# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第四篇）

## 塔外折返、邊界互補對偶、有限路徑計數與跨進位視角

**英文題名：** Radix Towers and Global Operational Relation Geometry IV: Exterior Excursions, Complementary Boundary Duality, Finite Path Counts, and Cross-Radix Observation  
**版本：** v0.1（定理、有限域窮舉與可重現研究稿）  
**日期：** 2026-11-03  
**研究脈絡：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**前置研究：** `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_01_v0.1.md`、`EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_02_v0.1.md`、`EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_03_v0.1.md`  
**附屬驗證：** `verify_paper04.py`、`paper04_stats.json` 及三份完整統計 CSV  
**研究定位：** 明確定義與既有整數算術可證結果、完整有限域驗證、結構觀察；不宣稱證明了物理因果對偶或新的普適數論定律  
**Canonical source：** UTF-8 Markdown，LF 換行；數學原始碼只使用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`

---

**作者：** Neo.K  
**公司：** 一言諾科技有限公司  

## 摘要

前兩篇研究建立數值節點、運算事件、計算歷史與進位觀察層；第三篇將不同括號化的雙步乘法歷史完整枚舉，證明在固定基底下，重新括號可以重分配數量級進位位置，但不會改變乘積，也不會改變兩步的總進位量。這些歷史都位於有限觀察域 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$ 內。本文進一步研究一種刻意不同的歷史：**兩個內部輸入先生成一個大於 $1000$ 的中間值，隨後經減法返回 $1$ 至 $1000$。**

本文明確限定兩類雙步語法： $(a+b)-c=z$ 與 $(a\times b)-c=z$，其中 $a,b,c,z\in S_{1000}$，但第一步中間值 $m>1000$。在此設定下可證 $1001\le m\le2000$。精確枚舉得到 **加減型 $333833500$ 條有序歷史**，及 **乘減型 $3168261$ 條有序歷史**。這些是指定語法下的歷史數，而非不同結果值或不同數學定律的數量。

本篇的關鍵發現之一是**負結果**：對 $S_{1000}$ 的每一個結果節點 $z$，兩類語法都能構造至少一條先超界再折返的路徑。因此，「某個數值存在塔外虛線連結」本身**沒有判別力**。若要研究非平凡耦合，必須保留運算來源、反向約束、等價重寫與對偶軌道，不能只看是否超界。

本文隨後證明兩個作用於完整歷史的精確對稱變換。第一個是互補對偶 $J$：在固定 $m$ 下交換減數 $c$ 與結果 $z$，亦即由 $m-c=z$ 轉成 $m-z=c$。第二個是第一步輸入交換 $K$：對加法與乘法交換 $a,b$。兩者互相交換且各自平方為恆等，構成一個作用於歷史集合的四元對稱群。利用標準軌道計數方法可求得完整的固定點與對稱等價類總數。以 $99\times11-198=891$ 為例，兩個對偶操作產生四條彼此耦合但不可在原始事件資料中提前合併的歷史。

更重要的是，當 $m=c+z$ 時，以 $m/2$ 置中， $c$ 與 $z$ 具有精確鏡射關係。這項幾何結構不依賴十進位寫法；但是將數值投影到進位塔樓後，是否跨越數量級樓層，卻會隨基底改變。本文將**數值集合邊界**和**基底位階邊界**嚴格分開，並給出五種基底下的實測分布，以免把圖面虛線誤認為傳統進位。

本篇所支持的是一種可驗證的**運算關係幾何方法**：保留完整歷史、區分外部折返與可移除的中間過程、對同一底層事件進行不同觀察投影。它尚不支持「所有實數在任何演算法下都有唯一或普遍規則的視覺軌跡」這類更強的敘述。

**關鍵詞：** 有限數值域、塔外中間值、折返路徑、運算事件、互補對偶、反向約束、兩個對合、軌道計數、因數函數、位階投影、局部置中、可重現枚舉。

---

## 1. 從第三篇的完全塔內歷史，走向塔外折返

### 1.1 先確認此前完成的是什麼

第三篇固定 $a,b,c\ge2$ 且 $abc\le1000$，比較 $(ab)c$ 與 $a(bc)$ 的中間乘積。因所有乘數為正整數且至少為 $2$，兩個中間乘積均小於或等於最終結果，所以**中間值不會超出 $1000$**。

