# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）

## 有限雙作用網路的原始循環、三角生成缺口、語法填補與跨進位觀察

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XIV: Primitive Cycles, Triangle-Generation Defects, Grammar-Induced Filling, and Cross-Radix Observation in a Finite Dual-Operation Network*  
**版本：** v0.1（形式化命題、可核驗有限圖枚舉、二元循環空間分析）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；數學形式化與程式驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第九、十二、十三篇，尤以第十三篇的 203 個八重閉合回返與雙操作逆向定理為起點  
**Canonical source：** 原始 UTF-8 Markdown；數學原始碼僅使用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`  
**研究範圍：** 指定正整數語法及有限整數圖上的精確數學；不宣稱所有實數、所有演算法或物理因果律已獲證明

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**作者：** Neo.K；數學形式化與程式驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

前十三篇將 $n\times99=9\times(11n)$ 的關係族，由數值等式逐步展開成包含有序作用、反向約束、精確中間值、置中投影與不同進位表徵的可驗證關係圖。第十三篇特別確認：在輸入元集合 $A_{40}=\{2,\ldots,40\}$ 下，存在 $203$ 個三階段完整八重閉合回返 $(m,u,m)$，它們等價於雙生成起點 $m$ 配合一條可前後雙操作的數值邊。然而， $m\to u\to m$ 必然沿同一條邊往返，不能因此把這種回返誤認為圖上獨立的原始循環。

本文將問題提升為由**雙操作數值邊**構成的無向有限圖 $G_K$。每條 $x<y$ 的邊須同時滿足兩種上升運算 $x+d=y=xr$，且 $d,r\in A_K$ ；反向則同時允許減法及精確除法。由 $d=x(r-1)\le K$ 可證所有這類雙操作邊皆位於 $1\le x<y\le2K$，因此固定 $K$ 後，這是一個可完整枚舉的緊湊算術子圖。需強調：它**不是** 1–1000 全體單操作關係的完整圖譜；它是該圖譜中的雙操作受限層。

主實驗取 $K=40$，得到 $80$ 個數值節點、 $156$ 條無向雙操作邊、 $18$ 個連通分量（其中 $17$ 個孤立點），以及 $94$ 維的二元循環空間。除與第十三篇逐筆一致的 $203$ 個有根兩步回返外，本圖還有 $131$ 個三節點三角循環、 $674$ 個四節點簡單循環，其中 $191$ 個在各自四個頂點內沒有對角線。

由全部 $131$ 個三角循環的邊向量計算得到張成秩 $85$ ；將所有四節點循環加入後，秩增至整張圖的循環維度 $94$。因此，將所有三角關係視為可填補面後，仍有**恰好 $9$ 維的非三角循環剩餘**。本文給出九個獨立四邊循環的可重現代表證書，並提供反例：某個沒有對角線的四邊循環，仍可能經由其他節點的十個三角循環作對稱差分解。因此「局部缺少對角線」與「全域不能由三角生成」不是同一個判準。

隨運算元上限增加，原本的循環類別亦可能被新增的合法運算關係填補。例如 $K=8$ 時， $2\to4\to12\to6\to2$ 不能由三角循環生成；至 $K=10$，新邊 $2\leftrightarrow12$ 使其成為兩個三角循環的對稱差。整張圖的原始邊並未消失，變化的是完整合法語法下可進行的**全域分解**。這說明語法擴張與無損更換進位制有根本差異：前者真正改變關係圖，後者只改變同一圖的觀察投影。

對相同 $131$ 個精確三角循環，在十進位僅按數量級樓層投影時，有 $8$ 個循環的全部頂點被壓到同一樓層；二進位則為 $0$。可是圖的 $156$ 條邊、 $94$ 維循環空間及 $9$ 維非三角剩餘均不變。本篇把回返、原始循環、三角生成、語法填補與進位投影分成五種不同性質，建立可從格子圖回查完整事件的循環驗證協定。

**關鍵詞：** 全域運算關係幾何、進位制塔樓、雙作用數值圖、完整回返、簡單循環、二元循環空間、三角生成缺口、旗複形一維同調、語法填補、視角投影、精確證書。

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## 1. 從第十三篇的「回返」到真正的「循環」

### 1.1 兩種看似相近的閉合

第十三篇的 $(m,u,m)$ 具有兩次數值轉移，其中第二條轉移沿第一條數值邊反向返回。因此，它在帶有運算標籤的歷史上可以有多種算術選擇；然而若忘記運算符標籤、只保留無向數值邊，它是同一條邊經過兩次。

