非適應性計算基線：二十種數學認知障礙的機械化還原

The Non-Adaptive Computational Baseline: Mechanizing Twenty Barriers in Mathematical Problem Solving

系列：計算基底、認知干預與廣義智能計算研究，第 2 篇／共 8 篇
作者：Neo.K
機構：EveMissLab／一言諾科技有限公司
日期：2026-08-07

摘要

前篇提出二十類數學問題障礙，並以搜索、表示、結構、證明與元問題五個維度描述數學問題對不同求解系統形成的困難。然而，「某問題需要直覺」、「需要發明表示法」、「需要找到中間引理」等敘述仍混合了兩個不同層次：一是問題本身需要完成的狀態轉換；二是智能體如何選擇、預測與組織這些轉換。

本文刻意拿掉後者，建立一個非適應性計算基線：

\boxed{ \text{Non-Adaptive Computational Baseline, NACB} }

NACB 並非沒有演算法、沒有啟發式，也不等於單純逐項暴力枚舉。它允許任何事先指定且可機械執行的：

搜索；
剪枝；
排序；
動態規劃；
clause learning；
cache；
隨機抽樣；
形式推導；
表示轉換；
證明驗證。

但執行期間的所有此類行為都必須由既定程序生成，而不能由一個高階智能體主動重新定義「現在應該解什麼問題」、「應該使用什麼概念語言」、「哪些規則才算有效」或「為什麼原問題可能問錯」。

本文重新分析前篇二十種數學障礙，指出其中大量看似「認知型」的能力，在完全機械化後可以轉化為：

\boxed{ \begin{aligned} &\text{Enumeration},\\ &\text{Transformation Search},\\ &\text{Proof Search},\\ &\text{Verification},\\ &\text{Compression Search},\\ &\text{Resource Management}. \end{aligned}}

然而，這並不意味所有數學問題只是「給足算力即可」。可計算性、可判定性、無限搜索、表示空間大小、驗證器本身的正確性，以及不可判定問題仍構成根本界線。

本文的核心主張是：

\boxed{ \text{許多被描述成「智能困難」的現象， 在固定形式系統中可以重新表達成計算空間與資源配置問題； 但這不等價於它們在所有情況下都可有效計算。} }

這為下一篇「廣義智能體的認知干預算子」建立了一個必要的零階比較基線。

關鍵詞

非適應性計算、證明搜尋、枚舉、形式驗證、計算複雜度、可判定性、暴力搜尋、數學推理、AI 數學、表示空間

1. 為什麼需要一個「拿掉智能」的基線？

當我們說：

「這題需要直覺。」

其實可能包含兩種完全不同的敘述。

第一種是：

沒有好的策略時，候選空間太大。

第二種則是：

存在某種不能由固定計算程序實現的特殊能力。

這兩件事不能直接畫上等號。

同樣地：

「需要發明一個新表示法」

也可能只是意味著：

\text{現有表示空間中存在一個非常低機率、但可描述的有用表示。}

如果所有有限描述都可枚舉，那麼理論上可以搜索表示法。

真正的問題可能不是：

\text{能不能產生它？}

而是：

\text{要搜索多久？}

因此本文提出一個反事實問題：

假設完全不允許智能體在執行中進行高階主動選擇、經驗式重構、直覺預判或問題重新定義，只允許事先指定的可計算規則，那麼前篇二十種數學困難各自會變成什麼？

2. NACB 的正式定義

定義一個非適應性計算系統：

\boxed{ \mathcal N= ( \mathcal S, \mathcal A, T, \pi_0, V, G, \mathcal B ) }

其中：

\mathcal S

是可表示的計算狀態集合；

\mathcal A

是可執行操作集合；

T: \mathcal S\times\mathcal A \rightarrow \mathcal S

是狀態轉移；

\pi_0: \mathcal S \rightarrow \Delta(\mathcal A)

是事先固定的操作政策；

V

是候選答案、證明或狀態的驗證程序；

G

是固定任務目標；

\mathcal B=(B_T,B_S,B_C,\ldots)

是時間、空間、通訊等資源預算。

其中：

\Delta(\mathcal A)

允許 $\pi_0$ 為確定或隨機政策。

3. 「非適應性」不等於「不會根據狀態改變行為」

這是一個重要校正。

一個 A* 搜索器會根據節點成本決定下一個節點。

一個 SAT solver 可以：

unit propagation；
conflict detection；
clause learning；
restart；
branching heuristic。

這些表面上都「會學習」或「會調整」。

本文仍允許把它們放進 NACB。

因為只要：

\pi_0

和更新規則在執行前已被固定，那麼執行中的變化仍然只是：

s_t\rightarrow s_{t+1}.