本篇改問：若最終結果仍在 $S_{1000}$，但中間值超過觀察範圍，這個中間歷史與內部數值有什麼可以精確保存的關係？

例如：

$$
(99\times11)-198=1089-198=891.
$$

它與以下完全塔內歷史具有相同結果：

$$
99\times9=891.
$$

僅記錄最後一個 $891$，會抹去前一條歷史曾經到達 $1089$ 的事實。但如果只因出現 $1089$ 就宣布找到特殊的新關係，同樣不夠嚴格。

### 1.2 三種不得混淆的界線

本篇始終區分：

1. **值域邊界：** 一個整數是否位於 $S_{1000}$，由其精確數值決定。
2. **進位位階邊界：** 一個整數在基底 $b$ 下是否進入較高數量級，取決於 $\ell_b$。
3. **歷史語法邊界：** 哪些事件與重寫被視為合法，取決於本文明確規定的運算規則與步數。

外部折返是第一與第三個概念所共同定義的**有限歷史類型**；它不等於逐位 carry，也不保證跨越進位位階。

---

## 2. 定義：正整數塔樓的外部兩步歷史

### 2.1 內部集合與合法運算

令：

$$
S_N=\{1,2,\ldots,N\},\qquad N=1000.
$$

選擇第一步運算 $\odot\in\{+,\times\}$，定義中間值：

$$
m=a\odot b.
$$

外部折返歷史為：

$$
P=(a,b,m,c,z;\odot),
$$

其中：

$$
a,b,c,z\in S_N,\quad m>N,\quad m-c=z.
$$

按第一步運算分類，記為 $\mathcal E_{+,N}$ 與 $\mathcal E_{\times,N}$。 $a,b$ 的輸入順序被保存，所以 $(a,b)$ 與 $(b,a)$ 在 $a\ne b$ 時是**不同的有序歷史**。本篇不因最後結果相同，就把不同輸入、不同中間事件合併。

### 2.2 為什麼外部中間值不超過 $2N$

因 $m=c+z$，且 $1\le c,z\le N$，故：

$$
2\le m\le2N.
$$

再加上 $m>N$，得到：

$$
N+1\le m\le2N.
$$

對 $N=1000$，**所有合法外部節點必在 $1001$ 至 $2000$**。這是一個由語法直接證明的上界，而非任意選定的渲染裁切。

### 2.3 固定外部節點的折返寬度

寫 $m=N+t$，其中 $1\le t\le N$。由 $m=c+z$ 且 $c,z\in S_N$，得到：

$$
t\le c\le N,\qquad z=N+t-c.
$$

因此固定 $m$ 時，合法有序對 $(c,z)$ 的數量為：

$$
w_N(m)=2N-m+1=N-t+1.
$$

越接近外部邊界 $N+1$，可折返的選擇越多；越接近 $2N$，選擇越少。這形成一個可以精確計數的**三角形折返寬度**，也是將路徑展開為格子圖時不能略過的底層資料。

### 2.4 「有序歷史」不是「獨立的答案」

例如對固定 $m=1089$，只要 $c,z\in S_{1000}$ 且 $c+z=1089$，就有多個不同的第二步。對固定 $z=891$，則可能存在多組不同的 $(a,b,m,c)$。兩種計數不可交換，圖面上需要分開保留。

---

## 3. 定理：加減型外部歷史的精確計數

### 3.1 固定中間值的輸入因子

若 $m=a+b$ 且 $a,b\in S_N$，在 $N<m\le2N$ 時， $a$ 可取：

$$
m-N\le a\le N.
$$

於是第一步的有序輸入對數量也是：

$$
A_N(m)=2N-m+1.
$$

因此固定一個外部中間值 $m$，第一步輸入選擇與第二步折返選擇各有 $w_N(m)$ 種，而且可以獨立結合；該中間值所承載的加減型歷史數恰為：

$$
H_+(m)=w_N(m)^2.
$$

### 3.2 定理 3.1：總數等於平方和

所有有序加減型外部歷史總數為：

$$
H_+(N)=\sum_{m=N+1}^{2N}(2N-m+1)^2
=\sum_{j=1}^{N}j^2.
$$

使用平方和公式可得：

$$
H_+(N)=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
$$

對 $N=1000$：

$$
H_+(1000)=333833500.
$$

**證明。** 固定 $m$ 時第一步的 $(a,b)$ 有 $w_N(m)$ 種，第二步的 $(c,z)$ 也有 $w_N(m)$ 種。所有合法歷史各對應唯一的 $m$，故可逐 $m$ 加總。令 $j=2N-m+1$，當 $m$ 從 $N+1$ 增至 $2N$ 時， $j$ 從 $N$ 降至 $1$，得到平方和。證畢。

