Operator-Native RDSS：History-Decorated CEES 與 Causal Realization

Disjunctive Causes, Enabling Witnesses, Cause-Sensitive Quotients, and HP/HHP Regression Targets

版本： v0.12 Working Proof/Checker Draft
日期： 2026-08-10
作者：Neo.K
機構：EveMissLab／一言諾科技有限公司
定位： General CEES 的歷史裝飾化／因果實現身份／Branch Quotient 再精化
前置： ON-RDSS v0.9–v0.11

摘要

v0.11 已在 finite prime-event-structure 子域中建立：

(C_1,f,C_2)

形式的 hp/hhp-like Branch Quotient checker。

但 General CEES：

\mathcal E_G = (E,Con,\vdash,\lambda,Ty,Auth,Cert,Ver)

允許：

\{a\}\vdash c, \qquad \{b\}\vdash c,

即同一表面事件 $c$ 可以具有多個替代原因。

此時裸 configuration：

C=\{a,b,c\}

不足以唯一決定歷史因果結構。

本版因此將 CEES runtime configuration 升級為：

\boxed{ \widehat C = ( C, \pi, \le_\pi, v ). }

其中：

$C$ ：已發生的表面 events；
$\pi$ ：每次 event occurrence 使用的 enabling witness；
$\le_\pi$ ：由 witness choices 誘導的 concrete causal order；
$v$ ：EventSemanticsVersion。

同時引入雙層事件身份：

\boxed{ \widetilde e = (e,\kappa,v) }

其中：

$e$ ：surface semantic event；
$\kappa$ ：本次 causal/enabling witness；
$v$ ：語義版本。

投影：

\boxed{ q(\widetilde e)=e. }

因此：

\boxed{ \text{Surface Event Identity} \neq \text{Causal Realization Identity}. }

這使 ON-RDSS 可以保留「同一事件、不同因果歷史」，而不必把語義事件本身複製成互不相關的對象。

1. 文獻校正：HP 與 HHP 的差異確實需要 Backtracking

經典 HP/HHP 文獻明確指出：

HP 主要保持 forward runs 的 causal history；
HHP 再要求 backtracking 後的匹配仍然成立。

Fröschle–Hildebrandt 的標準例子給出兩個：

HPB

但非：

HHPB

的 1-safe nets。

核心機制：

兩邊都有平行 $a,b$ ；
forward HP matching 可以依 run 中 $a,b$ 出現順序選不同映射；
額外的 $c/d$ continuation 迫使某個 forward mapping；
HHP 回退其中一個平行事件後，留下的 mapping 進入一個兩邊 future 不再匹配的狀態；
因而 hereditary/backtracking 條件失敗。

此例成為 ON-RDSS checker 的正式外部 regression target。

2. v0.11 的限制

Prime Event Structure 中，每個 event 有固定 causal past：

Past(e).

因此 configuration：

C

本身足以導出：

\le_C.

但 General CEES 不成立。

如果：

Alt(c) = \{ \{a\}, \{b\} \},

則同一：

C=\{a,b,c\}

至少可存在兩個 causal histories：

a<c, \qquad b\parallel c\text{ except chosen cause},

或：

b<c.

所以：

\boxed{ RawConfiguration \neq ConcreteHistory. }

3. Enabling Witness

定義：

\boxed{ \kappa \in Witness_v(e) }

當：

\kappa\vdash_v e.

若：

e

initially enabled：

\kappa=\varnothing.

注意：

MissingWitness \neq \varnothing.

前者是 disabled / undefined，

後者是 explicit initial enabling。

4. Proving History

定義：

\boxed{ \pi = [ (e_1,\kappa_1), \ldots, (e_n,\kappa_n) ]. }

合法條件：

\boxed{ \kappa_i \subseteq \{e_1,\ldots,e_{i-1}\} }

且：

\boxed{ \kappa_i\vdash_v e_i. }

如果有 consistency：

\{e_1,\ldots,e_i\}\in Con_v

亦需逐 prefix 成立。

5. Induced Causal Order

由 proving history 定義 direct witness dependency：

\boxed{ e_j \prec_\pi^{0} e_i \iff e_j\in\kappa_i. }

令：

\boxed{ \prec_\pi = (\prec_\pi^{0})^+ }

為 transitive closure。

因此：

\widehat C = ( C,\pi,\prec_\pi,v ).

6. Causal Realization

表面事件：

e

在不同 histories 中可能有不同 occurrence：

\boxed{ \widetilde e_1=(e,\kappa_1,v), }

\boxed{ \widetilde e_2=(e,\kappa_2,v). }

且：

\kappa_1\neq\kappa_2.