在模 $2$ 的邊集合空間中，同一條邊經過兩次會互相抵消：

$$
e+e=0\qquad\text{於 }\mathbb F_2.
$$

所以**兩步回返是合法的運算歷史，但不是圖循環空間中的非零原始循環**。兩種分析都需要保留，不能把其中一種的計數取代另一種。

### 1.2 新問題的精確形式

本篇研究三個逐漸增強的問題。

1. 哪些不同數值節點可以用兩種不同的算術作用沿同一方向連結？
2. 這些雙作用邊能否形成至少三個不同節點的簡單閉合循環？
3. 若局部存在三角與四角循環，整個圖的循環是否全可由最小三角循環組合生成？

其中第三題才直接檢查：**局部關係的集合，是否足以重建全域循環結構**。

### 1.3 語法與進位基底分別扮演什麼角色

輸入元上限 $K$ 決定允許的算術步驟，因此會改變底層邊集合。進位基底 $q$ 僅將相同的整數節點映射為不同的數位字串與數量級座標，除非另外明確修改數值解碼規則，否則不會改變底層邊集合。本篇不把 $K$ 與 $q$ 當成同一種參數。

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## 2. 雙操作數值圖的嚴格定義

### 2.1 運算元集合

對整數 $K\ge2$，固定：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

定義正整數雙操作邊的集合：

$$
E_K=\{\{x,y\}:1\le x<y,\ \exists d,r\in A_K,\ y=x+d=xr\}.
$$

等價地：

$$
\{x,y\}\in E_K
\iff
x\mid y,\quad 2\le y/x\le K,\quad 2\le y-x\le K.
$$

每條無向邊附帶四種方向相關的精確運算見證：

- 上行 $x\to y$：加上 $d=y-x$，或乘以 $r=y/x$ ；
- 下行 $y\to x$：減去 $d$，或精確除以 $r$。

這裡把不同運算符視為不同事件，但在**無向數值圖**的邊計數中，這四筆算術事件共享一條底層邊。

### 2.2 定理 2.1：雙操作圖的緊湊性

**定理。** 對任意合法雙操作邊 $1\le x<y$，必有：

$$
1\le x\le K,\qquad 1<y\le2K.
$$

**證明。** 由 $y=xr=x+d$ 得 $d=x(r-1)$。因 $r\ge2$，所以 $x\le d\le K$ ；又 $y=x+d\le2K$。證畢。

因此可取標準頂點集合：

$$
V_K=\{1,\ldots,2K\},\qquad G_K=(V_K,E_K).
$$

在 $K=40$ 時，所有雙操作邊都完全位於 1–80；這不代表 81–1000 沒有加減乘除關係，而只是本篇的**雙作用篩選規則**把候選圖縮到此範圍。

### 2.3 第一階段雙生成的有根起點

沿用第十二、十三篇：

$$
P_K(m)=\{o\in\{A,M\}:\exists a,b\in A_K,\ a\mathbin{o}b=m\}.
$$

在 $1\le m\le2K$， $|P_K(m)|=2$ 當且僅當 $m$ 是合數。若要求一條圖上的循環成為**完整歷史**，其根節點 $m$ 必須具備指定的第一階段生成方式；但定義純數值圖循環時，不得提前刪去可能在路途中經過的質數或 $1$。

此區別十分重要：起點 $1$ 可能不符合雙生成條件，卻仍可作為循環途中合法的算術狀態。

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## 3. 與第十三篇的 203 個回返逐筆對應

### 3.1 定理 3.1：有根兩步回返等價於合法根的鄰接邊

對 $K\ge2$ 、 $N\ge2K$，三階段完整八重閉合回返 $(m,u,m)$ 存在，當且僅當：

$$
m\text{ 為合數},\qquad \{m,u\}\in E_K.
$$

**證明。** 由第十三篇的定理，八重回返等價於起點可雙生成並且 $m\to u$ 是雙作用邊。前者在緊湊核心中等價於 $m$ 合數，後者正是本篇 $E_K$ 的定義。反向沿邊返回亦具兩種逆操作，故可構成八重回返。證畢。

### 3.2 主實驗的跨篇原始資料核對

對 $K=40$，定理 3.1 立即給出：

$$
R_{40}=\sum_{m=1}^{80}\mathbf1[m\text{ 為合數}]\deg_{G_{40}}(m)=203.
$$

本篇將這 $203$ 個精確三元組 $(m,u,m)$ 與第十三篇 `paper13_closed_return_cycles.csv` **逐筆完全比對**，而不是只比對數量。兩份集合一致，這同時檢查了新圖和舊有運算事件語義的銜接。

