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lm-002638 · 2026-08

ON_RDSS_Certified_Paracomposition_Critical_Pairs_v0.3

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Operator-Native RDSS：Certified Paracomposition、Critical Pairs 與 Normalization

Working Draft v0.3

日期： 2026-08-10
作者：Neo.K
機構：EveMissLab／一言諾科技有限公司
定位： 深層形式化工作文件／有限模型驗證
前置： Operator-Native RDSS Primitive Algebra v0.1、Deep Formal Backbone v0.2

0. 本輪核心結果

本輪將 ON-RDSS 的核心從單純二元部分合成：

O2⋄O1\mathcal O_2\diamond\mathcal O_1

進一步修正為：

typed operator words+certified partial reductions+critical-pair analysis+normal-form / residual semantics.\boxed{ \text{typed operator words} + \text{certified partial reductions} + \text{critical-pair analysis} + \text{normal-form / residual semantics}. }

其理由是 ON-RDSS 同時具有兩層部分性：

Partial Action\boxed{ \text{Partial Action} }

與：

Partial Composition.\boxed{ \text{Partial Composition}. }

單一算子可能只對部分輸入定義；而兩個合法算子之間也可能因 Type、Bridge、Authority、History、Certificate 等條件而無法合成。

1. Certified Paracomposition

定義 typed operator word：

WΓ=[O1,…,On]Γ.\boxed{ W_\Gamma = [ \mathcal O_1, \ldots, \mathcal O_n ]_\Gamma. }

定義部分 nn 元合成：

⟨On,…,O1⟩Γ⇀OW.\boxed{ \left\langle \mathcal O_n,\ldots,\mathcal O_1 \right\rangle_\Gamma \rightharpoonup \mathcal O_W. }

Binary ⋄\diamond 只是：

O2⋄O1:=⟨O2,O1⟩Γ.\mathcal O_2\diamond\mathcal O_1 := \langle \mathcal O_2,\mathcal O_1 \rangle_\Gamma.

因此 ON-RDSS 的核心不要求所有合法長鏈都必須由預先固定的 binary bracketing 建構。

2. Certified Reduction

定義：

W⇒Γ,cW′\boxed{ W \Rightarrow_{\Gamma,c} W' }

其中 cc 是本次 reduction 的 certificate。

每個合法 reduction 至少記錄：

c=(Rule,Location,TypeCheck,BridgeRefs,Authority,Invariant,HistoryEffect,OutputSignature).\boxed{ c = ( Rule, Location, TypeCheck, BridgeRefs, Authority, Invariant, HistoryEffect, OutputSignature ). }

因此 reduction 不只是字串重寫，而是：

typed + governed + witnessed rewrite.\boxed{ \text{typed + governed + witnessed rewrite}. }

3. Residual Semantics

若某 operator word 無法完全收斂，不直接壓成：

O⊥.\mathcal O_\bot.

而保留：

NFΓ(W)=[R1,…,Rk],k>1.\boxed{ NF_\Gamma(W) = [ R_1,\ldots,R_k ], \qquad k>1. }

每個不可約鄰接點附：

Obligation(Ri,Ri+1)\boxed{ Obligation(R_i,R_{i+1}) }

例如：

BridgeMissing,TypeMismatch,AuthorityMissing,CertMissing,HistoryConflict.BridgeMissing, TypeMismatch, AuthorityMissing, CertMissing, HistoryConflict.

所以：

Failure=ResidualStructure+DiagnosticCertificate.\boxed{ Failure = ResidualStructure + DiagnosticCertificate. }

只有已判定不可恢復的終端錯誤才壓成 bottom-like operator。

4. Normal Form

反覆 reduction：

W⇒∗NFΓ(W).W \Rightarrow^\ast NF_\Gamma(W).

若：

∣NFΓ(W)∣=1,|NF_\Gamma(W)|=1,

稱 fully reducible，並得到封裝高階算子。

若：

∣NFΓ(W)∣>1,|NF_\Gamma(W)|>1,

則：

composition remains open.\boxed{ \text{composition remains open}. }

這與 RDSS 的 Limbo / BridgeRequired / Missing / Stale 可建立對應。

5. Critical Pair 六分類

本文件暫定六類核心 critical pair。

CP-1 Bracketing Critical Pair

(O3⋄O2)⋄O1( O_3\diamond O_2 )\diamond O_1

與：

O3⋄(O2⋄O1).O_3\diamond( O_2\diamond O_1 ).

