基頻錨定相對諧波相位差的數學結構
商環面、不變量、等價類、動態幾何與不確定性傳播
英文題名： Mathematical Structure of Fundamental-Anchored Relative Harmonic Phase: Quotient Tori, Invariants, Equivalence Classes, Dynamic Geometry, and Uncertainty Propagation
縮寫： FARHP中文簡稱： 基錨相差系列位置： FARHP 系列第二篇／數學基礎篇作者： Neo.K（EveMissLab）AI 協作： Aletheia（GPT-5.6 Thinking）版本： v0.1日期： 2026-07-25文件性質： 理論論文／形式化基礎
摘要
本文建立「基頻錨定相對諧波相位差」（Fundamental-Anchored Relative Harmonic Phase, FARHP）的數學基礎。系列總篇已將 FARHP 定義為第 k k k k k k
ψ k = wrap ( ϕ k − k ϕ 1 ) . \psi_k
=
\operatorname{wrap}(\phi_k-k\phi_1). ψ k = wrap ( ϕ k − k ϕ 1 ) . 然而，若僅把此式理解為一般實數減法，就會忽略相位的模 2 π 2\pi 2 π
本文證明：固定 K K K K K K T K \mathbb T^K T K ( 1 , 2 , … , K ) (1,2,\ldots,K) ( 1 , 2 , … , K )
T K / ι ( T ) ≅ T K − 1 . \mathbb T^K/\iota(\mathbb T)
\cong
\mathbb T^{K-1}. T K / ι ( T ) ≅ T K − 1 . 亦即，FARHP 的自然狀態空間不是歐氏向量空間，而是完整諧波相位空間對共同時間原點自由度取商後得到的 ( K − 1 ) (K-1) ( K − 1 )
本文亦分析極性反轉、時間反演、聲學串接與波形混合對 FARHP 的作用，並明確區分「相位空間上的群運算」與「真實聲波的線性相加」。最終，本文形成一套可供後續聲學論文、離散編碼論文與工程規格直接採用的形式化語言。
關鍵詞： 相位環面、商空間、群作用、相對相位、不變量、圓周統計、諧波模型、誤差傳播、動態相位、語音合成
0. 研究定位
0.1 本文處理什麼
本文處理 FARHP 的純數學與訊號形式問題，包括：
相位應位於何種空間；
共同時間平移形成何種等價關係；
FARHP 是否完整描述該等價類；
應如何定義相位距離、平均與插值；
基頻或諧波估計誤差如何傳入 FARHP；
動態相位軌跡如何解除包覆並保持連續；
當基頻不可觀測時，還能建立哪些相位不變量；
極性、時間反演與聲學運算如何作用於 FARHP。
0.2 本文暫不處理什麼
本文不直接回答下列經驗問題：
人耳是否穩定感知特定 FARHP 差異；
哪些相位結構對母音、氣聲、緊聲或說話人辨識最重要；
聲道濾波與聲門波形各自貢獻多少 FARHP；
哪一種演算法最適合從真實錄音估計 FARHP；
離散相位碼本應取八相、十六相或更高解析度。
這些問題分別留給系列第三篇、第四篇及後續技術論文。本文的任務是先確保：後續實驗所操作的對象具有明確且不自相矛盾的數學定義。
0.3 核心觀點
本文的核心觀點可濃縮為：
FARHP 不是把一組絕對相位改寫成另一組絕對相位，而是從完整諧波相位空間中消去共同週期時鐘自由度，留下決定週期內部相對形狀的商空間座標。
1. 預備定義
1.1 相位圓群
定義相位圓群：
T : = R / ( 2 π Z ) . \mathbb T
:=
\mathbb R/(2\pi\mathbb Z). T := R / ( 2 π Z ) . 兩個實數 α , β \alpha,\beta α , β
α − β ∈ 2 π Z . \alpha-\beta\in 2\pi\mathbb Z. α − β ∈ 2 π Z . 以等價類記號表示：
[ α ] 2 π = α + 2 π Z . [\alpha]_{2\pi}
=
\alpha+2\pi\mathbb Z. [ α ] 2 π = α + 2 π Z . 本文在不致混淆時，直接以 α ∈ T \alpha\in\mathbb T α ∈ T
T \mathbb T T 2 π 2\pi 2 π
[ α ] + [ β ] = [ α + β ] . [\alpha]+[\beta]
=
[\alpha+\beta]. [ α ] + [ β ] = [ α + β ] . 1.2 包覆函數只是座標圖
常用包覆函數為：
wrap ( α ) = ( ( α + π ) m o d 2 π ) − π . \operatorname{wrap}(\alpha)
=
((\alpha+\pi)\bmod 2\pi)-\pi. wrap ( α ) = (( α + π ) mod 2 π ) − π . 其輸出通常取在：
( − π , π ] . (-\pi,\pi]. ( − π , π ] . 但必須注意： wrap \operatorname{wrap} wrap − π -\pi − π π \pi π T \mathbb T T
因此，任何依賴 wrap \operatorname{wrap} wrap
1.3 K K K
若保留前 K K K
ϕ = ( ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ K ) ∈ T K . \boldsymbol\phi
=
(\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_K)
\in
\mathbb T^K. ϕ = ( ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ K ) ∈ T K . 定義：
P K : = T K . \mathcal P_K
:=
\mathbb T^K. P K := T K . P K \mathcal P_K P K K K K K K K
1.4 正振幅約定與未定義相位
為避免振幅符號與相位之間的冗餘，本文要求諧波振幅滿足：
A k ≥ 0. A_k\ge 0. A k ≥ 0. 當 A k > 0 A_k>0 A k > 0 ϕ k \phi_k ϕ k A k = 0 A_k=0 A k = 0
0 ⋅ e i ϕ k = 0 0\cdot e^{i\phi_k}
=0 0 ⋅ e i ϕ k = 0 對所有 ϕ k \phi_k ϕ k
所以實際 FARHP 狀態必須同時帶有有效性遮罩：
m k ∈ { 0 , 1 } , m_k\in\{0,1\}, m k ∈ { 0 , 1 } , 其中 m k = 0 m_k=0 m k = 0
2. 共同週期平移的群作用
2.1 權重嵌入
定義權重向量：
h K = ( 1 , 2 , … , K ) T . \mathbf h_K
=
(1,2,\ldots,K)^{\mathsf T}. h K = ( 1 , 2 , … , K ) T . 定義圓群到完整相位環面的嵌入：
ι K : T ⟶ T K , \iota_K:\mathbb T\longrightarrow\mathbb T^K, ι K : T ⟶ T K , ι K ( θ ) = ( θ , 2 θ , … , K θ ) . \iota_K(\theta)
=
(\theta,2\theta,\ldots,K\theta). ι K ( θ ) = ( θ , 2 θ , … , K θ ) . 由於第一座標就是 θ \theta θ ι K \iota_K ι K
其像為：
G K : = ι K ( T ) = { ( θ , 2 θ , … , K θ ) ∣ θ ∈ T } . \mathcal G_K
:=
\iota_K(\mathbb T)
=
\left\{
(\theta,2\theta,\ldots,K\theta)
\mid
\theta\in\mathbb T
\right\}. G K := ι K ( T ) = { ( θ , 2 θ , … , K θ ) ∣ θ ∈ T } . G K \mathcal G_K G K T K \mathbb T^K T K
2.2 共同時間原點的改變
對理想諧波訊號：
x ( t ) = ∑ k = 1 K A k cos ( k ω 0 t + ϕ k ) , x(t)
=
\sum_{k=1}^{K}
A_k\cos(k\omega_0 t+\phi_k), x ( t ) = k = 1 ∑ K A k cos ( k ω 0 t + ϕ k ) , 若把時間原點平移 τ \tau τ
x ( t − τ ) = ∑ k = 1 K A k cos ( k ω 0 t + ϕ k − k ω 0 τ ) . x(t-\tau)
=
\sum_{k=1}^{K}
A_k
\cos
\left(
k\omega_0 t+\phi_k-k\omega_0\tau
\right). x ( t − τ ) = k = 1 ∑ K A k cos ( k ω 0 t + ϕ k − k ω 0 τ ) . 令：
θ = − ω 0 τ , \theta
=-\omega_0\tau, θ = − ω 0 τ , 則相位向量變成：
ϕ ′ = ϕ + ι K ( θ ) . \boldsymbol\phi'
=
\boldsymbol\phi+
\iota_K(\theta). ϕ ′ = ϕ + ι K ( θ ) . 因此，改變共同時間原點會使相位狀態沿著子群 G K \mathcal G_K G K
2.3 群作用
定義作用：
Γ K : T × T K ⟶ T K , \Gamma_K:
\mathbb T\times\mathbb T^K
\longrightarrow
\mathbb T^K, Γ K : T × T K ⟶ T K , Γ K ( θ , ϕ ) = ϕ + ι K ( θ ) . \Gamma_K(\theta,\boldsymbol\phi)
=
\boldsymbol\phi+