### 3.3 必須區分三種計數

- `203`：合法雙生成根與鄰接節點構成的精確兩步回返**位置**。
- `1,624`：若只計根的兩種運算標籤，以及兩條邊各兩種運算標籤，所得到的 **203 × 8 種帶標籤模板**。
- 更大量的原始運算歷史：若第一階段有不只一組具體有序輸入 $(a,b)$，仍須按來源數另外加權，不能把它們混為前兩項。

第十四篇新增的三角、四角循環，與上述「沿一條邊往返」更是不同類別。

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## 4. 三角、四角與原始無向數值循環

### 4.1 定義：簡單循環與方向

簡單循環是由至少三個互異頂點組成的閉合路徑，除了最終回到起點以外不重複數值頂點。計數時忽略起點輪替及整條循環的反向，以免把同一組無向邊重複當成不同循環。

若需要回到完整運算歷史，則另外保留：選定的根、順時針或逆時針走法、每步的運算符，以及生成根的原始輸入。

### 4.2 定理 4.1：三角循環必具有整除鏈

在 $G_K$ 中，任何三角循環的三個頂點按大小排列為 $x<y<z$ 時，必有：

$$
x\mid y,\qquad y\mid z,\qquad x\mid z.
$$

**證明。** 三角循環要求三對頂點兩兩有邊；由邊的定義，兩個較小到較大的頂點必滿足整除。故 $x\mid y$ 、 $y\mid z$，並由整除傳遞性得到 $x\mid z$。三對邊還需各自通過運算元上限，僅有整除傳遞性本身並不足以保證三角存在。證畢。

一個完整見證為 $4\to8\to16\to4$，其數值邊分別具有：

$$
4+4=4\times2=8,
$$

$$
8+8=8\times2=16,
$$

$$
16-12=16/4=4.
$$

初始的 $4$ 也有 $2+2=2\times2=4$，因此此三邊循環可接成完整帶來源的有根運算歷史。

![圖 1：三節點雙作用循環](figures/paper14_triangle_4_8_16.png)

### 4.3 主實驗的三角與四角循環

在 $K=40$，完整枚舉得到：

| 數值圖結構 | 精確數量 |
|---|---:|
| 頂點 | 80 |
| 無向雙操作邊 | 156 |
| 連通分量 | 18 |
| 其中孤立點 | 17 |
| 三節點簡單循環 | 131 |
| 四節點簡單循環 | 674 |
| 無內部對角線的四節點循環 | 191 |

`674` 個四節點循環採**起點取四者最小、反向只保留一種**的典範表示。程式另使用一項獨立圖論計數：

$$
2C_4=\sum_{u<v}\binom{|N(u)\cap N(v)|}{2}.
$$

其中 $N(u)$ 為圖上的鄰接集合， $C_4=674$。每個四邊循環的兩組相對頂點會各被計算一次，因此右側應是四邊循環數的兩倍。本篇兩種枚舉方式一致。

### 4.4 三角循環的完整歷史多重性

對每個三角循環，只允許雙生成的合數節點作為歷史根。枚舉發現全部 $131$ 個三角至少有一個合法根，合數根的總入射數為 $250$。每個根可選兩種行進方向，因此共有 $500$ 組有根有向三角軌跡。

每條有根三邊軌跡具有第一階段兩種生成運算標籤，三條數值邊又各有兩種運算標籤，因此共有：

$$
500\times2\times2^3=8{,}000
$$

種**運算標籤模板**。如果再計入第一階段所有合法的有序加法分拆和有序因數來源，原始完整歷史共有 **80,960 條**。這兩個數量皆由程式重算，且用途不同；不能誤稱 80,960 個不同三角形。

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## 5. 二元循環空間：為什麼 131 個三角只張成 85 維