問題：兩條 reduction path 是否都 defined 且同義？

CP-2 Bridge Critical Pair

若：

B1,B2:X⇀YB_1,B_2: X\rightharpoonup Y

皆合法，則比較：

O2⋄B1⋄O1O_2\diamond B_1\diamond O_1

與：

O2⋄B2⋄O1.O_2\diamond B_2\diamond O_1.

問題：Bridge choice 是否在指定觀測域可商掉？

CP-3 Projection Critical Pair

比較：

Project⋄TransformProject\diamond Transform

與：

Transform‾⋄Project.\overline{Transform}\diamond Project.

問題：先投影是否丟失後續作用所需資訊？

CP-4 History Critical Pair

比較：

OB⋄OAO_B\diamond O_A

與：

OA⋄OB.O_A\diamond O_B.

如果：

HAB≠HBA,H_{AB}\neq H_{BA},

即使當前 observable state 相同，也不得任意交換。

CP-5 Authority Critical Pair

兩個 reduction 都在形式上可執行，但所需 authority 不同。

問題：不同 reduction path 是否偷偷改變誰具有 commit / write 權限？

CP-6 Meta Critical Pair

兩個 Meta-Operators：

M1,M2M_1, M_2

都要修改同一 operator algebra：

At.\mathfrak A_t.

比較：

M2(M1(A))M_2(M_1(\mathfrak A))

與：

M1(M2(A)).M_1(M_2(\mathfrak A)).

若不等價，就形成真正的 schema-history branch。

6. Confluence

若：

W⇒∗N1,W\Rightarrow^\ast N_1, W⇒∗N2,W\Rightarrow^\ast N_2,

且存在：

N1⇒∗N,N_1\Rightarrow^\ast N, N2⇒∗N,N_2\Rightarrow^\ast N,

則在該 word 上 confluent。

若：

N1≄N2N_1\not\simeq N_2

且不能再合流：

Reduction path is semantically relevant.\boxed{ \text{Reduction path is semantically relevant}. }

因此提出候選命題：

Non-Confluence⇒Historical Relevance\boxed{ \text{Non-Confluence} \Rightarrow \text{Historical Relevance} }

更精確地說：

若不同 certified reduction paths 得到在指定等價關係下不可合流的 normal forms，則 reduction history 不能被無損商掉。

這是單向候選命題，不主張所有 history dependence 都必須來自 rewriting non-confluence。

7. Observational Confluence

有時：

N1≠N2N_1\neq N_2

但：

ProjectQ(N1)=ProjectQ(N2).Project_Q(N_1) = Project_Q(N_2).

則可稱：

N1≃QN2.\boxed{ N_1 \simeq_Q N_2. }

此時 full-state rewriting 非合流，但 task-relative observation 合流。

因此需要區分：

StrongConfluence\boxed{ StrongConfluence }

與：

ObservationalConfluenceQ.\boxed{ ObservationalConfluence_Q. }

8. Bridge Confluence

定義：

BridgeConfluentΓ(B1,B2)\boxed{ BridgeConfluent_\Gamma(B_1,B_2) }

若兩條合法 Bridge chain 最後滿足：

Result(B1)≃ΓResult(B2).Result(B_1) \simeq_\Gamma Result(B_2).

若不成立，Bridge choice 必須寫入：

History.History.

9. ECV Normalization

對 E/C/V 三類宏算子指定 rank：

r(E)=0,r(C)=1,r(V)=2.r(E)=0, \qquad r(C)=1, \qquad r(V)=2.

若 operator word 中存在逆序 pair，且有 commutation certificate，允許交換：

OiOj⇒OjOiO_iO_j \Rightarrow O_jO_i

使 rank inversion 減少。

定義：

Inv(W)=#{(i,j):i<j,  r(Oi)>r(Oj)}.Inv(W) = \#\{ (i,j) : i<j,\; r(O_i)>r(O_j) \}.