換句話說：

\boxed{ \text{state adaptation} \neq \text{policy-level cognitive adaptation}. }

本文所排除的是例如：

「這套問題表示法不好，我重新發明一種表示空間。」

「這個 proof objective 本身可能問錯了，我改問另一個問題。」

「我過去的搜索風格一直失敗，因此我要修改自己判定『好方法』的標準。」

除非這些行為本身已經作為普通可枚舉操作，被寫進 $\pi_0$ 所允許的程序。

4. NACB 可以很強

因此 NACB 不應被理解為：

\text{for i in range(N): test(i)}

而可以包含非常先進的計算程序。

例如：

\boxed{ \text{generate} + \text{rank} + \text{search} + \text{prune} + \text{verify} }

只要 ranking function、search rule、pruning rule 與 verifier 都事先固定。

這一區分對 AI 數學尤其重要。

現代形式證明系統通常同時依賴 proof generation、premise retrieval、搜索以及 kernel verification；例如 LeanSearch v2 的研究顯示，更好的 global premise retrieval 可以直接提高固定 prover loop 的證明成功率，說明「找到哪些既有引理值得拿來用」本身就是一個獨立搜索瓶頸。

而 2026 年的 Pythagoras-Prover 則進一步顯示，proof length、training data 與 inference compute 都會強烈影響形式證明效果；換言之，單純存在一個可驗證 proof 並不代表「找到它」的計算成本很小。

5. 第一類：小尺度暴力搜尋不能終結全稱命題

設：

P(n)

為一個可判定 predicate。

NACB 可以執行：

P(1),P(2),P(3),\ldots

若存在反例：

\exists n:\neg P(n),

而枚舉是公平的，則某些情況下：

\text{finite counterexample} \Rightarrow \text{eventual discovery}.

然而若：

\forall n\,P(n),

則即使已經驗證：

P(1)=P(2)=\cdots=P(10^{100})=1,

仍然不能單靠這些計算推出：

\forall n\,P(n).

因此障礙轉化成：

\boxed{ \text{finite enumeration} \not\Rightarrow \text{universal certification}. }

NACB 若要完成全稱命題，必須：

找到一個有限證明；
找到有限 certificate；
或使用另一個已證定理把無限集合壓縮成有限推理。

6. 第二類：無法靠知名題型匹配

對智能體而言：

「看出這是 Pell equation」

可能像是一個瞬間洞見。

對 NACB 而言，不存在「看出」。

但若有可枚舉轉換族：

\mathcal R= \{ R_1,R_2,\ldots \},

系統可以嘗試：

R_1(P),R_2(P),R_3(P),\ldots

並檢查轉換後問題是否進入某個已知可解類別。

因此：

\boxed{ \text{pattern recognition} \rightarrow \text{transformation-space search}. }

困難沒有消失。

它只是從：

\text{「不知道是哪一類問題」}

改寫成：

\text{「要在多少候選轉換中才能命中有效轉換？」}

7. 第三類：需要多個不自然結構相連

若正確路徑為：

P \xrightarrow{R_a} P_1 \xrightarrow{R_b} P_2 \xrightarrow{R_c} P_3,

而每一層有平均 $b$ 個候選操作，深度為 $d$ ，最粗略的完整搜索可能接近：

O(b^d).

因此所謂：

「跨兩個領域的非直覺洞見」

在固定操作語言下可以被翻譯成：

\boxed{ \text{deep composition search}. }

真正的難點是 branch factor 和 depth。

8. 第四類：大量數值證據不能代替證明

這一點對 NACB 反而很乾淨。

定義兩個不同 verifier：

V_{\mathrm{instance}}(P,n)

和：

V_{\mathrm{proof}}(\pi,P).

前者只回答：

P(n)?

後者回答：

\pi\vdash P?

因此：

\boxed{ \underbrace{\forall n\le N,\;V_{\mathrm{instance}}(P,n)=1}_{\text{finite computation}} }

不會被 verifier 自動當成：

\boxed{ V_{\mathrm{proof}}(\pi,\forall nP(n))=1. }

這裡「證據」與「證明」在形式層面可完全分離。

9. 第五類：高度誘惑的假證明

「誘惑」本身不屬於 NACB。

若 proof checker 正確，則：

V(\pi,P)= \begin{cases} 1,&\pi\text{ 合法證明}\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

形式錯誤不是心理陷阱，而只是驗證失敗。

因此：

\boxed{ \text{cognitive proof trap} \rightarrow \text{verification problem}. }

然而這裡必須再加一道重要限制：

\boxed{ \text{verified formal derivation} \neq \text{intended theorem correctly formalized}. }

2026 年對多個 Lean theorem-proving benchmarks 的審計發現，machine-checked proof 仍不能保證 formal statement 忠實表達原本 informal problem；研究甚至找出 vacuous theorem、錯誤形式化與 benchmark evaluation defect。

因此 verifier 只能保證：

\pi\vdash F,

不能自動保證：

F=\text{我們原本想證明的命題}.