\iota_K(\theta). Γ K ( θ , ϕ ) = ϕ + ι K ( θ ) . 此作用滿足：
Γ K ( 0 , ϕ ) = ϕ , \Gamma_K(0,\boldsymbol\phi)
=
\boldsymbol\phi, Γ K ( 0 , ϕ ) = ϕ , 以及：
Γ K ( θ 1 , Γ K ( θ 2 , ϕ ) ) = Γ K ( θ 1 + θ 2 , ϕ ) . \Gamma_K
\left(
\theta_1,
\Gamma_K(\theta_2,\boldsymbol\phi)
\right)
=
\Gamma_K(\theta_1+\theta_2,\boldsymbol\phi). Γ K ( θ 1 , Γ K ( θ 2 , ϕ ) ) = Γ K ( θ 1 + θ 2 , ϕ ) . 每個相位狀態的軌道為：
O ( ϕ ) = ϕ + G K . \mathcal O(\boldsymbol\phi)
=
\boldsymbol\phi+
\mathcal G_K. O ( ϕ ) = ϕ + G K . 軌道中的所有點，只差一個共同週期時間原點。
3. FARHP 映射與商環面主定理
3.1 矩陣形式
定義整數矩陣：
B K = ( − 2 1 0 0 ⋯ 0 − 3 0 1 0 ⋯ 0 − 4 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − K 0 0 0 ⋯ 1 ) ∈ Z ( K − 1 ) × K . B_K
=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
-3 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
-4 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-K & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\in
\mathbb Z^{(K-1)\times K}. B K = − 2 − 3 − 4 ⋮ − K 1 0 0 ⋮ 0 0 1 0 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 0 ⋮ 1 ∈ Z ( K − 1 ) × K . 其中第 k − 1 k-1 k − 1 k k k k = 2 , … , K k=2,\ldots,K k = 2 , … , K
有：
B K h K = 0. B_K\mathbf h_K
=0. B K h K = 0. 3.2 FARHP 映射
定義：
Q K : T K ⟶ T K − 1 , Q_K:
\mathbb T^K
\longrightarrow
\mathbb T^{K-1}, Q K : T K ⟶ T K − 1 , Q K ( ϕ ) = B K ϕ ( m o d 2 π ) . Q_K(\boldsymbol\phi)
=
B_K\boldsymbol\phi
\pmod{2\pi}. Q K ( ϕ ) = B K ϕ ( mod 2 π ) . 逐座標寫為：
ψ k = ϕ k − k ϕ 1 ( m o d 2 π ) k = 2 , … , K . \boxed{
\psi_k
=
\phi_k-k\phi_1
\pmod{2\pi}
}
\qquad
k=2,\ldots,K. ψ k = ϕ k − k ϕ 1 ( mod 2 π ) k = 2 , … , K . 因此：
Q K ( ϕ ) = ( ψ 2 , ψ 3 , … , ψ K ) . Q_K(\boldsymbol\phi)
=
(\psi_2,\psi_3,\ldots,\psi_K). Q K ( ϕ ) = ( ψ 2 , ψ 3 , … , ψ K ) . 3.3 定理一：FARHP 是完整的共同平移不變量
定理 1。 Q K Q_K Q K
ker Q K = G K . \ker Q_K
=
\mathcal G_K. ker Q K = G K . 因此：
T K / G K ≅ T K − 1 \boxed{
\mathbb T^K/\mathcal G_K
\cong
\mathbb T^{K-1}
} T K / G K ≅ T K − 1 且 Q K Q_K Q K
證明
首先，由矩陣 B K B_K B K 2 π 2\pi 2 π
對任意：
ψ = ( ψ 2 , … , ψ K ) ∈ T K − 1 , \boldsymbol\psi
=
(\psi_2,\ldots,\psi_K)
\in
\mathbb T^{K-1}, ψ = ( ψ 2 , … , ψ K ) ∈ T K − 1 , 取：
ϕ = ( 0 , ψ 2 , … , ψ K ) . \boldsymbol\phi
=
(0,\psi_2,\ldots,\psi_K). ϕ = ( 0 , ψ 2 , … , ψ K ) . 則：
Q K ( ϕ ) = ψ , Q_K(\boldsymbol\phi)
=
\boldsymbol\psi, Q K ( ϕ ) = ψ , 故 Q K Q_K Q K
若 ϕ ∈ ker Q K \boldsymbol\phi\in\ker Q_K ϕ ∈ ker Q K k ≥ 2 k\ge 2 k ≥ 2
ϕ k − k ϕ 1 = 0 ( m o d 2 π ) . \phi_k-k\phi_1
=0
\pmod{2\pi}. ϕ k − k ϕ 1 = 0 ( mod 2 π ) . 所以：
ϕ k = k ϕ 1 ( m o d 2 π ) , \phi_k
=k\phi_1
\pmod{2\pi}, ϕ k = k ϕ 1 ( mod 2 π ) , 因而：
ϕ = ι K ( ϕ 1 ) ∈ G K . \boldsymbol\phi
=
\iota_K(\phi_1)
\in
\mathcal G_K. ϕ = ι K ( ϕ 1 ) ∈ G K . 反之，若：
ϕ = ι K ( θ ) , \boldsymbol\phi
=
\iota_K(\theta), ϕ = ι K ( θ ) , 則：
ϕ k − k ϕ 1 = k θ − k θ = 0 , \phi_k-k\phi_1
=k\theta-k\theta
=0, ϕ k − k ϕ 1 = k θ − k θ = 0 , 故 ϕ ∈ ker Q K \boldsymbol\phi\in\ker Q_K ϕ ∈ ker Q K
由群同態第一同構定理：
T K / ker Q K ≅ im Q K = T K − 1 . \mathbb T^K/\ker Q_K
\cong
\operatorname{im}Q_K
=
\mathbb T^{K-1}. T K / ker Q K ≅ im Q K = T K − 1 . 證畢。
3.4 軌道判別推論
推論 1。 對任意 ϕ , χ ∈ T K \boldsymbol\phi,\boldsymbol\chi\in\mathbb T^K ϕ , χ ∈ T K
Q K ( ϕ ) = Q K ( χ ) Q_K(\boldsymbol\phi)=Q_K(\boldsymbol\chi) Q K ( ϕ ) = Q K ( χ ) ϕ − χ ∈ G K \boldsymbol\phi-\boldsymbol\chi\in\mathcal G_K ϕ − χ ∈ G K 存在唯一 θ ∈ T \theta\in\mathbb T θ ∈ T
ϕ = χ + ι K ( θ ) . \boldsymbol\phi
=
\boldsymbol\chi+
\iota_K(\theta). ϕ = χ + ι K ( θ ) . 所以，兩組完整諧波相位具有相同 FARHP，當且僅當它們只差一個共同週期時間原點。
3.5 規範固定與標準代表元
定義截面：
s K : T K − 1 ⟶ T K , s_K:
\mathbb T^{K-1}
\longrightarrow
\mathbb T^K, s K : T K − 1 ⟶ T K , s K ( ψ ) = ( 0 , ψ 2 , … , ψ K ) . s_K(\boldsymbol\psi)
=
(0,\psi_2,\ldots,\psi_K). s K ( ψ ) = ( 0 , ψ 2 , … , ψ K ) . 則：
Q K ∘ s K = id T K − 1 . Q_K\circ s_K
=
\operatorname{id}_{\mathbb T^{K-1}}. Q K ∘ s K = id T K − 1 . 每個完整相位狀態都可唯一分解為：
ϕ = s K ( Q K ϕ ) + ι K ( ϕ 1 ) \boxed{
\boldsymbol\phi
=
s_K(Q_K\boldsymbol\phi)
+
\iota_K(\phi_1)
} ϕ = s K ( Q K ϕ ) + ι K ( ϕ 1 ) 亦即：
完整相位 = 相對形狀 + 共同週期時鐘 . \text{完整相位}
=
\text{相對形狀}
+
\text{共同週期時鐘}. 完整相位 = 相對形狀 + 共同週期時鐘 . 把 ϕ 1 \phi_1 ϕ 1
4. 時間平移不變性與失諧殘餘
4.1 精確不變性
設一般複數諧波分量在時間平移 τ \tau τ
ϕ k ′ = ϕ k − 2 π f k τ . \phi_k'
=
\phi_k-2\pi f_k\tau. ϕ k ′ = ϕ k − 2 π f k τ . 若：
f k = k f 1 , f_k=kf_1, f k = k f 1 , 則：
ψ k ′ = ϕ k ′ − k ϕ 1 ′ = ϕ k − 2 π k f 1 τ − k ( ϕ 1 − 2 π f 1 τ ) = ϕ k − k ϕ 1 = ψ k . \begin{aligned}
\psi_k'
&=
\phi_k'-k\phi_1'\\
&=
\phi_k-2\pi kf_1\tau
-k(\phi_1-2\pi f_1\tau)\\
&=
\phi_k-k\phi_1\\
&=
\psi_k.
