。

31. 記憶風暴

若短時間出現大量更新：

A_t\gg\mu,

則即使長期平均：

\lambda<\mu,

也可能暫時形成：

Q_t\gg0.

本文稱為 Memory Storm。

例如：

大型 repository 一次更新；
長文件批次匯入；
大量跨 Agent 訊息；
一次重大版本 migration。

穩定 runtime 應有：

backpressure；
priority；
batch canonicalization；
deferred projection；
critical-first invalidation。

因此不能把所有新資料都立即提升進 hot projection。

32. Backpressure

定義 backlog threshold：

Q_{soft}<Q_{hard}.

若：

Q_t>Q_{soft},

降低低價值 maintenance priority。

若：

Q_t>Q_{hard},

則可暫停非必要 ingestion / projection：

\operatorname{defer}(O).

這裡 defer 不等於丟棄。

原始資料仍可以先進入 durable staging area，再等待 canonical processing。

因此：

\boxed{ \text{backpressure is temporal deferral, not memory loss}. }

33. 全域收斂不應要求全域單一吸引子

若系統服務：

多專案；
多角色；
多 Agent；
多 branch；
多 regime，

則單一 attractor：

\mathcal A

可能反而代表錯誤 collapse。

更合理的是 attractor family：

\{ \mathcal A_\rho : \rho\in\mathcal R \}.

治理器的責任是：

判斷目前 regime；
進入相應 attraction basin；
regime 改變時安全切換；
不把舊 basin 的 active state 無條件帶入新 basin。

34. Attractor switching cost

從：

\mathcal A_{\rho_i}

切換到：

\mathcal A_{\rho_j}

需要成本：

C_{switch}(i,j).

包含：

context eviction；
branch reload；
phase recomputation；
canonical expansion；
governor recalibration。

因此如果 regime 在邊界附近抖動，可能形成：

\text{attractor thrashing}.

Paper 02 的 hysteresis 可以提升到 regime level：

\theta_{\rho,in} > \theta_{\rho,out}.

避免一點小訊號就整套切換 working set。

35. 冷記憶不等於失效記憶

若某 object：

O\in\mathcal D_t

長期未進入：

\mathcal W_t,

不能推出：

O

已失效。

它可能只是：

O\in\mathcal D^{cold}.

因此：

\boxed{ \text{cold} \neq \text{stale} \neq \text{invalid}. }

這三者必須分開：

cold：目前不活躍；
stale：版本已被更新；
invalid：依當前 hard validity 不合法。

36. Stability metrics

本文提出以下全域指標。

36.1 Tracking Error

TE_t = d_Y(Y_t,Y_t^*).

36.2 Active Footprint Bound

AFB = \sup_t C_t^{active}.

36.3 Maintenance Backlog

MB_t = Q_t.

36.4 Maintenance Age

MA_t = \frac{ \sum_{O\in Q_t}w(O)L_t(O) }{ \sum_{O\in Q_t}w(O) }.

36.5 Normalized Cycle Excess

NCE_t = \frac{ d_Y(Y_{t+1},Y_t) }{ \epsilon+d_B(B_{t+1},B_t) }.

36.6 Absorption Time

AT_\epsilon = T_\epsilon.

36.7 Retrieval Latency Stability

RLS = \sup_t R_t^{lat}.

36.8 Archive Growth Decoupling Ratio

定義：

AGD_T = \frac{ C_T^{active}-C_0^{active} }{ 1+|\mathcal D_T|-|\mathcal D_0| }.

若 archive 快速增長但 active footprint 幾乎不變，則：

AGD_T\approx0.

36.9 Branch Recovery Time

branch 切換後回到新 branch stable tube 所需時間：

BRT_\epsilon.

36.10 Canonical Invariant Violation Rate

CIVR = \frac{ N_{\text{canonical invariant violations}} }{ N_{\text{canonical operations}} }.

理想：

CIVR=0.