這個差異將在後續「智能干預」與「問題重構」部分再次出現。

10. 第六類：局部與全局互相欺騙

NACB 不會被「欺騙」。

如果：

P(U_i)

與：

P\left(\bigcup_iU_i\right)

都是明確可計算對象，那就分別計算。

難點只在：

\boxed{ \text{全局對象是否有限可表示、有限可驗證？} }

如果整體涉及：

n\rightarrow\infty,

則問題重新落入：

極限證明；
無限量詞；
compact certificate；
structural proof。

因此局部—全局障礙被改寫成：

\boxed{ \text{representation size} + \text{global verification}. }

11. 第七類：找到不變量，但不是有用的不變量

設候選函數語言：

\mathcal F= \{f_1,f_2,\ldots\}.

可以枚舉並驗證：

f_j(Tx)=f_j(x).

因此尋找 invariant 本身可以轉成：

\boxed{ \text{function-space enumeration}. }

但若找到：

10^8

個 invariant，真正問題仍然是：

f_j\Rightarrow P?

因此還需要第二層：

V( f_j\Rightarrow P ).

所以：

\boxed{ \text{useful invariant search} = \text{invariant enumeration} + \text{implication proof search}. }

12. 第八類：正確中間命題更難想到

設形式語言中的合法公式可枚舉為：

Q_1,Q_2,Q_3,\ldots

NACB 可以搜索：

P_{\mathrm{premise}} \vdash Q_i

以及：

Q_i\vdash P_{\mathrm{target}}.

甚至：

Q_{i_1},Q_{i_2},\ldots,Q_{i_k}

的多 lemma 組合。

因此：

\boxed{ \text{lemma invention} \rightarrow \text{formula-space search}. }

形式上不需要「靈感」。

但公式空間的增長速度足以令實際搜索不可承受。

13. 第九類：發明新的表示法

只要表示方式可以被有限描述：

r\in\Sigma^\ast,

它就可以被枚舉：

r_1,r_2,r_3,\ldots

例如：

r_1(P)=\text{graph encoding},

r_2(P)=\text{matrix encoding},

r_3(P)=\text{generating function}.

理論上：

\boxed{ \text{representation invention} \rightarrow \text{representation-space enumeration}. }

但這裡有一個巨大代價：

對每個 $r_i$ ，還需要判斷：

\operatorname{Useful}(r_i,P)?

而「有用」本身通常又需要解一部分原問題才能知道。

因此表示搜索具有高度自指性：

\boxed{ \text{為了知道表示是否值得用， 往往必須先使用它進行昂貴計算。} }

14. 第十類：表面領域與核心領域不同

對純形式計算而言：

\text{number theory}, \quad \text{graph theory}, \quad \text{linear algebra}

最終都可編碼成符號與規則。

學科名稱本身不是計算邊界。

若存在：

R: \mathcal P_{\mathrm{number}} \rightarrow \mathcal P_{\mathrm{graph}},

且 $R$ 可描述，NACB 即可枚舉或直接使用 $R$ 。

因此：

\boxed{ \text{cross-domain insight} \rightarrow \text{cross-representation transformation}. }

這也說明：

「跨領域」很可能主要是智能體的知識組織問題，而不一定是基礎計算模型中的原生分類。

15. 第十一類：對稱性陷阱

若 NACB 完整枚舉：

x\in X,

它不會因為：

P

具有對稱性，就心理上偏好對稱解。

因此：

\text{symmetry bias}=0

是可能的。

但代價是：

|X|

全部都要算。

若利用群作用 $G$ ：

X/G

進行 quotient search，可以大幅壓縮。

所以：

\boxed{ \text{不使用偏好} \Rightarrow \text{避免錯誤先驗}, }

但也可能意味：

\boxed{ \text{失去巨大的搜索壓縮}. }

16. 第十二類：證明不存在

有限空間：

X=\{x_1,\ldots,x_N\}

可以直接驗證：

\forall i,\neg P(x_i).