\end{aligned} ψ k ′ = ϕ k ′ − k ϕ 1 ′ = ϕ k − 2 π k f 1 τ − k ( ϕ 1 − 2 π f 1 τ ) = ϕ k − k ϕ 1 = ψ k . 因此，理想諧波條件下 FARHP 對共同時間平移精確不變。
4.2 失諧模型
令：
f k = k f 1 + ε k . f_k
=
kf_1+\varepsilon_k. f k = k f 1 + ε k . 則時間平移後：
ψ k ′ = ψ k − 2 π ε k τ ( m o d 2 π ) . \psi_k'
=
\psi_k-2\pi\varepsilon_k\tau
\pmod{2\pi}. ψ k ′ = ψ k − 2 π ε k τ ( mod 2 π ) . 所以：
Δ ψ k = − 2 π ε k τ ( m o d 2 π ) \boxed{
\Delta\psi_k
=
-2\pi\varepsilon_k\tau
\pmod{2\pi}
} Δ ψ k = − 2 π ε k τ ( mod 2 π ) 這表示 FARHP 的不變性是條件性的：
對精確諧波鎖定，完全不變；
對局部失諧，產生與失諧量及時間平移成正比的殘餘相位；
對明顯非諧波區段，不應宣稱 FARHP 仍具有同樣意義。
4.3 圓周誤差界
定義圓周測地距離：
δ T ( α , β ) = ∣ wrap ( α − β ) ∣ . \delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta)
=
\left|
\operatorname{wrap}(\alpha-\beta)
\right|. δ T ( α , β ) = ∣ wrap ( α − β ) ∣ . 則：
δ T ( ψ k ′ , ψ k ) ≤ min { π , 2 π ∣ ε k ∣ ∣ τ ∣ } . \delta_{\mathbb T}(\psi_k',\psi_k)
\le
\min
\left
\{
\pi,
2\pi|\varepsilon_k||\tau|
\right\}. δ T ( ψ k ′ , ψ k ) ≤ min { π , 2 π ∣ ε k ∣∣ τ ∣ } . 在沒有跨越相位包覆邊界的局部區域中：
δ T ( ψ k ′ , ψ k ) = 2 π ∣ ε k ∣ ∣ τ ∣ . \delta_{\mathbb T}(\psi_k',\psi_k)
=
2\pi|\varepsilon_k||\tau|. δ T ( ψ k ′ , ψ k ) = 2 π ∣ ε k ∣∣ τ ∣. 4.4 近似不變性的工程判準
給定容許相位誤差 η k ∈ ( 0 , π ] \eta_k\in(0,\pi] η k ∈ ( 0 , π ]
2 π ∣ ε k ∣ ∣ τ ∣ ≤ η k , 2\pi|\varepsilon_k||\tau|
\le
\eta_k, 2 π ∣ ε k ∣∣ τ ∣ ≤ η k , 則第 k k k
等價地：
∣ τ ∣ ≤ η k 2 π ∣ ε k ∣ . |\tau|
\le
\frac{\eta_k}{2\pi|\varepsilon_k|}. ∣ τ ∣ ≤ 2 π ∣ ε k ∣ η k . 這個界線提供了一個直接工程含義：分析窗口可允許的位移尺度，取決於局部諧波失諧程度。
5. 相位估計誤差與錨點放大
5.1 線性化誤差模型
設真實相位為 ϕ \boldsymbol\phi ϕ
ϕ ^ = ϕ + η ( m o d 2 π ) . \widehat{\boldsymbol\phi}
=
\boldsymbol\phi+
\boldsymbol\eta
\pmod{2\pi}. ϕ = ϕ + η ( mod 2 π ) . 在局部誤差足夠小、可選擇一致提升的條件下：
ψ ^ − ψ ≈ B K η . \widehat{\boldsymbol\psi}
-
\boldsymbol\psi
\approx
B_K\boldsymbol\eta. ψ − ψ ≈ B K η . 逐座標為：
Δ ψ k ≈ η k − k η 1 \boxed{
\Delta\psi_k
\approx
\eta_k-k\eta_1
} Δ ψ k ≈ η k − k η 1 5.2 錨點誤差放大
若只考慮基頻相位誤差 η 1 \eta_1 η 1
Δ ψ k ≈ − k η 1 . \Delta\psi_k
\approx
-k\eta_1. Δ ψ k ≈ − k η 1 . 因此，高次諧波會把錨點相位誤差按諧波階數放大。
這意味著：
「以基頻為錨」消除了共同時間平移自由度，但也把基頻估計的不確定性共享到所有 FARHP 座標。
所以，FARHP 系統不能只輸出 ψ k \psi_k ψ k
5.3 協方差傳播
設小誤差向量的協方差矩陣為：
Σ ϕ = Cov ( η ) . \Sigma_{\phi}
=
\operatorname{Cov}(\boldsymbol\eta). Σ ϕ = Cov ( η ) . 則線性化後：
Σ ψ = B K Σ ϕ B K T \boxed{
\Sigma_{\psi}
=
B_K
\Sigma_{\phi}
B_K^{\mathsf T}
} Σ ψ = B K Σ ϕ B K T 若各諧波原始相位估計相互獨立，且：
Σ ϕ = diag ( σ 1 2 , σ 2 2 , … , σ K 2 ) , \Sigma_{\phi}
=
\operatorname{diag}
(\sigma_1^2,\sigma_2^2,\ldots,\sigma_K^2), Σ ϕ = diag ( σ 1 2 , σ 2 2 , … , σ K 2 ) , 則：
Var ( Δ ψ k ) = σ k 2 + k 2 σ 1 2 , \operatorname{Var}(\Delta\psi_k)
=
\sigma_k^2+k^2\sigma_1^2, Var ( Δ ψ k ) = σ k 2 + k 2 σ 1 2 , 且對 j ≠ k j\neq k j = k
Cov ( Δ ψ j , Δ ψ k ) = j k σ 1 2 . \operatorname{Cov}
(\Delta\psi_j,\Delta\psi_k)
=
jk\sigma_1^2. Cov ( Δ ψ j , Δ ψ k ) = j k σ 1 2 . 因此，即使原始諧波相位誤差獨立，經過共同基頻錨定後，各 FARHP 座標也會因共享 η 1 \eta_1 η 1
5.4 不應假設座標獨立
若 AI 模型使用逐座標獨立損失：
L = ∑ k = 2 K ℓ ( ψ ^ k , ψ k ) , \mathcal L
=
\sum_{k=2}^{K}
\ell(\widehat\psi_k,\psi_k), L = k = 2 ∑ K ℓ ( ψ k , ψ k ) , 它可能忽略共同錨點誤差造成的協方差結構。
在局部切空間中，可以考慮：
L c o v = Δ ψ ~ T ( Σ ψ + λ I ) − 1 Δ ψ ~ , \mathcal L_{\mathrm{cov}}
=
\Delta\widetilde{\boldsymbol\psi}^{\mathsf T}
\left(
\Sigma_{\psi}+\lambda I
\right)^{-1}
\Delta\widetilde{\boldsymbol\psi}, L cov = Δ ψ T ( Σ ψ + λ I ) − 1 Δ ψ , 其中 Δ ψ ~ \Delta\widetilde{\boldsymbol\psi} Δ ψ λ > 0 \lambda>0 λ > 0
這不是要求所有模型都必須使用 Mahalanobis 損失，而是指出：FARHP 的不確定性原則上不是座標獨立的。
6. FARHP 狀態空間上的距離
6.1 圓周測地距離
對 α , β ∈ T \alpha,\beta\in\mathbb T α , β ∈ T
δ T ( α , β ) = ∣ Arg ( e i ( α − β ) ) ∣ . \delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta)
=
\left|
\operatorname{Arg}
\left(
e^{i(\alpha-\beta)}
\right)
\right|. δ T ( α , β ) = Arg ( e i ( α − β ) ) . 其值域為：
[ 0 , π ] . [0,\pi]. [ 0 , π ] . 此距離等於圓周上兩點之間的最短弧長。
6.2 加權環面距離
給定固定正權重：
w k > 0 , w_k>0, w k > 0 , 以及 p ≥ 1 p\ge1 p ≥ 1
d p , w ( ψ , χ ) = ( ∑ k = 2 K w k δ T ( ψ k , χ k ) p ∑ k = 2 K w k ) 1 / p \boxed{
d_{p,\mathbf w}
(\boldsymbol\psi,\boldsymbol\chi)
=
\left(
\frac{
\sum_{k=2}^{K}
w_k
\delta_{\mathbb T}(\psi_k,\chi_k)^p
}{
\sum_{k=2}^{K}w_k
}
\right)^{1/p}
} d p , w ( ψ , χ ) = ( ∑ k = 2 K w k ∑ k = 2 K w k δ T ( ψ k , χ k ) p ) 1/ p 這是 T K − 1 \mathbb T^{K-1} T K − 1
常用情形包括：
p = 1 p=1 p = 1 的平均絕對圓周距離，以及：
p = 2 p=2 p = 2 的均方根環面距離。
6.3 緊緻性與完備性
定理 2。 對任意有限 K K K p ≥ 1 p\ge1 p ≥ 1 w \mathbf w w
( T K − 1 , d p , w ) (\mathbb T^{K-1},d_{p,\mathbf w}) ( T K − 1 , d p , w ) 是緊緻、完備且可分的度量空間。
理由
T \mathbb T T ℓ p \ell^p ℓ p
此結果保證：
任意序列都有收斂子序列；
Cauchy 相位序列不會逃離狀態空間；
連續損失函數在緊緻碼本候選集上可取到極值；
聚類與量化問題至少具有存在性基礎。
6.4 複數弦距
將相位嵌入單位圓：
E ( ψ ) = e i ψ = ( cos ψ , sin ψ ) . E(\psi)
=e^{i\psi}
=(\cos\psi,\sin\psi). E ( ψ ) = e i ψ = ( cos ψ , sin ψ ) . 定義弦距：
c ( α , β ) = ∣ e i α − e i β ∣ . c(\alpha,\beta)
=
\left|