37. Benchmark family

S1：Unbounded Irrelevant Growth

持續加入與當前 task 無關的 canonical records。

測量：

AFB, RLS, AGD.

目標：archive 變大，但工作域不被污染。

S2：Relevant Growth

持續加入真正與當前任務相關的新資訊。

測量：

TE, AT, ACR.

目標：能適應，不只是拒絕新資訊。

S3：Version Cascade

更新一個上游 canonical object，觸發大量 dependency recheck。

測量：

MB, MA, SAR.

S4：Branch Fork

單一 stable regime 分成兩個 branch。

測量：

BLR, BRT, CIVR.

S5：Periodic Workflow

環境本身週期變化。

測量系統能否形成 benign periodic attractor，而不是誤判為 thrashing。

S6：Stationary Regime with Internal Oscillation

環境固定，但 governor threshold 刻意設在震盪區。

測量：

NCE, CTR.

S7：Memory Storm

短時間批量加入大量資料。

測量 backpressure、queue recovery 與 critical update latency。

S8：Slow Drift

外部 target 持續緩慢移動。

測量 stability-plasticity window 與 tracking lag。

38. 全域失穩模式

本文整理至少八種 failure modes。

F1：Active Overflow

C_W>B_W.

F2：Retrieval Saturation

archive 增大導致：

R_t^{lat}

持續惡化。

F3：Maintenance Divergence

Q_t\to\infty.

F4：Governance Oscillation

外部 regime 穩定但：

NCE\gg1.

F5：Stale Accumulation

maintenance lag 使：

SAR\uparrow.

F6：Branch Collapse

兩個應隔離 branch 被錯誤合併。

F7：Plasticity Loss

新 evidence 到來但 governor 長期拒絕調整。

F8：Over-Plasticity

微小噪音即造成大規模 working-set 重構。

39. Stability profile

對 runtime 定義 stability profile：

\Sigma = ( \sigma_C, \sigma_G, \sigma_M, \sigma_R, \sigma_B, \sigma_P ),

分別代表：

context stability；
governance stability；
maintenance stability；
retrieval/resource stability；
branch stability；
plasticity。

因此不存在單一：

\text{stable}=1

足以描述整個系統。

一個 runtime 可以：

context 很穩；
maintenance 很差；
retrieval 很慢；
plasticity 太低。

這是不同 failure mode。

40. 與 Governed Evolving Memory 的關係

2026 年的 Governed Evolving Memory（GEM）觀點同樣強調，長期 Agent memory 的 correctness 應理解為 state trajectory property，而不是單一 record 的 correctness，並提出 ingestion、revision、forgetting 與 retrieval 等 state-level operators。[6]

TDCD 與此方向高度相容。

本文的額外焦點是：

明確分離 $\mathcal D,\mathcal P,\mathcal W$ ；
把 canonical recoverability 視為獨立不變量；
定義 active operational quotient；
允許 canonical archive 無界增長；
用 dynamic fixed-point trajectory 而非靜態 fixed point 描述穩定；
將 maintenance service rate 與 active context stability 分離；
區分 branch attractor、benign cycle 與 pathological oscillation。

因此本文研究的是：

\boxed{ \text{trajectory governance} + \text{operational stability under persistent growth}. }

41. 與 Agent-Native Memory System 的關係

Agent-Native Memory System 的近期系統分析將 memory 分為 representation/storage、extraction、retrieval/routing 與 maintenance，並指出不同架構在更新正確性、長程穩定與成本上沒有單一全域優勝者。[5]

這直接支持 TDCD 對 maintenance stability 的獨立處理。

如果 maintenance 被視為 background detail，就會錯過：

Q_t

這種真正可能發散的隱藏狀態。

因此：

\boxed{ \text{a memory architecture is not stable merely because its prompt is small}. }

42. 與系統 profiling 的關係

Agent Memory 的 systems characterization 將 construction、retrieval 與 generation 成本拆開量測，並指出 freshness-latency 與 write/read path 之間存在工程 trade-off。[4]

TDCD 的：

C_t^{active}, Q_t, R_t^{lat}

分別對應不同穩定維度。

這使未來 ACCR runtime benchmark 不應只報：

answer accuracy；
token count。

而至少要同時報：

active context cost；
archive growth；
maintenance backlog；
retrieval latency；
stale activation；
recovery time。

43. 動態不動點不是永久不變

本文使用 Dynamic Fixed Point 一詞時，嚴格指：

Y_{t+1}^* = F_t(Y_t^*;B_t).