但若 $X$ 無限，持續找不到：

x

只說明：

\text{目前尚未找到}.

而不是：

\nexists x.

因此最好把不存在轉成有限證書：

\exists \pi: \pi\vdash\neg\exists xP(x).

即：

\boxed{ \text{infinite non-existence} \rightarrow \text{finite certificate search}. }

如果不存在這樣的可得 certificate，枚舉程序可能永遠不能停止。

17. 第十三類：分類全部解

若：

|\mathcal E|<\infty,

可全部列舉。

但若：

|\mathcal E|

巨大甚至無限，一個更有用的輸出是：

\mathcal E= \{G(\theta):\theta\in\Theta\}.

此時需要搜索：

G_1,G_2,\ldots

以及驗證：

\operatorname{Im}G_i=\mathcal E.

因此分類問題變成：

\boxed{ \text{solution enumeration} + \text{compression/generator search}. }

18. 第十四類：相變點

對參數：

\lambda

可以執行：

\lambda_1,\lambda_2,\ldots

的數值掃描。

若發現行為在：

\lambda\approx1.732

附近改變，只得到：

\lambda_c\approx1.732.

它不等於：

\lambda_c=\sqrt3,

更不等於：

\text{證明 }\sqrt3\text{ 是唯一臨界點}.

因此需區分：

\boxed{ \text{transition detection}, \quad \text{exact identification}, \quad \text{criticality proof}. }

三者可以具有完全不同成本。

19. 第十五類：邊界案例

這類問題在 NACB 下反而可能比較容易管理。

只要 domain 已明確定義：

X,

並且枚舉或 verifier 覆蓋全部條件，就不存在：

「我覺得 $x=0$ 應該沒差。」

但是：

\boxed{ \text{系統不會主動發現定義域本身漏寫了 }x=0. }

所以：

已形式化邊界：計算問題；
未形式化邊界：規格問題。

這兩者不能混在一起。

20. 第十六類：量詞順序

形式語言中：

\forall x\exists y\,P(x,y)

和：

\exists y\forall x\,P(x,y)

是不同 syntax tree。

若 inference rules 正確，proof checker 不會因語義「感覺接近」而交換兩者。

因此：

\boxed{ \text{quantifier confusion} \rightarrow \text{formal syntax/inference verification}. }

這是形式化相對自然語言推理的一項重要優勢。

21. 第十七類：lemma 的逆否與多方向使用

若已有：

A\Rightarrow B,

形式邏輯允許導出：

\neg B\Rightarrow\neg A.

所以 NACB 可以把整個推理空間視為 graph：

G_{\mathrm{proof}} = (V_{\mathrm{statement}},E_{\mathrm{inference}}).

求證：

P

變成某種：

\boxed{ \text{reachability/search problem}. }

難點不在「看不出逆否」的心理障礙，而在：

|V|, \quad |E|, \quad \text{branching}, \quad \text{search depth}.

22. 第十八類：必須排除大量錯路

形式化後就是搜索樹：

\mathcal T.

每一分支：

H_i

繼續展開，直到：

H_i\vdash\bot

或達到資源界限。

沒有預判時，可能：

\boxed{ \text{expand almost everything}. }

因此「研究經驗可以少走很多錯路」在 NACB 中被翻譯為：

\boxed{ \text{better branch ordering or pruning policy}. }

但若 policy 固定，它仍屬 NACB。

23. 第十九類：最短證明與最容易發現證明不同

若按 proof length 枚舉所有合法 proof terms：

|\pi|=1,2,3,\ldots

第一個成功的：

\pi^\ast

滿足：

\pi^\ast = \arg\min_{\pi:V(\pi,P)=1} |\pi|.

所以最短 proof 在理論上可由枚舉定義。

但：

\boxed{ \text{minimum description} \neq \text{minimum discovery cost}. }

最短證明可能藏在一個極難命中的 proof prefix 後面。

較長但結構局部明顯的證明反而更容易找到。

近期形式證明工作也持續顯示長 proof traces 和 inference compute 是實際瓶頸，而並非只有「有沒有合法 proof」這個二元問題。

24. 第二十類：題目本身需要被質疑

這是 NACB 最特殊的一類。

如果目標固定：

G=P,

那麼系統只會求解 $P$ 。

它不會突然問：

為什麼要證 $P$ ？

除非我們預先定義一個 problem-neighborhood operator：

\mathcal N(P) = \{ P_1,P_2,\ldots \}.