### 3.3 定理 3.2：固定結果的歷史密度

對任意 $z\in S_N$，令 $G_+(z)$ 是所有終點為 $z$ 的加減型外部歷史數。因第二步的 $c=m-z$ 必須在 $S_N$，合法的外部 $m$ 只能為 $N+1,\ldots,N+z$，所以：

$$
G_+(z)=\sum_{m=N+1}^{N+z}(2N-m+1).
$$

化簡得到：

$$
G_+(z)=z(N+1)-\frac{z(z+1)}{2}.
$$

將 $G_+(0)=0$ 用於差分記號，則：

$$
G_+(z)-G_+(z-1)=N-z+1.
$$

此差分隨 $z$ 線性下降。加減型結果密度的曲線由**有限邊界幾何**直接決定，不能把它的平滑曲線誤判成特殊的新數論結構。

---

## 4. 定理：乘減型外部歷史與因數結構

### 4.1 外部中間值的乘法來源數

對 $m\in[N+1,2N]$，若 $m=ab$ 且 $a,b\in S_N$，因 $m>N$，不可能有 $a=1$ 或 $b=1$ ；其餘正整數因數對均合法。確實，任何非平凡因數都不超過 $m/2\le N$。

令 $\tau(m)$ 為 $m$ 的正因數個數。第一步的有序乘法輸入對數量因此為：

$$
M_N(m)=\tau(m)-2.
$$

若 $m$ 是質數，此值為 $0$ ；若 $m$ 為合數，此值為正數。

### 4.2 定理 4.1：乘減型總歷史數

固定 $m$ 的乘減型外部歷史數是乘法輸入對數乘上合法折返對數，因此：

$$
H_{\times}(N)=\sum_{m=N+1}^{2N}(2N-m+1)(\tau(m)-2).
$$

對 $N=1000$ 使用精確整數因數計數，得到：

$$
H_{\times}(1000)=3168261.
$$

此數不是模擬近似值；附屬程式同時透過**外部中間值的因數權重**與**逐一枚舉 $(a,b,c)$** 兩條獨立計數途徑交叉核對。

### 4.3 定理 4.2：固定結果的乘減型密度與算術差分

固定結果 $z$ 時：

$$
G_{\times}(z)=\sum_{m=N+1}^{N+z}(\tau(m)-2).
$$

故：

$$
G_{\times}(z)-G_{\times}(z-1)=\tau(N+z)-2.
$$

這是本篇值得觀察的一項**結構分離**：

- 加減型結果密度的差分由線性邊界寬度 $N-z+1$ 控制；
- 乘減型結果密度的差分由連續整數的因數數量 $\tau(N+z)-2$ 控制。

兩種曲線若放在同一座塔樓上，其波動外形不相同的原因可以被**精確追溯到運算語法與因數結構**，而不必先訴諸新的物理機制。

### 4.4 重要的完整域統計

| 終點 $z$ | 加減型 $G_+(z)$ | 乘減型 $G_{\times}(z)$ |
|---:|---:|---:|
| 1 | 1,000 | 6 |
| 9 | 8,964 | 56 |
| 99 | 94,149 | 596 |
| 198 | 178,497 | 1,213 |
| 891 | 494,505 | 5,722 |
| 990 | 500,445 | 6,381 |
| 1000 | 500,500 | 6,449 |