e^{i\alpha}-e^{i\beta}
\right|. c ( α , β ) = e i α − e i β . 有：
c ( α , β ) = 2 sin ( δ T ( α , β ) 2 ) . c(\alpha,\beta)
=
2\sin
\left(
\frac{\delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta)}{2}
\right). c ( α , β ) = 2 sin ( 2 δ T ( α , β ) ) . 且：
2 π δ T ( α , β ) ≤ c ( α , β ) ≤ δ T ( α , β ) . \frac{2}{\pi}
\delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta)
\le
c(\alpha,\beta)
\le
\delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta). π 2 δ T ( α , β ) ≤ c ( α , β ) ≤ δ T ( α , β ) . 因此，弦距與測地距離產生相同拓撲。
平方弦距為：
c 2 ( α , β ) = 2 − 2 cos ( α − β ) . c^2(\alpha,\beta)
=
2-2\cos(\alpha-\beta). c 2 ( α , β ) = 2 − 2 cos ( α − β ) . 這正是常見的圓周相位損失。
6.5 局部歐氏近似
當：
δ T ( α , β ) ≪ 1 , \delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta)
\ll 1, δ T ( α , β ) ≪ 1 , 有：
2 − 2 cos ( α − β ) ≈ ( α − β ) 2 . 2-2\cos(\alpha-\beta)
\approx
(\alpha-\beta)^2. 2 − 2 cos ( α − β ) ≈ ( α − β ) 2 . 因此歐氏誤差只在局部相位差小、且沒有跨越包覆邊界時才是合理近似。
7. 遮罩、缺失諧波與可變維度
7.1 為什麼不能替缺失相位填零
若某個諧波振幅太低，將其相位強行設為零會混淆兩種完全不同的狀態：
相位真的接近零；
相位不可觀測。
因此資料結構至少應包含：
( ψ k , m k , c k ) , (\psi_k,m_k,c_k), ( ψ k , m k , c k ) , 其中：
ψ k ∈ T \psi_k\in\mathbb T ψ k ∈ T m k ∈ { 0 , 1 } m_k\in\{0,1\} m k ∈ { 0 , 1 } c k ∈ [ 0 , 1 ] c_k\in[0,1] c k ∈ [ 0 , 1 ]
7.2 固定最大維度表示
實作上可選擇最大諧波數 K max K_{\max} K m a x
X K max = ( T × { 0 , 1 } × [ 0 , 1 ] ) K max − 1 . \mathcal X_{K_{\max}}
=
\left(
\mathbb T\times\{0,1\}\times[0,1]
\right)^{K_{\max}-1}. X K m a x = ( T × { 0 , 1 } × [ 0 , 1 ] ) K m a x − 1 . 這避免每個框架使用不同長度張量，同時保留哪些座標是真實可觀測的資訊。
7.3 交集距離不是全域度量
對兩個遮罩狀態，可定義只比較共同有效座標的距離：
d ∩ ( x , y ) = ( ∑ k m k ( x ) m k ( y ) w k δ T ( ψ k ( x ) , ψ k ( y ) ) p ∑ k m k ( x ) m k ( y ) w k ) 1 / p . d_{\cap}(x,y)
=
\left(
\frac{
\sum_k
m_k^{(x)}m_k^{(y)}w_k
\delta_{\mathbb T}(\psi_k^{(x)},\psi_k^{(y)})^p
}{
\sum_k
m_k^{(x)}m_k^{(y)}w_k
}
\right)^{1/p}. d ∩ ( x , y ) = ( ∑ k m k ( x ) m k ( y ) w k ∑ k m k ( x ) m k ( y ) w k δ T ( ψ k ( x ) , ψ k ( y ) ) p ) 1/ p . 但當共同有效座標集合改變時， d ∩ d_{\cap} d ∩
所以它應稱為「條件比較量」，不能自動稱為全域度量。
7.4 帶缺失符號的度量
令：
T ‾ = T ∪ { ⊥ } , \overline{\mathbb T}
=
\mathbb T\cup\{\bot\}, T = T ∪ { ⊥ } , 其中 ⊥ \bot ⊥
先將圓周距離正規化：
δ ˉ ( α , β ) = δ T ( α , β ) π ∈ [ 0 , 1 ] . \bar\delta(\alpha,\beta)
=
\frac{
\delta_{\mathbb T}(\alpha,\beta)
}{\pi}
\in[0,1]. δ ˉ ( α , β ) = π δ T ( α , β ) ∈ [ 0 , 1 ] . 選擇缺失成本：
λ ∈ [ 1 2 , 1 ] . \lambda\in
\left[
\frac12,1
\right]. λ ∈ [ 2 1 , 1 ] . 定義：
ρ λ ( a , b ) = { 0 , a = b = ⊥ , λ , 恰有一者為 ⊥ , δ ˉ ( a , b ) , a , b ∈ T . \rho_{\lambda}(a,b)
=
\begin{cases}
0,
& a=b=\bot,\\
\lambda,
& \text{恰有一者為 }\bot,\\
\bar\delta(a,b),
& a,b\in\mathbb T.
\end{cases} ρ λ ( a , b ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , λ , δ ˉ ( a , b ) , a = b = ⊥ , 恰有一者為 ⊥ , a , b ∈ T . 由於任意兩個有效相位的最大距離為 1 1 1 2 λ ≥ 1 2\lambda\ge1 2 λ ≥ 1 ρ λ \rho_{\lambda} ρ λ
因此可在：
T ‾ K − 1 \overline{\mathbb T}^{K-1} T K − 1 上建立真正的加權乘積度量。
7.5 樣本依賴權重的限制
若權重由樣本本身決定，例如：
w k ( x , y ) = c k ( x ) c k ( y ) , w_k(x,y)
=
c_k^{(x)}c_k^{(y)}, w k ( x , y ) = c k ( x ) c k ( y ) , 所得比較函數很實用，但未必仍是數學上的度量，因為不同點對使用不同權重，可能破壞三角不等式。
因此本文區分：
固定權重度量： 用於理論、索引與保證；置信度加權相異度： 用於工程判斷與損失設計。
8. 動態 FARHP 軌跡
8.1 相位路徑
對時間區間：
I = [ t 0 , t 1 ] , I=[t_0,t_1], I = [ t 0 , t 1 ] , 動態 FARHP 是連續或分段連續映射：
Ψ : I ⟶ T K − 1 . \boldsymbol\Psi:
I\longrightarrow
\mathbb T^{K-1}. Ψ : I ⟶ T K − 1 . 它不只記錄單一框架的相位形狀，而是記錄相位形狀如何隨時間演化。
8.2 路徑提升
由於 I I I
ψ k : I → T \psi_k:I\to\mathbb T ψ k : I → T 在指定初始實數代表元後，都存在唯一連續提升：
ψ ~ k : I → R , \widetilde\psi_k:I\to\mathbb R, ψ k : I → R , 使得：
e i ψ ~ k ( t ) = e i ψ k ( t ) . e^{i\widetilde\psi_k(t)}
=
e^{i\psi_k(t)}. e i ψ k ( t ) = e i ψ k ( t ) . 這就是相位解除包覆的拓撲基礎。
解除包覆不是任意把跳躍加減 2 π 2\pi 2 π
8.3 動態相位速度
若完整相位路徑有可微提升：
ϕ ~ k ( t ) , \widetilde\phi_k(t), ϕ k ( t ) , 定義：
ψ ~ k ( t ) = ϕ ~ k ( t ) − k ϕ ~ 1 ( t ) . \widetilde\psi_k(t)
=
\widetilde\phi_k(t)-k\widetilde\phi_1(t). ψ k ( t ) = ϕ k ( t ) − k ϕ 1 ( t ) . 則：
ψ ~ ˙ k ( t ) = ϕ ~ ˙ k ( t ) − k ϕ ~ ˙ 1 ( t ) \boxed{
\dot{\widetilde\psi}_k(t)
=
\dot{\widetilde\phi}_k(t)
-k\dot{\widetilde\phi}_1(t)
} ψ ˙ k ( t ) = ϕ ˙ k ( t ) − k ϕ ˙ 1 ( t ) 若：
ω k ( t ) = ϕ ~ ˙ k ( t ) , \omega_k(t)
=
\dot{\widetilde\phi}_k(t), ω k ( t ) = ϕ ˙ k ( t ) , 則：
ψ ~ ˙ k ( t ) = ω k ( t ) − k ω 1 ( t ) . \dot{\widetilde\psi}_k(t)
=
\omega_k(t)-k\omega_1(t). ψ ˙ k ( t ) = ω k ( t ) − k ω 1 ( t ) . 因此，FARHP 的時間導數直接測量局部瞬時角頻率偏離整數諧波鎖定的程度，以及額外相位形狀變化。
8.4 定常波形與形狀變化
若存在共同週期相位 θ ( t ) \theta(t) θ ( t ) β k \beta_k β k
ϕ ~ k ( t ) = k θ ( t ) + β k , \widetilde\phi_k(t)
=
k\theta(t)+\beta_k, ϕ k ( t ) = k θ ( t ) + β k , 則：
ψ ~ k ( t ) = β k − k β 1 . \widetilde\psi_k(t)
=
\beta_k-k\beta_1. ψ k ( t ) = β k − k β 1 . 若把 β 1 = 0 \beta_1=0 β 1 = 0 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
ψ ~ k ( t ) = β k \widetilde\psi_k(t)