例如允許產生：

weaker assumptions；
stronger conclusions；
equivalent forms；
removed conditions；
alternative constants；
dual statements。

此時「質疑問題」仍然可以被計算化成：

\boxed{ \text{problem-space enumeration}. }

但新的核心問題立刻出現：

誰決定 $\mathcal N(P)$ 的生成規則？

如果這些規則仍是固定的，它只是更大的 NACB。

若系統能自己改變「哪些鄰近問題值得生成」的判準，就開始進入下一篇要處理的認知干預層。

25. 二十種障礙在 NACB 下的壓縮

前述二十項在拿掉主動智能干預後，可以大致映射到六種基礎類別。

原障礙	NACB 主要形式
小尺度搜索不足	Enumeration / Proof Search
無標準題型	Transformation Search
多結構連接	Deep Transformation Search
數值證據不足	Verification / Proof Search
假證明誘惑	Verification
局部—全局	Global Representation / Verification
useful invariant	Function Search + Proof Search
中間 lemma	Formula Search
新表示法	Representation Search
跨領域	Transformation Search
對稱陷阱	Coverage vs Compression
不存在	Certificate Search
分類全部解	Compression / Generator Search
相變	Enumeration + Exact Proof
邊界案例	Coverage / Specification
量詞	Formal Verification
多方向 lemma	Graph Search
排除錯路	Tree Search
最短證明	Ordered Proof Enumeration
質疑問題	Problem-Space Search

這個表不是數學上的等價定理，而是一套機械化還原 taxonomy。

26. 六個基礎計算類別

26.1 枚舉

\boxed{ \mathcal E_{\mathrm{num}} }

對一個可生成空間：

X=\{x_1,x_2,\ldots\},

逐步產生候選。

其價值是：

\text{coverage}.

代價是：

\text{scale}.

26.2 轉換搜索

\boxed{ \mathcal E_{\mathrm{trans}} }

在操作空間：

R_1,R_2,\ldots

中搜索：

P\rightarrow R_i(P).

它涵蓋：

重寫；
代換；
新座標；
graph encoding；
domain translation。

26.3 證明搜索

\boxed{ \mathcal E_{\mathrm{proof}} }

在 formal derivation space 中尋找：

\pi

使：

V(\pi,P)=1.

proof generation 與 proof verification 必須分離。

實際系統中 premise retrieval 也可以成為主要瓶頸：LeanSearch v2 的結果顯示，在固定 prover 下改善前提檢索即可明顯提高證明成功率。

26.4 驗證

\boxed{ \mathcal V }

理想化為：

V(x)\in\{0,1\}.

驗證通常比發現更結構化，但它也不是完全免費。

而且：

\boxed{ \text{kernel correctness} \neq \text{specification correctness}. }

2026 年 ACL Industry Track 的 T² 工作也顯示，單純 compile success 可能高估 theorem generation 的 semantic correctness；作者使用依賴後續 theorem 是否仍能成立的測試方式，得到明顯更低的 semantic accuracy。

所以 verifier 本身也有不同層次。

26.5 壓縮搜索

\boxed{ \mathcal E_{\mathrm{comp}} }

大量答案：

x_1,x_2,\ldots

可能需要被壓成：

G(\theta),

或一個 theorem：

T.

從純計算角度，一個高品質 invariant、分類定理或公式都可視為：

\boxed{ \text{a compact representation of a large state family}. }

這不是在宣稱「所有數學洞見就是資料壓縮」，而是指出壓縮率提供了一個很有用的計算觀點。

26.6 資源管理

即使問題可計算：

f(x)

仍可能有：

T(n)=2^{2^n}

或其他不可實際承受的資源需求。

因此：

\boxed{ \text{computable} \neq \text{feasibly computable}. }

時間：

T(n),

空間：

S(n),

通訊：

C(n),

以及平行性都需要獨立考慮。

27. 暴力搜尋的重新定義

「暴力搜尋」經常被當成低階甚至負面方法。

本文採更中性的定義：

\boxed{ \mathcal C_{\mathrm{brute}} = \text{explicit realization of candidate state space under weak structural priors}. }

中文可表述為：

在很少依賴問題特定結構先驗的情況下，顯式實現候選狀態空間的能力。

因此暴力搜尋不是「沒有能力」。

它具有一個非常重要的特性：

\boxed{ \text{coverage}. }

如果：

空間有限；
verifier 正確；
資源足夠；

那完整 enumeration 可以提供其他 heuristic 方法未必具有的覆蓋保證。

28. 「暴力」與「聰明算法」不是本體上的二分

例如動態規劃、A*、SAT solving 或 theorem proving 本身都可能同時具有：

\text{enumeration} + \text{pruning} + \text{memoization} + \text{heuristics}.