注意：這張表是**指向每個結果節點的指定形式歷史數**，不是節點數、不代表機率，也不是聲稱每條歷史都在物理世界中被執行。

---

## 5. 一個必要的負結果：每個節點都有外部歷史

### 5.1 命題 5.1：加減型對每個結果都可構造外部路徑

任取 $z\in S_{1000}$，選擇：

$$
a=1000,\qquad b=1,\qquad c=1001-z.
$$

則 $1\le c\le1000$ 且：

$$
(1000+1)-(1001-z)=z.
$$

中間值 $1001>1000$，所以每個結果節點都有加減型外部折返歷史。

### 5.2 命題 5.2：本域乘減型對每個結果也可構造外部路徑

因為 $1001=7\times143$，對任意 $z\in S_{1000}$：

$$
(7\times143)-(1001-z)=z.
$$

這同樣是一條合法的乘減型外部歷史，且兩個第一步輸入皆至少為 $2$。因此**本篇所選 $N=1000$ 的所有結果節點也都有乘減型外部路徑**。

### 5.3 為什麼不能直接外推到任意 $N$

固定結果 $z=1$，乘減型外部中間值必須同時滿足 $m>N$ 與 $m\le N+1$，所以只能是 $m=N+1$。因此：

$$
G_{\times}(1)=\tau(N+1)-2.
$$

對 $N\ge2$ 而言，只有 $N+1$ 為合數時，乘減型才對 $z=1$ 具有外部歷史。 $N=1000$ 恰好符合這個條件；若 $N+1$ 是質數，便不能套用本篇的「每個節點皆可達」結論。

### 5.4 判別力的邊界

由命題 5.1 與 5.2，對當前的兩類語法，**存在外部折返路徑並不能區分 1–1000 中的任何兩個結果節點**。此結論不否定塔樓觀察法，而是要求後續判準至少包含來源約束、路徑類型、歷史密度、等價重寫條件或精確不變量。

換句話說，虛線**應保存**，但不能僅憑虛線**作結論**。

---

## 6. 核心定理：內外部折返的互補對偶

### 6.1 定義 6.1：互補變換 $J$

對任意合法歷史：

$$
P=(a,b,m,c,z;\odot),\qquad m-c=z,
$$

定義：

$$
J(P)=(a,b,m,z,c;\odot).
$$

原路徑的第二步是 $m-c=z$ ；經 $J$ 變換後，第二步為 $m-z=c$。兩個輸出均位於 $S_N$，中間值 $m$ 仍然大於 $N$。

### 6.2 定理 6.2： $J$ 是外部歷史集合上的對合

對每個 $\odot\in\{+,\times\}$， $J$ 將 $\mathcal E_{\odot,N}$ 雙射到自身，並滿足：

$$
J^2(P)=P.
$$

**證明。** 由 $m=c+z$ 可知兩次交換 $c,z$ 後回到原路徑。合法性、第一步輸入、第一步運算、外部中間值及 $m>N$ 均不變。逆映射就是 $J$ 自身。證畢。

這提供了一個確切意義下的**作用—反向約束對偶**：在已知外部中間狀態 $m$ 與一個內部端點時，另一個端點由減法約束唯一決定。它並不表示等式本身在物理意義上具有時間方向或作用力。