=
\beta_k ψ k ( t ) = β k 為常數。
所以理想上：
共同音高變化由 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
週期內波形形狀變化由 Ψ ( t ) \boldsymbol\Psi(t) Ψ ( t )
8.5 軌跡長度與能量
對絕對連續路徑，定義加權速度：
∥ Ψ ˙ ( t ) ∥ p , w = ( ∑ k = 2 K w k ∣ ψ ~ ˙ k ( t ) ∣ p ∑ k = 2 K w k ) 1 / p . \|\dot{\boldsymbol\Psi}(t)\|_{p,\mathbf w}
=
\left(
\frac{
\sum_{k=2}^{K}
w_k
|\dot{\widetilde\psi}_k(t)|^p
}{
\sum_{k=2}^{K}w_k
}
\right)^{1/p}. ∥ Ψ ˙ ( t ) ∥ p , w = ( ∑ k = 2 K w k ∑ k = 2 K w k ∣ ψ ˙ k ( t ) ∣ p ) 1/ p . 路徑長度為：
L ( Ψ ) = ∫ t 0 t 1 ∥ Ψ ˙ ( t ) ∥ p , w d t . L(\boldsymbol\Psi)
=
\int_{t_0}^{t_1}
\|\dot{\boldsymbol\Psi}(t)\|_{p,\mathbf w}
\,dt. L ( Ψ ) = ∫ t 0 t 1 ∥ Ψ ˙ ( t ) ∥ p , w d t . 平方速度能量可定義為：
E ( Ψ ) = 1 2 ∫ t 0 t 1 ∑ k = 2 K w k ∣ ψ ~ ˙ k ( t ) ∣ 2 d t . E(\boldsymbol\Psi)
=
\frac12
\int_{t_0}^{t_1}
\sum_{k=2}^{K}
w_k
|\dot{\widetilde\psi}_k(t)|^2
\,dt. E ( Ψ ) = 2 1 ∫ t 0 t 1 k = 2 ∑ K w k ∣ ψ ˙ k ( t ) ∣ 2 d t . 這些量可用於：
懲罰跨框架相位抖動；
比較兩種發音的相位動態複雜度；
建立平滑生成器；
區分穩定音節核心與瞬態過渡。
8.6 閉合路徑與繞行數
若：
ψ k ( t 0 ) = ψ k ( t 1 ) 於 T , \psi_k(t_0)=\psi_k(t_1)
\quad\text{於 }\mathbb T, ψ k ( t 0 ) = ψ k ( t 1 ) 於 T , 則其提升可能滿足：
ψ ~ k ( t 1 ) − ψ ~ k ( t 0 ) = 2 π n k , \widetilde\psi_k(t_1)
-
\widetilde\psi_k(t_0)
=
2\pi n_k, ψ k ( t 1 ) − ψ k ( t 0 ) = 2 π n k , 其中：
n k ∈ Z . n_k\in\mathbb Z. n k ∈ Z . n k n_k n k k k k
n = ( n 2 , … , n K ) ∈ Z K − 1 \mathbf n
=(n_2,\ldots,n_K)
\in
\mathbb Z^{K-1} n = ( n 2 , … , n K ) ∈ Z K − 1 表示。
對一般短音節，繞行數未必具有直接知覺意義；但在週期調變、合成循環或長時相位動畫中，它可區分局部看似相同、全域卻具有不同拓撲纏繞的軌跡。
9. 平均、統計與插值
9.1 圓周平均
對樣本：
ψ ( 1 ) , … , ψ ( N ) ∈ T , \psi^{(1)},\ldots,\psi^{(N)}
\in\mathbb T, ψ ( 1 ) , … , ψ ( N ) ∈ T , 以及權重 a n ≥ 0 a_n\ge0 a n ≥ 0
R = ∑ n = 1 N a n e i ψ ( n ) . R
=
\sum_{n=1}^{N}
a_n e^{i\psi^{(n)}}. R = n = 1 ∑ N a n e i ψ ( n ) . 若 R ≠ 0 R\neq0 R = 0
ψ ˉ = Arg ( R ) . \bar\psi
=
\operatorname{Arg}(R). ψ ˉ = Arg ( R ) . 正規化合量長度：
r = ∣ R ∣ ∑ n a n ∈ [ 0 , 1 ] r
=
\frac{|R|}{\sum_n a_n}
\in[0,1] r = ∑ n a n ∣ R ∣ ∈ [ 0 , 1 ] 可用作集中程度：
r ≈ 1 r\approx1 r ≈ 1 r ≈ 0 r\approx0 r ≈ 0
當 R = 0 R=0 R = 0
9.2 環面平均
對 FARHP 向量，可逐座標計算：
ψ ˉ k = Arg ( ∑ n = 1 N a n e i ψ k ( n ) ) . \bar\psi_k
=
\operatorname{Arg}
\left(
\sum_{n=1}^{N}
a_n e^{i\psi_k^{(n)}}
\right). ψ ˉ k = Arg ( n = 1 ∑ N a n e i ψ k ( n ) ) . 同時保留每個座標的集中度 r k r_k r k
低 r k r_k r k
該諧波相位本來就不穩定；
樣本包含多個不同發音類；
存在極性或對齊混合；
相位估計噪聲過高；
使用單一平均代表多峰分布並不適當。
9.3 最短測地插值
對 α , β ∈ T \alpha,\beta\in\mathbb T α , β ∈ T
Δ = wrap ( β − α ) . \Delta
=
\operatorname{wrap}(\beta-\alpha). Δ = wrap ( β − α ) . 當：
∣ Δ ∣ < π , |\Delta|<\pi, ∣Δ∣ < π , 最短測地插值為：
γ ( λ ) = wrap ( α + λ Δ ) \boxed{
\gamma(\lambda)
=
\operatorname{wrap}
(\alpha+\lambda\Delta)
} γ ( λ ) = wrap ( α + λ Δ ) 其中：
λ ∈ [ 0 , 1 ] . \lambda\in[0,1]. λ ∈ [ 0 , 1 ] . 若：
∣ Δ ∣ = π , |\Delta|=\pi, ∣Δ∣ = π , 則順時針與逆時針兩條最短弧同長，插值不唯一，必須由上下文、前一框架速度或額外方向規則選擇。
9.4 環面插值
FARHP 向量的插值可逐座標進行：
γ k ( λ ) = wrap ( ψ k ( a ) + λ wrap ( ψ k ( b ) − ψ k ( a ) ) ) . \gamma_k(\lambda)
=
\operatorname{wrap}
\left(
\psi_k^{(a)}
+
\lambda
\operatorname{wrap}
(\psi_k^{(b)}-\psi_k^{(a)})
\right). γ k ( λ ) = wrap ( ψ k ( a ) + λ wrap ( ψ k ( b ) − ψ k ( a ) ) ) . 但若多個座標位於對跖點，整體最短測地線可能不唯一。實作系統應明確記錄所選分支，而不是把不唯一性隱藏在函式庫預設值中。
9.5 複數線性插值的退化
常見作法是：
z ( λ ) = ( 1 − λ ) e i α + λ e i β , z(\lambda)
=
(1-\lambda)e^{i\alpha}
+
\lambda e^{i\beta}, z ( λ ) = ( 1 − λ ) e i α + λ e i β , 再正規化：
γ ( λ ) = Arg z ( λ ) . \gamma(\lambda)
=
\operatorname{Arg}z(\lambda). γ ( λ ) = Arg z ( λ ) . 若：
β − α = π \beta-\alpha=\pi β − α = π 且：
λ = 1 2 , \lambda=\frac12, λ = 2 1 , 則：
z ( λ ) = 0 , z(\lambda)=0, z ( λ ) = 0 , 相位未定義。因此，任何複數插值實作都必須處理對跖退化。
10. 基頻缺失時的廣義整數相位不變量
10.1 問題
標準 FARHP 需要觀測第一諧波相位 ϕ 1 \phi_1 ϕ 1
被高通濾波削弱；
低於噪聲底；
因麥克風或聲道響應而不可可靠估計；
出現「缺失基頻」知覺，即人耳能感知基頻，但頻譜中第一諧波不明顯。
因此需要研究：沒有 ϕ 1 \phi_1 ϕ 1
10.2 任意諧波索引集合
設可觀測諧波索引為：
H = ( h 1 , h 2 , … , h m ) T ∈ N m . H
=
(h_1,h_2,\ldots,h_m)^{\mathsf T}
\in
\mathbb N^m. H = ( h 1 , h 2 , … , h m ) T ∈ N m . 對應相位向量：
ϕ H = ( ϕ h 1 , … , ϕ h m ) ∈ T m . \boldsymbol\phi_H
=
(\phi_{h_1},\ldots,\phi_{h_m})
\in
\mathbb T^m. ϕ H = ( ϕ h 1 , … , ϕ h m ) ∈ T m . 共同時間平移作用為：
ϕ H ⟼ ϕ H + H θ . \boldsymbol\phi_H
\longmapsto
\boldsymbol\phi_H+H\theta. ϕ H ⟼ ϕ H + H θ . 10.3 整數不變量格
定義：
L H = { a ∈ Z m ∣ a T H = 0 } . L_H
=
\left\{
\mathbf a\in\mathbb Z^m
\mid
\mathbf a^{\mathsf T}H=0
\right\}. L H = { a ∈ Z m ∣ a T H = 0 } . 對任意 a ∈ L H \mathbf a\in L_H a ∈ L H
I a ( ϕ H ) = a T ϕ H ( m o d 2 π ) . I_{\mathbf a}(\boldsymbol\phi_H)
=
\mathbf a^{\mathsf T}
\boldsymbol\phi_H
\pmod{2\pi}. I a ( ϕ H ) = a T ϕ H ( mod 2 π ) . 則：
I a ( ϕ H + H θ ) = a T ϕ H + a T H θ = I a ( ϕ H ) . \begin{aligned}
I_{\mathbf a}
(\boldsymbol\phi_H+H\theta)
&=
\mathbf a^{\mathsf T}
\boldsymbol\phi_H
+
\mathbf a^{\mathsf T}H\theta\\
&=
I_{\mathbf a}(\boldsymbol\phi_H).