### 5.1 已有圖論工具的明確使用

對有限無向圖 $G=(V,E)$，令 $\mathbb F_2^E$ 是以每條邊為座標的二元向量空間。一條簡單循環以「哪些邊出現奇數次」表示成向量；兩條循環向量相加等於邊集合的對稱差。

圖的二元循環空間記為 $Z_1(G)$。若圖有 $c$ 個連通分量，標準圖論定理給出：

$$
\dim Z_1(G)=|E|-|V|+c.
$$

這是既有圖論事實，不是本系列提出的新一般定理。對 $G_{40}$：

$$
\dim Z_1(G_{40})=156-80+18=94.
$$

在這個循環空間中，回到起點的二步往返只會讓同一條邊出現兩次，其二元邊向量為 $0$ ；但真正三節點與四節點簡單循環均是非零向量。

### 5.2 三角張成空間與第一個全域缺口

令 $B_\triangle(G)$ 為全部三角循環邊向量在 $\mathbb F_2$ 上的線性張成：

$$
B_\triangle(G)=\operatorname{span}_{\mathbb F_2}\{\partial(t):t\text{ 是三角形}\}.
$$

對 $K=40$，共有 $131$ 個三角，但其邊向量的秩為：

$$
\dim B_\triangle(G_{40})=85.
$$

因此：

$$
\dim Z_1(G_{40})/B_\triangle(G_{40})=94-85=9.
$$

這個 $9$ 的精確語義是：即使允許在 $\mathbb F_2$ 上任意組合全部三角循環，仍存在九個獨立的**非三角循環類別方向**。它不是九個新的數字、九條互不連通的邊，也不是九種未曾發現的代數定律。

### 5.3 旗複形的一維同調讀法

若把圖中每個三角形都視為填滿的二維面，得到圖的旗複形（clique complex）的二維骨架。此時三角邊界的像正是 $B_\triangle(G)$ ；因此上述商空間也是此旗複形的**一維同調群在 $\mathbb F_2$ 上的向量空間**，維度為 $9$。

不能因此主張塔樓圖具有物理空間中的孔洞或時空曲率。這裡的「孔洞」只表示一種由特定算術語法生成的**組合圖同調性質**，需要以精確邊集合及線性秩證明。

### 5.4 四邊循環在主實驗已補足所有循環方向

依次把 $131$ 個三角與 $674$ 個四邊簡單循環的邊向量加入同一個二元消去系統，秩由 $85$ 增至 $94$。因此：

$$
\operatorname{span}(\text{三角},\text{四角})=Z_1(G_{40}).
$$

在這個**特定 $K=40$ 的圖**中，三角與四角循環已足以張成全體二元循環空間；不用再增加五邊、六邊循環便可覆蓋全部**線性方向**。但這不代表圖上不存在更長的簡單循環，更不代表所有 $K$ 都有此性質。

例如 $K=4$ 時已經有一個長度 $5$ 的簡單循環 $1\to3\to6\to2\to4\to1$，但沒有三角或四角循環，故上述張成性不適用。

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## 6. 真正無法由三角生成的四邊循環與一個反例

### 6.1 一個確切的非三角循環類別

考慮：

$$
1\longrightarrow4\longrightarrow2\longrightarrow22\longrightarrow1.
$$

全部四條邊合法：

$$
1+3=1\times4=4,
$$

$$
4-2=4/2=2,
$$

$$
2+20=2\times11=22,
$$

$$
22-21=22/22=1.
$$

這個四邊形在自身四個頂點間沒有對角線；更重要的是，將其精確邊向量與全部 $131$ 個三角邊向量一起做二元消去時，秩增加 $1$。所以它不能由**整張圖**的三角循環作對稱差生成。

若選擇 $4$ 為初始根，第一步可以由 $2+2$ 或 $2\times2$ 雙生成，接著走 $4\to2\to22\to1\to4$。因此這不是只有圖論上存在、卻無法接成原始算術歷史的抽象正方形。

![圖 2：非三角剩餘代表的四邊循環](figures/paper14_independent_square_4_2_22_1.png)

### 6.2 九個獨立的四邊代表

程式先對所有三角建立二元基底，再按四邊循環的典範排序逐個加入。恰有下列九個四邊循環增加秩：

| 代表序號 | 典範四邊循環 |
|---:|---|
| 1 | 1–4–2–22–1 |
| 2 | 1–4–2–26–1 |
| 3 | 1–4–2–34–1 |
| 4 | 1–4–2–38–1 |
| 5 | 1–4–44–11–1 |
| 6 | 1–5–45–9–1 |
| 7 | 1–10–50–25–1 |
| 8 | 1–18–54–27–1 |
| 9 | 1–20–60–30–1 |