### 6.3 數值置中後的精確鏡射

因 $c+z=m$，以 $m/2$ 作為局部中心，定義：

$$
\chi_m(z)=z-\frac{m}{2}.
$$

則：

$$
\chi_m(c)=-\chi_m(z).
$$

因此在**精確數值座標**中， $c$ 與 $z$ 對於 $m/2$ 完全對稱。這不是在圖上任意排列出來的視覺對稱，而是直接來自 $c+z=m$ 的可證關係。

對 $N=1000$，每一個外部中間值 $1001\le m\le2000$ 都滿足：

$$
500.5\le\frac{m}{2}\le1000.
$$

也就是說，**外部中間值的互補中心，始終落在塔內數值區間的上半部，或落在相鄰整數之間**。若 $m$ 為奇數，鏡射中心可能是半整數而不是一個既有數值格子。

不能把精確線性數值軸上的這項鏡射，無條件當成任意進位塔樓排版上的幾何對稱；後者還取決於樓層寬度、格子座標及排序規則。

### 6.4 891 的完整互補例子

取：

$$
m=99\times11=1089,\qquad c=198,\qquad z=891.
$$

則：

$$
1089-198=891,
\qquad
1089-891=198.
$$

局部中心為 $544.5$，兩個端點的相對位移為：

$$
891-544.5=346.5,
\qquad
198-544.5=-346.5.
$$

這是你所強調的「置中後，原本不容易看見的關係線才顯現」的一個**可直接驗證的最小示例**。

---

## 7. 第二個對稱：交換第一步輸入，形成四元軌道

### 7.1 定義 7.1：輸入交換 $K$

因本篇的第一步運算為加法或乘法，均滿足交換律，定義：

$$
K(a,b,m,c,z;\odot)=(b,a,m,c,z;\odot).
$$

顯然：

$$
K^2(P)=P,
\qquad
JK(P)=KJ(P).
$$

由此 $J$ 與 $K$ 生成四種可能的作用：

$$
\{I,J,K,JK\}.
$$

這些運算構成一個四元素的交換群作用；在某些特殊歷史上會出現固定點，因此某條歷史的實際軌道可能只有 $1,2$ 或 $4$ 個不同成員。

### 7.2 891 的四條相互連結歷史

固定 $m=1089$，上述兩個對合給出：

| 變換 | 外部歷史 | 最終值 |
|---|---|---:|
| $I$ | $(99\times11)-198$ | 891 |
| $K$ | $(11\times99)-198$ | 891 |
| $J$ | $(99\times11)-891$ | 198 |
| $JK$ | $(11\times99)-891$ | 198 |

四條歷史有相同外部中間值、共同第一步運算種類，並由兩條互相交換的精確變換相連。把它們全部縮成兩個結果節點，會遺失運算元次序；把兩個結果直接合併成一個節點，則會遺失數值資訊。

### 7.3 固定點與配對數

若 $J(P)=P$，則 $c=z=m/2$，所以 $m$ 必須是偶數。固定點數為：

$$
F_{J,+}(N)=\sum_{\substack{N<m\le2N\\2\mid m}}(2N-m+1),
$$

$$
F_{J,\times}(N)=\sum_{\substack{N<m\le2N\\2\mid m}}(\tau(m)-2).
$$

若 $K(P)=P$，則第一步的兩個輸入相同，即 $a=b$。若 $JK(P)=P$，則需**同時**滿足 $a=b$ 與 $c=z$。

在 $N=1000$ 的完整歷史集合上，得到：

| 指標 | 加減型 | 乘減型 |
|---|---:|---:|
| 有序歷史總數 $H$ | 333,833,500 | 3,168,261 |
| $J$ 的固定點數 $F_J$ | 250,000 | 4,989 |
| $K$ 的固定點數 $F_K$ | 250,000 | 7,059 |
| $JK$ 的固定點數 $F_{JK}$ | 500 | 7 |
| 僅按 $J$ 配對後的軌道數 | 167,041,750 | 1,586,625 |
| 按 $I,J,K,JK$ 合併的軌道數 | 83,583,500 | 795,079 |

### 7.4 定理 7.2：對稱軌道的精確計數

對任意有限歷史集合，若 $J,K$ 為彼此交換的對合，則標準軌道計數給出：

$$
\#(\mathcal E/\langle J,K\rangle)
=\frac{H+F_J+F_K+F_{JK}}{4}.
$$

**證明。** 對群的四個元素 $I,J,K,JK$，每個元素的固定點數分別為 $H,F_J,F_K,F_{JK}$。利用有限群作用的軌道計數引理，將四個固定點數相加再除以群的階數 $4$。證畢。

對本篇的完整有限集合代入上表，分別得到 $83583500$ 與 $795079$ 個等價軌道。這些數據為「作用、反向約束與輸入交換可以形成有組織的耦合結構」提供了**可重現的組合數學證據**；它仍是既有整數算術與群作用框架中的結果，不應直接宣稱為一項已證實的全新物理定律。

---

## 8. 外部折返可能只是可移除的運算歷史

### 8.1 加減型的內部重寫

對任意合法外部加減型歷史：

$$
(a+b)-c=z.
$$

若 $b>c$，可先計算 $b-c\in S_N$，再計算 $a+(b-c)=z\in S_N$。若 $b<c$，可先計算 $c-b\in S_N$，再計算 $a-(c-b)=z\in S_N$。若 $b=c$，則直接約去 $b-c$，得到 $z=a$。

因此每條加減型外部歷史都可經標準代數重寫，找到一條**不需要正整數外部中間值**的等價求值方式；但最後一種情況可能少一步，並非強制保持同樣的雙步語法。

這提供另一個負結果：加減型的外部折返通常首先反映**求值順序選擇**，不能只因先跨過界線就認為外部節點不可替代。

### 8.2 乘減型的局部因子折返

對合法歷史：

$$
(ab)-c=z,
$$

若 $a\mid c$，令 $d=c/a$。因 $0<c<ab$，可得 $1\le d<b$，所以：

$$
a(b-d)=z.
$$

右邊只使用 $b-d\in S_N$ 與結果 $z\in S_N$，可以避開外部中間乘積。若 $b\mid c$，同理可改寫為 $b(a-c/b)=z$。

定義本篇的**直接因子折返條件**：

$$
(a\mid c)\ \lor\ (b\mid c).
$$

完整的 $3168261$ 條乘減型外部歷史中，恰有 **$640841$ 條**滿足此條件，占約 **$20.2269\%$**。其餘 **$2527420$ 條**不滿足本篇的直接因子折返條件。