\end{aligned} I a ( ϕ H + H θ ) = a T ϕ H + a T H θ = I a ( ϕ H ) . 所以 L H L_H L H
10.4 成對不變量
對任意兩個可觀測索引 h a , h b h_a,h_b h a , h b
χ a , b = h b ϕ h a − h a ϕ h b ( m o d 2 π ) \boxed{
\chi_{a,b}
=
h_b\phi_{h_a}
-
h_a\phi_{h_b}
\pmod{2\pi}
} χ a , b = h b ϕ h a − h a ϕ h b ( mod 2 π ) 因為係數向量在第 a a a h b h_b h b b b b − h a -h_a − h a H H H
若 h a = 1 h_a=1 h a = 1 h b = k h_b=k h b = k
χ a , b = k ϕ 1 − ϕ k = − ψ k . \chi_{a,b}
=
k\phi_1-
\phi_k
=
-\psi_k. χ a , b = k ϕ 1 − ϕ k = − ψ k . 因此標準 FARHP 是一般整數相位不變量的一個特別基底。
10.5 最大公因數與虛擬基本週期
令：
g = gcd ( h 1 , … , h m ) , g
=
\gcd(h_1,\ldots,h_m), g = g cd( h 1 , … , h m ) , 並定義原始索引向量：
H ′ = 1 g H . H'
=
\frac{1}{g}H. H ′ = g 1 H . H ′ H' H ′
由於圓群上的乘 g g g H θ H\theta H θ H ′ θ ′ H'\theta' H ′ θ ′ H ′ H' H ′
但物理上，若所有觀測諧波索引都有共同因數 g > 1 g>1 g > 1
g f 0 g f_0 g f 0 為局部時鐘的虛擬錨。原始基頻週期內仍保留 g g g
例如，只觀測第二與第四諧波時：
H = ( 2 , 4 ) , H=(2,4), H = ( 2 , 4 ) , 其原始向量為：
H ′ = ( 1 , 2 ) . H'=(1,2). H ′ = ( 1 , 2 ) . 系統可建立以 2 f 0 2f_0 2 f 0 f 0 f_0 f 0
10.6 Bézout 合成錨
因為：
gcd ( H 1 ′ , … , H m ′ ) = 1 , \gcd(H'_1,\ldots,H'_m)=1, g cd( H 1 ′ , … , H m ′ ) = 1 , 存在整數向量：
c ∈ Z m \mathbf c\in\mathbb Z^m c ∈ Z m 使：
c T H ′ = 1. \mathbf c^{\mathsf T}H'=1. c T H ′ = 1. 定義合成錨：
α H = c T ϕ H ( m o d 2 π ) . \alpha_H
=
\mathbf c^{\mathsf T}
\boldsymbol\phi_H
\pmod{2\pi}. α H = c T ϕ H ( mod 2 π ) . 在作用：
ϕ H ↦ ϕ H + H ′ θ \boldsymbol\phi_H
\mapsto
\boldsymbol\phi_H+H'\theta ϕ H ↦ ϕ H + H ′ θ 下：
α H ↦ α H + θ . \alpha_H
\mapsto
\alpha_H+\theta. α H ↦ α H + θ . 所以可定義廣義錨定座標：
ψ H , j = ϕ h j − H j ′ α H ( m o d 2 π ) . \psi_{H,j}
=
\phi_{h_j}
-H'_j\alpha_H
\pmod{2\pi}. ψ H , j = ϕ h j − H j ′ α H ( mod 2 π ) . 這提供了在第一諧波缺失時的整數合成錨。
10.7 合成錨並非唯一
Bézout 向量 c \mathbf c c c \mathbf c c
因此：
商空間本體是座標無關的；
合成錨是規範選擇；
工程規格必須記錄使用哪一組 Bézout 係數；
比較不同系統時，應先做座標轉換，不能直接比較數值欄位。
10.8 廣義商空間定理
定理 3。 對任意非零整數索引向量 H ∈ Z m H\in\mathbb Z^m H ∈ Z m H ′ = H / gcd ( H ) H'=H/\gcd(H) H ′ = H / g cd( H )
G H = { H ′ θ : θ ∈ T } \mathcal G_H
=
\{H'\theta:\theta\in\mathbb T\} G H = { H ′ θ : θ ∈ T } 是一維閉子群，且：
T m / G H ≅ T m − 1 . \mathbb T^m/\mathcal G_H
\cong
\mathbb T^{m-1}. T m / G H ≅ T m − 1 . 任一整數格基底：
a 1 , … , a m − 1 ∈ L H \mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_{m-1}
\in L_H a 1 , … , a m − 1 ∈ L H 若構成原始商格基底，即可建立完整的相位不變量座標。
此結論可透過整數矩陣的 Smith 正規形或原始整數向量可擴張為 Z m \mathbb Z^m Z m
11. 離散對稱：極性與時間反演
11.1 波形極性反轉
把實訊號乘以 − 1 -1 − 1
x ( t ) ⟼ − x ( t ) x(t)
\longmapsto
-x(t) x ( t ) ⟼ − x ( t ) 等價於每個非零諧波相位都加上 π \pi π
ϕ k ⟼ ϕ k + π . \phi_k
\longmapsto
\phi_k+\pi. ϕ k ⟼ ϕ k + π . 因此：
ψ k ′ = ( ϕ k + π ) − k ( ϕ 1 + π ) = ψ k + ( 1 − k ) π ( m o d 2 π ) . \begin{aligned}
\psi_k'
&=
(\phi_k+\pi)
-k(\phi_1+\pi)\\
&=
\psi_k+(1-k)\pi
\pmod{2\pi}.
\end{aligned} ψ k ′ = ( ϕ k + π ) − k ( ϕ 1 + π ) = ψ k + ( 1 − k ) π ( mod 2 π ) . 所以極性作用在 FARHP 空間上為：
P K ( ψ k ) = ψ k + ( 1 − k ) π \boxed{
\mathfrak P_K(\psi_k)
=
\psi_k+(1-k)\pi
} P K ( ψ k ) = ψ k + ( 1 − k ) π 進一步：
若 k k k 1 − k 1-k 1 − k ψ k \psi_k ψ k
若 k k k 1 − k 1-k 1 − k ψ k \psi_k ψ k π \pi π
亦即，波形極性反轉只翻轉偶數諧波的 FARHP 座標。
11.2 極性作用是對合
有：
P K 2 = id . \mathfrak P_K^2
=
\operatorname{id}. P K 2 = id . 因此它是一個二階離散對稱。
若應用需要保留聲門極性與波形方向，則不應消除此作用。若應用只關心極性無關的發音類型，可另定義：
d p o l ( ψ , χ ) = min { d ( ψ , χ ) , d ( P K ψ , χ ) } . d_{\mathrm{pol}}(\psi,\chi)
=
\min
\left\{
d(\psi,\chi),
d(\mathfrak P_K\psi,\chi)
\right\}. d pol ( ψ , χ ) = min { d ( ψ , χ ) , d ( P K ψ , χ ) } . 這等於再對極性群 Z 2 \mathbb Z_2 Z 2
11.3 時間反演
對實餘弦諧波模型，時間反演：
x ( t ) ⟼ x ( − t ) x(t)
\longmapsto
x(-t) x ( t ) ⟼ x ( − t ) 使相位近似變為：
ϕ k ⟼ − ϕ k . \phi_k
\longmapsto
-\phi_k. ϕ k ⟼ − ϕ k . 因此：
ψ k ⟼ − ψ k \boxed{
\psi_k
\longmapsto
-\psi_k
} ψ k ⟼ − ψ k 時間反演在 FARHP 環面上是取逆映射。
它同樣是對合及等距映射：
R K 2 = id . \mathfrak R_K^2
=
\operatorname{id}. R K 2 = id . 11.4 半週期平移不是極性反轉
把週期訊號平移半個基頻週期：
τ = T 0 2 \tau
=
\frac{T_0}{2} τ = 2 T 0 會使第 k k k
k π . k\pi. k π . 這屬於共同時間平移軌道，所以 FARHP 不變。
但極性反轉使所有諧波都增加同一個 π \pi π
半週期平移 ≠ 波形乘以 − 1. \text{半週期平移}
\neq
\text{波形乘以 }-1. 半週期平移 = 波形乘以 − 1. FARHP 能區分這兩種變換。
12. 群運算、聲學串接與波形混合
12.1 FARHP 空間的群結構
因為：
T K − 1 \mathbb T^{K-1} T K − 1 是交換群，所以兩個 FARHP 狀態可做座標加法：
( ψ + χ ) k = ψ k + χ k ( m o d 2 π ) . (\boldsymbol\psi+\boldsymbol\chi)_k
=
\psi_k+\chi_k
\pmod{2\pi}. ( ψ + χ ) k = ψ k + χ k ( mod 2 π ) . 其單位元為：
0 = ( 0 , … , 0 ) , \mathbf 0
=(0,\ldots,0), 0 = ( 0 , … , 0 ) , 逆元為：
− ψ . -\boldsymbol\psi. − ψ . 但這個群加法不能被直接解釋成「兩段聲波相加」。
12.2 複數頻率響應串接
若在相同諧波頻率上，複數頻譜因串接而相乘：
X k = S k H k , X_k
=S_kH_k, X k = S k H k , 則相位相加：
ϕ k ( X ) = ϕ k ( S ) + ϕ k ( H ) . \phi_k^{(X)}
=
\phi_k^{(S)}
+
\phi_k^{(H)}. ϕ k ( X ) = ϕ k ( S ) + ϕ k ( H ) . 由 Q K Q_K Q K
Q K ( ϕ ( S ) + ϕ ( H ) ) = Q K ( ϕ ( S ) ) + Q K ( ϕ ( H ) ) \boxed{
Q_K
(\boldsymbol\phi^{(S)}+
\boldsymbol\phi^{(H)})
=
Q_K(\boldsymbol\phi^{(S)})
+
Q_K(\boldsymbol\phi^{(H)})
} Q K ( ϕ ( S ) + ϕ ( H ) ) = Q K ( ϕ ( S ) ) + Q K ( ϕ ( H ) ) 所以在理想對齊的複數乘法模型下，輸出 FARHP 可分解為來源與濾波器相對相位項之和。
這一點也表明：觀測到的語音 FARHP 不必然只屬於聲門源；聲道與錄音系統的非線性相位響應也可能貢獻 FARHP。
12.3 波形線性混合不是相位加法
若：
X k = S k + H k , X_k
=S_k+H_k, X k = S k + H k , 則：
arg ( X k ) = arg ( S k + H k ) \arg(X_k)
=
\arg(S_k+H_k) arg ( X k ) = arg ( S k + H k ) 一般不等於：
arg S k + arg H k . \arg S_k+
\arg H_k. arg S k + arg H k . 所以：
Q K ( arg ( S + H ) ) ≠ Q K ( arg S ) + Q K ( arg H ) Q_K
\left(
\arg(\mathbf S+