但：

q(\widetilde e_1) = q(\widetilde e_2) = e.

7. 與 Causal Unfolding 的接口

既有 causal-unfolding 研究指出：

general event structure 可允許一個 event 有 disjunctive causes；
同一 event 的不同 causal histories 有時需要被重新具體化；
可藉由「prime cause occurrence + equivalence class」分離 event identity 與 concrete causal history。

ON-RDSS 的：

\widetilde e=(e,\kappa,v)

採用相鄰思想，但額外帶：

version；
authority；
certificate；
residual；
runtime history identity。

8. Same Event Set / Different History

Toy CEES：

\varnothing\vdash a,

\varnothing\vdash b,

\{a\}\vdash c,

\{b\}\vdash c.

兩個 histories：

\pi_A = [ (a,\varnothing), (b,\varnothing), (c,\{a\}) ]

以及：

\pi_B = [ (a,\varnothing), (b,\varnothing), (c,\{b\}) ].

兩者 raw configuration 相同：

\boxed{ C_A=C_B=\{a,b,c\}. }

9. 但 Causal Order 不同

History A：

\boxed{ a\prec_{\pi_A}c. }

History B：

\boxed{ b\prec_{\pi_B}c. }

因此：

\boxed{ \prec_{\pi_A} \neq \prec_{\pi_B}. }

有限 checker 實際得到兩種 distinct causal orders。

10. Causal Realization ID

可以定義：

\boxed{ RID(\widehat C) = Hash( [(e_i,\kappa_i,v)] ). }

它不是 semantic identity 的唯一來源，

而是 trace/replay 用的 concrete realization fingerprint。

Toy：

RID(\widehat C_A) \neq RID(\widehat C_B).

11. Backward-Ready Difference

對 induced causal poset，

可回退的 events 為 maximal events：

\boxed{ Max(\widehat C) = \{ e\in C \mid \nexists e'\in C,\; e\prec_\pi e' \}. }

History A：

Max(\widehat C_A) = \{b,c\}.

History B：

Max(\widehat C_B) = \{a,c\}.

若 $a,b$ profiles 不同，

backward-ready profile 立即不同。

12. 這對 HHP 的意義

HHP 的關鍵不是只看：

C_A=C_B.

而是：

當你把某個 maximal past event 撤回時，兩邊是否仍能維持匹配？

因此 general CEES 若不保存：

\pi,\prec_\pi

根本無法正確定義 history-preserving backtracking。

13. Governed History Isomorphism

兩個 decorated histories：

\widehat C_1, \widehat C_2

的映射：

f:C_1\to C_2

至少要求：

Event profile

\Lambda_1(e) = \Lambda_2(f(e)).

ON profile 包括：

( Label, Type, Authority, Residual ).

Causal realization order

\boxed{ e\prec_{\pi_1}e' \iff f(e)\prec_{\pi_2}f(e'). }

14. Profile-Relative Quotient

Toy 中若：

Profile(a)\neq Profile(b),

則：

\widehat C_A \not\cong \widehat C_B.

Checker：

\boxed{ GovernedProfileIsomorphic=false. }

15. 但如果 Profile 故意相同

若：

Profile(a)=Profile(b),

則可存在：

f(a)=b,

f(b)=a,

f(c)=c

使兩個 histories causal-isomorphic。

Checker：

\boxed{ SymmetricProfileIsomorphic=true. }

因此：

\boxed{ HistoryIdentity }

仍然相對於所選 profile/equivalence regime。

16. Raw Configuration Ambiguity

定義：

\boxed{ Real_v(C) = \{ \widehat C \mid Surface(\widehat C)=C \}. }

若：

|Real_v(C)|>1,

則 raw configuration 有 causal ambiguity。

Toy 中：

C=\{a,b,c\}

具有至少兩類 distinct causal orders。

17. Cause-Sensitive Mode

定義：

\boxed{ Mode=CauseSensitive. }

Runtime 狀態直接以：

\widehat C

為 identity unit。

所以：

\widehat C_A \neq \widehat C_B

即使：

Surface(\widehat C_A) = Surface(\widehat C_B).

適合：

governance；
replay；
scientific causality；
safety-critical systems。

18. Cause-Abstract Mode

若希望 parent layer 忘記具體 cause，

不能直接：

\widehat C\mapsto C.