這九個代表並非唯一選擇；其**模三角張成後的獨立類別數為 9**，才是固定圖的嚴格不變量。CSV 保留四個精確頂點，且每條邊都可以從 $x+d=xr$ 的合法整數條件反向核驗。

### 6.3 重要反例：局部無對角線，仍可能由外部三角分解

考慮另一個沒有自身對角線的四邊形：

$$
2\longrightarrow12\longrightarrow48\longrightarrow16\longrightarrow2.
$$

此四邊形的兩條對角線都不是合法雙操作邊： $2\to48$ 的差值 $46>K$，而 $12$ 與 $16$ 之間不存在所需的整除關係。

但是它的二元邊向量**恰可由以下十個三角形的邊向量作對稱差取得**：

```text
(1,4,12), (1,4,16), (1,8,16), (1,8,24), (1,12,24),
(2,4,12), (2,4,16), (8,16,48), (8,24,48), (12,24,48)
```

逐邊 XOR 後，所有非四邊形本體的邊均出現偶數次而互相抵消，留下的恰為原四邊循環。因此：

**無局部對角線，不等於在全域圖中無法由三角組合。**

這個反例對「塔樓置中後看見一個缺口」的解讀具有直接約束：若只看局部四格，容易誤認為不可分解；只有把其他節點的全部關係一起納入，才可做出正確判斷。

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## 7. 語法擴張會填補循環： $K=8$ 到 $K=10$

### 7.1 另一個真正改變圖結構的操作

令 $G_8$ 與 $G_{10}$ 分別使用相同的雙操作邊定義，只改變允許原始右運算元的上限。因 $A_8\subset A_{10}$，舊的合法運算邊在新語法下仍合法，但新語法可能加入更多邊。

例如四邊循環：

$$
2\to4\to12\to6\to2
$$

在 $K=8$ 已經完整合法，但 $2\to12$ 尚不合法：因為加法差為 $10$，超出 $A_8$。這個四邊循環在 $G_8$ 中也無法由三角循環組合。

### 7.2 新增邊後的精確填補

到 $K=10$ 時：

$$
2+10=2\times6=12
$$

成為合法雙操作邊。這條新邊把原四邊循環拆成兩個三角形：

$$
(2,4,12),\qquad(2,6,12).
$$

兩個三角的邊集合做對稱差時，共享的對角線 $\{2,12\}$ 抵消，留下原先的四條邊。程式分別在 $K=8$ 與 $K=10$ 的**不同圖**上進行完整三角張成檢查：前者不可分解，後者恰可由這兩個三角分解。

![圖 3：由 K=8 到 K=10 新增可填補對角線](figures/paper14_K8_to_K10_completion.png)

### 7.3 循環空間可以增加，同調剩餘卻可以減少

這兩個語法範圍的精確數據為：

| $K$ | 圖的二元循環維度 | 三角張成秩 | 非三角剩餘維度 |
|---:|---:|---:|---:|
| 8 | 6 | 3 | 3 |
| 10 | 10 | 8 | 2 |

隨 $K$ 擴大，整體圖的循環空間由 $6$ 維增加到 $10$ 維，但把三角視為可填面之後，剩餘維度卻從 $3$ 降到 $2$。因此「允許更多運算」不必然使每種循環缺口指標都增加。

這裡發生的不是原本的數值關係被刪除，而是新增的關係讓某些原先不可分解的閉合路徑變得可分解。這種**合法關係新增後的全域填補**，與不改變圖的進位制視角轉移屬於截然不同的操作。

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## 8. 不同語法上限的完整有限對照

以相同定義，另完整枚舉 $K\in\{2,4,6,8,10,12,16,20,30,40,50\}$：

| $K$ | 無向邊 | 循環維度 | 三角數 | 三角秩 | 四角數 | 三角＋四角秩 | 剩餘維度 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 12 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 1 |
| 8 | 18 | 6 | 3 | 3 | 5 | 5 | 3 |
| 10 | 25 | 10 | 8 | 8 | 13 | 10 | 2 |
| 12 | 33 | 15 | 12 | 11 | 26 | 14 | 4 |
| 16 | 48 | 24 | 23 | 20 | 60 | 24 | 4 |
| 20 | 64 | 32 | 34 | 28 | 108 | 31 | 4 |
| 30 | 109 | 61 | 80 | 56 | 332 | 61 | 5 |
| 40 | 156 | 94 | 131 | 85 | 674 | 94 | 9 |
| 50 | 205 | 125 | 189 | 115 | 1123 | 125 | 10 |