它與靜態：

Y^*=F(Y^*)

不同。

因此：

\boxed{ \text{dynamic fixedness is invariance of the evolution rule, not immobility of the state}. }

這個定義特別適合：

長程 Agent；
動態使用者模型；
持續科研；
多 branch 軟體工作；
continual learning。

因為這些系統的正常狀態本來就是持續變化。

44. TDCD 全域循環

至此，三域循環可以寫成：

\begin{aligned} \mathcal D_{t+1} &= \mathcal I( \mathcal D_t, \Delta\mathcal D_t ),\\ \mathcal P_{t+1} &= \Pi( \mathcal D_{t+1}, \Gamma_t ),\\ \mathcal E^{(\tau_t)} &= \operatorname{Govern}( \mathcal P_{t+1}, \mathcal D_{t+1}, \tau_t, \Gamma_t ),\\ \mathcal W_{t+1} &= \operatorname{Converge} ( \operatorname{Expand}( \mathcal E^{(\tau_t)} ) ),\\ \Gamma_{t+1} &= \operatorname{Calibrate} ( \Gamma_t, V_L, V_G, \text{audit} ),\\ Q_{t+1} &= \max \{ 0, Q_t+A_t-S_t \}. \end{aligned}

這是一個多時間尺度、非自治、帶資源約束的動態系統。

45. 五篇整合

Paper 01：三域

\boxed{ \mathcal W \leftrightarrow \mathcal P \leftrightarrow \mathcal D }

Paper 02：治理

\boxed{ \operatorname{admit}, \operatorname{evict}, \operatorname{recall}, \operatorname{supersede}, \operatorname{branch} }

Paper 03：尋址與相位

\boxed{ \text{identity} \to \text{candidate} \to \text{phase} \to \Psi \to \text{exact restoration} }

Paper 04：治理器學習

\boxed{ \Psi_t \to \text{calibrate} \to \text{verify} \to \text{drift} \to \text{overturn} }

Paper 05：全域穩定

\boxed{ X_t \to Y_t \to Y_t^* \to \text{tracking} \to \text{absorption} }

因此 Series I 已形成從記憶存在論到系統動力學的完整骨架。

46. 核心結論

本文得到以下主要結果。

第一：

\boxed{ \text{Persistent archive growth rules out static full-state convergence in the ordinary sense}. }

第二：

\boxed{ \text{dynamic fixed-point tracking can replace static convergence}. }

第三：

\boxed{ \text{unbounded canonical memory can coexist with bounded active state}. }

第四：

\boxed{ \text{bounded active state does not imply bounded maintenance backlog}. }

第五：

\boxed{ \lambda>\mu \Rightarrow \text{maintenance instability}. }

第六：

\boxed{ \text{periodic working context is not pathological when the external regime is itself periodic}. }

第七：

\boxed{ \text{branch-local attractors are preferable to forced global convergence when branches are genuinely distinct}. }

第八：

\boxed{ \text{stability and plasticity are jointly a tracking problem}. }

47. 結論

長程記憶系統若真正與世界互動，就不會停止接收新資訊。

因此：

\mathcal D_t

持續增長不是例外，而是正常狀態。

這意味著傳統的「找到一個永遠不再變動的固定點」並不是合適的長程記憶目標。

真正需要的是：

\boxed{ \text{growth without uncontrolled expansion}, }

\boxed{ \text{change without uncontrolled oscillation}, }

\boxed{ \text{adaptation without identity loss}, }

\boxed{ \text{forgetting from the present without deletion from the past}. }

TDCD 因此將全域穩定定義為一個 moving-target tracking problem。

典範域可以繼續增長：

|\mathcal D_t|\to\infty,

但工作域仍保持：

C_W(\mathcal W_t)\leq B_W.