因此更正確的軸不是：

\text{brute} \leftrightarrow \text{intelligent}.

而是：

\boxed{ \text{weakly structured exhaustive realization} \leftrightarrow \text{strongly structured selective realization}. }

兩端都仍然是 computation。

29. 可計算性是第一道真正不能靠更多算力消失的界線

到目前為止，大量障礙都可以被改寫為：

搜索空間太大。

但是存在另一種問題：

\boxed{ \text{不存在對所有輸入皆正確停止的一般判定算法}. }

最典型為 Halting Problem。

不存在一般算法：

H(M,x)

能對所有程式 $M$ 和輸入 $x$ 正確判斷：

M(x)

是否最終停機。

這與：

T(n)=10^{10^{100}}

不是同一種困難。

後者是：

\text{非常昂貴但仍有算法}.

前者是：

\text{不存在這樣的通用判定算法}.

因此最少應區分：

\boxed{ \text{tractable} \subset \text{computable but intractable} \subsetneq \text{all mathematically expressible decision problems}. }

30. 半判定與公平枚舉

另一個容易被忽略的修正是：

「一直枚舉就一定找得到答案」

並不總成立。

若候選集可遞歸枚舉，且 witness 存在：

\exists xP(x),

在公平枚舉下可能最終找到 witness。

但對：

\forall xP(x)

或：

\nexists xP(x)

並不一定能有限停止。

因此需區分：

\boxed{ \text{decidable}, \quad \text{semi-decidable}, \quad \text{undecidable}. }

這是後續任何「給無限算力就全部算完」敘述必須守住的邏輯邊界。

31. 無限資源也不能被隨意使用

「假設無限算力」本身還需要非常謹慎。

因為：

\text{arbitrarily large finite resources}

與：

\text{completed actual infinity}

不是同一個計算模型。

如果對每個有限 $N$ 都可以計算：

f_N,

並不代表有一台普通機器可以在有限時間執行真正無限步計算。

因此本文使用的極限語言只表示：

B_T,B_S\rightarrow\text{arbitrarily large finite values},

而不自動引入超圖靈計算。

32. NACB 的一個通用程序

可以寫出一個極端抽象的 NACB：

s_0=P.

在每一輪：

\mathcal C_t = \operatorname{Generate}(s_t),

產生：

candidate；
transformation；
lemma；
representation；
proof prefix。

再：

\mathcal C_t' = \operatorname{Filter}_{\pi_0}(\mathcal C_t).

接著：

V(c)

驗證每個候選。

成功則：

\operatorname{Return}(c).

否則：

s_{t+1} = \operatorname{Update}(s_t,\mathcal C_t').

這裡即使：

\operatorname{Filter}

非常複雜，只要它事先固定，仍屬 NACB。

33. NACB 可以模擬「看起來很像智能」的行為

例如我們可以預先寫：

如果發現十次 symmetry search 都失敗，就改用 asymmetric search。

形式上：

c_{\mathrm{sym}}\ge10 \Rightarrow a_{t+1}=a_{\mathrm{asym}}.

它看起來像：

「系統反思後改變策略。」

但只要規則預先存在，它仍只是：

T(s_t).

這揭露了一個本系列很重要的方法論問題：

\boxed{ \text{行為看起來具有智能} \not\Rightarrow \text{必須引入新的計算本體}. }

因此下一篇討論「認知干預」時，我們要特別避免用表面行為定義智能。

34. 那麼下一篇的「智能干預」究竟還剩什麼？

如果所有固定規則都能放進 NACB，那智能干預不能簡單定義成：

會剪枝。

因為固定 SAT solver 也會。

也不能只是：

會使用記憶。

cache 也會。

更不能只是：

會根據結果修改後續行動。

普通 feedback controller 就會。

因此下一篇真正需要研究的是：

\boxed{ \text{高階策略空間本身的條件式修改}. }

例如：

\pi_t \rightarrow \pi_{t+1},

以及：

\mathcal R_t \rightarrow \mathcal R_{t+1},

G_t \rightarrow G_{t+1},

甚至：

V_t \rightarrow V_{t+1}.

也就是：

不只是狀態在變，而是「產生狀態的計算組織方式」也成為可修改對象。

35. 一個重要的層級區分

因此我們可以先得到：

Level 0：狀態轉換

s_t\rightarrow s_{t+1}.

Level 1：固定政策下的操作選擇

a_t=\pi_0(s_t).

Level 2：政策更新

\pi_t\rightarrow\pi_{t+1}.