此表證實三件事。首先，雙操作圖的循環複雜度確實隨指定語法的擴張而出現多種形態，但**剩餘維度不是單調增加**。其次， $K=40$ 的三角＋四角完備張成不是一個對所有 $K$ 都成立的普適定理。第三，有些語法範圍如 $K=4$，最短有意義的數值循環可以需要五個節點；因此只搜尋三角或四角會漏掉原始循環。

![圖 4：運算元上限與循環空間維度](figures/paper14_rank_sensitivity.png)

這些數據完全依賴本文的有限語法與數值範圍，不應將其誤讀成自然數在所有運算規則下的唯一循環維度。

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## 9. 跨進位觀察：相同循環為什麼可能在格子上消失

### 9.1 精確圖與塔樓投影

對任意整數基底 $q\ge2$，在**不改變任何底層數值**的條件下，定義數量級高度：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

對一個數值路徑 $x_0\to x_1\to\cdots\to x_s$，其樓層軌跡為：

$$
\big(\ell_q(x_0),\ell_q(x_1),\ldots,\ell_q(x_s)\big).
$$

這個投影可能把多個**不同數值節點**合併到同一樓層。若在投影後直接把相同樓層當成同一數值節點，就會產生前篇已警告的假合流及遺失的循環，因此必須保留精確數值索引。

### 9.2 閉合軌跡的淨樓層變化必然為零

對任意閉合路徑 $x_s=x_0$，有：

$$
\sum_{i=0}^{s-1}\big(\ell_q(x_{i+1})-\ell_q(x_i)\big)=0.
$$

這純粹是整數差分的望遠鏡相消，並不是特殊算術守恆定律。因此**淨樓層差為零**，既無法區分普通兩步往返與非平凡四角循環，也無法測出圖的非三角同調剩餘。

相反地，可另記錄沿路的總樓層變差：

$$
V_q(C)=\sum_{i=0}^{s-1}|\ell_q(x_{i+1})-\ell_q(x_i)|.
$$

它是觀察投影的一項特徵：不同進位基底可得到不同值，且若全部頂點位於同一樓層，則 $V_q(C)=0$。

### 9.3 同一批精確三角的七種進位觀察

對 $G_{40}$ 的同一批 $156$ 條邊、 $131$ 個三角循環逐項投影：

| 基底 $q$ | 兩端同樓層的雙操作邊 | 三頂點同樓層的三角 | 所有三角的 $V_q$ 總和 |
|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 0 | 0 | 926 |
| 3 | 21 | 0 | 586 |
| 5 | 33 | 2 | 388 |
| 8 | 55 | 9 | 244 |
| 10 | 60 | 8 | 246 |
| 12 | 57 | 7 | 248 |
| 16 | 59 | 14 | 234 |

例如 $(10,20,40)$ 在十進位的三個數值全部位於 `[10,100)` 同一樓層。因此若只看數量級，它可能完全縮成同一層的重合關係；在二進位，三個數值則分屬不同樓層。但在所有基底下：

$$
10+10=10\times2=20,
$$

$$
20+20=20\times2=40,
$$

$$
40-30=40/4=10
$$

皆不改變其算術真值與事件見證。

![圖 5：不同進位制下縮在同樓層的三角循環](figures/paper14_hidden_triangles_by_radix.png)

### 9.4 真正保持不變的物件

在只改變標準整數表示、保留原始數值與運算語法的情況下， $G_K$ 的邊集合、連通分量、二元循環維度、三角秩以及九維非三角剩餘全部不變。這不是因為畫面可以經某種完美置中後保持同一個輪廓，而是因為被投影的原始數值關係沒有改變。

跨進位制有變化的是：數位字串、樓層索引、單步樓層增量、是否同層，以及可能顯現或被遮蔽的局部迴路形狀。這些是值得觀察的**表示層資訊**，不應反過來當成數值等式的定義。