而要有：

\boxed{ ForgetCauseCert_Q^v(C). }

候選充分條件：

\boxed{ \forall \widehat C_i,\widehat C_j \in Real_v(C), \quad BQCert_{Q,v} ( \widehat C_i, \widehat C_j ) \downarrow. }

也就是所有 relevant causal realizations 在指定 scope 下都屬同一安全 quotient class。

19. Forgetting Cause 是一種 Projection

因此：

\boxed{ ForgetCause: \widehat C \to C }

不是免費操作。

它會丟掉：

witness identity；
induced causal order；
backward-ready differences；
possibly future capabilities。

所以必須像其他 Project 一樣具有：

\boxed{ LossCert. }

20. Parent State 再次精化

Cause-sensitive parent state：

\boxed{ S_{parent} = Quotient( \widehat{\mathcal C} \mid BQCert ). }

Cause-abstract parent state：

\boxed{ S_{parent}^{abs} = Quotient( C \mid ForgetCauseCert ). }

兩者不能默認相同。

21. General CEES HP-like Triple

Prime v0.11：

(C_1,f,C_2).

General CEES 應改為：

\boxed{ ( \widehat C_1, f, \widehat C_2 ). }

$f$ 保存：

ON event profile；
concrete $\prec_\pi$ ；
version/scope conditions。

22. Forward Extension

General decorated transition：

\boxed{ \widehat C \xrightarrow{(e,\kappa)} \widehat C'. }

其中：

\kappa\vdash_v e.

新 causal realization：

\widetilde e = (e,\kappa,v).

23. hp-like Matching

若：

\widehat C_1 \xrightarrow{(e_1,\kappa_1)} \widehat C_1',

則另一邊需有：

\widehat C_2 \xrightarrow{(e_2,\kappa_2)} \widehat C_2'

使：

Profile(e_1)=Profile(e_2)

並延伸 history isomorphism。

不要求：

\kappa_1=\kappa_2

作為 raw event IDs 相等，

但要求它們在 $f$ 下形成等價 cause structure。

24. Backward Extension

對：

e\in Max(\widehat C),

允許：

\boxed{ \widehat C \xleftarrow{e} \widehat C^{-e} }

其中：

刪除 $e$ 的 occurrence；
刪除其 witness record；
保留剩餘 proving history 的合法性。

這是 HHP hereditary/backtracking 的 general-CEES 基礎。

25. Witness-Closed Subhistory

HHP hereditary closure 不能對任意 subset 生硬刪除。

必須保留：

\boxed{ \text{witness-closed subhistory}. }

即若：

e\in D

則其 chosen witness：

\kappa_e\subseteq D.

否則 $D$ 不是該 concrete causal history 的合法 past。

26. General HHP-like Relation

候選 relation：

\boxed{ R \subseteq \widehat{Conf}_1 \times Iso \times \widehat{Conf}_2. }

要求：

forward matching；
backward maximal-event matching；
history-isomorphism extension/restriction；
profile / authority / residual compatibility；
version scope compatibility。

27. Why Raw Event Set Is Not Enough for HHP

Toy：

Surface(\widehat C_A) = Surface(\widehat C_B).

但：

Max(\widehat C_A) = \{b,c\},

Max(\widehat C_B) = \{a,c\}.

因此若只存：

C=\{a,b,c\},

連「現在可以回退誰」都無法唯一決定。

28. Dynamic Meta Rewrite

v1：

Alt_{v1}(c) = \{ \{a\}, \{b\} \}.

Meta 後 v2：

Alt_{v2}(c) = \{ \{a,b\} \}.

舊：

\widetilde c = (c,\{a\},v1)

不應被直接重寫成：

(c,\{a,b\},v2).

29. Version-Pinned Causal Realization

定義：

\boxed{ \widetilde e=(e,\kappa,v). }

因此 old history：

\widehat C_{v1}

Replay 使用：

v1.

Checker 確認：

Valid_{v1}(\widehat C_A)=true,

而同一 history object 不符合 v2 rules。

30. Causal Migration

若希望舊 history 進入新 semantics：

\boxed{ CausalMig: ( \widehat C_{v1}, \mathfrak E_{v1}, \mathfrak E_{v2} ) \rightharpoonup ( \widehat C'_{v2}, Cert_{mig} ). }

可能：

preserve witness；
replace witness；
split realization；
grandfather；
reject。

31. Standard HP-not-HHP Regression Target

ON-RDSS checker 下一個正式 regression fixture 應加入經典：

\boxed{ HP=true, \qquad HHP=false. }

的 1-safe-net example。

其關鍵 assertion：

forward matching 存在，但 matching of concurrent $a,b$ depends on linearization；回退後，forced residual mapping 進入一個 future $d$ 只能由一邊執行的狀態。