Level 3：表示與問題空間更新

(\mathcal S,\mathcal R,G) \rightarrow (\mathcal S',\mathcal R',G').

Level 4：修改「如何修改自己」的規則

\Psi_t\rightarrow\Psi_{t+1}.

NACB 的核心參照點主要位於：

\boxed{ \text{Level 0--1} }

並允許 Level 2–4 的行為被事先固定模擬，但不把這種固定模擬自動稱為「智能主動干預」。

36. NACB 不等於現實計算機的全部能力

還要避免另一個錯誤：

「NACB = 今日電腦。」

不是。

NACB 是理論比較基線。

實際現代電腦／AI 系統通常是混合體：

\boxed{ \text{fixed algorithms} + \text{learned policies} + \text{external memory} + \text{adaptive models} + \text{human intervention}. }

所以這裡不是在分類硬體，而是在拆解功能來源。

37. 一個新的觀點：數學中的「洞見」可能對應搜索空間的巨大降維

假設原始候選數：

|X|=2^n.

找到一個 structural invariant 後只需研究：

|X'|=n^3.

則洞見帶來：

\frac{|X|}{|X'|} = \frac{2^n}{n^3}.

倍的狀態空間壓縮。

這使我們可以暫時把某些洞見理解成：

\boxed{ \text{computationally valuable state-space transformations}. }

但此處仍不能說：

\text{insight}=\text{compression}.

因為：

哪種壓縮保留目標資訊？
哪種表示具有可證明性？
為什麼選這個壓縮？

仍然是後續智能干預要處理的問題。

38. 一個更精確的 NACB 有效成本

對問題 $P$ ，可以暫時定義：

C_{\mathrm{NACB}}(P) = C_E + C_T + C_\Pi + C_V + C_K + C_R,

其中：

C_E=\text{enumeration cost},

C_T=\text{transformation-search cost},

C_\Pi=\text{proof-search cost},

C_V=\text{verification cost},

C_K=\text{compression-search cost},

C_R=\text{resource-management overhead}.

這不是要求所有問題真的線性相加，而是作為 bookkeeping model。

它至少迫使我們問：

一個系統看似「只用了三步」得到答案時，有多少成本其實藏在預計算、索引、定理庫或離線搜索裡？

39. 驗證能力也不是絕對可靠的終點

形式驗證具有巨大價值，但仍需區分三層：

V_1: \text{syntax validity},

V_2: \text{formal derivation validity},

V_3: \text{semantic/specification fidelity}.

可能有：

V_2=1,

但：

V_3=0.

即：

證明形式上完全合法，但證錯了問題。

NTP4VC 在真實軟體 verification conditions 上的研究也顯示，即使神經 theorem proving 在競賽數學有進展，真實 program verification 的 proof obligations 仍然形成明顯瓶頸。

因此：

\boxed{ \text{verification itself has a hierarchy}. }

40. NACB 的真正作用

本文不主張：

「智能其實不存在，全部只是暴力搜尋。」

也不主張：

「只要算力無限，數學全部可解。」

本文只建立一個對照實驗：

\boxed{ \text{如果移除高階智能體干預， 有多少表面上的認知困難仍可被改寫成明確計算任務？} }

答案是：

很多。

但：

\boxed{ \text{可寫成計算任務} \neq \text{可有效完成} \neq \text{可判定}. }

這三者必須始終分開。

41. 本文提出的六個工作命題

命題一：機械化還原命題

對前篇大量認知障礙，在給定有限形式語言與驗證規則後，可重新描述為：

\boxed{ \text{state-space generation/search/verification problems}. }

此命題不宣稱其計算成本可接受。

命題二：認知描述與計算描述非互斥

一句：

「需要直覺。」

和一句：

「正確操作在候選空間中的先驗概率極低。」

可以同時成立。

因此：

\boxed{ \text{cognitive explanation} \neq \text{computational explanation}, }

但兩者可以描述同一現象的不同層級。

命題三：固定啟發式仍屬計算基線

若 heuristic：

h(s)

在執行前已指定，則：

a_t = \arg\min_a h(T(s_t,a))

仍屬 NACB。

因此：

\boxed{ \text{heuristic search} \not\Rightarrow \text{cognitive intervention}. }

命題四：驗證與發現非對稱

通常可以存在：

C_{\mathrm{verify}}(\pi,P) \ll C_{\mathrm{discover}}(P),

但並非所有問題都如此。

因此：

\boxed{ \text{proof verification} \neq \text{proof discovery}. }

命題五：更多計算資源不能消除不可判定性

\boxed{ \text{resource amplification} \neq \text{computability-class transition}. }