若每次 ECV normalization rewrite 都滿足：

Inv(W′)<Inv(W),Inv(W') < Inv(W),

因：

Inv(W)∈N,Inv(W)\in\mathbb N,

則：

Certified ECV sorting terminates.\boxed{ \text{Certified ECV sorting terminates}. }

這只證明 termination，不證明 unique normal form。

10. ECV Confluence Conditions

若要存在唯一 ECV normal form，至少需要：

  1. 所有需要的合法 swap 有 certificate；
  2. 所有 local critical pairs 可 join；
  3. Bridge choices observationally confluent；
  4. Project 不提前刪除後續所需資訊；
  5. History-sensitive operators 的交換已證等價；
  6. Side-effects 可交換；
  7. Authority effect 不依 reduction path；
  8. Meta-Operators 在 normalization 期間固定，或版本被鎖定。

因此：

Termination≠Confluence.\boxed{ Termination \neq Confluence. }

11. ECV-reducible 子域

定義：

DECV={W∈W(P):NFECV(W) exists with certificate}.\boxed{ \mathfrak D_{ECV} = \{ W\in\mathcal W(\mathfrak P) : NF_{ECV}(W) \text{ exists with certificate} \}. }

ECV 是可正規化子域，而不是 universal ontology theorem。

12. 有限 checker 結果

本輪實作一個有限 certified rewriting toy checker。

Experiment 1 — ECV sorting

起始：

[V,E,C,E,V,C].[ V,E,C,E,V,C ].

起始 inversion：

6.6.

允許三種 certified swaps：

CE⇒EC,CE\Rightarrow EC, VE⇒EV,VE\Rightarrow EV, VC⇒CV.VC\Rightarrow CV.

結果唯一：

[E,E,C,C,V,V].\boxed{ [ E,E,C,C,V,V ]. }

探索到 18 個中間 words。

每一個 rewrite 都嚴格降低 inversion count。

因此此有限系統驗證 ECV sorting termination intuition。

13. Experiment 2 — Missing Bridge

起始 chain 經局部 reduction 後得到：

[AB,CD].\boxed{ [ AB, CD ]. }

系統沒有提供：

AB⇝CDAB\rightsquigarrow CD

所需 bridge。

因此不輸出單一 bottom，而保留：

Residual=[AB,CD].\boxed{ Residual=[AB,CD]. }

這直接展示：

irreducible≠meaningless.\boxed{ \text{irreducible} \neq \text{meaningless}. }

14. Experiment 3 — Observationally Confluent Bridges

有兩條：

NeedBridge⇒B1,NeedBridge\Rightarrow B_1, NeedBridge⇒B2.NeedBridge\Rightarrow B_2.

但兩條路徑均可 reduction 到：

ObservedSame.\boxed{ ObservedSame. }

因此：

BridgeChoice\boxed{ BridgeChoice }

在此觀測語義下可被商掉。

15. Experiment 4 — History-Preserving Non-Confluence

同樣有：

B1,B2.B_1,B_2.

但結果分別為：

[Result,H:B1][ Result,H:B_1 ]

與：

[Result,H:B2].[ Result,H:B_2 ].

得到兩個不可再 reduction 的 normal forms。

所以有限模型中：

BridgeChoice⇒DistinctHistory⇒NonConfluence.\boxed{ BridgeChoice \Rightarrow DistinctHistory \Rightarrow NonConfluence. }

這正是 ON-RDSS History-as-State 的 rewriting 版本。

16. Operator Algebra Version

定義當期代數：

At=(Pt,Σt,Rulest,Bridget,Certt,Equivt).\boxed{ \mathfrak A_t = ( \mathfrak P_t, \Sigma_t, Rules_t, Bridge_t, Cert_t, Equiv_t ). }

Meta：

Mt:At⇀At+1.\boxed{ \mathcal M_t: \mathfrak A_t \rightharpoonup \mathfrak A_{t+1}. }

因此：

NFAt(W)NF_{\mathfrak A_t}(W)