這能檢查：

\boxed{ \text{forward fixed point} }

與：

\boxed{ \text{hereditary/backtracking fixed point} }

真的被程式分開。

32. 本輪 Checker 結果

Same raw event set

\boxed{ C_A=C_B=\{a,b,c\}. }

Different concrete causal orders

\boxed{ a<c }

versus：

\boxed{ b<c. }

Different causal realization IDs

\boxed{ RID_A\neq RID_B. }

Different backward-ready profiles

成立。

Governed profile isomorphism

\boxed{ false. }

Symmetric profile isomorphism

\boxed{ true. }

33. Checker Enumeration

Toy General CEES 共枚舉：

13

個 decorated proving histories。

其中 raw：

\{a,b,c\}

對應：

6

個不同 proving sequences，

但這些 histories 壓成：

2

種 distinct causal orders。

因此：

\boxed{ SequenceIdentity \neq CausalHistoryIdentity \neq RawConfigurationIdentity. }

34. 三層 Identity

現在至少需要：

Surface Configuration Identity

C.

回答：

哪些語義 events 發生過？

Causal History Identity

(C,\prec_\pi).

回答：

這些 events 是以什麼因果方式發生？

Concrete Replay Identity

(C,\pi,\prec_\pi,v).

回答：

實際使用了哪些 witnesses、在哪個版本發生？

35. Parent-State Quotient 的新輸入

以前：

Quotient(C_1,C_2).

現在更安全：

\boxed{ Quotient( \widehat C_1, \widehat C_2 ). }

除非先取得：

ForgetCauseCert.

36. 與 Operator Ontology 的關係

Enabling witness 自己也可以算子化：

\boxed{ \mathcal O_{\kappa} : ( C,e,\Gamma ) \rightharpoonup Cert_{\mathrm{enable}}. }

而 causal realization birth：

\boxed{ \mathcal O_{\mathrm{CauseRealize}} : ( e, \kappa, v ) \rightharpoonup \widetilde e. }

因此我們仍沒有破壞：

RDSS 最大域內所有內部構件算子化。

37. 下一個真正 theorem candidate

CR1 — Raw Configuration Insufficiency

存在 General CEES 與：

\widehat C_1,\widehat C_2

使：

Surface(\widehat C_1) = Surface(\widehat C_2)

但：

\prec_{\pi_1} \neq \prec_{\pi_2}.

本輪 toy model 已構造。

38. CR2 — Backward Capability Divergence

存在：

Surface(\widehat C_1) = Surface(\widehat C_2)

但：

Max(\widehat C_1) \neq Max(\widehat C_2).

本輪 toy model亦構造。

39. CR3 — Cause Forgetting Requires Certificate

若：

|Real_v(C)|>1

且其中存在：

\widehat C_i, \widehat C_j

不滿足指定 quotient relation，

則：

\boxed{ ForgetCause(C) }

不是 safe projection。

40. CR4 — Version-Pinned Cause Preservation

若：

\widetilde e=(e,\kappa,v)

已 committed，

新版本：

v'

不能在沒有 CausalMig 的條件下改寫：

\kappa.

這是 No Silent Retroactivity 在 causal-realization 層的版本。

41. 下一輪

將 v0.11 hp/hhp checker 升級成 decorated-history triples；
直接加入 backward moves，而不是只靠 hereditary subset closure；
翻譯並實作經典 HP-not-HHP regression example；
比較 explicit backward checker 與 hereditary closure checker 是否一致；
對 General CEES 加 conflict / consistency；
對同一 raw configuration 計算所有 causal realization quotient classes；
實作 ForgetCauseCert；
研究 causal unfolding 是否可作 ON-RDSS strong-history backend；
將 causal realization ID 接入 History / Replay；
開始準備第一篇 Operator-Native RDSS 正式論文的 theorem set。

42. 暫定結論

ON-RDSS 到 v0.12 再次修正了「狀態」的基本單位。

在具有 disjunctive causation 的系統中：

\boxed{ State \neq SetOfOccurredEvents. }

更準確：

\boxed{ RuntimeHistoryState = ( SurfaceEvents, EnablingWitnesses, InducedCausalOrder, SemanticsVersion ). }

也就是：

\boxed{ \widehat C = (C,\pi,\le_\pi,v). }

因此：

同一批事情都發生過，不代表它們是以同一種因果歷史發生。

而如果 parent layer 想忘記這個差異：

「忘記原因」本身就是一次有資訊損失的 projection，必須取得 certificate，而不能被當成免費的狀態壓縮。

ON_RDSS_History_Decorated_CEES_Causal_Realization_v0.12