治理器仍能跟隨：

Y_t^*.

maintenance backlog 保持：

\sup_tQ_t<\infty.

retrieval cost 保持在可接受範圍。

branch 能夠分岔而不互相污染。

新證據能被吸收，舊的有效資訊不被短期噪音沖走。

這樣的系統不是靜止的。

它是一個穩定地變動的系統。

因此本文最後提出：

\boxed{ \text{The fixed point of a living memory system is not a point that stops moving;} }

\boxed{ \text{it is a lawful trajectory that remains itself while continuing to change.} }

以及：

\boxed{ \text{Long-term memory stability is governed change, not frozen history.} }

參考文獻

[1] Xie, W., Zhou, S., Li, Z., et al. (2026). DynamicMem: A Long-Horizon Memory Benchmark in Real-World Settings. arXiv:2606.22877.

[2] Shu, Y., Jimenez Gutierrez, B., Jonnalagedda, S. P., Yao, Y., Sun, H., & Su, Y. (2026). AGENTCL: Toward Rigorous Evaluation of Continual Learning in Language Agents. arXiv:2606.02461.

[3] Chen, M., Wang, L., & Qu, B. (2026). The Horizon Gap: Planning, Memory, Execution, Training, and Evaluation for Long-Horizon LLM Agents. arXiv:2608.06663.

[4] Omri, Y., Gan, Z., Broveak, Z., et al. (2026). Agent Memory: Characterization and System Implications of Stateful Long-Horizon Workloads. arXiv:2606.06448.

[5] Zhou, W., Zhou, X., Han, S., et al. (2026). Are We Ready For An Agent-Native Memory System? arXiv:2606.24775.

[6] Orogat, A., & Mansour, E. (2026). Is Agent Memory a Database? Rethinking Data Foundations for Long-Term AI Agent Memory. arXiv:2605.26252.

[7] Luo, J., Tian, Y., Cao, C., et al. (2026). From Storage to Experience: A Survey on the Evolution of LLM Agent Memory Mechanisms. arXiv:2605.06716.

[8] Jaziri, A., Kunzel, E., & Ramesh, V. (2026). Mitigating the Stability-Plasticity Dilemma in Adaptive Train Scheduling with Curriculum-Driven Continual DQN Expansion. Proceedings of the 4th Conference on Lifelong Learning Agents, PMLR 330.

[9] EveMissLab. (2026). Three-Domain Context Dynamics, Series I / Paper 01.

[10] EveMissLab. (2026). Context Governance Operator and Dynamic Working-Set Theory, Series I / Paper 02.

[11] EveMissLab. (2026). Semantic Candidate Addressing, Search Phase, and the Present-Appropriateness Field, Series I / Paper 03.

[12] EveMissLab. (2026). Dynamic Governance Fields, Calibration, and Self-Correction, Series I / Paper 04.

[13] EveMissLab. (2026). EveMissLab Phase Canon v1.2 - IPFC Integration Edition.

Canonical-source status

This Markdown file is the canonical UTF-8 source artifact for TDCD Series I / Paper 05 v0.1.

All mathematical source uses only the canonical delimiters $...$ and $$...$$.

No Unicode-math conversion is intended as source normalization.

The paper uses "dynamic fixed point" in the explicit TDCD sense defined in Section 7: an invariant moving trajectory under a non-autonomous update rule. It does not assert that every memory runtime is contractive, possesses a global Lyapunov function, has a unique attractor, or satisfies the sufficient stability assumptions used in the analytical propositions.

The formal results are theorem-style analytical statements under their explicitly declared assumptions and are not represented as machine-verified proofs.