與：

NFAt+1(W)NF_{\mathfrak A_{t+1}}(W)

可能不同。

Replay 因而必須保存：

OperatorAlgebraVersion.\boxed{ OperatorAlgebraVersion. }

17. Algebra Lock

若正在 normalization：

W⇒∗NF(W),W \Rightarrow^\ast NF(W),

而同時：

At→At+1,\mathfrak A_t \rightarrow \mathfrak A_{t+1},

結果可能失去重播性。

因此引入：

OAlgebraLock\boxed{ \mathcal O_{\mathrm{AlgebraLock}} }

它不一定是 global lock，而可能只鎖定：

  • reduction rule version；
  • type signature version；
  • bridge registry version；
  • certifier version；
  • equivalence version。

一次 trace 必須記：

AlgebraSnapshotID.\boxed{ AlgebraSnapshotID. }

18. 12 Primitive Completeness

對 RDSS-relative operator O\mathcal O，若存在 primitive word / wiring：

W(P)W(\mathfrak P)

使：

W(P)⇒∗OW(\mathfrak P) \Rightarrow^\ast \mathcal O

且有：

Certderive,Cert_{\mathrm{derive}},

則稱 O\mathcal O 被 12 原語表示。

若 RDSS 01–09 的全部核心 operator 皆如此，得到：

RDSS-relative expressive completeness.\boxed{ \text{RDSS-relative expressive completeness}. }

不延伸為 universal mathematical completeness。

19. Primitive Independence

逐個移除：

Pi∈P.P_i\in\mathfrak P.

若仍能由：

P∖{Pi}\mathfrak P\setminus\{P_i\}

導出：

Pi,P_i,

則它只是方便 macro，不是不可約 primitive。

因此下一輪需要建立：

Primitive Elimination Test.\boxed{ \text{Primitive Elimination Test}. }

20. 新的 ON-RDSS 深層總式

不再把每一步都強行壓成單一 composite operator。

更一般表示：

(Wt,At,Ht)⇒Γt,Certt∗(NFt(Wt),At,Ht′)→Mt(Wt+1,At+1,Ht+1).\boxed{ ( W_t, \mathfrak A_t, H_t ) \xRightarrow[\Gamma_t,Cert_t]{\ast} ( NF_t(W_t), \mathfrak A_t, H_t' ) \xrightarrow{\mathcal M_t} ( W_{t+1}, \mathfrak A_{t+1}, H_{t+1} ). }

若：

∣NFt(Wt)∣=1,|NF_t(W_t)|=1,

則：

NFt(Wt)=[Ot+1].NF_t(W_t) = [ \mathbb O_{t+1} ].

若：

∣NFt(Wt)∣>1,|NF_t(W_t)|>1,

則保留：

open computational residual.\boxed{ \text{open computational residual}. }

這比強迫所有計算必須立即得到單一 output 更符合 RDSS 的動態／Limbo／歷史依賴思想。

21. 下一步

下一階段可正式進入：

  1. Certified Paracomposition Axioms v1；
  2. Critical Pair Taxonomy 的形式定義；
  3. Newman-style conditional confluence route：在 terminating 子域中，研究 local confluence 是否足以導出 confluence；
  4. Primitive elimination checker；
  5. Typed wiring graph checker；
  6. ECV normal-form 子域 benchmark。

22. 暫定結論

ON-RDSS 的數學中心已經從：

State Machine\text{State Machine}

一路移到：

Certified Partial Operator Rewriting.\boxed{ \text{Certified Partial Operator Rewriting}. }

目前最適合的層級化定位為：

Restriction-like local partiality\boxed{ \text{Restriction-like local partiality} } ++ Certified paracomposition\boxed{ \text{Certified paracomposition} } ++ Typed wiring / recursive bundling\boxed{ \text{Typed wiring / recursive bundling} } ++ Versioned meta-evolution.\boxed{ \text{Versioned meta-evolution}. }

真正需要證明的不再是「萬物是不是算子」，而是：

在部分作用、部分合成、橋接選擇、歷史、證書與規則自我改寫同時存在時，哪些子域仍具有終止性、合流性、可重播性與局部正規形？