若不改變計算模型，更多有限時間與記憶不會使 Halting Problem 變成一般可判定。

命題六：NACB 是比較基線，不是智能的否定模型

其功能是給後續定義：

\Delta_{\mathcal I}(P) = C_{\mathrm{NACB}}(P) - C_{\mathrm{intervened}}(P)

提供參考。

只有先知道：

不加主動智能干預時需要多少計算，

才有可能問：

某個認知能力究竟節省、增加或重組了多少計算？

42. 從 NACB 通向下一篇

現在我們終於可以更精確地問：

智能體到底加入了什麼？

如果只是：

儲存資訊；
依固定規則檢索；
依固定 heuristic 排序；
依既定規則剪枝；
使用 proof checker；
執行預定 transformation；

這些全部可以留在：

\mathcal N.

因此真正值得研究的是：

\boxed{ \text{可改變計算政策、表示、目標、記憶重建方式與自身策略評價的干預算子。} }

下一篇將建立：

\mathcal I = \{ I_{\mathrm{attention}}, I_{\mathrm{memory}}, I_{\mathrm{intuition}}, I_{\mathrm{prediction}}, I_{\mathrm{experience}}, I_{\mathrm{representation}}, I_{\mathrm{goal}}, I_{\mathrm{concept}}, I_{\mathrm{meta}}, \ldots \}.

並重新問同一組二十種問題：

加入人類、動物、現代 AI 與假想未來 AI 可能具有的廣義認知能力後，搜索空間究竟如何改變？

43. 結論

前篇將數學難度拆成多種認知障礙。

本文則進一步發現：

其中許多障礙，一旦移除智能體的心理／認知描述，可以重新表達為：

\boxed{ \text{枚舉} + \text{轉換} + \text{證明搜尋} + \text{驗證} + \text{壓縮} + \text{資源限制}. }

例如：

\text{「想不到 lemma」}

可以改寫成：

\text{formula-space search}.

\text{「看不出新表示」}

可以改寫成：

\text{representation-space search}.

\text{「找不到跨領域連結」}

可以改寫成：

\text{transformation composition search}.

\text{「證明不存在很難」}

則可以改寫成：

\text{finite obstruction/certificate search}.

這並沒有消滅數學困難。

相反地，它揭示出困難的一個更基礎形態：

\boxed{ \text{很多所謂「不會想」， 在計算層可以表達成「有效路徑在巨大可實現空間中極難找到」。} }

但這個結果同時保留三道不可忽略的界線：

\boxed{ \text{可描述} \neq \text{可計算}, }

\boxed{ \text{可計算} \neq \text{可行計算}, }

以及：

\boxed{ \text{形式驗證成功} \neq \text{問題語義一定正確}. }

所以 NACB 不是「所有智能最終都只是暴力搜尋」的結論。

它是一個控制組。

只有建立這個控制組後，我們才可以在下一篇真正測量：

\boxed{ \text{Attention、Memory Reconstruction、Intuition、Experience、 Prediction、Abstraction、Metacognition 等認知干預， 究竟增加、刪除、排序、重寫或重新定義了哪些計算。} }

參考文獻與近期相關工作

Gao et al., LeanSearch v2: Global Premise Retrieval for Lean 4 Theorem Proving, 2026。研究顯示全局 premise retrieval 品質會直接影響固定 prover loop 的證明成功率。
Leang et al., Pythagoras-Prover: Advancing Efficient Formal Proving via Augmented Lean Formalisation, 2026。強調 proof length、training/inference compute 與 verified proof data 對形式證明效率的重要性。
Xu et al., Neural Theorem Proving for Verification Conditions: A Real-World Benchmark, 2026。將 theorem proving 置於真實軟體 verification conditions，顯示從競賽題到實際 verification 仍存在顯著能力差距。
Pham et al., TheoremBench: Evaluating LLMs on Theorem Proving in Formal Mathematics, 2026。使用更長、dependency-rich 的經典定理評估 proof systems。
Ammanamanchi, Bhat, Biderman, Faults in Our Formal Benchmarking: Dataset Defects and Evaluation Failures in Lean Theorem Proving, 2026。指出 machine verification 並不自動保證 formalized statement 正確代表 intended problem。
Kim, Han, Hwang, Benchmarking Testing in Automated Theorem Proving, ACL Industry Track, 2026。提出後續 theorem testing 來測量生成 theorem 的 semantic correctness，顯示 compilation success 與更強 semantic metric 間仍有明顯落差。

版本：v1.0

系列定位：計算控制組／機械化基線論文。

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