**重要限制：**「不符合直接因子折返條件」不等於「無法被其他代數恆等式消去外部狀態」，更不等於「外部節點在任何演算法中都不可避免」。這裡只判定兩個明確可程式驗證的整除條件。

### 8.3 兩個 891 個案：相同結果，不同折返性質

**個案 A：**

$$
(99\times11)-198=891.
$$

因 $198=99\times2$，可以折成 $99\times(11-2)=891$，符合直接因子折返條件。

**個案 B：**

$$
(7\times143)-110=891.
$$

其中 $110$ 既不被 $7$ 整除，也不被 $143$ 整除，因此不符合本篇的直接因子折返條件。但 $891$ 仍然有 $9\times99$ 這條塔內求值路徑。這說明**同一結果的內部可達性**，與**能否在保留同一組原始輸入的情況下完成指定局部重寫**，是兩個不同問題。

---

## 9. 進位制究竟改變了哪一個邊界？

### 9.1 值域外部性不隨基底改變

對任何進位基底 $b\ge2$， $1089>1000$ 是整數大小比較的事實。只把 $1089$ 的寫法改成其他基底，不可能令它忽然回到 $S_{1000}$。

因此：「 $m$ 是否為塔外節點」在固定精確數值域下，是**跨進位制不變**的判定。

### 9.2 位階高度與相對層差會變

沿用第三篇的位階函數：

$$
\ell_b(x)=\lfloor\log_b x\rfloor.
$$

對一條外部歷史，定義觀察層差：

$$
D_b(P)=\ell_b(m)-\ell_b(z)\ge0.
$$

這是外部中間值相對終點的**數量級高度差**，不是整數大小差，也不是長乘法中逐位產生的 carry 數量。

對固定歷史 $99\times11-198=891$：

| 基底 | $891$ 的表示 | $1089$ 的表示 | $\ell_b(891)$ | $\ell_b(1089)$ | $D_b$ |
|---:|---|---|---:|---:|---:|
| 2 | $1101111011$ | $10001000001$ | 9 | 10 | 1 |
| 8 | $1573$ | $2101$ | 3 | 3 | 0 |
| 10 | $891$ | $1089$ | 2 | 3 | 1 |
| 12 | $623$ | $769$ | 2 | 2 | 0 |
| 16 | $37B$ | $441$ | 2 | 2 | 0 |

同一條歷史**在所有基底下都超出 1000 的值域邊界**，但在八、十二、十六進位的數量級觀察中，外部中間值和終點落在**同一個位階**。

這就是為什麼圖表必須同時保留「是否超出有限集合」與「是否跨位階」兩種標記：它們不是同一回事。

### 9.3 五種基底的完整乘減型層差統計

對同一批 $3168261$ 條外部乘減型歷史，保持全部精確整數值不變，只改變 $\ell_b$ 的基底。得到：

| 基底 | $D_b=0$ 的歷史數 | $D_b>0$ 的歷史數 | 總數 |
|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 66,504 | 3,101,757 | 3,168,261 |
| 8 | 2,356,582 | 811,679 | 3,168,261 |
| 10 | 6,449 | 3,161,812 | 3,168,261 |
| 12 | 2,854,036 | 314,225 | 3,168,261 |
| 16 | 2,968,411 | 199,850 | 3,168,261 |

數值集合、事件數、兩個對偶 $J,K$ 及它們的群作用沒有改變；**只是位階觀察的分類結果發生了大幅變化**。

這種差異是位值基底的數學後果，不應被誤當成「改變進位制會改變精確算術的因果實體」。

### 9.4 在同一對偶中，也要分清保持與改變的量

互補對偶 $J$ 保持第一步輸入、外部中間值 $m$ 、值域外部性以及 $m-N$。但因交換了原本的減數 $c$ 和結果 $z$，它**不必保持**以輸出為基準的層差 $D_b$。