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## 10. 驗證協定：如何確認「九維缺口」不是視覺錯覺

### 10.1 兩種獨立的雙作用邊檢查

核心資料先以整數對 $(x,y)$ 和整除、差值條件產生全部合法邊，再逐邊反向重算 $d=y-x$ 、 $r=y/x$，確認兩者確實是 $A_K$ 的整數；這使生成時的除法、減法不存在捨入或浮點歧義。

### 10.2 三種不同的循環驗證

1. 三角與四角使用典範頂點順序進行直接枚舉，杜絕旋轉與反向重複計數。
2. 四角總量另以共同鄰居公式獨立重算，必須取得完全一致的 $674$。
3. 每個被選中的循環都逐邊驗證合法性，並以 156 位元的精確整數位元向量記錄邊集合。

### 10.3 二元秩與明確的正反證書

- 使用「最高位主元」與「最低位主元」兩種二元高斯消去順序，獨立取得三角秩 $85$ 、三角＋四角秩 $94$。
- 選出九個額外四邊代表，逐一確認它們對三角張成基底造成一次秩增加。
- 對 $1,4,2,22$ 的四邊循環，驗證加入三角基底後確實增加秩，屬正向的非三角剩餘見證。
- 對 $2,12,48,16$ 的四邊循環，驗證十個明列三角之邊向量 XOR 後精確等於四邊向量，屬反向負對照。
- 對 $K=8$ 到 $K=10$ 的示例，檢查舊邊全部仍合法、新對角線在 $K=8$ 不合法且於 $K=10$ 合法，並驗證兩個三角填補原四邊循環。

以上全部檢查都使用 Python 任意精度整數與 $\mathbb F_2$ 位元運算，沒有依賴浮點數判斷某條算術邊是否存在。

### 10.4 第十三篇的原始逐筆核對

本套件附帶第十三篇**未修改的 203 筆閉合回返 CSV**。本篇完全獨立地從雙作用圖生成 $203$ 個有根回返三元組，與該 CSV 逐筆比較。兩邊必須完全一致，才可宣稱第十四篇與前篇的有限語法銜接成功。

### 10.5 為何不使用圖片像素作為證書

圖上線條可能相交，但真正的算術見證必須能還原：兩端整數值、加法差、乘法比、運算元上限、循環邊集合，以及二元秩檢驗。圖片只作閱讀索引，不能作為唯一或 canonical 的數據來源。

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## 11. 實驗交付與再現方式

### 11.1 離線重新運算

正式套件根目錄包含 `verify_paper14.py`，只需 Python 3 標準函式庫。在解壓的資料夾內執行：

```bash
python verify_paper14.py --output .
```

此命令會以套件內附的 `reference/paper13_closed_return_cycles.csv` 逐筆驗證原始對照，重新產生全部 CSV 與 JSON。若已安裝 Matplotlib，可重新產生圖表：

```bash
python make_figures.py
```

### 11.2 可重現資料清單

| 檔案 | 主要內容 |
|---|---|
| `verify_paper14.py` | 精確雙作用邊、回返、三角、四角、二元秩、反例及跨進位驗證 |
| `make_figures.py` | 從正式 CSV 再生 PNG/SVG 圖表 |
| `data/paper14_edges.csv` | 全部 156 條雙作用邊及精確差值、比值 |
| `data/paper14_triangles.csv` | 全部 131 個三角與合法合數根 |
| `data/paper14_four_cycles.csv` | 全部 674 個四角與局部對角線標記 |
| `data/paper14_nine_residual_basis.csv` | 九個增加循環秩的四邊代表 |
| `data/paper14_triangle_decomposition_example.csv` | 十個三角組成四邊的 XOR 證書 |
| `data/paper14_closed_returns.csv` | 與第十三篇一致的全部 203 個有根回返 |
| `data/paper14_sensitivity.csv` | 不同 K 的循環秩及語法填補比較 |
| `data/paper14_radix_profiles.csv` | 七種進位制下的數量級投影特徵 |
| `data/paper14_stats.json` | 主實驗精確計數與驗證狀態 |
| `reference/paper13_closed_return_cycles.csv` | 第十三篇的未修改基準資料 |
| `figures/` | 五張資料導出的 PNG 圖與對應 SVG 圖 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 每個正式發行檔案的內容 SHA-256 清單 |