\mathbf H)
\right)
\neq
Q_K(\arg\mathbf S)
+
Q_K(\arg\mathbf H) Q K ( arg ( S + H ) ) = Q K ( arg S ) + Q K ( arg H ) 通常成立。
因此必須區分：
複數傳遞函數的乘法；
相位環面上的群加法；
真實聲波或頻譜的線性疊加。
三者不是同一種運算。
13. FARHP 的資訊分解意義
13.1 完整相位資訊的分解
由標準截面分解：
ϕ = s K ( ψ ) + ι K ( ϕ 1 ) , \boldsymbol\phi
=
s_K(\boldsymbol\psi)
+
\iota_K(\phi_1), ϕ = s K ( ψ ) + ι K ( ϕ 1 ) , 完整相位資訊可拆成：
一個共同週期相位 ϕ 1 ∈ T \phi_1\in\mathbb T ϕ 1 ∈ T
一個相對相位形狀 ψ ∈ T K − 1 \boldsymbol\psi\in\mathbb T^{K-1} ψ ∈ T K − 1
因此，在沒有振幅退化與索引錯配時：
T K ≅ T × T K − 1 \mathbb T^K
\cong
\mathbb T
\times
\mathbb T^{K-1} T K ≅ T × T K − 1 作為此特定截面下的群與拓撲分解。
13.2 被消去的是座標自由度，不是物理時間
FARHP 消去的是「在單一局部週期中，選哪個時間點作為相位零點」的自由度。它沒有消除：
基頻值 f 0 f_0 f 0
音高軌跡；
音節時長；
跨框架絕對時間；
聲調輪廓；
振幅包絡；
語音事件順序。
所以 FARHP 的時間平移不變性不能被誤讀為「聲音不再需要時間」。
13.3 維度降低
完整 K K K K K K
K − 1 K-1 K − 1 個圓周自由度。
這不是一般線性降維，而是精確消除已知群作用所形成的冗餘自由度。
13.4 最大不變量
定理一意味著 Q K Q_K Q K
F : T K → Y F:\mathbb T^K\to Y F : T K → Y 若滿足：
F ( ϕ + ι K ( θ ) ) = F ( ϕ ) F(\boldsymbol\phi+
\iota_K(\theta))
=
F(\boldsymbol\phi) F ( ϕ + ι K ( θ )) = F ( ϕ ) 則存在函數：
F ~ : T K − 1 → Y \widetilde F:
\mathbb T^{K-1}
\to Y F : T K − 1 → Y 使：
F = F ~ ∘ Q K . F
=
\widetilde F\circ Q_K. F = F ∘ Q K . 亦即，任何共同時間平移不變的相位特徵，原則上都可以視為 FARHP 的函數。
14. 計算表示與數值守則
14.1 不直接回歸包覆角度
模型若直接回歸：
ψ k ∈ ( − π , π ] , \psi_k\in(-\pi,\pi], ψ k ∈ ( − π , π ] , 會在 − π -\pi − π π \pi π
建議主要表示為：
u k = ( cos ψ k , sin ψ k ) . \mathbf u_k
=
(\cos\psi_k,
\sin\psi_k). u k = ( cos ψ k , sin ψ k ) . 並要求：
∥ u k ∥ 2 ≈ 1. \|\mathbf u_k\|_2
\approx1. ∥ u k ∥ 2 ≈ 1. 14.2 單位圓投影
若模型輸出：
v ^ k ∈ R 2 , \widehat{\mathbf v}_k
\in\mathbb R^2, v k ∈ R 2 , 可投影為：
u ^ k = v ^ k ∥ v ^ k ∥ 2 + ϵ . \widehat{\mathbf u}_k
=
\frac{
\widehat{\mathbf v}_k
}{
\|\widehat{\mathbf v}_k\|_2+\epsilon
}. u k = ∥ v k ∥ 2 + ϵ v k . 但當：
∥ v ^ k ∥ 2 ≈ 0 , \|\widehat{\mathbf v}_k\|_2
\approx0, ∥ v k ∥ 2 ≈ 0 , 方向高度不穩定。此時應降低置信度，而不是把任意方向當作可靠相位。
14.3 相位差計算
兩個角度的最短差應計算為：
Δ k = atan2 ( sin ( ψ ^ k − ψ k ) , cos ( ψ ^ k − ψ k ) ) . \Delta_k
=
\operatorname{atan2}
\left(
\sin(\widehat\psi_k-
\psi_k),
\cos(\widehat\psi_k-
\psi_k)
\right). Δ k = atan2 ( sin ( ψ k − ψ k ) , cos ( ψ k − ψ k ) ) . 而不是直接使用：
ψ ^ k − ψ k . \widehat\psi_k-
\psi_k. ψ k − ψ k . 14.4 諧波索引不可省略
FARHP 座標不是可任意排列的無名向量。每一座標必須攜帶諧波索引 k k k
ψ k = ϕ k − k ϕ 1 \psi_k
=
\phi_k-k\phi_1 ψ k = ϕ k − k ϕ 1 中的係數依賴 k k k
因此資料格式至少需要：
phase_coordinate:
harmonic_index: 7
cos: 0.382
sin: -0.924
valid: true
confidence: 0.91
不能只儲存無索引的浮點陣列，除非規格已固定且外部明確知道第幾欄對應哪個 k k k
14.5 解除包覆需要連續性條件
離散框架的相位解除包覆通常假設相鄰框架變化不超過 π \pi π
因此應同時使用：
較高時間解析度；
相位速度先驗；
諧波追蹤身份；
錨點置信度；
瞬態與無聲邊界重置規則。
15. 形式命題與可檢驗推論
命題 M1：商環面命題
在固定有效諧波數 K K K
此命題已由定理一形式證明。
命題 M2：精確不變性命題
若所有諧波頻率滿足：
f k = k f 1 , f_k=kf_1, f k = k f 1 , 則 FARHP 對任意共同時間平移精確不變。
命題 M3：失諧線性殘餘命題
局部無包覆條件下，時間平移造成的 FARHP 偏差滿足：
Δ ψ k = − 2 π ( f k − k f 1 ) τ . \Delta\psi_k
=
-2\pi(f_k-kf_1)\tau. Δ ψ k = − 2 π ( f k − k f 1 ) τ . 此命題可用人工失諧諧波訊號直接驗證。
命題 M4：錨點相關誤差命題
若原始各諧波相位估計誤差獨立，FARHP 座標誤差仍因共享基頻錨點而相關，且：
Cov ( Δ ψ j , Δ ψ k ) = j k σ 1 2 . \operatorname{Cov}
(\Delta\psi_j,\Delta\psi_k)
=
jk\sigma_1^2. Cov ( Δ ψ j , Δ ψ k ) = j k σ 1 2 . 命題 M5：極性奇偶命題
波形極性反轉使奇數諧波 FARHP 不變，使偶數諧波 FARHP 增加 π \pi π
此命題可作為極性偵測與資料對齊測試。
命題 M6：缺失基頻不變量命題
即使第一諧波不可觀測，只要至少有兩個可靠諧波，仍可透過整數不變量格構造共同時間平移不變特徵；但若所有索引最大公因數大於一，原始基頻相位保留有限歧義。
命題 M7：平均退化命題
若某一 FARHP 座標的複數合量為零，則其單一圓周平均方向未定義。任何強制輸出的平均角都屬額外規則，而非資料本身決定。
16. 與第三篇聲學論文的接口
本篇完成後，第三篇不必再重新證明 FARHP 的商空間結構，而可以直接研究下列問題。
16.1 聲源與聲道的相位分解
由群同態性可知，線性時不變濾波在諧波頻點上的相位貢獻會加到 FARHP。第三篇需要判定：
Ψ o b s e r v e d = Ψ s o u r c e + Ψ f i l t e r + Ψ m e a s u r e m e n t \boldsymbol\Psi_{\mathrm{observed}}
=
\boldsymbol\Psi_{\mathrm{source}}
+
\boldsymbol\Psi_{\mathrm{filter}}
+
\boldsymbol\Psi_{\mathrm{measurement}} Ψ observed = Ψ source + Ψ filter + Ψ measurement 在何種近似下成立，以及能否被辨識。
16.2 哪些座標具有知覺穩定性
數學上每個 ψ k \psi_k ψ k
可可靠估計；
可被人耳感知；
對不同說話人穩定；
對錄音設備穩健；
值得被符號語言離散化。
第三篇必須以知覺與聲學證據建立權重，而不能由數學對稱性直接推出。
16.3 有聲—無聲邊界
本篇已證明零振幅時相位未定義。第三篇需要進一步定義：
何種週期性門檻啟用 FARHP；
擦音與送氣如何交給殘差層；
爆破瞬間如何使用事件模型；
相位軌跡在無聲區段是否重置或保持潛在狀態。
16.4 聲調與相位動態
本篇區分共同週期時鐘與相對形狀軌跡。第三篇需回答：
華語聲調主要由何種 f 0 ( t ) f_0(t) f 0 ( t )
聲調變化是否伴隨系統性的 FARHP 變化；
FARHP 是否可在音高正規化後描述額外音色與聲源差異。
17. 限制與未解問題
17.1 商空間正確不等於聲學效益顯著
本文證明 FARHP 是共同時間平移作用的完整不變量，但沒有證明它一定比其他相位表示更適合所有語音任務。
數學上的自然性，只能證明表示沒有任意保留共同時間原點；不能單獨證明其感知價值、壓縮效率或模型性能。
17.2 諧波身份可能交換
真實語音中的峰值追蹤可能發生：
諧波漏失；
峰值錯配；
基頻倍頻或半頻錯誤；
共振峰附近的幅相干擾；
跨框架索引身份交換。
一旦 k k k ϕ k − k ϕ 1 \phi_k-k\phi_1 ϕ k − k ϕ 1
17.3 圓周平均可能遮蔽多峰結構
兩群相位若位於相反方向，平均合量可能接近零。此時使用單一平均會抹去真實的雙峰或多峰分布。後續碼本應考慮圓周混合模型，而不是只使用一個中心。
17.4 基頻相位未必是最可靠單一錨
第一諧波可能比某些高次諧波更弱。標準 FARHP 的理論優勢是座標簡單、商空間透明；工程上卻可能需要：
多諧波合成錨；
貝葉斯錨點估計；
以整數不變量直接建模；
對基頻候選進行多假設追蹤。
這些方法仍應保持與本篇商空間結構相容。
17.5 廣義 Bézout 錨可能放大噪聲
合成錨：
α H = c T ϕ H \alpha_H
=
\mathbf c^{\mathsf T}\boldsymbol\phi_H α H = c T ϕ H 若 Bézout 係數絕對值很大，會放大相位估計誤差。因此應在所有可行整數解中，尋找低範數、低方差或高可靠度的係數，而不是任取一組解。
17.6 拓撲軌跡不等於發音語義
繞行數與測地長度是合法數學量，但是否對人類發音、AI 語言或符號語義具有價值，必須由後續研究驗證，不能因為拓撲結構存在就自動賦予語義。
18. 結論
本文把 FARHP 從一條相位差公式提升為完整的商空間理論。
固定 K K K
T K . \mathbb T^K. T K . 共同週期時間原點的改變沿：
ι K ( θ ) = ( θ , 2 θ , … , K θ ) \iota_K(\theta)
=
(\theta,2\theta,\ldots,K\theta) ι K ( θ ) = ( θ , 2 θ , … , K θ ) 形成一維圓群軌道。FARHP 映射：
Q K ( ϕ ) = ( ϕ 2 − 2 ϕ 1 , … , ϕ K − K ϕ 1 ) ( m o d 2 π ) Q_K(\boldsymbol\phi)
=
(\phi_2-2\phi_1,
\ldots,
\phi_K-K\phi_1)
\pmod{2\pi} Q K ( ϕ ) = ( ϕ 2 − 2 ϕ 1 , … , ϕ K − K ϕ 1 ) ( mod 2 π ) 的核恰好等於該軌道子群，因此：