以十進位 $1089-198=891$ 為例，原路徑的 $D_{10}=1$ ；對偶路徑 $1089-891=198$ 的 $D_{10}=2$。這提醒我們：**一項關係在某個變換下封閉，不表示所有依賴觀察焦點的量都必須相同。**

---

## 10. 塔樓圖式的新規格：置中不是只有把格子移到畫面中間

### 10.1 需要保存三種不同的中心

**全域塔樓中心**：不同位階的數值群共用相同畫面中心線。此模式用來觀察格子排列、樓層寬度與跨層線的總體密度。

**結果中心 $z$**：把所有指向指定結果 $z$ 的歷史掛回同一個結果節點；事件輸入和中間值不能因終點相同而被刪除。此模式用來觀察 $G_+(z)$ 、 $G_{\times}(z)$ 及來源差異。

**互補局部中心 $m/2$**：對每一個外部中間值 $m$，以 $m/2$ 為鏡射軸，同時標示 $c,z$ 的兩個端點。此模式用來觀察 $J$ 造成的精確互補對稱；若 $m$ 為奇數，必須允許中心位於格子之間。

第三種中心是本文新增的主要觀察建議。它由可證明的代數關係推導，不應用任意排版強制所有不同 $m$ 共用同一局部中心。

### 10.2 完整事件資料最低要求

每個歷史至少包含：

- `history_id`：不得因數值重複而刪去的歷史識別碼；
- `a, b, operator, m`：第一步兩個有序輸入、運算種類及外部中間值；
- `c, z`：第二步減數與結果，並驗證 $m-c=z$ ；
- `inside/outside`：由精確整數比較 $m>N$ 決定；
- `external_excess`： $m-N$ ；
- `J_partner, K_partner`：兩種對偶的事件索引；
- `factorable`：僅適用乘減型，表示本篇的直接因子折返條件；
- `radix, level_m, level_z, level_gap`：只在指定觀察投影時增加；
- `layout_coordinates`：純粹為渲染資料，絕不可代替精確數值或歷史識別。

對大量歷史不必強制把所有邊同時畫到螢幕上。可以在資料層保存完整計數、在觀察層依指定的 $z$ 、 $m$ 、對偶軌道或運算類別作局部查詢；不應因畫面負載而在數學資料層直接丟掉歷史。

### 10.3 虛線應有明確語義

外部中間節點 $m$ 以虛線顯示，是表示它**超出指定觀察值域 $S_N$**。在同一張圖中，如果還要以另一種線條表示**進位數量級的跨層**，必須使用不同的圖例。不能因兩者有時重合，就把它們當成同一個數學判準。

### 10.4 檢驗「看到關係」是否只是排版錯覺

對每項聲稱觀察到的結構，至少應檢查：

1. 能否由精確事件資料計算，而不必讀取像素座標？
2. 更換左起、塔樓置中、結果置中、局部互補置中後，關係是否仍成立？
3. 更換進位制後，是底層關係改變，還是只改變了位階顯示？
4. 若合併代數等價歷史，所謂的新形態是否仍有可分辨的內容？

這些不是對圖式方法的否定；恰恰是為了讓圖式觀察轉化為可以驗證的研究工具。

---

## 11. 驗證方法：公式、直接枚舉與獨立交叉檢查

### 11.1 兩種總數的不同檢查途徑

加減型總數 $333833500$ 由平方和精確公式計算。為避免不必要地建立三億多筆資料，完整上限 $N=1000$ 的總數使用逐外部節點分組和封閉形式核對；另外在 $N=2,3,5,8,12,23$ 的小域，使用三重暴力枚舉獨立檢查公式與對偶固定點。

乘減型則同時使用：

- 對 $1001$ 至 $2000$ 的 $\tau(m)-2$ 因數權重求和；
- 對全部合法 $(a,b,c)$ 直接枚舉，實際處理 **$3168261$ 條歷史**；
- 用整除條件與最大公因數的倍數計數公式，獨立核對 $640841$ 條直接因子折返歷史。

每個結果的統計資料由兩套相容但不同的計算方式互相檢查。所有計算使用 Python 原生精確整數；不使用浮點近似求因數個數與合法性。

### 11.2 固定點與軌道數的檢查

程式分別枚舉 $J,K,JK$ 的固定點條件，再檢查：

$$
\frac{H+F_J}{2}\in\mathbb Z,
\qquad
\frac{H+F_J+F_K+F_{JK}}{4}\in\mathbb Z.
$$