### 11.3 數據、圖形與正式原稿的分工

CSV 與 JSON 是機器可讀的數據結果；Python 程式是可重現的驗證協定；PNG/SVG 是視覺輔助。只有本 UTF-8 Markdown 原始檔是本文正式論述的 canonical source。數學原始碼不由聊天畫面或數學字型反推，使用唯一的 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 分隔符直接保存。

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## 12. 反例與研究邊界

### 12.1 兩步回返不等於原始圖循環

第十三篇的 203 個閉合回返在帶標籤的運算歷史中完全有效，但其邊向量在 $\mathbb F_2$ 中為零。若忽略這點，將把「同一條邊的雙向運算」誤計為「新的獨立循環方向」。

### 12.2 有四邊形不代表有新增獨立循環類別

本篇的 674 個四邊循環之間有大量線性關係；其中 191 個沒有局部對角線，但仍不能推論它們都不屬於三角張成。十個三角分解 `2–12–48–16–2` 的反例已將此區別精確展示。

### 12.3 九維剩餘不是一般的數論常數

當 $K=8$ 、 $K=10$ 、 $K=40$ 時，非三角剩餘維度分別為 $3,2,9$ ；它是**指定語法、指定圖、指定二元同調係數**所共同決定的數學量，不可外推成全體正整數或實數的固定維度。

### 12.4 進位的位階高度不等於逐位進位軌跡

 $\ell_q(n)$ 只顯示數字落在哪個數量級，與直式加法、乘法每一步的 digit carry 是不同資料層。若要研究後者，必須明確指定演算法，儲存 digit convolution、局部進位與借位記錄；單靠本篇的樓層圖不足以證明它們的細節。

### 12.5 這裡的循環不是物理因果迴路

算術操作有方向、反向求解條件與歷史可追溯性；但這些是形式運算，不足以推出物理世界的時間因果、作用反作用力、能量流動或動力學回授。本文的循環只是精確定義的有限算術圖性質。

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## 13. 結論：不是每一條閉合線都屬於同一種關係

第十四篇將第十三篇的完整八重回返移至可逐邊驗證的有限雙作用圖，證明 $203$ 個有根兩步回返與合法合數根的鄰接邊精確一致。進一步在同一圖上發現並完整枚舉 $131$ 個三角、 $674$ 個四角簡單循環，並透過二元循環空間分析，區分回返、原始循環、三角生成與非三角剩餘。

對 $K=40$，圖的循環空間維度是 $94$，全部三角僅張成 $85$ 維；另外九個獨立方向可由精確四邊代表補足。這個結論使用標準圖論與二元同調工具，並由程式完全驗證。它沒有產生新的數學運算規則，卻說明在我們選定的有限語法中，**局部雙作用關係的集合如何組成、卻又不必然完整生成全域循環類別**。

更重要的是，語法擴張和進位視角轉移已獲得嚴格分界：由 $K=8$ 到 $K=10$，新增合法運算邊會把原本的四邊缺口填成兩個三角；由二進位改成十進位，只會使原本已存在的部分三角在樓層投影中難以看見，卻不改變它們的精確算術關係。

因此，若要讓數值塔樓真的成為觀察資訊關係的工具，就不能只計算有多少運算路徑、多少交會或多少視覺閉合。每條線必須知道自己代表哪個算術事件；每個循環必須知道自己是否可分解；每種進位觀察必須知道自己保存與遺失了什麼資訊。

**本篇核心結語：圖上閉合的線條，並不保證形成獨立的關係；只有把全部可用運算納入，才能知道一個局部缺口究竟是真正的全域差異，還是尚未顯現的其他路徑。**

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## 參考文獻與前置資料

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第九篇）》，2026-11-05：前段事件共享及有限運算見證。  
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十二篇）》，2026-11-05：完整三階段八重對偶與起點雙生成條件。  
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十三篇）》，2026-11-05：203 個八重回返、雙操作逆向定理及完整反轉判準。  
4. Reinhard Diestel, *Graph Theory*, Sixth Edition, Springer, 2025, Chapter 1, graph cycle spaces, fundamental cycles and related linear-algebraic methods. Publisher: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-70107-2 .  
5. Algebraic topology's standard simplicial-homology formulation: binary cycle vectors, triangular boundaries, and the first homology of a clique complex. These are established general tools, here applied to the specifically defined finite arithmetic graph.

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**End of Paper XIV (v0.1).**