T K / ι K ( T ) ≅ T K − 1 \boxed{
\mathbb T^K/
\iota_K(\mathbb T)
\cong
\mathbb T^{K-1}
} T K / ι K ( T ) ≅ T K − 1 這給出 FARHP 最核心的本體位置：
它是完整諧波相位在消除共同週期時鐘自由度後的自然座標。
本文同時得到幾個對後續研究關鍵的結論：
FARHP 的不變性依賴諧波鎖定，失諧會留下可量化殘餘；
基頻錨點誤差會按諧波階數放大，並在所有座標間造成相關誤差；
相位比較必須使用圓周或環面距離，不能直接使用普通實數差；
零振幅與低可靠度相位必須以遮罩表示，不能填入任意角度；
動態 FARHP 是環面上的路徑，解除包覆是路徑提升問題；
基頻缺失時，仍可由整數不變量格建立廣義相位座標；
極性反轉、時間反演與聲學串接在 FARHP 空間中具有明確作用；
相位群加法不等於聲波線性混合。
因此，FARHP 後續系列可以在一個已封閉的數學底座上繼續發展。第三篇將把本篇的抽象結構帶回聲學與語音學，研究哪些環面座標真正對應可估計、可知覺、可生成的發音差異。
系列目前的推進關係為：
總篇 → 商環面數學 → 聲學邊界 → 離散表示 → 技術實作 \boxed{
\text{總篇}
\rightarrow
\text{商環面數學}
\rightarrow
\text{聲學邊界}
\rightarrow
\text{離散表示}
\rightarrow
\text{技術實作}
} 總篇 → 商環面數學 → 聲學邊界 → 離散表示 → 技術實作 參考文獻
[1] I. Saratxaga, I. Hernáez, D. Erro, and J. Sanchez, “Simple Representation of Signal Phase for Harmonic Speech Models,” Electronics Letters , 2009.
[2] I. Saratxaga, I. Hernáez, I. Odriozola, E. Navas, I. Luengo, and D. Erro, “Using Harmonic Phase Information to Improve ASR Rate,” INTERSPEECH 2010 , DOI: 10.21437/Interspeech.2010-372.
[3] I. Saratxaga, I. Hernaez, M. Pucher, E. Navas, and I. Sainz, “Perceptual Importance of the Phase Related Information in Speech,” INTERSPEECH 2012 , DOI: 10.21437/Interspeech.2012-411.
[4] P. Mowlaee, R. Saeidi, and Y. Stylianou, “Phase Importance in Speech Processing Applications,” INTERSPEECH 2014 .
[5] K. V. Mardia and P. E. Jupp, Directional Statistics , Wiley, 2000.
[6] N. I. Fisher, Statistical Analysis of Circular Data , Cambridge University Press, 1993.
[7] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing , Pearson.
[8] J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds , Springer.
[9] J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds , Springer.
[10] E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction , Princeton University Press.
[11] S. Lang, Algebra , Springer；關於有限生成阿貝爾群、整數格與 Smith 正規形的標準背景。
附錄 A：主映射的最小機器規格
farhp_math_spec:
version: 0.1
phase_domain: circle_R_mod_2piZ
harmonic_phase_space:
K: integer_ge_2
domain: torus_K
harmonic_indices: [1, 2, ..., K]
gauge_action:
parameter_domain: circle
action: phi_k <- phi_k + k * theta
interpretation: common_period_time_origin
quotient_map:
name: Q_K
output_dimension: K_minus_1
coordinate: psi_k = wrap(phi_k - k * phi_1)
kernel: weighted_circle_subgroup
representation:
primary:
- cos_psi_k
- sin_psi_k
auxiliary:
- valid_mask
- confidence
- harmonic_index
distance:
circle: abs(atan2(sin(delta), cos(delta)))
torus: weighted_lp_product
uncertainty:
linear_map: B_K
covariance: Sigma_psi = B_K * Sigma_phi * transpose(B_K)
dynamic:
path_space: continuous_paths_on_torus
unwrapping: path_lift_with_initial_branch
derivative: dpsi_k = dphi_k - k * dphi_1
附錄 B：核心矩陣範例
當：
K = 5 , K=5, K = 5 , 有：
h 5 = ( 1 2 3 4 5 ) , \mathbf h_5
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3\\4\\5
\end{pmatrix}, h 5 = 1 2 3 4 5 , 以及：
B 5 = ( − 2 1 0 0 0 − 3 0 1 0 0 − 4 0 0 1 0 − 5 0 0 0 1 ) . B_5
=
\begin{pmatrix}
-2&1&0&0&0\\
-3&0&1&0&0\\
-4&0&0&1&0\\
-5&0&0&0&1
\end{pmatrix}. B 5 = − 2 − 3 − 4 − 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . 直接驗證：
B 5 h 5 = ( 0 0 0 0 ) . B_5\mathbf h_5
=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\0
\end{pmatrix}. B 5 h 5 = 0 0 0 0 . FARHP 座標為：
( ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 5 ) = B 5 ( ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ) ( m o d 2 π ) . \begin{pmatrix}
\psi_2\\
\psi_3\\
\psi_4\\
\psi_5
\end{pmatrix}
=
B_5
\begin{pmatrix}
\phi_1\\
\phi_2\\
\phi_3\\
\phi_4\\
\phi_5
\end{pmatrix}
\pmod{2\pi}. ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 5 = B 5 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ( mod 2 π ) . 若完整相位估計誤差協方差為對角矩陣：
Σ ϕ = diag ( σ 1 2 , σ 2 2 , σ 3 2 , σ 4 2 , σ 5 2 ) , \Sigma_{\phi}
=
\operatorname{diag}
(\sigma_1^2,
\sigma_2^2,
\sigma_3^2,
\sigma_4^2,
\sigma_5^2), Σ ϕ = diag ( σ 1 2 , σ 2 2 , σ 3 2 , σ 4 2 , σ 5 2 ) , 則 FARHP 誤差協方差為：
Σ ψ = ( σ 2 2 + 4 σ 1 2 6 σ 1 2 8 σ 1 2 10 σ 1 2 6 σ 1 2 σ 3 2 + 9 σ 1 2 12 σ 1 2 15 σ 1 2 8 σ 1 2 12 σ 1 2 σ 4 2 + 16 σ 1 2 20 σ 1 2 10 σ 1 2 15 σ 1 2 20 σ 1 2 σ 5 2 + 25 σ 1 2 ) . \Sigma_{\psi}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_2^2+4\sigma_1^2
&6\sigma_1^2
&8\sigma_1^2
&10\sigma_1^2\\
6\sigma_1^2
&\sigma_3^2+9\sigma_1^2
&12\sigma_1^2
&15\sigma_1^2\\
8\sigma_1^2
&12\sigma_1^2
&\sigma_4^2+16\sigma_1^2
&20\sigma_1^2\\
10\sigma_1^2
&15\sigma_1^2
&20\sigma_1^2
&\sigma_5^2+25\sigma_1^2
\end{pmatrix}. Σ ψ = σ 2 2 + 4 σ 1 2 6 σ 1 2 8 σ 1 2 10 σ 1 2 6 σ 1 2 σ 3 2 + 9 σ 1 2 12 σ 1 2 15 σ 1 2 8 σ 1 2 12 σ 1 2 σ 4 2 + 16 σ 1 2 20 σ 1 2 10 σ 1 2 15 σ 1 2 20 σ 1 2 σ 5 2 + 25 σ 1 2 . 此矩陣清楚顯示：基頻錨點不確定性會形成跨諧波的共享相關結構。
附錄 C：後續論文必須沿用的符號
符號
定義
T \mathbb T T 相位圓群 R / ( 2 π Z ) \mathbb R/(2\pi\mathbb Z) R / ( 2 π Z )
P K \mathcal P_K P K 完整 K K K T K \mathbb T^K T K
h K \mathbf h_K h K 諧波權重向量 ( 1 , 2 , … , K ) T (1,2,\ldots,K)^{\mathsf T} ( 1 , 2 , … , K ) T
ι K \iota_K ι K 共同週期相位嵌入
G K \mathcal G_K G K 共同週期平移子群
B K B_K B K FARHP 整數差分矩陣
Q K Q_K Q K 商映射／FARHP 映射
ψ \boldsymbol\psi ψ FARHP 狀態
m k m_k m k 相位有效性遮罩
c k c_k c k 相位估計置信度
δ T \delta_{\mathbb T} δ T 圓周測地距離
d p , w d_{p,\mathbf w} d p , w 加權環面距離
L H L_H L H 廣義整數相位不變量格
P K \mathfrak P_K P K 極性反轉作用
R K \mathfrak R_K R K 時間反演作用