對小域也直接枚舉每條歷史，確認對偶映射在合法集合內封閉；這些測試無需依賴繪圖或觀察座標。

### 11.3 完整資料與圖形

本篇隨附：

| 檔名 | 內容 |
|---|---|
| `verify_paper04.py` | 精確整數驗證、兩步歷史的獨立計數、對偶固定點、跨進位分布與 CSV 生成 |
| `paper04_stats.json` | 全域統計、各指定結果節點、五種進位制的層差分布 |
| `paper04_targets_1_to_1000.csv` | 全部 1000 個結果節點的加減與乘減歷史數，以及直接因子折返數 |
| `paper04_intermediates_1001_to_2000.csv` | 1000 個外部中間節點的輸入來源、折返寬度及歷史權重 |
| `paper04_radix_jumps.csv` | 五個基底下每種層差的精確事件數 |
| `paper04_891_duality_orbit.csv` | 891 個案的四個對偶軌道成員 |
| `make_figures.py` | 不修改統計數據的獨立圖形輸出程式 |
| `figures/` | 加減型密度、乘減型因數差分及五基底層差對照圖 |
| `validate_source.py` | UTF-8、canonical 數學分隔符、數據與檔案結構檢查 |

### 11.4 尚未被本篇證明的敘述

本篇沒有證明下列主張：

- 任意實數都能在有限的整數塔樓格子內獲得無損表示；
- 不限制語法與深度時，所有運算路徑可以被有限窮舉；
- 所有超界中間狀態都無法透過其他運算順序或代數重寫避免；
- 任意進位制下的「圖面幾何角度」具有相同的不變性；
- 數學的互補對偶必然對應物理學中的作用力與反作用力。

事實上，若允許在不限制步數的歷史中任意插入 $+1000$ 與 $-1000$，即使原始與最終數值始終限定在 $S_{1000}$，也可產生無限多條語法上不同的路徑。這正是本篇必須限定運算語法與歷史深度的理由。

---

## 12. 結論：真正可見的不是一條超界線，而是整個互補關係

本文將第三篇的完全塔內雙步乘法，推進到具有中間外部節點、但初始輸入與最終結果均限定於 $1$ 至 $1000$ 的兩步混合運算，並完成四項可以直接核對的結果。

**第一，外部路徑具有精確的密度結構。** 加減型總數是 $333833500$，由幾何寬度的平方和決定；乘減型總數是 $3168261$，由邊界寬度與因數函數 $\tau(m)$ 的耦合決定。對固定結果，兩類密度的離散差分一個平滑、一個由因數數量控制。

**第二，單純存在外部路徑不足以構成新判準。** 在本篇的 $S_{1000}$ 與指定語法下，每一個結果都能獲得外部折返歷史。為了研究真正的關係資訊，必須保存完整運算來源、直接因子折返條件及對偶軌道，而不是只標示「有超界」。

**第三，互補端點的置中關係可以精確證明。** 對任意 $m-c=z$， $c$ 與 $z$ 在數值軸上以 $m/2$ 為中心互為鏡射。再加入第一步的輸入交換，會得到兩個互相交換的對合；整個外部歷史集合可以依其作用進行嚴格的軌道計數。

**第四，值域外部性與進位位階跨越是兩回事。** 在五種進位基底下，同樣的 $3168261$ 條乘減型外部歷史保持相同精確值與對偶關係，但高度差為 $0$ 的歷史數可以從 $6449$ 變成 $2968411$。這顯示觀察座標會強烈影響圖像上哪些線被辨認為跨層，同時不改變它們在數學上是否超出 $S_{1000}$。

因此，本研究真正建立的不是「超出邊界就會產生神祕作用」，而是一個精確的辨識原則：**同一數值可以是多條歷史的結果；同一外部中間值可以同時約束兩個內部端點；進位制改變可見層級，卻不改變已經固定的整數關係。**

**結語：塔樓的邊界能截斷我們看見的路徑，卻不能截斷構成那條路徑的數學關係；真正的對偶，不在兩條線看起來是否相像，而在它們能否由同一套可逆的約束精確互換。**

---

**狀態：** Paper 04 / v0.1 — 定義與初等命題證明完成；有限域統計、對偶固定點與五基底層差分布已由程式驗證。  
**正式原稿：** 以獨立 UTF-8 Markdown 檔案為準，非從聊天畫面的數學渲染反向擷取。